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EJERCICIOS CON SOLUCIÓN
Características generales de Funciones
1.
Para cada una de las funciones, calcula la imagen de2, -2, 3, -3, 1 y -1
Expresa, de forma algebraica y mediante una tabla de valores, la función que asigna a cada número
su cubo menos dos veces su cuadrado.
2.
3.
Elabora una tabla de valores para estas funciones:
4.
Dada la función que asocia a cada número entero su cuarta parte más cinco unidades:
5.
¿Cuáles de estas representaciones corresponden a la gráfica de una función? (Razonar la respuesta):
a)
b)
c)
d)
SOLUCIÓN: Sólo son funciones las gráficas b y d porque a cada valor de la variable x le corresponde un único
valor de la variable y. Mientras que en las gráficas a y d, existen valores de la variable x para los cuales hay má
de un valor de la variable y.
6.
Justifica si las gráficas corresponden a una función:
7.
Calcula el dominio y el recorrido de estas funciones.
8.
Halla analíticamente el Dom(f) de las siguientes funciones
h)
a)
p)
i)
b) y=
j)
q)
c)
k)
r)
l)
d)
∗
e)
m)
s)
t)
n)
f)
g)
o)
Soluc: a) IR-[-5}; b) IR-{-2,4}; c) IR-{0,4}; d) IR; e) IR; f) [-5,∞); g) (-5,∞);
j) (-∞ ,3]U[3,∞); k) (-∞,-4]U[2,∞); l) (-∞,-4]U[-1,∞); m) (-4,0]U(4,∞); n) IR-{3/2};
IR; r) IR-{-1}; s) IR; t) IR)
9.
Estudia la continuidad de esta función.
10.
Estudia la continuidad de esta función. ¿Tiene puntos de corte con los ejes?
11.
Estudia la continuidad, el crecimiento y los máximos y mínimos de la función:
h) [5/2,∞); i) (-∞,4);
o) IR-{2,3}; p) (4,∞); q)
12.
Calcula la imagen de x=2 en cada una de las siguientes funciones:
13.
Calcula f(0), f(3) y f(4) en la siguiente función:
14.
Dibuja una función que tenga dos máximos y dos mínimos.
15.
Halla la tasa de variación media de las siguientes funciones, en el intervalo [1, 3].
16.
Estudia las siguientes funciones:
17.
Observa la gráfica de la función f
Para cada una de las funciones representadas a continuación, estudia:
a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
b) Los máximos y mínimos relativos y absolutos.
18.
19.
Estudia todas las características de las siguientes funciones:
a)
Dominio y recorrido
b)
Continuidad
c)
Puntos de corte con los ejes
d)
Intervalos de crecimiento/decrecimiento
e)
Máximos/mínimos relativos y absolutos
f) Tendencias
g)
Periodicidad
h)
Tasa de variación media en el intervalo [2,3]
a) Dom f= ℜ − 1
{}
Im f= ℜ − 0
{}
b) Tiene un punto de discontinuidad en x=1 donde tiene una rama infinita.
c) No tiene puntos de corte con el eje X. Punto de corte con el eje Y: (0,-1)
€
€
d) Crecimiento: No tiene
Decrecimiento: (-∞, 1)U(1, +∞)
e) No tiene ni máximos ni mínimos.
f) La función tiende a 0 cuando x tiende a -∞ y cuando x tiende a +∞
Para x=1 la función tiende a -∞ por la izquierda y a +∞ por la derecha.
g) La función no es periódica.
h) TVM[2,3]=
€
f(3)− f(2) 0,5 −1
1
=
=−
3−2
3−2
2
a) Dom f= (-∞, -1) U (-1,1) U (1, +∞)
Im f= (-∞, -1] U (0, +∞)
b) Tiene dos puntos de discontinuidad en x=-1 y en x=1 donde tiene ramas infinitas.
c) No tiene puntos de corte con el eje X. Punto de corte con el eje Y: (0,-1)
d) Crecimiento: (-∞, -1) U (-1, 0)
Decrecimiento: (0,1) U (1, +∞)
e) No tiene mínimos.
Tiene un máximo relativo en (0,-1)
f) La función tiende a 0 cuando x tiende a -∞ y cuando x tiende a +∞
Para x=-1 la función tiende a +∞ por la izquierda y a -∞ por la derecha.
Para x=1 la función tiende a -∞ por la izquierda y a +∞ por la derecha.
g) La función no es periódica.
h) TVM[2,3]=
f(3)− f(2) 0,3 − 0,6
=
= −0,3
3−2
3−2
€
a) Dom f= (-∞,+∞)=IR
Im f= [0, +∞)
b) Continua en todo su dominio.
c) Puntos de corte con el eje X: (-1,0) y (1,0)
d) Crecimiento: (-1, 0) U (1,+∞ )
Punto de corte con el eje Y: (0,1)
Decrecimiento: (-∞,-1) U (0, 1)
e) Tiene dos mínimos absolutos: (-1,0) y (1,0)
Tiene un máximo relativo en (0,1)
f) La función tiende a +∞ cuando x tiende a -∞ y cuando x tiende a +∞
g) La función no es periódica.
h) TVM[-2,-1]=
f(−2)− f(−1) 3 − 0
=
= −3
−2 −(−1)
−2 +1
€
a) Dom f= IR
Im f= [-1, +∞)
b) Tiene un punto de discontinuidad en x=1. Se trata de una discontinuidad de salto.
c) Punto de corte con el eje X: (0,0)
Punto de corte con el eje Y: (0,0)
d) Crecimiento: (1, +∞)
Decrecimiento: (-∞, 1)
e) Tiene un mínimo absoluto en (1,-1).
No tiene un máximos.
f) La función tiende a +∞ cuando x tiende a -∞ y cuando x tiende a +∞
g) La función no es periódica.
h) TVM[2,3]=
€
f(3)− f(2) 2,4 − 2
=
= 0,4
3−2
3−2
TVM[-2,-1]=
€
f(−2)− f(−1) 2 −1
=
= −1
−2 −(−1)
−2 +1