Capitulo ocho: Geometria y medicion

Geometría y
medición
Matemáticas en
la vida diaria
Proporciones olímpicas Los juegos olímpicos del 2000 en Sidney,
Australia, incluyeron 35 deportes. La siguiente tabla muestra las dimensiones, el perímetro y el área de las canchas, los campos, las esteras y
las piscinas rectangulares donde se jugaron algunos de estos juegos.
Deporte
(metros)
Cancha de fútbol
Cancha de hockey
de campo
Piscina
Cancha de hándbol
Piscina de water polo
Cancha de vóleibol
Cancha de badminton
(individuales)
Pista de esgrima
Largo Ancho Perímetro Área
(metros) (metros) (metros) (m2)
100
70
340
7,000
91.4
55
292.8
5,027
50
40
30
18
25
20
20
9
150
120
100
54
1,250
800
600
162
13.4
5.18
37.16
69.41
14
1.5
31
21
Piensa al respecto ¿En qué se parecen las
dimensiones de tu aula y las de una cancha
de vóleibol?
Carta a la familia
Estimados alumno(a) y familiares:
Es hora de variar un poco. Nuestro próximo capítulo de matemáticas trata
sobre las mediciones en geometría. En este nuevo capítulo, aprenderán acerca
de los ángulos y sus medidas; y sobre el área y el perímetro de cuadrados, rectángulos y figuras irregulares. Finalmente, aprenderán acerca del famoso teorema de Pitágoras, a2 b2 c2, que se usa con triángulos rectángulos.
c
a
b
El perímetro es una medida de la distancia alrededor de una figura. Si la
figura es un círculo, la distancia a su alrededor se conoce como circunferencia.
Para calcular la circunferencia de un círculo, descubrirán que pueden multiplicar el diámetro por pi. Pi () equivale aproximadamente a 3.14.
Perímetro
Circunferencia
Vocabulario Este capítulo tiene muchas palabras de vocabulario. Es probable
que estén familiarizados con algunas de ellas.
ángulo agudo
área
cuerda
circunferencia
diámetro
hipotenusa
operaciones inversas
cateto
ángulo obtuso
paralelogramo
cuadrado perfecto
perímetro
perpendicular
radio
ángulo recto
ángulo recto
raíz cuadrada
¿Qué pueden hacer en el hogar?
¡La geometría está en todas partes! Pidan a su hijo(a) que dé ejemplos de
perímetros y áreas relacionados con su vida cotidiana.
impactmath.com/family_letter
465
Ángulos
En el Capítulo 1, investigaste ángulos. Aprendiste que un ángulo se define
como dos rayos con un punto final común, llamado vértice.
R
Recuerda
o
ay
Vértice
Puedes pensar en un
ángulo como una
rotación. Un ángulo de
360° es una rotación
alrededor de un círculo
completo. Un ángulo de
180° es una rotación
de la 21 del camino
alrededor de un círculo.
Un ángulo de 90° es
una rotación de un 41
del camino alrededor
de un círculo.
Rayo
Los ángulos se miden en grados. En el Capítulo 1, usaste ángulos de 90°,
180° y 360° como puntos de comparación para estimar las medidas de otros
ángulos.
180º
90º
360º
360°
&
Piensa comenta
90°
Cada diagrama se construye a partir de ángulos del mismo tamaño.
Estima la medida de cada ángulo marcado y explica cómo lo calculaste.
180°
?
?
466 C A P Í T U L O 8
Geometría y medición
?
Investigación 1
Mide ángulos
Un transportador es una herramienta para medir ángulos. Un transportador
tiene dos conjuntos de rótulos de grados a lo largo del borde de un medio
círculo (o algunas veces de un círculo completo). La línea que atraviesa 0°
se llama línea de referencia.
Datos
de
0 10
20
180 170 1
60
30
15
0 40
14
0
170 180
160
10 0
150 20
0 30
14
40
80 90 100 11
0
70
00 90 80 70 120
1
0
6
110
60 13
0
2
0
0
1
5
50
0
13
interés
Línea de referencia
Para medir un ángulo, sigue estos pasos:
• Coloca el centro inferior del transportador en el vértice del ángulo.
• Alinea la línea de referencia con un rayo del ángulo. Asegúrate que el
otro rayo se pueda ver a través del transportador. (Quizás necesites
extender este rayo de manera que puedas ver donde se encuentra con
las marcas a lo largo del borde del transportador.)
• Lee la medida del ángulo.
10
17
0
140 150 160 1
7
0
130
40 30 20 10 180
120 50
0
0 60
70
0
0
11
50 60 70 80
40
0 120 110 10
90
1
30 140 3
0
90 10
0
0
20 15
80
0
16
18
En el patinaje en línea,
los 360 (vueltas
completas) y los 540
(una vuelta y media) son
dos de las acrobacias
más difíciles.
LECCIÓN 8.1
Ángulos 467
&
M AT E R I A L E S
Piensa comenta
• transportador
• copias de los
ángulos
El ángulo a continuación mide cerca de 48°. ¿O cerca de 132°? ¿Cómo
sabes qué número usar?
0 10
20
180 170 1
60
30
15
0 40
14
0
170 180
160
10 0
150 20
0 30
14
40
80 90 100 11
0 1
70
0 90 80 7
20
60 110 10
0
60 13
0
0
50 12
50
0
13
Datos
de
¿Es la medida del ángulo a continuación un poco más de 90° ó un poco
menos de 90°? ¿Cómo lo sabes?
interés
El astrolabio marino
fue un instrumento de
navegación durante los
siglos XV y XVI. Los
navegantes lo usaron
para medir el ángulo de
elevación del Sol u otra
estrella. Esta medida
les podía ayudar a
determinar la latitud
de su barco.
0 10 20 30 4
0
0 160 150
180 17
140 50
13
0
180
170
0 10 0
16
0
20
15 0
3
0 110 120
90 10
13
80
0 80 70 60 5 0 14
9
0
0
70 100
40
10
60 0 1
12
Mide estos dos ángulos. ¿En qué se parecen los ángulos?
Calcula la medida del ángulo a continuación. Describe el método que
usaste.
468 C A P Í T U L O 8
Geometría y medición
Has visto que cuando mides un ángulo con un transportador, debes determinar
cuál de las dos mediciones es la correcta. Una manera de decidir es comparar
el ángulo a un ángulo de 90°. Porque 90° es un punto de comparación tan
importante, algunas veces los ángulos se clasifican según la comparación de
sus medidas con 90°.
V O C A B U L A R I O
Los ángulos agudos miden menos de 90°.
ángulo agudo
ángulo obtuso
perpendicular
ángulo recto
Los ángulos obtusos miden más de 90° y menos de 180°.
Los ángulos rectos miden exactamente 90°. Los ángulos rectos se marcan
frecuentemente con un cuadrado pequeño en el vértice.
Se dice que dos rectas o segmentos que forman un ángulo recto son
perpendiculares.
Rectas perpendiculares
Segmentos perpendiculares
LECCIÓN 8.1
Ángulos 469
M AT E R I A L E S
Serie de problemas
A
transportador
Menciona si cada ángulo es agudo u obtuso. Después calcula su medida.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Has visto que un transportador es una herramienta útil para medir ángulos.
También puedes usar un transportador para dibujar ángulos con determinadas
medidas.
E J E M P L O
Para crear un ángulo de 25°,
comienza dibujando un segmento
de recta. Este segmento será un
lado del ángulo.
Retira el transportador y dibuja un
segmento desde el vértice (el extremo
que estaba en el centro del transportador) a través de la marca.
470 C A P Í T U L O 8
Geometría y medición
20
16
0 30
15
0
0 1
0
180 1
70
160 170 180
150
20 10 0
140 30
0 40
50
Dibuja una marca junto al rótulo de
25° en el transportador. (¡Asegúrate
de seleccionar el rótulo correcto
de 25°!)
70 80 90 10
0 1
60
0 100 90 8
10
50 120 11
0
70 12
0
0
40 13
60
0
14
13
Alinea la línea de referencia del
transportador con el segmento, con
el centro del transportador en un
extremo del segmento. Este extremo
será el vértice del ángulo.
M AT E R I A L E S
• transportador
• regla
Datos
de
interés
Un teodolito es un
instrumento que mide
ángulos y que se utiliza
en navegación, meteorología y topografía.
Serie de problemas
B
1.
Dibuja un ángulo de 160°. Incluye una marca curva del ángulo para
mostrar cuál ángulo mide 160°.
2.
Dibuja un ángulo de 210°. Incluye una marca de ángulo para mostrar
que ángulo mide 210°.
3.
Dibuja dos segmentos perpendiculares.
4.
Dibuja un triángulo en el que un ángulo mide 50° y los otros ángulos
tienen medidas mayores que 50°. Rotula cada ángulo con su medida.
5.
Dibuja un triángulo con un ángulo obtuso. Rotula cada ángulo con su
medida.
6.
Dibuja un triángulo con dos ángulos de 60°.
7.
Mide los lados del triángulo que dibujaste en el Problema 6. ¿Qué es lo
que observas?
8.
Dibuja un cuadrado. Asegúrate de que todos los lados sean de la misma
longitud y todos los ángulos midan 90°.
9.
Dibuja un polígono con cualquier número de lados y un ángulo que
tenga una medida mayor que 180°. Marca ese ángulo.
&
Comparte
resume
1. Cuando
mides un ángulo con un transportador, ¿cómo sabes cuál de
los dos números debes elegir?
2. El
transportador en la página 470 tiene una escala hasta 180°.
Describe cómo usarías tal transportador para dibujar un ángulo con
una medida mayor que 180°. Da un ejemplo si éste te ayuda a
explicar tu razonamiento.
LECCIÓN 8.1
Ángulos 471
Investigación 2
Investiga la relación
de los ángulos
Puedes referirte a los ángulos en un dibujo con mayor facilidad si los rotulas
con números o letras.
1
4
2
3
En el siguiente dibujo, la medida del ángulo 1 es de 135°. Puedes escribir
esto en símbolos como m1 135°. La “m” representa “medida” y es el
símbolo para “ángulo”.
C
M AT E R I A L E S
Serie de problemas
• transportador
• regla
Se dice que dos rectas que se cruzan (como las rectas del dibujo anterior) se
intersecan.
1.
Mide los ángulos 1, 2, 3 y 4 del dibujo anterior.
2.
¿Qué ángulos tienen la misma medida?
3.
Usa una regla para dibujar otro par de rectas que se intersecan. Mide
cada uno de los cuatro ángulos que se formaron y rotula cada ángulo
con su medida.
4.
Dibuja un par adicional de rectas que se intersecan y rotula cada ángulo
con su medida.
5.
¿Qué patrones observas que relacionen las medidas de los ángulos formados por dos rectas que se intersecan?
Cuando dos rectas se intersecan, a los dos ángulos que no están directamente
juntos se les llama ángulos opuestos por el vértice. En el siguiente dibujo,
a y c son ángulos opuestos por el vértice y b y d son ángulos
opuestos por el vértice.
a
b
d
472 C A P Í T U L O 8
Geometría y medición
c
A continuación, Conor explica la relación que descubrió en la Serie de
problemas C.
1
1
2
4
Como la suma de m 1 y
m 2 da 180 y la suma
de m 3 y m 2
también da 180 , m 1
debe ser igual
a m 3.
3
3
m 1=m 3
2
4
m
2=m 4
m 1 + m 2 = 180
m 2 + m 3 = 180
Cuando dos rectas se intersecan,
Esto tiene sentido
los ángulos opuestos por el vértice
1 y 2 forman
porque
tienen la misma medida.
una recta, de modo que
sus medidas suman
180 . Y 2 y 3 forman
una recta, de modo
que sus medidas
suman 180 .
&
Piensa comenta
En la caricatura, Conor demostró que m1 m3. Explica por qué
m2 m4.
Los ángulos interiores de un polígono son
los ángulos dentro del polígono. En este cuadrilátero,
los ángulos interiores están marcados.
En el Capítulo 1, descubriste que la suma de las
medidas de los ángulos interiores de cualquier
triángulo es 180°. En la siguiente Serie de
problemas, buscarás reglas semejantes sobre las
sumas de los ángulos de otros polígonos.
M AT E R I A L E S
• regla
• transportador
Serie de problemas
D
1.
Usa una regla y un lápiz para dibujar un cuadrilátero. Mide cada ángulo
interior y después calcula la suma de los cuatro ángulos.
2.
A continuación, dibuja un pentágono. Mide cada ángulo interior y
calcula la suma de los cinco ángulos.
3.
Finalmente, dibuja un hexágono. Mide cada ángulo interior y calcula la
suma de los seis ángulos.
LECCIÓN 8.1
Ángulos 473
&
Piensa comenta
M AT E R I A L E S
transportador
Probablemente tú y tus compañeros dibujaron polígonos diferentes para
cada problema en la Serie de problemas D. Compara las sumas de los
ángulos que calculaste con las sumas que calcularon tus compañeros.
¿Qué patrones observas?
Describe una regla que puedas usar para predecir la suma de las medidas
de los ángulos interiores de un polígono cuando sólo conoces el número
de ángulos.
Usa tu regla para predecir las sumas de los ángulos interiores para cada
polígono cóncavo a continuación. Verifica tus predicciones al medir los
ángulos. Asegúrate de medir los ángulos interiores.
Recuerda
Un polígono cóncavo
tiene un ángulo interior
con una medida mayor
que 180°. Los polígonos
cóncavos parecen
“abollados”.
Hasta ahora, probablemente has concluido que la suma de las medidas de los
ángulos en un polígono depende sólo del número de ángulos (o el número de
lados). Quizás, también has descubierto un regla para predecir la suma de los
ángulos de cualquier polígono cuando conoces el número de ángulos.
Hannah y Jahmal querían saber si podrían usar sus conocimientos sobre la
suma de ángulos para triángulos para razonar sobre las sumas de los ángulos
de otros polígonos.
Recuerda
Una diagonal es un
segmento que conecta
dos vértices de un
polígono pero no es
un lado del polígono.
Yo puedo dividir cualquier
cuadrilátero en dos triángulos
al dibujar una diagonal.
180 + 180 = 360
La suma de los
ángulos de cada
triángulo es 180 ,
de modo que la suma
de los ángulos de un
cuadrilátero debe ser
el doble. La suma de los
ángulos de cada cuadrilátero debe ser 360 .
474 C A P Í T U L O 8
Geometría y medición
Me pregunto si tu estrategia funciona con otros
polígonos, como éstos.
En la siguiente Serie de problemas, investigarás si la estrategia de Hannah se
aplica a otros polígonos. También verás cómo su estrategia conlleva a una
regla para calcular las sumas de los ángulos.
M AT E R I A L E S
Serie de problemas
E
regla
1.
2.
Primero considera los pentágonos.
a.
Dibuja dos pentágonos. Uno de los pentágonos debe ser cóncavo.
Divide cada pentágono en triángulos dibujando diagonales a partir de
uno de los vértices.
b.
¿En cuántos triángulos dividiste cada pentágono?
c.
Usa tu respuesta de la Parte b para calcular la suma de los ángulos
interiores de un pentágono.
A continuación, considera los hexágonos.
a.
Dibuja dos hexágonos. Uno de los hexágonos debe ser cóncavo.
Divide cada hexágono en triángulos dibujando diagonales a partir de
uno de los vértices.
b.
¿En cuántos triángulos dividiste cada hexágono?
c.
Usa tu respuesta de la Parte b para calcular la suma de los ángulos
interiores de un hexágono.
Datos
de
interés
Los cristalógrafos,
personas que estudian
las propiedades
geométricas y las
estructuras internas
de los cristales, usan
goniómetros de
reflexión para medir
los ángulos entre las
caras de un cristal.
LECCIÓN 8.1
Ángulos 475
3.
Datos
de
4.
interés
Un polígono de 15 lados
se llama pentadecágono.
5.
6.
Ahora piensa en los octágonos, que son polígonos de 8 lados.
a.
Sin hacer un dibujo, predice en cuántos triángulos dividirías un octágono si dibujaras todas las diagonales a partir de uno de los vértices.
Explica cómo realizaste tu predicción.
b.
Dibuja un octágono y verifica tu predicción.
c.
Usa tu respuesta para calcular la suma de los ángulos interiores para
un octágono.
Supón que dibujaste un polígono de 15 lados y lo dividiste en triángulos
dibujando diagonales desde uno de los vértices.
a.
¿Cuántos triángulos harías?
b.
Usa tu respuesta para calcular la suma de los ángulos interiores para
un polígono de 15 lados.
Supón que un polígono tiene n ángulos.
a.
¿Cuántos triángulos formarías si dividieras el polígono en triángulos
dibujando diagonales desde uno de los vértices?
b.
Usa tu respuesta para escribir una regla para calcular la suma de las
medidas de los ángulos s en un polígono con n ángulos.
Un cuadrilátero particular tiene tres ángulos de 90º.
a.
¿Cuál es la medida del cuarto ángulo? ¿Cómo lo sabes?
b.
¿Qué tipo de cuadrilátero es?
&
Comparte
resume
1. Marcus
dijo que la suma de los ángulos para un cuadrilátero debe ser
720º porque un cuadrilátero puede dividirse en cuatro triángulos al
dibujar ambas diagonales.
Explica qué es incorrecto en el argumento de Marcus.
2. ¿Cuál
es la suma de las medidas de los ángulos de un nonágono (un
polígono de 9 lados)?
476 C A P Í T U L O 8
Geometría y medición
Ejercicios por tu cuenta
&
aplica
Practica
Calcula la medida de cada ángulo.
1.
2.
3.
4.
Sin medir, calcula las medidas de los ángulos restantes.
5.
6.
7.
37° ?
67°
?
72°
?
Dibuja un ángulo con la medida dada.
8.
17°
9.
10.
75°
11.
164°
290°
Dibuja la figura descrita. Rotula cada ángulo en la figura con sus medidas.
12.
un cuadrilátero con dos ángulos de 60º
13.
un pentágono con dos ángulos de 90º
14.
un cuadrilátero con un ángulo de 200º
Sin medir, calcula la medida de cada ángulo rotulado con letras.
16.
15.
17.
45°
45°
b
18.
b
107°
5°
a
120°
c
a
15°
a
60°
12°
impactmath.com/self_check_quiz
20°
LECCIÓN 8.1
Ángulos 477
19.
En este polígono, a y b tienen
la misma medida. ¿Cuál es?
a 110°
90°
b
Recuerda
En un polígono regular,
todos los lados tienen
la misma longitud y
todos los ángulos
tienen la misma medida.
&
amplía
Conecta
90°
110°
20.
¿Cuál es la medida de cada ángulo de un pentágono regular?
21.
¿Cuál es la medida de cada ángulo de un hexágono regular?
22. Deportes
Los dibujos a continuación muestran ángulos formados por
un jugador de fútbol y el arco. Entre mayor es el ángulo, mejor es la
oportunidad del jugador de anotar un gol. Por ejemplo, el jugador tiene
una mejor oportunidad de anotar desde la posición A que desde la
posición B.
Gol
Gol
Datos
de
interés
Jugador en
posición A
El fútbol es el deporte
nacional de la mayoría
de los países latinoamericanos y europeos.
Jugador en
la posición B
En las Partes a y b, puede ser de ayuda el trazar los diagramas y dibujar
y medir los ángulos.
a.
Los siete jugadores de fútbol
practican sus tiros. Están alineados
en una recta en frente del arco.
¿Qué jugador tiene el mejor (el
mayor) ángulo de tiro?
b.
Ahora los jugadores están alineados
como se muestra. ¿Qué
jugador tiene el mejor ángulo de
tiro?
Gol
1
2
3
4
5
6
7
Gol
1
2
3
4
5
6
7
478 C A P Í T U L O 8
Geometría y medición
23.
El diámetro de un círculo es un segmento que pasa a
través de su centro y tiene ambos extremos sobre el círculo.
Diámetro
Los siguientes cuatro triángulos tienen los tres vértices
sobre un círculo y el diámetro como un lado.
4
2
1
3
Mide cada ángulo numerado. ¿Qué tienen en común las medidas?
24.
Descubriste una regla sobre las sumas de los ángulos interiores de los
polígonos. Los polígonos también tienen ángulos exteriores, que pueden
calcularse al extender sus lados. En los dibujos a continuación, se marcaron los ángulos exteriores.
En las Partes a hasta la e, calcula la medida de cada ángulo exterior.
Después, calcula la suma de las medidas.
a.
b.
c.
2
1
2
1
2
3
1
3
3
d.
e.
4
3
4
3
4
2
f.
2
5
Describe cualquier patrón que
encuentres en las Partes a hasta la e.
1
1
5
6
LECCIÓN 8.1
Ángulos 479
25. Deportes
Datos
de
interés
Cuando la luz choca
contra un espejo, se
comporta de la misma
manera que una pelota
de billar que pega con
un lado de la mesa. Si
la luz choca contra un
espejo a cierto ángulo,
rebota con el mismo
ángulo. En física, esta
ley se enuncia frecuentemente como “el
ángulo de incidencia =
al ángulo de reflexión”.
El ángulo a que una
pelota de billar choca con el lado de
la mesa tiene la misma medida que
el ángulo al cual rebota del lado.
Esto se muestra en el dibujo de la
derecha. Los ángulos marcados
tienen la misma medida y la flecha muestra la ruta de la pelota.
En las Partes a, b y c, traza el dibujo. Después, usa tu transportador para
calcular la ruta que tomará la pelota cuando rebote en el lado. Menciona
si la pelota caerá en una bolsa de tronera o chocará en otro lado. (Dibuja
sólo un rebote.)
a.
b.
c.
En t u s
propias
palabras
Describe cómo
puedes calcular la
suma de los ángulos interiores de
cualquier polígono
sin medir ningún
ángulo. Después
explica cómo
sabes que tu
método funciona.
d. Reto
Copia este dibujo. Dibuja un la ruta en la que la pelota rebotará en un lado y caerá en la bolsa de la tronera inferior derecha.
Cae
aquí
480 C A P Í T U L O 8
Geometría y medición
26.
14 y 21
27.
17 y 51
28.
54 y 24
29.
13 y 5
30.
100 y 75
31.
32 y 36
Evalúa cada expresión.
1
32. 3
34.
34 49
5
33. 1
4
215 1115 170
21
36. 3
4
35.
172 18
67 27
358 112 34
5
37. 6
152 156 6
38. Tecnología
Las gráficas aportan información sobre dos videojuegos.
Usa las gráficas para determinar si cada enunciado es verdadero o falso
y explica cómo lo decidiste.
Carrera de robots
Pista de
alienígenas
Costo
Calidad de los gráficos
mixto
Calcula el mínimo común múltiplo de cada par de números.
Nivel de dificultad
Repaso
Pista de
alienígenas
Carrera de robots
Nivel de emoción
a.
El juego más emocionante es menos caro.
b.
El juego más difícil tiene gráficos de menor calidad.
c.
El juego menos difícil es más emocionante.
d.
El juego menos caro tiene mejores gráficos.
e.
El juego con mejores gráficas es menos emocionante.
LECCIÓN 8.1
Ángulos 481
Mide tus
alrededores
V O C A B U L A R I O
perímetro
El perímetro de una figura
bidimensional es la distancia alrededor de
la figura. El perímetro de la figura a la
derecha es 10.8 cm.
2 cm
2 cm
2 cm
2 cm
2.8 cm
&
Piensa comenta
Describe tantos métodos como puedas para medir el perímetro del piso
de tu salón de clases.
¿Cuál de los métodos crees que proporciona la medida más precisa?
¿Cuál de los métodos crees que es el más práctico?
Investigación 1
M AT E R I A L E S
regla metrica
Calcula el perímetro
Para calcular el perímetro de un polígono simplemente sumas las longitudes
de sus lados.
Serie de problemas
A
Este es el plano de planta del segundo nivel de la escuela media de Millbury.
En el dibujo, cada centímetro equivale a 2 metros.
Sra. Chou
Sr. Pérez
Pasillo
Sra. Nagel
Sra. Stratton
Sr. Perotti
Escala: 1 cm = 2 m.
482 C A P Í T U L O 8
Geometría y medición
1.
Sin medir, menciona el salón de clases de quién crees que tiene el
mayor perímetro y explica por qué lo crees.
2.
Observa el plano de planta para el salón de la Sra. Nagel.
a.
¿Qué tipo de polígono es el salón de la Sra. Nagel?
b.
Calcula el perímetro del plano de planta de la Sra. Nagel en décimas
de centímetro. Después calcula el perímetro del salón real en metros.
3.
Calcula el perímetro del plano de planta de la Sra. Stratton en décimas
de centímetro. Después calcula el perímetro del salón real en metros.
4.
Observa el plano de planta del salón del Sr. Pérez.
5.
Datos
de
a.
¿Es un rectángulo el salón del Sr. Pérez? ¿Cómo lo sabes?
b.
Describe como calcular el perímetro del plano de planta del Sr. Pérez
haciendo sólo dos mediciones.
c.
Mide el perímetro del plano de planta del Sr. Pérez en décimas de
centímetro. Después calcula el perímetro del salón real en metros.
Para calcular el perímetro del plano de planta de la Sra. Chou, Althea
realizó las mediciones rotuladas a continuación. Ella afirma que éstas
son las únicas mediciones que necesita realizar.
3.5 cm
interés
Muchos colegios
universitarios y
universidades ofrecen
clases por Internet,
permitiendo que los
alumnos reciban
créditos universitarios
( e inclusive un título
universitario) sin poner
pie en un salón de
clases.
0.6 cm
1 cm
Sra. Chou
4 cm
6.
a.
¿Está en lo correcto Althea? De ser así, explica como calcular el
perímetro del salón de la Sra. Chou usando sólo estas mediciones. Si
no lo está, menciona qué otras mediciones necesitarías.
b.
Calcula el perímetro del plano de planta de la Sra. Chou en décimas
de centímetro. Después calcula el perímetro del salón real en metros.
¿Qué maestro tiene en su salón de clases el piso con el mayor perímetro? ¿Cuál es el perímetro?
LECCIÓN 8.2
Mide tus alrededores 483
En la Serie de problemas A, probablemente te percataste que podrías calcular
el perímetro de un rectángulo sin medir cada lado. Esto se debe a que los
lados opuestos de un rectángulo tienen la misma longitud. Si mides la longitud y el ancho de un rectángulo, podrás calcular el perímetro al usar
cualquiera de dos reglas:
Suma la longitud y el ancho y duplica el resultado.
Duplica la longitud, duplica el ancho y suma los resultados.
Si usas P para representar el perímetro y L y W para la longitud y el ancho,
puedes escribir estas reglas en símbolos.
Las reglas geométricas expresadas usando símbolos, como los anteriores, se
llaman frecuentemente fórmulas.
Perímetro de un rectángulo
P 2 (L W)
P 2L 2W
En estas fórmulas, P es el perímetro, L y W la longitud y el ancho
respectivamente.
Serie de problemas
B
1.
Usa una de las fórmulas de perímetro para calcular el perímetro de un
rectángulo con longitud de 5.7 metros y ancho de 2.9 metros.
2.
El piso de una habitación rectangular tiene un perímetro de 42 pies.
¿Cuáles son tres posibilidades para las dimensiones del piso?
3.
Un piso cuadrado tiene un perímetro de 32.4 metros. ¿De qué tamaño
son los lados del piso?
4.
Escribe una fórmula para el perímetro de un cuadrado, que utilice P
para representar el perímetro y s para representar la longitud de un lado.
Explica por qué funciona tu fórmula.
Este plano de planta es del auditorio
de la escuela secundaria Marshville.
Dado que parte del piso es curvo, es difícil
calcular el perímetro usando sólo una regla.
Podrías usar una cinta métrica o un trozo de
cordón para calcular la longitud de la parte
curva. Otro método es usar un polígono para
aproximar la figura del piso.
484 C A P Í T U L O 8
Geometría y medición
Escala: 1 cm 5 m
E J E M P L O
Luke dibujó un pentágono para aproximar la forma del piso:
2.3 cm
1.9 cm
2.3 cm
2.1 cm
2.3 cm
Escala: 1 cm 5 m
Después calculó el perímetro del pentágono:
2.3 2.3 2.3 1.9 2.1 10.9 cm
M AT E R I A L E S
• copias del piso del
auditorio
• cordón
• regla
Serie de problemas
1.
C
Puedes obtener una aproximación más acertada que la de Luke si usas
un polígono con más lados.
a.
Prueba con un hexágono (un polígono con seis lados) para aproximar
la forma del plano de planta. ¿Qué estimación del perímetro obtienes
usando un hexágono?
b.
¿Es el perímetro real mayor o menor que tu estimación? Explica.
c.
Ahora prueba con un heptágono (un polígono con siete lados) para
aproximar la forma del plano de planta. ¿Qué estimación del
perímetro obtienes usando un heptágono?
d.
¿Es el perímetro real mayor o menor que tu estimación? Explica.
e.
Usa un polígono de más de siete lados para hacer otra estimación.
¿Cuál es tu estimación?
2.
Enrolla un trozo de cordón alrededor del plano de planta. Trata de mantener el cordón tan cerca de los lados del plano de planta como sea posible. Después marca el cordón para indicar la longitud del perímetro y
mide la longitud del cordón hasta la marca. ¿Cuál es la estimación del
perímetro?
3.
¿Cuál de tus estimaciones crees que sea la más precisa? Explica.
LECCIÓN 8.2
Mide tus alrededores 485
&
Comparte
resume
Escribe un párrafo comentando lo que sabes acerca de cómo calcular el
perímetro de figuras bidimensionales. Asegúrate de comentar sobre
• polígonos y no polígonos
• mediciones con reglas y mediciones con cordón
• fórmulas
Investigación 2
Aproxima
En la última investigación, calculaste perímetros de polígonos y estimaste
perímetros de una figura con lados curvos. En esta investigación, te enfocarás
a círculos.
V O C A B U L A R I O
cuerda
circunferencia
diámetro
radio
El perímetro de un círculo se llama su circunferencia. Aunque puedes estimar la circunferencia de un círculo usando un cordón o aproximando con
polígonos, hay una fórmula para calcular la circunferencia exacta. Antes de
comenzar a pensar en la circunferencia, necesitas aprender algunas palabras
útiles para describir círculos.
Una cuerda es un segmento que conecta dos puntos en un círculo. El
diámetro es una cuerda que pasa a través del centro del círculo. El diámetro
Cuerda
también se refiere a la distancia a
a través de un círculo que cruza su
centro. El radio es un segmento del
centro a un punto en el círculo. El
Diámetro
radio también se refiere a la distancia
Radio
del centro a un punto en el círculo.
&
Piensa comenta
¿Son todas las cuerdas de un círculo de la misma longitud? Si no,
¿cuáles son las más largas?
¿Son todos los diámetros de un círculo de la misma longitud? ¿Son
todos los radios de la misma longitud?
Escribe una regla para la relación entre el radio de un círculo r y su
diámetro d.
486 C A P Í T U L O 8
Geometría y medición
Esta cita de la novela Contacto por Carl Sagan menciona la relación entre la
circunferencia y el diámetro de cualquier círculo:
En cualquier galaxia en la que te pudieras encontrar,
tomas la circunferencia, la divides entre su diámetro,
la mides lo suficientemente cerca y descubres un milagro.
En la siguiente Serie de problemas, examinarás la relación que describe
Sagan:
M AT E R I A L E S
• 5 objetos con
caras circulares
(por ejemplo, un
CD, una lata de
café, un rollo de
cinta, un plato y
una moneda de
cinco centavos)
• cordón o cinta
métrica
• regla
• tijeras
Serie de problemas
D
Para esta Serie de problemas, tu grupo necesitará cinco objetos con caras circulares.
1.
Sigue estos pasos para cada objeto:
• Usa un cordón o una cinta métrica para aproximar la circunferencia
del objeto.
• Traza la cara circular del objeto. Corta el trazado y dóblalo por la
mitad para formar un pliegue a lo largo del diámetro del círculo. Mide
el diámetro.
Objeto
Circunferencia, C
Diámetro, d
Anota tus mediciones en una tabla como esta:
2.
¿Ves una relación entre la circunferencia y el diámetro de cada círculo?
De ser así, descríbela.
3.
La cita de Contacto menciona la división de la circunferencia entre su
diámetro. Añade una columna a tu tabla que muestre el cociente
C d para cada objeto. Describe cualquier patrón que veas.
4.
En el tablero, anota los valores de C d que calculó tu grupo. ¿En qué
se diferencian tus resultados con los de otros grupos?
5.
¿Depende el valor C d del tamaño del círculo? Explica.
LECCIÓN 8.2
Mide tus alrededores 487
Sea cual sea el tamaño de un círculo, la circunferencia dividida entre el
diámetro siempre tiene el mismo valor. Probablemente descubriste que este
cociente es un poco más de 3. El valor exacto es un número decimal cuyos
dígitos nunca terminan o se repiten. A este valor se le dio el nombre especial
“pi” y se representa por la letra griega .
Datos
de
interés
Los números decimales
que nunca terminan o
se repiten se llaman
números irracionales.
Los números enteros,
fracciones y los decimales con los que trabajaste hasta este
punto se llaman
números racionales.
C d, donde C es la circunferencia de un círculo y d es el diámetro.
Dado que los dígitos de nunca terminan o se repiten, es imposible escribir
su valor numérico exacto. El número 3.14 se usa a menudo como una aproximación de . Puedes presionar la tecla π en tu calculadora para obtener
una aproximación más exacta.
Si comienzas con la ecuación de división C d, puedes escribir la
ecuación de multiplicación relacionada: C d. Esta es la fórmula para
calcular la circunferencia C de un círculo cuando conoces su diámetro d.
Circunferencia de un círculo
Datos
de
Cd
En esta fórmula, C es la circunferencia y d es el diámetro. Dado que el
diámetro de un círculo es el doble del radio r, también puedes escribir la
fórmula de estas maneras:
interés
Cuando se multiplica
por un número o una
variable, puedes escribir
la fórmula sin usar un
signo de multiplicación:
C d o C 2r
C2r
C2r
Dado que el radio de este círculo es 2.5 cm,
el diámetro es 5 cm. De manera que,
Cd
5
2.5 cm
La circunferencia exacta del círculo es 5 cm. Aunque no puedas escribir la
circunferencia como un valor numérico exacto, puedes usar la tecla π en tu
calculadora para hallar una aproximación.
C 5 cm 15.71 cm
El símbolo significa “aproximadamente igual a”.
488 C A P Í T U L O 8
Geometría y medición
Serie de problemas
E
Para esta Serie de problemas, usa la tecla π de tu calculadora para aproximar π (Si tu calculadora no tiene la tecla , usa 3.14 para la aproximación de π.) Escribe tu respuesta en centésimas.
1.
Calcula la circunferencia de un círculo con diámetro de 9 centímetros.
2.
Una piscina circular tienen una circunferencia de aproximadamente 16
metros. ¿Cuál es el diámetro de la piscina?
3.
Calcula la circunferencia de este círculo:
10 14 pulg
Datos
de
interés
La Tierra no es perfectamente redonda. El
borde meridional se
abulta un poco, creando una leve figura de
pera. Sin embargo, los
datos recogidos por
satélites indican que la
Tierra está gradualmente redondeándose
a sí misma.
4.
El radio de la Tierra en el ecuador es alrededor de 4,000 millas.
a.
b.
Supón que pudieras enrollar un cordón
alrededor del ecuador de la Tierra. ¿Qué
longitud deberá tener el cordón para
alcanzar a rodearla toda? (Supón que
el ecuador es un círculo perfecto.)
4,000 millas
Ahora supón que pudieras levantar el
cordón 1 milla por encima de la superficie
de la Tierra. ¿Qué cantidad de cordón
tendrías que añadir a tu trozo de la
Parte a para poder rodear todo?
1 milla
4,000 millas
&
Comparte
resume
Explica lo que es en tus propias palabras. Asegúrate de comentar sobre
• cómo se relaciona con los círculos
• su valor aproximado
LECCIÓN 8.2
Mide tus alrededores 489
Ejercicios por tu cuenta
&
aplica
Practica
Deportes En los Ejercicios 1 al 3,
usa este diagrama de un
campo de béisbol.
Jardín
1.
2.
3.
Recuerda
1 milla 5,280 pies
490 C A P Í T U L O 8
Considera el
diamante de
béisbol de este
diagrama.
Cuadro de juego
Diamante
a.
Calcula el perímetro del
diamante en 14 de pulgada.
b.
Un diamante de béisbol real es
un cuadrado con lados de 90 pies
de largo. ¿Cuál es el perímetro de un diamante de béisbol real?
c.
¿Aproximadamente cuántas veces el perímetro del diamante de
béisbol del diagrama es el perímetro de un diamante de béisbol real?
Rosita aproximó el perímetro del cuadro
de juego usando un cuadrilátero. Ella
calculó un perímetro de casi 5 18
pulgadas.
Diamante
a.
Copia la figura del cuadro de
juego. Usa un polígono con más
de cuatro lados para calcular una
mejor aproximación del perímetro del
cuadro de juego. Realiza todas las
mediciones en 18 de pulgada.
b.
¿En qué se parece tu aproximación a la de Rosita?
Cuadro
de juego
Supón que el entrenador le pide a un jugador que corra cinco vueltas
alrededor del campo entero de béisbol (incluyendo el jardín) permaneciendo tan cerca del borde exterior como sea posible.
a.
Mide el perímetro del campo del diagrama en la parte superior de
esta página en 18 de pulgadas.
b.
Si 1 pulgada en el diagrama representa aproximadamente 100 pies en
el campo real, ¿cuántas millas correrá el jugador en sus cinco vueltas
alrededor del campo?
Geometría y medición
impactmath.com/self_check_quiz
4.
Datos
de
interés
La biblioteca del
Congreso, fundada en
1800 en Washington,
DC, está considerada
como una de las más
grandiosas bibliotecas
nacionales. Además de
15, 000,000 libros,
alberga colecciones
impresionantes de
manuscritos, música,
impresos y mapas.
&
amplía
Conecta
Este es el plano
de planta de la
biblioteca
Harperstown.
¿Cuál es el
perímetro del
piso?
10 pies
10 pies
5 pies
23 pies
17.3 pies
5.
Proporciona las dimensiones de cinco rectángulos que tengan un
perímetro de 50 pies.
6.
Calcula la circunferencia de un círculo con diámetro de 7 metros.
Redondea tu respuesta en centésimas.
7.
Calcula la circunferencia de un círculo con radio de 4.25 pulgadas.
Redondea tu respuesta en centésimas.
8.
La circunferencia de un neumático es de 150 pulgadas. ¿Cuál es el radio
del neumático? Redondea tu respuesta en centésimas.
9. Reto
10.
El radio de la rueda de la bicicleta de Jahmal es de 2 pies.
a.
Si recorre 18.9 pies, ¿cuántas vueltas completas dará la rueda?
b.
Si la rueda en la bicicleta de Jahmal dio 115 vueltas, ¿cuántos pies
recorrió Jahmal? ¿Aproximadamente cuántas millas es esto?
c.
Si Jahmal recorre 20 millas, ¿cuántas veces dará vueltas su rueda?
Dos figuras se anidan
cuando una está completamente dentro de la otra.
Figura externa
Figura interna
a.
Dibuja dos figuras están
encajadas de manera que la
figura externa tenga un
perímetro mayor que la figura interna. Proporciona los perímetros de
ambas figuras.
b.
Dibuja dos figuras encajadas de manera que la figura interna tenga un
perímetro mayor que la figura externa. Proporciona los perímetros de
ambas figuras.
c.
Dibuja dos figuras encajadas de manera que la figura externa tenga el
mismo perímetro que la figura interna. Proporciona los perímetros de
ambas figuras.
d.
Observa tus figuras de la Partes a, b y c. En cada caso, ¿qué figura
tiene más espacio dentro: la figura interna o la figura externa? ¿Cómo
lo sabes?
LECCIÓN 8.2
Mide tus alrededores 491
11. Bellas artes
El artista M. C. Escher
a menudo incorpora matemáticas en
su trabajo de arte. Muchas de sus
obras conocidas son teselados. Un
teselado es un diseño hecho de
figuras idénticas que se
ensamblan sin huecos o
traslapes.
Viñeta de peces © 1996 M. C. Escher Herís/Cordon ArtBaarn-Holanda. Todos los derechos reservados.
Una manera de hacer una figura que forme un teselado es cortar un rectángulo en dos partes y deslizar una de las piezas al otro lado.
Figura original
Figura nueva
a.
Calcula el perímetro de la figura original anterior.
b.
Traza la figura nueva y estima el perímetro usando una aproximación
del polígono o un trozo de cordón.
c.
Cuando una figura nueva se forma a partir de la original, el espacio
dentro de la figura, el área, permanece igual, pero el perímetro cambia. Explica por qué sucede esto.
12. Deportes
Este es un diagrama
del carril exterior de la pista de la
escuela secundaria Albright. El carril
se forma con dos segmentos rectos y
dos semicírculos (mitad de círculos).
Si una alumna corre una vuelta
alrededor de la pista en este carril,
¿cuántas yardas correrá?
492 C A P Í T U L O 8
Teselado
Geometría y medición
100 yardas
76 yardas
13.
Caroline enrolló un trozo de cordón alrededor de la circunferencia de un
círculo con diámetro de 23 pulgadas. Ella cortó el cordón a la longitud
de la circunferencia y después formó un rectángulo con el cordón.
Proporciona las dimensiones aproximadas de tres rectángulos que ella
pueda hacer.
14.
Un círculo con un radio de 6.5 pulgadas se corta en cuatro cuñas y se
reorganizan para formar otra figura.
En t u s
propias
palabras
Describe lo que es
el perímetro y
cómo calcularlo
para varias figuras. Proporciona
un ejemplo de una
situación en la
cuál sea útil calcular el perímetro de
una figura.
Repaso
mixto
6.5
pulg
¿Cambia el perímetro? ¿Cómo lo sabes? Si cambia, ¿cuánto aumenta o
disminuye?
Calcula el máximo común divisor para cada par de números
15.
14 y 21
16.
17 y 51
17.
54 y 24
18.
13 y 5
19.
100 y 75
20.
32 y 36
Escribe una regla para cada relación entre p y q.
21.
p
q
22.
23.
2
3
4
5
6
7
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
p
q
14
6
8.35
8
12
9
9
1
3.35
3
7
4
p
2
2
3
7
3
10
1
q
4
0
19
7
28
1
24. Estadística
Jing llevó un registro del tiempo (en minutos) de cada llamada telefónica que hizo la semana pasada. Estos son los resultados:
7
37
3
15
19
22
24
32
29
35
54
12
18
18
21
15
25
22
a.
Traza un histograma de los tiempos de las llamadas telefónicas. Usa
intervalos de 10 minutos en el eje horizontal.
b.
Describe la distribución de los tiempos de las llamadas telefónicas.
LECCIÓN 8.2
Mide tus alrededores 493
Áreas y cuadrados
V O C A B U L A R I O
área
Ya sabes que el perímetro de una figura bidimensional es la distancia alrededor de la figura. El área de una figura bidimensional es la cantidad de espacio
dentro de la figura.
M AT E R I A L E S
Explora
• copias de dos
figuras
• tijeras
Considera estas figuras:
Datos
de
Figura 1
interés
La figura 1 se formó
con piezas de un
tangrama. Un tangrama
es un rompecabezas
chino que consta de
cinco triángulos, un
cuadrado y un rombo
(un cuadrilátero con
cuatro lados iguales)
que pueden colocarse
juntos para formar
varias figuras.
Figura 2
¿Cuál figura crees que es más grande? Es decir, ¿cuál figura crees que
tiene el área mayor?
Recorta la figura 1 a lo largo de las rectas y reorganiza las piezas para
formar un cuadrado. Haz lo mismo con la figura 2.
De los dos cuadrados que hiciste, ¿cuál tiene el área más grande?
¿Cómo puedes saberlo?
¿Tienen las figuras originales las mismas áreas que los cuadrados? Explica
tu respuesta .
Al determinar que figura tiene el área mayor, ¿es más fácil comparar las
figuras originales o los cuadrados? ¿Por qué?
Los cuadrados son la unidad básica que se usa para medir áreas. En esta
lección, observarás detenidamente las áreas de cuadrados y una operación
especial asociada con las áreas de los cuadrados.
494 C A P Í T U L O 8
Geometría y medición
Investigación 1
Cuenta unidades cuadradas
El área se mide en unidades cuadradas, como pulgadas cuadradas y centímetros cuadrados. Una pulgada cuadrada es el área dentro de un cuadrado
con lados de 1 pulgada de largo. Un centímetro cuadrado es el área dentro
de un cuadrado con lados de 1 centímetro de largo.
1 pulg
1 pulg
1 cm
1 cm
1 pulg cuadrada
1 centímetro cuadrado
El área de una figura es el número de unidades cuadradas que caben dentro
de esta.
Área 8 centímetros cuadrados
M AT E R I A L E S
Tarjetas cuadradas
de 1 pulgada
Serie de problemas
A
1.
Usa tus tarjetas cuadradas para crear dos rectángulos con perímetro de
12 pulgadas pero de áreas diferentes. Dibuja tus rectángulos y rotúlalos
con sus áreas.
2. Ahora crea dos rectángulos con áreas de 12 pulgadas cuadradas pero
perímetros diferentes. Dibuja tus rectángulos y rotúlalos con sus
perímetros.
3.
Ahora usa tus tarjetas cuadradas para
crear esta figura:
a. Calcula el perímetro y el área de la
figura. (No olvides dar las unidades.)
b. Mueve una tarjeta cuadrada para crear una figura con un perímetro
más pequeño. Dibuja la figura nueva y proporciona su perímetro.
¿En qué se diferencia el área de la figura nueva al área original?
c. Reconstruye la figura original. Mueve una tarjeta cuadrada para crear
una figura con un perímetro más grande. Dibuja la figura nueva y
proporciona su perímetro. ¿En qué se diferencia el área nueva del
área original?
4. Usa tus tarjetas cuadradas para crear dos figuras nuevas para que la
figura con el área más pequeña tenga el mayor perímetro. Dibuja tus
figuras y rotúlalas con sus perímetros y áreas.
LECCIÓN 8.3
Áreas y cuadrados 495
M AT E R I A L E S
Serie de problemas
B
papel de puntos
Las siguientes figuras están dibujadas en cuadrículas punteadas. Calcula el
área de cada figura. Considera que la distancia horizontal o vertical entre dos
puntos es 1 unidad.
1.
2.
3.
4.
En los Problemas 5 al 8, dibuja la figura conectando los puntos en una hoja
de papel de puntos de 1 pulgada.
5.
un cuadrado con un área de 4 pulgadas cuadradas
6.
un rectángulo con un área de 2 pulgadas cuadradas
7.
una figura con un área de al menos 15 pulgadas cuadradas y un
perímetro de no más de 25 pulgadas
8. Reto
un cuadrado con un área de 2 pulgadas cuadradas
Calcula el área de cada figura.
9.
10.
7 pulg
1
2
millas
1
2
7 pulg
11.
12.
50 cm
millas
2 pulg
1 pulg
4
70 cm
13.
496 C A P Í T U L O 8
Si conoces la longitud y el ancho de un rectángulo, ¿cómo puedes
calcular el área del rectángulo sin contar los cuadrados?
Geometría y medición
No siempre es fácil o conveniente calcular el área de una figura contando los
cuadrados. Afortunadamente, hay atajos para algunas figuras.
Para calcular el área de un rectángulo, solamente multiplica la longitud por el
ancho.
Área de un rectángulo
ALW
En esta fórmula, A representa el área de un rectángulo y L y W representan la longitud y el ancho, respectivamente.
M AT E R I A L E S
papel de puntos o
papel cuadriculado
&
Piensa comenta
En el papel de puntos o cuadriculado, dibuja un rectángulo con longitudes laterales de 5 unidades y 712 unidades.
Usa la fórmula anterior para calcular el área de tu rectángulo. Verifica
que tu respuesta esté correcta contando los cuadrados.
M AT E R I A L E S
• página de un
periódico
• regla numérica
Serie de problemas
1.
En la página de tu periódico,
dibuja rectángulos alrededor de
los detalles más importantes
(fotografías y arte, anuncios,
artículos y encabezados).
a.
Datos
de
interés
El primer periódico exitoso en Estados
Unidos fue el
Pennsylvania Packet &
General Advertiser, que
se imprimió por primera
vez el 21 de septiembre
de 1784.
2.
C
Mide los lados de cada rectángulo en décimas de centímetro.
b.
Calcula el área de cada
rectángulo.
c.
Calcula el área de la
página entera.
fotografías y arte?
b.
anuncios?
c.
artículos?
d.
encabezados?
The
TIMES
El tiempo de hoy
Seattle
70
Bismarck
Billings
Boston
Minneapolis
New York
Detroit
80
Omaha
90
Chicago
Cleveland
Washington, D.C.
Salt
Lake
City
San Francisco
SECCIÓN
B4
Denver
St. Louis
Los Ángeles
Birmingham
100 Phoenix
Atlanta
Dallas
Houston
Frente
cálido
Frente
frío
Frente
estacionario
Depresión
Lluvias
New Orleans
Miami
Tormentas
GÁNALE al CALOR
OFERTA
¡LLAME HOY!
STEVENS
Neumáticos y baterías
Alquiler de Autos
¿Qué porcentaje de tu página
de periódico se utilizó para
a.
Continúan las altas temperaturas para la mayor parte del país – ver B5
de
En la historia del tiempo...
LECCIÓN 8.3
Haley
555-AUTO
Áreas y cuadrados 497
&
&
Summarize
resume
Share
Comparte
Give an example
of something
youmedirías
would measure
in inches
1. Proporciona
un ejemplo
de algo que
en pulgadas
y un
and
an example
of something
youenwould
measure
in square inches.
ejemplo
de algo
que medirías
pulgadas
cuadradas.
If one
shape tiene
has aun
greater
areagrande
than another,
it also
2. Si
una figura
área más
que otra,must
¿deberá
éstahave
tenera
greater perimeter?
Explain
illustrate
your answer.
también
un perímetro
mayor?orExplica
o ilustra
tu respuesta.
Describedos
twomaneras
ways todefind
the area
of ade
rectangle.
3. Describe
calcular
el área
un rectángulo.
Investigación 2
Eleva al cuadrado
Recuerda que un exponente te indica cuántas veces se multiplica un número
por sí mismo. Puedes escribir el producto de un número multiplicado por sí
mismo al usar el exponente 2:
5 5 52
Multiplicar un número por sí mismo se llama elevar el número al cuadrado.
La expresión 52 puede leerse “5 al cuadrado”.
M AT E R I A L E S
papel de puntos
&
Piensa comenta
Evalúa 52. Después, en una hoja de papel de puntos, dibuja un cuadrado
con un área igual a esas tantas unidades cuadradas.
¿De qué tamaño es cada lado del cuadrado?
¿Por qué crees que 52 se lee “5 al cuadrado”?
Puedes usar la tecla x en tu calculadora para elevar un número al cuadrado.
Para calcular 52, presiona estas teclas:
2
5
x2
ENTER
=
El exponente 2 a menudo se usa para abreviar la medida en unidades
cuadradas. Por ejemplo, centímetro cuadrado se puede abreviar cm2 y
pulgada cuadrada puede abreviarse pulg2.
498 C A P Í T U L O 8
Geometría y medición
Serie de problemas
D
Completa los espacios en blanco. Éste es un ejemplo:
2 pulg
Área 2
2 pulg
1.
2
pulg2 4
pulg2
13 pies
13 pies Área 2
pies2 pies2
2. 1.25 cm
1.25 cm
3.
7
4
cm2 cm2
pulg2 pulg2
2
pulg
7
4
4.
Área pulg Área 2
Escribe una fórmula para calcular el área A de un cuadrado si conoces la
longitud lateral s. Usa un exponente en tu fórmula.
Calcula el área de un cuadrado con una longitud lateral dada.
5.
1 pulg
1
6. 3
pulg
7.
19 cm
Calcula la longitud lateral de un cuadrado con un área dada.
8.
144 pies2
9.
10,000 pulg2
10.
53.29 cm2
En la siguiente Serie de problemas, revisarás los cuadrados que se pueden
hacer con tarjetas cuadradas.
LECCIÓN 8.3
Áreas y cuadrados 499
Serie de problemas
M AT E R I A L E S
• tarjetas cuadradas
de 1 pulgada
• papel de puntos de
1 pulgada
E
1.
Calcula cada cuadrado que pueda formarse a partir de 100 tarjetas o
menos. Proporciona la longitud lateral y área de cada cuadrado.
2.
¿Es posible formar un cuadrado de 20 tarjetas? De ser así, explica
cómo. De no serlo, explica por qué no.
3.
¿Es posible formar un cuadrado de 625 tarjetas? De ser así, explica
cómo. De no serlo, explica por qué no.
Miguel trató de formar un cuadrado con un área de 8 pulg2
usando tarjetas. Después de varios intentos, dijo: “No creo que pueda
formar este cuadrado usando mis tarjetas. Pero sé que puedo hacerlo
en un papel de puntos”.
4. Reto
En papel de puntos, dibuja un cuadrado con un área de 8 pulg2.
5.
¿Cómo puedes saber si un número específico de tarjetas puede formar
un cuadrado sin realmente hacer el cuadrado?
V O C A B U L A R I O
cuadrado perfecto
Un número es un cuadrado perfecto si es igual a un número entero
multiplicado por sí mismo. En otras palabras, un cuadrado perfecto es el
resultado de elevar al cuadrado un número entero.
Número entero al cuadrado
Cuadrado perfecto
12
1
22
4
32
9
44
16
52
25
Geométricamente, un cuadrado perfecto es el área de un cuadrado con
longitudes laterales iguales a un número entero. En la Serie de problemas E,
los cuadrados perfectos fueron el número de tarjetas que podían formar
cuadrados.
Serie de problemas
F
1.
Calcula tres cuadrados perfectos mayores que 1,000.
2.
¿Es 50 un cuadrado perfecto? Explica tu respuesta.
Indica si cada número es un cuadrado perfecto y explica cómo lo sabes.
500 C A P Í T U L O 8
3.
3,249
7.
Determina dos cuadrados
perfectos cuya suma sea
también un cuadrado
perfecto.
8.
Determina dos cuadrados
perfectos cuya suma no sea
un cuadrado perfecto.
Geometría y medición
4.
9,196.81
5.
12,225
6.
184,041
&
Comparte
resume
1. ¿Cómo
se relaciona la idea de elevar al cuadrado un número con el
área de un cuadrado?
2. ¿Puede
cualquier número elevarse al cuadrado? Explica tu respuesta.
3. ¿Puede
cualquier número ser un cuadrado perfecto? Explica tu
respuesta.
Investigación 3
Más sobre elevar al cuadrado
Elevar al cuadrado es una operación, tal como la adición, la sustracción, la
división y la multiplicación. En el Capítulo 1, aprendiste sobre el orden de las
operaciones, una regla que especifica el orden en el que deberán realizarse las
operaciones en una expresión. A continuación, la regla se ha extendido para
incluir cuadrados y otros exponentes.
Orden de las operaciones
• Evalúa las expresiones dentro de cada paréntesis y arriba y debajo de
las barras de fracción.
• Evalúa todos los exponentes, incluyendo los cuadrados.
• Realiza multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.
• Realiza sumas y restas de izquierda a derecha.
&
Piensa comenta
Evalúa cada expresión.
2 112
(2 11)2
Explica cómo el orden en el que realizaste las operaciones es diferente
para las dos expresiones.
LECCIÓN 8.3
Áreas y cuadrados 501
Serie de problemas
Datos
de
G
1.
¿Tiene (3 5)2 el mismo valor que 32 52? Explica.
2.
¿Tiene (5 3)2 el mismo valor que 52 32? Explica.
3.
¿Es (5 x)2 equivalente a 52 x2? Explica.
4.
Esta ecuación no es verdadera:
2 5 22 112 23
a.
interés
El matemático, filósofo
y científico francés,
René Descartes, quien
también inventó el sistema de coordenadas
cartesiano, introdujo la
convención para usar la
elevación a exponentes.
Demuestra que la ecuación anterior no es verdadera calculando el
valor a cada lado.
b. Reto
Coloca un par de paréntesis en la ecuación para hacerla verdadera. Demuestra que tu ecuación es verdadera calculando el valor a
cada lado.
5.
Considera los cuatro dígitos del año en que naciste. Escribe por lo
menos tres expresiones usando esos cuatro dígitos y cualquier combinación de paréntesis, elevación al cuadrado, adición, sustracción, multiplicación y división. Usa cada dígito sólo una vez en una expresión.
Evalúa cada expresión.
En la siguiente Serie de problemas, compararás la elevación al cuadrado con
la duplicación.
Serie de problemas
H
En esta Serie de problemas, tú y tu compañero jugarán el juego Cuadrado al
millón. El objetivo del juego es acercar un número tanto como sea posible a 1
millón, sin pasarse, usando sólo la operación de elevar al cuadrado.
Las reglas del juego son las siguientes:
• El jugador 1 introduce un número mayor que 1 en la calculadora.
• Comenzando con el jugador 2, los jugadores se turnan para decidir si
continuar o terminar el juego. En cualquier caso, el jugador declara su
decisión y después presiona la tecla x = .
2
ENTER
—Si el jugador decide continuar el juego y el resultado es mayor que
o igual a 1 millón, el jugador pierde la ronda. Si el resultado es
menor que 1 millón, es el turno del otro jugador.
—Si el jugador decide terminar el juego y el resultado es mayor que o
igual a 1 millón, el jugador gana. Si éste es menor que 1 millón, el
jugador pierde.
Juega seis juegos con tu compañero, intercambiando papeles para cada ronda.
502 C A P Í T U L O 8
1.
Cuando te tocó a ti, ¿cómo decidiste si continuabas o terminabas el
juego?
2.
¿Cuál es el mayor número entero cuyo cuadrado es menor que 1 millón?
Geometría y medición
3.
¿Cuál es el mayor número entero con el que podrías comenzar,
presionar x dos veces y obtener un número menor que 1 millón?
2
4.
¿Cuál es el mayor número entero con el que podrías comenzar,
presionar x tres veces y obtener un número menor que 1 millón?
2
5.
¿Cuál es el mayor número entero con el que podrías comenzar,
presionar x cuatro veces y obtener un número menor que 1 millón?
2
6.
¿Qué pasaría si comenzaras el juego con un número positivo menor o
igual a 1?
7.
Imagina que juegas el juego Dobla a un millón, en el que duplicas un
número en la calculadora en lugar de elevarlo al cuadrado. Si comienzas
con un número específico, ¿cuántas veces tendrás que duplicarlo hasta
que produzcas un número mayor que o igual a 1 millón?
a.
8.
50
b.
5
c.
1
d.
0.5
Para cada parte del Problema 7, describe lo que pasaría si elevas
repetidamente el resultado al cuadrado en lugar de duplicarlo.
&
Comparte
resume
1.
Escribe una expresión que incluya paréntesis, elevar al cuadrado y al menos otras dos
operaciones. Explica cómo usar el orden de las operaciones para evaluar tu expresión.
2.
Copia la tabla y completa la información que falta. La primera fila se completó por ti.
Número
Entre 0 y 1
Duplícalo
¿Es el resultado
mayor que,
menor que o
igual al número
original?
mayor que
Elévalo al cuadrado
¿Es el resultado
mayor que,
¿Cuál te proporciona
menor que o
el mayor resultado:
igual al número
elevar al cuadrado
original?
o duplicar?
menor que
duplicar
1
Entre 1 y 2
2
Mayor que 2
LECCIÓN 8.3
Áreas y cuadrados 503
Investigación 4
V O C A B U L A R I O
operaciones
inversas
Extrae raíces cuadradas
Dos operaciones que se “anulan” entre sí se llaman operaciones inversas. La
adición y la sustracción son operaciones inversas.
Suma 12 a 15 para obtener
27. Para anular la suma,
15
resta 12 de 27 para
obtener 15.
12
12
27 Resta 12 a 27 para obtener
15. Para anular la resta, suma
12 a 15 para obtener 27.
De manera parecida, la multiplicación y la división son operaciones inversas.
Multiplica 7 por 5 para
obtener 35. Para anular la
multiplicación divide 35
entre 5 para obtener 7.
5
7
5
35 Divide 35 entre 5 para obtener 7.
Para anular la división, multiplica
7 por 5 para obtener 35.
En esta lección, explorarás la operación que anula la elevación al cuadrado.
&
Piensa comenta
Luke elevó al cuadrado algunos números en su calculadora. Sus resultados
se muestran a continuación. En cada caso, calcula el número con que
comenzó.
V O C A B U L A R I O
raíz cuadrada
En cada parte de la sección Piensa & comenta, calculaste el número que
requieres elevar al cuadrado para obtener un número específico. El número
que calculaste es la raíz cuadrada del número original, la raíz cuadrada de
36 es 6.
La raíz cuadrada se muestra usando un signo radical, oo. Puedes pensar en
36 en cualquiera de estas maneras:
• el número que multiplicas por sí mismo para obtener 36: 6 6 36
• el número que elevas al cuadrado para obtener 36:
62 36
• la longitud lateral de un cuadrado con área 36:
36 cm2
6 cm
504 C A P Í T U L O 8
Geometría y medición
6 cm
Elevar al cuadrado y extraer la raíz cuadrada son operaciones inversas.
Recuerda
Cada número positivo
tiene tanto una raíz
cuadrada positiva
como una negativa.
Por ejemplo, la raíces
cuadradas de 36 son
6 y –6. En esta lección,
te enfocarás en las
raíces cuadradas
positivas.
Eleva al cuadrado 6 para
obtener 36. Para anular la
elevación al cuadrado,
extrae la raíz cuadrada
de 36 para obtener 6.
2
6
Serie de problemas
36 Extrae la raíz cuadrada de 36
para obtener 6. Para anular la
raíz cuadrada, eleva 6 al cuadrado
para obtener 36.
I
Completa los espacios en blanco. Aquí hay un ejemplo:
81 pulg2
Longitud lateral 81 pulg 9 pulg
1.
49 pies2
Longitud lateral pies pies
2.
2.25 cm 2
Longitud lateral cm cm
3.
121 yardas 2
4
4.
Longitud lateral yardas yardas
Jing dibujó un cuadrado con un área de 10 pulg2 en una hoja de papel
de puntos. Ella sabía que los lados del cuadrado debían ser de 10
pulgadas de largo. ¿Aproximadamente cuánto es esto? ¿Cómo lo sabes?
Área 10 pulg2
LECCIÓN 8.3
Áreas y cuadrados 505
No todos los números enteros tienen raíces cuadradas enteras. De hecho, los
números enteros que no son cuadrados perfectos tienen raíces cuadradas que
son decimales que nunca se terminan o se repiten. De modo que, solamente
puedes estimar los equivalentes decimales de números como 10 y 41.
Recuerda
E J E M P L O
Los números decimales
que nunca terminan o
se repiten se llaman
números irracionales.
En la Lección 8.2,
aprendiste sobre el
número irracional :
Luke estimó el equivalente decimal de 10.
10 está
entre 9 y 16,
de modo que
debe estar
entre 3 y 4.
3.14159265…
Como 10 se
acerca más a 9
que a 16, 10
debe acercarse
más a 3 que a 4.
Probaré 3.2.
2
3.2 = 10.24
Serie de problemas
9 =3
10 = ?
16 = 4
9 unid2
10 unid2
16 unid2
3.2 es muy grande, probaré 3.1.
3.12 = 9.61
Entonces, 10
está entre 3.1 y
3.2. Ésta debe
estar más cerca
de 3.2, porque
10.24 está
más cerca de
10 que 9.61.
Usaré 3.2 como
mi estimado.
J
Calcula los dos números enteros entre los que está cada raíz cuadrada dada.
No utilices tu calculadora.
506 C A P Í T U L O 8
1.
2
2.
75
3.
20
4.
¿Entre cuáles números está 26? Redondea en décimas. No utilices
tu calculadora.
5.
En el ejemplo, Luke estimó 10 con un decimal. Usa el método de
Luke para estimar 10 con dos decimales. Explica cada paso en tu
trabajo.
Geometría y medición
Tu calculadora tiene un comando para
calcular raíces cuadradas, al cual puedes
tener acceso oprimiendo
[4
]. Por
ejemplo, para calcular 4 oprime
[4
] 4 = .
x
2nd
ENTER
2nd
K
Serie de problemas
Usa tu calculadora para aproximar cada raíz cuadrada en centésimas.
Compara tus resultados con tus respuestas de la Serie de problemas J.
1.
2
5.
En este problema, observarás el resultado que te proporciona tu calculadora para 1,0
00.
2.
75
3.
4.
26
a.
Usa tu calculadora para aproximar 1,0
00. Escribe el resultado
exacto que muestra la pantalla. No borres la pantalla.
b.
Eleva al cuadrado el número en tu calculadora al presionar
¿Qué resultado te proporciona tu calculadora?
c.
Borra la pantalla de tu calculadora. Después introduce tu resultado de
la Parte a y presiona x = . ¿Qué resultado te da tu calculadora?
2
d.
6.
20
x2
ENTER
= .
ENTER
¿Por qué crees que tus resultados de las Partes b y c son diferentes?
Althea introdujo un número a su calculadora. Después ella presionó x
= repetidamente hasta que la calculadora mostró 43,046,721. ¿Cuál
pudo ser su número original? Enumera todas las posibilidades.
2
ENTER
7.
Supón que introduces un número positivo menor que 10 a tu calculadora
y presionas x = 5 veces. Después comienza con el resultado final y
obtienes la raíz cuadrada 5 veces. ¿Qué pasará? Explica por qué.
2
ENTER
&
Comparte
resume
1. Describe
la relación entre elevar al cuadrado un número y sacar su
raíz cuadrada.
2. Describe
un método para aproximar una raíz cuadrada sin usar tu
calculadora.
LECCIÓN 8.3
Áreas y cuadrados 507
Ejercicios por tu cuenta
&
aplica
Practica
1.
En papel de puntos o en papel cuadriculado, dibuja un rectángulo con
un área de 20 unidades cuadradas, longitudes laterales de números
enteros y el mayor perímetro posible. ¿Cuál es el perímetro de tu
rectángulo?
2.
En papel de puntos o en papel cuadriculado, dibuja un rectángulo con
un área de 20 unidades cuadradas, longitudes laterales de números
enteros y el menor perímetro posible. ¿Cuál es el perímetro de tu
rectángulo?
Estas figuras se dibujan en cuadrículas de puntos de un centímetro. Calcula el
área de cada figura.
3.
4.
5.
6.
Calcula el área de un rectángulo con longitud de 7.5 pies y ancho de
5.7 pies.
7.
Calcula la longitud de un rectángulo con ancho de 11 centímetros y el
área dada.
a.
165 centímetros cuadrados
8.
Calcula la longitud de un rectángulo con un área de 484 pulgadas
cuadradas y el ancho dado.
a.
10 pulgadas
9.
Un jardín cuadrado tiene un área de 289 pies cuadrados. ¿De qué
tamaño es cada lado del jardín?
10.
b.
b.
60.5 centímetros cuadrados
22 pulgadas
Si un rectángulo tiene un perímetro mayor que el otro, ¿también deberá
tener un área mayor? Explica tu respuesta.
Eleva cada número al cuadrado.
12.
9
13. 1
0
11.
14
15.
Enumera cinco cuadrados perfectos entre 100 y 500.
21.5
14.
0.3
Menciona si cada número es un cuadrado perfecto y explica cómo lo sabes.
16.
508 C A P Í T U L O 8
40
17.
Geometría y medición
81
18.
125
19.
256
impactmath.com/self_check_quiz
20.
Datos
de
interés
Antes del uso difundido de las calculadoras
portátiles, se usaban
las reglas de cálculo
para hacer cálculos
complejos, incluyendo
el cálculo y estimación
de raíces cuadradas.
Si un cuadrado tiene un área 30.25 pies cuadrados, ¿de qué tamaño es
cada lado?
Calcula el valor de cada expresión.
21.
5 32 2
25.
¿Tiene (1 3)2 el mismo valor que 12 32? Explica.
26.
¿Tiene (4 2)2 el mismo valor que 4 22? Explica.
27.
¿Tiene (11 7)2 el mismo valor que 112 72? Explica.
22.
2 (52 10)
23.
32 22
24.
2
7 63
28. Reto
Coloca un par de paréntesis en la siguiente ecuación para hacerla
verdadera. Demuestra que es verdadera calculando el valor de cada lado.
22 7 5 2 2 2 3 2 4
29.
Supón que juegas Cuadrado al millón. Escoges 5 como número inicial
y tu compañero lo eleva al cuadrado. Ahora es tu turno. ¿Deberías
continuar o terminar el juego? Explica.
30.
Supón que juegas Cuadrado al millón. Tu compañero selecciona como
número inicial 1,001. ¿Deberías continuar o terminar con el juego?
Explica.
En los Ejercicios 31 al 35, supón que introduces el número en una calculadora
y presionas x tres veces. Sin hacer ningún cálculo, menciona si el resultado
será menor que, mayor que o igual al número original.
2
2
32. 3
31.
0.75
33.
36.
Luke elevó al cuadrado un número y obtuvo 28,900. ¿Qué número elevó
al cuadrado?
37.
12
1
Jing elevó al cuadrado un número y obtuvo 25 . ¿Qué número elevó al
cuadrado?
38.
Calcula la longitud lateral de un patio de recreo que tiene un área de
1,521 yardas cuadradas.
39.
Sin usar tu calculadora, determina entre cuáles números enteros está
72.
40.
Sin usar tu calculadora, determina entre cuáles números enteros está
3.
41.
53 está entre 7 y 8. Sin usar tu calculadora, encuentra otros cinco
números enteros cuya raíz cuadrada esté entre 7 y 8.
42.
Sin usar tu calculadora, determina si 39 está más cerca de 6 ó de 7.
Explica cómo lo sabes.
43.
Sin usar una calculadora, aproxima 75 en décimas.
1
LECCIÓN 8.3
34.
1.5
35.
5
Áreas y cuadrados 509
&
amplía
Conecta
Datos
de
44.
La Sra. Johnson construyó este patio con
baldosas alrededor de una fuente cuadrada.
Las baldosas miden 1 pie en cada lado.
El patio se construyó con baldosas de color
blanco, verde claro, verde oscuro y azul.
a.
¿Cuál es perímetro total del patio?
(Agrega los perímetros interior y
exterior.)
b.
¿Cuál es el área del patio?
c.
Expresa en fracciones y en porcentaje la porción del patio que
representa cada color.
45.
Hannah quiere construir un área de juegos cercada para su conejo. Ella
tiene 30 pies de cerca. Da las dimensiones y el área de la zona de juegos
rectangular más grande que puede cercar.
46.
Cada uno de estos rectángulos tiene longitudes laterales de números
enteros y un área de 25 unidades cuadradas:
5
interés
La longitud de una
cancha de fútbol
puede variar de 100 a
130 yardas. El ancho
puede variar de 50 a
100 yardas. Entonces,
la menor área posible
es 100 50, ó 5,000
yardas cuadradas y
la mayor área posible
es 130 100, ó
13,000 yardas
cuadradas.
510 C A P Í T U L O 8
5
25
1
A continuación, se muestra el único rectángulo con longitudes laterales
de números enteros y área de 5 unidades cuadradas:
5
1
a.
¿Cuántos rectángulos distintos hay con longitudes laterales de
números enteros y un área de 36 unidades cuadradas? Da las dimensiones de cada rectángulo.
b.
Considera cada área con número entero de 2 a 30 unidades
cuadradas. ¿Para cuáles de estas áreas sólo hay un rectángulo con
longitudes laterales de números enteros?
c.
¿Qué tienen en común las áreas que encontraste en la Parte b?
d.
¿Para cuál área de 2 a 30 unidades cuadradas puedes hacer el mayor
número de rectángulos con longitudes laterales de números enteros?
Da las dimensiones de cada rectángulo que puedas hacer con esta
área.
Geometría y medición
47.
Althea elevó un número al cuadrado y el resultado fue el mismo número
con el que empezó. ¿Cuál número pudo haber elevado al cuadrado?
Menciona todas las posibilidades.
48.
Conor elevó un número al cuadrado y el resultado fue 10 veces el
número con el que empezó. ¿Cuál fue su número de inicio?
49.
Marcus elevó un número al cuadrado y el resultado fue menor que el
número con el que empezó. Da dos números posibles con los que pudo
haber empezado.
50.
En este ejercicio, explorarás lo que ocurre con el área de un cuadrado
cuando duplicas sus longitudes laterales.
51.
a.
Dibuja y rotula cuatro cuadrados de tamaños diferentes y calcula sus
áreas.
b.
Para cada cuadrado que dibujaste, dibuja un cuadrado con lados del
doble de longitud. Calcula las áreas de los nuevos cuatro cuadrados.
c.
Cuando duplicaste las longitudes laterales de tus cuadrados, ¿se
duplicaron también las áreas? Si no, ¿cómo cambiaron las áreas?
¿Por qué crees que pasó esto?
d.
Si duplicaras las longitudes laterales de un rectángulo que no sea un
cuadrado, ¿crees que se mantendría el mismo patrón? ¿Por qué?
e.
Si triplicaras las longitudes laterales de un cuadrado, ¿qué crees que
le ocurrirá al área? Prueba tu hipótesis con dos o tres cuadrados.
Melissa recibe $1.00 cada semana como mesada. Su hermano mayor
Owen recibe $1.50 cada semana. Su hermana pequeña Simona recibe
$0.75 cada semana. Los tres niños les han pedido a sus padres mesadas
más grandes. Sus padres les han dado estas opciones:
• Opción I: Añadir $0.50 a su mesada semanal actual.
• Opción II: Elevar al cuadrado su mesada semanal actual.
¿Qué opción debería escoger cada niño? ¿Por qué?
52.
Miguel elevó un número al cuadrado y obtuvo 390,625. Sin usar tu
calculadora, determina los dígitos posibles de su número original.
Explica.
53.
Rosita elevó un número al cuadrado y obtuvo 15,376. Sin usar tu
calculadora, determina los dígitos posibles de su número original.
Explica.
54.
Caroline elevó un número al cuadrado y obtuvo 284,089. Sin usar tu
calculadora, determina los dígitos posibles de su número original.
Explica.
LECCIÓN 8.3
Áreas y cuadrados 511
55.
En t u s
propias
palabras
¿Tiene 3
65
2 el mismo valor que 36 2
5? Explica.
3
6
36
57. ¿Tiene el mismo valor que ? Explica.
2
5
25
58. Economía La tienda de la escuela tiene una liquidación de dos días.
Si compras el jueves, el precio de venta de cualquier artículo es la raíz
cuadrada del precio original. Si compras el viernes, el precio de venta
de cualquier artículo es la mitad de su precio original.
56.
En las Partes a hasta la e, indica cuál día deberías comprar para obtener
el artículo al menor precio.
a.
b.
99
Explica cómo elevar al cuadrado y
sacar raíces
cuadradas para
números mayores
que 1 es diferente
que para números
menores que 1.
¿Tiene 3
6
5
2 el mismo valor que 36 2
5? Explica.
c.
1
2
d.
f.
512 C A P Í T U L O 8
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
e.
En general, ¿para qué precios ahorras más al sacar la raíz cuadrada?
¿Para qué precios ahorras más al obtener la mitad?
Geometría y medición
Repaso
mixto
Calcula la factorización prima de cada número.
59.
432
60.
224
61.
1,053
62.
935
63.
198
64.
736
65.
En la tienda Artículos para Arte de Art, cada caja de lápices de colores
contiene 12 lápices. Escribe una regla para el número de lápices p en b
cajas.
66. Economía
T.J. vende por teléfono suscripciones para revistas. Él gana
$50 por día, más $1.25 por cada suscripción que vende. Escribe una
regla para las ganancias diarias de T.J. d si vende s suscripciones.
67.
En la carrera de globos
aerostáticos de Spring Valley,
había 7 globos con rayas por
cada 6 globos de un solo color.
Escribe una regla para la
relación entre el número de
globos con rayas p y el número
de globos de un solo color s.
68. Economía
Una tienda tiene
una venta del 25% de descuento
en todo. Escribe una regla para
calcular el precio de venta s
de un artículo originalmente
valuado en d dólares.
Calcula la medida de cada ángulo.
69.
70.
71.
72.
LECCIÓN 8.3
Áreas y cuadrados 513
Calcula áreas
En la lección anterior, aprendiste que el área de una figura es el número de
unidades cuadradas que caben dentro de ésta.
M AT E R I A L E S
Explora
• papel cuadriculado
de 1 pulgada
• papel cuadriculado
de 21 pulgada
Pon una mano en una hoja de papel cuadriculado de 1 pulgada, con tus
dedos juntos. Traza alrededor de tu mano.
• Estima el área de tu mano trazada en pulgadas cuadradas contando
los cuadrados cuadriculados.
Ahora traza tu mano en papel cuadriculado de 12 pulgada.
• Estima del número de cuadrados dentro del trazo.
• En papel cuadriculado de 12 pulgada, cada cuadrado pequeño tiene
una longitud lateral de 12 pulgada. ¿Cuál es el área de cada cuadro
pequeño en pulgadas cuadradas?
• Usa las dos respuestas anteriores para hacer una estimación del área
de tu mano en pulgadas cuadradas.
Datos
de
¿Cuál estimación crees que es más exacta: la estimación basada en
una cuadrícula de 1 pulgada o la estimación basada en cuadrícula de
1 pulgada? ¿Por qué?
2
interés
El área de la palma de
tu mano es alrededor
de 1% del área de tu
piel. Los doctores usan
esta aproximación para
estimar el porcentaje
de la piel de una
persona afectada por
una quemadura u otro
problema. Se le conoce
como “la regla de
las palmas”.
514 C A P Í T U L O 8
Cuando quieres estimar el área de una
figura irregular como tu mano,
contar cuadros cuadriculados
es un método bastante bueno,
aunque toma tiempo. Para muchas
otras figuras, puedes usar
fórmulas para calcular
rápidamente el área. Ya
conoces las fórmulas para las
áreas de cuadrados y rectángulos. En
esta lección, explorarás fórmulas para áreas de
paralelogramos, triángulos y círculos.
Geometría y medición
Investigación 1
V O C A B U L A R I O
paralelogramo
Áreas de paralelogramos
Un paralelogramo es un cuadrilátero con lados opuestos que tienen la misma
longitud. El término paralelogramo se refiere al hecho de que los lados
opuestos son paralelos, es decir, nunca se intersecan sea cual sea su extensión.
En esta investigación, usarás lo que sabes sobre calcular áreas de rectángulos
para desarrollar una fórmula para el área de un paralelogramo.
M AT E R I A L E S
• copias de los
paralelogramos
• regla métrica
Serie de problemas
1.
A
Calcula el área de cada paralelogramo a continuación y explica el método que usaste.
A
C
B
V O C A B U L A R I O
base de un
paralelogramo
altura de un
paralelogramo
2.
Mide las longitudes de los lados de cada paralelogramo en décimas de
centímetro.
3.
¿Es el área del paralelogramo igual al producto de las longitudes de sus
lados?
La base de un paralelogramo puede ser cualquiera de sus lados. La altura
de un paralelogramo es la distancia desde la base al lado opuesto. La altura
siempre se mide a lo largo de un segmento perpendicular a la base (o a la
recta que contiene la base).
Altura
Base
Altura
Altura
Base
Base
LECCIÓN 8.4
Calcula áreas 515
En la Serie de problemas B, explorarás cómo se relacionan la base y la altura
de un paralelogramo con su área.
M AT E R I A L E S
• copias de los
paralelogramos
• regla métrica
• tijeras
• cinta adhesiva
• transportador
Serie de problemas
1.
B
Completa las Partes a, b y c para cada paralelogramo en la Serie de
problemas A.
a.
Escoge un lado del
paralelogramo como la base.
A
Dibuja un segmento perpendicular a la base que se extienda
al lado opuesto de la base. El
segmento debería estar completamente dentro del paraleloBase
gramo. Para el paralelogramo
A, podrías dibujar el segmento que se muestra en verde.
b.
Encuentra las longitudes de la base y de la altura. (La altura es
la longitud del segmento que dibujaste en la Parte a.) Anota estas
mediciones en una tabla como la siguiente.
Paralelogramo
Base
Altura
Rectángulo
Longitud
Ancho
A
B
C
c.
516 C A P Í T U L O 8
Divide el paralelogramo en dos trozos cortando a lo largo del segmento que dibujaste en la Parte a. Después ensambla los trozos para
formar un rectángulo. Anota la longitud y el ancho del rectángulo en
tu tabla.
2.
¿En qué se diferencian la base y la altura de cada paralelogramo a la
longitud y el ancho del rectángulo formado a partir del paralelogramo?
3.
¿En qué se diferencian el área de cada paralelogramo al área del
rectángulo formado a partir del paralelogramo?
4.
¿Cómo puedes calcular el área de un paralelogramo si conoces la
longitud de una base y la altura correspondiente? Usa lo que has descubierto en este problema para explicar por qué funciona tu método.
5.
Calcula el área de este paralelogramo
sin formar con él un rectángulo. Explica
cada paso de tu trabajo.
Geometría y medición
Puedes calcular el área de un paralelogramo multiplicando la longitud de la
base por su altura. Esto se puede enunciar usando una fórmula.
Área de un paralelogramo
Abh
En esta fórmula, A representa el área, b representa la base y h representa
la altura.
Serie de problemas
C
Calcula el área de cada paralelogramo, en centésimas de unidad cuadrada.
1.
1.47 pulg
2.
0.9 pulg
3.32 cm
1.31 pulg
2.00 cm
3.
4.10 cm
5.27 cm
1.73 cm
3.21 cm
4.
El área del paralelogramo a continuación es 12.93 cm2. Calcula el valor
de b en centésimas.
2.45 cm
b
2.98 cm
&
Comparte
resume
¿En qué es semejante calcular el área de un paralelogramo a calcular el área
de un rectángulo? ¿En qué es diferente?
LECCIÓN 8.4
Calcula áreas 517
Investigación 2
Áreas de triángulos
Has observado las áreas de rectángulos y paralelogramos. Ahora dirigirás tu
atención a los triángulos.
Serie de problemas
M AT E R I A L E S
D
copias del triángulo
Calcula el área de cada triángulo y explica el método que usaste.
B
A
C
V O C A B U L A R I O
base de un
triángulo
altura de un
triángulo
La base de un triángulo puede ser cualquiera de sus lados. La altura de un
triángulo es la distancia desde la base al vértice opuesto a su base. La altura
siempre se mide a lo largo de un segmento perpendicular a la base (o a la
recta que contenga la base).
Base
Altura
Altura
Altura
Base
Base
En la Serie de problemas D, pudiste haber usado una variedad de métodos
para calcular las áreas de los triángulos. En la siguiente Serie de problemas,
observarás cómo puedes calcular el área de un triángulo al relacionarlo con
un paralelogramo.
M AT E R I A L E S
• copias de los triángulos
• tijeras
• cinta adhesiva
• transportador
• regla
518 C A P Í T U L O 8
Serie de problemas
E
Corta dos copias de cada triángulo de la Serie de problemas D.
1.
Completa las Partes a hasta la d para cada triángulo.
a.
Dibuja tantos paralelogramos diferentes como puedas uniendo las dos
copias del triángulo. (No las pegues con cinta adhesiva.) Haz un
dibujo de cada paralelogramo.
b.
¿En que se parece el área del triángulo al área de cada paralelogramo?
Geometría y medición
2.
c.
Pega con cinta las dos copias del triángulo para formar uno de los
paralelogramos que dibujaste en la Parte a. Escoge un lado del
paralelogramo como la base y dibuja un segmento perpendicular
a la base que se extienda hasta el lado opuesto.
d.
¿Corresponden la base y la altura del paralelogramo a la base y
altura del triángulo?
Piensa acerca de lo que aprendiste en el Problema 1 sobre la relación
entre triángulos y paralelogramos. ¿Cómo puedes calcular el área de un
triángulo si conoces la longitud de una base y la altura correspondiente?
Calcula el área de cada triángulo en centésimas.
3.
Los triángulos son
figuras rígidas. Si
construyes un triángulo de un material
resistente, no se
colapsará ni cambiará
de forma cuando
presiones sus lados o
vértices. Debido a esta
propiedad, los triángulos se usan frecuentemente como soportes
para edificios, puentes
y otras estructuras.
1.37 cm
0.90 cm
Datos
de
interés
4.
1.34 cm
1.42 cm
1.35 cm
0.87 cm
2.00 cm
0.90 cm
5.
2.95 cm
1.71 cm
0.70 cm
1.56 cm
En la Serie de problemas E, probablemente descubriste que el área de un
triángulo es la mitad de la longitud de la base multiplicado por su altura.
Puedes enunciar esto usando una fórmula.
Área de un triángulo
A 12 b h
En esta fórmula, A representa el área, b representa la base y h representa
la altura.
LECCIÓN 8.4
Calcula áreas 519
F
M AT E R I A L E S
Serie de problemas
• 3 copias del
triángulo
• transportador
• regla
Tres alumnos calcularon el área de este triángulo. Carolina utilizó el lado de
12 centímetros como base, Rosita utilizó el lado de 11 centímetros y Marcus
utilizó el lado de 10 centímetros.
10 cm
11 cm
12 cm
520 C A P Í T U L O 8
1.
Suponiendo que los alumnos hicieron sus cálculos correctamente, ¿crees
que calcularon la misma área o áreas diferentes? Explica.
2.
Completa las Partes a, b y c para calcular el área usando el lado de
12 centímetros como base.
a.
Dibuja un segmento perpendicular a la base desde el vértice opuesto
a la base. Usa tu transportador para asegurarte de que la base y el
segmento forman un ángulo recto.
b.
Mide la altura en décimas de centímetro.
c.
Usa las medidas de la base y la altura para calcular el área del
triángulo.
3.
Repite las Partes a, b y c del Problema 2 usando el lado de
11 centímetros como base.
4.
Repite las Partes a, b y c del Problema 2 usando el lado de 10 centímetros
como base.
5.
Compara tus resultados para los Problemas 2, 3 y 4. ¿Dependió de la
base que usaste el área que calculaste? Explica.
Geometría y medición
M AT E R I A L E S
papel de puntos
Serie de problemas
G
El ABD y el ABE se crearon por cizallamiento del ABC. Una transformación por cizallamiento de un triángulo significa “deslizar” uno de sus vértices a lo largo de una recta paralela al lado opuesto. En este caso, el ABC
se transformó por cizallamiento deslizando el vértice C al vértice D y luego al
vértice E.
C
A
D
E
B
1.
¿En qué se parecen el ABC, el ABD y el ABE? ¿En qué son
diferentes?
2.
Dibuja dos triángulos más deslizando el ABC.
3.
¿Cambia su área el ABC al deslizarlo? Explica.
4.
¿Cambia su perímetro el ABC al deslizarlo? Explica.
&
Comparte
resume
Describe cómo se relaciona el cálculo del área de un triángulo con el cálculo
del área de un paralelogramo.
LECCIÓN 8.4
Calcula áreas 521
Investigación 3
Áreas de círculos
Calcular el área de una figura con lados curvos casi siempre requiere de contar los cuadros de una cuadrícula o de usar otro método de estimación. Sin
embargo, hay una fórmula sorprendentemente sencilla para calcular el área de
un círculo.
Serie de problemas
H
Estos círculos están dibujados en papel cuadriculado de 1 centímetro:
A
B
C
D
1.
Copia la tabla. Calcula el radio de cada círculo y anota tus resultados en
la columna “radio”.
Círculo
A
Radio, r
(cm)
Área estimada,
A (cm2)
Ar
A r2
B
C
D
522 C A P Í T U L O 8
2.
Estima el área de cada círculo contando los cuadros de la cuadrícula.
Anota tus estimaciones en la tabla.
3.
Para cada círculo, divide el área entre el radio y anota los resultados.
Geometría y medición
Recuerda
es un número decimal con dígitos que
nunca terminan o se
repiten. Se puede
aproximar como 3.14.
4.
Para cada círculo, divide el área entre el radio al cuadrado y anota los
resultados.
5.
Observa las dos últimas columnas de la tabla. ¿Muestran algún patrón
obvio los valores de cualquiera de las columnas? De ser así, ¿recuerdas
otros patrones que hayas visto en este capítulo?
6.
Jahmal estimó que el área de un círculo cuyo radio es de 10 cm es
aproximadamente 40 cm2.
a.
Explica por qué la estimación de Jahmal no es razonable.
b.
¿Cuál es una estimación razonable para el área de un círculo cuyo
radio es de 10 cm?
c.
¿Cuál es una estimación razonable para el radio de un círculo cuya
área es de 40 cm2?
En la Lección 8.2, aprendiste sobre el número y cómo se relaciona a la
circunferencia de un círculo. Determinaste que si C es la circunferencia de
un círculo y d es el diámetro, lo siguiente es verdadero:
Cd
Sorprendentemente, el número también se relaciona con el área de un
círculo. Si A es el área de cualquier círculo y r es el radio, lo siguiente es
verdadero:
A r2
Puedes usar este hecho para desarrollar la fórmula para el área de un círculo.
Área de un círculo
A r2
En esta fórmula, A es el área y r es el radio.
LECCIÓN 8.4
Calcula áreas 523
Serie de problemas
I
Para este problema, usa la tecla π de tu calculadora para aproximar .
(Si tu calculadora no tiene la tecla π usa 3.14 para aproximar π.)
Datos
de
1.
¿Cuál es el área de un círculo con un radio de 15 pulg? Escribe tu
respuesta en centésimas de pulgada cuadrada.
2.
¿Cuál es el área de un círculo con un radio de 10.15 cm? Escribe tu
respuesta en centésimas de centímetro cuadrado.
3.
¿Cuál tiene un área mayor: un círculo con un radio de 7.2 cm o un círculo con un diámetro de 12.75 cm? Explica tu respuesta.
4.
¿Cuál es el radio de un círculo cuya área es de 100 pulg2? Escribe tu
respuesta en centésimas de pulgada.
5.
Un restaurante de pizzas hace
pizzas de dos formas. La
pizza circular tiene un
diámetro de 10 pulgadas. La
pizza rectangular mide 16
pulgadas por 10 pulgadas.
Una pizza circular de queso
cuesta $8 y una pizza rectangular de queso cuesta $14.
¿Cuál forma te da más pizza
por tu dinero? Explica cómo
calculaste tu respuesta.
6.
Este es un diagrama de un carril interior de la pista de la escuela secundaria Walter. El carril está hecho de dos segmentos derechos y dos semicírculos (medios círculos). El área interior de
160 yardas
la pista está cubierta con césped. ¿Cuál es el
área del césped dentro de la pista, en décima
120 yardas
de yarda cuadrada? Explica cómo calculaste
tu respuesta.
interés
Hay más de 60,000
pizzerías en Estados
Unidos, lo que representa alrededor del 15%
de los restaurantes.
&
Comparte
resume
1. Da
la fórmula para el área de un círculo. Menciona lo que representan
las letras de la fórmula.
2. ¿Cómo
puedes calcular el área de un círculo si solamente conoces su
diámetro?
3. ¿Cómo
puedes calcular el área de un círculo si conoces solamente su
circunferencia?
524 C A P Í T U L O 8
Geometría y medición
Investigación
Usa una hoja de
cálculos para
maximizar el área
de laboratorio
M AT E R I A L E S
Computadora con
programa de hoja de
cálculos
A Max, el perro de Miguel, le encanta jugar afuera. Generalmente, cuando se
encuentra atado al centro del patio con una correa de 10 pies.
10 pies
Datos
de
interés
Tan antiguamente
como en el año 4500
a.C., había en Egipto
una raza de perros
que se parecían a los
modernos galgos. Se
pueden encontrar
jeroglíficos de perros
en las antiguas tumbas egipcias.
1
2
Miguel ganó $400 podando jardines y quiere usar el dinero para construir un
corral para Max. La cerca que Miguel ha escogido cuesta $4.50 por pie. En
esta investigación de laboratorio, usarás una hoja de cálculos para deducir el
corral rectangular más grande que Miguel puede construir.
Piensa en el problema
1.
Si conoces la longitud y el ancho de un corral rectangular, ¿cómo
puedes determinar el área y el perímetro?
2.
¿Cómo puedes inferir cuánto costará el corral?
Crea una hoja de cálculos
Crearás una hoja de cálculos que calculará automáticamente el área, el
perímetro y el costo del corral cuando introduzcas la longitud y el ancho.
Primero introduce los títulos de las columnas para longitud, ancho, perímetro,
área y costo.
A
Longitud
B
Ancho
C
Perímetro
D
Área
E
Costo
F
G
Quieres que tu hoja de cálculos calcule perímetro, área y costo cuando
introduzcas los valores de longitud y ancho en las celdas A2 y B2. Para
que esto funcione, introducirás fórmulas que le indican a la hoja de cálculos
cómo hacer los cálculos.
El perímetro es 2 veces el valor de la longitud en la celda A2 más 2 veces
el valor del ancho en la celda B2. Entonces, introduce esta fórmula en la
celda C2:
2*A22*B2
LECCIÓN 8.4
Calcula áreas 525
El signo = permite que la hoja de cálculos sepa que la entrada es una fórmula
a evaluar. Así, la fórmula que introdujiste en la celda C2 le indica a la hoja de
cálculos que añada 2 veces el valor en la celda A2 a 2 veces el valor en la
celda B2.
1
2
3
4
5
A
Longitud
B
Ancho
C
Perímetro
=2*A2+2*B2
D
Área
E
Costo
F
G
3.
En la celda D2, necesitas introducir una fórmula para calcular el área.
¿Qué fórmula debes introducir? (Tu fórmula debe comenzar con el
signo = y debería contener los nombres de las celdas A2 y B2.)
4.
En la celda E2, necesitas introducir una fórmula para calcular el costo.
¿Qué fórmula debes introducir?
Introduce tus fórmulas de área y costo en la hoja de cálculos. Prueba las fórmulas al introducir el valor de longitud 11 en la celda A2 y el valor del ancho
7 en la celda B2.
5.
¿Tu hoja de cálculos te da valores correctos de perímetro, área y costo
para un corral que mide 11 pies por 7 pies? ¿Cómo lo sabes? Si tus fórmulas no están correctas, corrígelas.
6.
¿Puede Miguel solventar la construcción un corral de 11 pies por 7 pies?
7.
Cambia los valores de longitud y ancho en las celdas A2 y B2 por la
longitud y ancho de tu elección. ¿Qué ocurre con los valores de las otras
columnas?
Ahora copiarás tus fórmulas hacia abajo hasta la fila 25 de la hoja de cálculos. Esto te permitirá introducir diferentes valores de longitud y ancho en cada
recta. Los siguientes son los pasos para copiar la fórmula del perímetro:
• Sombrea desde la celda C2 hasta la C25.
• Selecciona el comando Fill Down.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
526 C A P Í T U L O 8
A
Longitud
B
Ancho
Geometría y medición
C
Perímetro
=2*A2+2*B2
D
Área
E
Costo
F
G
8.
Selecciona la celda C3. ¿Qué fórmula aparece en esta celda? Ahora
selecciona la celda C18. ¿Qué fórmula aparece aquí? ¿Qué hace el
comando Fill Down?
Copia las fórmulas para área y costo verticalmente hasta la fila 25. Ahora puedes
observar al mismo tiempo el perímetro, área y costo para diferentes corrales.
Encuentra el corral más grande
Prueba diferentes valores de longitud y ancho para tratar de encontrar el
corral más grande que Miguel pueda solventar. Introduce un par de valores
diferentes en cada fila.
9.
¿Cuáles son las dimensiones y el área del corral rectangular más grande
que Miguel puede solventar?
10.
¿Cómo sabes que el corral que encontraste en la pregunta 9 es el más
grande posible?
11.
¿Podrá Max tener ahora más espacio para moverse en su nuevo corral
que con su correa? Explica.
¿Qué aprendiste?
12.
1
2
Crea una hoja de cálculos que calcule la circunferencia, área y costo
de corrales circulares con diferentes radios. Usa 3.14 como una
aproximación para .
A
Radio
B
Circunferencia
C
Área
D
Costo
13.
Calcula el radio y área aproximados del corral circular más grande que
Miguel podría construir con el cercado.
14.
¿En qué se diferencia el área del corral circular más grande del área del
corral rectangular más grande?
Datos
de
interés
Los perros parecidos a
los mastines modernos
fueron usados por
cazadores de la edad
de hielo para ayudarlos
a atrapar animales de
caza mayor como el
mamut lanudo.
LECCIÓN 8.4
Calcula áreas 527
Ejercicios por tu cuenta
&
aplica
Practica
1.
Escoge un objeto de tu casa con una superficie no rectangular que quepa
en una hoja de papel cuadriculado. (Algunas ideas: una lata de sopa, tu
zapato, una plancha.) Traza la superficie sobre el papel cuadriculado y
estima su área.
2.
Estos paralelogramos están dibujados en una cuadrícula de un centímetro:
A
B
3.
C
a.
Calcula el área de cada paralelogramo.
b.
Dibuja un rectángulo que tenga la misma área que el paralelogramo A.
c.
Dibuja un rectángulo que tenga la misma área que el paralelogramo C.
Calcula el área de este paralelogramo:
12 pulg
5 pulg
7 pulg
4.
¿Puedes usar la formula del área de un paralelogramo, A b h, para
calcular el área de un rectángulo? De ser así, ¿dónde están la base y
altura en el rectángulo? Si no, ¿por qué no?
5.
Un paralelogramo tiene un área de 42.6cm2. La altura del paralelogramo
es de 8 cm ¿Cuál es la longitud de la base?
6.
Estos triángulos están dibujados en una cuadrícula de un centímetro:
C
A
D
B
528 C A P Í T U L O 8
a.
Calcula el área de cada triángulo.
b.
Para cada triángulo, dibuja un paralelogramo con el doble del área
del triángulo.
Geometría y medición
impactmath.com/self_check_quiz
Calcula el área de cada triángulo. Redondea tus respuestas en centésimas.
7.
8.
3.29 cm
4.58 cm
1.72 cm
0.96 cm
3.78 cm
9.
10.
2.40 cm
Considera este triángulo.
2.17 cm
3.46 cm
a.
¿Cuál de las medidas dadas
usarías para calcular el área
del triángulo? ¿Por qué?
b.
¿Cuál es el área del triángulo? Redondea tu respuesta en centésimas.
4.08 cm
El paralelogramo se creó transformando por cizallamiento el
paralelogramo Z. Este proceso involucra “deslizar” uno de los lados
del paralelogramo a lo largo de una recta paralela al lado opuesto.
Z
a.
Crea dos paralelogramos más cizallando el paralelogramo Z.
(En cada caso, “desliza” la parte superior del paralelogramo.)
b.
¿Cambia su área un paralelogramo al transformar por cizallamiento?
Explica.
c.
Ahora, transforma por cizallamiento el paralelogramo Z para crear un
paralelogramo con el perímetro más pequeño posible. ¿Cómo se ve
este nuevo paralelogramo?
d.
Meela transformó por cizallamiento el paralelogramo Z para crear
esta figura. Dice que dibujó el paralelogramo transformado con el
mayor perímetro posible. ¿Estás de acuerdo con ella? Explica.
LECCIÓN 8.4
Calcula áreas 529
En los Ejercicios 11 al 13, usa la tecla π de tu calculadora para aproximar
. (Si tu calculadora no tiene la tecla π . Usa 3.14 como una aproximación
para .) Redondea tus respuestas en centésimas.
11.
Calcula el área de un círculo con radio de 8.5 pulgadas.
12.
Calcula el área de un círculo con diámetro de 15 pies.
13.
Calcula el área de un círculo con circunferencia de 90 pies.
14.
Un perro está atado en el centro de un patio con una correa de 15 pies.
15 pies
a.
¿Cuál es la figura del área en la que puede jugar el perro?
b.
¿Cuál es el área del espacio en la cual puede jugar el perro, en pies
cuadrados?
c.
Supón que, en lugar de estar atado en el centro del patio, el perro está
atado en la esquina de la casa. ¿Cuál es el área del espacio en la que
puede jugar el perro, en pies cuadrados? (Los lados de la casa son
más grandes que la correa.)
10 pies
&
amplía
Conecta
15.
Este paralelogramo tiene
un área de 20.03 cm2.
Calcula los valores de
a, b, c y d en centésimas
de centímetro.
b
d
c
6.21 cm
530 C A P Í T U L O 8
Geometría y medición
4.83 cm
a
16.
17.
En este ejercicio, dibujarás paralelogramos.
a.
Dibuja tres paralelogramos diferentes cuya base tenga 15 cm de longitud y cuya altura sea de 7 cm.
b.
¿Cuál de tus paralelogramos tiene el menor perímetro? ¿Cuál tiene el
mayor perímetro?
c.
¿Podrías dibujar un paralelogramo con la misma base y altura y un
perímetro aún menor? De ser así, dibújalo. Si no, explica por qué no.
Una baraja ha sido empujada
como se muestra. Observa que los
lados de la baraja tienen la forma de
paralelogramos.
2 12"
3 78 "
La baraja contiene 52 cartas. Cada carta tiene 418 de pulgada de grosor,
378 pulgadas de longitud y 212 pulgadas de ancho. Calcula el área sombreada del paralelogramo.
18.
A continuación hay un plano de planta para un museo, dividido en
cuatro paralelogramos y un rectángulo. Calcula el área del piso en
centésimas de metro cuadrado.
2.8 m
1.6 m
2.6 m
2.6 m
2.1 m
2.8 m
6.6 m
1.6 m
19.
2.1 m
6.6 m
2.8 m
2.8 m
El área de este triángulo es de 782 centímetros cuadrados. Calcula a y b
en décimas de centímetro.
36.7 cm
42.9 cm
b
29.5 cm
a
LECCIÓN 8.4
Calcula áreas 531
20.
En un triángulo equilátero, los tres lados tienen la misma longitud.
Supón que el área de un triángulo equilátero es 27.7 cm2 y la altura es
6.9 cm ¿Cuál es el tamaño de los lados del triángulo?
21.
Un trapecio es un cuadrilátero con exactamente un par de lados paralelos,
llamados bases. La altura es la longitud de un segmento perpendicular
desde una base hasta la otra.
Base
Recuerda
Dos rectas o segmentos
son paralelos si nunca
se encuentran, sea cual
sea su extensión.
Altura
Base
a.
Calcula el área de este trapecio:
3 cm
7.1 cm
7.8 cm
5 cm
5 cm
b.
9 cm
¿Cuál de las medidas dadas usaste para calcular el área?
c. Reto
Escribe una fórmula para el área de un trapecio A si las
longitudes de las bases son B y b y la altura es h. Explica cómo
calculaste tu respuesta. (Ayuda: Divide el trapecio en dos triángulos o
forma un paralelogramo a partir de dos copias de este trapecio.)
b
h
B
532 C A P Í T U L O 8
Geometría y medición
22.
Cualquier polígono regular se
puede dividir en triángulos
idénticos. Este hexágono se
divide en seis triángulos idénticos.
a.
Recuerda
En un polígono regular,
todos los lados tienen
la misma longitud y
todos los ángulos
tienen la misma medida.
b.
Calcula el área de cada triángulo
y el área del hexágono en
décimas de centímetro cuadrado.
Explica cómo calculaste las áreas.
2.6 cm
3 cm
3 cm
3 cm
Esta fórmula se puede usar para calcular el área de un polígono
regular:
A 12 perímetro del polígono altura de un triángulo
Demuestra que esta fórmula te da el área correcta para el hexágono
anterior.
c.
¿Por qué crees que funciona esta fórmula?
d.
Una señal de Pare tiene la forma
de octágono regular. Este dibujo
de un octágono está dividido en
ocho triángulos idénticos.
12 pulg
14.5
pulg
Usa la fórmula de la Parte b para
calcular el área de una señal de Pare.
e.
Brett calculó el área de una señal
de Pare al rodearla con un cuadrado.
¿De qué tamaño son los lados del
cuadrado? ¿De qué tamaño son los
lados perpendiculares de los triángulos
pequeños en las esquinas del cuadrado?
f.
12 pulg
14.5
pulg
Explica cómo Brett pudo haber
calculado el área. Demuestra que
este método te da la misma área que
calculaste en la Parte d.
LECCIÓN 8.4
Calcula áreas 533
23.
Datos
de
El consejo del pueblo Smallville planea construir una fuente circular
rodeada por una pasaje cuadrado de concreto. La fuente tiene un
diámetro de 4 yardas. La caminata tiene un perímetro exterior de
28 yardas.
interés
La fuente más alta del
mundo, situada en
Fountain Hills, Arizona,
dispara chorros de
agua de 8 toneladas
a 560 pies en el aire,
10 pies más alto que
el monumento a
Washington.
4 yardas
Calcula el área del pasaje en décimas de yarda cuadrada.
24.
El área superficial de una figura
tridimensional es la suma de las
áreas de sus caras. Por ejemplo,
este cubo está hecho de seis caras,
cada una con un área de 9 pulg2.
Entonces, su área de superficie
total es 9 6, ó 54, pulg2.
a.
3 pulg
3 pulg
3 pulg
Calcula el área de superficie
de esta caja rectangular:
1.5 pies
2 pies
3 pies
b. Reto
Para calcular el área superficial de un cilindro, puedes
imaginarlo como tres piezas separadas: el fondo y la tapa circular
y el rectángulo que los enrolla. Calcula el área de superficie de este
cilindro. (Ayuda: Necesitas calcular la longitud del rectángulo. Para
hacer esto, piensa cómo se relaciona esta longitud con los círculos.)
3 cm
6.5 cm
534 C A P Í T U L O 8
Geometría y medición
3 cm
3 cm
6.5 cm
Repaso
mixto
Geometría Calcula el perímetro de cada figura.
25.
26.
3.65 cm
5 pies
2.19 cm
En t u s
propias
27.
palabras
Explica las semejanzas y diferencias entre las fórmulas de área que
estudiaste en
esta lección.
28.
2 cm
2 cm
4 cm
1 cm
2 cm
4 pulg
5 cm
4 pulg
Calcula cada suma o diferencia.
29.
312 158
30.
1172 423
31.
1267 556
32.
37.42 9.04
33.
553.89 332.7
34.
2,545 1,365.787
35.
Por separado Hannah y Rosita escribieron reglas para el número de
mondadientes en cada término de esta sucesión:
Término 1
Término 2
Término 3
Término 4
Ambas niñas usaron t para representar el número de mondadientes y n
para representar el término numérico. Usa palabras o diagramas para
explicar por qué cada regla es correcta.
a.
La regla de Hannah: t 2 n 2 n
b.
La regla de Rosita: t 4 4 (n 1)
36. Sinopsis
Rachel puso un termómetro en un vaso de
precipitados con líquido. Anotó la temperatura del
líquido cada 5 minutos. De los datos que recopiló, ella
escribió una ecuación para representar la temperatura T
del líquido en grados centígrados después de m minutos.
T 72 0.97m
Usa la ecuación de Raquel para calcular la temperatura
del líquido después de 10 minutos.
LECCIÓN 8.4
Calcula áreas 535
El teorema de
Pitágoras
V O C A B U L A R I O
triángulo
rectángulo
En esta lección, aprenderás un postulado matemático famoso que se conoce
como el teorema de Pitágoras. El teorema de Pitágoras expresa una relación
notable entre los triángulos rectángulos, triángulos que tienen un ángulo de
90° y los cuadrados.
Antes de investigar el teorema, practicarás el cálculo del área de un cuadrado
dibujado en papel de puntos.
Explora
M AT E R I A L E S
Copia del cuadrado
Calcula el área exacta de este cuadrado. Describe el método que usaste.
Investigación 1
Triángulos rectángulos y
cuadrados
V O C A B U L A R I O
hipotenusa
cateto
Cada triángulo rectángulo tiene un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo
recto se llama hipotenusa. Los otros dos lados se llaman catetos.
Hipotenusa
Cateto
Cateto
La relación expresada en el teorema de Pitágoras implica las áreas de los
cuadrados construidos a los lados del triángulo rectángulo. En el siguiente
problema, tratarás de descubrir esa relación.
536 C A P Í T U L O 8
Geometría y medición
M AT E R I A L E S
• copias de las
figuras
• papel de puntos
Serie de problemas
Los Problemas 1 al 4 muestran triángulos rectángulos con cuadrados dibujados en sus lados. Calcula el área exacta de cada cuadrado y registra tus resultados en una copia de esta tabla.
Problema
1
Datos
de
interés
El teorema de
Pitágoras se llamó así
por el matemático
griego Pitágoras, quien
vivió aproximadamente
del año 580 al 550 a.C.
A
Área del
cuadrado en el
lado a(unidades2)
Área del
Área del
cuadrado en el
cuadrado en el
lado b (unidades2) lado c (unidades2)
2
3
4
1.
b
c
a
Una columna iónica en
Olimpia, Grecia.
2.
c
b
a
3.
c
b
a
LECCIÓN 8.5
El teorema de Pitágoras 537
4.
c
a
b
5.
Busca un patrón en tu tabla. Para los casos que consideraste, ¿cuál es la
relación entre las áreas de los tres cuadrados?
6.
Dibuja tu propio triángulo rectángulo en papel de puntos. ¿También se
mantiene la relación que describiste en el Problema 5 para tu triángulo?
Los problemas de la Serie de problemas A ilustran el teorema de Pitágoras.
El teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido en la
hipotenusa del triángulo es igual a la
suma de las áreas de los cuadrados construidos en los catetos.
Con frecuencia el teorema de Pitágoras se determina de esta forma:
Datos
de
Si c es la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo
y a y b son las longitudes de los catetos, entonces a2 b2 c2.
interés
El siguiente diagrama ilustra esta idea.
Pitágoras vivió hace
2,500 años, pero el
famoso teorema que
lleva su nombre se dio
a conocer aún antes.
Los registros muestran
que los babilonios
entendieron el teorema
alrededor de 1,500 a.C.,
¡más de 900 años
antes de que naciera
Pitágoras!
538 C A P Í T U L O 8
b2
b c
a2
a2
a
Geometría y medición
c2
b2
c2
A través de la historia, se han encontrado nuevas maneras para probar el teorema de Pitágoras, es decir, para demostrar que siempre es verdadero. En la
Serie de problemas B, explorarás una de esas pruebas.
M AT E R I A L E S
• 8 copias del
triángulo
• 1 copia de cada
cuadrado
• tijeras
Serie de problemas
B
En este problema, usarás triángulos y cuadrados de papel para construir una
prueba del teorema de Pitágoras.
• Empieza con un triángulo rectángulo
con cuadrados dibujados a sus lados.
• Con cuidado corta ocho copias del triángulo y una copia de cada cuadrado.
c
a
b
• Usa cuatro copias del triángulo y el cuadrado del lado c, para hacer
este cuadrado:
• Usa cuatro copias del triángulo y los cuadrados de los lados a y b,
para hacer este cuadrado:
1.
Los dos cuadrados que hiciste tienen la misma área. Explica cómo sabes
que esto es verdadero.
Ahora quita los cuatro triángulos de cada cuadrado que construiste.
2.
Describe lo que queda en cada cuadrado.
3.
Explica por qué el área de lo que quedó debe ser la misma para ambos
cuadrados.
4.
Explica cómo tu trabajo en esta Serie de problemas demuestra que
a2 b2 c2.
LECCIÓN 8.5
El teorema de Pitágoras 539
&
Comparte
resume
Enuncia el teorema de Pitágoras en tus propias palabras. Tal vez quieras hacer
un dibujo para ilustrar lo que quieres decir.
Investigación 2
Usa el teorema de
Pitágoras
En esta investigación, tendrás la oportunidad de practicar el uso del teorema
de Pitágoras.
Serie de problemas
C
Calcula cada área restante. Luego usa las áreas de los cuadrados para calcular
las longitudes laterales del triángulo.
1.
2.
2.25
unidad2
9 unidad2
6.25 unidad2
?
16 unidad2
?
3.
4.
?
?
13 unidad2
169 unidad2
9 unidad2
144 unidad2
540 C A P Í T U L O 8
Geometría y medición
Si conoces las longitudes de cualquiera de los dos lados de un triángulo
rectángulo, puedes usar el teorema de Pitágoras para calcular la longitud del
tercer lado.
E J E M P L O
Un triángulo rectángulo tiene catetos de 1 pulgada y 2 pulgadas de longitud. ¿Qué tamaño tiene la hipotenusa?
2 pulg
1 pulg
?
Si a y b representan las longitudes de los catetos y c representa la longitud
de la hipotenusa, el teorema de Pitágoras dice que a2 b2 c2.
Datos
de
interés
Es posible que los egipcios no conocieran el
teorema de Pitágoras,
pero los que construyeron las pirámides
sabían que un triángulo
con longitudes laterales de 3, 4 y 5 unidades debe ser un
triángulo rectángulo.
Estos antiguos constructores usaron un
instrumento de cuerda
como el que se muestra aquí para verificar
que formaran ángulos
rectos perfectos en las
esquinas de las
pirámides.
En el triángulo que se muestra a continuación, a = 1, b = 2 y c es la
longitud de la hipotenusa. Entonces,
12 22 c2
1 4 c2
5 c2
Por lo tanto, c 5 o alrededor de 2.24 pulgadas.
La gran esfinge en
Giza, Egipto
LECCIÓN 8.5
El teorema de Pitágoras 541
Serie de problemas
D
Calcula cada longitud lateral faltante. Luego calcula el área del triángulo.
1.
2.
7 cm
25 cm
?
3 cm
?
4 cm
3.
Un jardín rectangular mide 9 metros por 12 metros. Supón que quieres
caminar del punto A al punto B.
A
¡No pise
el césped!
9 metros
B
12 metros
4.
a.
Si obedeces el letrero y caminas alrededor del césped, ¿cuánto
caminarás?
b.
Si ignoras el letrero y caminas directamente a través, ¿cuánto
caminarás?
Un diamante de béisbol es un cuadro que mide 90 pies en cada lado.
¿Cuál es la distancia de la base del bateador a la segunda base?
90
es
pi
pi
90
es
Segunda
base
Primera
base
es
pi
90
90
pi
es
Tercera
base
base del
bateador
542 C A P Í T U L O 8
Geometría y medición
5.
Datos
de
interés
En Tailandia, la pelea de
cometas es un deporte
popular. Una competencia de pelea de
cometas significa un
mínimo de dos
cometas pesadas, en
forma de estrella llamadas chulas y por lo
menos cuatro cometas
ligeras, en forma de
diamante llamadas
pakpaos. Aunque los
pakpaos son, por lo
general, manipulados
por una sola persona,
puede requerir hasta
20 personas para
manejar un chula.
Carolina y Marcus vuelan una
cometa. Carolina detiene la
cometa y ha soltado 80 pies de
cuerda para la cometa. Marcus
está parado a 25 pies de
Carolina y directamente debajo
de la cometa.
s
80
¿A qué distancia del suelo se
encuentra la cometa? Asume
que Carolina detiene la cuerda
3 pies por encima del suelo.
Explica cómo calculaste tu
respuesta.
6.
3 pies
pie
25 pies
Las regulaciones de seguridad dicen que las rampas para las sillas de
ruedas no pueden ser muy inclinadas. Supón que, por cada pie que se
eleva una rampa para sillas de ruedas, ésta debe cubrir una distancia
horizontal de por lo menos 11.5 pies.
1 pie
Rampa
11.5 pies
1 pie
11.5 pies
Una rampa se construye hacia la entrada de un restaurante que está a 2.5
pies arriba del suelo.
a.
¿Qué distancia horizontal requiere la rampa?
b.
¿Qué tan larga debe ser la rampa?
7. Reto
Calcula los valores de c y h. Explica el método que usaste.
5 cm
c
h
12 cm
&resume
&
Comparte
Escribe tu propio problema que pueda resolverse usando el teorema de
Pitágoras. Luego demuestra cómo puedes resolver tu problema.
LECCIÓN 8.5
El teorema de Pitágoras 543
Ejercicios por tu cuenta
&
aplica
Practica
Calcula el área exacta de cada figura. Se dibujaron en cuadrícula punteada de
1 centímetro.
1.
3.
2.
En este ejercicio, observarás la relación entre las áreas de los
semicírculos dibujados a los lados del triángulo rectángulo.
a.
Calcula el área, en unidades
cuadradas, para cada semicírculo
en este dibujo:
c
a
b
b.
Calcula el área de cada
semicírculo en este dibujo:
c
a
b
c.
Calcula el área de cada
semicírculo en este dibujo:
c
a
b
d.
544 C A P Í T U L O 8
En los casos que observaste, ¿hay alguna relación entre las áreas de
los tres semicírculos? De ser así, descríbela.
Geometría y medición
impactmath.com/self_check_quiz
Calcula cada área faltante.
4.
5.
?
3
2
4 cm
?
23.5 cm2
13.25 cm2
1
2
2 cm
Calcula la longitud lateral faltante.
6.
7.
9 cm
20 cm
?
30 cm
?
12 cm
8.
Los catetos de este triángulo rectángulo tienen la
misma longitud. ¿De qué tamaño son?
10 cm
?
9.
Para garantizar la seguridad de sus trabajadores,
una compañía de pinturas requiere que la base
de una escalera esté a 1 pie de la pared por cada
4 pies que alcanza en la pared.
a.
Si una escalera alcanza 8 pies en la pared,
¿a qué distancia de la pared debería estar
su base?
b.
¿De qué tamaño debería ser la escalera
para alcanzar una altura de 8 pies?
?
?
8 pies
c. Reto
¿Qué altura máxima puede alcanzar
una escalera de 10 pies?
?
10. Ciencia física
Durante su ascenso inicial,
un avión voló 14.4 millas, alcanzando una 14.4 millas
altitud de 5 millas. Después del ascenso
inicial, ¿a qué distancia estaba el avión de
?
su punto de partida, medido a lo largo del
suelo?
LECCIÓN 8.5
5 millas
El teorema de Pitágoras 545
&
amplía
Conecta
11.
Sabes que un triángulo rectángulo tiene un ángulo que mide 90°. En
un triángulo acutángulo, los tres ángulos tienen medidas menores
que 90°. En un triángulo obtusángulo, un ángulo tiene una medida
mayor que 90°.
Datos
de
Triángulo acutángulo
interés
a.
La palabra agudo tiene
muchos significados.
Aquí hay sólo algunos:
• tener una punta
afilada
• astuto
• de sabor penetrante
• vivo, gracioso
• de alto grado
b
Triángulo obtusángulo
Se dibujan tres triángulos acutángulos sobre la cuadrícula de puntos
en centímetros y se dibujan cuadrados a sus lados. Calcula el área de
cada cuadrado y anota los resultados en una tabla como la siguiente.
Triángulos acutángulos
Área de cuadrado Área de cuadrado Área de cuadrado
del lado b
del lado c
Triángulo
del lado a
I
II
III
c
a
III
c
a
b
I
a
b
c
II
546 C A P Í T U L O 8
Geometría y medición
b.
Sigue las instrucciones de la Parte a para estos tres triángulos
obtusángulos.
Triángulos obtusángulos
Área de cuadrado Área de cuadrado Área de cuadrado
del lado b
del lado c
Triángulo
del lado a
I
II
III
a
III
b
c
II
c
a
b
a
b
c
I
Datos
de
interés
La palabra obtuso tiene
otros varios significados:
• torpe
• lento para entender
• difícil de comprender
c.
Basándote en tu trabajo en este ejercicio, ¿cuál de los siguientes
enunciados crees que sea verdadero para triángulos acutángulos?
¿Cuál crees que es verdadero para triángulos obtusángulos?
i. La suma de las áreas de los dos cuadrados pequeños es menor
que el área del cuadrado grande. Esto es, a2 b2 c2.
ii. La suma de las áreas de los dos cuadrados pequeños es igual que
el área del cuadrado grande. Esto es, a2 b2 c2.
iii. La suma de las áreas de los dos cuadrados pequeños es mayor
que el área del cuadrado grande. Esto es, a2 b2 c2.
LECCIÓN 8.5
El teorema de Pitágoras 547
12.
En t u s
propias
palabras
El Sr. Mackenzie construyó una mesa. Él tenía la intención de que la
mesa fuera rectangular, pero no está seguro de que resultó de esa
manera. Midió cuidadosamente la mesa y determinó que las longitudes
laterales son de 60 pulgadas y 45 pulgadas y la diagonal es
73.5 pulgadas. ¿Es la mesa un rectángulo? Explica cómo lo sabes.
60 pulg
Explica qué es el
teorema de
Pitágoras y cómo
se usa para calcular
longitudes.
73.5 pulg
13.
45 pulg
Maddie y Jo construyen una cerca y quieren asegurarse que cada poste
haga un ángulo de 90° con el suelo. Maddie sostiene un extremo de una
pieza de 5 pies de cuerda en un punto a 4 pies arriba en un poste. Jo
estira la cuerda tirante y pone el otro extremo en el suelo.
4 pies
5 pies
Si el poste hace un triángulo rectángulo con el suelo, ¿qué distancia
alcanzará el cordón desde la base del poste?
14.
Masako y Kai encontraron el sillón perfecto para su sala, pero no están
seguros si va a caber a través del portal. El portal mide 37 pulgadas de
ancho y 79 pulgadas de alto.
Ellos saben que le pueden quitar las patas
al sillón. Esta es una vista lateral del sillón
sin sus patas.
27 pulg
27 pulg
39 pulg
548 C A P Í T U L O 8
Geometría y medición
39 pulg
El sillón es muy ancho para que quepa
si lo cargan verticalmente, pero Marcus
piensa que puede caber si lo inclinan así:
En este ejercicio, usarás el teorema de Pitágoras para
determinar si el sillón cabe a través del portal.
a.
b.
Explica por qué cada uno de los segmentos
punteados que se muestran aquí tienen
12 pulgadas de longitud. Luego calcula la
longitud del segmento c y explica cómo lo
calculaste. Redondea tu respuesta en décimas
de pulgada.
c
Calcula la longitud del segmento d en
décimas de pulgada.
d
c.
El segmento b divide el segmento d en
mitad. Calcula la longitud del segmento b
en décimas.
d
d.
b
¿Cabrá el sillón a través del portal? Explica cómo lo sabes.
LECCIÓN 8.5
El teorema de Pitágoras 549
Repaso
mixto
Evalúa cada expresión.
15.
6 7 52
16.
121 22 4 3
4 6
17. 1
3
18.
2 6
82
19.
45 3 5 32
20.
2
2
(1
6 4
9
)2
Geometría Calcula el área de cada figura.
21.
22.
7.5 cm
5 pies
3 cm
23.
24.
2 cm
2 cm
4 cm
1 cm
2 cm
5 cm
4 pulg
4 pulg
25.
Luke se comió 80% de las fresas que recogió. Si recogió 30 fresas,
¿cuántas se comió?
26.
La clase de la Sra. Friel tiene 25 alumnos. De estos alumnos, 23 se
fueron de paseo al museo. ¿Qué porcentaje de la clase no fue al museo?
27. Estadísticas
Jahmal encuestó a alumnos en la cafetería sobre su
almuerzo favorito. Determinó que el 6623% prefiere la pizza. Si 80
alumnos le dijeron a Jahmal que prefieren pizza, ¿a cuántos alumnos
encuestó?
28. Sinopsis
Devon, Kyle y Kristi juegan con la
aguja giratoria. Toman turnos para girar la aguja.
Cada vez que la aguja cae en azul, Devon anota
un punto. Cada vez que cae en verde, Kyle anota
un punto. Y cada vez que cae en blanco, Kristi
anota un punto. ¿Crees que el juego es justo?
Explica.
550 C A P Í T U L O 8
Geometría y medición
Azul
Verde
Blanco
Capítulo 8
Repaso&autoevalución
V O C A B U L A R I O
Resumen del capítulo
ángulo agudo
área
base de un
paralelogramo
base de un
triángulo
cuerda
circunferencia
diámetro
altura de un
paralelogramo
altura de un
triángulo
hipotenusa
operaciones
inversas
cateto
ángulo obtuso
paralelogramo
cuadrado perfecto
perímetro
perpendicular
radio
ángulo recto
triángulo
rectángulo
raíz cuadrada
En este capítulo, exploraste ideas sobre geometría y medidas. Empezaste
trabajando con ángulos. Mediste ángulos y dibujaste ángulos con medidas
dadas. Observaste las relaciones entre los ángulos formados por rectas intersecadas y encontraste una regla para calcular la suma de ángulos para un
polígono que se basa en el número de ángulos (o lados) que tiene.
Después calculaste los perímetros de polígonos sumando las longitudes
laterales y estimaste los perímetros de objetos curvos usando un cordón y
aproximando con polígonos. También aprendiste que la circunferencia de
cualquier círculo dividido por el diámetro es igual a , y usaste este hecho
para encontrar la fórmula para el perímetro de un círculo.
Aprendiste que el área de una figura es el número de unidades cuadradas
que caben dentro de ella. Estimaste áreas de figuras contando cuadrados y
aprendiste fórmulas para calcular áreas de rectángulos, paralelogramos,
triángulos y círculos. Aprendiste sobre la operación de elevar al cuadrado y
cómo se relaciona con las áreas de los cuadrados. Después aprendiste sobre la
operación inversa al extraer la raíz cuadrada y calculaste o estimaste las
raíces cuadradas de muchos números.
Finalmente, investigaste el teorema de Pitágoras, el cual expresa la relación
entre las áreas de cuadrados dibujados sobre los lados de un triángulo
rectángulo.
Estrategias y aplicaciones
Las preguntas de esta sección te ayudarán a repasar y aplicar las ideas y
estrategias importantes desarrolladas en este capítulo.
Mide ángulos y dibuja ángulos con medidas dadas
M AT E R I A L E S
1.
• transportador
• regla
• cordón
Víctor midió estos ángulos con
un transportador. Dijo que ambos
ángulos miden 130°.
a.
2.
¿Cómo sabes que Víctor está equivocado?
b.
¿Qué error crees que cometió Víctor?
c.
¿Qué consejo le darías para ayudarle a medir ángulos correctamente?
Dibuja un ángulo que mida 320° y explica los pasos que seguiste.
impactmath.com/chapter_test
Repaso y autoevalución 551
Calcula y estima perímetros
3.
4.
Considera esta figura:
a.
Describe dos métodos para estimar el
perímetro de la figura.
b.
Usa uno de los métodos que mencionaste en la
Parte a para estimar el perímetro de la figura.
Menciona si el siguiente diagrama proporciona suficiente información
para calcular el perímetro de la figura. Si lo hace, calcula el perímetro.
Si no lo hace, menciona qué información adicional necesitarías para calcular el perímetro.
1 cm
1.5 cm
2 cm
1 cm
Datos
de
4.5 cm
Entiende
interés
En 1999, con la ayuda
de una computadora, el
valor de se calculó
con 206 billones de
cifras decimales. Si la
computadora imprimiera 1,000 dígitos por
segundo, ¡tomaría
alrededor de 621 años
imprimir todos esos
dígitos decimales!
552 C A P Í T U L O 8
y la fórmula para la circunferencia de un círculo
5.
Explica qué es y cómo se relaciona con la circunferencia de un
círculo.
6.
Describe cómo puedes calcular la circunferencia de un círculo si
conoces su radio.
Geometría y medición
Calcula y estima áreas
7.
Si dos figuras tienen el mismo perímetro, ¿deben tener la misma área?
Usa palabras y dibujos para ayudarte a explicar tu respuesta.
8.
Calcula el área de este paralelogramo en centímetros y explica los pasos
que seguiste:
9.
En este capítulo, aprendiste cómo calcular el área de un triángulo.
10.
a.
Describe qué son la base y la altura de un triángulo.
b.
Explica cómo calcular el área de un triángulo si conoces las
longitudes de la base y de la altura.
c.
¿Cómo se relaciona el cálculo del área de un triángulo con el cálculo
del área de un paralelogramo?
Un CD tiene un diámetro de alrededor de 12 cm. El agujero en el centro
del CD tiene un diámetro de cerca de 1.5 cm. Calcula el área de un CD,
sin incluir el agujero, en décimas de centímetro cuadrado. Explica cómo
calculaste tu respuesta.
Repaso y autoevalución 553
Entiende y aplica las ideas de elevar al cuadrado y extraer la
raíz cuadrada
11.
En este capítulo, aprendiste cómo elevar un número al cuadrado y cómo
extraer la raíz cuadrada de un número.
a.
Explica lo que significa elevar un número al cuadrado. Da un ejemplo.
b.
Explica lo que significa sacar la raíz cuadrada de un número. Da un
ejemplo.
c.
Explica cómo sabes que elevar el cuadrado y sacar la raíz cuadrada
son operaciones inversas. Da un ejemplo si te ayuda a explicar tu
razonamiento.
12.
¿Cómo puedes predecir si el cuadrado de un número será mayor que,
menor que o igual al número original?
13.
Estima 34 en décimas sin usar tu calculadora. Explica cada paso.
Entiende y aplica el teorema de Pitágoras
14.
El tamaño de un televisor se da en términos
la de longitud de la diagonal de su pantalla.
Por ejemplo, un televisor de 19 pulgadas
tiene una pantalla con una longitud diagonal
de 19 pulgadas.
19 pulg
La pantalla del televisor de la Sra. Perelló
tiene una longitud aproximada de 21.75 pulgadas y un ancho
aproximado de 16.25 pulgadas. ¿Cuál es el tamaño de su televisor?
Escribe tu respuesta en pulgadas y explica cómo lo calculaste.
Demuestra tus destrezas
Calcula la medida de cada ángulo.
554 C A P Í T U L O 8
15.
16.
17.
18.
Geometría y medición
Dibuja un ángulo con la medida dada.
19.
20.
72°
21.
160°
22.
210°
295°
Calcula el perímetro y el área de cada figura.
23.
3 pulg
24.
6 pulg
2.6 pulg
7.2 pies
7 pulg
25.
26.
6 cm
3.5 cm
3 cm
3.5 cm
6 cm
5 pulg
5 pulg
Calcula el valor de cada expresión.
27.
5 7 32 4
28.
(72 13 3)2
29.
5 4 62
32.
3
Aproxima cada raíz cuadrada en centésimas.
30.
21
31.
600
Para las preguntas 33 y 34, calcula el valor de b.
33.
34. 21.5 cm
b
4.8 pulg
8 pulg
b
51.6 cm
35.
Calcula las medidas
de los ángulos 1, 2 y 3.
1
2
53°
3
Repaso y autoevalución 555