Ejercicios de homologias

Ejercicios de Homologías
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EJERCICIOS DE HOMOLOGÍAS
Nota: Estos apuntes están realizados de forma muy intuitiva y sin entrar en detalles (que sí serían
necesarios en un estudio más amplio); únicamente sirven como un complemento útil para la
realización de los ejercicios presentados. En ningún caso sustituyen a ningún tipo de
bibliografía y, mucho menos, a las explicaciones del profesor.
Sea un espacio tridimensional con un sistema de referencia establecido: un origen y una
base ortonormal.
Se define la figura geométrica del punto.
El punto es una figura geométrica adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro
ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada
respecto de un sistema de coordenadas.
Dos puntos determinan una recta.
Tres puntos no alineados determinan un plano.
Se denomina radiación de rectas al conjunto infinito de rectas concurrentes en un punto. Si
el punto está en el infinito, las rectas son paralelas. Al punto en el que concurren todas las rectas de
la radiación se le denomina vértice o centro de la radiación.
Cortar una radiación de rectas por un plano es lo mismo que intersecar cada una de las
rectas de la radiación con el plano de corte, obteniendo un conjunto de puntos sobre dicho plano.
Proyectar un punto M sobre un plano
π, mediante una radiación de rectas, es lo
mismo que obtener el corte por el plano dado
de una recta de la radiación que pasa por el
punto M.
La recta (el rayo) r1 de la radiación de
centro O, pasa por el punto M; el corte de r1
por el plano π es el punto P1 (proyección del
punto M sobre el plano π).
Si el centro de la radiación está situado en un punto propio del espacio se denomina cónica;
si el centro de la radiación está en el infinito se denomina cilíndrica y puede ser cilíndrica ortogonal,
si el ángulo de los rayos respecto al plano de corte es de 90º o cilíndrica oblicua si el ángulo no es de
90º.
Ejercicios de Homologías
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Sea una misma radiación de rectas de centro O, que es cortada por dos planos π 1 y π2.
A la relación establecida entre el corte de la radiación por el plano π1 y el corte de la misma
radiación por el plano π2, se le denomina homología.
Los elementos de la homología son los siguientes:

Centro de la homología = centro de la radiación = punto O.

Eje de la homología = recta de intersección de los dos planos de corte π1 y π2.
A1 ϵ π1; es el corte de un rayo por el plano π1
A2 ϵ π2; es el corte del mismo rayo por el plano π2
A2
A1 y A2 pertenecen al mismo rayo.
B2
A1 tiene su homológico en A2
A1
B1
C1 = C2
A2 es el homológico de A1
A1 y A2 son homológicos.
De la misma forma:
A1-B1 ϵ π1; es una figura resultado del corte por el plano π1
A2-B2 ϵ π2; es una figura resultado del corte por el plano π2
Las dos figuras están formadas al cortar los mismos rayos.
A1-B1 tiene su homológico en A2-B2
A2-B2 es el homológico de A1-B1
A1-B1 y A2-B2 son figuras homológicas.
La homología viene definida por las siguientes reglas:

Dos puntos homológicos siempre están alineados con el centro de la homología: A1 y
A2 pertenecen a la misma recta de la radiación (al mismo rayo), y todas las rectas de la
radiación (todos los rayos) pasan por el centro de la homología (punto O).

Dos rectas homológicas siempre se cortan en el eje de la homología, o lo que es lo
mismo, los puntos del eje de la homología son puntos dobles: C1 = C2.
Por conveniencia llamaremos al plano π1 primera forma (plano 1 o simplemente P1), y al
plano π2 segunda forma (plano 2 o simplemente P2).
Ejercicios de Homologías
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Representando una visión tridimensional de la radiación de vértice O y del corte de la misma
por los planos P1 (primera forma) y P2 (segunda forma), se tiene:

A1, B1, C1: figura resultado del corte de la radiación por la primera forma

A2, B2, C2: figura resultado del corte de la radiación por la segunda forma
En este sentido: A2, B2, C2 es la figura homológica de A1, B1, C1.
R1
Viene del
infinito de
P1
N2
Va al
infinito de
P2
Figura idéntica a la anterior, solo que
está vista desde una dirección paralela
al eje de la homología, por lo que:
 El eje se representa como un punto.
 Los planos P1 y P2 se representan
como rectas.
Las reglas de la homología siguen vigentes:

Dos puntos homológicos siempre están alineados con el centro de la homología.

Dos rectas homológicas siempre se cortan en el eje de la homología.
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Nos centramos en la primera forma.
Podemos decir que todo punto de la primera forma (por ejemplo A 1) tiene su homológico en la
segunda forma (A2 es el homológico de A1). Dado A1, para obtener A2 bastaría unir dicho punto con el
centro de la homología O y obtener el corte del rayo O-A1 con la segunda forma. Y esto es así para
todos los puntos de la primera forma.
Pero ¿qué pasaría si disponemos un plano paralelo a la segunda forma que pasara por el
centro de la homología?
R1
Viene del
infinito de
P1
Visto “de canto”:
N2
Va al
infinito de
P2
Obviamente la recta intersección de un plano paralelo a la segunda forma con la primera
forma (la llamaremos L1) sería una recta paralela al eje de la homología (que es la intersección de la
primera y de la segunda forma).
Al tratar de obtener el homológico de un punto situado en esta nueva recta (por ejemplo el
punto N1), el rayo O-N1 es paralelo a la segunda forma por lo que su intersección estará en el infinito
de la segunda forma.
Importante: no es que el punto N1 no tenga homológico, sino que su homológico está en el
infinito de la segunda forma.
A la recta L1 se le denomina recta límite de la primera forma y está definida por aquellos
puntos de la primera forma (que sí pueden ser dibujados) cuyos homológicos están en el infinito de la
segunda forma (que no pueden ser dibujados).
Ahora nos centramos en la segunda forma.
Podemos decir que todo punto de la segunda forma (por ejemplo A 2) es el homológico de un
punto de la primera forma (A2 es el homológico de A1). Dado A2, para obtener A1 bastaría unir dicho
punto con el centro de la homología y obtener el corte del rayo O-A2 con la primera forma. Y esto es
así para todos los puntos de la segunda forma.
Pero ¿qué pasaría si disponemos un plano paralelo a la primera forma que pasara por el
centro de la homología?
Ejercicios de Homologías
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R1
Viene del
infinito de
P1
Visto “de canto”:
N2
Va al
infinito de
P2
Obviamente la recta intersección de un plano paralelo a la primera forma con la segunda
forma (la llamaremos J2) sería una recta paralela al eje de la homología (que es la intersección de la
primera y de la segunda forma).
Al tratar de obtener el punto del cual es homológico de un punto situado en esta nueva recta
(por ejemplo el punto R2), el rayo O-R2 es paralelo a la primera forma por lo que su intersección
estará en el infinito de la primera forma.
Importante: no es que el punto R2 no sea homológico de ningún punto de la primera forma,
sino que el punto del cual es homológico está en el infinito de la primera forma.
A la recta J2 se le denomina recta límite de la segunda forma y está definida por aquellos
puntos de la segunda forma (que sí pueden ser dibujados) que son homológicos de los puntos que
están en el infinito de la primera forma (que no pueden ser dibujados).
Importante: J2 no es la recta homológica de L1 (precisamente para resaltar este hecho se les
denomina con letras diferentes).
L1, recta límite de la primera forma: puntos de la primera forma (que sí pueden ser dibujados)
cuyos homológicos están en el infinito de la segunda forma (que no pueden ser dibujados).
Si N1 ϵ L1 en el plano P1  N2 → ∞ en el plano P2
J2, recta límite de la segunda forma: puntos de la segunda forma (que sí pueden ser
dibujados) que son homológicos de los puntos que están en el infinito de la primera forma (que no
pueden ser dibujados).
Si R2 ϵ J2 en el plano P2  R1 → ∞ en el plano P1
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El eje de la homología, la recta límite de la primera forma y la recta límite de la segunda forma
son rectas paralelas.
Las dos rectas límite son también elementos que caracterizan a una homología.
Así los elementos de una homología son:

Centro de la homología

Eje de la homología

Recta límite de la primera forma

Recta límite de la segunda forma
Una homología queda definida al caracterizar tres de estos cuatro elementos: dados tres de
ellos, el que queda viene definido por los anteriores.
Una vez visto (de forma muy intuitiva) qué es una homología y qué reglas y elementos la
definen, imaginemos que con las mismas operaciones definidas (proyectar y cortar) realizamos el
siguiente “montaje” (para facilitar su interpretación, los elementos se han dibujado “de canto”, es decir
desde una dirección paralela al eje de la homología):

Sea una homología en el espacio, definida por un centro O, un eje E y dos planos P1 y P2.

Todos esos elementos se proyectan mediante una radiación D; para facilitar su interpretación,
se supone que es una radiación cilíndrica (su centro está en el infinito).

La proyección, mediante la radiación D de los elementos de la homología definida, se cortan
por un plano P; para facilitar su interpretación se dibuja paralelo al eje E (en la vista “de canto”
aparecerá como una recta).
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Las reglas de la homología definida en el espacio siguen vigentes:

Dos puntos homológicos siempre están alineados con el centro de la homología.

Dos rectas homológicas siempre se cortan en el eje de la homología.
Es decir:

A1 tiene su homológico en A2, y están alineados con el centro O.

B1 tiene su homológico en B2, y están alineados con el centro O.

La figura homológica de A1-B1 es B2-A2

A1-B1 y B2-A2 se cortan en el eje de la homología E.
Al proyectar (mediante una radiación D y cortar con un plano P), tendremos:

A’1 es la proyección de A1

A’2 es la proyección de A2

B’1 es la proyección de B1

B’2 es la proyección de B2

E’ es la proyección de E

O’ es la proyección de O
Se cumple lo siguiente:

A’1 tiene su homológico en A’2, y están alineados con el centro O’.

B’1 tiene su homológico en B’2, y están alineados con el centro O’.

La figura homológica de A’1-B’1 es B’2-A’2

A’1-B’1 y B’2-A’2 se cortan en el eje de la homología E’.
Es decir, las reglas de la homología en el espacio, al proyectar sus elementos utilizando las
mismas operaciones que han servido para definir la homología, siguen vigentes:

Dos puntos homológicos siempre están alineados con el centro de la homología.

Dos rectas homológicas siempre se cortan en el eje de la homología.
En la homología en el espacio:
 A1 tiene su homológico en A2, y están
alineados con el centro O.
 B1 tiene su homológico en B2, y están
alineados con el centro O.
Tras proyectar:
 A’1 tiene su homológico en A’2, y están
alineados con el centro O’.
 B’1 tiene su homológico en B’2, y están
alineados con el centro O’.
 La figura homológica de A1-B1 es B2-A2
 La figura homológica de A’1-B’1 es B’2-A’2
 A1-B1 y B2-A2 se cortan en el eje de la
 A’1-B’1 y B’2-A’2 se cortan en el eje de la
homología E.
homología E’.
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La operación de proyección se ha realizado mediante una radiación arbitraria (por facilitar la
interpretación se ha supuesto cilíndrica o de centro en el infinito) y cortando con un plano arbitrario
(por facilitar la interpretación se ha supuesto paralelo al eje de la homología).
Imaginemos que el plano P coincide con el plano P1 = primera forma, e imaginemos que la
radiación cilíndrica D lleva una dirección perpendicular al plano bisector de P1 y P2.
Con estas hipótesis, que no suponen una
alteración de las operaciones realizadas, la
proyección de la homología en el espacio,
equivaldría a abatir la segunda forma (P2) sobre
la primera forma (P1), con eje de abatimiento el
eje de la homología (E).
De esta forma, es posible pasar de una homología definida en el espacio a una
homología definida en un plano donde las reglas de la homología en el espacio siguen vigentes:

Dos puntos homológicos siempre están alineados con el centro de la homología.

Dos rectas homológicas siempre se cortan en el eje de la homología.
 A1 tiene su homológico en A2, y están
alineados con el centro O.
 B1 tiene su homológico en B2, y están
alineados con el centro O.
 La figura homológica de A1-B1 es B2-A2
 A1-B1 y B2-A2 se cortan en el eje de la
homología E.
Para simplificar la notación se han suprimido
las “primas”.
Importante: Aunque estamos en 2 dimensiones, no hay un único plano sino dos: la primera
forma y la segunda forma, uno abatido sobre otro.
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Como regla general para abordar ejercicios de homologías, se recomienda tener siempre
presente el siguiente esquema:

Imaginemos una homología dada por el centro O, el eje E y la recta límite de la primera forma
L1.

Sea una recta de la primera forma R1 y un punto A1 perteneciente a dicha recta.
O
L1
A1
E
R1

La recta homológica de R1 será una recta R2, y el punto homológico de A1 (que está en R1)
será el punto A2 (que estará en R2).

Sea N1 el punto de corte de R1 con L1.

Como N1 está en L1, su homológico N2 estará en el infinito de la segunda forma, no se va a
poder dibujar; pero sabemos que N2 estará en R2 (la recta homológica de R1), es decir N2
estará en el infinito de R2.
// R2
O
L1
N1
N2→∞
A1
E
R1

Además el rayo N1-N2 estará alineado con el centro O. Es decir, el rayo N1-N2 (que se
dibujará uniendo N1 con O) se cortará con R2 en el infinito, luego R2 se dibujará paralelo a
N1-N2 = N1-O.
Ejercicios de Homologías
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
Sea B1 el punto de corte de R1 con E.

Por condición de homología, los puntos del eje son puntos dobles, es decir, el punto de corte
de R1 con el eje E, el punto B1 es un punto doble, lo que significa que B1 = B2; la recta R2
pasará por el punto B2 y además, llevará la dirección O-N1, luego ya se puede dibujar R2.
// R2
O
L1
N1
N2→∞
A1
E
B1=B2
R2
R1

R2 es la recta homológica de R1, y el punto homológico de A1 (que está en R1) será el punto
A2 (que estará en R2).

Por condición de homología, el rayo A1-A2 estará alineado con el centro de la homología (O),
luego ya se puede determinar el punto A2 (homológico de A1). El rayo O-A1 cortará a R2 en
el punto A2 (homológico de A1).
O
// R2
L1
N1
N2→∞
A1
E
B1=B2
R2
A2
R1
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Generalmente en los ejercicios de homologías se da una figura en la primera forma para
obtener su transformación, es decir, la homológica de la figura dada (que estará en la segunda
forma). Por este motivo no suele ser necesario el determinar la recta límite de la segunda forma (J2).
No obstante, si se quisiera determinar J2 se seguiría un razonamiento similar.

En R2 hay un punto que es el homológico del punto del infinito de R1. Para determinar dicho
punto bastaría trazar por el centro de la homología (O) un rayo paralelo a R1 y obtener el
punto de corte con R2.

Si desde el punto O se traza una paralela a R1, cortará a R2 en el punto F2, que es el
homológico del punto del infinito de R1 (el rayo F1-F2 = O-F2 cortará a R1 en el infinito ya
que son paralelos).

F2, que sí puede ser dibujado, es un punto de la segunda forma y es el homológico de F1,
que no puede ser dibujado porque está en el infinito de R1. F2 es un punto de la recta límite
de la segunda forma (J2). Además J2 es paralela al eje de la homología E y a la primera recta
límite L1. J2 se determina al trazar una paralela a E (o a L1) por F2.
O
// R2
// R1
L1
N1
N2→∞
A1
J2
F2
F1→∞
E
B1=B2
A2
R2
R1
Nótese que “no se mezclan subíndices”; es decir, los puntos de corte de R1 con L1 o de R2
con J2 sí existen, pero no existen los puntos de corte de R1 con J2 o de R2 con L1; ni siquiera están
en el mismo plano (R1 y L1 están en la primera forma y R2 y J2 están en la segunda forma).
O
// R2
// R1
L1
N1
N2→∞
A1
J2
F2
F1→∞
B1=B2
R2
A2
R1
E
Ejercicios de Homologías
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HOMOLOGÍA DE UNA CIRCUNFERENCIA
Consideremos la siguiente notación:

F1 es una figura de la primera forma

F2 es la figura homológica de F1 en la segunda forma

r1 es una recta de la primera forma

r2 es la recta homológica de r1 en la segunda forma

A1 es un punto de la primera forma

A2 es el punto homológico de A1 en la segunda forma
Para abordar los ejercicios de homologías de circunferencias, deben considerarse los
siguientes aspectos:
Si r1 es tangente a F1 en el punto A1
 r2 es tangente a F2 en el punto A2
La tangente (s1) a F1 trazada desde el
centro de la homología O en el punto A1, también
tangente (s2) a F2 en el punto A2: es tangente
común.
Nota: no es una recta doble punto a punto
(solo los puntos del eje son puntos dobles) sino
que en su conjunto, la tangente en la primera
forma y la tangente en la segunda forma, se
superponen.
Los puntos de corte con el eje de la
homología E, son puntos dobles.
Ejercicios de Homologías
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Si r1 es tangente a F1 en un punto de L1,
r2 es una asíntota de F2.
Si el eje de la homología E es tangente a
F1 en un punto de A1, el eje de la homología E
también es tangente a F2 en un punto de A2 =
A1 (es un punto doble).
Si F1 es una circunferencia, su figura homológica F2 será diferente en función de la posición
relativa de F1 y de la recta límite de la primera forma L1.
L1
F1
F1
F1
F1 no corta a L1  F2 es una ELIPSE
F1 es tangente a L1  F2 es una PARÁBOLA
F1 corta a L1 en dos puntos  F2 es una HIPÉRBOLA
Ejercicios de Homologías
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HOMOLOGÍAS (unidades en milímetros).
EJERCICIO 1
Sea una homología dada por los siguientes datos:

El centro de la homología es el punto O[29, 41].

Los puntos H1[21, 104] y Z1[68, 29] pertenecen a la primera forma, y sus homológicos están
en el infinito de la segunda forma.

El punto M1[109, 44] es un punto doble.
Obtener la figura homológica (segunda forma) del triángulo de la primera forma dado por sus
vértices A1[76, 65], B1[58, 113] y C1[87, 120].
Importante: Eje X: coordenada vertical; Eje Y: coordenada horizontal.
Nota: se recomienda disponer la hoja (formato A4) horizontalmente, así como situar el origen
de coordenadas a unos 25 milímetros del vértice superior izquierdo.
Una vez fijado el origen de coordenadas los ejes no deben trazarse paralelos a los bordes
del papel, lo correcto es dibujar uno de ellos y el otro dibujarlo perpendicularmente al anterior con
ayuda de la escuadra y del cartabón.
Ejercicios de Homologías
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En primer lugar hay que dibujar los elementos dato del ejercicio:

El centro de la homología es el punto O.

Los puntos H1 y Z1 pertenecen a la primera forma, y sus homológicos están en el infinito de
la segunda forma. Es decir, los puntos H1 y Z1 están definiendo la recta límite de la primera
forma (L1): puntos de la primera forma que sí pueden ser dibujados cuyos homológicos están
en el infinito de la segunda forma (no pueden ser dibujados).

El punto M1 es un punto doble, es decir, pertenece al eje de la homología. Además el eje de
una homología es paralelo a las rectas límite, por lo que E // L1.
Con los datos dados ya se pueden trazar los elementos que definen la homología así como la
figura de la primera forma (A1-B1-C1).
A continuación se obtienen las rectas homológicas de las rectas que forman los lados de la
figura dada en la primera forma (en este caso el triángulo A1-B1-C1). Para ello hay que determinar
los puntos de corte de cada una de las rectas de la primera forma (de cada uno de los lados del
triángulo) con la recta límite de la primera forma (L1).
Cada vértice del triángulo estará contenido en dos de sus lados, por lo que no es necesario el
obtener todas las rectas homológicas de todas las rectas que constituyen los lados del triángulo. Es
decir, al prolongar cada una de las rectas que forman el triángulo es posible que alguna de ellas corte
a la recta L1 en un punto que cae fuera de los límites de trazado del dibujo.
En este caso la recta A1-B1
corta a L1 en un punto que cae fuera de
los límites del dibujo.
No obstante se puede trabajar
perfectamente con las rectas A1-C1 y
B1-C1.
Ejercicios de Homologías
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Se comenzará trazando la recta homológica de A1-C1. Por comodidad vamos a llamarla R1.
Prolongamos la recta de la primera forma R1 = A1-C1 hasta que corte a L1 (punto 11). Dicho
punto de corte tiene su homológico en el infinito de la segunda forma de R1, es decir en el infinito de
R2 (12 → ∞), por lo que el rayo definido al unir el punto 11 con el centro de la homología O, será
paralelo a la recta R2. De esta forma ya tenemos definida la dirección de la recta R2.
La recta R2 se trazará por el punto de corte 21 de R1 con el eje de la homología E, ya que los
puntos del eje son puntos dobles, es decir, 21 = 22.
Para obtener los puntos homológicos de A1 y de C1, basta definir los rayos que unen dichos
puntos con el centro de la homología O y obtener los puntos de corte de dichos rayos con R2.

A1 ϵ R1  A2 ϵ R2 y el rayo A1-A2 está alineado con el centro O

C1 ϵ R1  C2 ϵ R2 y el rayo C1-C2 está alineado con el centro O
Ejercicios de Homologías
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Con la recta B1-C1 se procedería de igual forma (por comodidad la llamamos S1).
Ejercicios de Homologías
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Para obtener los puntos homológicos de B1 y de C1, basta definir los rayos que unen dichos
puntos con el centro de la homología O y obtener los puntos de corte de dichos rayos con S2.

B1 ϵ S1  B2 ϵ S2 y el rayo B1-B2 está alineado con el centro O
Como comprobación se puede obtener también el punto C2 homológico de C1, y ver que se
obtiene el mismo resultado que antes:

C1 ϵ S1  C2 ϵ S2 y el rayo C1-C2 está alineado con el centro O
Si no cae fuera de los
límites
del
dibujo,
puede
comprobarse que el punto de corte
de la recta A1-B1 con el eje de la
homología E, coincide con el punto
de corte de la recta A2-B2 con el
mismo eje E.
Ejercicios de Homologías
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Para finalizar el ejercicio únicamente queda el unir los puntos A2-B2 y C2 formando la figura
de la segunda forma, homológica de la figura dada en la primera forma.
Nota: en este caso, como el triángulo A1-B1-C1 no corta en ninguno de sus lados a la recta
límite de la primera forma L1, el resultado (el triángulo A2-B2-C2) es cerrado, no tiene ningún punto
en el infinito.
Resolución completa del ejercicio a escala 1:1 en formato A4 (puede situarse vertical u
horizontalmente).
Ejercicios de Homologías
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HOMOLOGÍAS (unidades en milímetros).
EJERCICIO 2
Sea una homología dada por los siguientes datos: el centro es el punto O[47,66], la recta
límite de la primera forma L1 viene dada por los puntos n1[15,164] y m1[117,19]. Obtener la figura
homológica (segunda forma) del triángulo de la primera forma dado por sus vértices a1[105,93],
b1[78,156] y c1[111, 166], sabiendo que el eje de la homología pasa por el circuncentro de dicho
triángulo.
Eje X: coordenada vertical; eje Y: coordenada horizontal.
Conceptos necesarios:

Qué es una homología

Elementos de una homología: centro, eje, recta límite de la primera forma, recta límite de la
segunda forma

Puntos homológicos están alineados con el centro

Rectas homológicas se cortan en el eje
Ejercicios de Homologías
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Los datos de la homología, una vez dibujados, son los siguientes:
A continuación se obtienen las rectas homológicas de las rectas que forman los lados de la
figura dada en la primera forma (en este caso el triángulo a1-b1-c1). Para ello hay que determinar los
puntos de corte de cada una de las rectas de la primera forma (de cada uno de los lados del
triángulo) con la recta límite de la primera forma (L1).
Se comenzará con la recta homológica del lado a1-c1:
Ejercicios de Homologías
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A continuación se determina la recta homológica del lado b1-c1:
Resolución completa del ejercicio a escala 1:1 en formato A4 (puede situarse vertical u
horizontalmente).
Ejercicios de Homologías
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Resolución completa del ejercicio.
Ejercicios de Homologías
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HOMOLOGÍAS (unidades en milímetros).
EJERCICIO 3
Sea una homología dada por los siguientes datos:

Dos parejas de puntos homológicos a1[59,28] - a2[46,82], y b1[64,108] – b2[99,87]

Un punto doble m1[33,41]

Un punto de la primera forma c1[51,95]
Obtener la figura homológica (segunda forma) del triángulo de la primera forma dado por sus
vértices a1-b1-c1.
Eje X: coordenada vertical; eje Y: coordenada horizontal.
Conceptos necesarios:

Qué es una homología

Elementos de una homología: centro, eje, recta límite de la primera forma, recta límite de la
segunda forma

Puntos homológicos están alineados con el centro

Rectas homológicas se cortan en el eje

Los puntos del eje de la homología son dobles
Ejercicios de Homologías
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Para determinar la homología se obtienen su centro y su eje; para ello se aplicarán las
siguientes reglas:

Rectas homológicas se cortan en un punto del eje: a1-b1 se corta con a2-b2 en un punto que
junto con el punto m1 (es un punto doble, luego m1 = m2) determinan el eje de la homología.

Puntos homológicos están alineados con el centro: a1-a2 y b1-b2 se cortan en el centro de la
homología.
Para determinar el punto c2, homológico el punto c1, no es necesario obtener la recta límite
de la primera forma. Se procede de la siguiente forma:

Se prolonga el lado c1-b1 hasta que corte al eje E en un punto 11 que por pertenecer al eje
de la homología es un punto doble: 11 = 12.

La recta homológica de c1-b1 cortará al eje en el mismo punto, por lo que queda determinada
al unir el punto de corte de c1-b1 con el eje (11 = 12) con el punto b2.

Para obtener el punto c2 bastará unir el punto c1 con el centro de la homología (puntos
homológicos están alineados con el centro) y obtener el punto de corte con la homológica de
b1-c1 obtenida anteriormente.
11 = 12
Ejercicios de Homologías
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Resolución completa del ejercicio.
Resolución completa del ejercicio a escala 1:1 en formato A4 (puede situarse vertical u
horizontalmente).
Ejercicios de Homologías
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HOMOLOGÍAS (unidades en milímetros).
EJERCICIO 4
Sea una homología dada por los siguientes datos:

El centro de la homología O[36,94]

Dos puntos de la recta límite de la primera forma m1[42,123] y n1[93,15]

Un punto doble b1[92,66]

Dos puntos de la primera forma a1[49,67] y c1[100,157]
Obtener la figura homológica (segunda forma) del triángulo de la primera forma dado por sus
vértices a1-b1-c1.
Eje X: coordenada vertical; eje Y: coordenada horizontal.
Conceptos necesarios:

Qué es una homología

Elementos de una homología: centro, eje, recta límite de la primera forma, recta límite de la
segunda forma

Los puntos de la recta límite de la primera forma son aquellos puntos cuyos homológicos
están en el infinito de la segunda forma

Puntos homológicos están alineados con el centro

Rectas homológicas se cortan en el eje

Los puntos del eje de la homología son dobles
Ejercicios de Homologías
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Se parte de los siguientes elementos.
El eje de la homología será paralelo a la recta límite de la primera forma (m1-n1) y pasará por
el punto b1 (al ser punto doble b1 = b2).
Importante: debe prestarse atención al hecho de que hay dos lados del triángulo de la
primera forma a1-b1-c1 que cortan a la recta límite de la primera forma, luego los homológicos de los
puntos de corte de dichos segmentos con la recta límite de la primera forma serán impropios (estarán
en el infinito).
Los segmentos a1-c1 y a1-b1 cortan a la recta límite de la primera forma; sus homológicos
son los segmentos a2-c2 y a2-b2 y están “abiertos”, no son continuos, al cortar la primera forma a la
recta límite de la primera forma el homológico del punto de corte estará en el infinito de la segunda
forma, es impropio.
SUS PUNTOS HOMOLÓGICOS
ESTARÁN EN EL INFINITO
Para resolver el ejercicio se aplicará:

Puntos homológicos están alineados con el centro

Rectas homológicas se cortan en el eje
Ejercicios de Homologías
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Segmento a1-b1.
Segmento a1-c1.
Ejercicios de Homologías
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Segmento b1-c1.
Resolución completa del ejercicio.
Ejercicios de Homologías
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Resolución completa del ejercicio a escala 1:1 en formato A4 (puede situarse vertical u
horizontalmente).
Ejercicios de Homologías
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HOMOLOGÍAS (unidades en milímetros).
EJERCICIO 5
Obtener una homología que transforme el cuadrilátero a1-b1-c1-d1 en un cuadrado de
lado l0 = 18; donde a1 = [56, 72], b1 = [68, 71], c1 = [62, 84], d1 = [54, 83].
Importante: para abordar la realización de estos ejercicios, debe extremarse el cuidado en el
momento de transcribir los datos y en el trazado de los elementos del ejercicio, ya que una desviación
superior a la normalmente asumible en la resolución de un ejercicio con escuadra y cartabón (es
decir, con el instrumental adecuado pero manualmente, sin ayuda de un sistema CAD) hará que los
puntos de corte de determinados segmentos salgan fuera de los límites del dibujo (una hoja en
formato A4).
Para mejorar la calidad del
PUNTO DE CORTE
INCORRECTO
PUNTO DE CORTE
CORRECTO
trazado, se aconseja no utilizar en
ningún caso (ni siquiera para repasar)
la escuadra o el cartabón por separado;
siempre deben utilizarse juntos.
Así mismo, para dibujar una
recta “paralela a…” o “perpendicular
LA RECTA PASA POR EL
PUNTO ADECUADO
UN PEQUEÑO ERROR EN EL TRAZADO
DE LA RECTA , HACE QUE LA
DESVIACIÓN EN EL PUNTO DE CORTE
PRODUZCA UN ERROR CONSIDERABLE
a…” se recomienda tomar la referencia
y el elemento dibujado, en el mismo
instrumento.
Nota: se recomienda disponer la hoja (formato A4) horizontalmente, así como situar el origen
de coordenadas a unos 25 milímetros del vértice superior izquierdo.
Ejercicios de Homologías
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Los únicos elementos de partida son los puntos del cuadrilátero de la primera forma. La
homología buscada deberá transformarlos en un cuadrado de lado l0.
Se comenzará analizando los lados opuestos del cuadrilátero.
Al prolongar los lados opuestos del cuadrilátero de la primera forma, se observa que
convergen, es decir se cortan en puntos propios, que sí pueden dibujarse. La homología buscada
debe transformar los lados del cuadrilátero de manera que al prolongar los lados opuestos, no se
corten, es decir, debe mandar los puntos de corte de los lados opuestos al infinito, así los lados
opuestos serán paralelos.
De entre los elementos que definen una homología, la recta límite de la primera forma es
aquella que está formada por puntos que sí pueden ser dibujados, cuyos homológicos están en el
infinito de la segunda forma (no pueden ser dibujados).
Como el cuadrilátero dado está en la primera forma, hay que definir la recta límite de la
primera forma L1 de manera que pase por los puntos de corte obtenidos al prolongar los lados
opuestos; así se conseguirá que en la segunda forma los lados opuestos sean paralelos.
Ejercicios de Homologías
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Al definir la recta límite de la primera
forma L1 de manera que pase por los puntos de
corte de los lados opuestos del cuadrilátero en
la primera forma, se ha conseguido que lados
opuestos en la segunda forma se transformen
en paralelos.
Es decir, de momento (mediante L1) se
ha conseguido transformar el cuadrilátero en un
romboide.
 Con L1 se transforman rectas convergentes
en la primera forma, en rectas paralelas en
la segunda forma.
A continuación se analizarán los lados contiguos del cuadrilátero.
Los ángulos de los vértices del cuadrilátero en la primera forma, de valor desconocido, se
transforman en ángulos de 90º.
Para conseguir el objetivo de transformar un
//r2
ángulo arbitrario en la primera forma en uno de valor
dado en la segunda forma, hay que determinar la
posición del centro de la homología O respecto de la
//s2
recta límite de la primera forma L1.
En la figura adjunta se ve cómo, dadas dos
rectas de la primera forma s1 y r1, los puntos de corte de
dichas rectas con L1 tienen sus puntos homológicos en
el infinito de la segunda forma.
Por tanto, los rayos determinados al unir dichos
r2
puntos de corte con O, serán paralelos a sus rectas
homológicas s2 y r2, y el ángulo que determinan esos dos
s2
rayos (α) es el mismo que determinan s2 y r2.
Ejercicios de Homologías
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Es decir, para lograr transformar un ángulo
arbitrario en la primera forma (el formado por r1 y s1) en
uno de valor conocido en la segunda forma (el formado
//r2
por r2 y s2), por ejemplo de valor α, hay que conseguir
que la posición del centro de la homología O respecto
//s2
de la recta límite de la primera forma L1, esté en el
arco capaz de dicho ángulo α respecto del segmento
determinado por los puntos de corte de r1 y s1 con L1.
 Con O y L1 se transforman ángulos.
En este caso particular se pretende transformar ángulos en la primera forma (cuyo valor
desconocemos) en ángulos rectos.
r2
Para ello se prolongan los lados del cuadrilátero de la primera forma, por ejemplo c1-d1 y a1d1. Daría igual tomars2cualquier otra pareja de lados contiguos ya que la recta límite de la primera
forma (L1) ya está definida, precisamente por los puntos de intersección obtenidos al prolongar los
lados opuestos (puntos 1 y 2).
1
2
L1
El centro deberá estar en el arco capaz de 90º del segmento determinado por 1 y 2 sobre L1.
El arco capaz de 90º de un segmento dado coincide con la semicircunferencia de centro el
punto medio del segmento y radio la semi-longitud del segmento.
Ejercicios de Homologías
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Al trazar el arco capaz del segmento
definido en L1 por la prolongación de los
lados contiguos del cuadrilátero de la primera
forma,
se
obtienen
infinitas
posiciones
posibles para el centro O de la homología.
Al considerar conjuntamente la recta
límite de la primera forma L1 y el arco capaz
obtenido en este paso, se ha conseguido
transformar el cuadrilátero dado a1-b1-c1-d1
en un rectángulo.
Sin embargo todavía no está determinado el centro O, para el que de momento hay infinitas
posiciones.
El eje de la homología tendrá consecuencias sobre el tamaño final de un determinado
segmento, pero no transforma ni posiciones ni ángulos.
Para determinar el centro de la homología buscada hay que aplicar nuevamente una
condición de transformación de ángulos.
A continuación se analizarán las diagonales del cuadrilátero.
En un cuadrado las diagonales forman 90º; en realidad la expresión adecuada sería decir que
en un rombo las diagonales forman 90º.
Combinando la condición de rectángulo (centro en el arco capaz del segmento definido en L1
al prolongar lados contiguos) con la condición de rombo (centro en el arco capaz del segmento
definido en L1 al prolongar las diagonales) se obtendrá un cuadrado, un rectángulo que es a la vez un
rombo.
Ejercicios de Homologías
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Con estos elementos ya se tendría una homología que transformaría el cuadrilátero a1-b1-c1d1 en un cuadrado, pero no del tamaño requerido.
Como se comentó anteriormente el eje de la homología tiene consecuencias sobre el tamaño
final de un determinado segmento.
 Con el eje E se transforman longitudes.
Para determinar el eje E de la homología hay que aplicar la solución de un problema de
geometría plana: situar un segmento de longitud dada (lo = 1-2) y de dirección dada, entre dos rectas
conocidas.
Para ello se colocará el segmento de forma que uno de sus extremos, por ejemplo el punto 1,
esté situado en una de las rectas. Por el extremo que queda libre (en este caso el punto 2) se trazará
una recta paralela a la primera, a la que contiene el punto 1, hasta que corte a la segunda recta en un
punto 3. A partir de este punto se trazará una paralela a la dirección conocida del segmento, que de
esta forma quedará comprendido entre las dos rectas dadas, con la dirección y el tamaño dados.
1
//
2
3
//
Ejercicios de Homologías
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Para aplicar esta solución a nuestro caso particular, primero hay que obtener la dirección final
de uno de los lados del cuadrilátero de la primera forma, y para ello hay que definir un eje auxiliar,
que servirá para poder desarrollar la solución anterior.
Este eje auxiliar debe ser paralelo a la recta límite de la primera forma, y debe trazarse de
manera que no comprometa demasiado la claridad del ejercicio (por ejemplo, no sería recomendable
trazarlo por la mitad del cuadrilátero de la primera forma, con la consiguiente confusión de líneas), y
además debe caber dentro de los límites aceptables del formato de hoja en el que se está resolviendo
el ejercicio.
Por todo ello se recomienda trazar el eje auxiliar Eaux en un entorno cercano al punto del
cuadrilátero de la primera forma más alejado de la recta límite L1. En este caso, el punto b1.
En el límite, para “ahorrar” espacio en el papel del trabajo, el eje auxiliar se trazaría por el
mismo punto b1 que de esta forma sería un punto doble.
Para determinar la dirección final de uno de los lados del cuadrilátero dado en la primera
forma, se recomienda elegir un lado cuyo trazado favorezca la claridad del dibujo.
En este caso en particular, se recomienda trabajar con el lado a1-b1 antes que con el lado
c1-b1, por razones obvias de claridad: la recta en primera forma y su homológica en la segunda
forma están dispuestas “un tanto más perpendicularmente”, por lo que los cortes, las intersecciones
serán más claras (véase la figura siguiente).
Ejercicios de Homologías
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Se recomienda trabajar con el lado a1-b1 antes que con el lado c1-b1.
//r2
r1
//r2
r2
r1
r2
Se procede a determinar el homológico de a1-b1, teniendo en cuenta su tamaño final.
Ejercicios de Homologías
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Una vez determinados los puntos a2-b2 (homológicos de a1-b1) y con el tamaño final
requerido, hay que obtener el eje final.
Para ello hay que tener en cuenta que rectas homológicas se cortan en el eje, por lo que a1b1 y a2-b2 se cortarán en un punto del eje final E, que será paralelo a la recta límite de la primera
forma L1.
Una vez determinado el centro O, la recta límite de la primera forma L1 y el eje E, la
homología está ya definida.
Ejercicios de Homologías
41 / 63
Resolución completa del ejercicio a escala 1:1 en formato A4 (puede situarse vertical u
horizontalmente).
Resolución completa del ejercicio.
Ejercicios de Homologías
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HOMOLOGÍAS (unidades en milímetros).
EJERCICIO 6
Obtener una homología que transforme el cuadrilátero a1-b1-c1-d1 en un cuadrado de
lado l0 = 29; donde a1 = [34, 37], b1 = [44, 47], c1 = [29, 52], d1 = [25, 44].
Para la resolución de este ejercicio deben seguirse los pasos descritos en la resolución del
ejercicio anterior.
Resolución completa del ejercicio a escala 1:1 en formato A4 (puede situarse vertical u
horizontalmente).
Ejercicios de Homologías
43 / 63
Resolución completa del ejercicio.
Ejercicios de Homologías
44 / 63
HOMOLOGÍAS (unidades en milímetros).
EJERCICIO 7
Obtener una homología que transforme el triángulo a1-b1-c1 en un triángulo equilátero de
lado lo = 36, donde a1 = [73, 84], b1 = [95, 90], c1 = [51, 106].
Tal y como se ha comentado en el Ejercicio 5 de estos apuntes:
 Con la recta límite de la primera forma L1 se transforman rectas convergentes en la
primera forma, en rectas paralelas en la segunda forma.
 Con el centro O y con L1 se transforman ángulos.
 Con el eje E se transforman longitudes.
En este caso no hay que transformar rectas concurrentes en rectas paralelas por lo que la
elección de la recta límite de la primera forma es arbitraria, sin más condicionante que el que la
prolongación de los lados del triángulo dado (en la primera forma) la corten dentro de los límites del
dibujo.
En este caso se ha elegido la recta límite de
la primera forma L1 tal y como se muestra en la
figura, pero podría haberse trazado de infinitas
formas
Ejercicios de Homologías
45 / 63
Los lados contiguos de un triángulo equilátero formarán 60º, por lo que el centro de la
homología O estará en el arco capaz de 60º del segmento formado por los puntos de corte sobre L1
de la prolongación de dos lados contiguos el triángulo dado. Bastará con prolongar dos parejas de
lados contiguos del triángulo ya que los ángulos internos de un triángulo suman 180º.
En este caso las dos parejas de lados contiguos que se han utilizado para definir los dos
arcos capaces son a1-b1 y b1-c1 por una parte, y a1-c1 y b1-c1. El centro de la homología O estará
situado en la intersección de los dos arcos capaces trazados.
Con L1 y O ya se ha conseguido transformar el triángulo dado en un triángulo equilátero. Para
conseguir que sus lados midan la longitud requerida se utilizará un eje auxiliar Eaux para aplicar el
artificio de geometría plana explicado en el Ejercicio 5 de estos apuntes.
Una vez obtenido el eje final E, la homología ya está definida.
Ejercicios de Homologías
46 / 63
Resolución completa del ejercicio a escala 1:1 en formato A4 (puede situarse vertical u
horizontalmente).
Resolución completa del ejercicio.
Ejercicios de Homologías
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HOMOLOGÍAS (unidades en milímetros).
EJERCICIO 8
Transformación homológica de una circunferencia en una elipse.
Datos centro O, eje E y recta limite de la primera forma L1, así como la circunferencia de
centro y diámetros dados.
Se considera a la circunferencia dada un elemento de la primera forma, y a la elipse buscada,
un elemento de la segunda forma.
El resultado de la transformación será una elipse porque la circunferencia dada no corta a la
recta límite de la primera forma.
Desde el centro O se traza una recta arbitraria que corta a la recta límite de la primera forma
L1 en un punto 1, desde donde se trazan las rectas tangentes a la circunferencia dada, con puntos de
tangencia t1 y t2.
Nota: para obtener las rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior, basta con unir
dicho punto con el centro de la circunferencia y trazar una circunferencia desde el punto medio
de dicho segmento y radio la mitad de su valor. Los puntos donde corte a la primera
circunferencia serán los puntos de tangencia.
Ejercicios de Homologías
48 / 63
Al unir mediante una recta los puntos t1 y t2, y prolongarlos hasta L1, se obtiene el punto 2,
desde donde se trazan rectas tangentes a la circunferencia, con puntos de tangencia t3 y t4.
Al unir mediante una recta los puntos de tangencia t3 y t4 y prolongarlos hasta L1, se
comprueba que dicha recta pasa por el punto 1.
Considerando las construcciones realizadas hasta ahora como elementos de la primera forma
(antes de la transformación solicitada), los diámetros conjugados de la elipse buscada (constituirá la
segunda forma) vienen dados por las rectas homológicas de t1-t2 y de t3-t4.
Las
direcciones
de
los
diámetros
conjugados de la elipse vienen dadas por O-1
y O-2.
Las rectas tangentes a la elipse (segunda forma) vienen dadas por las rectas homológicas de
las rectas tangentes a la circunferencia (primera forma).
Rectas 1-t1 y 1-t2 (dirección O-1).
Rectas 2-t3 y 2-t4 (dirección O-2).
Ejercicios de Homologías
49 / 63
Con los diámetros conjugados de la elipse y las tangentes obtenidas, ya se puede dibujar la
elipse buscada.
Construcción de una elipse dados sus diámetros conjugados.
Se toma uno de los diámetros conjugados como diámetro de una circunferencia, y se traza el
diámetro perpendicular al anterior.
Al unir los puntos extremos de los diámetros (los diámetros conjugados de la elipse y los de la
circunferencia trazada) se obtiene la “dirección” de la transformación aplicada (es una afinidad).
Se aplica la misma transformación a diferentes puntos de la circunferencia (no es necesario
aplicarlos a un número muy elevado). Para obtener la elipse sólo hay que unir esos puntos.
Ejercicios de Homologías
50 / 63
Resolución completa del ejercicio a escala 1:1 en formato A4 (puede situarse vertical u
horizontalmente).
Resolución completa del ejercicio.
Ejercicios de Homologías
51 / 63
HOMOLOGÍAS (unidades en milímetros).
EJERCICIO 9
Transformación homológica de una circunferencia en una parábola.
Datos centro O, eje E y recta limite de la primera forma L1, así como la circunferencia de
centro y diámetros dados. La circunferencia es tangente en el punto t1 a la recta límite de la primera
forma.
Se considera a la circunferencia dada un elemento de la primera forma, y a la parábola
buscada, un elemento de la segunda forma.
El resultado de la transformación será una parábola porque la circunferencia dada corta a la
recta límite de la primera forma en un punto (son tangentes). El homológico del punto de tangencia
estará en el infinito (por pertenecer a la recta límite de la primera forma).
Obtención del eje y de la dirección de la directriz de la parábola.
Desde el punto de tangencia t1 (en la recta límite de la primera forma L1), trazamos una recta
hasta el centro de la homología (punto O); a 90º de dicha recta, trazamos una recta que cortará a L1
en un punto m1.
Ejercicios de Homologías
52 / 63
Desde el punto m1 se traza la recta tangente a la circunferencia, obteniendo el punto de
tangencia v1.
El punto homológico de t1 está en el infinito (t1 pertenece a L1), de forma que la recta
homológica de la recta v1-t1 (es decir, v2-t2, o lo que es lo mismo v2-∞) representa la dirección del
eje de la parábola, y el punto homológico de v1 (es decir v2) representa el vértice de la parábola.
La recta límite de la primera forma es tangente a la circunferencia. La recta homológica de la
otra tangente dibujada, es decir, la recta homológica de v1-m1, representa la recta perpendicular al
eje en el vértice (tangente a la parábola en el vértice, y paralela a la directriz).
Obtención del foco de la parábola.
Se dibujan las rectas tangentes a la circunferencia desde el centro de la homología (punto O).
Al ser trazadas desde el centro de la homología, serán tangentes a la circunferencia (primera forma) y
a la parábola (segunda forma).
Ejercicios de Homologías
53 / 63
Se prolongan dichas rectas tangentes hasta que corten a la recta tangente a la parábola en el
vértice v2 en los puntos 1 y 2 y a partir de dichos puntos se trazan rectas a 90º (a 90º de O-1 y a 90º
de O-2) que cortarán al eje de la parábola en el punto F, que es el foco de la parábola.
Para obtener la directriz basta con trazar una perpendicular al eje de la parábola a una
distancia igual a v2-F, y así se obtiene el punto F’ (v2-F = v2-F’).
2
1
Con estos datos, ya es posible construir la parábola.
Construcción de una parábola conociendo la directriz y el foco. Por puntos

A partir del foco F se sitúan puntos arbitrarios: 1, 2, 3, etc., y por ellos se trazan paralelas a la
directriz.
Ejercicios de Homologías
54 / 63

Tomando como radios las distancias F’-1, F’-2, etc., y haciendo siempre centro en el punto F,
se trazan arcos que cortan, respectivamente, a las rectas que pasan por 1, 2, 3, etc.,
obteniéndose los puntos 1a y 1b, 2a y 2b, y así sucesivamente.

Al unir estos puntos con trazo continuo resulta la parábola buscada
Resolución completa del ejercicio a escala 1:1 en formato A4 (puede situarse vertical u
horizontalmente).
Ejercicios de Homologías
55 / 63
Resolución completa del ejercicio.
Ejercicios de Homologías
56 / 63
HOMOLOGÍAS (unidades en milímetros).
EJERCICIO 10
Transformación homológica de una circunferencia en una hipérbola.
Datos centro O, eje E y recta limite de la primera forma L1, así como la circunferencia de
centro y diámetros dados. La circunferencia corta en dos puntos a la recta límite de la primera forma.
Se considera a la circunferencia dada un elemento de la primera forma, y a la hipérbola
buscada, un elemento de la segunda forma.
El resultado de la transformación será una hipérbola porque la circunferencia dada corta a la
recta límite de la primera forma en dos puntos. Los homológicos de los puntos de corte estarán en el
infinito (por pertenecer a la recta límite de la primera forma).
La circunferencia corta a la recta límite de la primera forma en dos puntos (n1 y m1). Los
homológicos de dichos puntos estarán en el infinito. Se determinan las rectas tangentes a la
circunferencia en n1 y en m1, así como el punto de corte de dichas rectas (P1).
Ejercicios de Homologías
57 / 63
La tangencia se conserva en la homología: una recta tangente a la primera forma (la
circunferencia) tendrá como recta homológica a una recta tangente a la segunda forma (la hipérbola).
Los puntos de tangencia en la primera forma tendrán como puntos homológicos a puntos de
tangencia en la segunda forma.
PROPIEDADES DE LAS FIGURAS HOMOLÓGICAS
A1-A2 PUNTOS HOMOLÓGICOS
R1-R2 RECTAS HOMOLÓGICAS
F1-F2 FIGURAS HOMOLÓGICAS
SI R1 ES TANGENTE A F1 EN A1
R2 ES TANGENTE A F2 EN A2
SI R1 ES TANGENTE A F1 EN EL PUNTO DE
CORTE DE F1 CON L1
R2 ES UNA ASÍNTOTA DE F2
Como n1 y m1 pertenecen a la recta límite de la primera forma, sus homológicos estarán en
el infinito, por lo que las rectas homológicas de las tangentes a la circunferencia, serán tangentes a la
hipérbola en el infinito, es decir, serán las rectas asíntotas de la hipérbola.
El punto de corte de las rectas tangentes en la primera forma (P1), será punto de corte de las
rectas homológicas de las tangentes anteriores, es decir, de las asíntotas, luego será el centro de la
hipérbola (P2), donde dichas rectas asíntotas a la hipérbola se cortan.
Ejercicios de Homologías
58 / 63
El eje focal (también llamado eje transverso o eje real) se determina como la recta bisectriz
de las asíntotas obtenidas.
El eje conjugado (también llamado eje imaginario) se obtiene trazando la recta
perpendicular al eje real en el centro de la hipérbola (P2).
Ejercicios de Homologías
59 / 63
Para determinar los vértices de la hipérbola hay que obtener la recta de la primera forma de
la cual es homológica el eje real obtenido.
Para ello se traza una paralela al eje real por el centro de la homología (punto O). Dicha recta
corta a la recta límite de la primera forma en un punto, que junto con el punto de corte del eje real con
el eje, determinan la recta buscada. Esta recta corta a la circunferencia en los puntos v1 y w1.
La recta v1-w1 representa la recta de la primera forma cuya recta homológica es el eje real
de la hipérbola.
Los homológicos de los puntos v1 y w1, denotados por v2 y w2, son los vértices de la
hipérbola.
Ejercicios de Homologías
60 / 63
Obtención de los focos de la hipérbola.
Se trazan rectas perpendiculares al eje real a partir de los vértices v2 y w2. Con centro en el
punto P2 (centro de la hipérbola) y radio el determinado sobre las asíntotas por los puntos de corte de
dichas perpendiculares y el centro de la hipérbola, se traza una circunferencia que cortará al eje real
en los puntos F y F’, focos de la hipérbola.
Conocidos los ejes, las asíntotas, el centro, los vértices y los focos, ya se puede determinar la
hipérbola. Para ello se determinan puntos 1, 2, 3, 4, … distribuidos sobre el eje real a partir de los
puntos F y F’.
Ejemplo: punto 1. Con radios w2-1 y v2-1 se determinan circunferencias de centros F y F’,
que se cortarán en puntos de la hipérbola.
Ejercicios de Homologías
61 / 63
Se procede de esta forma para los puntos 2, 3, 4, …
Uniendo todos los puntos obtenidos, se determina la hipérbola.
Ejercicios de Homologías
62 / 63
Resolución completa del ejercicio a escala 1:1 en formato A4 (puede situarse vertical u
horizontalmente).
Resolución completa del ejercicio.
Ejercicios de Homologías
63 / 63