Momentos estáticos.

VII. MOMENTOS ESTÁTICOS
El momento estático es la suma de los productos de cada elemento de
un cuerpo por su distancia a un eje. Hay momentos estáticos del peso, de
la masa, del volumen de los cuerpos, y de áreas y de líneas. Se llaman
momentos por su semejanza con los momentos de las fuerzas, que se
obtienen mediante el producto de una fuerza por la distancia de su línea de
acción a un cierto eje y tienden a lograr que el cuerpo gire. Pero los
momento estáticos no producen ninguna tendencia al giro, por eso son
estáticos. Se llaman también momentos de primer orden.
Aunque se trata de un concepto meramente matemático, sin ninguna
referencia física, nos servirán para obtener lugares reales, como el centro
de gravedad y el centro de masa de un cuerpo, así como los centroides de
volumen, de área y de línea.
Peso de un cuerpo
La fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo se llama peso. Aunque la
hemos venido considerando como una fuerza concentrada, realmente no lo
es, el peso de un costal de manzanas, por ejemplo, es la suma de los pesos
de cada manzana.
Pensemos en un menhir o en una gran piedra cualquiera ( 1 ). Su peso es
la suma de los pesos de cada una de sus partículas. Todos esos pesos
constituyen un sistema de fuerzas paralelas. Para determinar su resultante
emplearemos las dos ecuaciones siguientes:
𝑅 = ∑𝐹
(1 ) Este tema podría estudiarse sin dificultad en un curso de Cálculo.
Momentos estáticos
𝑀𝑂 𝑅 = ∑ 𝑀𝑂 𝐹
de donde
𝑥̅ 𝑅 = ∑ 𝑥𝐹
que, para este caso particular, se
convierten en
𝑃 = ∫ 𝑑𝑃
A
𝑥̅ 𝑃 = ∫ 𝑥 𝑑𝑃
Esta última integral es el momento estático del peso con respecto al eje
de las yes, que se suele simbolizar así:
𝐵𝑦𝑃 = ∫ 𝑥 𝑑𝑃
Y el momento estático del peso respecto al eje de las equis es
𝐵𝑥𝑃 = ∫ 𝑦 𝑑𝑃
Puesto que los cuerpos tienen tres dimensiones, es más frecuente
trabajar con los momentos estáticos del peso de un cuerpo, no respecto a
ejes, sino respecto a planos; o sea
𝑃
𝐵𝑦𝑧
= ∫ 𝑥 𝑑𝑃;
𝑃
𝐵𝑥𝑧
= ∫ 𝑦 𝑑𝑃;
𝑃
𝐵𝑥𝑦
= ∫ 𝑧 𝑑𝑃
Como las coordenadas x, y y z pueden ser positivas, negativas o nulas,
los momentos estáticos también pueden resultar positivos, negativos o
nulos. Los momentos estáticos de un cuerpo, respecto a un plano de
simetría son nulos, puesto que el momento de un lado del plano es igual al
del otro, pero de sentido contrario. Dicho de otra manera, el centro de
gravedad de un cuerpo se encuentra en el plano de simetría, si el cuerpo lo
tiene. Y se hallará también en el eje o en el punto de simetría, si existe.
156
Momentos estáticos
Centro de gravedad
Con los cocientes de los anteriores momentos estáticos entre el peso
del cuerpo se obtienen tres coordenadas de un punto contenido siempre
es decir, independientemente de la colocación del cuerpo en la línea
de acción del peso.
𝑃
𝐵𝑦𝑧
𝑃
= 𝑥̅ ;
𝑃
𝐵𝑥𝑧
𝑃
= 𝑦̅;
𝑃
𝐵𝑥𝑦
𝑃
= 𝑧̅
Ese punto se llama centro de gravedad: 𝐺(𝑥̅ , 𝑦̅, 𝑧̅). El centro de gravedad, es pues, la posición del peso de un cuerpo.
Centro de masa
Así como hablamos de momentos estáticos del peso, podemos
pensar en los momentos estáticos de la masa de un cuerpo:
𝑚
𝐵𝑦𝑧
= ∫ 𝑥 𝑑𝑚 ;
𝑚
𝐵𝑥𝑧
= ∫ 𝑦 𝑑𝑚;
𝑚
𝐵𝑥𝑦
= ∫ 𝑧 𝑑𝑚
Y el punto cuyas coordenadas sean
𝑃
𝐵𝑦𝑧
𝐵𝑃 𝐵𝑃
, 𝑥𝑧 , 𝑥𝑦
𝑚 𝑚 𝑚
será el centro de la masa del cuerpo. Fácilmente se puede observar que,
como el peso es igual al producto de la masa por la aceleración de la
gravedad, es decir, P = mg, también dP = g dm. Y si el valor de la gravedad
es el mismo para todas las partículas del cuerpo, el centro de masa y el
centro de gravedad coinciden.
Si un cuerpo es homogéneo, es decir, que en cualquiera de sus partes
la razón de la masa al volumen es igual, la posición de los centros de
gravedad y de masa dependen sólo del volumen. El punto cuyas
coordenadas son los cocientes de los momentos estáticos del volumen entre
157
Momentos estáticos
el volumen, (x dV/V, y dV/V, z dV/V) es el centroide del volumen y
coincide con los dos centros mencionados.
Centroides de algunos volúmenes
Puesto que los momentos estáticos con respecto a planos, en particular los de volumen, son la suma de los productos de cada parte por su
distancia al plano, el de un cuerpo compuesto se obtiene sumando los
momentos estáticos de cada parte. Si dividimos el resultado de esa suma
entre el volumen de todo el cuerpo, obtenemos la distancia del plano al centroide. Ilustraremos esto con el siguiente ejemplo.
z
Ejemplo. El cuerpo que se muestra en
la figura es homogéneo. Determine las
coordenadas de su centro de gravedad.
2 cm
2 cm
20 cm
y
30 cm
x
12 cm
Como en este caso, por la homogeneidad del cuerpo y por sus limitada s
dimensiones tanto el centro de masa como el centro de gravedad y el
centroide del volumen son el mismo punto, nos limitaremos a obtener este
último.
Observamos, en primer lugar, que hay un plano paralelo al yz que es
de simetría, pues corta en dos partes iguales al cuerpo, cuya ecuación es x=
15. Por tanto, la abscisa x del centro de gravedad es 15 cm.
Podemos descomponer el cuerpo en dos prismas rectangulares, uno de
12 x 30 x 2 cm, y otro de 2 x 18 por 30 cm. Como cada uno de ellos admite
tres planos de simetría, sabemos que sus respectivos centroides de volume n
están en (15, 6, 1) y (15, 1,11) [cm]. Podríamos calcular los momentos
estáticos respecto a los planos, sumarlos, y, al dividirlos entre el peso total,
hallar la posición del centroide. Pero para facilitar el trabajo haremos la siguiente tabla.
158
Momentos estáticos
Parte
1
2
∑
Vi
72
108
180
yi
6
1
zi
1
11
yiVi
432
108
540
ziVi
72
1188
1260
𝑉
𝑉
Como 𝑦̅ = 𝐵𝑥𝑧
/𝑉 y 𝑧̅ = 𝐵𝑥𝑦
/𝑉, entonces 𝑦̅ = 540/180 = 3,
𝑧̅=1260/180=7. Por tanto, las coordenadas buscadas son
G(15, 3, 7)[cm]
Centroide del cono
Colocaremos un cono cuya base tiene un radio R y cuya altura es h con
el vértice en el origen de un sistema de referencia y con su eje de figura
coincidiendo con el eje de las cotas, como se muestra en la figura.
Descompondremos el cono en volúmenes de cuyos centroides conozcamos la posición, de modo que podamos calcular sus momentos estáticos
con respeto al plano xy y, sumándolos, obtener el del cono. En realidad se
trata de elegir un elemento diferencial del volumen que nos permita realizar
esa suma.
z
Un elemento diferencial idóneo es
R
un cilindro cuya base sea paralela al
plano horizontal y cuyo espesor sea inh
finitamente pequeño. El volumen de
este elemento es dV = r2 dz.
y
Y el volumen del cono será
x
2
2
V=r dz=r dz. Es fácil establecer
z
una relación entre r y z para poder
integrar: por semejanza de triángulos,
r/z = R/h, o sea, r=(R/h)z. El volume n
r
dz
es, por tanto, V=(R2 /h2 )z2 dz. Los
z
límites de la integral son 0 y h, por lo
y
cual resulta V = R2 /3.
x
159
Momentos estáticos
𝑉
Su momento estático se calcula fácilmente, pues es d𝐵𝑥𝑦
= z dV. Con
las mismas sustituciones que empleamos para obtener el volumen, llega 𝑉
mos a 𝐵𝑥𝑦
= (R2 /h2 )z3 dz. Y, puesto que lo límites son nuevamente 0 y h,
𝑉
𝐵𝑥𝑦
= R2 h2 /4. Dividiendo este momento estático entre el volumen, encontramos la cota del centroide:
3ℎ
𝑧̅ =
4
o sea, el centroide del volumen del cono se encuentra a un cuarto de su altura, desde la base.
Centroide de un hemisferio
Para hallar la posición del centroide de un hemisferio de radio R, se
puede seguir un procedimiento muy similar al que utilizamos para la determinación de la ubicación del centroide del cono.
El elemento diferencial que elegiz
remos es nuevamente un cilindro de
radio r, paralelo al plano xy, a una disR
tancia z de dicho plano: dV = r2 dz.
y
Para poder integrar con respecto a la
x
variable z, podemos recurrir al teorez
ma de Pitágoras para establecer la relación R2 = r2 + z2 ; de donde r2 = R2 – z2 .
r
dz
z
El lector podrá por su cuenta realizar
R
las integrales correspondientes para
x
llegar a encontrar que
r
R
2𝜋𝑅 3
3
4
𝜋𝑅
𝑉
𝐵𝑥𝑦
=
4
𝑉=
160
z
Momentos estáticos
y al dividir el momento estático entre el volumen, llegar a la posición
buscada:
𝑧̅ =
3𝑅
8
Centroides de algunas áreas
Limitaremos la determinación de las posiciones de los centroides de
superficies a las más usuales, que son el triángulo y el sector circular.
Centroide del triángulo
Para hallar el lugar que ocupa el centroide del triángulo, o baricentro, como
lo llamaban los antiguos, podemos reh
currir a vario procedimientos, el más
G
conocido es trazar las medianas del
h/3
triángulo y determinar su punto de concurrencia. En realidad bastaría con dibujar dos medianas, es decir dos líneas que pasen por el centro de dos lados
cualesquiera y por sus vértices opuestos: en la intersección se halla el centroide. No obstante, este dato resulta poco práctico en la resolución de problemas usuales de ingeniería.
En el capítulo correspondiente a resultantes de fuerzas paralelas,
dedicamos un apartado a las fuerzas distribuidas, y hallamos que la línea
de acción de la resultante de un sistema de cargas representado mediante
un triángulo pasa por un punto situado a la tercera parte de la altura a partir
de la base. De modo que no necesitamos ninguna otra demostración para
saber que el centroide de un triángulo tiene esa posición: basta conocer dos
de las alturas para determinar completamente las coordenadas de dicho
punto.
161
Momentos estáticos
Centroide de un sector circular
y
Estudiaremos un sector circular de
radio R comprendido en un ángulo 2
elegiremos un eje de las equis sobre su
eje de simetría, de modo que su centroide se encuentre en él, es decir 𝑦̅ = 0.
Como elemento diferencial tomaremos
un sector circular de radio R, inclinado
un ángulo  y comprendido en un ángulo
d, como se muestra en la figura.
x
dA
dθ
G
ds
θ
𝛽
R
Asimilaremos tal sector a un triángulo cuya altura sea R y cuya base
ds. Por tanto
𝑑𝐴 =
1
𝑅 𝑑𝑠
2
Como tenemos que integrar con respecto a , tengamos en cuenta que,
como todo ángulo se mide dividiendo el arco entre el radio, d=ds/R, o sea
que ds = R d. Podemos escribir
𝑑𝐴 =
1 2
𝑅 𝑑𝜃
2
e integrando desde – hasta  o, mejor, desde 0 hasta 2 (pues el área arriba
del eje de las equis es igual a la de abajo
1
1
𝐴 = ( ) 𝑅 2 ∫ 𝑑𝜃 = 2 ( ) 𝑅 2 ∫ 𝑑𝜃 = 𝑅 2 ∫ 𝑑𝜃
2
2
𝐴 = 𝛽𝑅 2
Calcularemos ahora el momento estático:
2
1
𝑑𝐵𝑦𝐴 = 𝑥 𝑑𝐴 = ( 𝑅 cos 𝜃) 𝑅 2 𝑑𝜃
3
2
162
x
Momentos estáticos
𝛽
1
∫ 𝑑𝐵𝑦𝐴 = 𝑅 3 ∫ cos 𝜃 𝑑𝜃
3
−𝛽
Como el momento del área sobre el eje de las equis es igual al del área
bajo el eje
𝐵𝑦𝐴
2 3 𝛽
2
= 𝑅 ∫ cos 𝜃 𝑑𝜃 = 𝑅 3 sen 𝜃|𝛽0
3
3
0
2 3
𝑥̅ 𝐴 = 𝑅 sen 𝛽
3
2 𝑅 3 sen 𝛽 2𝑅 3 sen 𝛽
𝑥̅ 𝐴 =
=
3
𝐴
3𝛽𝑅 2
𝑥̅ =
2𝑅 sen 𝛽
3𝛽
y
Dos sectores circulares de especial interés
son el semicírculo y el cuadrante de círculo. Para el primero, 𝛽 es igual a 𝜋/2 y su seno es 1;
por tanto
𝑥̅ =
R
x
R
2𝑅 (1)
3( 𝜋 ⁄2)
y
4𝑅
3𝜋
Si al semicírculo se le quita el cuadrante inferior, la distancia del centroide del que queda
al eje de las yes no cambia.
Por tanto, las coordenadas del centroide de
un cuadrante son:
𝑥̅ =
G
x
4𝑅
3𝜋
y
4𝑅
3𝜋
4𝑅
𝑥̅ = 𝑦̅ =
3𝜋
163
G
4𝑅
3𝜋
x
Momentos estáticos
x
6 cm
Ejemplo. Determine las coordenadas del
centroide del área compuesta que se muestra
en la figura.
18 cm
y
12 cm
Descompondremos el área en tres superficies: un rectángulo de 18x6
cm, un triángulo de 18 cm de altura por 6 de base, y un cuadrante de círculo
de 6 cm de radio
Parte
Ai
xi
yi
xiAi
yiAi
108
3
9
324
972
54
8
6
432
324
-28.3
2.55
15.45
-72
-437
684
859
133.7
𝑥̅ =
𝐵𝑦𝐴
𝐴
684
= 133 .7 = 5.12; 𝑦̅ =
𝐵𝑥𝐴
𝐴
859
= 133 .7 = 6.42
𝐺 (5.12 , 6.42)[𝑐𝑚]
Lo que hemos dicho acerca de los momentos estáticos con respecto a
los ejes cartesianos, se puede extrapolar sin ninguna dificultad a los planos
cartesianos. De forma que
164
Momentos estáticos
z
Ejemplo. Diga cuáles son las tres coordenadas del área compuesta que se representa en la figura.
12´´
y
12´´
x
Para determinar esas coordenadas, utilizaremos los momentos estáticos del área, descompuesto en partes, respecto a los planos cartesianos
Parte
Ai
xi
yi
zi
xiAi
yiAi
ziAi
72
4
0
4
288
0
288
144
6
6
0
864
864
0
144
0
6
6
0
864
864
-113.1
0
6.91
6.91
0
-781
-781
1152
947
371
246.9
𝑦4 = 𝑧4 = 12 −
𝑥̅ =
4𝑅
= 6.91
3𝜋
𝐴
𝐵𝑦𝑧
1152
=
𝐴
2469
165
Momentos estáticos
𝑦̅ =
𝐴
𝐵𝑥𝑦
947
=
𝐴
246.9
𝐴
𝐵𝑥𝑦
371
𝑧̅ =
=
𝐴
246.9
𝐺 (4.67´´, 3.84´´, 1.503´´)
Con lo que hemos estudiado en este capítulo, podemos también
determinar los centros de gravedad y de masa de cuerpos no homogéneos,
como el que se presenta en el siguiente ejemplo.
30 mm
30 mm
Ejemplo. La figura representa la
sección transversal de una barra de 50
cm de largo, fabricada con aluminio
(1) y acero (2) cuyos pesos específico s
son 520 y 780 g/cm2 , respectivamente.
Determine la posición del centro de
gravedad de la barra.
y
(1
)
30
mm
60
mm
(2
)
x
20 mm
20 mm
Como el plano paralelo al xy que
pasa a 25 cm del origen es plano de simetría, 𝑧̅ = 250 𝑚𝑚. Además, el plano
xy también es de simetría; o sea que
𝑥̅ =0.
Para hallar las otras dos coordenadas, emplearemos los momentos estáticos de área, dándoles cierto peso.
Descompondremos en tres partes: un
área semielíptica de aluminio, una rectangular negativa de aluminio, más otra
rectangular de acero.
166
y
x
z
50 cm
Momentos estáticos
Aunque podríamos recurrir a las tablas de los textos para conocer la posición del centroide de un área semielíptica, la buscaremos mediante integra ción.
y
dA
𝑑𝐴 = 2𝑥𝑑𝑦
𝑥2
302
De la ecuación de la elipse
60
x
x
+
𝑦2
602
=1
dy
y
𝑥2
𝑦2
=
1
−
302
602
30
𝑥 = √900 −
30
x
𝑦2 1
= √3600 − 𝑦 2
4
2
𝑑𝐴√3600 − 𝑦 2 𝑑𝑦
60
𝐴 = ∫ √3600 − 𝑦 2 𝑑𝑦 =
0
𝑦
𝑦 60
√3600 − 𝑦 2 + 1800𝑎𝑛𝑔𝑠𝑒𝑛 |
2
60 0
Y el momento estático será
𝑑𝐵𝑥𝐴 = 𝑦𝑑𝐴
60
60
1
3
𝐵𝑥𝐴 = ∫ 𝑦√3600 − 𝑦 2 𝑑𝑦 = − (3600 − 𝑦 2 ) ⁄2 |
3
0
0
2827𝑦̅ =
72000
= 25.47
2827
167
Momentos estáticos
Entonces
Parte
Ai
𝜌i
𝜌iAi
yi
yi𝜌iAi
2827
0.520
1470
25.47
37440
-1200
0.520
-642
15
-9630
1200
780
936
15
14040
∑
1764
𝑦̅ =
41850
∑ 𝑦𝑖 𝜌𝑖 𝐴𝑖 41850
=
= 23.7
𝜌𝑖 𝐴𝑖
1764
Por lo tanto, las coordenadas del centro de gravedad son
𝐺 (0, 23.7, 250)[𝑚𝑚]
Teorema de Pappus-Guldinus
Una aplicación interesante y práctica de los momentos estáticos se
presenta con el teorema de Papo, un griego del siglo tercero de nuestra era,
que formalizó Guldin en el s. XVI. Como este último latinizó ambos
nombres, el teorema sigue conociéndose como de Pappus-Guldinus (2 ).
(2 ) En realidad son dos los teoremas que llevan este nombre. El primero,
que no se estudiará aquí, desmuestra que el área de una superficie de revolución es igual al producto de la longitud de la línea generatriz por la distancia que recorre su centroide.
168
Momentos estáticos
Así como el volumen de un cilindro de un prima, o de cualquier cuerpo
de sección transversal constante, puede obtenerse multiplicando el área de
la base por la longitud del cuerpo, el teorema de Pappus-Guldinus
demuestra que el volumen de un cuerpo engendrado al hacer girar una
superficie alrededor de un eje se puede calcular mediante el producto del
área generatriz multiplicada por la longitud que recorre su centroide.
Tomemos una superficie cualquiera
de tamaño A, cuyo centroide es el punto
G, como se muestra en la figura.
Escogeremos un área diferencial separada una distancia y del eje de las equis. Al
girar dicha superficie alrededor del eje
equis, el área diferencial dA generará un
volumen igual a dicha área multiplicada
por la longitud que recorre: dV = l dA,
pero tal longitud en 2y. El volumen del
cuerpo engendrado lo podemos obtener
integrando:
G
dA
𝑦̅
y
𝑉 = ∫ 𝑑𝑉 = ∫ 2𝜋𝑦 𝑑𝐴 = 2𝜋 ∫ 𝑦 𝑑𝐴
en donde la última integral es el momento estático del área generatriz con
respecto al eje de las equis. Por tanto
𝑉 = 2𝜋𝑦̅𝐴
Pero 2𝜋𝑦̅ es la longitud que recorre el centroide del área al girar una
revolución. Por tanto,
𝑉 = 𝑙𝐴 QED
169
𝑥
Momentos estáticos
El teorema se puede enunciar como sigue: el volumen de un sólido de
revolución es igual al producto del área generatriz por la distancia que
recorre su centroide.
y
R
Ejemplo. Encuentre la fórmula del
volumen del cono, empleando el teorema de Pappus- Guldinus. Sean h su altura y R el ancho de su base.
h
G
x
R/3
𝑅
𝑙 = 2𝜋 (3 );
1
𝐴 = 2 𝑅ℎ;
𝑉=
𝑉 = 𝑙𝐴;
𝑅 1
𝑉 = 2𝜋 (3 ) 2 𝑅ℎ
1 2
𝜋𝑅 ℎ
3
1´´
1´´
Ejemplo. La figura representa la sección transversal de un anillo de 4 in de
diámetro interior. Calcule su volumen.
2´´
2´´
1´´
Descompondremos el área generatriz en un rectángulo y un semicírc ulo.
Elegiremos un eje de las equis que nos permita simplificar las operaciones
.
170
Momentos estáticos
Parte
∑
𝑦̅ =
Ai
yi
yiAi
2
-0.5
-1
π/2
4/3 π
2/3
3.571
0.3333
0.3333
= 0.09335
3.571
El radio de la trayectoria del centroide es igual al radio exterior menor
1.09335.
𝑣 = 2𝜋 (4 − 1.09335)3.571
𝑣 = 65.2 in3
Ejemplo. Se desea calcular el volumen de concreto que se necesita para la C
60
construcción de la cortina de la presa
° A
cuyas planta y sección transversal se
´
muestran en las figuras. ¿Cuál es ese
200
volumen?
Corte
A´A
70
m
80
m
A
80
m
m
Investigaremos la posición del centroide de la sección transversa l.
Calcularemos solo la abscisa, pues nos interesa su distancia al centro C.
171
Momentos estáticos
Parte
70
O
x
80 m
Ai
xi
xiAi
6400
40
256000
-3848
29.7
-114333
∑
𝑥̅ =
2552
141667
= 55.52
2552
El radio de la trayectoria del centroide es
𝑟 = 200 − 80 + 55.52 = 175.52
y la longitud que recorre es la sexta parte de la circunferencia
𝑙=
1
175.52𝜋
(2𝜋𝑟) =
= 183.81
6
3
𝑉 = 𝑙𝐴 = 183.81(2552)
𝑉 = 469 000 𝑚3
172
141667
Momentos estáticos
Serie de ejercicios de Estática
MOMENTOS ESTÁTICOS
y
y = kx2
1. Determine, por integrac ió n,
las coordenadas del centroide del
tímpano mostrado.
Sol. (3a/4, 3b/10)
b
x
a
Encuentre la posición de los centroides de las superficies que se
muestran en las siguientes figuras.
2. Sol. (17, 3.88) cm
3. Sol. (6.83, 4.95) in
y
y
8´´
9 cm
10´´
x
4´´
x
10 cm 14 cm 10 cm
4´´
4. Sol. (1.295, 1.295) cm
6´´
4´´
5. Sol. (2.66, 2.71) ft
y
y
4´
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
3´
2´
3´
3´
x
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
x
3´
173
3´
Momentos estáticos
6. Sol. ( – 4.93, 2.30) cm
7. Sol. (0, 3.37) cm
y
y
6 cm
4 cm
6 cm
10 cm
x
x
12 cm
8 cm
8. Sol. (12, – 0.734) in
9. Sol. (1.081, 2.62) ft
y
y
12 ´´
8 ´´
6´
8 ´´
45° 45°
2´
x
x
3´
5 mm
5 mm
11. Sol. (0.495, 0, 0.495) in
10 mm
z
10 mm
10 mm
10 mm
10. Sol. (5.54, 0, 4.46) in
z
10 mm
1´´
1´´
10 mm
y
20 mm
1´´
1´´
x
x
174
y
Momentos estáticos
12. La figura representa una
placa delgada de espesor uniforme de
0.5 in. El peso específico del materia l
(1) es de 6 lb/in3 y el del material (2),
8 lb/in3 . Determine el peso de la
placa y las coordenadas de su centro
de gravedad.
Sol. P = 66 lb, (3.18, 1.5) in
13. La figura representa la
sección transversal de una barra. La
masa específica del material (1) es de
520 g/cm3 y la del material (2), de
780 g/cm3 . Diga cuáles son las coordenadas x y y del centro de masa.
Sol. (13.06, 0) cm
y
3´´
(1)
(2)
x
4´´
2´´
y
20 cm
30°
30°
(1)
(2)
x
y
14. Calcule el volumen del
sólido de revolución que se genera al
girar la superficie mostrada alrededor
del eje de las yes.
Sol. 100.5 in3
2´´
2´´
x
2´´
15. En la figura se muestra el
área generatriz de un sólido de revolución. Determine el volumen del sólido, si el área rota en torno al eje de
las equis.
Sol. 36 600 cm3
175
2´´
30 cm
60°
10 cm
60°
x
Momentos estáticos
16. La figura muestra la
sección diametral de un toro. Calcule
su volumen.
Sol. 59.2 cm3
17. Un cilindro de 4 in de
radio y 12 de altura se tornea hasta
conseguir la pieza mostrada. Determine su volumen.
Sol. 377 in3
10 mm
10 mm
x
30 mm
30 mm
2 ´´
2´´
4´´
4´´
2´´
8 ´´
18. Las figuras representan la
planta y la sección transversal de la
cortina de una presa. Determine el
volumen de concreto que se requiere
para su construcción.
Sol. 306 000 ft3
176
10´
45°
150´
80´
50´