MATEMÁTICAS NM TRIGONOMETRÍA 1. (D) La siguiente figura

MATEMÁTICAS NM
TRIGONOMETRÍA
1. (D) La siguiente figura muestra un triángulo ABC, donde BC = 5 cm, 𝐵̂= 60º, 𝐶̂ = 40º.
a) Calcule AB.
b) Halle el área del triángulo.
2. (D) La siguiente figura muestra una circunferencia de 5 cm de radio y centro en O. Los
̂ mide 0,8 radianes. El punto N se
puntos A y B pertenecen a la circunferencia y 𝐴𝑂𝐵
encuentra sobre [OB] de tal modo que [AN] es perpendicular a [OB].
Halle el área de la región sombreada.
3. (D) La siguiente figura muestra un círculo de centro O y radio r. El sector circular
sombreado OACB tiene un área de 27 cm2. El ángulo AOB =  = 1,5 radianes.
a) Halle el radio.
b) Calcule la longitud del arco menor ACB.
4. (D) Resuelva:
a) -2sen2x – senx + 1 = 0
b) sen3x = 1 con 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋
c) 6 + 6senx = 6 para 0 ≤ x ≤ 2π
d) 6 + 6senx = 0, para 0 ≤ x ≤ 2π
5. (D) El siguiente diagrama muestra un círculo de radio r y centro O. El ángulo AOB = 
La longitud del arco AB es 24 cm. El área del sector OAB es 180 cm2.
Halle el valor de r y de 
6. (D) La siguiente figura muestra un sector circular de radio r cm, y ángulo subtendido
igual a . El perímetro del sector es 20 cm.
a) Compruebe que  =
20−2𝑟
.
𝑟
b) El área del sector es igual a 25 cm2. Halle el valor de r.
7. (D) La siguiente figura muestra el pentágono ABCDE, siendo AB = 9,2 cm, BC = 3,2 cm,
̂ = 110º, 𝐴𝐷𝐸
̂ = 52º y 𝐴𝐵𝐷
̂ = 60º.
BD= 7,1 cm, 𝐴𝐸𝐷
a) Halle AD.
b) Halle DE.
̂
c) El área del triángulo BCD es igual a 5,68 cm2. Halle 𝐷𝐵𝐶.
d) Halle AC.
e) Halle el área del cuadrilátero ABCD.
𝜋
8. (D) a) Sabiendo que cos A = 1/3 y que 0 ≤ 𝐴 ≤ 2 , halle cos 2A.
𝜋
c) Sabiendo que sen B = 2/3 y que 2 ≤ 𝐵 ≤ 𝜋, halle cos B.
9. (D) La siguiente figura muestra un semicírculo de centro O, diámetro [AB], y radio 2. Sea
̂ = 𝜃 radianes.
P un punto sobre la circunferencia con 𝑃𝑂𝐵
a) Halle el área del triángulo OPB en función de 𝜃.
b) Explique por qué el área del triángulo OPA es igual al área del triángulo OPB.
Sea S el área total de los dos segmentos circulares que aparecen sombreados en el
siguiente diagrama.
c) Compruebe que S = 2(π – 2sen 𝜃).
̂ 𝑦 𝐴𝐷𝐶
̂.
10. (D) La siguiente figura muestra un cuadrilátero ABCD con ángulos obtusos 𝐴𝐵𝐶
La figura no está
dibujada a escala
̂ = 30º, 𝐴𝐵𝐶
̂ = 𝑥º, 𝐴𝐷𝐶
̂ = yº.
AB = 5 cm, BC = 4 cm, CD = 4 CM, AD = 4 cm, 𝐵𝐴𝐶
a) Utilice el teorema del coseno para demostrar que 𝐴𝐶 = √41 − 40𝑐𝑜𝑠𝑥.
b) Utilice el teorema del seno en el triángulo ABC para obtener otra expresión para AC.
c) i) Determina x, dando la respuesta con dos decimales.
ii) Halle AC.
d) i) Halle y.
ii) Obtén el área del triángulo ACD.
11. (D) La siguiente figura muestra una circunferencia de centro O y radio 8 cm.
La figura no está
dibujada a escala
Los puntos A, B, C, D, E y F pertenecen a la circunferencia, y [AF] es un diámetro. La
longitud del arco ABC es de 6 cm.
a) Halle el valor del ángulo AOC.
b) A partir de lo anterior, halle el área de la región sombreada.
El área del sector circular OCDE es de 45 cm2.
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c) Halle el valor del ángulo COE.
d) Halle EF.
Elisa y su sombra forman un ángulo recto. La sombra mide 1,2 m y el ángulo con el que
se ve la parte superior de su cabeza desde el extremo de la sombra mide 54º 50’. Calcula
la altura de Elisa.
Sabiendo que sen  = 2/5 y que  es un ángulo del segundo cuadrante, calcula cos .
Sabiendo que tg  = 3 y que  es un ángulo del primer cuadrante, calcula sen .
Halla cos  y tg  sabiendo que sen  = 3/5.
Calcula sen  y tg  sabiendo que se verifica que cos  = 2/5.
17. Calcula redondeando a cuatro decimales:
a) cos 17º 30’ 20’’
b) tg 20º 30’ 40”
c) sen 39º 40’
18. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
a) 2sen x = 1
b) 2cos x = √3
c) sen 2x = 1
d) cos x = sec x
e) 3sen x – 2cos2x = 0
f) sen x · cos x = 0
g) 2sen2x = 1
h) tg 2x = √3
i) 4sen x = cosec x
j) 2sen x + 1= 3cosec x
k) sen x = cos2x + 1
l) sen x · cos x = sen x
m) sen2x + sen x – 2 = 0
n) sen 2x ·cos x = 3·sen2x
o) 2cos2x + cos 2x = 1
19. En un triángulo rectángulo se conocen la hipotenusa a = 12 m y un cateto c = 7,5 m.
Calcula los demás elementos.
20. En un triángulo rectángulo se conocen la hipotenusa a = 7,2 cm y el ángulo B = 42º 35’
23”. Calcula los demás elementos.
21. En un triángulo rectángulo se conocen el cateto c = 6,4 m y el ángulo contiguo B = 56º
23’ 44”. Calcula los demás elementos.
22. En un triángulo rectángulo se conocen los dos catetos b = 9,5 cm y c = 7,6 cm. Calcula
los demás elementos.
23. Una torre de alta tensión está colocada dentro del mar sobre un soporte. Desde la orilla
de la playa se mide el ángulo de elevación de la parte más alta y se obtiene 67º.
Alejándose en la misma dirección 50 m, el nuevo ángulo de elevación es de 25º. Calcula
la altura de la torre.
24. Se quiere medir la anchura de un río. Para ello se observa un árbol que está en la otra
orilla. Se mide el ángulo de elevación desde esta orilla a la parte más alta del árbol y se
obtienen 53º. Alejándose 30 m del río se vuelve a medir el ángulo de elevación y se
obtienen 35º. Calcula la anchura del río.
25. Calcula el valor de las siguientes expresiones:
a) Sen 45º + cos 45º
𝑠𝑒𝑛 45º
b) tg 45º - cos 45º
c) sen 30º + cos 60º - tg 45º
26. Desde un banco, B, se emite una señal de alarma que se recibe en dos comisarías, A y C,
distantes entre sí 2,5 km. Desde las comisarías se miden, sobre un plano de la ciudad,
los ángulos BAC = 48º y BCA = 37º. Halla la distancia del banco a cada una de las
comisarías.
27. De un depósito de agua salen dos tuberías, una de 175 m y otra de 205 m, que abastecen
a dos casas, A y B. Si el ángulo que forman las tuberías es de 105º, ¿cuál es la distancia
entre las casas?
28. Dos observadores de artillería antiaérea que se encuentran separados entre sí 4 km
divisan un avión. Si uno lo ve bajo un ángulo de 60º y otro bajo un ángulo de 45º, ¿a qué
altura se encuentra el avión?
29. ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo de lado 6 cm?
30. Si un triángulo isósceles tiene por base el lado desigual, que mide 25 cm, y sus ángulos
iguales son de 30º, ¿cuál es su perímetro y su área?
31. La cima de un risco se observa desde un punto A con un ángulo de elevación de 45º, y
dicha visual forma un ángulo de 70º con la visual de otro punto B, distante 250 m de A.
Desde el punto B, la visual de la cima forma un ángulo de 65º con la visual del punto A.
Halla la altura del risco sabiendo que A y B son puntos al nivel del mar.