P2Par10

Departamento de Física Aplicada III
Escuela Superior de Ingenieros
Camino de los Descubrimientos s/n
41092 Sevilla
Examen Parcial de Fundamentos Fı́sicos de la Ingenierı́a
Primer Curso de Ingenierı́a Industrial.
9 de junio de 2009
PROBLEMA 1
Una carga -Q se distribuye uniformemente en el volumen de una esfera de radio R. Colocamos el
origen de coordenadas en el centro de la esfera. Se pide:
a) Calcular el campo eléctrico en un punto cualquiera del interior de la esfera.
b) Se coloca una carga puntual q dentro de la esfera y sobre el eje x de forma que su posición
viene dada por ~r = x~ı con x < R. Obtener una expresión para la fuerza que la nube de carga
esférica ejerce sobre la carga puntual. Discutir la dirección y el sentido de la fuerza en función de
si es x > 0 ó x < 0. ¿Cuánto vale la fuerza si la carga está en el centro de la esfera (x = 0)?.
c) En la región donde se encuentra la esfera con la carga puntual se impone un campo eléctrico
~ = E0~ı. Si admitimos que la nube de carga esférica no se deforma ni se mueve
externo uniforme E
¿Cuál es ahora la posición de equilibrio de la carga puntual?
d) Suponga ahora que con la carga quieta en su posición de equilibrio el campo externo del
apartado anterior se elimina bruscamente. Demuestre que la carga puntual describe a partir de ese
momento un movimiento armónico simple alrededor el punto x = 0 y obtenga una expresión para
la amplitud y el periodo de ese movimiento oscilatorio.
SOLUCIÓN:
Apartado a)
Dada la simetrı́a del problema es de esperar que el campo eléctrico sea radial y dependa de la
distancia al centro de la esfera (r). Entonces es factible calcular este campo eléctrico usando la Ley
de Gauss. En efecto, si tomamos como superficie gaussiana de integración una esfera concéntrica con
la esfera de carga y de radio r < R el campo eléctrico es uniforme sobre esa superficie y perpendicular
a la misma. Entonces la integral de flujo que aparece en la Ley de Gauss se transforma simplemente
en el producto del campo por la superficie de la esfera gaussiana:
I
~ · dA
~ = E4πr2 = 4πkQ
E
int
(1)
Donde Qint es la carga dentro de la esfera gaussiana. Esta carga es el producto de la densidad de
Q
carga en la esfera (ρ = − 4 πR
3 ) por el volumen dentro de la esfera gaussiana en la que estamos
integrando:
3
4
Q 4
r3
Qint = ρ πr3 = − 4 3 πr3 = −Q 3 .
3
3
R
3 πR
De (1) y (2) obtenemos:
E = −kQ
r
.
R3
(2)
(3)
Apartado b)
Si colocamos una carga q sobre el eje x estará sometida al campo eléctrico de la esfera cargada
que, en ~r = x~ı es:
~ = −kQ x ~ı.
(4)
E
R3
~
La fuerza sobre la carga será simplemente F~ = q E:
x
F~ = −kqQ 3~ı.
R
(5)
Es una fuerza en la dirección del eje x. Cuando x > 0 la fuerza es negativa (sentido de −~ı)
mientras que si x < 0 la fuerza es positiva (sentido de ~ı). En otras palabras, se trata de una fuerza
recuperadora que siempre apunta hacia el origen de coordenadas, que es el punto de equilibrio,
donde F~ = 0. La carga q está sometida a una fuerza que sigue la Ley de Hooke (F = −Kx) con:
K=
kqQ
.
R3
(6)
Apartado c)
El campo eléctrico externo ejerce sobre la carga puntual una fuerza F~e = qE0~ı que tiende a
separarla del origen de coordenadas. Esta fuerza no depende de x y se ve contrarrestada por la fuerza
recuperadora debida al campo de la esfera de carga. Como esta última fuerza crece linealmente con
x, debe existir un punto de equilibrio allı́ donde los módulos de las fuerzas se igualen (x = x0 ):
x0
(7)
qE0 = kqQ 3
R
Despejando x0 se obtiene para la posición del punto de equilibrio:
x0 =
E0 R3
kQ
(8)
Apartado d)
En el momento en que el campo externo se elimina la carga puntual queda solamente a merced
de la fuerza recuperadora (5). La segunda ley de Newton aplicada al sistema nos lleva a:
kqQ
d2 x
=− 3 x
2
dt
R
Que se puede escribir como la ecuación diferencial de un MAS:
ma = m
d2 x
+ ω2x = 0
dt2
(9)
(10)
√
con:
kqQ
.
(11)
mR3
Esta es la frecuencia angular de las oscilaciones del MAS. Entones el periodo es simplemente:
ω=
√
2π
= 2π
T =
ω
mR3
.
kqQ
(12)
Como se trata de un MAS, la ecuación del movimiento de la carga es x(t) = A cos(ωt + δ), donde
A representa la amplitud de las oscilaciones y depende de las condiciones iniciales. En el instante
inicial (t = 0) la carga está inmóvil y se encuentra desplazada del punto de equilibrio x = 0 debido
a la influencia del campo externo del apartado anterior:
x(0) = x0 = A cos(δ)
(13)
v(0) = −Aωsen(δ)
(14)
Entonces, tomando δ = 0, la amplitud viene dada por el desplazamiento x0 (8), esto es:
A=
E0 R3
.
kQ
(15)