QUALITATIVE ANALYSIS OF A MATHEMATICAL MODEL OF THE

QUALITATIVE ANALYSIS OF A MATHEMATICAL MODEL OF THE CARDIAC RYTHM Andrés Fraguela(1) , Ozkar Hernandez(2), Hugo Campos(3). (1),(2),(3) Facultad de Ciencias Físico Matemáticas –BUAP, Puebla , MEXICO [email protected] (1), [email protected] (2), [email protected] (3) En esta ponencia estudiamos el modelo de monodominio que se utiliza comúnmente como una aproximación del modelo llamado de bidominio [1] para simular la generación y propagación de ondas electrofisiológicas en el corazón humano, aplicado al caso de un ventrículo aislado del torso en ausencia de sangre en el interior y que se activa a través del endocardio por una corriente periódica de Purkinje. El modelo de monodominio es un sistema compuesto por una ecuación de reacción ‐ difusión parabólica para el potencial de membrana acoplada con otras ODEs que representan la actividad iónica de las células cardíacas. Se supone que la reactividad corresponde a un mecanismo simplificado bidimensional para la activación de las fibras cardíacas del tipo de los modelos reparametrizados de FitzHugh Nagumo, McCulloch y Aliev Panfilov. Se imponen condiciones de contorno apropiadas para simular la estimulación superficial por las fibras de Purkinje del endocardio ventricular, el cual corresponde a la frontera interior de la cavidad ocupada por el ventrículo en la cual se supone que no hay sangre. Se supone que la estimulación de la pared del endocardio está distribuida espacialmente de forma homogénea y varía periódicamente en el tiempo con una frecuencia proveniente del ritmo sinusal. En la frontera exterior o epicardio se consideran condiciones de flujo nulo lo cual corresponde a un ventrículo excitado extraído del torso. En [2] se demuestra, bajo ciertas condiciones sobre el mecanismo de reactividad y la suposición no real de que la fuente externa de activación cardíaca está distribuida en el volumen ventricular, la existencia y unicidad de solución del problema de Cauchy, asociado al modelo de bidominio con condiciones de contorno de flujo cero en toda la frontera del ventrículo, en cierta clase de funciones. Nosotros, en primer lugar reformulamos el problema de contorno para el modelo de monodominio en una sola ecuación integro ‐ diferencial parabólica no lineal definida en un espacio de Banach adecuado mediante la introducción de un operador de monodominio , que se define a partir de la solución débil del problema de Neumann para el componente difusivo del modelo de monodominio . Entonces se reduce el estudio de la existencia y unicidad de una solución global débil del problema de Cauchy para la ecuación abstracta al estudio de la existencia de un punto fijo único para un funcional asociado con el semigrupo generado por el operador de monodominio. Utilizando un argumento de contracción se demuestra la existencia y unicidad de una solución débil del modelo de monodominio que converge asintóticamente a un régimen periódico cuando la frecuencia de activación producido por la corriente de Purkinje se encuentra en ciertos rangos que debe corresponder al ritmo sinusal normal. El método de demostración utilizado permite proponer un algoritmo numérico iterativo para describir la dinámica de propagación de esta onda a lo largo del ventrículo. Al final de la plática mencionaremos como este resultado puede ser utilizado para estudiar la transición de la actividad del corazón al comportamiento arrítmico cuando la frecuencia de activación sobrepasa ciertos umbrales inferiores (bradicardia) y superiores (taquicardia), así como en el caso en que estén presentes ciertas anomalías como el síndrome de Brugada. [1]J. Sundnes, G. T. Lines, Xing Cai, B. F. Nielsen, Kent‐Andre Mardal, A. Tveito. Computing the Electrical Activity in the Heart. Monographs in Computational Science and Engineering. Springer‐Verlag Berlin Heidelberg 2006. [2] Yves Bourgault, Yves Coudiere, Charles Pierre. Existence and uniqueness of the solution for the bidomain model used in cardiac electrophysiology. Nonlinear Analysis: RealWorld Applications 10 (2009) 458‐482.