¡ReDiMenSionaDo De CoLuMnaS

PREDIMENSIONADO DE COLUMNAS
Introducción
La columna es el elemento estructural vertical empleado para sostener la carga de la edificación. Es
utilizado ampliamente en arquitectura por la libertad que proporciona para distribuir espacios al tiempo que
cumple con la función de soportar el peso de la construcción; es un elemento fundamental en el esquema de una
estructura y la adecuada selección de su tamaño, forma, espaciamiento y composición influyen de manera directa
en su capacidad de carga.
Para la columna se indica las características que la definen así como el comportamiento para definir los
aspectos a tomar en cuenta en el diseño de las columnas de madera, acero y concreto armado; adicionalmente se
incluye un ejemplo para cada tipo de material.
Definición
La columna es un elemento sometido principalmente a compresión, por lo tanto el diseño está basado en la
fuerza interna, conjuntamente debido a las condiciones propias de las columnas, también se diseñan para flexión
de tal forma que la combinación así generada se denomina flexocompresión.
Según el uso actual de la columna como elemento de un pórtico, no necesariamente es un elemento recto
vertical, sino es el elemento donde la compresión es el principal factor que determina el comportamiento del
elemento. Es por ello que el predimensionado de columnas consiste en determinar las dimensiones que sean
capaces de resistir la compresión que se aplica sobre el elemento así como una flexión que aparece en el diseño
debido a diversos factores1. Cabe destacar que la resistencia de la columna disminuye debido a efectos de
geometría,lo cuales influyen en el tipo de falla.
El efecto geométrico de la columna se denominan esbeltez2y es un factor importante, ya que la forma de
fallar depende de la esbeltez, para la columna poco esbelta la falla es por aplastamiento y este tipo se denomina
columna corta, los elemento más esbeltosse denominan columna larga y la falla es por pandeo. La columna
intermedia es donde la falla es por una combinación de aplastamiento y pandeo. Además, los momentos flectores
que forman parte del diseño de columna disminuyen la resistencia del elemento tipo columna (Galambos, Lin y
Johnston, 1999; Singer y Pytel, 1982).
Comportamiento
Dentro de los requisitos fundamentales de una estructura o elemento estructural están: equilibrio,
resistencia, funcionalidad y estabilidad. En una columna se puede llegar a una condición inestable antes de
alcanzar la deformación máxima permitida o el esfuerzo máximo. El fenómeno de inestabilidad se refiere al
pandeo lateral, el cual es una deflexión que ocurre en la columna (véase Figura 3); cuando aparece incrementa el
momento flector aplicado sobre el elemento, el aumento de la deflexión agranda la magnitud del momento
flector, creciendo así la curvatura de la columna hasta la falla; este caso se considera inestable. Por ello la
resistencia de la columna sometida a compresión tiene dos límites, el de resistencia para columnas cortas y el de
estabilidad para columnas largas (véase Figura 1). La estabilidad es así el nuevo parámetro que define además de
la resistencia y la rigidez, las dimensiones de la columna (Beer y Johnston 1993; Popov, 1996; Timoshenko y
Young, 2000).
1
Imperfecciones iniciales en la línea vertical de la columna o imperfecciones en el material, también la
continuidad de la columna con la viga hace que los momentos aplicados en la viga se transmitan a la columna.
2
Relación entre el tamaño de la sección transversal y la longitud del elemento.
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Figura 1. Disminución del esfuerzo de trabajo a compresión según la esbeltez de la columna. (Tomado de Timoshenko y Young, 2000,
p. 282)
Carga crítica
La deformación de la columna varia según ciertas magnitudes de cargas, para valores de P bajosse acorta
la columna, al aumentar la magnitud cesa el acortamiento y aparece la deflexión lateral. Existe una carga límite
que separa estos dos tipos de configuraciones y se conoce como carga críticaPcr(véase Figura 2).
P>Pcr
P<Pcr
P=0
Figura 2. Carga crítica Pcr.
Supongamos un elemento recto vertical sometido una carga H, esta carga produce una deflexión (véase
Figura 3a). Si se aplica una fuerza vertical Pque va aumentado y se disminuye el valor de H, de tal forma que la
deflexión sea la misma al caso de la Figura 3a (véase Figura 3b), el valor de Pcres la carga necesaria para
mantener la columna deformada sin empuje lateral H. Para valores mayores a la carga crítica aumentan la
deflexión hasta que falla por pandeo, limitando la capacidad de la columna.
P
H/2
L
H/2
H
H
H/2
H/2
P
(a)
Pc r
(b)
Pc r
(c)
Figura 3. Elemento vertical sometido a carga H y P.
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Los factores que influyen en la magnitud de la carga crítica son la longitud de la columna, las condiciones
de los extremos y la sección transversal de la columna. Estos factores se conjugan en la relación de esbeltez o
coeficiente de esbeltez(véase Ecuación 1), el cual es el parámetro que mide la resistencia de la columna. De esta
forma para aumentar la resistencia de la columna se debe buscar la sección que tenga el radio de giro más grande
posible, o una longitud que sea menor, ya que de ambas formas se reduce la esbeltez y aumenta el esfuerzo crítico
(Beer y Johnston 1993; Galambos, Lin y Johnston, 1999; Popov, 1996; Singer y Pytel, 1982; Timoshenko y
Young, 2000).
kL
rmin
Donde:
(1)
k ≡ Coeficiente relacionado con el tipo de apoyo;
L ≡ Longitud de la columna;
rmin ≡ Radio de giro mínimo de la sección.
Excentricidad
Cuando la carga no se aplica directamente en el centroide de la columna, se dice que la carga es excéntrica
y genera un momento adicional que disminuye la resistencia del elemento, de igual forma, al aparecer un
momento en los extremos de la columna debido a varios factores, hace que la carga no actúe en el centroide de la
columna (véase Figura 4). Esta relación del momento respecto a la carga axial se puede expresar en unidades de
distancia según la propiedad del momento3,la distancia se denomina excentricidad. Cuando la excentricidad es
pequeña la flexión es despreciable y cuando la excentricidad es grande aumenta los efectos de flexión sobre la
columna (Singer y Pytel, 1982).
e=
Donde:
M
P
(2)
e≡ excentricidad,
M ≡ Momento en el extremo;
P ≡ Carga axial.
e
M
P
L
P
Figura 4. Excentricidad de la columna.
3
El momento es igual a una fuerza multiplicada por la distancia.
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Predimensionado de columna
Columna de madera
Las columnas de madera pueden ser de varios tipos: maciza, ensamblada, compuesta y laminadas unidas
con pegamento. De este tipo de columnas la maciza es la más empleada, las demás son formadas por varios
elementos.
Método para predimensionar columna de madera
La ecuación de análisis se realiza según los esfuerzos y se expresa de forma simple tal como lo indica la
Ecuación 3 (Parker y Ambrose, 1995).
f a fb
+
≤1
Fa Fb
Donde
fa≡ esfuerzo de trabajo axial,
(3)
fa = P
Fa≡ esfuerzo admisible a compresión,
fb≡ esfuerzo de trabajo a flexión,
A;
Fa = Fc∗c p ;
fb = M
S
;
Fb≡ esfuerzo admisible a flexión.
F*c ≡esfuerzo admisible para compresión paralela a la veta;
cp≡ factor de estabilidad de la columna según Ecuación 4.
cp = m − m2 − n
Donde:
1 + FcE Fc∗
2c
FcE Fc∗
n=
;
c
m=
(4)
;
FcE≡esfuerzo de pandeo de Euler según Ecuación 5;
c≡ 0,8 madera aserrada; 0,85 secciones circulares; 0,9 madera laminada unida con pegamento;
FcE =
Donde:
K cE E
(Le d )2
(5)
KcE≡ 0,3 madera clasificada, 0,418 madera unida con pegamento;
E ≡ módulo de elasticidad;
Le≡ longitud efectiva (altura de la columna sin arriostrar modificada por las condiciones de apoyo);
d≡ menor dimensión de la sección transversal.
Columna de acero
El diseño de las columnas de acero se basa en la desigualdad de la ecuación del diseño por estados límites
y se presenta en la forma indicada en la Ecuación6. La esencia de la ecuación es que la suma de los efectos de las
cargas divididas entre la resistencia minorada debe ser menor o igual a la unidad (Segui, 2000).
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∑γ Q
i
i
φRn
d
donde:
≤1
(6)
∑ γ Q ≡ Suma de loos efectos de lass cargas;
i
i
φRn ≡ Resistencia dismminuida de la columna.
Figura 5.
5 Secciones traansversales típicaas de columnas de
d acero (De McC
Cormac, 1996, p.99).
p
Seccción de la colu
umna
L resistencia correspondiennte a cualquier modo de panddeo no puede desarrollarse
La
d
sii los elementos de la
secciónn transversal so
on tan delgadoss que se presennta un pandeo local. Por lo tanto
t
existe unaa clasificaciónn de las
seccionnes transversalees según los vaalores límite dee las razones ancho-espesor y se clasifican como compactas, no
compacctas o esbeltas.
E general, deentro de los lím
En
mites de los márgenes
m
dispoonibles y tenienndo en cuenta las limitacionnes por
espesorr, el diseñadorr usa una sección con el raddio de giro máás grande posiible, reducienddo así la relación de
esbeltezz e incrementan
ndo el esfuerzoo crítico. (Galaambos, Lin, y Johnston, 19999; Segui, 2000))
Méttodo para predimensionar la
l columna dee acero
P perfiles que
Para
q no se encueentren en las taablas de cargass para columnaas debe usarse un procedimieento de
tanteos.. El procedimiento general es suponer un perfil
p
y luego calcular
c
su resiistencia de diseño. Si la resisstencia
es muyy pequeña (in
nsegura) o dem
masiado grandde (antieconóm
mica), deberá hacerse otro tanteo. Un ennfoque
sistemáático para hacerr la selección de
d tanteo es com
mo sigue:
−
Seleccionee un perfil de tanteo.
t
−
Calcule Fcrc y øcPn para el
e perfil de tantteo.
−
Revíselo con
c la fórmulaa de interaccióón (Ecuación 4),
4 si la resisteencia de diseño es muy cerccana al
valor requ
uerido puede ensayarse el siguiente tam
maño tabulado.. De otra mannera, repita toodo el
procedimiiento. (Segui, 2000)
2
si
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P
Pu
8 Mu
≥ 0,2 ⇒ u +
≤1
φc Pn
φc Pn 9 φb M n
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(4.a)
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S
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M
si
Donde:
Pu
Pu
Mu
< 0,2 ⇒
+
≤1
2φc Pn φb M n
φc Pn
Pu≡ Carga axial de compresión mayorada;
Pn≡Carga axial de pandeo;
;
Mu≡ Momento flector mayorado;
Mn≡Momento flector resistente,
Fy≡Esfuerzo de cedencia del acero;
Fcr≡Esfuerzo crítico de pandeo;
φ ≡ Factores de minoración,
0,85;
(4.b)
;
0,90.
El esfuerzo crítico de pandeo (Fcr) se puede determinar bien sea por la aplicación de las Ecuaciones 5 y 6
o mediante la Tabla 1 según el coeficiente de esbeltez kL rmin (Cabe destacar que los valores de la Tabla 1
corresponde al esfuerzo crítico de pandeo minorado øFcr y Fy= 2500 kgf/cm2).
λc =
donde:
kL
rπ
Fy
(5)
E
λc ≡ Parámetro de esbeltez;
k ≡ Parámetro adimensional de apoyo (véase Figura 6);
L ≡ Longitud entre apoyos;
r ≡ Radio de giro de la sección;
E ≡ Módulo de elasticidad del acero.
2
λc ≤ 1,5 ⇒ Fcr = 0,658λ Fy
c
λc > 1,5 ⇒ Fcr =
0,877
λc 2
Fy
(6.a)
(6.b)
Figura 6. Valores de k según el tipo de apoyo (De McCormac, 1996, p.109).
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Tabla 1. Esfuerzo crítico de pandeo.
KL/r
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
øFcr
2125
2125
2124
2123
2122
2121
2120
2118
2116
2114
2112
2110
2107
2104
2101
2098
2094
2091
2087
2083
2078
2074
2069
2064
2059
2054
2048
2043
2037
2031
2024
2018
2011
2005
1998
1990
1983
1976
1968
1960
KL/r
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
øFcr
1952
1944
1936
1927
1918
1910
1901
1892
1882
1873
1864
1854
1844
1834
1824
1814
1804
1793
1783
1772
1761
1750
1739
1728
1717
1705
1694
1683
1671
1659
1648
1636
1624
1612
1600
1588
1575
1563
1551
1538
KL/r
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
øFcr
1526
1513
1501
1488
1476
1463
1450
1437
1425
1412
1399
1386
1373
1360
1347
1334
1321
1309
1296
1283
1270
1257
1244
1231
1218
1205
1192
1179
1166
1154
1141
1128
1115
1103
1090
1077
1065
1052
1040
1027
KL/r
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
øFcr
1015
1002
990
978
966
953
941
929
917
905
893
882
870
858
847
835
823
811
800
788
777
766
756
745
735
725
715
705
696
687
678
669
660
651
643
635
627
619
611
604
KL/r
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
øFcr
596
589
582
574
568
561
554
547
541
535
528
522
516
510
505
499
493
488
482
477
472
466
461
456
451
447
442
437
433
428
424
419
415
411
406
402
398
394
390
386
Fy=2500 kg/cm²
(a)
(b)
(c)
Figura 7. Tipos de columnas de concreto armado. (De Nilson y Winter, 1994, p.20; McCormac, 1996, p.479).
Columna de concreto armado
Las columnas de concreto armado pueden ser de tres tipos que son:
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−
−
−
Elemento reforzados con barras longitudinales y zunchos (véase Figura 7.a),
elementos reforzados con barras longitudinales y estribos (véase Figura 7.b),
elementos reforzados con tubos de acero estructural, con o sin barras longitudinales, además de
diferentes tipos de refuerzo transversal (véase Figura 7.c).
Para las columnas de concreto armado, la cuantía de acero4 oscila entre 1 y 8% con un mínimo de 4 barras
longitudinales (Nilson y Winter, 1994).
Método para predimensionar columnas de concreto armado
Existen dos tipos de métodos para predimensionar las columnas de concreto armado, el primero es una
aproximación, ya que se basa en la carga axial únicamente, debido a que esta carga es fácil de obtener por
métodos aproximados para cálculos preliminares de pórticos. El segundo método es más preciso y está basado en
la carga axial y el momento flector conocido, valores que son los necesarios para diseñar una columna.
Conocido Pu
Existen una gran variedad de fórmulas para predimensionar columnas con Pu conocido, solo se presenta
dos tipos.
Método sugerido por Nilson y Winter
Las dimensiones de las columnas se controlan principalmente por cargas axiales, aunque la presencia de
momento incrementa el área necesaria. Para columnas interiores, donde el incremento de momento no es
apreciable un aumento del 10% puede ser suficiente, mientras que para columnas exteriores un incremento del
50% del área sería apropiado (Nilson y Winter, 1994).
Ac = incremento
Pu
φf c′
(7)
Método sugerido por Arnal y Epelboim
El área de concreto armado puede estimarse por la fórmula (Arnal, y Epelboim, 1985)
Ac =
Donde:
Pu
αφf c′
(8)
Ac≡Area de la columna,
α ≡ Factor según la posición de la columna indicado en la Tabla 2,
ø≡ Factor de minoración de resistencia. ø=0,65 para columnas con estribos y ø=0,70 para columnas con
zunchos.
Tabla 2. Factores α según la ubicación de la columna
Tipo de columna
Esquina
Borde
Central
α
0,20
0,25
0,28
Conocido Puy Mu
Este método está basado en el empleo de ábacos basados en diagramas de interacción de resistencia que
definen la combinación de carga axial y momento flector de falla para una columna determinada, con un intervalo
completo de excentricidades desde cero hasta infinito (véase Figura 8). Los pasos para obtener las dimensiones
son:
4
Relación entre el área de acero (As) y el área de concreto (Ag) y se define por ρ.
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a)
Calcular la excentricidad e
;
b) seleccionar la cuantía de acero ρ=[0,02; 0,03] y calcular
c)
,
;
escoger un valor tentativo para h o D y escoger el ábaco con
;
d) calcular el valor e/h o e/D con el valor de h o D del paso anterior y trazar una línea radial que
represente este valor
e e
μ
;
o
=
h D ν
e)
donde corta la línea radial e/h o e/D con la curva ω leer el correspondiente ν;
f)
calcular el área requerida Ag con
Ag =
Pu
;ø=0,65 para columnas con estribos y ø=0,70
φ 0,85 f cν′
para columnas con zunchos.
g) Calcular
b=
Ag
h
o
D=
4 Ag
π
;
h) Si es necesario revisar el valor tentativo de h para obtener una sección bien proporcionada
b
= [0 ,6 ;1] o si es el mismo valor para D (Nilson y Winter, 1994).
h
Figura 8. Diagrama de interacción para la resistencia nominal de una columna (De Nilson y Winter, 1994, p.244).
Dimensiones mínimas de una columna de concreto armado
20x20 o 30x30 para zona sísmica.
Ejemplos
Diseño de columna de madera
Determinar las dimensiones de una columna con madera tipo A sometido a las siguientes cargas:
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P= 11034 kgf
M= 993 kgf*m
l=3
2
Madera Tipo A:
Fc= 149 kgf/cm ;
Fb= 210 kgf/cm2;
E= 130000 kgf/cm2
1.
El procedimiento de diseño en columnas consiste en comprobar la columna propuesta, por ello se
propone una columna de 14x14 y se determina el esfuerzo admisible a compresión para ello se debe
aplicar las Ecuaciones 5 y 4.
FcE =
K cE E
0,3 *130000
⇒ FcE =
⇒ FcE = 201,03 kgf/cm2
2
2
(Le d )
⎛ 0,65 * 300 ⎞
⎜
⎟
14
⎝
⎠
1
,
1
2
1,47
2 0,8
1,47
2.
,
1,47
1,69
1,69
0,8
0,78
Se aplica la Ecuación 3, donde se determinan todos los esfuerzos de trabajo antes de aplicar la
Ecuación.
56,30
149 0,78
1
,
,
116,22
1,52
,
217,13
;
yFb= 210 kgf/cm2
1no sirvela columna de 14x14, por lo tanto se debe probar
otra sección y repetir el procedimiento.
Segunda prueba, sección 14x19 cm
(ver nota 5)
201,03
0,78
41,48
116,22
1
;
117,89
yFb= 210 kgf/cm2
,
,
,
0,92
1sirve por lo tanto la columna es de 14x19.
Diseño de columna de acero
Determinar el perfil de acero de la Figura 8 a diseñar por flexocompresión, para la carga indicada:
Pu =15447 kgf; Mu = 1390 kgf*m
De la Figura 6 se tiene que k= 0,65 al contrastar con la Figura 9 y L es 3 m. Siguiendo el procedimiento de
elementos sometidos a fuerzas de compresión en acero, tenemos:
5
Por ser la misma dimensión mínima el resultado es igual al caso anterior, ya que los valores del material
son iguales.
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1. Se selecciona un perfil de tanteo (en este caso un perfil IPN 160) del cual se obtiene las propiedades
geométricas A, Zmax y rmin,para luegocomprobar que kL rmin ≤ 200 ; para el perfil, las propiedades
geométricas son:
Designación A (cm2) Zy (cm3) ry (cm) Zz(cm3) rz (cm) k*L/rmin
IPN 160
22,8
135
6,4
25
1,55
125,8
l=3
Figura 9. Esquema del elemento a flexocompresión.
2. Se calcula øcFcr y øcPn para el perfil de tanteo, con el coeficiente de esbeltez redondeado a cero cifras
se emplea la Tabla 1;
(
)
kL 0,65 * 300
kL
tabla
⎯→φc Fcr ⇒ 126 ⎯tabla
⎯⎯1→φc Fcr = 953 kgf/cm2
=
⇒
= 126 ; kL rmin ⎯⎯
rmin
1,55
rmin
φc Pn = φc Fcr A ⇒ φc Pn = 953 * 22,8 ⇒ φc Pn = 21728,4 kgf
3. El perfil de tanteo se revisa con la fórmula de interacción, si la resistencia de diseño es muy cercana al
valor requerido puede ensayarse el siguiente tamaño tabulado.
Pu
= 0,71 > 0,20 (se aplica la Ecuación 4a)
φc Pn
Pu
8 Mu
8
139000
+
≤ 1 ⇒ 0,71 +
= 1,12 > 1
φc Pn 9 φb M n
9 0,9 * 2500 * 135
El perfil IPN 160no cumple para la columna, por lo que se realiza una segunda prueba con un perfil más
grande ya que la Fórmula de Interacción dio mayor a 1.
Se selecciona el perfil IPN 180 y repitiendo el procedimiento anterior tenemos:
Designación A (cm2) Zy (cm3) ry (cm) Zz (cm3) rz (cm) k*L/rmin k*L/rmin φFcr Pu/Pn Interacción
IPN 180
27,9
185
7,2
33,6
1,71
114,0
114
1103 0,502
0,80
Al emplear la primera Fórmula de Interacción (Ecuación 4a Pu/Pn> 0,20), tenemos que el perfil IPN 180
cumple con la condición.
Diseño de columna de concreto armado
Conocido Pu
Determinar las dimensiones de una columna interior de concreto armado aflexocompresión, para la carga
y materiales indicados
Pu =15447 kgf;
= 210 kgf/cm2 ;fy= 4200 kgf/cm2.
Método sugerido por Nilson y Winter Facultad de Arquitectura y Diseño
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1,1
1,1
15447
0,65 210
124,48
11,15. Dado que las dimensiones
Suponiendo sección cuadrada
√124,48
mínimas son de 20x20 o 30x30 para zona sísmica, se adopta una de las dos dependiendo de la zona donde
se diseñe.
Método sugerido por Arnal y Epelboim Aplicando la Ecuación 6 con α=0,28 por ser columna interna (véase Tabla 1) y ø=0,65, tenemos
15447
0,28 0,65 210
404,16
√404,16
Suponiendo sección cuadrada
redondearse al múltiplo de 5 superior.
20,1
. La solución es 25x25 cm por
Conocido Pu y Mu
Determinar las dimensiones de unacolumna de concreto armado, para la carga y materiales indicados:
= 210 kgf/cm2 ;fy= 4200 kgf/cm2.
Pu =15447 kgf; Mu = 1390 kgf*m;
Para el diseño de columnas de concreto armado, se siguen las indicaciones señaladas para el diseño
conocida Pu y Mu.
i.
Se selecciona la cuantía de acero ρ entre [0,02; 0,03] y calcular ω
ρ=0,025 y la cuantía mecánica es
ω=
ρf y
0,85 f c′
, por ello se escoge
0,025 * 4200
⇒ ω = 0,59 .
0,85 * 210
ii. Se escoger como valor tentativo para h=40 cm
γ=
=
γ=
h − 2r
por lo que la relación de forma queda
h
40 − 2 * 5
⇒ γ = 0,75 , se escoge el ábaco γ=0,80.
40
Figura 10. Abaco seleccionado.
iii. Calcular el valor e/h y trazar una línea radial que represente este valor.
e = M u Pu ⇒ e = 1390 15447 ⇒ e = 0,09 m; por lo tanto
trazar la línea radial se aplica la relación
correspondiente de μ para 0,2;ν
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e 9cm
e
=
⇒ = 0,22 . Para
h 40cm
h
e μ
y se escoge ν=0,2 para establecer el valor
=
h ν
e
= μ ⇒ 0,2 * 0,22 = μ ⇒ μ = 0,04 . El punto señalado en la
h
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Figura 11 corresponde a estas coordenadas (μ=0,04; ν=0,2). Este punto se une con el origen para
obtener la línea radial.
Figura 11. Trazado de la línea radial e/h=0,22.
iv. Donde corta la línea radial e/h= 0,22 con la curva ω=0,59 se lee el correspondiente valor de ν de 0,68
(véase la Figura 12).
Figura 12. Valor de ν obtenido del corte de la línea radial e/h=0,22 con la curva ω=0,59.
v. Se calcula el área requerida Ag con el valor obtenido de ν, según la relación
tenemos
Ag =
ν=
Pu
,
φ 0,85 f c′Ag
15447
⇒ Ag = 195,79 cm2.
0,65 * 0,85 * 210 * 0,68
vi. Se determina b =
Ag
h
con el área obtenida y altura h establecida b =
vii. Se revisa la proporción de la sección bien proporcionada
195,79
⇒ b = 4,9 cm.
40
b 5
=
= 0,125 que está fuera del rango
h 40
[0,6; 1], por lo que el procedimiento se repite otra vez con un valor de h menor.
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Se supone h= 20 cm y se vuelve a determinar γdesde el paso ii
20 − 2 * 5
⇒ γ = 0,5 , se escoge el ábaco γ=0,60.
20
iib.
γ =
iiib.
e
9cm
e
e
=
⇒ = 0,45 . Se traza la línea radial;ν = μ ⇒ 0,2 * 0,45 = μ ⇒ μ = 0,09 .
h
h 20cm
h
Coordenadas (μ=0,09; ν=0,2).
ivb. Valor de νcorrespondiente al cortede la línea radial e/h= 0,45 con la curva ω=0,59; ν =0,34.
vb. Area requerida
vib.
b=
Ag
h
b=
Ag =
15447
⇒ Ag = 391,57 cm2.
0,65 * 0,85 * 210 * 0,34
391,57
⇒ b = 19,6 cm
20
b=20 cm por redondearse al mínimo múltiplo de 5
superior.
viib.
b 20
=
= 1 está dentro del rango [0,6; 1].
h 20
Las dimensiones de la columna son 20x20.
Referencias
−
Arnal, E. y Epelboim S. (1985). Manual para el proyecto de estructuras de concreto armado para
edificaciones. Caracas, Venezuela: Fundación “Juan José Aguerrevere”, Fondo Editorial del Colegio de
Ingenieros de Venezuela.
−
Beer, F. y Johnston, E. (1993). Mecánica de materiales. Santafé de Bogotá, Colombia: McGraw-Hill
Interamericana, S.A.
−
Galambos, T., Lin, F.J. y Johnston, B. (1999). Diseño de estructuras de acero con LRFD. Naucalpan de
Júarez, México: Prentice Hall Hispanoamericana, S.A.
−
McCormac, J. (1996). Diseño de estructuras de acero (Método LRFD). México D.F., México: Alfaomega
Grupo Editor, S.A. de C.V.
−
Nilson, A. y Winter, G. (1994). Diseño de estructuras de concreto. Santafé de Bogota, Colombia: McGrawHill Interamericana S.A.
−
Parker, H. y Ambrose, J. (1995). Ingeniería simplificada para Arquitectos y Constructores. México D.F.,
México: Editorial Limusa, S.A. de C.V. Grupo Noriega Editores.
−
Popov, E. (1996). Introducción a la mecánica de sólidos. México D.F., México: Editorial Limusa, S.A. de
C.V. Grupo Noriega Editores.
−
Segui, W. (2000). Diseño de estructuras de acero con LRFD. México D.F., México: Internacional Thomson
Editores, S.A. de C.V.
−
Singer, F. y Pytel, A. (1982). Resistencia de materiales. México D.F., México: Editorial Harla, S.A. de C.V.
−
Timoshenko, S. y Young, D. (2000). Elementos de resistencia de materiales. México D.F., México: Editorial
Limusa, S.A. de C.V. Grupo Noriega Editores
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