1 Primera parte: sumas de Riemann 2 Segunda parte: reglas

PRÁCTICAS DE CÁLCULO NUMÉRICO II
PRÁCTICA 5: Reglas de cuadratura compuestas
El objetivo de esta práctica es la implementación las siguientes reglas de cuadratura compuestas:
sumas de Riemann por la derecha y la izquierda, regla trapezoidal y regla de Simpson.
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Primera parte: sumas de Riemann
Z
Dada la integral
b
f (x) dx, consideremos una partición del intervalo [a, b]: xk = x0 + kh, k = 0, ..., N
a
(x0 = a, xN = b). Las sumas de Riemann por la izquierda (SRI) y por la derecha (SRD) vienen dadas
por
b
Z
f (x) dx ≈ h
a
f (x0 + kh) (SRI)
k=0
b
Z
N
−1
X
f (x) dx ≈ h
a
N
X
f (x0 + kh) (SRD)
k=1
Se pide:
1. Escribir dos programas sumasRI y sumasRD que implementen las sumas de Riemann por la
izquierda y por la derecha, respectivamente. La sintaxis de las rutinas será
SRI=sumasRI(funci,a,b,N)
SRD=sumasRD(funci,a,b,N)
donde el significado de los inputs de las rutinas es evidente.
2. Comprobar el funcionamiento de las rutinas con las siguientes integrales:
Z
1
(a)
(x3 + x2 ) dx; (b)
−1
Z
1
(x3 + 2x) dx; (c)
0
Z
3
(x2 + x3 ) dx;
0
tomando N = 2k , k = 5, 6, 7.
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Segunda parte: reglas trapezoidal y de Simpson
Regla trapezoidal compuesta:
Z b
Dada la integral
f (x) dx, consideremos una partición del intervalo [a, b]: xk = x0 +kh, k = 0, ..., N
a
(x0 = a, xN = b). Sea fi ≡ f (xi ).
Z
a
b
N −1
X
h
fi .
f (x) dx ≈ (f0 + fN ) + h
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Regla de Simpson compuesta:
i=1
Z
b
f (x) dx, consideremos una partición del intervalo [a, b] con 2m + 1 puntos:
Dada la integral
a
a = x0 < x1 < ... < xN = x2m = b. Sea fi ≡ f (xi ).
Z
b
f (x) dx ≈
a
h
3
m
X
(f2i−2 + 4f2i−1 + f2i ) =
i=1
4h
=h
3 (f0 + f2m ) + 3
m
X
i=1
f2i−1 +
m−1
2h X
f2i
3
i=1
Se pide:
1. Escribir dos programas simpson y trapezoid que implementen la regla de Simpson y la regla
trapezoidal, respectivamente. Las rutinas serán
simpson(funci,a,b,N)
trapezoid(funci,a,b,N)
donde el significado de los inputs es evidente.
2. Comprobar el funcionamiento de las rutinas con las siguientes integrales:
Z
(a)
1
(x5 + 3x3 + 2x2 + 1) dx
0
Z
π/2
(b)
x sin x dx
0
Z
2π
sin2 (x) dx
(c)
0
Z
10
(d)
2
e−x dx '
√
π
−10
Realizar las integraciones numéricas (utilizando ambos métodos) para N = 2k , k = 1, 2, ..., 10.
Para cada valor de k calcular el error cometido (comparado con la solución exacta) con la regla
trapezoidal y la regla de Simpson, respectivamente. Considerad también la suma de Riemann por
la derecha y comparar los errores de cada uno de estos tres métodos. Para ello, se pide dibujar
en una misma gráfica los errores absolutos de cada método como función de k; conviene utilizar
logarı́tmica en el eje Y (utilizando la instrucción semilogy).