Colección de Problemas de Control Automático

Colección de Problemas
de
Control Automático
3o Ingenierı́a Industrial
F. Salas, T. Álamo, F. Cuesta, D. Limón y C. Vivas
Depto. Ingenierı́a de Sistemas y Automática
Universidad de Sevilla
1
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
ii
Parte I
Diseño de controladores en el
dominio frecuencial
1
Control Automático, 3o
3
Ing. Industrial.
Problema I.1
Cuestión 1 Parcial 2000-01
Dada la función de transferencia:
G(s) =
10
s(s + 1)2
Se pide:
1. Dibujar el bode del sistema y calcular márgenes de fase y ganancia.
2. Diseñar una red mixta de forma que el sistema compensado tenga un margen de fase
de 50 grados y un error en régimen permanente frente entrada en rampa sea del 2
por ciento.
3. Diseñar para el mismo sistema un controlador PD que tenga una ganancia tal que
el error en régimen permanente frente entrada en rampa sea del 5 por ciento.
Problema I.2
Cuestión 1 Final 2000-01
Para el sistema cuyo diagrama de bode aparece en la figura I.2.a:
1. Obtenga la función de transferencia G(s) del sistema. Justifique la respuesta.
2. Como puede apreciarse en el diagrama de bode del sistema, si éste fuese controlado
con acción proporcional el sistema se harı́a crı́ticamente estable para un valor de K
= 10. Se pide:
(a) Indicar sobre el bode original, el bode del sistema controlado K G(s) para K =
10.
(b) Para el sistema del apartado 2a, diseñar una red de avance de fase tal que el
sistema resultante tenga un margen de fase de 60 grados.
3. Diseñe un controlador PID para el sistema original utilizando alguno de los métodos
de Ziegler-Nichols (ver tabla adjunta). Justifique la respuesta.
B.A.
B.C.
Kp
1.2T
KL
0.6Kcr
Td
2L
0.5Pcr
Ti
0.5L
0.125Pcr
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
4
Figura I.2.a:
Problema I.3
Cuestión 1 Sept 2000-01
Dado el sistema con función de transferencia:
G(s) =
1
s(s + 2)(s + 3)
Se pide:
1. Dibujar el bode del sistema y calcular márgenes de fase y ganancia.
2. Calcular la ganancia de un controlador proporcional que garantice un error en
régimen permanente frente a una entrada en rampa inferior al 6%.
3. Diseñar una red mixta tal que el error en régimen permanente frente a entrada en
rampa sea inferior al 6% y el margen de fase sea superior a 50o .
Problema I.4
Cuestión 4 Parcial 2001-02
Dado el siguiente diagrama de bloques (Fig. I.4.a):
Control Automático, 3o
5
Ing. Industrial.
+
−
K(s)
+ +
Figura I.4.a:
• Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar.
• Supóngase que el controlador viene dado por
K(s) =
1 + τs
1 + ατ s
(4.1)
donde τ = 10 y α = 0.1. Calcule el margen de fase del sistema compensado, ası́
como el error en régimen permanente frente entrada rampa.
• Suponiendo que α = 0.1, seleccione el valor de τ de forma que el sistema compensado
tenga el mayor margen de fase posible.
• Supóngase ahora que
1
K(s) = K 1 +
Ti s
(4.2)
Calcúlese K y Ti de forma que el sistema compensado tenga un margen de fase de
30 grados.
Problema I.5
Cuestión 1 Final 2001-02
Dado el siguiente diagrama de bloques de un sistema compensado:
+
−
K (s )
+ + +
Figura I.5.a:
6
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
1.- Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar. (Como guı́a: usar valores
de 0o y -90o para el valor de la fase de un polo en las frecuencias extremas y la
siguiente tabla para las intermedias)
Frecuencia relativa al polo
Separación del valor central (en grados)
0.01
45
0.1
40
0.3
30
0
0
3
-25
10
-40
100
-45
2.- Suponer que K(s) es un controlador PI. Diseñar éste de forma que el margen de
ganancia del sistema compensado sea de 20 dB.
3.- Suponer que K(s) es una red mixta. Diseñar ésta de forma que el sistema realimentado tenga un error en régimen permanente frente entrada escalón menor o igual del
1% y margen de fase de 30 grados.
4.- Suponer que K(s) es un controlador PID. Diseñar éste de forma que se parezca lo
más posible a la red mixta diseñada en el punto anterior.
5.- Indique ventajas e inconvenientes del controlador PID del apartado 3 frente a la red
del apartado 4.
Problema I.6
Cuestión 1 Septiembre 2001-02
Dado el diagrama de bode de un sistema G1 (s) (Fig: )
1+τa
con αa = 0.2 y con su cero
1.- Se introduce una red de adelanto Ga (s) = Ka 1+α
a τa s
en 1/τa = 20. ¿Cómo se debe cambiar la ganancia Ka para obtener una frecuencia
de corte en ωc = 20rad/s ? Explicar paso a paso el procedimiento que emplea para
obtener su respuesta.
Dibujar el sistema compensado en lı́nea discontinua o en otro color utilizando la
siguiente tabla como referencia para dibujar la fase.
Frecuencia relativa al polo
Separación del valor central (en grados)
0.01
45
0.1
40
0.3
30
0
0
3
-25
10
-40
100
-45
2.- Calcular el tiempo de subida aproximado del sistema compensado en 1. Explique su
respuesta.
3.- Añadida a la red de adelanto del apartado 1, se emplea otra red de retardo de fase
1+τr
Gr (s) = Kr 1+α
para reajustar la ganancia al valor inicial (con G1 (s)) de la
r τr s
constante de error de velocidad estática Kv1 y conseguir igualmente ωc = 20rad/s.
¿Cuáles son los valores requeridos de Kr y αr ? Explicar paso a paso el procedimiento
que emplea para obtener su respuesta. Dibujar el sistema compensado e indicar en
la figura los márgenes de fase y de ganancia.
Magnitud (dB)
Control Automático, 3o
7
Ing. Industrial.
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-60
-80
-100
-90
-100
-120
Fase (grados)
-140
-160
-180
-220
-240
-260
-270
0
10
1
2
10
10
Frecuencia (rad/s)
Figura I.6.a:
3
10
8
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
Problema I.7
Cuestión 1 Parcial 2002-03
Dado el sistema con función de transferencia:
G(s) =
1
s(s + 1)2
Se pide:
1.- Dibujar el bode del sistema y calcular márgenes de fase y ganancia.
Frecuencia relativa al polo
Separación del valor central (en grados)
0.01
45
0.1
40
0.3
30
0
0
3
-25
10
-40
100
-45
2.- Se desea controlar el proceso de forma que el sistema controlado cumpla EXACTAMENTE TODAS las siguientes especificaciones:
• Error en régimen permanente ante entrada escalón = 0
• Error en régimen permanente ante entrada en rampa > 0
• Margen de fase = 45o
Para ello se pide diseñar (si es posible) los siguientes controladores: (JUSTIFIQUE
LA RESPUESTA)
(a) Control PD
(b) Control PI
(c) Red de retardo de fase
3. Diseñar una red de avance de fase para que el sistema controlado cumpla las siguientes especificaciones:
• Error en régimen permanente ante entrada escalón = 0
• Error en régimen permanente ante entrada en rampa > 0
• Margen de fase ≥ 45o
• ωc ≥ 1rad/s
Problema I.8
Cuestión 1 Final 2002-03
Dado el siguiente diagrama de bloques de un sistema compensado:
Control Automático, 3o
9
Ing. Industrial.
+
−
K (s )
1
(10s +1) (s +1)
Figura I.8.a:
1.- Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar. (Como guı́a: usar valores
de 0o y -90o para el valor de la fase de un polo en las frecuencias extremas y la
siguiente tabla para las intermedias)
Frecuencia relativa al polo
Separación del valor central (en grados)
0.01
45
0.1
40
0.3
30
0
0
3
-25
10
-40
100
-45
2.- Suponer que K(s) es una red de retardo. Diseñar ésta de forma el error en régimen
permanente frente entrada escalón sea del 5% y el margen de fase de 35 grados.
3.- Suponer que K(s) es un PID. Diseñar éste de forma que el sistema realimentado tenga
un error en régimen permanente frente entrada en rampa sea del 10% y margen de
fase de 45 grados.
Problema I.9
Cuestión 1 Septiembre 2002-03
Dado el siguiente diagrama de bloques de un sistema compensado:
+
−
K (s )
1000 (s +1)
s +11s +10s
Figura I.9.a:
1.- Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar. (Como guı́a: usar valores
de 0o y -90o para el valor de la fase de un polo en las frecuencias extremas y la
siguiente tabla para las intermedias)
Frecuencia relativa al polo
Separación del valor central (en grados)
0.01
45
0.1
40
0.3
30
0
0
3
-25
10
-40
100
-45
10
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
2.- Suponer que K(s) es un controlador proporcional. ¿Se puede controlar el sistema
de manera que el sistema resultante cumpla las especificaciones de error en régimen
permanente ante entrada en rampa<10% y margen de fase ≥ 40o ?
3.- Además, con objeto de garantizar la rapidez del sistema se desea que la frecuencia de
corte del sistema con 0dB sea superior a 20 rad/s. Diseñar una red de compensación
que cumpla las 3 especificaciones.
Problema I.10
Cuestión 1 parcial 2003-04
Dado el siguiente diagrama de bloques de un sistema compensado:
+
−
K(s)
+ +
Figura I.10.a:
1.- Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar. (Como guı́a: usar valores
de 0o y -90o para el valor de la fase de un polo en las frecuencias extremas y la
siguiente tabla para las intermedias)
Frecuencia relativa al polo
Separación del valor central (en grados)
0.01
45
0.1
40
0.3
30
0
0
3
-25
10
-40
100
-45
2.- Obtenga un controlador K(s) = Kc (1 + Td s) de forma que el sistema compensado
tenga ganancia 0 dB en ωc = 5rad/s y margen de fase de 45 grados
3.- Diseñe una red de avance tal que ésta tenga una máxima aportación de fase de 50
grados y el margen de fase del sistema compensado sea de 45 grados.
4.- Obtenga una red de retardo de forma que el error en régimen permanente frente
entrada en rampa sea del 20 por ciento y el margen de fase de 45 grados
Control Automático, 3o
11
Ing. Industrial.
Problema I.11
Cuestión 1 Final 2003-04
Dado el sistema con función de transferencia:
G(s) =
K(s + 50)
s(2s + 1)(s + 1)2
Se pide:
1.- Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar. (Como guı́a: usar valores
de 0o y -90o para el valor de la fase de un polo en las frecuencias extremas y la
siguiente tabla para las intermedias)
Frecuencia relativa al polo
Separación del valor central (en grados)
0.01
45
0.1
40
0.3
30
0
0
3
-25
10
-40
100
-45
2.- ¿Para qué valor aproximado de K > 0 se hace el sistema en bucle cerrado crı́ticamente
estable? Sintonice los parámetros de un PID por las reglas de Ziegler-Nichols en bucle cerrado: Kp = 0.6Kcr , Ti = 0.5Pcr y Td = 0.125Pcr .
3.- ¿Es necesario controlar G(s) con un PID para conseguir que el sistema en bucle
cerrado tenga error nulo en régimen permanente ante entrada en escalón? Justifique
su respuesta
4.- ¿Se podrı́a controlar con un PD para hacer el sistema estable para todo K > 0?
Justifique con el diagrama de Bode si su respuesta es negativa, o diseñe un PD si su
respuesta es positiva.
5.- Diseñe una red de retardo de fase con K = 1 para que el margen de fase sea mayor
que 20o .
Problema I.12
Cuestión 1 parcial 2003-04
Dado el siguiente diagrama de bloques de un sistema compensado:
1.- Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar. (Como guı́a: usar valores
de 0o y -90o para el valor de la fase de un polo en las frecuencias extremas y la
siguiente tabla para las intermedias)
Frecuencia relativa al polo
Separación del valor central (en grados)
0.01
45
0.1
40
0.3
30
0
0
3
-25
10
-40
100
-45
12
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
+
−
K (s )
10
(10 s + 1)(0.1s + 1)
Figura I.12.a:
2.- Suponer que K(s) es una red de red de avance. Diseñar, si es posible, ésta de forma
que el error en régimen permanente frente entrada escalón sea del 1% y el margen
de fase de 50o . Justifique su respuesta.
3.- Suponer que K(s) es un controlador proporcional derivativo. Diseñar, si es posible,
éste de forma que el error en régimen permanente frente entrada escalón sea del 1%
y el margen de fase de 45o . Justifique su respuesta.
4.- Suponer que K(s) es un controlador proporcional integral. Diseñar, si es posible,
éste de forma que el error en régimen permanente frente entrada escalón sea inferior
al 1% y el margen de ganancia de 30 dB. Justifique su respuesta.
Problema I.13
Cuestión 1 parcial 2004-05
Se desea controlar un sistema dinámico con un esquema de realimentación unitaria que
se muestra en el siguiente diagrama de bloques en el cual, K(s) representa el controlador.
Se desea que el sistema en bucle cerrado tenga una respuesta ante un escalón unitario con
una sobreoscilación inferior al 20% y que alcance el valor 1 en régimen permanente. Se
desea además que el error en régimen permanente cuando la entrada es una rampa sea
inferior a 0.1.
Figura I.13.a:
Control Automático, 3o
13
Ing. Industrial.
1.- Determinar las especificaciones del sistema compensado en el dominio de la frecuencia ası́ como la ganancia mı́nima que debe tener el controlador.
2.- Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar. (Como guı́a: usar valores
de 0o y -90o para el valor de la fase de un polo en las frecuencias extremas y la
siguiente tabla para las intermedias)
Frecuencia relativa al polo
Separación del valor central (en grados)
0.01
45
0.1
40
0.3
30
0
0
3
-25
10
-40
100
-45
3.- Diseñar (si es posible) una red de avance que controle el sistema.
4.- Diseñe (si es posible) una red de retardo que controle el sistema.
5.- Diseñe (si es posible) una red mixta que controle el sistema.
6.- Trace (de forma aproximada) y compare las respuestas ante escalón unitario del
sistema controlado con una red de retardo y una mixta, indicando salida en régimen
permanente, sobreoscilación y tiempo de subida.
Figura I.13.b:
Problema I.14
Cuestión 1 final 2004-05
Se desea controlar la temperatura de salida de una caldera de vapor actuando sobre
la válvula de regulación de combustible. Para que la caldera funcione aceptablemente se
debe cumplir que para una temperatura deseada de 200 o C, la temperatura no supere 230
o C y en régimen permanente la temperatura sea superior a 198 o C. Para ello se modela
dicho sistema obteniéndose la siguiente función de transferencia.
G(s) =
1
(100s + 1)(10s + 1)3
1.- Determinar las especificaciones del sistema compensado en el dominio de la frecuencia ası́ como la ganancia mı́nima que debe tener el controlador.
14
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
2.- Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar. (Como guı́a: usar valores
de 0o y -90o para el valor de la fase de un polo en las frecuencias extremas y la
siguiente tabla para las intermedias)
Frecuencia relativa al polo
Separación del valor central (en grados)
0.01
45
0.1
40
0.3
30
0
0
3
-25
10
-40
100
-45
3.- Diseñar (si es posible) una red de avance que controle el sistema.
4.- Diseñe (si es posible) una red de retardo que controle el sistema.
5.- Diseñe (si es posible) una red mixta que controle el sistema.
6.- Finalmente se decide implementar la red mixta diseñada en el apartado anterior
y al probarla sobre el sistema se observa que el comportamiento de la caldera es
aceptable, aunque se desea que fuese más rápido, es decir, con un menor tiempo de
subida. Justifique razonadamente cómo ajustar el controlador para este fin.
Problema I.15
Cuestión 1 Septiembre 2004-05
Se desea controlar un sistema del cual se conoce su diagrama de Bode, que se muestra
en la figura I.15.a.
El sistema en bucle cerrado debe cumplir que el error en posición sea nulo, en velocidad
inferior a 0.01 y la sobreoscilación inferior al 20% (Margen de Fase superior a 45o ).Se pide:
1.- Calcular (si es posible) una red de avance que controle el sistema cumpliendo todas
las especificaciones.
2.- Calcular (si es posible) una red de retardo que controle el sistema cumpliendo todas
las especificaciones.
3.- Calcular (si es posible) una red de mixta que controle el sistema cumpliendo todas
las especificaciones.
4.- Estime los tiempos de subida de cada uno de los controladores anteriormente diseñados.
5.- Diseñe un controlador PID mediante el método de Ziegler-Nichols en bucle cerrado
(Kc=0.6 Kcrit, Ti=0.5 Pcrit, Td=0.125 Pcrit ), siendo Kcrit la ganancia crı́tica y
Pcrit el periodo crı́tico.
Control Automático, 3o
Ing. Industrial.
Figura I.15.a:
15
16
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
Problema I.16
Cuestión 1 parcial 2005-06
Se desea controlar un sistema dinámico con un esquema de realimentación unitaria,
como se representa en la figura, donde K(s) representa el controlador. Se desea que el
sistema en bucle cerrado tenga una respuesta ante escalón con una sobreoscilación inferior
al 5%, un tiempo de subida inferior a 1s, y un error de seguimiento ante entrada en rampa
inferior al 10%.
+
-
s+0.1τ
s(s+1)2 (s+10τ )
K(s)
Figura I.16.a:
1. Determinar las especificaciones del sistema compensado en el dominio de la frecuencia, ası́ como la ganancia mı́nima que debe tener el controlador. (Puede aproximar
el tiempo de subida por la expresión ts ≈ 2ωπ c )
Para τ = 1, Dibujar el diagrama de Bode del sistema sin compensar (con la ganancia
mı́nima calculada en el apartado anterior), y calcule los márgenes de fase y ganancia
del sistema.
Como guı́a: usar valores de 0o y −90o para el valor de la fase de un polo en las frecuencias extremas, y la siguiente tabla para las intermedias (Tome valores simétricos
para un cero).
Frecuencia relativa al polo
Separación del valor central (en grados)
0.01
45
0.1
40
0.3
30
1
0
3
-30
10
-40
100
-45
2. Para τ = 1, ¿Podrı́a diseñar una red de avance que compensase el sistema?, ¿y un
PD?, ¿quizás un PI?. Razone las respuestas.
3. Para τ = 1, diseñe (si es posible), una red de retardo que controle el sistema.
Si no pudiese diseñar una red de retardo para cumplir todas las especificaciones,
relaje la restricción de sobreoscilación, y estime la sobreoscilación resultante para el
sistema controlado.
4. Para τ = 1, diseñe (si es posible), una red mixta que controle el sistema.
5. Suponga ahora que τ puede tomar valores entre 0.1 y 1. Rediseñe la red mixta
del apartado anterior para que el controlador verifique las restricciones para todo el
rango de valores de τ .
Nota: Observe que el sistema original, puede descomponerse como
con una red de avance que depende de τ .
1
s(s+1)2
en cascada
Control Automático, 3o
17
Ing. Industrial.
Problema I.17
Cuestión 3 final 2005-06
En una planta de producción de biocombustible se ha diseñado un control proporcional
para controlar la concentración del producto de un reactor mediante la manipulación de
la válvula de refrigerante. El sistema controlado no tiene un comportamiento adecuado
y se ha decidido su mejora. Para ello, se ha procedido a la obtención de un diagrama de
Bode experimental del sistema a controlar, obteniéndose la siguiente gráfica:
Bode Diagram
60
40
20
Magnitud (dB)
0
−20
−40
−60
−80
−100
−120
−140
0
−45
Desfase (grados)
−90
−135
−180
−225
−270
−315
−360
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
Frequency (rad/sec)
Figura I.17.a:
Las condiciones deseables del sistema en bucle cerrado son un error en régimen permanente frente a entrada en escalón inferior al 1% y una sobreoscilación inferior al 20%.
Responda y justifique las siguientes cuestiones:
1. El controlador P se habı́a diseñado tomando Kc = 1. ¿Cumple el sistema realimentado las especificaciones impuestas? Para ello calcule el error que tendrı́a el sistema
realimentado en régimen permanente, la sobreoscilación y el tiempo de subida ante
18
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
una entrada en escalón.
2. Calcule las especificaciones en el dominio de la frecuencia.
3. Diseñe (si es posible) una red de avance de fase que controle el sistema.
4. Diseñe (si es posible) una red de retardo de fase que controle el sistema
5. Diseñe (si es posible) una red de mixta de fase que controle el sistema. En este caso,
procure que el sistema realimentado sea lo más rápido posible.
Problema I.18
Cuestión 2 septiembre 2005-06
En el denominado Control sin hilos de los aviones, el movimiento de los alerones se
lleva a cabo por un sistema de posicionamiento hidráulico, uno de los cuales se muestra
en la siguiente figura
u(t)
Figura I.18.a:
en la cual se observa cómo un motor eléctrico impulsa una bomba que a su vez suministra la presión de alimentación de un pistón al cual se haya conectado el alerón. De esta
forma, variando la tensión de alimentación del motor, por mediación de la señal u(t) de
entrada del amplificador de potencia, se puede variar la posición del alerón. El modelo
dinámico de éste sistema es
0.1
G(s) =
s(s + 3)(s + 1)2
siendo la entrada u(t) en voltios y la salida θ(t) grados. Se desea controlar el posicionamiento del alerón con un error en velocidad en régimen permanente que no supere
0.1 grados.
Para ello se pide:
1.- Trazar el diagrama de Bode del sistema sin compensar.
Control Automático, 3o
Ing. Industrial.
19
2.- Calcular una red de retardo de forma que el sistema en bucle cerrado no supere un
20% de sobreoscilación y posea un margen de ganancia superior a 20 dB.
3.- Diseñar un PID por las reglas de Ziegler Nichols en bucle cerrado. (K = 0.5Kcr ,
Ti = 0.5Pcr , Td = 0.125Pcr ).
4.- Diseñar una Red Mixta de forma que el sistema en bucle cerrado no supere un 20%
de sobreoscilación y el ancho de banda del sistema en bucle abierto sea superior a 1
rad/s.
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
20
Parte II
Diseño de controladores usando el
lugar de las raı́ces
21
Control Automático, 3o
Ing. Industrial.
23
Problema II.1
Cuestión 2 Parcial 2000-01
Dado el sistema con función de transferencia:
G(s) =
1
(s + 2)(s + 3)(s + 4)
Se pide:
1.- Dibujar detalladamente con trazo grueso y puntas de flecha el lugar de las raı́ces
cuando el control es proporcional con ganancia K negativa.
2.- Si al controlador del apartado anterior con K negativa se añade un polo en s = −1
, ¿cuál serı́a el valor de K para obtener un sistema en bucle cerrado con coeficiente
de amortiguamiento δ = 0.6?
3.- Si se introduce en el controlador un cero adicional al polo en en el intervalo (−1, 0),
¿se podrı́a hacer el sistema estable para cualquier valor de K < 0? Dibujar el lugar
de las raı́ces aproximado (sin calcular valores numéricos del lugar) para algún valor
del cero propuesto con el fin de justificar la respuesta.
4.- Calcule el rango de valores de K > 0 válidos para obtener un sistema con coeficiente
de amortiguamiento δ ≥ 0.6 y tiempo de subida ts ≤ 1.5 si el sistema sólo tuviese
los polos en s = −2 y s = −3.
Problema II.2
Cuestión 2 Parcial 2000-01
Dado el sistema a controlar:
G(s) =
K(s + 8)
(s + 1)(s + 3)(s + 10)
Se pide:
1.- Dibujar detalladamente con trazo grueso y puntas de flecha el lugar de las raı́ces
cuando el control es proporcional con ganancia K positiva. No hace falta calcular
puntos de separación o ingreso. Para ellos aportar una solución cualitativa.
2.- ¿Se puede despreciar el efecto del polo en s = −10 , en el sistema original, para
cualquier valor de K? Razone su respuesta.
24
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
3.- Estudiar cualitativamente la variación de la sobreoscilación con K en el sistema
original y en el sistema modificado eliminando el polo en s = −10 . Dibujar el
lugar de las raı́ces aproximado del sistema modificado (sin calcular valores numéricos
del lugar) para justificar la respuesta.
4.- Si se modifica nuevamente el sistema, eliminando tanto el polo en s = −10 como el
cero en s = −8, calcular el rango de K para que se cumplan las siguientes especificaciones de diseño:
• erp (escalon) ≤ 20%
• δ ≥ 0.6
• ts < 1s
Problema II.3
Cuestión 2 septiembre 2000-01
1
Al sistema servomecanismo G(s) = s(s+1)
se le aplica un controlador consistente en un
amplificador de ganancia KA > 0 y una realimentación de la señal de velocidad medida
con un tacómetro de ganancia KT > 0 como se muestra en el diagrama de bloques de la
figura.
R(s) +
E(s)
KA
-
U(s)
+
-
1
s +1
V(s)
1
s
P(s)
KT
Figura II.3.a:
1.- Obtener el lugar de las raı́ces generalizado del sistema en bucle cerrado respecto a
la variación de la ganancia KT si se fija KA = 4. Dibujar detalladamente el lugar
con trazo grueso y puntas de flecha.
2.- ¿Para qué valor de KT el sistema en bucle cerrado deja de tener sobreoscilación?.
3.- Si se elige KT = 5, ¿qué rango de valores de KA consigue que el sistema no tenga
sobreoscilación?
Control Automático, 3o
25
Ing. Industrial.
Problema II.4
Cuestión 2 Parcial 2001-02
Dado el sistema con función de transferencia:
G(s) =
K(Xs − 1)(s + 3)
s2 + 2s + 2
Se pide:
1.- Dibujar el lugar de las raı́ces y estudiar la estabilidad del sistema en función del
parámetro X para K = 1. Suponiendo realimentación unitaria y negativa.
2.- Dibujar el lugar de las raı́ces y estudiar la estabilidad del sistema en función del
parámetro K para X = 1. Suponiendo realimentación unitaria y negativa.
3.- Para el caso del apartado 2 (X = 1, K variable), dibujar cualitativamente cómo se
modificarı́a el lugar de las raı́ces al introducir un polo doble en s = −2, sabiendo
que no existen puntos de separación e ingreso.
4.- Para el caso del apartado 2, diseñar un controlador PI (si es posible) para que el
error en régimen permanente ante una entrada en escalón sea nulo.
Problema II.5
Cuestión 2 final 2001-02
1.- Dado el sistema con función de transferencia:
G(s) =
K(s + 1)
s2 + 2s + 2
Dibujar detalladamente el lugar de las raı́ces del sistema realimentado para cualquier
valor de K (tanto positiva como negativa). Indicar también el rango de valores de
K para los cuales el sistema es estable en bucle cerrado.
2.- Dado el sistema con dos ceros imaginarios puros:
G(s) =
K(s + pj)(s − pj)
s(s2 + 1)
Se pide representar el lugar de las raı́ces del sistema realimentado para K > 0, y
para los casos p = 0.5, y p = 1.5. Indicar, en ambos casos, el rango de valores de
K para los que el sistema es estable en bucle cerrado. (Nota: no existen puntos de
separación ni ingreso).
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
26
Problema II.6
Cuestión 2 Septiembre 2001-02
Dado el sistema con función de transferencia:
G(s) =
K(T s + 1)
(0.2s + 1)(0.5s + 1)(s + 1)
Se pide:
1.- Suponga que T es igual a cero. Dibuje el lugar de las raı́ces (K > 0) y determine
la estabilidad del sistema en función de K suponiendo realimentación unitaria y
negativa.
2.- Determine el valor de T de forma que el lugar de las raı́ces (K > 0) pase por el
punto −3.25 + 5j. Dibuje para dicho valor de T el lugar de las raı́ces (no es necesario
calcular el punto de separación). Calcule el valor de K para que el sistema en bucle
cerrado (realimentación unitaria y negativa) tenga un polo en −3.25 + 5j.
Problema II.7
Cuestión 2 Parcial 2002-03
Dado el sistema con función de transferencia:
G(s) =
3
(s + 1)(s + 3)
Se pide:
1.- Utilizar el lugar de las raı́ces para calcular un controlador proporcional que minimice
el error en régimen permanente frente entrada escalón y garantice una sobreoscilación
no superior al 20%. (Supóngase realimentación unitaria negativa).
2.- Supóngase que se quiere controlar el sistema a través de un controlador proporcional
derivativo. Calcúlese la ganancia de éste de forma que el error en régimen permanente
frente entrada escalón sea del 10%. Represente el lugar de las raı́ces generalizado en
función del tiempo derivativo (Td ) (Asúmase valores tanto positivos como negativos
para Td ).
3.- Dado el lugar de las raı́ces generalizado del apartado anterior determine para qué
rango de valores de Td el sistema no sobreoscila. Calcule el valor de Td que hace que
el sistema compensado tenga una sobreoscilación del 20%.
Control Automático, 3o
27
Ing. Industrial.
Problema II.8
Cuestión 2 final 2002-03
Dado el sistema con función de transferencia:
G(s) =
K
s((s + 4)2 + 16)
Se pide:
1.- Calcule y dibuje con detalle el lugar de las raı́ces para todo valor de K.
2.- ¿Se podrı́a calcular un controlador PI que estabilizase el sistema para todo valor de
K > 0? Razone su respuesta y dibuje los lugares que precise a mano alzada.
3.- Considere el PD GP D (s) = K(s+c). Encuentre el rango de valores de c que garantiza
que el sistema compensado G(s)GP D (s) en bucle cerrado es estable para cualquier
valor de K > 0.
Problema II.9
Cuestión 2 Septiembre 2002-03
Dado el sistema con función de transferencia:
G(s) =
K(s + 6)
s2 + 2s + a
Se pide:
1.- Supóngase que a = 17. Para dicho valor de a, dibuje el lugar de las raı́ces (para
valores positivos y negativos de K).
2.- b) Supóngase que el sistema representado por la función de transferencia G(s) se controla a través de un controlador proporcional de ganancia K = 0.1 (realimentación
unitaria negativa). Utilizando el lugar de las raı́ces generalizado, determine si existe
un rango de valores del parámetro a que garantice que la sobreoscilación del sistema
se encuentre entre el 10% y el 20%.
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
28
Problema II.10
Cuestión 2 Parcial 2003-04
Dado el sistema con función de transferencia:
G(s) =
K(s + 2)(s + 3)
s(s + 1)
Se pide:
1.- Dibuje el lugar geométricos de las raı́ces para K > 0.
(a) Indique cómo es la sobreoscilación de la respuesta del sistema en bucle cerrado
para todo el rango de K > 0.
(b) ¿Para qué valor de K > 0 es el error en régimen permanente ante entrada en
escalón menor o igual que el 10%? Justifique su respuesta.
(c) ¿Dónde se podrı́a añadir un polo real no positivo para que el sistema en bucle
cerrado se volviera crı́ticamente estable para algún valor de K > 0? Justifique
su respuesta.
2. Dibuje el lugar geométricos de las raı́ces para K < 0. ¿Podrı́a estabilizarse el sistema
para todo valor de K < 0 añadiendo algún controlador de los estudiados en este
curso? Justifique su respuesta.
Problema II.11
Cuestión 3 final 2003-04
Dado el sistema con función de transferencia:
G(s) =
K(s + 50)
s(2s + 1)(s + 1)2
Se pide:
1.- Dibujar el lugar de las raı́ces para K > 0. No es necesario calcular puntos de
separación ni de ingreso.
2.- ¿Se podrı́a controlar con un PD para hacer el sistema estable para todo K > 0?
Diseñe un PD si su respuesta es afirmativa, y tanto si es afirmativa como negativa
dibuje un boceto del lugar de las raı́ces resultante.
Control Automático, 3o
29
Ing. Industrial.
Problema II.12
Cuestión 3 Septiembre 2003-04
Dado el sistema con función de transferencia:
G(s) =
K(T s + 1)(s + 2)
(s + 3)(s + 4)
Se pide:
1.- Suponiendo que T = 1, dibujar el lugar de las raı́ces para K mayor o igual a cero.
2.- Suponiendo que T = 1, determinar el valor positivo de K que hace máxima la
sobreoscilación del sistema en bucle cerrado.
3.- Determinar el valor de K y T de forma que el sistema en bucle cerrado tenga un
polo en −1.5 + 0.3j.
Problema II.13
Cuestión 3 parcial 2004-05
Dado el siguiente sistema:
Figura II.13.a:
Se pide
1.- Suponiendo que K(s) es un controlador proporcional dibujar el lugar de las raı́ces en
función de la ganancia del controlador (tanto positiva como negativa).
2.- Diseñar un controlador PD de forma que el sistema compensado tenga como frecuencia natural ωn = 5rd/s y coeficiente de amortiguamiento δ = 0.5 (considérese
ganancia positiva).
3.- Compruebe cualitativamente que utilizando el lugar de las raı́ces que al controlar el
sistema con un PI con cualquier Ti > 0, el sistema es estable para algún valor de la
ganancia positivo.
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
30
Problema II.14
Cuestión 4 final 2004-05
Dado el siguiente sistema:
Figura II.14.a:
Se pide:
1.- Suponiendo que K(s) es un controlador proporcional dibujar el lugar de las raı́ces en
función de la ganancia del controlador (tanto positiva como negativa).
2.- Suponer que K(s)=5+(Ki/s). Dibujar el lugar de las raı́ces generalizado en función
del parámetro Ki>0. (Nota: el lugar generalizado tiene un solo punto de separación,
el cual no es necesario que se calcule con exactitud)
3.- Utilizando el lugar generalizado del apartado anterior, calcular el rango de valores
positivos de Ki tales que el error en régimen permanente frente entrada rampa sea
inferior al 10% y la sobreoscilación menor del 20%.
Problema II.15
Cuestión 3 septiembre 2004-05
Dado el siguiente sistema:
G(s) = K
(1 + τ s)
0.1
(1 + ατ s) (s + 3)(s + 4)
Se solicita:
1.- Suponiendo que α = 0.1 y τ = 2 dibujar el lugar de las raı́ces para valores positivos
y negativos de K.
2.- Dibuje el lugar de las raı́ces generalizado respecto al parámetro 1/τ suponiendo que
K = 10 y α = 0.1.
Control Automático, 3o
31
Ing. Industrial.
Problema II.16
Cuestión 3 parcial 2005-06
Se desea controlar la concentración (y) de un reactor actuando sobre la válvula de
reactivo (u). Para ello se modela el comportamiento dinámico del sistema obteniéndose
la siguiente función de transferencia
G(s) =
1
(s + 1)(s + 2)(s2 + 6·s + 13)
El sistema se debe controlar de forma que el error en régimen permanente ante una
referencia constante sea inferior al 1% y que la dinámica en bucle cerrado se aproxime a
la de un sistema de segundo orden con δ = 0.5 y ωn = 2 rad/s.
1.- Trazar el lugar de las raı́ces del sistema.
Nota: los posibles puntos de separación e ingreso son −1.44, −2.65 ± 1.34 j
2.- Justifique si es posible controlar el sistema con un controlador P.
3.- Para controlar este sistema se ha elegido un controlador PID que responde a la
siguiente función de transferencia
C(s) = K
1 + Ti ·s + Ti ·Td ·s2
s·Ti ·(α·Td ·s + 1)
Diseñar el controlador mediante el lugar de las raı́ces y determinar el valor de los
parámetros Ti , Td , K y α.( Asumir que los ceros del PID son reales.)
Problema II.17
Cuestión 1 final 2005-06
Dado el sistema:
r
K
( s + 1)( s + 2)
+
-
a
a+s
Figura II.17.a:
Se solicita:
y
32
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
a) Determinar el valor de K > 0 y a > 0 para que el sistema en bucle cerrado tenga
un polo en −1.3 + 2j.
b) Suponga que K = 1. Dibuje el lugar de las raı́ces generalizado en función del
parámetro a > 0. (No es necesario calcular con precisión los puntos de separación e
ingreso).
Problema II.18
Cuestión 3 septiembre 2005-06
Dado el sistema representado por el siguiente diagrama de bloques
K(s)
+
-
1
(s+1)(s+2)(s+4)
Figura II.18.a:
Kc
1.- Suponga que K(s) = τ ·s+1
; obtenga utilizando el lugar de las raı́ces el valor de Kc
y τ para que el sistema en bucle cerrado tenga un polo en s0 = −1 + j.
Trace, de forma aproximada, el lugar de las raı́ces resultante.
Kc s+a
2.- Suponga que K(s) = τ ·s+1
· s+b ; obtenga utilizando el lugar de las raı́ces el valor de
Kc , τ , a y b para que el sistema en bucle cerrado tenga un polo en s0 = −1 + j y el
error en régimen permanente frente entrada a escalón sea inferior al 10%.
Parte III
Automatismos
33
Control Automático, 3o
Ing. Industrial.
35
Problema III.1
Cuestión 4 Parcial 2000-01
Se desea controlar de forma automática el acceso a un banco mediante un sistema de
dos puertas (ver figura III.1.a). El funcionamiento del mismo es el siguiente:
Figura III.1.a:
PROCESO DE ENTRADA AL BANCO
Cuando una persona entra en la zona intermedia se cierra la puerta exterior y se
comprueba si lleva algún objeto de metal. En ese caso, se activará una alarma (AL) y
se abrirá la puerta exterior para que la persona salga (la alarma se desactivará una vez
que la persona haya salido). En caso contrario (no metal), se abrirá la puerta interior y
cuando la persona se encuentre dentro del banco se cerrará la puerta interior y se abrirá
la exterior.
PROCESO DE SALIDA DEL BANCO
Cuando una persona desee salir deberá pulsar y soltar el botón (P). Una vez pulsado,
se cerrará la puerta exterior, se abrirá la interior y la persona pasará a la zona intermedia.
Una vez allı́, se cerrará la puerta interior y se abrirá la exterior para que pueda abandonar
el recinto.
SE PIDE
Diseñar una red de petri que permita controlar el sistema.
NOTAS IMPORTANTES
• La puerta exterior se encuentra inicialmente abierta y la interior cerrada.
• Una persona no podrá acceder a la zona intermedia mientras esta esté ocupadada.
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
36
• En cada puerta se dispone de un sensor (SE en la puerta exterior y SI en la puerta
interior) que permite detectar el paso de una persona mediante una activación y
desactivación consecutivas.
• La detección de metales se realiza mediante el sensor SM (SM=1 -¿metal detectado).
• Las señales PE (puerta exterior) y PI (puerta interior) permiten abrir y cerrar las
puertas (1 abrir, 0 cerrar).
• Sólo puede pasar una persona a la vez.
Problema III.2
Cuestión 4 final 2000-01
Se desea automatizar el mecanismo de subida y bajada de un toldo. Para ello se
dispone de un motor para subir y bajar el toldo, de dos sensores (SS y SB) que indican
respectivamente cuando el toldo está completamente subido o bajado y de un pulsador
(P) que va a servir para controlar la subida y bajada del toldo.
El funcionamiento que se desea es el siguiente:
Suponemos el toldo inicialmente subido.
Si se pulsa el pulsador P, empezará a bajar hasta que llegue al final o hasta que se
vuelva a pulsar P, momento en el que debe pararse el toldo. Si una vez parado se vuelve
a pulsar P, el toldo deberá empezar a moverse hacia arriba hasta que vuelva a llegar a
la posición superior o se pulse nuevamente P, casos en los que debe pararse el toldo. En
resumen, el pulsador P para el toldo y cambia el sentido de movimiento.
Se pide:
Obtener la matriz de fases del automatismo correspondiente, suponiendo que el motor
puede estar parado (MP), subiendo (MS) o bajando (MB).
Problema III.3
Cuestión 5 final 2000-01
Se desea controlar de forma automática el funcionamiento de un semáforo de peatones
que dispone de un botón (P) para que los peatones soliciten cruzar. El esquema de
funcionamiento es el siguiente:
Control Automático, 3o
Ing. Industrial.
37
• El semáforo cambia de rojo (R) a verde (V), y de verde a rojo cada minuto.
• Si el semáforo está en rojo y el peatón pulsa el botón de solicitud de cruce, el semáforo
debe cambiar a verde, teniendo en cuenta lo siguiente: si el semáforo lleva más de
30 segundos en rojo, el cambio se realizará de forma inmediata, pero si lleva menos
de 30 segundos deberá esperar otros 30 segundos para realizar el cambio.
Se pide:
Diseñar una red de petri que permita controlar el proceso.
NOTAS:
• El semáforo estará inicialmente en rojo.
• El peatón sólo puede cruzar cuando el semáforo está en verde.
• Se dispone de un único temporizador de 30 segundos.
• No es necesario soltar el botón P para que se realice la conmutación
Problema III.4
Cuestión 4 septiembre 2000-01
Se desea automatizar el elevalunas eléctrico de un coche. Para ello se dispone de un
motor para subir y bajar la ventanilla, de dos sensores (VS y VB) que indican respectivamente cuando la ventanilla está completamente subida o bajada y de un pulsador (P)
que va a servir para controlar la subida y bajada de la ventanilla.
El funcionamiento que se desea es el siguiente:
Suponemos la ventanilla inicialmente subida.
Si se pulsa el pulsador P, empezará a bajar hasta que llegue al final o hasta que se
suelte P, momento en el que debe pararse la ventanilla. Si una vez parada se vuelve a
pulsar P, la ventanilla deberá empezar a moverse hacia arriba hasta que vuelva a llegar a
la posición superior o se suelte nuevamente P, casos en los que debe pararse. En resumen,
el pulsador P para la ventanilla y cambia el sentido de movimiento.
Se pide:
Obtener la matriz de fases del automatismo correspondiente, suponiendo que el motor
puede estar parado (MP), subiendo (MS) o bajando (MB).
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
38
Problema III.5
Cuestión 5 septiembre 2000-01
Se desea controlar de forma automática la entrada y salida de productos en un almacén,
utilizando cintas transportadoras y un robot (para desplazar los productos de una cinta a
otra), como se muestra en la figura III.5.a.
Figura III.5.a:
El número máximo de piezas que puede haber en el almacén es de 100. Asimismo
es necesario controlar que el almacén esté vacı́o o que esté lleno. El funcionamiento del
almacén es como sigue:
• Cuando se desea almacenar una pieza, el operario la coloca sobre la cinta de entrada
y pulsa el botón de entrada (PE). En ese momento la pieza debe ser transportada
sobre la cinta (CE) hasta llegar al final de la misma (SE). Si el almacén está lleno,
la pieza permanecerá en dicha posición hasta que se saque alguna pieza del mismo.
Cuando haya sitio, el robot deberá recogerla y depositarla en la cinta auxiliar 2.
Para ello, será necesario activar la señal RE, de modo que el robot se acerque a la
posición de entrada, y esperar 30 segundos para que el robot complete el movimiento.
• Del mismo modo, cuando se desee sacar una pieza se pulsará el botón de salida (PS).
Si no hay piezas, la petición será ignorada. En caso contrario la pieza se desplazará
sobre la cinta de salida hasta la posición SS y esperará allı́ para ser trasladada por
el robot a la cinta auxiliar 1. Para dicho traslado será necesario activar la señal RS
y esperar 30 segundos para completar el movimiento.
Se pide:
Diseñar una red de petri que permita controlar el proceso.
NOTAS IMPORTANTES:
Control Automático, 3o
39
Ing. Industrial.
• Se dispone de un contador de 100 piezas con dos entradas (IC, DC, para incrementar/decrementar el contador) y dos salidas (C100, C0, que valen 1 cuando el
contador vale 100 y 0, respectivamente).
• Es necesario incrementar/decrementar el contador cuando se finalice el proceso de
entrada/salida de piezas.
• La cinta de entrada se pone en marcha/paro con la señal (CE), y la de salida con
(CS).
• Las cintas auxiliares están siempre en funcionamiento. ” Se dispone de un temporizador de 30 segundos.
• El robot sólo puede atender una petición a la vez, por lo que no se deben activar
simultáneamente las señales RE y RS.
• Se dará prioridad a la salida de piezas frente a la llegada.
Problema III.6
Cuestión 2 parcial 2001-02
Para describir el comportamiento de un sistema de gestión de alarma ante intruso en
una habitación se utilizó la matriz de fase de la figura III.6.a, donde M activa el sistema de
alarma (si M pasa a ”0” no se desactiva), P lo desactiva, D es un detector de movimiento
dentro de la habitación, S es un indicador de sistema de alarma activo o no y A es la señal
que enciende el altavoz de alarma (que ha de sonar cuando se active D) o lo apaga
M
P
+
-
S
AUTÓMATA
GESTOR
SISTEMA
DE ALARMA
A
D
DETECTOR DE
MOVIMIENTO
Figura III.6.a:
a) Descubra 4 errores en la matriz de la figura III.6.b indicando la solución correcta.
b) Rellene los huecos libres.
40
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
Notas: M y P no se pulsa uno mientras se suelta el otro (01 → 10) ni se pulsan a la
vez (00 → 11). D puede cambiar a la vez que se pulsa M ó P (000 → 101 ó 000 → 011)
y en estos casos las salidas S y A corresponden a las funciones de M ó P.
MPD MPD MPD MPD MPD MPD
000
001
010
011
100
101
S
A
0
1
2
3
4
5
0
0
0
1
2
3
4
5
0
0
0
1
2
3
-
-
0
0
2
3
-
0
1
1
-
3
4
5
1
0
6
7
-
-
4
5
6
7
2
3
4
5
1
0
6
7
2
3
5
1
1
0
Figura III.6.b:
Problema III.7
Cuestión 2 parcial 2001-02
Se desea diseñar una Red de Petri (RdP) que modele el funcionamiento del limpiaparabrisas de un coche (figura III.7.a) mediante una palanca de 4 posiciones: parado, sin
paradas (Posición 0=P), paradas de 5 seg. (Posición 1=P1) y paradas de 10 seg. (Posición
2=P2). El sistema posee dos contactos de fin de carrera que indican la posición final de
medio ciclo B y de ciclo completo A.
PALANCA
Parad
o
P=Posición 0
P1=Posición 1
P2=Posición 2
Figura III.7.a:
Se pide completar la RdP de la figura III.7.b, desde donde se ha dejado, sin posibilidad
de añadir en más lugares las señales de motor derecha (MD) y motor izquierda (MI).
Control Automático, 3o
41
Ing. Industrial.
Figura III.7.b:
Problema III.8
Cuestión 5 final 2001-02
Un sistema de gestión de alarma anti-intruso funciona con las siguientes señales:
• MI: Activa (MI=1) el sistema anti-intruso.
• PI: Desactiva (PI=1) el sistema anti-intruso.
• SI: Enciende una luz piloto indicando si el sistema anti-intruso está activado (SI=1)
o no (SI=0).
• DI: Sensor de detección del movimiento (DI=1) dentro de la habitación. El sensor
funciona independientemente de que el sistema anti-intruso esté activado o no.
• A: Hace sonar (A=1) o apaga (A=0) el altavoz de alarma.
El funcionamiento del sistema es el siguiente: el altavoz sonará cuando se detecte
movimiento y el sistema anti-intruso esté activo, y no dejará de sonar hasta que se pulse
PI. (NOTA: MI y PI nunca están pulsados a la vez).
Se pide:
a) Dibujar una red de Petri que describa el comportamiento del sistema.
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
42
b) Utilizando el sensor de movimiento DI, se desea que la luz L de la habitación
se encienda automáticamente (L=1) siempre que se detecte movimiento en dicha
habitación. La luz se mantendrá encendida durante 5 minutos excepto en el caso en
el que el sistema anti-intrusos estuviera haciendo sonar el altavoz, caso en el que deberá permanecer encendida hasta que se desactive el sistema anti-intrusos (es decir,
que se pulse PI).
Vuelva a dibujar su red de a) y complétela para realizar dicha tarea teniendo en
cuenta lo siguiente:
• Una vez encendida la luz de la habitación, NO se podrá activar el sistema de
detección de intrusos hasta que la luz se haya apagado.
• Se dispone de un temporizador de 5 minutos (AT, FT).
c) Volviendo al caso del apartado a) (sin control de la luz de la habitación), se instala
adicionalmente un sistema de detección de incendios que comparte el altavoz A con
el de anti-intrusos.
El sistema de detección de incendios maneja señales con funcionalidades análogas
a las del sistema anti-intruso, a saber, MF, PF, SF, DF (para activar, desactivar,
indicar funcionamiento del sistema y detectar fuego), con las que controla el altavoz
A de forma similar al detector de intrusos. Además, dispone de una luz indicadora
de fuego F que debe ser activada (F=1) cuando se detecte un fuego, y cuya misión
es distinguir desde el exterior si el altavoz suena por un incendio o por un intruso.
Vuelva a dibujar su red del apartado a) y complétela para realizar dicha función
teniendo en cuenta lo siguiente:
• Si cuando está sonando la alarma por intruso se detecta fuego, NO se activará
el indicador F.
• La prioridad en el uso del altavoz la tendrá el sistema ante incendio.
Problema III.9
Cuestión 4 septiembre 2001-02
El cuadro de relación entre estados de la figura III.9.a rige el funcionamiento del código
de seguridad del autorradio de un automóvil. Dicho autorradio dispone de dos pulsadores
(A y B) que deben ser accionados en la secuencia descrita en dicha matriz para ponerlo
en funcionamiento. Se pide:
1.- Describir el funcionamiento de dicho código de seguridad (3 lı́neas máximo).
2.- Minimizar la matriz de fases a través de la tabla de inferencia analizando la compatibilidad de estados de modo que se reduzca al mı́nimo número de estados. Es
necesario que se describa dicho análisis de compatibilidad de forma explı́cita. No
debe limitarse a poner el resultado, caso éste en el que no tendrı́a validez.
Control Automático, 3o
43
Ing. Industrial.
3.- Realizar una Red de Petri que controle el funcionamiento del sistema.
00
01
11
10
Salida
(S)
Q
0
0
-
1
0
Q
2
-
0
1
0
Q
2
3
-
0
0
Q
4
3
0
-
1
Q
4
4
-
4
1
AB
Figura III.9.a:
Problema III.10
Cuestión 5 septiembre 2001-02
Se desea automatizar los accesos y salidas de un aparcamiento con dos entradas y una
salida y con un aforo máximo de 100 vehı́culos.
Barrera 1
Barrera 2
Entrada 2
Entrada 1
PE1
PE2
SABEi
SE1
MABEi
SE2
SF
SF
GARAJE
MBBEi
Barrera i
PS
SSS
SBBEi
Salida
Figura III.10.a:
El esquema del sistema a automatizar es el que se muestra en la figura y que se describe
a continuación:
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
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• Para controlar el número de coches se dispone de un contador que tiene dos señales
de entrada (IC) para incrementar el contador y (DC) para decrementarlo y una de
salida (C100) para indicar que se han contado 100 coches (C100=1).
• El sistema consta de 2 entradas cada una con una barrera que funciona de la misma
forma:
– Se dispone de un motor que levanta la barrera (MABEi) y que la baja (MBBEi),
y de dos sensores, uno de barrera totalmente levantada (SABEi) y otro de barrera bajada (SBBEi). Además existe un pulsador (PEi) que se usa para que
se levante la barrera, y un sensor que indica cuando ha pasado el coche en su
totalidad (SEi).
– El proceso de entrada será el siguiente: Al llegar un vehı́culo, el conductor
deberá pulsar el pulsador (PEi), una vez pulsado se levantará la barrera que
permanecerá levantada hasta que el coche haya entrado en el garaje, en ese
momento el contador debe incrementarse en una unidad y bajar la barrera.
– El autómata debe controlar también que no entren dos coches al mismo tiempo
por ambas puertas.
• La salida se hará a través de una única barrera que consta de un motor que la levanta
(MABS) y que la baja (MBBS), y de dos sensores, uno de barrera totalmente
levantada (SABS) y otro de barrera bajada (SBBS). Además existe un pulsador
(PS) que se usa para que se levante la barrera, y un sensor que indica cuando ha
pasado el coche en su totalidad (SS). El proceso de salida será el siguiente: Al
llegar un vehı́culo, el conductor deberá pulsar el pulsador (PS), una vez pulsado se
levantará la barrera que permanecerá levantada hasta que el coche haya salido del
garaje, en ese momento el contador debe decrementarse en una unidad y bajar la
barrera.
• En el caso de que el garaje esté completo deberá encenderse un semáforo (SF) y no
se podrá entrar en el garaje por ninguna puerta hasta que haya plazas libres.
SE PIDE REALIZAR LA RED DE PETRI CORRESPONDIENTE A LA AUTOMATIZACIÓN DEL SISTEMA
Problema III.11
Cuestión 4 parcial 2002-03
Se desea realizar un automatismo para controlar el nivel de un depósito alimentado
por una tuberı́a de entrada cuyo flujo se controla por una válvula de control de nivel
(FCV). Para ello se dispone de dos sensores S1 y S2 colocados como se muestra en la
figura III.11.a.
El comportamiento deseado es el siguiente: En caso de que el nivel esté por debajo de
los dos sensores debe abrirse la válvula de control de nivel (FCV=1), si partiendo de este
Control Automático, 3o
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Ing. Industrial.
funcionamiento el nivel sube por encima de S1 la válvula debe seguir abierta, y si supera
S2 debe cerrarse. Si por el contrario, sin llegar al nivel S2, vuelve a bajar por debajo de
S1 debe permanecer abierta. Si partiendo de un nivel superior a S2 (válvula cerrada) el
nivel disminuye por debajo de S2 la válvula debe permanecer cerrada y si disminuye por
debajo de S1 debe abrirse. Si por el contrario, sin llegar al nivel S1, vuelve a subir por
encima de S2 debe permanecer cerrada. En resumen el sistema debe comportarse con una
caracterı́stica de histéresis.
Se pide:
Realizar la matriz de fases que modele el comportamiento deseado del sistema, reducir
dicha matriz eliminando los estados compatibles y realizar el diagrama de contactos del
automatismo necesario para controlar el sistema.
Nota:
• Suponer que el nivel del depósito es inicialmente inferior a S1.
• Los sensores S1 y S2 se activan (S1=1, S2=1) si están cubiertos de agua y se
desactivan si no lo están.
FCV
S2
S1
Figura III.11.a:
Problema III.12
Cuestión 5 parcial 2002-03
Se desea automatizar el mecanismo de subida y bajada de un toldo. Para ello se
dispone de un motor para subir y bajar el toldo, de dos sensores (SS y SB) que indican
respectivamente cuando el toldo está completamente subido o bajado y de un pulsador
(P) que va a servir para controlar la subida y bajada del toldo.
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
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El funcionamiento que se desea es el siguiente:
Suponemos el toldo inicialmente subido.
Si se pulsa el pulsador P, empezará a bajar hasta que llegue al final (permanezca P
pulsado o no) o hasta que se vuelva a pulsar P, momento en el que debe pararse el toldo.
Si una vez parado se vuelve a pulsar P, el toldo deberá empezar a moverse hacia arriba
hasta que vuelva a llegar a la posición superior (permanezca P pulsado o no) o se pulse
nuevamente P, casos en los que debe pararse el toldo. En resumen, el pulsador P para el
toldo y cambia el sentido de movimiento.
Se pide:
Diseñar la red de Petri que controle el comportamiento del sistema, suponiendo que el
motor puede estar parado (MP), subiendo (MS) o bajando (MB).
NOTA: Una vez pulsado el botón P en cualquiera de los casos este podrá ser soltado
o permanecer pulsado, debiendo tener el mismo comportamiento en ambos casos.
Problema III.13
Cuestión 4 final 2002-03
Con vistas a mejorar la calidad de las tostadas de la cafeterı́a se propone instalar una
tostadora automática, de modo que mediante un conjunto de interruptores situados en
su frontal (H, A, M, T, Y, S, P, PT) es posible seleccionar cómo de hecha se quiere la
tostada, el acompañamiento y un complemento. En concreto:
• Debe ser posible elegir entre tostadas poco hechas (30 segundos) (H=0) o normales
(1 minuto) (H=1).
• La tostada puede ir acompañada de aceite (A=1) o mantequilla (M=1) o nada.
• Como complemento se puede incluir tomate (T=1), jamón york (Y=1), jamón serrano (S=1) o nada.
• IMPORTANTE: sólo se puede seleccionar un complemento.
Para utilizarla, el camarero deberá 1o ) situar el pan en la tostadora; 2o ) seleccionar
poco hecha o normal con el botón H; 3o ) pulsar los botones correspondientes para seleccionar el acompañamiento (A ó M o ninguno); 4o ) pulsar los complementos (T, Y, S o
nada) y 5o ) pulsar el interruptor de puesta en marcha P, momento en el que comienza
a prepararse la tostada de forma automática con las opciones elegidas. Una vez lista la
tostada se activará una campana (C=1) indicando que está preparada. La campana estará
activa hasta que el camarero desconecte el interruptor P.
Control Automático, 3o
Ing. Industrial.
47
Además:
• Para que el pan se tueste, el sistema de control debe mantener activa una señal
llamada TOSTAR que enciende los filamentos de la tostadora.
• La tostadora dispone de unos mecanismos para aplicar de forma automática las porciones de aceite, mantequilla, etc. Para aplicar los distintos elementos el sistema
de control debe activar y desactivar de forma consecutiva la señal de control correspondiente (AA: Aplicar aceite, AM: Aplicar mantequilla, AT: Aplicar tomate,
AY: Aplicar york, AS: Aplicar serrano). (Ej: haciendo consecutivamente AM=1,
AM=0 el sistema deposita una porción de mantequilla sobre la tostada).
• El complemento (tomate, york o serrano) se aplicará SIEMPRE DESPUÉS del
acompañamiento básico (aceite,).
• Se dispone de un temporizador de 30 segundos (AT1: Activar temporizador, FT1:
fin de temporización).
• Asimismo, para evitar un posible tostado excesivo, existe un pulsador PT que permite detener el proceso de tostado en cualquier instante, pasando el sistema a aplicar
el acompañamiento y complemento. Este pulsador sólo detiene el tostado no el proceso de preparación.
Se pide:
a) Indicar claramente las señales de entrada y salida del autómata que controle el
proceso.
b) Realizar una red de petri que controle el sistema.
Problema III.14
Cuestión 4 septiembre 2002-03
a) Se desea automatizar un elevador en un centro comercial. Dibuje una red de Petri
que describa el comportamiento del autómata que proporcione dos señales al motor
del elevador y una a la puerta del elevador:
• S para SUBIR elevador
• B para BAJAR elevador
• PA deberá estar a 1 para mantener la puerta abierta
a partir de las entradas
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Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
• de LLAMADA desde cada planta del centro comercial A: LA1, LA2 y LA3
• desde tres pulsadores en el ELEVADOR: E1, E2 y E3
• desde los SENSORES de planta: S1, S2 y S3 que están a 1 cuando el elevador
esté en cada planta.
Cuando el elevador se para en una planta la puerta PA se abre durante 10 s y se
cierra. Sólo en ese momento queda disponible para ser llamado desde el elevador o
desde la planta. También se abre la puerta durante 10 s cuando se le indica ir a la
planta en la que está.
En las plantas 2 y 3, si el elevador no es llamado desde otra planta durante el siguiente
minuto en que está la puerta cerrada, bajará a la planta primera y esperará allı́.
Considérese inicialmente el elevador en la planta 1 con la puerta cerrada. Se dispone
de un temporizador de 1 minuto de entrada AT1 (activación de temporizador) y
salida FT1 (fin de temporización), y de otro de 10 s (AT10, FT10).
CENTRO COMERCIAL A
LA3
S3
LA2
S2
CALLE
GARAJE B
S1
LA1
PA S
AT10
LB1
E1 E2 E2
TEMP
10 s
AT30
B PB
FT10
AT1
TEMP
30 s
TEMP
1 min
FT1
FT30
Figura III.14.a:
b) El elevador es compartido con los clientes para subir del garaje B adosado en la
primera planta. Para ello dispone de una PUERTA al garaje (PB a 1 cuando puerta
abierta. Diseñe la red que gestiona el elevador desde el garaje según lo siguiente:
Cuando el elevador se para en la planta primera la puerta PB permanece cerrada
hasta que es llamado con el pulsador de planta LB1. En ese caso se abre PB durante
30 sg (para ello se dispone de un temporizador de señales AT30 y FT30) y tras
cerrarse sube hacia la tercera planta, abre durante otros 30 sg, cierra y vuelve a
bajar. Cuando un cliente del garaje utiliza el elevador la puerta PA permanece
cerrada en dichas plantas.
Considere al comienzo el elevador en la primera planta.
Indique en la red que acaba de dibujar cómo se comparte el elevador con el centro
comercial, marcando las transiciones de a) que necesite con etiquetas de la forma
Control Automático, 3o
Ing. Industrial.
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TRANS-1, TRANS-2, ... (y los lugares con etiquetas LUG-1, LUG-2, etc) y referenciándolas desde la red b).
Problema III.15
Cuestión 4 parcial 2003-04
Dado el automatismo definido por la siguiente matriz de fases:
Figura III.15.a:
Se pide:
a) Simplificar dicha matriz al número mı́nimo de estados.
b) Obtener la función lógica mı́nima correspondiente a la salida del sistema (función de
lectura).
Problema III.16
Cuestión 4 parcial 2003-04
Se desea controlar el proceso de entrada y salida a un parking con una capacidad
máxima para cien vehı́culos, y en el que los vehı́culos deben atravesar una rampa estrecha
por la que sólo puede circular un vehı́culo en cada momento. Para ello se dispone de un
semáforo de entrada (SME) y uno de salida (SMS) que permiten, respectivamente, que
un vehı́culo entre o salga del parking (SME=1 (SMS=1) pone el semáforo de entrada
(salida) en verde, SME=0 (SMS=0) semáforo en rojo). Inicialmente ambos semáforos se
encuentran en rojo.
50
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
Asimismo, se dispone de un sensor (SE1) que indica la presencia (SE1=1) de un
vehı́culo que desea entrar en el parking. Si el semáforo de entrada está en rojo o el
parking está lleno el vehı́culo esperará en este punto hasta que pueda entrar. En ese
momento el semáforo de entrada se pondrá en verde para permitir que el vehı́culo pase,
e inmediatamente que haya cruzado se pondrá de nuevo en rojo para que no pase ningún
otro vehı́culo. Para saber que el vehı́culo ha terminado de entrar en el parking se dispone
de otro sensor (SE2) que se pone a 1 cuando un vehı́culo está cruzando en ese carril por
delante del mismo.
Análogamente, para gestionar la salida de vehı́culos se dispone de sendos sensores
(SS1 y SS2). Si el semáforo de salida está en rojo o hay otro vehı́culo entrando o saliendo
deberá esperar junto al sensor SS1. De nuevo, para permitir sólo la salida de un vehı́culo
el semáforo de salida debe ponerse a verde e inmediatamente que cruce a rojo. Al igual
que antes, el sensor SS2 permite saber que el vehı́culo ha completado el proceso de salida.
Se dispone de un contador con dos entradas (IC, DC) para incrementar y decrementar,
y una única salida (C100) que se pone a 1 cuando en el contador vale 100.
La salida de vehı́culos tendrá prioridad frente a la entrada.
SS2
SMS
SS1
PARKING
SE1
SME
SE2
Figura III.16.a:
a) Indicar claramente las señales de entrada y salida del autómata que controle el
proceso.
b) Realizar una red de petri que controle el sistema.
Problema III.17
Cuestión 4 final 2003-04
Se desea automatizar el secador de un túnel de lavado de coches para que se mantenga
a una altura fija de la carrocerı́a del coche.
Para ello se dispone de un secador con dos sensores, SS (sensor superior) y SI (sensor
Control Automático, 3o
51
Ing. Industrial.
inferior), más un sensor de presencia de coche en la parte de secado del túnel de lavado
(SC). Se dispone también de varias señales de actuación (MA y MB para subir o bajar
el secador respectivamente y S para poner en marcha el secador)
SS
MA
S
SI
MB
SC
Figura III.17.a:
El funcionamiento del sistema es el siguiente:
Cuando el coche llegue al sensor SC deberá ponerse en funcionamiento el proceso de
secado, que comenzará poniendo en marcha el secador (S=1).
En ese momento el secador debe acercarse lo más posible al coche y permanecer cerca
de él usando los sensores SS y SI, de tal forma que si ninguno de los sensores está activado
significa que el secador está lejos del coche y debe bajar hasta que el sensor SI se active;
a partir de ese momento, si se activa el sensor SS el secador debe subir para alejarse del
coche hasta que deje de activarse y si dejase de activarse SI debe bajar hasta que vuelva
a acercarse al coche de nuevo.
Por el contrario, si al activarse el sensor SC estuvieran también activos los sensores
del secador (SS y SI) el secador debe alejarse primero hasta que sólo esté activo SI y
posteriormente proceder de la forma descrita anteriormente.
Una vez el coche haya pasado totalmente por el sensor SC el secador se parará y se
quedará a la espera de la llegada de un nuevo vehı́culo.
Se pide diseñar una red de Petri que controle el funcionamiento del sistema.
Nota: El coche es desplazado sobre un rail por el túnel de lavado y su movimiento no
es gobernado por el automatismo que se ha de diseñar.
Problema III.18
Cuestión 4 septiembre 2003-04
El nuevo ZEAT IBISA viene equipado con un novedoso sistema de cierre centralizado
que además permite el cierre automático de las ventanillas al dejar el vehı́culo.
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
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La cerradura del conductor tiene tres posiciones: Centro (posición de reposo), girada
a la izquierda para Abrir Puerta (AP) y girada a la derecha para Cerrar Puerta (CP).
Para pasar de la posición AP a CP, o viceversa, es necesario pasar siempre por la posición
central (momento en el cual tanto AP como CP estarán a cero). Obviamente, es fı́sicamente
imposible que AP=1 y CP=1 simultáneamente.
El coche se supone inicialmente con la cerradura en posición de reposo (AP=0, CP=0).
Cuando el conductor gira la llave a la posición de cerrar puertas (CP se pone a 1) y la
mantiene ası́ durante cinco segundos (CP a 1 cinco segundos), el sistema sube automática
y simultáneamente la ventanilla derecha (SVD enciende el motor para Subir la Ventanilla
Derecha) y la ventanilla izquierda (SVI), hasta que ambas estén cerradas (VDC es un sensor para saber que la Ventanilla Derecha está Cerrada (VDC=1) y VIC, para la Ventanilla
Izquierda).
Importante: para evitar daños en los motores de los elevalunas eléctricos, éstos deben
ser apagados en cuanto la ventanilla correspondiente se cierre completamente. Es decir,
si se están cerrando ambas ventanillas (SVD=1, SVI=1) y, por ejemplo, la Ventanilla
Derecha se Cierra antes (VDC=1,VIC=0), entonces se parará el motor de Subir Ventana
Derecha (SVD=0) pero el de la izquierda seguirá en marcha (SVI=1) hasta que se haya
cerrado por completo.
Además, si el conductor gira la llave a la posición de reposo los elevalunas se detendrán
inmediatamente en la posición en la que se encuentren. Si vuelve a girar la llave durante
cinco segundos se repetirá el proceso.
Se dispone de un temporizador de 5 segundos (AT, activa temporizador; FT indica fin
de temporizador).
a) Indicar claramente las señales de entrada y salida del autómata que controle el
proceso.
b) Realizar una red de petri que controle el sistema.
Problema III.19
Cuestión 4 parcial 2004-05
Se desea controlar el funcionamiento del nuevo cepillo dental eléctrico ORAL-P de
BRAUM.
Dicho cepillo cuenta con un pulsador (P) que permite poner en marcha y detener el
funcionamiento del mismo. Cuando el usuario desea poner el cepillo en marcha debe pulsar
y soltar el botón P. En ese instante, el cepillo debe empezar a funcionar.
Control Automático, 3o
Ing. Industrial.
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Teniendo en cuenta que, para una correcta higiene bucal, el cepillado debe durar al
menos 120 segundos, el cepillo no se podrá parar durante ese tiempo. Transcurridos los
120 segundos, el cepillo debe emitir una señal para que el usuario sepa que ya han pasado
dos minutos. Dado que el cepillo no dispone de un altavoz, para avisar al usuario realizará
una pequeña vibración. Para ello, detendrá el motor durante 1 segundo, lo pondrá en
marcha durante otro segundo, lo volverá a parar durante un segundo y, posteriormente,
seguirá funcionando indefinidamente hasta que el usuario pulse y suelte P, momento en
el que deberá quedar preparado para un nuevo cepillado.
Para conseguir que el motor gire, el sistema de control debe mantener la señal M a
uno (si M vale cero el motor se para).
Se dispone de un contador con dos entradas (BC, IC) para poner a cero e incrementar
el contador, respectivamente, y una única salida (C120) que toma valor 1 cuando en el
contador vale 120. El contador se encuentra inicialmente a cero.
Asimismo, se dispone de un único temporizador de 1 segundo, el cual es gestionado
mediante las señales (AT, FT) para activar y avisar de fin de temporización, respectivamente.
Se pide:
a) Indicar claramente las entradas y salidas del controlador
b) Diseñar una Red de Petri que controle el proceso
Problema III.20
Cuestión 3a final 2004-05
Con objeto de garantizar el buen funcionamiento de los servidores informáticos de
la escuela, es necesario mantener la temperatura de la sala de ordenadores donde están
instalados a una temperatura próxima a 15o C.
Para lograrlo se ha adquirido un aparato de aire acondicionado al que se pretende
diseñar un control todo-nada con histéresis de ±5o C. Para ello se dispone de dos sensores
T10 y T20. El primero de ellos se activa (T10=1) cuando la temperatura es inferior a 10
o C y el otro lo hace (T20=1) cuando la temperatura es superior a 20 o C.
El funcionamiento que se pretende es el siguiente:
Si la temperatura es superior a 20o C el aire acondicionado deberá estar funcionando
(AIRE=1), si baja por debajo de 20o C pero es superior a 10o C debe seguir funcionando
y si baja por debajo de 10o C debe apagarse (AIRE=0).
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
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Si por el contrario la temperatura es inferior a 10o C (el aire acondicionado debe estar
apagado (AIRE=0)) y la temperatura sube por encima de 10o C el aire debe permanecer
apagado hasta que se suba por encima de 20o C momento en el que debe encenderse.
Se pide: Diseñar el automatismo que implemente el control todo-nada con histéresis
antes descrito, calculando la matriz de fases, reducción de estados, matriz de fases reducida,
simplificación usando tablas de Karnaught, indicando la función de transición y la de salida
y realizando la implementación mediante la lógica de contactos.
Problema III.21
Cuestión 3b final 2004-05
Se pretende controlar la iluminación de una sala, de manera que la luz esté encendida
cuando haya alguien dentro de la sala y apagada cuando esté vacı́a, para ello se dispone
de dos sensores (S1 y S2) situados en la puerta que indican cuando una persona ha salido
o entrado de la habitación de la siguiente forma:
• Entrada: activación/desactivación de S1 y después lo mismo de S2.
• Salida: activación/desactivación de S2 y después lo mismo de S1.
Además se dispone de un contador con el que se pretende saber si la habitación está
vacı́a, hay alguien o se ha superado el aforo máximo de 100 personas. Para ello el contador
tiene dos entradas (IC: Incrementa contador y DC: Decrementa contador) y dos salidas
(C0: Contador=0 y C100: Contador=100).
El funcionamiento que se pretende es que si la sala está vacı́a la luz esté apagada
(LUZ=0) y si hay alguien esté encendida (LUZ=1).
Asimismo si se supera el aforo de 100 personas debe encenderse la señal de aviso de
sala completa (COMPLETO=1) y permanecer encendida hasta que el número de personas
sea inferior a 100.
Se pide diseñar la red de Petri que implemente el comportamiento deseado.
NOTAS:
• Suponer que inicialmente la sala está vacı́a y el contador a 0.
• Una vez completado el aforo puede seguir entrando gente, pero la señal de completo
debe estar activa hasta que se deje de superar las 100 personas.
• Es imposible que una persona salga a la vez que otra entra.
Control Automático, 3o
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55
• Suponer que una vez empezado el proceso de entrada o de salida éste se completa
en su totalidad.
Problema III.22
Cuestión 4 septiembre 2004-05
Se desea controlar el sistema de apertura y cierre de las puertas de los vagones del
futuro Metro de Sevilla.
Cada vagón dispone de dos puertas (A y B) identificadas con la letra y el número de
vagón correspondiente (por ejemplo, A1, es la puerta A del vagón 1, y B7 es la puerta B
del vagón 7). Para abrir cada puerta se dispone de una señal Apv, donde p indica la letra
de la puerta y v el número de vagón (p.ej., mientras las señales AA1 y AB2 están a 1, la
puerta A del vagón 1 y la puerta B del vagón 2, respectivamente, permanecerán abiertas).
Cuando el metro llega a la estación y se para (el sensor MPE=1, indica que el Metro
está Parado en la Estación) se deberán abrir todas las puertas. Las puertas permanecerán
abiertas durante 10 segundos, y además, durante los 5 últimos segundos se activará una
señal sonora de aviso (ACP) de que las puertas están próximas a cerrarse. Una vez
transcurrido ese tiempo se cerrarán todas las puertas.
No obstante, para evitar atrapar a algún pasajero con la puerta, se dispone de un
sensor Spv, que indica que hay alguien obstruyendo la puerta correspondiente (p.ej, si el
sensor SB2 está a uno significa que hay un pasajero obstruyendo la puerta B del vagón 2).
De este modo, transcurridos los 10 segundos desde que se paró el metro, se deberán cerrar
todas las puertas en las que no haya nadie obstruyendo la entrada, debiendo mantenerse
abiertas las restantes puertas. Estas puertas se deberán ir cerrando conforme dejen de
estar obstruidas. Mientras haya alguna puerta obstruida se activará una alarma sonora
(AL).
Una vez que todas las puertas hayan sido cerradas, el sistema de control deberá activar
la señal Puertas Cerradas (PC) para que el conductor sepa que puede iniciar la marcha
camino a la próxima estación, y deberá mantenerse activa hasta que el metro deje de estar
parado en la estación.
Se dispone de un único temporizador de 5 segundos, el cual es gestionado mediante las
señales (AT, FT) para activar y avisar de fin de temporización, respectivamente.
Se pide: a) Indicar claramente las entradas y salidas del controlador. b) Diseñar una
Red de Petri que controle el proceso para dos vagones.
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Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
Problema III.23
Cuestión 4 parcial 2005-06
Se desea automatizar el funcionamiento de una mesa de mecanizado con dos puestos
de trabajo y un brazo manipulador que se encarga de la alimentación y descarga de piezas
a la mesa. El esquema de la mesa de mecanizado puede verse en la figura III.23.a.
Puesto de avellanado
y descarga
Puesto de taladrado
G120
Puesto de carga
ROBOT
Figura III.23.a: Esquema de la mesa de mecanizado
El proceso de mecanizado consta de dos procesos que han de hacerse de forma secuencial en los dos puestos de trabajo (puesto de taladrado y de avellanado), el autómata
deberá también de gestionar la carga y descarga de piezas a la mesa por parted del robot
(en los puestos de carga y de avellanado/descarga), ası́ como el giro de la misma para
llevar las piezas de un puesto a otro.
El proceso de carga y los de mecanizado en cada puesto se realizarán de forma simultanea, la evacuación de las piezas se hará una vez hayan terminado todos los procesos.
Para ello el sistema cuenta con los siguientes elementos y señales:
• Pulsadores PM: Pone en marcha el sistema y PAR que inicia el proceso de parada.
de mecanizado.
• Señales CAR (Indica al robot que deba cargar una pieza en la mesa) y FCAR(El
autómata la recibe del robot cuando ha terminado de cargar la pieza)
• Señal G120 (Gira la mesa) y sensor FG120 (Indica cuando la mesa ha terminado
de girar 120o )
• Sensores TA (Taladro arriba) y TB (Taladro abajo)
• Señales ST (Subir taladro), BT (Bajar taladro) y MT (poner en marcha el taladro)
• Sensores AA (Avellanadora arriba) y AB (Avellanadora abajo)
• Señales SA (Subir Avellanadora), BA (Bajar Avellanadora) y MA (poner en marcha la Avellanadora)
Control Automático, 3o
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• Señales DESCAR (Indica al robot que deba descargar una pieza de la mesa) y
FDESCAR(El autómata la recibe del robot cuando ha terminado de descargar la
pieza).
El sistema consta de tres modos de funcionamiento diferenciados:
1. Puesta en marcha: El sistema de mecanizado se pondrá en marcha cuando se
pulse el pulsador PM. A partir de ese momento se realizará la puesta en marcha del
sistema que consiste en el siguiente proceso:
• Carga de pieza en la mesa en el puesto de carga: Se realizará enviando al robot
la señal CAR y habrá acabado cuando se reciba la señal FCAR del robot.
• Una vez cargada la pieza se girará la mesa 120o mediante la señal G120 para
que la pieza cargada quede debajo de puesto de taladrado. El giro debe terminar
cuando se activa la señal FG120.
• Ahora debe producirse el proceso de carga de otra pieza en el puesto de carga
y el de taladro de la pieza que está en el puesto de taladrado.
• Una vez terminados los procesos de carga y taladrado la mesa debe volver a
girar 120o y pasar al siguiente modo de funcionamiento.
2. Funcionamiento normal: Durante este modo de funcionamiento el sistema debe:
• Realizar de manera simultanea la carga, el taladrado y el avellandado de la
piezas que hay en cada puesto de trabajo.
• Una vez terminados los tres procesos se sacará la pieza desde el puesto de
avellanado/descarga enviando la señal DESCAR al robot (acaba cuando se
recibe la señal FDESCAR)
• volver a girar 120 para que haya una pieza en cada punto de trabajo.
Este proceso debe repetirse hasta que después de la descarga de pieza se detecte
que se ha activado la señal PAR, momento en el que debe comenzar el proceso de
parada.
En resumen, durante el funcionamiento normal cada pieza debe ser cargada en el
puesto de carga, taladrada, avellanada y ser descargada desde el puesto de avellanado
y descarga, finalizando ası́ su proceso de mecanizado.
3. Parada: En el proceso de parada el sistema debe de sacar todas las piezas de la
mesa a través del puesto de avellanado independientemente de si están mecanizadas
o no, de manera que la mesa quede libre de piezas. En ese momento el sistema
volverá al estado inicial.
El proceso de taladrado consiste en: poner en marcha el taladro con la señal MT,
bajar el taladro hasta TB, mantenerlos durante 10 segundos, volver a subirlo, pararlo y
esperar otros 10 segundos hasta que se enfrı́e la pieza.
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Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
Análogamente, el proceso de avellanado consiste en poner en marcha la avellanadora
con la señal MA, bajarla hasta AB, mantenerla durante 10 segundos, volver a subirla,
pararla y esperar otros 10 segundos hasta que se enfrı́e la pieza.
NOTAS:
• El proceso de carga y descarga por parte del robot no está gobernado por el autómata,
éste sólo indica cuando debe comenzar y retoma el control del proceso cuando haya
terminado.
• Se dispone de un temporizador de 10 segundos con señales AT (activa temporización)
y FT (Fin de temporización).
Se pide:
1. Indicar claramente las señales de entrada y salida del autómata que controle el
proceso.
2. Realizar la Red de Petri que automatice el proceso de mecanizado.
Problema III.24
Cuestión 2 final 2005-06
Se desea controlar de manera automática los niveles de los tanques de la figura actuando
sobre sus válvulas. Cuando se pulsa uno de los botones (T1T2 o T2T1), el sistema activa
los elementos para la transferencia de fluido de la salida en la base de un contenedor hacia
la entrada superior del otro, hasta que se pulse parar, se llene el contenedor destino o se
vacı́e el contenedor origen. Los sensores de nivel se ponen a 1 cuando el fluido está por
encima del sensor.
VLL1
LTH1
VLL2
Tanque 1
BOMBA
LTH2
Tanque 2
LTL2
LTL1
VV2
VV1
T1T2
T2T1
PARAR
Figura III.24.a: Sistema de dos tanques.
Control Automático, 3o
Ing. Industrial.
59
Para ello se dispone de los siguientes elementos y señales
• LTH1 y LTH2 Sensores de nivel superior de los tanques 1 y 2 respectivamente.
• LTL1 y LTL2 Sensores de nivel inferior de los tanques 1 y 2 respectivamente.
• VLL1 y VLL2 Señales que gobiernan las válvulas de llenado de tanques 1 y 2
respectivamente ( Señal a 1 = Válvula abierta)
• VV1 y VV2 Señales que gobiernan las válvulas de vaciado de tanques 1 y 2 respectivamente ( Señal a 1 = Válvula abierta)
• BOMBA Señal que gobierna la bomba que se encarga de mover el lı́quido entre
ambos tanques (BOMBA a 1 = bomba en marcha).
• T1T2 y T2T1 Pulsadores que indican al proceso el paso de fluido del tanque 1 al
2 o viceversa, respectivamente.
• PARAR Pulsador de paro del proceso
Se pide:
1. Indicar claramente las señales de entrada y salida del autómata que controle el
proceso.
2. Realizar la Red de Petri que automatice el proceso.
Problema III.25
Cuestión 4 septiembre 2005-06
Se desea automatizar la gestión de entrada y salida de vehı́culos a un aparcamiento
que admite dos tipos de vehı́culos: abonados y público en general. Los abonados tienen
una tarjeta que los identifica y les garantiza aparcamiento en caso de falta de espacio para
aparcar.
El programa debe gestionar los accesos al parking del siguiente modo. Cada vez que
un vehı́culo solicita entrar, se comprueba si hay espacio en el parking (contador). Si el
parking está a no más del 50% de su capacidad, cualquier vehı́culo que lo solicite entrará,
pero si está por encima del 50%, sólo los vehı́culos abonados tendrán permiso de entrada.
El automatismo debe gestionar el funcionamiento del semáforo de entrada al parking
ası́ como de las barreras de entrada y salida del mismo. Para ello se dispone de las
siguientes señales:
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
60
• SE: Célula fotoeléctrica (sensor) que indica que hay un coche esperando para entrar.
• AB: Indica si el vehı́culo que está esperando para entrar está abonado (AB=1) o
no (AB=0).
• SPE: Célula fotoeléctrica colocada en la barrera de entrada que se usa para saber
si el coche está pasando bajo la barrera.
• SS: Célula fotoeléctrica (sensor) que indica que hay un coche esperando para salir.
• SPS: Célula fotoeléctrica colocada en la barrera de salida que se usa para saber si
el coche está pasando bajo la barrera.
• SEMÁFORO: Pone el semáforo de entrada en verde SEMÁFORO=1 o en rojo
SEMÁFORO=0.
• BE: Señal para subir la barrera de entrada. Debe de permanecer activada mientras la
barrera esté levantada. Si no está activada, se supone que la barrera estará bajando o
bajada. No se consideran necesarios sensores de barrera totalmente subida o bajada.
• BS: Igual que BE pero para la salida.
El funcionamiento que se desea es el siguiente:
• Cuando se detecte un coche en la entrada, el automatismo debe:
– decidir si el coche puede entrar (viendo si es abonado o no y dependiendo del
número de coches que haya dentro).
– Si el coche no es admisible el semáforo debe permanecer en rojo y la barrera
de entrada bajada.
– Si el coche si puede entrar el automatismo debe poner el semáforo en verde,
levantar la barrera e incrementar el contador de coches.
En el momento en que el coche que esté entrando active el sensor SPE el
semáforo debe ponerse en rojo. Cuando hayan pasado dos segundos desde que
ha pasado totalmente el coche por la barrera debe bajarse la misma.
• Cuando se detecta un coche en la salida el proceso debe ser similar al de entrada,
pero sin el semáforo.
– Debe decrementar el contador, levantar la barrera y mantenerla levantada hasta
que hayan pasado 2 segundos desde que el coche ha pasado totalmente por ella.
– En caso de que otro coche pase por la barrera durante esos dos segundos el
contador debe decrementarse de nuevo y la barrera debe estar levantada hasta
2 segundos después de que pase el nuevo coche.
• Se dispone de dos temporizadores de 2 segundos con señales AT1, FT1 y AT2,
FT2.
Control Automático, 3o
Ing. Industrial.
61
• Se dispone de un contador con señales IC (incrementa contador), DC (decrementa
contador), C0 (contador=0), C50 (contador≥ 50%) y C100 (contador =100 %).
• Los procesos de entrada y salida pueden realizarse simultáneamente.
Se pide realizar la Red de Petri correspondiente al automatismo indicado.
Soluciones de Problemas de Control Automático
3er Curso de Ingenierı́a Industrial
Departamento de Ingenierı́a de Sistemas y Automática
Universidad de Sevilla
Teodoro Álamo
Federico Cuesta
Daniel Limón
Francisco Salas
Carlos Vivas
Manuel Ruiz Arahal
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
ii
Parte I
Diseño de controladores en el
dominio frecuencial
1
Control Automático, 3o
3
Ing. Industrial.
Solución del problema I.5
1.- Diagrama de bode del sistema sin compensar
El sistema presenta tres polos localizados en s = −0.2, s = −1 y s = −10. Se trata
por tanto de un sistema estable a lazo abierto.
El diagrama de Bode resulta tal como muestra la figura I.5.a
módulo asintótico de G(w*j)
20
0
−20
−40
−60
−80
−100
−120
−140
−160
−180
−200
Mg
ω
c
−2
10
−1
10
0
1
10
10
2
10
3
10
Fase de G(w*j)
0
−45
−90
Mf
−135
−180
ω
180
−225
−270
−2
10
−1
10
0
10
Figura I.5.a: Bode de G(s) =
1
10
2
10
3
10
5
(5s+1)(s+1)(s+10)
Con w180 = 3.48rd/s y Mg = 41.65dB.
2.- Diseño de controlador PI para que Mg = 20dB.
El margen de ganancia del sistema sin compensar es 41.65 db, superior al requerido.
Por tanto es posible aumentar la ganancia del sistema para incrementar la frecuencia de corte del sistema. Podemos tomar la ganancia proporcional del PI igual a
21db para recortar el margen de ganancia hasta los 41.65dB − 21dB = 20.65dB,
ligeramente por encima de los 20dB requeridos. No es conveniente apurar demasiado porque la introducción del término integral provoca una ligera disminución de
la frecuencia ω180 del sistema compensado, que lleva asociado una disminución del
margen de ganancia.
Tomamos por tanto Kp = 21dB = 11.22. Si representamos del diagrama de bode
Kp · G(s), tal como muestra la figura I.5.b
Puede observarse que la frecuencia de corte de Kp ·G(s) es ωc = 1rd/s con un margen
de fase de 48.3◦ . Nos resta fijar el tiempo integral, Ti , de modo que se incremente la
ganancia de baja frecuencia (aumenta el tipo del sistema), sin afectar sensiblemente
a los márgenes de fase y ganancia. Tal y como se ha descrito en teorı́a es necesario
localizar 1/Ti por debajo de la frecuencia de corte del sistema, en una década y
década y media. Podemos tomar, por ejemplo, 1/Ti = ωc /50, es decir, Ti = 50s.
4
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
módulo asintótico de G(w*j)
40
20
0
−20
−40
−60
−80
−100
−120
−140
−160
−180
M
f
−2
10
−1
0
10
1
10
10
2
10
3
10
Fase de G(w*j)
0
−45
−90
−135
Mg
−180
−225
−270
−2
10
−1
0
10
1
10
10
2
10
3
10
Figura I.5.b: Bode de Kp · G(s)
El controlador finalmente resulta
K(s) = 11.22
s + 0.02
s
con una frecuencia de corte ωc = 1rd/s, Mf = 47.0147◦ , y ω180 = 3.47rd/s, Mg =
20.62dB.
El bode del sistema compensado con el PI puede observarse e n la figura I.5.c.
3.- Diseñar Red mixta para eprp ≤ 1% y Mf ≥ 30.
Para satisfacer la especificación de error en régimen permanente, eprp ≤ 1%, imponemos:
1
eprp =
≤ 0.01 ⇒ kp ≥ 99
1 + kp
con
5
1 + α1 τ1 s 1 + τ2 s
Kc
= 0.5kc
s→0 (5s + 1)(s + 1)(s + 10)
1 + τ1 s 1 + α2 τ2 s
kp = lim
luego kc ≥ 198. Se puede tomar por tanto kc = 198 = 45.94dB
Dado que no tenemos especificaciones en frecuencia de corte podemos tomar como
frecuencia de corte deseada ωc′ la frecuencia de 180◦ , ω180 .
En este caso, y ya que ∠G(jωc′ ) = −180◦ , el aporte de fase de la red mixta debe
coincidir con el margen de fase deseado, más el aporte extra necesario para compensar
la disminución de la frecuencia de corte inherente al método de diseño de la red. Es
decir, tomamos Φm = 30◦ + 5◦ = 35◦ , de donde deducimos
α2 =
1 − senΦm
= 0.271
1 + senΦm
Control Automático, 3o
5
Ing. Industrial.
módulo asintótico de G(w*j)
80
60
40
20
0
−20
−40
−60
−80
−100
−120
−4
10
Mg
−3
10
−2
−1
10
10
0
10
1
10
2
10
Fase de G(w*j)
0
−45
−90
−135
Mf
−180
−225
−270
−4
10
−3
10
−2
−1
10
10
0
10
1
10
2
10
Figura I.5.c: Bode del sistema compensado K(s) · G(s)
Interesa localizar el máximo avance de fase de la red en la frecuencia de corte deseada
para el sistema compensado. Dado que el máximo avance de fase se produce en
√
1/ α2 τ2 , tendremos
1
= ωc′ = ω180
√
α2 τ2
⇒
1
√
= 3.48rd/s
0.271τ2
⇒
τ2 = 0.552rd/s
Sabiendo que la ganancia a baja frecuencia de la red mixta es Kc , y que |Kc G(jωc′ )| =
Mg = 41.65dB, podemos calcular
Kc −Mg = 20log10
1
1
−10log10
α1
α2
⇒
45.94dB−41.65dB = 20log10
1
1
−10log10
α1
0.271
Ecuación de la que deducimos que α1 = 0.319.
Por último seleccionamos τ1 para localizar el polo de la componente de retardo de
la red suficientemente por debajo de la frecuencia de corte ωc′ , pero no demasiado
alejado para evitar la aparición de dinámicas lentas en lazo cerrado. En la práctica
suele bastar con separar ambas frecuencias entre una década y década y media, por
ejemplo
1
ω′
= c = 0.348rd/s
α1 τ1
10
luego τ1 = 9rd/s.
Ası́ pues, la red de compensación resulta
K(s) = 198
1 + 2.872s 1 + 0.552s
1 + 9s 1 + 0.15s
La figura I.5.d muestra el diagrama de bode del sistema compensado, donde puede
observarse una frecuencia de corte ωc = 3.5rd/s con margen de fase Mf = 31.04◦ ,
6
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
y ω180 = 7.25rd/s y margen de ganancia Mg = 7.06dB. Se verifican por tanto las
especificaciones impuestas.
módulo asintótico de G(w*j)
60
40
20
0
−20
−40
−60
−80
−100
−120
−140
−160
−2
−1
10
0
10
10
1
10
2
10
3
10
Fase de G(w*j)
0
−45
−90
−135
−180
−225
−270
−2
−1
10
0
10
10
1
10
2
10
3
10
Figura I.5.d: Bode del sistema compensado mediante una red mixta
4.- Diseño de un PID de caracterı́sticas similares a la red mixta del apartado anterior.
La red mixta y el controlador PID presentan una estructura idéntica en la zona
de frecuencia intermedia. Las diferencias se localizan en la zonas de baja y alta
frecuencia, donde la red mixta introduce un cero y un polo respectivamente, para
limitar la ganancia en estas zonas del espectro.
Para obtener un controlador PID que coincida con nuestra red mixta en la zona
de frecuencia intermedia sólo es necesario fijar los dos ceros del PID en −1/α1 τ1 y
−1/τ2 , y ajustar la ganancia para que coincida con la de la red mixta entre estas
dos frecuencias. Es decir, si tomamos un PID de la forma
C(s) = K
1 + T1 s
(1 + T2 s)
T1 s
es fácil comprobar que este controlador tiene dos ceros localizados en −1/T1 y −1/T2 ,
y ganancia K en la zona de frecuencia intermedia (entre los dos ceros).
Igualando la posición de los ceros de la red mixta con los del PID tenemos
1
T1
1
T2
=
=
1
= 0.348rd/s ⇒ T1 = 2.872s
α1 τ1
1
1
=
rd/s ⇒ T2 = 0.552s
τ2
0.552
e igualando las ganancias en la zona de frecuencia intermedia tenemos
K = kc α1
⇒
K = 198 · 0.319 = 63.16
Control Automático, 3o
7
Ing. Industrial.
Diagrama de Bode
60
Módulo (dB)
55
Módulo PID
50
45
Módulo Red Mixta
40
35
−2
10
−1
0
10
10
ω (rad/s)
1
10
2
10
100
Fase (grados)
50
Fase Red Mixta
0
−50
Fase PID
−100
−2
10
−1
10
0
10
ω (rad/s)
1
10
2
10
Figura I.5.e: Bode del controlador PID y la red Mixta
La figura I.5.e representa el diagrama de Bode del controlador PID y la Red Mixta.
5.- Ventajas e inconvenientes de un controlador PID frente a la red mixta.
Tal como se ha descrito en teorı́a, los efectos sobre un sistems de un controlador
PID y una red mixta presentan importantes similitudes, especialmente en la zona
de frecuencias intermedias. Las diferencias esenciales aparecen en las zonas de baja
y alta frecuencia.
Ası́, por ejemplo, si atendemos a la zona de bajas frecuencias, observamos que un
controlador PID introduce un polo en el origen que induce un incremento del tipo en
el sistema controlado. En el diagrama de bode este cambio es observable como una
aumento creciente de la ganancia a bajas frecuencias (idealmente, ganancia infinita
a frecuencia cero).
Como principal ventaja de este cambio tenemos una mejora en el comportamiento
de de régimen permanente y ante perturbaciones mantenidas externas. Por ejemplo,
un sistema tipo 0, controlado con un PID puede diseñarse para presentar error de
seguimiento en posición nulo ante entradas en escalón, y rechazar igualmente con
error de seguimiento en posición nulo, perturbaciones mantenidas sobre el sistema.
Un inconveniente asociado a las altas ganancias a baja frecuencia de PID, se encuentra en el fenómeno de saturación de efecto integral, que aparece por efecto de
las saturaciones de la acción de control, y que deteriora el comportamiento en el
régimen transitorio del sistema.
La red mixta en cambio, no introduce polos en el origen y por tanto no cambia el
tipo del sistema. El controlador no tiene capacidad de rechazar perfectamente las
perturbaciones mantenidas (inconveniente), aunque si puede limitar en gran medida
su efecto. La ganancia limitada a bajas frecuencias reduce el efecto de saturación
del término integral (ventaja).
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
8
En la zona de altas frecuencias, la ganancia creciente del PID con la frecuencia,
presenta el inconveniente de la amplificación de ruidos, normalmente localizados en
esta zona del espectro. La red mixta mitiga este efecto introduciendo un polo de
alta frecuencia que limita la ganancia a altas frecuencias y por tanto la amplificación
del ruido.
Control Automático, 3o
9
Ing. Industrial.
Solución del problema I.9
1.- Diagrama de bode del sistema sin compensar
En primer lugar calculamos los polos y ceros de la función de transferencia en bucle
abierto, que en este caso son: ceros s = −1 y polos s = 0, s = −1 y s = −10, por lo
que como se deduce fácilmente se anulan en polo y el cero en s = −1 y el sistema a
controlar queda:
G(s) =
1000
100
=
s
s(s + 10)
s( 10 + 1)
Por lo tanto el diagrama de Bode queda
módulo asintótico de G(w*j)
80
60
40
20
wc
0
−20
−40
−60
−80
−1
10
0
1
10
2
10
10
3
10
Fase de G(w*j)
−100
−120
−140
−160
Mf
−180
−1
10
0
1
10
10
Figura I.9.a: Bode de G(s) =
2
10
3
10
1000
s(s+10)
Con wc = 31.5rd/s, Mf = 17.60 y Mg = ∞.
2.- Diseño de controlador proporcional para que evrp ≤ 10% y Mf ≥ 400 .
En primer lugar calculamos la ganancia necesaria para cumplir la especificación de
error en régimen permanente
1
≤ 0.1
Kv
= lim sC(s)G(s) = 100Kc
evrp =
Kv
s→0
por lo tanto para que se cumpla la especificación de error en régimen permanente el
controlador proporcional ha de cumplir Kc ≥ 0.1
10
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
Para cumplir la especificación en margen de fase, si nos fijamos en el bode del sistema
sin compensar, es necesario desplazar hacia la izquierda la ωc de tal forma que la
fase quede por encima de −1400 .
Este desplazamiento hacia la izquierda debe hacerse disminuyendo la ganancia del
controlador, por lo tanto si para la ganancia mı́nima que cumple la especificación de
error en régimen permanente el sistema tiene un Mf ≥ 400 ya tendrı́amos resuelto
el problema y en caso contrario no se podrı́an cumplir las especificaciones con un
controlador proporcional.
En el diagrama de bode de 0.1G(s) de la figura I.9.b se observa que la el margen de
fase es de 450 y por lo tanto se cumplen ambas especificaciones para un controlador
C(s) = 0.1.
módulo asintótico de K *G(w*j)
c
60
40
20
0
−20
−40
−60
−80
−100
−1
10
0
1
10
10
2
10
3
10
Fase de K *G(w*j)
c
−90
−135
−180
−1
10
0
1
10
10
2
10
3
10
Figura I.9.b: Bode de 0.1G(s)
3.- Diseño de controlador proporcional para que evrp ≤ 10%, Mf ≥ 400 y ωc ≥ 20rd/s.
Del diagrama de bode del sistema es fácil ver que no es posible cumplir las tres
especificaciones sólo variando la ganancia del sistema en bucle abierto por lo que
será necesario recurrir a otro tipo de controlador.
Dado que tenemos que aumentar la fase sin disminuir el ancho de banda del sistema
recurriremos a una Red de Avance de fase.
C(s) = Kc
1 + τs
con α < 1
1 + ατ s
En primer lugar elegimos la ganancia Kc de tal forma que se cumplan las especificaciones de error en régimen permanente y de ωc y dibujamos el bode de Kc G(s). En
nuestro caso vamos a coger Kc = 1 que cumple ambas especificaciones y además ya
tenemos dibujado su diagrama de bode (ver figura I.9.a).
Control Automático, 3o
11
Ing. Industrial.
Una vez elegida la ganancia diseñamos el resto de la red de avance.
El margen de fase del sistema Kc G(s) es de 170 y por lo tanto la suma máxima de
fase de la red debe ser:
1 − sin φm
= 0.4
1 + sin φm
φm = Mf d − Mf + ∆ = 400 − 170 + 50 = 280 ⇒ α =
Una vez calculado el valor de α, la suma de magnitud por parte del controlador en
la frecuencia ωm a la que se se produce el máximo incremento de fase φm es
A = 10 log
1
= 4dB
α
Buscando en el diagrama de bode de Kc G(s) la frecuencia para la que la magnitud
es −A, ésta será la nueva ωc′ = ωm = 40rd/s. Por lo tanto
1
1
√ = 0.04
ωm = √ ⇒ τ =
τ α
ωm α
Ası́ pues la red de avance queda
C(s) =
1 + 0.04s
1 + 0.016s
y el diagrama de bode de C(s)G(s) será el de la figura I.9.c con ωc = 40rd/s y
Mf = 400
módulo asintótico de C(s)G(s)
60
40
20
0
−20
−40
−60
−80
−100
0
10
1
10
2
10
3
10
Fase de C(s)G(s)
−90
−135
−180
0
10
1
10
2
10
Figura I.9.c: Bode de C(s)G(s)
3
10
12
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
Solución del problema I.10
1.- Diagrama de bode del sistema sin compensar
El sistema presenta tres polos a lazo abierto localizados en s = 0, s = −1 y s = −5.
El diagrama de Bode resulta tal como muestra la figura I.10.a
módulo asintótico de G(w*j)
60
40
20
0
M
ωc
−20
g
−40
−60
−80
−100
−120
−140
−160
−1
10
0
1
10
2
10
10
Fase de G(w*j)
−90
−135
M
f
−180
ω180
−225
−270
−1
10
0
1
10
2
10
10
Figura I.10.a: Bode de G(s) =
10
s(s+1)(s+5)
Con ωc = 1.42rd/s, Mf = 19.29◦ , ω180 = 2.23rd/s y Mg = 7.92dB.
2.- Diseñar un controlador PD para que tenga una ganancia de 0dB en ωc = 5rd/s y
margen de fase de 45.
Para desplazar la frecuencia de corte del sistema compensado a ωc′ = 5rd/s necesitamos en primer lugar conocer que ganancia debe aportar el PD a esa frecuencia.
Ası́ calculamos
|G(jωc′ )|dB = 20log10 10−20log10 (jωc′ )−20log10 (jωc′ +1)−20log10 (jωc′ +5) = −25.12dB
El PD deberá aportar por tanto 25.12dB en ωc′ = 5rd/s. Análogamente, si calculamos
∠G(jωc′ ) = 0 − 90 − ∠(jωc′ + 1) − ∠(jωc′ + 5) = −213.7◦
concluimos que el PD debe aportar −180◦ + 45◦ − (−213.7◦ ) = 78.7◦ ≃ 80◦ en
ωc′ = 5rd/s, para obtener un margen de fase de 45◦ para el sistema compensado. De
esta condición podemos deducir Td de la expresión
∠(1 + Td ωc′ j) = 80◦
⇒
Td ωc′ = tan 80◦
⇒
Td = 1.134rd/s
Conocido Td , calculamos Kc imponiendo la condición de módulo
|Kc (1 + Td ωc′ j)| = 25.12dB
⇒
|Kc |dB + |Td ω ′ |dB ≃ 25.12dB
Control Automático, 3o
13
Ing. Industrial.
de donde deducimos
Kc = 25.12dB − 20 log10 (5 · 1.134)dB = 10.05dB
La figura I.10.b muestra el diagrama de Bode del sistema compensado con el controlador PD, mostrando una frecuencia de corte de 5.05rd/s y margen de fase 46◦ .
módulo asintótico de G(w*j)
60
40
20
0
−20
−40
−60
−80
−100
−1
10
0
1
10
2
10
10
Fase de G(w*j)
−90
−135
−180
−1
10
0
1
10
2
10
Figura I.10.b: Bode del G(s) =
10
10
s(s+1)(s+5)
compensado con un PD
3.- Diseño de una red de avance con Φm = 50◦ y margen de fase del sistema compensado
de 45◦ .
Una aportación de fase Φm = 50◦ se corresponde con un valor de α
α=
1 − senΦm
= 0.1325
1 + senΦm
Para obtener un marge de fase de 45◦ , el máximo aporte de fase debe producirse a
la frecuencia, ωc , en que ∠G(jωc ) = −185◦ .
Podemos calcular esta frecuencia de la expresión
∠G(jωc ) = 0◦ − 90◦ − ∠(jωc + 1)(jωc + 5) = −90◦ − arctan
6ωc
= −185◦
5 − ωc2
de donde obtenemos
6ωc
= tan 95◦ = −11.43
5 − ωc2
⇒
ωc = 2.514rd/s
El módulo del sistema a esta frecuencia puede calcularse
|G(jωc )| = 20log10 10−20log10 (jωc )−20log10 (jωc +1)−20log10 (jωc +5) = −11.61dB
14
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
Conocida la frecuencia de corte del sistema compensado, calculamos τ sabiendo que
el máximo aporte de fase se produce a la frecuencia √1ατ
1
√
= ωc
ατ
⇒
τ = 1.093s
Resta por determinar la ganancia Kc de la red de avance, que podemos calcular
imponiendo que el sistema compensado tenga su frecuencia de corte en la frecuencia
ωc previamente calculada. Es decir
1
+ |G(jωc )| = 0
α
Kc |dB + 10 log 10
⇒
Kc |dB = 2.83dB
La red de avance diseñada queda pues
K(s) = 1.386
1 + 1.025s
1 + 0.1358s
4.- Diseño de una red de retardo para obtener evrp ≤ 20% y Mf = 45◦
Para comenzar, imponemos la especificación de régimen permanente
evrp =
kv = lim sKc
s→0
1
≤ 0.2
kv
⇒
kv ≥ 5
1 + τs
10
= 2Kc ≥ 5
1 + ατ s s(s + 1)(s + 5)
⇒
Kc ≥ 2.5
Tomamos por tanto Kc = 2.5
Si dibujamos el diagrama de Bode de Kc · G(s), tal como muestra la figura I.10.c,
podemos observar que el sistema presenta frecuencia de corte ωc = 2.23rd/s y margen
de fase Mf = 0.
Tomamos a continuación la frecuencia ω ′ ≤ ωc a la cual ∠G(jω ′ ) = −180 + Mf d + ∆.
En nuestro caso
∠G(jω ′ ) = −180◦ + 45◦ + 5◦ = −130◦
expresión que puede resolverse según se mostró en el apartado 3
∠G(jω ′ ) = −90◦ − arctan
6ω ′
= −130◦
5 − ω ′2
6ω ′
= tan 40◦ = 0.8391 ⇒ ω ′ = 0.64rd/s
5 − ω ′2
Calculamos el valor de α imponiendo que la frecuencia de corte del sistema compensado esté en ω ′ , o lo que es lo mismo
|Kc G(jω ′ )| = 20 log10 (α)dB
⇒
α = 6.53
Para finalizar fijamos τ , para que la red no produzca una caı́da apreciable de fase en
el sistema. Como se ha discutido en teorı́a, una regla práctica consiste en localizar
el cero del controlador, 1/τ , entre una década y década y media por debajo de la
frecuencia de corte del sistema. Podemos tomar por ejemplo
ω′
1
=
= 0.032rd/s
τ
20
⇒
τ = 31.25s
Control Automático, 3o
15
Ing. Industrial.
módulo asintótico de G(w*j)
60
40
20
0
−20
−40
−60
−80
−100
−120
−140
−160
−1
10
0
1
10
2
10
10
Fase de G(w*j)
−90
−135
−180
−225
−270
−1
10
0
10
1
2
10
Figura I.10.c: Bode de Kc · G(s) =
10
25
s(s+1)(s+5)
La red de retardo final resulta
K(s) = 2.5
1 + 31.25s
1 + 204.06s
con la que es fácil comprobar que el sistema compensado cumple las especificaciones
impuestas, presentando el error en régimen permanente requerido, y una frecuencia
de corte ωc = 0.64rd/s, con un margen de fase de 47.64◦ .
16
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
Solución del problema I.16
1.-
• Ganancia mı́nima del sistema
La constante de error en velocidad del sistema puede expresarse como
kv = lim s · kc
s→0
s + 0.1τ
= 0.01kc
s(s + 1)2 (s + 10τ )
Luego
ev =
1
≤ 10%
kv
⇒
kc ≥ 1000
• Sobreoscilación
De la gráfica proporcionada obtenemos
SO ≤ 5%
⇒
δ ≥ 0.6
⇒
Mf ≥ 60o
• Tiempo de subida
ts ≈
π
≤ 1s
2ωc
⇒
ωc ≥
π
≈ 1.6rd/s
2
Diagrama de Bode
100
Módulo (dB)
50
0
−50
−100
−2
10
−1
10
0
10
ω (rad/s)
1
10
2
10
−50
Fase (grados)
−100
−150
−200
−250
−300
−2
10
2.-
−1
10
0
10
ω (rad/s)
1
10
Figura I.16.a: Bode para τ = 1 con kc = 1000
2
10
Control Automático, 3o
17
Ing. Industrial.
3.- El sistema con kc = 1000 presenta un Mf = −34.15o luego
• Con una red de avance necesitamos incrementar la fase del sistema en ∆Mf =
60o −(−34.15o ) = 94.15o . Valor mayor que los teóricos 75o recomendables como
máximo para una red de este tipo.
• Con un PD, tampoco es posible por el mismo motivo.
En teorı́a podrı́amos alcanzar un avance de fase máximo de 90o , si bien este
valor es excesivo en la práctica por cuestiones de sensibilidad del control y
amplificación de ruidos.
• Un PI, incrementa en 1 el tipo del sistema, por lo que no es necesario fijar
kc = 1000 (ev = 0 con independencia del valor de la ganancia), pero el margen
de fase del sistema a la frecuencia de corte deseada, 1.6rd/s es 51.30 , menor
que los 60o requeridos. Luego, un PI tampoco nos sirve.
4.- La red de retardo, al igual que el PI, no aporta fase al sistema, luego la máxima
frecuencia de corte que podremos obtener a lazo cerrado será aquella para la cual el
sistema sin compensar presente el margen de fase requerido.
Esto es, tomamos como frecuencia de corte deseada ω ′ , tal que ∠G(jω ′ ) = −180o +
60o + 5o = −115o .
De la gráfica del Bode deducimos que ω ′ = 1.27rd/s, valor que es inferior a los
1.6rd/s requeridos, luego el diseño con una red de retardo no es posible.
Si no imponemos restricciones a la sobreoscilación, no tendremos tampoco restricción
sobre el margen de fase, por lo que podemos diseñar la red de retardo fijando la frecuencia de corte deseada en ω ′ = 1.6rd/s.
Ası́, podemos calcular α de la expresión
|kc G(jω ′ )| = 20log10 α
resultando α = 27.86, valor que proporciona un margen de fase de 51.3o (ya calculado en el apartado anterior) que se corresponde a su vez con una sobreoscilación
aproximada del 15% según la gráfica.
5.- Calculamos en primer lugar el aporte de fase necesario a la frecuencia de corte
deseada ω ′ = 1.6rd/s.
Mf d + ∆ = 180o − ∠G(jω ′ ) + Φm
Expresión que particularizamos para obtener 60o + 7o = 180o + (−128o ) + Φm . Es
decir. necesitamos aportar Φm = 15o , valor que nos proporciona un
α2 =
1 − senΦm
= 0.59
1 + senΦm
Dado que pretendemos que el máximo avance de fase se produzca a la frecuencia de
corte deseada, tendremos
ωm = √
1
= ω ′ = 1.6rd/s
α2 τ2
→
τ2 = 0.815rd/s
18
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
Para el diseño de la parte de retardo de la red imponemos en primer lugar, la
condición de que el sistema compensado tenga la frecuencia de corte a la frecuencia
deseada. Es decir
|kc G(jω ′ )| = 20log10 (
1
1
) − 10log10 ( )
α1
α2
expresión de la que obtenemos un valor α1 = 0.028. Finalmente alejamos lo suficiente
(una década) la red de retardo de la frecuencia de corte, para no deteriorar el avance
de fase conseguido
ω′
1
=
→
τ1 = 224.11s
α1 τ1
10
La red diseñada será por tanto
K(s) = 1000
1 + 6.25s 1 + 0.815s
1 + 224.11s 1 + 0.48s
Para que el diseño sea válido para el rango de valores de τ requerido, es suficiente
con diseñar para el caso más desfavorable.
Podemos determinar cual es el caso más desfavorable si tenemos en cuenta la descomposición del sistema mencionada en el enunciado. Si trazamos el bode, tal como
1000
representa la figura, de G1 (s) = s(s+1)
2 junto con la ”red de avance” asociada para
τ = 0.1 y τ = 1, podemos observar que la red de avance está siempre situada a
frecuencias inferiores a la frecuencia de corte del sistema, ωc = 10rd/s, por lo que
ésta no varı́a aunque modifiquemos τ . Además es fácil comprobar que, para frecuencias superiores a 1rd/s, el aporte de fase de la red disminuye a medida que
disminuye τ (ver figura). Por tanto, el caso más desfavorable, aquel que implica un
menor margen de fase del sistema a la frecuencia de corte deseada ω ′ = 1.6rd/s, será
el correspondiente a τ = 0.1. Para este valor obtenemos un valor para la fase del
sistema en ω ′ = 1.6rd/s
∠G(jω ′ ) = −177o
Es necesario por tanto aportar como mı́nimo 60o − 180o + 177o = 57o a la frecuencia
de corte deseada, para verificar las especificaciones impuestas. Si añadimos una
margen adicional ∆ = 5o , obtenemos Φm = 62o . Este valor proporciona un
α2 =
1 − senΦm
= 0.0622
1 + senΦm
Para obtener el máximo avance de fase a la frecuencia de corte deseada, tendremos
ωm = √
1
= ω ′ = 1.6rd/s
α2 τ2
→
τ2 = 2.51rd/s
Para el diseño de la parte de retardo de la red, imponemos de nuevo la condición de
que el sistema compensado tenga la frecuencia de corte a la frecuencia deseada. Es
decir
1
1
|kc G(jω ′ )τ =0.1 | = 20log10 ( ) − 10log10 ( )
α1
α2
expresión en la sustituyendo obtenemos
43.5dB = 20log10 (
1
) − 12.06dB
α1
Control Automático, 3o
19
Ing. Industrial.
Diagrama de Bode
150
Bode de G1 (s) =
Módulo (dB)
100
50
1000
s(s+1)2
τ = 0.1
0
−50
τ =1
−100
−150
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
100
ω (rad/s)
Fase (grados)
0
−100
−200
−300
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
ω (rad/s)
Luego α1 = 0.0017. Finalmente alejamos lo suficiente (una década) la red de retardo
de la frecuencia de corte, para no deteriorar el avance de fase conseguido
1
ω′
=
α1 τ1
10
→
τ1 = 3748.7s
La red diseñada será por tanto
K(s) = 1000
1 + 5.91s 1 + 2.51s
1 + 3748.7s 1 + 0.156s
Cabe comentar sobre este diseño, que el valor obtenido para α1 es muy pequeño
(menor que 0.01), lo que puede resultar problemático desde el punto de vista de
la implementación práctica del controlador. Además valores tan reducidos de α1 ,
tı́picamente introducen polos lentos en el controlador, que hace que la respuesta del
sistema a bucle cerrado sea muy lenta.
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
20
Parte II
Diseño de controladores usando el
lugar de las raı́ces
21
Control Automático, 3o
23
Ing. Industrial.
Solución del problema II.2
1.- Lugar de las raı́ces para K positiva
El sistema tiene 3 polos reales en -1, -3, -10 y un cero real en -8
• Lugar de las raı́ces sobre el eje real: El lugar de las raı́ces sobre el eje real queda
como en la figura II.2.a.
25
20
15
10
5
0
−5
−10
−15
−20
−25
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
Figura II.2.a: Lugar de las raı́ces sobre el eje real
• Puntos de separación e ingreso: Los puntos de separación e ingreso no es necesario calcularlos (ver enunciado) aunque se puede estimar a la vista del lugar de
las raı́ces sobre el eje real que debe haber uno entre los polos en -1 y -3 ya que
habitualmente hay un punto de separación cuando el eje real entre dos polos
reales pertenece al lugar de las raı́ces sobre el eje real.
• Ası́ntotas: El sistema tiene tres polos y un cero, por lo que el exceso de polos
sobre ceros es dos, con lo que debe haber dos ası́ntotas en ±900 .
Efectivamente si aplicamos la fórmula para el cálculo de ası́ntotas
1800 + 3600 l
γ=
n−m
l = 0...n − m − 1
⇒
(
γ1 =
γ2 =
1800 +3600 ∗0
2
1800 +3600 ∗1
2
= 900
= 2700
y el centroide queda:
σ=
P
P
pi − ci
−1 − 3 − 10 + 8
=
= −3
n−m
2
• Puntos de corte con el eje imaginario: Para calcularlos usamos el criterio de
Routh.
24
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
El denominador de la función de transferencia en bucle cerrado es:
dbc (s) = s3 + 14s2 + (K + 43)s + (8k + 30)
La tabla de Routh queda del siguiente modo:
3
2
1
0
1
14
14(43+K)−(8K+30)
14
8K + 30
K + 43
8K + 30
0
0
Por lo tanto para que se produzca un corte con el eje imaginario debe hacerse
cero alguno de los elementos de la primera columna de la tabla de Routh, que
en nuestro caso significa
14(43 + K) − (8K + 30)
= 0 ⇒ K = −105
14
8K + 30 ⇒ K = −3.75
Por lo tanto, como era de esperar no existen cortes con el eje imaginario.
Ası́ pues el lugar de las raı́ces del sistema es:
25
20
15
10
5
0
K
1
−5
−10
−15
−20
−25
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
Figura II.2.b: Lugar de las raı́ces del sistema
−1
0
Control Automático, 3o
25
Ing. Industrial.
2.- La sobreoscilación en el sistema original
G(s) =
K(s + 8)
(s + 1)(s + 3)(s + 10)
evoluciona de la siguiente forma:
• para valores de K < K1 el sistema no presenta sobreoscilación puesto que tiene
todos sus polos reales
• para valores de K > K1 la sobreoscilación aumenta a medida que lo hace K,
ya que aumenta el ángulo de los polos en bucle cerrado.
El lugar de las raı́ces del sistema modificado
G(s) =
K(s + 8)
(s + 1)(s + 3)
es y la sobreoscilación evoluciona de la siguiente forma:
6
K2
4
2
0
K3
K1
−2
−4
−6
−15
−10
−5
Figura II.2.c: Lugar de las raı́ces del sistema modificado G(s) =
0
K(s+8)
(s+1)(s+3)
• para valores de K < K1 el sistema no presenta sobreoscilación puesto que tiene
todos sus polos reales
• para valores de K2 > K > K1 la sobreoscilación aumenta a medida que lo hace
K, ya que aumenta el ángulo de los polos en bucle cerrado, teniendo su valor
máximo en K = K2 .
26
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
• para valores de K3 > K > K2 la sobreoscilación disminuye a medida que
aumenta K, ya que disminuye el ángulo de los polos en bucle cerrado, pasando
a valer cero en K = K3 .
• para valores de K > K3 la sobreoscilación es cero puesto que todos los polos
de bucle cerrado son reales.
3.- Las especificaciones temporales del sistema se pueden transformar en especificaciones
en el plano complejo
• erp (escalon) ≤ 20% ⇒ K > 12
• δ ≥ 0.6
• ts < 1s ⇒ ωn 2.76
de tal forma que se produce una región permitida en el lugar de las raı́ces del sistema
modificado
K
G(s) =
(s + 1)(s + 3)
3
2.77
B
0.6
A
2
1
0
−1
−2
0.6
2.77
−3
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
Figura II.2.d: Lugar de las raı́ces del sistema modificado G(s) =
0
K
(s+1)(s+3)
Por lo tanto valores de K que hacen que el sistema tengan los polos entre A (KA ) y
Control Automático, 3o
Ing. Industrial.
27
B (KB ) cumplirán las especificaciones de transitorio (δ y ωn ). Por lo tanto hay que
calcular KA y KB
Los √polos del sistema en bucle cerrado cuando son complejos serán s = −δωn ±
jωn 1 − δ2
• El punto A tendrá δωn = −2 y ωn = 2.76 por lo tanto el valor del polo es
s = −2 + 1.9j. Si sustituimos ese valor en el denominador de la función de
transferencia en bucle cerrado y despejamos K obtenemos el valor de KA = 4.61
• El punto B tendrá δωn = −2 y δ = 0.6 por lo tanto el valor del polo es
s = −2 + 2.67j. Si sustituimos ese valor en el denominador de la función de
transferencia en bucle cerrado y despejamos K obtenemos el valor de KB = 8.11
Por lo tanto valores de K comprendidos entre 4.61 y 8.11 cumplirán las especificaciones de transitorio (δ y ωn ). Como además para cumplir la especificación de error
en régimen permanente ha de cumplirse que K > 12 podemos concluir que no hay
ningún valor de K que cumpla las tres especificaciones.
28
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
Solución del problema II.3
1.- Lugar de las raı́ces generalizado tomando KA = 4.
Es fácil comprobar que la función de transferencia de lazo cerrado del sistema de la
figura tiene la forma
T (s) =
1
KA
s(s+KT +1)
KA
+ s(s+K
T +1)
KA
KA
s2 +s+KA
= 2
=
KT s
s + s(KT + 1) + KA
1 + s2 +s+K
A
A la vista de la expresión anterior, y teniendo en cuenta el valor KA = 4 impuesto por
las especificaciones, resulta evidente que el lugar de las raı́ces generalizado del sistema
s
en función de KT puede obtenerse como el lugar de las raı́ces de G′ (s) = s2 +s+4
.
El sistema generalizado equivalente tiene 2 polos complejos conjugados en
y un cero real en 0.
√
−1±j 15
,
2
• Lugar de las raı́ces sobre el eje real: A la vista de la configuración de polos y
ceros del sistema, el lugar de las raı́ces sobre el eje real coincide con el eje real
negativo.
• Puntos de separación e ingreso: Los puntos de separación e ingreso pueden
T
obtenerse imponiendo dK
dt = 0 con
KT =
−(s2 + s + 4)
s
luego
dKT
s2 − 4)
(2s + 1)s − (s2 + s + 4))
=
−
=0
=−
dt
s2
s2
de donde deducimos que los puntos de separación se encuentran el s = ±2, de
los cuales sólo el punto s = −2 tiene sentido.
• Ası́ntotas: El sistema tiene dos polos y un cero, por lo que el exceso de polos
sobre ceros es uno, con lo que tenemos una única ası́ntota en 1800 .
Efectivamente, aplicando la fórmula para el cálculo de ası́ntotas
γ=
1800 + 3600 l
n−m
l = 0...n − m − 1
⇒
n
γ1 =
1800 +3600 ∗0
1
= 1800
o
El cálculo del centroide no aporta información relevante en este caso, pero
podemos calcularlo como
P
P
pi − ci
−1 − 0
σ=
=
= −1
n−m
1
• Puntos de corte con el eje imaginario: Para calcularlos usamos el criterio de
Routh.
El denominador de la función de transferencia en bucle cerrado es:
dbc (s) = s2 + s(KT + 1) + 4
Control Automático, 3o
29
Ing. Industrial.
La tabla de Routh queda del siguiente modo:
2
1
4
1 KT + 1 0
0
4
0
Por lo tanto para que se produzca un corte con el eje imaginario debe hacerse
negativo o cero alguno de los elementos de la primera columna de la tabla de
Routh, que en nuestro caso implica KT ≤ 0. Dado que se asumen valores
positivos para KT , podemos concluir que el lugar de las raı́ces no presenta
cortes con el eje imaginario, o equivalentemente, el sistema es estable a lazo
cerrado para todo valor de KT ≥ 0.
Ası́ pues el lugar de las raı́ces del sistema resulta, tal como muestra la figura II.3.a.
2
1.5
1
Eje Imaginario
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
Eje Real
−0.5
0
0.5
1
Figura II.3.a: Lugar de las raı́ces del sistema
2.- Valor de KT para que el sistema no presente sobreoscilación a lazo cerrado.
El sistema a lazo cerrado es de segundo orden sin ceros, luego la sobreoscilación desaparece valores del amortiguamiento crı́tico (δ = 1) y superiores, o equivalentemente,
para aquel valor de KT que sitúe ambos polos de lazo cerrado sobre el eje real.
Podemos calcular este valor a partir del resultado previamente calculado de los puntos de separación del eje real. Sabiendo que el punto de separación está situado
en s = −2, podemos imponer la condición de pertenencia al lugar de las raı́ces y
calcular s2 + s(KT + 1) + 4 = 0 para s = −2, y obtener KT = 3.
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
30
Por tanto para valores de KT ≥ 3 el sistema no sobreoscila.
3.- Rango de valores de KA que anulan la sobreoscilación con KT = 5.
En este caso, a partir de las expresiones desarrolladas en el apartado 1, podemos
deducir que el polinomio del sistema a lazo cerrado resulta
dBC (s) = s2 + 6s + KA
El sistema no presenta sobreoscilación para aquellos valores de KA que hacen que
el polinomio anterior no tenga raı́ces complejas conjugadas. Esto se verifica si el
discriminante del polinomio es positivo, es decir 36 − 4KA ≥ 0. Luego el rango de
valores buscado es KA ∈ (0, 9].
Control Automático, 3o
31
Ing. Industrial.
Solución del problema II.8
1.- Lugar de las raı́ces en función de K.
El sistema presenta un par de polos conjugados en s = −4 ± 4j y un polo real en
s = 0.
A continuación se calculan los parámetros que definen la forma del lugar de las raı́ces.
• Lugar de las raı́ces sobre el eje real:
A la vista de la configuración de polos y ceros del sistema, es inmediato concluir
que el lugar de las raı́ces sobre el eje real coincide con el eje real negativo.
• Puntos de separación e ingreso: Los puntos de separación e ingreso pueden
obtenerse imponiendo dK
dt = 0 con
K = −s((s + 4)2 + 16)
luego
dK
= −(3s2 + 16s + 32) = 0
dt
expresión que sólo tiene soluciones complejas, s = −2.6667±1.8856j. Por tanto,
no tenemos puntos de separación del eje real.
• Ası́ntotas: El sistema tiene tres polos y ningún cero, por lo que el exceso de
polos sobre ceros es tres. Esto indica que tenemos tres ası́ntotas en ±600 y
1800 .
Aplicando la fórmula para el cálculo de ası́ntotas

0
0 ∗0

γ1 = 180 +360
= 600

0
0
3
180 + 360 l
0
0
∗1
γ=
l = 0 . . . n−m−1
⇒
γ2 = 180 +360
= 1800
3

n−m
 γ = 1800 +3600 ∗2 = 3000 = −600
3
3
El cálculo del centroide nos indica
P
P
pi − ci
−8 − 0
σ=
=
= −2.67
n−m
3
• Puntos de corte con el eje imaginario: Para calcularlos usamos una ve más el
criterio de Routh.
El denominador de la función de transferencia en bucle cerrado es:
dbc (s) = s3 + 8s2 + 32s + K
La tabla de Routh queda del siguiente modo:
3
1
2
8
1 32 −
0
K
K
8
32
K
0
0
Por lo tanto para que se produzca un corte con el eje imaginario debe hacerse
cero alguno de los elementos de la primera columna de la tabla de Routh, que
en nuestro este caso implica
32
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
32 −
K
=0
8
K = 256
⇒
K=0
(0.1)
De estos dos valores, nos interesa tomar el valor K = 256, ya que K = 0
representa trivialmente el corte asociado a la presencia de un polo en el origen.
Para obtener el punto de corte con el eje imaginario podemos hacer s = aj en
la expresión del denominador de lazo cerrado del sistema, con K = 256. Es
decir
(aj)3 + 8(aj)2 + 32(aj) + 256 = 0
(32a − a3 )j + (256 − 8a2 ) = 0
√
expresión compleja que se verifica para a = ± 32 = ±5.657.
Es interesante observar que la última ecuación proporciona un método indirecto
de verificación de los cálculos, ya que debemos obtener el mismo valor de a,
haciendo nulas tanto la parte real como la imaginaria.
Un procedimiento alternativo que requiere en general menos cálculos, puede
plantearse a partir de la tabla de Routh. Si hacemos K = 256, obtenemos que
la tercera fila de dicha tabla es enteramente nula. Este hecho pone en evidencia
que el sistema posee un par de polos complejos conjugados puros que pueden
calcularse a partir del factor par de la fila 2. Es decir
√
8s2 + 256 = 0 ⇒ s = ± 32j = ±5.657j
⇒
Con estos datos podemos representar el lugar de las raı́ces del sistema, tal como
muestra la figura II.8.a
2.- ¿Puede un PI lograr que el sistema sea estable a lazo cerrado para todo valor de
K > 0?
La introducción de un PI, equivale a añadir un polo en el origen y un cero adicionales.
El grado relativo del sistema no varı́a, sigue siendo 3. Luego la orientación de las
ası́ntotas no varı́a, y por tanto seguiremos teniendo un sistema con dos ası́ntotas
a ±600 que se adentran en el semiplano real positivo, lo que implica que siempre
podremos encontrar un valor de K que haga inestable el sistema. La respuesta a la
pregunta planteada es por tanto negativa.
3.- Rango de valores de c para que el PD GP D (s) = K(s + c) haga estable el sistema a
lazo cerrado para todo K > 0.
En este caso podemos razonar de manera análoga al caso anterior. El PD contribuye
con un cero adicional al sistema que reduce el grado relativo del sistema a 2. Tenemos
por tanto en este caso únicamente dos ası́ntotas situadas a ±900 respecto al eje real.
Esta disposición permite encontrar configuraciones en las que el lugar de las raı́ces
esté enteramente contenido en el semiplano real negativo, o equivalentemente, en las
que el sistema sea estable para cualquier K > 0.
Para encontrar estas configuraciones, deberemos encontrar para qué valores de c el
lugar de las raı́ces no presenta cortes con el eje imaginario.
Control Automático, 3o
33
Ing. Industrial.
10
8
6
Eje Imaginario
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−10
−6
−5
−4
−3
−2
Eje Real
−1
0
1
2
Figura II.8.a: Lugar de las raı́ces del sistema
La función de transferencia del sistema a lazo cerrado con el PD resulta
T (s) =
K(s+c)
s((s+4)2 +16)
K(s+c)
1 + s((s+4)
2 +16)
=
s3
+
8s2
K(s + c)
+ (32 + K)s + Kc
Para este sistema la tabla de Routh resulta:
3
1
2
8
1 32 + K −
0
Kc
Kc
8
32 + K
Kc
0
0
El sistema no presenta cortes con el eje imaginario siempre y cuando no haya cambios
de signo en los valores de la primera columna. Esto es
32 + K −
Kc
≥ 0
8
Kc ≥ 0
⇒
c≤8+
⇒
c≥0
256
K
Dado que las expresiones anteriores deben ser válidas para K ∈ (0, +∞), concluimos
que c debe verificar
0<c<8
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
34
Para el caso particular que nos ocupa, este resultado podrı́a haberse obtenido también
razonando sobre la expresión del centroide del lugar de las raı́ces
P
P
pi − ci
0 + (−4 + 4j) + (−4 − 4j) − (−c)
σ=
=
n−m
2
Si queremos asegurar que el lugar de las raı́ces esté ı́ntegramente situado en el semiplano real negativo, deberemos imponer que el centroide σ < 0, para que las ramas
que tienden a dichas ası́ntotas no invadan del semiplano real positivo. Luego tendremos 0 + (−4 + 4j) + (−4 − 4j) − (−c) < 0, o equivalentemente c < 8.
Este resultado, aún siendo equivalente al obtenido por el primer procedimiento,
merece algún comentario adicional. El procedimiento del centroide es, en general,
más económico y directo en términos de cálculo, aunque sólo es fiable si las ramas
del lugar que tienden a las ası́ntotas no cambian el signo de su curvatura en todo su
recorrido. En otras palabras, si la curvatura cambia de signo, las ramas del lugar
de las raı́ces podrı́an adentrarse en el semiplano real positivo para un cierto rango
de valores de K, y terminar sobre una ası́ntota enteramente situada en el semiplano
real negativo, invalidando de este modo el argumento.
Verificar la condición de curvatura es a menudo difı́cil, por lo que el procedimiento
del centroide resulta útil como método secundario para comprobar los resultados
obtenidos mediante la tabla de Routh, más fiable.
Parte III
Automatismos
35
Control Automático, 3o
Ing. Industrial.
37
Solución del problema III.1
NOTA:Esta red de Petri está realizada con la aplicación de Simulación de red de Petri
disponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicación
las variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiración y que los productos
lógicos vienen representados por &.
La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la
figura III.1.a.
Figura III.1.a:
38
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
Solución del problema III.2
La matriz de fases del automatismo que gobierna el funcionamiento del toldo es la siguiente
P SS SB
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
000
3
3
8
8
10
10
13
13
001
5
5
5
-
011
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
010
0
0
0
-
110
1
0
11
11
-
111
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
101
4
4
7
7
-
100
2
2
6
6
9
9
9
12
12
2
MOTOR
MP
MB
MB
MB
MP
MP
MP
MS
MP
MS
MS
MP
MP
MP
Definición de los estados:
• 0: Estado inicial toldo subido, pulsador sin pulsar y motor parado.
• 1: Toldo subido (sensor SS activado) empezando a bajar, pulsador P pulsado y
motor bajando.
• 2: Toldo en posición intermedia, pulsador P pulsado y motor bajando.
• 3: Toldo en posición intermedia, pulsador P sin pulsar y motor bajando.
• 4: Toldo en posición inferior, pulsador P pulsado y motor parado, (el toldo ha
llegado abajo sin que el pulsador se haya soltado, por lo tanto hay que soltar P y
volverlo a pulsar para que el toldo se vuelva a poner en marcha).
• 5: Toldo en posición inferior, pulsador P sin pulsar y motor parado.
• 6: Toldo en posición intermedia, pulsador P pulsado y motor parado, antes bajando.
• 7: Toldo en posición inferior empezando a subir, pulsador P pulsado y motor subiendo.
• 8: Toldo en posición intermedia, pulsador P sin pulsar y motor parado, antes bajando.
• 9: Toldo en posición intermedia, pulsador P pulsado y motor subiendo.
• 10: Toldo en posición intermedia, pulsador P sin pulsar y motor subiendo.
Control Automático, 3o
Ing. Industrial.
39
• 11: Toldo en posición superior, pulsador P pulsado y motor parado, (el toldo ha
llegado arriba sin que el pulsador se haya soltado, por lo tanto hay que soltar P y
volverlo a pulsar para que el toldo se vuelva a poner en marcha).
• 12: Toldo en posición intermedia, pulsador P pulsado y motor parado, antes subiendo.
• 13: Toldo en posición intermedia, pulsador P sin pulsar y motor parado, antes
bajando.
Notas:
• Supongo que el toldo está inicialmente arriba
• se supone que el movimiento del toldo es instantáneo, es decir no da tiempo a soltar
el botón P antes de que el toldo abandone la posición superior.
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
40
Solución del problema III.3
NOTA:Esta red de Petri está realizada con la aplicación de Simulación de red de Petri
disponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicación
las variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiración, que los productos
lógicos vienen representados por & y las sumas lógicas por —.
La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la
figura III.3.a.
Figura III.3.a:
Control Automático, 3o
41
Ing. Industrial.
Solución del problema III.4
La matriz de fases del automatismo que gobierna el funcionamiento del ventanilla es la
siguiente
P VS VB
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
000
3
3
7
7
-
001
6
6
-
011
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
010
0
0
-
110
1
0
8
8
-
111
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
101
4
4
9
9
100
2
2
5
5
2
5
MOTOR
MP
MB
MB
MP
MP
MS
MP
MP
MS
MS
Definición de los estados:
• 0: Estado inicial ventanilla subida, pulsador sin pulsar y motor parado.
• 1: Ventanilla subida (sensor VS activado) empezando a bajar, pulsador P pulsado
y motor bajando.
• 2: Ventanilla en posición intermedia, pulsador P pulsado y motor bajando.
• 3: Ventanilla en posición intermedia, pulsador P sin pulsar y motor parado, antes
bajando.
• 4: Ventanilla en posición inferior, pulsador P pulsado y motor parado, (la ventanilla
ha llegado abajo sin que el pulsador se haya soltado, por lo tanto hay que soltar P
y volverlo a pulsar para que la ventanilla se vuelva a poner en marcha).
• 5: Ventanilla en posición intermedia, pulsador P pulsado y motor subiendo.
• 6: Ventanilla en posición inferior, pulsador P sin pulsar y motor parado.
• 7: Ventanilla en posición intermedia, pulsador P sin pulsar y motor parado, antes
subiendo.
• 8: Ventanilla en posición superior, pulsador P pulsado y motor parado, (la ventanilla
ha llegado arriba sin que el pulsador se haya soltado, por lo tanto hay que soltar P
y volverlo a pulsar para que la ventanilla se vuelva a poner en marcha).
• 9: Ventanilla en posición inferior empezando a subir, pulsador P pulsado y motor
subiendo.
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
42
Notas:
• Supongo que la ventanilla está inicialmente arriba
• se supone que el movimiento de la ventanilla es instantáneo, es decir no da tiempo
a soltar el botón P antes de que la ventanilla abandone la posición superior.
Control Automático, 3o
Ing. Industrial.
43
Solución del problema III.5
NOTA:Esta red de Petri está realizada con la aplicación de Simulación de red de Petri
disponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicación
las variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiración y que los productos
lógicos vienen representados por &.
La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la
figura III.5.a.
Figura III.5.a:
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
Solución del problema III.6
La matriz de fases rellena y corregida es la siguiente:
44
Control Automático, 3o
Ing. Industrial.
45
Solución del problema III.7
La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la figura
III.7.a.
Figura III.7.a:
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
46
Solución del problema III.8
Las redes de Petri que describen el comportamiento del sistema son las representadas en
las figuras III.8.a, III.8.b y III.8.c.
Figura III.8.a: Red de Petri del problema III.8.a
Control Automático, 3o
Ing. Industrial.
Figura III.8.b: Red de Petri del problema III.8.b
Figura III.8.c: Red de Petri del problema III.8.c
47
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
48
Solución del problema III.10
NOTA:Esta red de Petri está realizada con la aplicación de Simulación de red de Petri
disponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicación
las variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiración, que los productos
lógicos vienen representados por & y las sumas lógicas por |.
La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la
figura III.10.a.
Figura III.10.a:
Control Automático, 3o
49
Ing. Industrial.
Solución del problema III.11
En primer lugar hay que hacer la matriz de fases que describe el funcionamiento del
sistema:
S1 S2
0
1
2
3
00
0
1
0
01
X
X
X
X
11
2
2
2
10
1
1
3
3
FCV
1
1
0
0
Definición de los estados:
• 0: Estado inicial depósito vacı́o (Nivel por debajo de S1).
• 1: Nivel por encima de S1 y por debajo de S2, subiendo.
• 2: Nivel por encima de S2.
• 3: Nivel por encima de S1 y por debajo de S2, bajando.
Para minimizar el número de estados hay que hacer la matriz de inferencias:
1
-
2
X
X
3
X
X
-
0
1
2
De la que se pueden obtener los estados 0-compatibles, que son (0-1) y (2-3).
A continuación se agrupan estados n-compatibles entre sı́ para minimizar el número
de estados y obtenemos que los grupos son:
(0 − 1) → a
(2 − 3) → b
Una vez minimizado el número de estado obtenemos la matriz de fases reducida como:
50
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
S1 S2
a
b
00
a
a
01
X
X
11
b
b
10
a
b
FCV
1
0
Codificación de estados: Asignamos un número binario a cada estado estable de la
matriz de fases reducida, como hay 2 estados necesitaremos 1 bit para codificar el número
binario:
a → 0
b → 1
Con esta calificación la matriz de transición de estados queda
S1 S2
0
1
00
0
0
01
-
11
1
1
10
0
1
Para realizar la simplificación usamos la basada en tablas de Karnaught:
S1 S2
0
1
00 01 11 10
0
- 1
0 0 1
1
Con lo que atendiendo a dicha tabla la codificación de al función de transición correspondiente al estado q queda
q = S2 + Q·S1
Función de Salida (lectura) del sistema.
Esta función se calcula como la relación de la salida del sistema con los estados
obtenidos en la función de transición
Control Automático, 3o
51
Ing. Industrial.
F CV = Q
Con lo que atendiendo a la función de transición y de lectura el diagrama de contactos
queda:
S2
q
S1
Q
Q
FCV
Figura III.11.a:
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
52
Solución del problema III.12
NOTA:Esta red de Petri está realizada con la aplicación de Simulación de red de Petri
disponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicación
las variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiración, que los productos
lógicos vienen representados por & y las sumas lógicas por |.
La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la
figura III.12.a.
Figura III.12.a:
Control Automático, 3o
Ing. Industrial.
53
Solución del problema III.13
NOTA:Esta red de Petri está realizada con la aplicación de Simulación de red de Petri
disponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicación
las variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiración, que los productos
lógicos vienen representados por & y las sumas lógicas por |.
La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la
figura III.13.a.
Figura III.13.a:
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
54
Solución del problema III.14
Las redes de Petri que describen el comportamiento del sistema son las representadas en
las figuras III.14.a y III.14.b.
Figura III.14.a: Red de Petri del problema III.14.a
Control Automático, 3o
Ing. Industrial.
Figura III.14.b: Red de Petri del problema III.14.b
55
56
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
Solución del problema III.15
1.- En primer lugar para minimizar el número de estados hay que hacer la matriz de
inferencias:
1
X
2
X
(5−6)
3
(2−3)
X
X
4
(1−4)
X
X
-
5
X
-
(5−6)
(2−3)
X
X
6
X
(5−6)
(1−4)
(1−4)
X
X
(5−6)
0
1
2
3
4
5
De la que se pueden obtener los estados 0-compatibles, que son: (0-3), (0-4), (1-2),
(1-5), (1-6), (2-5), (2-6), (3-4), (5-6).
A partir de esta tabla de inferencias obtenemos la que nos da la 1-compatibilidad,
viendo si las parejas que hay en las casillas correspondientes a estados 0-compatibles
son 0-compatibles entre sı́. Haciendo esto obtenemos la siguiente matriz de inferencias:
1
X
2
X
(5−6)
3
X
X
X
4
X
X
X
-
5
X
-
X
X
X
6
X
X
X
X
X
(5−6)
0
1
2
3
4
5
A partir de esta tabla se puede ver que los estados 1-compatibles son: (1-2), (1-5),
(3-4), (5-6).
Control Automático, 3o
57
Ing. Industrial.
Es fácil ver que si repetimos el proceso para hallar los estados 2-compatibles se
repite el mismo conjunto de estados, por lo que podemos asegurar que los estados
1-compatibles serán también estado n-compatibles.
A continuación se agrupan estados n-compatibles entre sı́ para minimizar el número
de estados y obtenemos que los grupos son:
0 → a
(1 − 2) → b
(3 − 4) → c
(5 − 6) → d
Una vez minimizado el número de estado obtenemos la matriz de fases reducida
como:
00
a
d
a
d
a
b
c
d
01
b
b
c
c
11
X
X
X
X
10
b
b
c
c
S
V
R
V
R
Con esto ya habrı́amos contestado la primera pregunta ya que piden el número
mı́nimo de estados, y esto es la matriz de fases, de todas formas vamos a continuar y
a realizar la codificación de estados y la simplificación usando tablas de Karnaught
para obtener la función de transición.
Codificación de estados: Asignamos un número binario a cada estado estable de la
matriz de fases reducida, como hay 4 estados necesitaremos 2 bits para codificar el
número binario:
a → 00
b → 01
c → 11
d → 10
Con esta calificación la matriz de transición de estados queda
00
10
11
10
00
00
10
00
10
01
01
01
11
11
11
X
X
X
X
10
01
01
11
11
Para realizar la simplificación separamos en dos tablas el primer y segundo bit. La
del primer bit que llamaremos q1 es:
58
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
00
0
1 0
1
00
10
11
10
01 11 10
0
0
0
0
0
0 1
0
1
1
0
1
Con lo que atendiendo a dicha tabla la codificación de al función de transición
correspondiente al estado q1 queda
q1 = ĀB̄ Q̄1 Q2 + ĀQ1 Q̄2 + ĀBQ1 + AB̄Q1
Haciendo lo mismo para el segundo estado q2
00 01 11 10
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0 1 0 1 00
10
11
10
Con lo que atendiendo a dicha tabla la codificación de al función de transición
correspondiente al estado q2 queda
q2 = ĀB + AB̄
2.- Función de Salida (lectura) del sistema.
Esta función se calcula como la relación de la salida del sistema con los estados
obtenidos en la función de transición:
Tomando V = 0 y R = 1 la relación es:
00 → 0
01 → 1
11 → 0
11 → 1
y por lo tanto la función de lectura es:
S = Q̄1 Q2 + Q1 Q̄2
Control Automático, 3o
Ing. Industrial.
59
Solución del problema III.16
NOTA:Esta red de Petri está realizada con la aplicación de Simulación de red de Petri
disponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicación
las variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiración, que los productos
lógicos vienen representados por & y las sumas lógicas por |.
La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la
figura III.16.a.
Figura III.16.a:
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
60
Solución del problema III.17
NOTA:Esta red de Petri está realizada con la aplicación de Simulación de red de Petri
disponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicación
las variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiración, que los productos
lógicos vienen representados por & y las sumas lógicas por |.
La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la
figura III.17.a.
Figura III.17.a:
Control Automático, 3o
Ing. Industrial.
61
Solución del problema III.18
NOTA:Esta red de Petri está realizada con la aplicación de Simulación de red de Petri
disponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicación
las variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiración, que los productos
lógicos vienen representados por & y las sumas lógicas por |.
La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la
figura III.18.a.
Figura III.18.a:
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
62
Solución del problema III.19
NOTA:Esta red de Petri está realizada con la aplicación de Simulación de red de Petri
disponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicación
las variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiración, que los productos
lógicos vienen representados por & y las sumas lógicas por |.
La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la
figura III.19.a.
Figura III.19.a:
Control Automático, 3o
63
Ing. Industrial.
Solución del problema III.20
En primer lugar hay que hacer la matriz de fases que describe el funcionamiento del
sistema:
T10 T20
0
1
2
3
00
0
3
0
3
01
1
1
1
11
X
X
X
X
10
2
2
2
AIRE
0
1
0
1
Definición de los estados:
• 0: Estado inicial, temperatura intermedia, AIRE=0 viene de temperatura menor de
10.
• 1: Temperatura por encima de T20 , AIRE=1.
• 2: temperatura por debajo de T10.
• 3: Temperatura intermedia, viene de temperatura alta.
Para minimizar el número de estados hay que hacer la matriz de inferencias:
1
X
2
-
X
3
X
-
X
0
1
2
De la que se pueden obtener los estados 0-compatibles, que son (0-2) y (1-3).
A continuación se agrupan estados n-compatibles entre sı́ para minimizar el número
de estados y obtenemos que los grupos son:
(0 − 2) → a
(1 − 3) → b
64
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
Una vez minimizado el número de estado obtenemos la matriz de fases reducida como:
T10 T20
a
b
00
a
b
01
b
b
11
X
X
10
a
a
FCV
0
1
Codificación de estados: Asignamos un número binario a cada estado estable de la
matriz de fases reducida, como hay 2 estados necesitaremos 1 bit para codificar el número
binario:
a → 0
b → 1
Con esta calificación la matriz de transición de estados queda
T10 T20
0
1
00
0
1
01
1
1
11
X
X
10
0
0
Para realizar la simplificación usamos la basada en tablas de Karnaught:
T10 T20
0
1
00 01 11
0
X
1 1 1 X
10
0
0
Con lo que atendiendo a dicha tabla la codificación de al función de transición correspondiente al estado q queda
q = T 10T 20 + QT 10
Función de Salida (lectura) del sistema.
Control Automático, 3o
65
Ing. Industrial.
Esta función se calcula como la relación de la salida del sistema con los estados
obtenidos en la función de transición
AIRE = Q
Con lo que atendiendo a la función de transición y de lectura el diagrama de contactos
queda:
T10
T20
q
T10
Q
Q
AIRE
Figura III.20.a:
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
66
Solución del problema III.21
NOTA:Esta red de Petri está realizada con la aplicación de Simulación de red de Petri
disponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicación
las variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiración, que los productos
lógicos vienen representados por & y las sumas lógicas por |.
La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la
figura III.21.a.
Figura III.21.a:
Control Automático, 3o
67
Ing. Industrial.
Solución del problema III.23
Rutina de Taladrado
(RTAL)
PM
CAR
MT, BT
FCAR
TB
G120
MT, AT1
FG120
CAR
FT1
MT, ST
(RTAL)
FCAR
TA
(RRTAL)
AT1
FT1
G120
FG120
(RRTAL)
CAR
(RAV)
(RTAL)
FCAR
(RRAV)
Rutina de Avellanado
(RRTAL)
(RAV)
MA, BA
DESCAR
PAR
FDESCAR · PAR
AB
MA, AT2
G120
FT2
FG120
MA, SA
DESCAR
AA
FDESCAR
AT2
G120
FT2
FG120
DESCAR
FDESCAR
(RRAV)
Figura III.23.a:
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.
68
Solución del problema III.24
NOTA:Esta red de Petri está realizada con la aplicación de Simulación de red de Petri
disponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicación
las variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiración, que los productos
lógicos vienen representados por & y las sumas lógicas por |.
La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la
figura III.24.a.
Figura III.24.a:
Control Automático, 3o
Ing. Industrial.
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Solución del problema III.25
NOTA:Esta red de Petri está realizada con la aplicación de Simulación de red de Petri
disponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicación
las variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiración, que los productos
lógicos vienen representados por & y las sumas lógicas por |.
La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la
figura III.25.a.
Figura III.25.a: