Sistema de Control - Departamento de Ingeniería Electrónica

UNIVRSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
"ANTONIO JOSÉ DE SUCRE"
VICE-RECTORADO BARQUISIMETO
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA
SISTEMAS DE CONTROL
( Transparencias de clases )
Noviembre, 2000
Realizado por: Ingo. TEODORO PÉREZ ESCOBAR
M.Sc. en Ingeniería Electrónica
Sistemas de Control. Transparencias de clases. Noviembre-2000. Ingo Teodoro Pérez Escobar
TEMA No. 1
FUNDAMENTOS Y MODELOS MATEMÁTICOS
DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
Sistemas de Control. Transparencias de clases. Noviembre-2000. Ingo Teodoro Pérez Escobar
1
SISTEMA: combinación de componentes que actúan conjuntamente y cumplen
un determinado objetivo.
Ejemplos: Sistemas físicos
Sistemas biológicos
Sistemas económicos
.
.
.
SEÑAL: estímulo externo o interno a un sistema que generalmente condiciona
su comportamiento.
Matemáticamente la señal se representa como una función de
una o más variables independientes.
Generalmente la variable independiente es el tiempo.
SEÑAL DE TIEMPO CONTINUO: la señal que asume valores en todo
instante de tiempo.
SEÑAL DE TIEMPO DISCRETO: la señal toma valores en determinados
instantes de tiempo.
SISTEMA DE TIEMPO CONTINUO: sistema donde todas las señales son de
tiempo continuo.
SISTEMA DE TIEMPO DISCRETO: sistema que presenta al menos una
señal de tiempo discreto.
SISTEMA DIGITAL: sistema discreto donde alguna de las señales discretas
está codificada digitalmente.
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2
SISTEMA DE CONTROL: es un arreglo de componentes físicos, conectados
de tal forma, que dicho arreglo puede regular o dirigir a sí mismo o a otro
sistema.
ENTRADA DE UN SISTEMA DE CONTROL ( Punto de Control ) : es un
estímulo o excitación que se aplica a un sistema de control desde una fuente de
energía externa, generalmente con el fin de producir, de parte del sistema de
control, una respuesta específica.
SALIDA DE UN SISTEMA DE CONTROL ( Variable Controlada ) : es la
respuesta obtenida del sistema. Puede ser, o no, igual a la respuesta específica
que la entrada implica.
PERTURBACIÓN: es una señal que tiende a afectar adversamente el valor de
la salida de un sistema. Puede ser INTERNA si es originada por un componente
del sistema, o EXTERNA si es originada por una fuente externa.
PLANTA: es el objeto físico que ha de ser controlado.
PROCESO: es la operación que se va a controlar.
CONTROLADOR: son los componentes requeridos para generar la señal de
control (Variable Manipulada ) apropiada que se aplica a la Planta.
ACCIÓN DE CONTROL: es la señal que se aplica al controlador.
REALIMENTACIÓN: es la propiedad de un sistema (de Lazo cerrado) que
permite que la salida sea comparada con la entrada de tal manera que se pueda
establecer la acción de control apropiada como función de la entrada y la salida.
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6
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TERMINOLOGÍA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES.
FORMA GENERAL DE UN SISTEMA DE CONTROL DE LAZO
CERRADO
r(t) ≡ entrada
c(t) ≡ salida
m(t) ≡ señal de control
e(t) ≡ acción de control o señal de error
b(t) ≡ salida de realimentación primaria
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CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE CONTROL.
DE ACUERDO A
SU NATURALEZA
 Hechos por el hombre
 
  Naturales
 
 Híbridos
 DE LAZO ABIERTO:

la acción de control es independiente


de la salida
DE ACUERDO A LA  
 
ACCION DE CONTROL  
DE LAZO CERRADO:

la acción de control es en cierto modo


dependiente de la salida









OTRAS CLASIFICACIONES 








 Lineal

 No - lineal
(*)
 Invariante en el tiempo (*)

 Variante en el tiempo
 Con memoria

 Sin memora
 Causal

 No causal
 Estable

 Inestable
 Determiní stico

 Aleatorio
(*)
8
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CARACTERÍSTICAS DE LOS SISTEMAS DE CONTROL.
SISTEMA DE CONTROL DE
LAZO ABIERTO
SISTEMA DE CONTROL DE
LAZO CERRADO
1) La exactitud depende de la
calibración de sus componentes.
1) Aumento de la exactitud.
2) No tienen problemas de inestabilidad.
2) Tendencia a la oscilación.
3) Sensible a las perturbaciones.
3) Poco sensible a las perturbaciones.
4) Diseño más sencillo.
4) Más costoso en el diseño.
5) Más rápidos.
6) Reducción de la no-linealidad y de la
distorsión.
SERVOMECANISMO:
es un sistema de control cuya salida es una posición mecánica
o una derivada de la posición ( velocidad, aceleración, etc. ).
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MODELO MATEMÁTICO DE UN SISTEMA:
Conjunto de ecuaciones que describe la relación entre las señales del sistema.
 Representación externa
Tipos de Modelos Matemá ticos
 Representación interna.
Representación Externa:
Describe la relación entre las señales de entrada y salida del sistema.
ECUACIONES DIFERENCIALES 

ECUACIONES EN DIFERENCIA  Modelo en el dominio del tiempo

CONVOLUCION

 Transformada de Laplace
 
FUNCION DE TRANSFERENCIA
  Transformada de Fourier
 
(función de una variable compleja)
Transformada Z
(Modelo en el dominio de la Frecuencia) 
 Transformada Discreta de Fourier
Representación Interna:
Describe la relación entre las señales de entrada y salida y el estado de un sistema.
Se utiliza un conjunto de variables (de estado)
que describe el comportamiento interno del sistema.
10
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SISTEMA LINEAL:
Aquel que cumple con el principio de superposición:
α , β = constantes
SISTEMA NO LINEAL:
No cumple el principio de superposición.
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LINEALIZACIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO NO LINEAL:
y( t ) = f [ x( t )]
Condición NORMAL de operación 
 ( x0 , y0 )
(Punto de Operación)

SERIE DE TAYLOR
o
oo
y = f ( x ) = f ( x0 ) + f ( x0 ) ⋅ ( x − x0 ) + f ( xo ) ⋅
( x − x0 ) 2
2!
Si (x - x0 ) es pequeño:
o
y ≈ f ( x0 ) + f ( x0 ) ⋅ ( x − x0 )
o
y − y0 ≅ f ( xo ) ⋅ ( x − xo )
∆y ≅ k ⋅ ∆x
 ∆y = y − y 0 = y δ
Variables de desviación 
 ∆x = x − x o = x δ
+
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SISTEMA INVARIANTE EN EL TIEMPO:
SISTEMA CAUSAL:
La salida en cualquier instante t0 depende únicamente de
los valores de la entrada para t<t0.
SISTEMA ESTABLE (ESTABILIDAD BIBO) :
( Bounded-Input
Bounded-Output )
El sistema es estable
Si para
x( t ) ⟨ B 1 ⟨∞
implica
Entrada Limitada
y( t ) ⟨ B 2 ⟨∞
Salida Limitada
para todo t
RESPUESTA DE UN SISTEMA LINEAL:
y( t ) = ∫−∞ x( τ ).h( t − τ )dτ
∞
Integral de convolución
y( t ) = x( t )∗ h( t )
Si una o ambas señales a convolucionar están limitadas en tiempo,
generalmente es útil la convolución en forma gráfica.
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Leyes de la convolución:
1) CONMUTATIVA:
f1 ( t )* f 2 ( t ) =
2) DISTRIBUTIVA:
f1 ( t )* [ f 2 ( t ) + f 3 ( t )] =
3) ASOCIATIVA:
f1 ( t )* [ f 2 ( t )* f 3 ( t )] =
f 2 ( t )* f1 ( t )
f1 ( t )* f 2 ( t ) + f1 ( t )* f 3 ( t )
[ f ( t )* f (t )]* f ( t )
1
2
3
Convolución de una función con la función impulso:
1)
f ( x )* δ( x ) = ∫−∞ f ( τ ).δ( x − τ ). dτ = f ( x )
2)
f ( x )* δ( x − x1 ) = f ( x − x1 )
3)
f ( x − x1 )* δ( x − x 2 ) = f [ x − ( x1 + x 2 )]
4)
∞
−∞
δ( x − x1 )* δ( x − x 2 ) = δ[ x − ( x 1 + x 2 )]
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE UN ELEMENTO ( SISTEMA ):
Es la transformada de Laplace de la respuesta del elemento (sistema)
a la función impulso cuando se toman las condiciones iniciales como nulas.
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Propiedades de la función impulso ( Delta de Dirac ) [ δ( t ) ] :
a)
∫
∞
−∞
δ( t ) ⋅ dt = 1
b ) δ( t ) → ∞
c ) δ( t ) = 0
para
para
t=0
t≠0
REPRESENTACIÓN DE UN ELEMENTO (SISTEMA)
UTILIZANDO UN DIAGRAMA DE BLOQUES:
c( t ) = r ( t )∗ g( t )
ó
c( t ) = L−1 [ C( s)] = L−1 [ G ( s) ⋅ R ( s)]
PASOS GENERALES PARA OBTENER LA FUNCIÓN DE
TRANSFERENCIA
1. Determinar la(s) ecuación(es) diferencial(es) que rige(n) al elemento o sistema
2. Aplicar Transformada de Laplace con condiciones iniciales = 0
3. Obtener la función de transferencia G(s) como el cociente
C( s)
R ( s)
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MODELO MATEMÁTICO DE SISTEMAS MECÁNICOS
LEY DE NEWTON
a) MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN:
b) MOVIMIENTO DE ROTACIÓN:
→
→
∑f = m⋅ a
∑T = J ⋅ α
∩
∩
ELEMENTOS MECÁNICOS IDEALES
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MODELO APROXIMADO DE UN ENGRANAJE FÍSICO:
n=
N1
N2
J e = J 1 + J 2 . n2
Be = B1 + B2 . n2
TL′ = TL . n
SERVOMOTORES DE CORRIENTE CONTINUA
Diagrama
Tm = K 1 ⋅ i f ⋅ i a 

o

Vc = K c ⋅ θ
Kc = constante de la fuerza
contraelectromotriz
Vc = fuerza
contraelectromotriz
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SERVOMOTOR DE C.C. CONTROLADO POR ARMADURA:
Salida = θ
Entrada = Va
Km
θ( s )
=
Va ( s ) s ⋅ ( s ⋅ τ m + 1)
Km = constante de ganancia del motor
τ
m
Km =
K
R a ⋅ Be + K ⋅ K c
τm =
R a ⋅ Je
R a ⋅ Be + K ⋅ K c
= constante de tiempo del motor
K = constante del par motor = K1. If
ECUACIONES PARA LA DEMOSTRACIÓN DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA:

 Tm = K 1 ⋅ If ⋅ i a = K ⋅ i a

o

=
⋅
θ
V
K

 c
c
θ( s )
K
 ⇒

=
di a
Va ( s ) s[( R a + La ⋅ s) ⋅ ( J e ⋅ s + Be ) + K ⋅ K c ]
 Va = i a ⋅ R a + La ⋅ dt + Vc 
oo
o


 J e ⋅ θ = Tm − Be ⋅ θ

Normalmente
R a ⟩⟩ L a ⋅ s ⇒
Km
θ( s )
=
Va ( s ) s ⋅ ( s ⋅ τ m + 1)
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SERVOMOTOR DE C.C. CONTROLADO POR CAMPO:
Entrada = Vf
Salida = θ
θ( s )
Km
=
Vf ( s ) s ⋅ ( s ⋅ τ f + 1) ⋅ ( s ⋅ τ m + 1)
Km =
Km = constante de ganancia del motor
K = constante del par motor = K1. Ia
K
R f ⋅ Be
τ
τ
;
τf =
Lf
Rf
;
τm =
Je
Be
f
= constante de tiempo ( eléctrica )
m
= constante de tiempo ( mecánica )
ECUACIONES PARA LA DEMOSTRACIÓN DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA:


Tm = k1 ⋅ Ia ⋅ i f = K ⋅ i f 

θ( s )
di 
Km
 Vf = i f ⋅ R f + Lf ⋅ f  ⇒
=
dt 
Vf ( s ) s ⋅ ( s ⋅ τ f + 1) ⋅ ( s ⋅ τ m + 1)

oo
o
 J e ⋅ θ = Tm − Be ⋅ θ

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FORMA GENERAL DE UN SISTEMA DE CONTROL DE LAZO
CERRADO
r(t) ≡ entrada
c(t) ≡ salida
m(t) ≡ señal de control
e(t) ≡ acción de control o señal de error
b(t) ≡ salida de realimentación primaria
TRAYECTORIA DIRECTA:
r(t) - e(t) - g1 (t) - m(t) - g2 (t) - c(t)
TRAYECTORIA DE REALIMENTACIÓN:
c(t) - h(t) - b(t)
FORMA CANÓNICA DE UN SISTEMA DE CONTROL DE LAZO
CERRADO
G(s)
≡ función de transferencia DIRECTA
H(s)
≡ función de transferencia de REALIMENTACIÓN
G(s) .H(s) ≡ función de transferencia de LAZO ABIERTO
C (s) / R(s) ≡ función de transferencia de LAZO CERRADO
E(s) / R(s) ≡ razón de la señal de error
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EJERCICIO:
El sistema de la figura sirve para gobernar la posición de una carga mecánica.
Las constantes del sistema son las siguientes:
GANANCIA DEL AMPLIFICADOR DE C.C. =
Inductancia de la armadura del motor:
Resistencia de la armadura del motor:
INERCIA DEL MOTOR :
ROCE DEL MOTOR:
ROCE DE LA CARGA:
INERCIA DE LA CARGA:
A
La = despreciable
Ra = 5 ohmios
Jm = 1,36 . 10-3 N.m.s2
Bm = despreciable
Bc = 0,136 N.m.s
Jc = 0,136 N.m.seg2
RELACIÓN DE ENGRANAJES:
CONSTANTE DEL PAR MOTOR:
CONSTANTE DE F.C.E.M. :
Alimentación de los potenciómetros:
Angulo máximo de giro de los potenciómetros:
n = N1 /N2 =1/10
K = 0,68 N.m/A
Kc = 0,68 V.s/rad
πV
180o
DETERMINAR:
a)
b) Si
Θc( s )
Θr ( s )
Θr ( t ) = U( t )
 A = 15
hallar Θc( t ) para  A = 200
 A = 1500
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RESPUESTA DEL SERVOMECANISMO A UN ESCALÓN:
ORDEN DEL SISTEMA
Si:
G( s ) =
P( s )
Q( s )
donde
P(s) y Q(s) son polinomios en s
Se dice que,
EL ORDEN DEL SISTEMA = ORDEN DE Q(s)
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GRÁFICO DE FLUJO DE SEÑAL ( DIAGRAMA DE FLUJO )
Diagrama que representa un conjunto de ecuaciones
algebraicas lineales simultáneas
Ecuaciones:
i1 =
V1 − V2
R2
V2 = i1 . R 3 − i 2 . R 3
i2 =
V2 − V3
R1
V3 = i 2 . R 4
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DEFINICIONES
Nudo
punto que representa una variable o señal.
Transmitancia
ganancia entre dos nudos.
Rama
segmento de línea con dirección y sentido que une dos nudos.
Nudo de entrada
nudo que solo tiene ramas que salen.
Nudo de salida
nudo que solo tiene ramas que entran.
Nudo mixto
nudo que tiene tanto ramas de entrada como ramas que salen.
Camino o
trayecto
recorrido de ramas conectadas en el sentido de las flechas de las
ramas.
Camino abierto
si no cruza ningún nudo mas de una vez.
Camino cerrado
(Lazo)
si finaliza en el mismo nudo del cual partió, y no cruza otro nudo
mas de una vez.
Ganancia de lazo producto de las transmitancias de las ramas de un lazo.
Lazos disjuntos
lazos que no poseen nudos comunes.
Trayecto directo
trayecto de un nudo de entrada a un nudo de salida que no cruza
ningún nudo mas de una vez.
Ganancia de
trayecto directo
producto de las transmitancias de las ramas de un trayecto directo
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PROPIEDADES DE LOS GRÁFICOS DE FLUJO DE SEÑAL
1. Una rama indica la dependencia funcional de un nudo respecto a otro.
2. Un nudo suma las señales de todas las ramas que entran y transmite esta
suma a todas las ramas que salen.
3. Un nudo mixto puede ser considerado como un nudo de salida añadiendo
una rama de transmitancia unitaria.
4. Para un sistema dado, el diagrama de flujo no es único.
DEL DIAGRAMA DE BLOQUES AL DIAGRAMA DE FLUJO
BLOQUE ---------------------------------------> RAMA
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA ------> TRANSMITANCIA DE LA RAMA
SEÑAL ------------------------------------------> NUDO
OBSERVACIONES:
1) Un punto de toma seguido de un punto de suma, se debe separar con
una rama de ganancia unitaria.
2) Un punto de suma seguido de un punto de toma, se debe separar con
una rama de ganancia unitaria.
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ÁLGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE FLUJO
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FORMULA DE GANANCIA DE MASON
PARA LOS DIAGRAMAS DE FLUJO DE SEÑAL
1 n
P = ∑ Pi ⋅ ∆ i
∆ i =1
n = No de trayectos directos
Pi = ganancia del i-ésimo trayecto directo
∆=1 +
+
-
∑ (las ganancias de todos los lazos) +
∑ Π (las ganancias de 2 lazos disjuntos) +
∑ Π (las ganancias de 3 lazos disjuntos) +
∑ Π (las ganancias de 4 lazos disjuntos) +
…
∆i = valor de ∆ cuando se hacen cero las ganancias de
los lazos que tocan el i-ésimo trayecto directo.
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EJEMPLO
TRAYECTOS
DIRECTOS
LAZOS
31
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MODELO DE LOS PROCESOS INDUSTRIALES
BALANCE DE UNA CANTIDAD QUE SE CONSERVA : MASA O ENERGÍA
Flujo de masa / energía
de entrada al proceso
Flujo de masa / energía
de salida del proceso
Tasa acumulada de
masa / energía en el proceso
Se debe utilizar casi todas las áreas de la Ingeniería de Proceso
( Ejemplo: la Termodinámica, la Transferencia de calor, flujo de fluidos,
transferencia de masa e Ingeniería de Reacción )
32
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33
ANALOGÍA ELÉCTRICA DE SISTEMAS MECÁNICOS
SISTEMA
MECÁNICO
o
o
o
dx
∫
=
+
+
.
.
.
f m
B x k x . dt
dt
ANALOGÍA
FUERZA-TENSIÓN
e = L.
di
1
+ i . R + . ∫ i . dt
dt
C
ANALOGÍA
FUERZA-CORRIENTE
i = C⋅
de e 1
+ + . ∫ e. dt
dt R L
f
e
i
o
x
i
e
m
L
C
B
R
1/R
k
1/C
1/L
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34
PASOS PARA OBTENER EL CIRCUITO ELÉCTRICO
ANÁLOGO A UN SISTEMA MECÁNICO.
(ANALOGÍA FUERZA-CORRIENTE)
1) Plantear la RED MECÁNICA de la siguiente forma:
a) Se representan las velocidades de los elementos mecánicos por
puntos.
b) Se conectan cada una de las masas, un extremo a su punto de
velocidad correspondiente y el otro extremo a tierra común.
c) Se conectan los otros elementos entre sus correspondientes puntos
de velocidad.
d) Se colocan generadores de fuerza (uno por cada fuerza de entrada),
un extremo en el punto de velocidad donde se aplica y el otro a
tierra común.
e) Si aparecen velocidades como entradas, se procede al igual que en
d), pero utilizando generadores de velocidad.
2) SE CAMBIAN LAS VARIABLES Y LOS ELEMENTOS MECÁNICOS POR
SUS ANÁLOGOS ELÉCTRICOS.
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TEMA No. 2
ANÁLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
2
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3
RESPUESTA DE UN SISTEMA:
RESPUESTA ESTACIONARIA:
es la salida del sistema cuando t→
→∞.
es la salida del sistema cuando k→
→∞.
[
lim c(t ) = lim s ⋅ C( s )
t→∞
s→ 0
]
z −1


⋅ C(z) 
c(k.T) = lim
 lim
z →1
z
 k →∞

RESPUESTA TRANSITORIA:
aquella que va desde el estado inicial hasta el estado final.
SEÑALES DE PRUEBA:
SEÑAL ESCALÓN - SEÑAL RAMPA - SEÑAL PARABÓLICA
SEÑAL IMPULSO - SEÑAL SENOIDAL
CARACTERÍSTICAS MAS IMPORTANTES EN EL ANÁLISIS Y
DISEÑO DE UN SISTEMA DE CONTROL
a) ESTABILIDAD ABSOLUTA
 Sistema ESTABLE

 Sistema INESTABLE
b) ESTABILIDAD RELATIVA
c) ERROR ESTACIONARIO ( EXACTITUD )
d) RAPIDEZ
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SISTEMA ESTABLE (ESTABILIDAD BIBO) :
( Bounded-Input
Bounded-Output )
El sistema es estable
Si para
x( t ) ⟨ B 1 ⟨∞
implica
Entrada Limitada
y( t ) ⟨ B 2 ⟨∞
Salida Limitada
para todo t
ESTABILIDAD ABSOLUTA:
Un sistema L.I.T., es
ESTABLE si finalmente la salida retorna a su
estado de equilibrio cuando el sistema es sometido a una perturbación.
SISTEMA
⇔
POLOS DE LAZO CERRADO
EN EL SEMIPLANO
IZQUIERDO DE s
DE
CONTROL
ESTABLE
Un sistema L.I.T., es
⇔
POLOS DE LAZO CERRADO
EN EL INTERIOR DEL
CÍRCULO UNITARIO
( PLANO z )
INESTABLE si continúa indefinidamente una
oscilación en la salida, o si la salida diverge sin límite de su estado de equilibrio
cuando el sistema es sometido a una perturbación.
4
Sistemas de Control. Transparencias de clases. Noviembre-2000. Ingo Teodoro Pérez Escobar
ESTABILIDAD ABSOLUTA
SISTEMA DE
CONTROL
ESTABLE
⇔
POLOS DE LAZO CERRADO
EN EL SEMIPLANO
IZQUIERDO DE s
MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTABILIDAD
Cálculo directo de los autovalores de la matriz A
Cálculo directo de las raíces de la Ecuación Característica del Sistema
Métodos basados en la Ecuación Característica del Sistema
Hurwitz
Routh-Hurwitz
Lugar de las Raíces
Criterio de Nyquist
Método de Lyapunov
Cálculo directo de los autovalores de la matriz A
Ecuación Característica
:
s.I − A = 0
5
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6
CRITERIO DE ESTABILIDAD ABSOLUTA DE ROUTH-HURWITZ
( Determinación de la cantidad de polos de Lazo Cerrado que están en el S.P.D. de s )
PROCEDIMIENTO:
Dado
C( s ) R ( s ) = P( s ) Q( s ) , donde
 P(s) = polinomio de grado m

 Q(s) = polinomio de grado n
1) Se dispone Q(s) de la siguiente forma:
Q( s ) = a 0 ⋅ s n + a 1 ⋅ s n − 1 + a 2 ⋅ s n − 2 + + a n − 1 ⋅ s + a n = 0
ECUACIÓN CARACTERÍSTICA DEL SISTEMA
an ≠ 0
2) Si:
y
a0 , a1 , a2 , …, an-1 , an
ai < 0 [ No todos ]
ó ai = 0
⇒
son Reales
⇒ Hay Polos en el S.P.D. o
hay polos sobre el eje imaginario
3) Construir la Tabla de Routh-Hurwitz
4) Todos los coeficientes de la
primera columna son positivos
Número de Polos
en el S.P.D. de s
=
⇒ Todos los polos de Lazo Cerrado
están en el Semiplano Izquierdo de s
Número de cambios de signo en la primera
columna de la tabla de Routh-Hurwitz
Sistemas de Control. Transparencias de clases. Noviembre-2000. Ingo Teodoro Pérez Escobar
7
TABLA DE ROUTH-HURWITZ:
1a COLUMNA
⇓
n
s
a0
a2
a4
a6
...
⇐ aii= par
sn-1
a1
a3
a5
a7
...
⇐ aii=impar
sn-2
b1
b2
b3
b4
...
sn-3
c1
c2
c3
c4
...
sn-4
d1
d2
d3
d4
...
s2
e1
e2
s1
f1
s0
g1
b1 =
a1 ⋅ a 2 − a0 ⋅ a 3
a1
;
b2 =
a1 ⋅ a4 − a0 ⋅ a5
a1
;
b3 =
a1 ⋅ a6 − a0 ⋅ a7
a1
...
c1 =
b1 ⋅ a 3 − a 1 ⋅ b 2
b1
;
c2 =
b1 ⋅ a 5 − a 1 ⋅ b 3
b1
;
c3 =
b1 ⋅ a 7 − a 1 ⋅ b 4
b1
...
d1 =
c 1 ⋅ b 2 − b1 ⋅ c 2
c1
;
d2 =
c 1 ⋅ b 3 − b1 ⋅ c 3
c1
;
...
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8
CASOS ESPECIALES DEL CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ:
1er CASO:
UN CERO EN LA PRIMERA COLUMNA
( LOS TÉRMINOS RESTANTES DE LA FILA NO SON TODOS CERO )
POLOS EN EL S.P.D. ó POLOS SOBRE EL EJE IMAGINARIO
PROCEDIMIENTO:
- Se remplaza el término cero por ε [ε > 0 , ε → 0]
- Se utiliza el procedimiento general
- Si el signo sobre ε es el mismo que está debajo de él → Hay pares de polos sobre
el eje imaginario
2o CASO: TODOS LOS COEFICIENTES DE UNA FILA SON CEROS
PARES DE POLOS REALES OPUESTOS Y/O PARES DE POLOS IMAGINARIOS
CONJUGADOS Y/0 PARES DE POLOS COMPLEJOS CONJUGADOS
CON PARTES REALES OPUESTAS
PROCEDIMIENTO:
- Se forma un polinomio auxiliar [Qa (s)]] ( de orden par )
con los coeficientes de la fila superior a la fila cero
- Se usa los coeficientes de d[ Q a ( s)] ds en lugar de la fila cero
- Se utiliza el procedimiento general
- Polos que originan el caso = Raíces de
 Qa (s) = 0 
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ESTABILIDAD RELATIVA:
La estabilidad relativa de un sistema ( estable ) es inversamente proporcional
al porcentaje de sobreimpulso ( Mp ) generado por las
oscilaciones amortiguadas de su salida.
Mp =
c( tp ) − c( ∞ )
× 100 %
c( ∞ )
9
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RAPIDEZ
La rapidez del sistema es inversamente proporcional
al tiempo de crecimiento ( tr ).
ERROR ESTACIONARIO
Error estacionario = lim e(t)
t →∞
Cuando el error estacionario es diferente de cero
la salida estacionaria de un sistema no coincide con el valor deseado.
lim e(t) = lim s ⋅ E(s)
t →∞
s→0
10
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11
TIPO DE UN SISTEMA.
G( s ) ⋅ H( s ) =
K ⋅ ( Ta ⋅ s + 1) ⋅ ( Tb ⋅ s + 1) ( Tm ⋅ s + 1)
(
)
s N ⋅ ( T1 ⋅ s + 1) ⋅ ( T2 ⋅ s + 1) Tp ⋅ s + 1
K = ganancia de Lazo Abierto
SISTEMA DE TIPO N
COEFICIENTE DE
ERROR
ESTACIONARIO DE
POSICIÓN (Kp)
COEFICIENTE DE
ERROR
ESTACIONARIO DE
VELOCIDAD (Kv)
COEFICIENTE DE
ERROR
ESTACIONARIO DE
ACELERACIÓN (Ka)
K p = lim G(s) ⋅ H(s)
K v = lim s ⋅ G(s) ⋅ H(s)
K a = lim s 2 ⋅ G( s ) ⋅ H( s )
s→ 0
s→ 0
s→ 0
ERROR DE
POSICIÓN
ERROR DE
VELOCIDAD
ERROR DE
ACELERACIÓN
r ( t ) = R.U ( t )
r ( t ) = R.t ⋅ U ( t )
t2
r (t ) = R ⋅ U (t )
2
e(∞ ) = E p =
R
1+ Kp
R
R( s ) =
s
e(∞ ) = E v =
R( s ) =
R
s2
R
Kv
e(∞ ) = E a =
R( s ) =
R
s3
R
Ka
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G( s ) ⋅ H( s ) =
12
K ⋅ ( Ta ⋅ s + 1) ⋅ ( Tb ⋅ s + 1) ( Tm ⋅ s + 1)
(
K = ganancia de Lazo Abierto
TIPO DEL
SISTEMA (N)
Kp
Kv
Ka
0
K
0
0
1
∞
K
0
2
∞
∞
K
≥3
∞
∞
∞
R
1+ Kp
R
Kv
R
Ka
TIPO DE
SISTEMA (N)
ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO
POSICIÓN
0
R
1+ K
)
s N ⋅ ( T1 ⋅ s + 1) ⋅ ( T2 ⋅ s + 1) Tp ⋅ s + 1
VELOCIDAD
ACELERACIÓN
∞
∞
1
0
R
K
∞
2
0
0
R
K
≥3
0
0
0
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SISTEMAS DE 1ER ORDEN:
EJEMPLO:
Para el sistema representado por el siguiente Diagrama de Bloques:
Se pide:
a) La función de transferencia de lazo cerrado
b) La respuesta al escalón
c) El análisis de Estabilidad Absoluta, Estabilidad Relativa, exactitud
y rapidez para la respuesta al escalón
d) La respuesta a la rampa
e) El análisis de exactitud para la respuesta a la rampa
13
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SISTEMA DE 2do. ORDEN:
ω 2n
C( s )
=
R( s ) s 2 + 2 ⋅ ξ ⋅ ω n ⋅ s + ω n2
ω 2n
C(s)
=
R(s) ( s − s1 ) ⋅ ( s − s 2 )
→
s 1 = −ξ ⋅ ω n + ξ2 − 1 ⋅ ω n
s 2 = −ξ ⋅ ω n − ξ2 − 1 ⋅ ω n
RESPUESTA AL ESCALÓN:
a) SISTEMA SOBREAMORTIGUADO
(ξ
⟩ 1) :

 es 1 ⋅ t e s 2 ⋅ t  
ωn
 ⋅ U( t )
⋅
c( t ) =  1 +
−
s 2 
2 ⋅ ξ2 − 1  s 1

b) SISTEMA CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO
(ξ = 1)
c( t ) = [1 − e−ωn ⋅ t ⋅ ( 1 + ω n ⋅ t )] ⋅ U( t )
c) SISTEMA SUBAMORTIGUADO ( ξ ⟨ 1) :


− ξ2 
e − ξ⋅ ω n ⋅ t
−1 1
⋅ senωd ⋅ t + tg
c( t ) =  1 −
 ⋅ U( t )
ξ 
1 − ξ2


ω d = ω n 1 − ξ2
14
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PARÁMETROS MAS IMPORTANTES DE LA RESPUESTA
TRANSITORIA DE UN SISTEMA DE 2do. ORDEN:
Mp =
c( t p ) − c( ∞ )
c( ∞ )
× 100 % = e
−
π ⋅ξ
1− ξ2
× 100 %
2 .π ⋅ ξ
−
B
2
× 100 % = e 1− ξ × 100 %
Rs =
A
π
π
=
tp =
ωd
ωn ⋅ 1 − ξ2
t s (±2%) =
tr
4
ξ ⋅ ωn
 1 − ξ2 
π−β
1
−1
 =
=
⋅ tg 
ωd
ωd
 −ξ 
2 o cuadrante
16
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17
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18
SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR
m
C( s ) =
Si
K ⋅ ∏ ( s + zi )
i=1
q
r
"=1
K =1
∏ ( s + p " ) ⋅ ∏ ( s + 2 ⋅ ξK ⋅ ω K ⋅ s + ω
2
2
K
)
⋅ R( s )
;
n=q +2⋅ r
( Polos y ceros diferentes)
R(s) = 1 s
a
C( s ) =
+
s
a"
∑
"=1 s + p
"
q
+
q
r
"=1
K =1
r
∑
b K ⋅ ( s + ξ K ⋅ ω K ) + c K ⋅ ω K ⋅ 1 − ξ K2
K =1
s 2 + 2 ⋅ ξ K ⋅ ω K ⋅ s + ω K2
[
]
c( t ) = a + ∑ a " ⋅ e − p " ⋅ t + ∑ b K ⋅ e − ξK ⋅ωK ⋅ t ⋅ cos ω K ⋅ 1 − ξ K2 ⋅ t +
[
r
]
+ ∑ c K ⋅ e − ξK ⋅ωK ⋅ t ⋅ sen ω K ⋅ 1 − ξ K2 ⋅ t
K =1
q
r
" =1
K =1
(
c( t ) = a + ∑ a " ⋅ e − p" ⋅ t + ∑ d K .e − ξK ⋅ωK ⋅ t ⋅ sen ω K ⋅ 1 − ξ2K ⋅ t + φ K
a , a " ,b K , c K
t ≥ 0
;
)
;
t ≥ 0
 polo cercano a cero y o
⇐ RESIDUOS ⇒ son pequeños para 
polo lejano al eje j ω
Si las relaciones de las partes reales exceden de cinco y no hay ceros cercanos,
los polos de lazo cerrado mas cercanos al eje jω
ω dominan el comportamiento de la
respuesta transitoria.
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20
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21
LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES
CONTORNO DE RAÍCES
Es el lugar geométrico de los polos de C(s)/R(s) [ ó raíces del sistema ] cuando
varios parámetros de G(s).H(s) varían de -∞
∞ a +∞
∞.
LUGAR DE LAS RAÍCES
Es el lugar geométrico de los polos de C(s)/R(s) [ ó raíces del sistema]] cuando
un parámetro de G(s).H(s) varía de 0 a +∞
∞. Generalmente el parámetro
que varía es la ganancia de G(s).H(s).
LUGAR INVERSO DE LAS RAÍCES
Es el lugar geométrico de los polos de C(s)/R(s) [ o raíces del sistema ]
un parámetro de G(s).H(s) varía de -∞
∞a0.
cuando
Generalmente el parámetro que varía es la ganancia de G(s).H(s).
CONDICIÓN DE ANGULO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES:
∠G( s ). H( s ) s= s 0 = ±180o ( 2 ⋅ l + 1)
;
l = 0, 1, 2, ...
;
s0 = raíz del sistema
CONDICIÓN DE MÓDULO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES:
G( s ) ⋅ H( s ) s= s 0 = 1
; s0 = raíz del sistema
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22
REGLAS GENERALES PARA CONSTRUIR
EL LUGAR DE LAS RAÍCES
1. OBTENER LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE LAZO ABIERTO EN LA SIGUIENTE
FORMA:
G( s ) ⋅ H( s ) =
K ( s − z1 ) ⋅ ( s − z2 ) ( s − zm )
( s − p1 ) ⋅ ( s − p 2 ) ( s − pn )
2. PUNTOS DE ORIGEN ( K=0 ): Son los polos de G(s).H(s)
[ incluye los que se encuentran en el infinito ]
3. PUNTOS DE TERMINACIÓN ( K= ∞ ): Son los ceros de G(s).H(s)
[ incluye los que se encuentran en el infinito ]
4. NUMERO DE RAMAS SEPARADAS: Corresponde al orden del sistema
m

n
si
si
m ≥ n
n ≥ m
5. LUGAR SOBRE EL EJE REAL: un punto sobre el eje real pertenece al lugar de las
raíces sí el número total de polos y ceros (sobre el eje real) de G(s).H(s) que hay a la
derecha del punto considerado es impar
6. SIMETRÍA: Los lugares de las raíces de los sistemas con funciones de transferencia
racionales con coeficientes constantes son simétricos con respecto al eje real
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23
7. INTERSECCIÓN CON EL EJE IMAGINARIO: Se utiliza el Método de ROUTHHURWITZ
8. ASÍNTOTAS ( s → ∞ ) : para grandes valores de s, las ramas del Lugar de las Raíces
son asintóticas a rectas con ángulos dados por:
180 o ( 2 ⋅ " + 1)
β=
n− m
;
" = 0, 1, 2, , (n - m -1)
N o de así ntotas = n - m
9. CENTROIDE (INTERSECCIÓN DE LAS ASÍNTOTAS CON EL EJE REAL):
σ=
∑ Polos - ∑ Ceros
n−m
10. ÁNGULOS DE SALIDA Y DE LLEGADA: se coloca un punto de prueba próximo
al polo ( o cero ), que pertenece a la rama asociada al polo ( o cero ) y se aplica
condición de Angulo
11. PUNTOS DE RUPTURA: Hay tres métodos:
a) Son las raíces de
 dG(s) ⋅ H(s)

dk
= 0 ó
= 0


ds
ds
que se encuentren en el rango buscado
b) Tabulando K vs. s y hallando K máximo (para salida) ó K mínimo ( para entrada )
c) Utilizando la tabla de REMEC
12. OTROS PUNTOS: se utiliza la condición de Angulo con distintos puntos de
prueba. Debe obtenerse con suficiente exactitud la forma del Lugar de las Raíces en
el amplio entorno comprendido entre el eje imaginario y el origen.
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TEMA No. 3
ANÁLISIS EN EL
DOMINIO DE LA FRECUENCIA
1
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RESPUESTA DE FRECUENCIA
Función de
Transferencia
Senoidal
F(s) s= jω = F( jω )
= F( jω ) ∠F( jω )
Gráficas de la Función de Transferencia
 a) DIAGRAMA DE NYQUIST

 b) DIAGRAMAS DE BODE
 c) DIAGRAMA DE NICHOLS
DIAGRAMA DE NYQUIST
Representa el módulo y el ángulo en coordenadas polares cuando ω varía de 0 a ∞.
DIAGRAMA DE NICHOLS
Es un gráfico de la amplitud ( Módulo ) en decibel en función de la fase ( Angulo )
en coordenadas rectangulares con ω variable de 0 a ∞.
DIAGRAMAS DE BODE
a) Diagrama de Amplitud: representa la amplitud en decibel en función de
log ω (ó de ω) en coordenadas rectangulares ( ó semilogarítmicas )
con ω variable de 0 a ∞.
b) Diagrama de fase: representa la fase en grados en función de log (ω
ω) [ ó de ω ]
en coordenadas rectangulares (ó semilogarítmicas) con ω variable de 0 a ∞.
2
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DIAGRAMAS DE BODE
DIAGRAMA DE AMPLITUD →
DIAGRAMA DE FASE
→
F(j ω) dB vs. log ω
;
F( jω ) dB = 20 ⋅ log F( jω )
∠F(j ω) vs. log ω
ω).H(jω
ω)
FACTORES BÁSICOS DE G(jω
GANANCIA:
FACTOR DERIVATIVO:
K
(j ω)
1 
ω
 jω
FACTOR INTEGRAL:

ω
1 + j ⋅ ω 
1

er
FACTORES DE 1 ORDEN 
1

ω
1 + j ⋅ ω

1




FACTORES CUADRÁTICOS 




2
 ω
ω
 j ⋅  + 2⋅ ξ⋅ j
+1
ωn
 ωn 
1
2
 ω
ω
j⋅
 + 2⋅ ξ⋅ j
+1
ωn
 ωn 
Los productos en la expresión G(jω
ω).H(jω
ω) pasan a ser sumas,
porque se trabaja con logaritmos y ángulos
3
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FRECUENCIA DE CRUCE ( o de TRANSICIÓN ) DE GANANCIA ( ωcg )
frecuencia a la cual
G( jω ). H( jω ) = 1
(ó
0 dB )
FRECUENCIA DE CRUCE ( o de TRANSICIÓN ) DE FASE ( ωcf )
∠G(jω
ω).H(jω
ω) = - 180o
frecuencia a la cual
MARGEN DE FASE (γ)
es la cantidad de retardo de fase adicional necesaria a ωcg para que
el sistema quede al borde de la inestabilidad-estabilidad
γ = MF = 180 o + ∠G( jω ) ⋅ H( jω ) ω =ω
cg
MARGEN DE GANANCIA ( Kg )
es la cantidad de ganancia adicional (en dB) necesaria a ωcf para que
el sistema quede al borde de la inestabilidad-estabilidad
K g = MG =
Kg
dB
1
G( jω ) ⋅ H( jω )
(
ω = ω cf
= MG dB = − G( jω ) ⋅ H( jω ) dB
)
ω = ω cf
SISTEMA DE FASE MÍNIMA
sistema con todos los polos y ceros de G(s).H(s) en el S.P.I. de s
SISTEMA DE FASE NO-MÍNIMA
sistema en el cual G(s).H(s) tienen al menos un polo o cero en el S.P.D. de s
10
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15
ωc )
FRECUENCIA DE CORTE DEL SISTEMA (ω
frecuencia a la cual el valor de C R dB está a 3 dB por debajo
de su valor a frecuencia cero.
ANCHO DE BANDA DEL SISTEMA (AB)
AB = ωc - 0
EL ANCHO DE BANDA es inversamente proporcional al TIEMPO DE CRECIMIENTO
DIAGRAMA DE NICHOLS
ω).H(jω
ω) en función de la fase
gráfico de la amplitud en decibelios de G(jω
ω).H(jω
ω) en coordenadas rectangulares ( 0 ≤ ω ≤ ∞ ).
en grados de G(jω
CARTA DE NICHOLS
Lugares de C( jω ) R ( jω ) dB
o
constante y ∠ C ( jω ) R( jω ) ( ) constante
para los sistemas con H(s) = 1 en el plano
G ( jω ) ⋅ H ( jω ) dB − ∠G ( jω ) ⋅ H ( jω ) ( o ) .
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20
ω).H(jω
ω) )
DIAGRAMA DE NYQUIST ( ó DIAGRAMA POLAR DE G(jω
Representa el módulo y el ángulo de G(jω
ω).H(jω
ω) en coordenadas polares
cuando ω varía de 0 a ∞
w
0
0,6
0,78
1
1,25
1,5
2,25
3
4
∞
M
∞
1,42
1,00
0,69
0,49
0,35
0,165
0,090
0,047
0
K=1
Φ ( o)
-90
-128
-137
-146
-155
-163
-180
-193
-205
-270
G( s)H( s) =
K
s. ( s + 1). ( s / 5 + 1)
G ( jw )H ( jw ) =
K
jw . ( jw + 1). ( jw / 5 + 1)
M = G ( jw )H ( jw ) =
K
2
w . w 2 + 1. ( w / 5) + 1
φ = − 90 − tag −1 ( w ) − tag −1 ( w / 5 )
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K=1
w
M
Φ ( o)
0
∞
-90
0,6
1,42
-128
0,78
1,00
-137
1
0,69
-146
1,25
0,49
-155
1,5
0,35
-163
2,25
0,165
-180
3
0,090
-193
4
0,047
-205
∞
0
-270
21
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22
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23
CAMINO DE NYQUIST
Contorno que incluye el semi-plano derecho de s
TRANSFORMACIÓN CONFORME DEL CAMINO DE NYQUIST
DEL PLANO s EN EL PLANO G(s)H(s) [GH]].
PLANO s
PLANO [GH]
TRAMO I
s = ε ∠φ
lim G( s )H( s )
ε→ o
ε→0
; φ va desde − 90 a 90
en forma creciente
TRAMO II
s = jw
;
TRAMO III
s = r ∠φ
o
w va desde 0 + a + ∞
φ va desde − 90o a 90o
en forma creciente
Diagrama Polar de G(jw)H(jw)
lim
G( s )H( s )
r →∞
→∞
r→∞
TRAMO IV
s = jw
; φ va desde 90 a - 90
en forma de creciente
o
;
s = ε ∠φ
o
s= r ∠φ
o
w va desde − ∞ a 0 +
φ va desde 90o a - 90o
en forma de creciente
Diagrama Polar de G(-jw)H(-jw)
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CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST
Z=N+P
Z : cantidad de polos de C/R en el S.P.D. de s
N : cantidad de rodeos en sentido horario del punto ( - 1+ 0.j )
por el camino de Nyquist en el Plano GH
P : cantidad de polos de GH en el S.P.D. de s
Se dice que un punto está rodeado por un camino
cerrado, si se encuentra en su interior.
24
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TEMA No. 4
SÍNTESIS DE CONTROLADORES
1
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ACCIONES BÁSICAS DE CONTROL
ACCIÓN DE CONTROL
forma como el controlador automático produce la señal de control
Clasificación de los controladores industriales
analógicos de acuerdo a la acción de control
De dos posiciones ó intermitentes ( ON - OFF )
Proporcionales
Integrales
Proporcional - Integral
Proporcional - Derivativo
Proporcional - integral - derivativo
2
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3
ACCIÓN DE CONTROL DE DOS POSICIONES ( ON - OFF )
ACCIÓN DE CONTROL
PROPORCIONAL
ACCIÓN DE CONTROL
INTEGRAL
ACCIÓN DE CONTROL
PROPORCIONAL - INTEGRAL
ACCIÓN DE CONTROL
PROPORCIONAL - DERIVATIVO
ACCIÓN DE CONTROL
PROPORCIONAL
INTEGRAL
DERIVATIVO
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4
COMPENSADOR
dispositivo adicional que se inserta en el sistema para alterar el comportamiento
global de modo que el sistema funcione de la forma deseada.


COMPENSADORES DE ACUERDO A SU NATURALEZA 


MECANICOS
ELECTRICOS
HIDRAULICOS
NEUMATICOS
ETC.
 DE ADELANTO DE FASE
COMPENSACIÓN SERIE  DE ATRASO DE FASE
 DE ADELANTO - ATRASO DE FASE
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COMPENSACIÓN DE ADELANTO DE FASE
Red Eléctrica
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
s + 1T
Eo ( s )
=
= Gc ( s )
Ei ( s ) s + 1
α⋅T
T = R1 ⋅ C
α=
R2
⟨ 1
R1 + R2
(0o < φm < 90o)
φm =
senφ
ωm =
1− α
1+ α
1
T⋅ α
5
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PROCEDIMIENTO PARA DISEÑAR EL COMPENSADOR DE
ADELANTO DE FASE POR EL MÉTODO DE RESPUESTA DE
FRECUENCIA ( Diagrama de Bode ).
1)
Determinar K para satisfacer los requerimientos de coeficientes de error
2)
Usando la K así determinada, calcular el MF del sistema no compensado
(Utilizar el Diagrama de Bode)
3)
Determinar el ángulo ( φ ) de adelanto de fase necesario que debe ser
agregado al sistema para obtener el MF deseado.
4)
Determinar φm = φ + ϕ ( ϕ = 5o )
5)
Determinar α de la ecuación
6)
Determinar ωm como la frecuencia a la cual GH dB = 20 log α
7)
Determinar T de la ecuación ωm =
φm =
senφ
1− α
1+ α
1
T⋅ α
s + 1T
8) Determinar G c ( s ) =
s + 1α ⋅ T
9)
Se inserta un amplificador con ganancia igual a 1 α
ganancia del amplificador existente en un factor 1 α
ó
se incrementa la
10) Dibujar el Diagrama de Bode del sistema compensado. Comprobar que las
especificaciones dadas se cumplan, de lo contrario repetir los pasos 4 al 10,
con un valor diferente para ϕ , hasta lograr lo requerido.
11) Determinar los componentes de la Red eléctrica (R1 , R2 y C).
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COMPENSACIÓN DE ATRASO DE FASE
Red Eléctrica
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
(
)
s + 1T
Eo ( s ) 1
= ⋅
= Gc ( s )
Ei ( s ) β 

1
 s + β ⋅ T
T = R2 .C
β=
R1 + R2
⟩1
R2
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PROCEDIMIENTO PARA DISEÑAR EL COMPENSADOR DE
ATRASO DE FASE POR EL MÉTODO DE RESPUESTA DE
FRECUENCIA ( Diagrama de Bode )
1) Determinar K para satisfacer los requerimientos de coeficientes de error.
2) Usando la K así determinada, calcular el MF del sistema compensado.
3) Determinar ω c ' para el sistema compensado. Para ello se utiliza la siguiente
expresión:
∠GH ωC' = MFdeseado − 180 o + ϕ
;
5 o ≤ ϕ ≤ 12 o
4) Se determina T de la siguiente ecuación:
1/T = 0,5 ωc´
↓
ϕ = 12o
(
5) Determinar GH dB
6) Determinar β:
)
ω =ωc ′
ó
ωc´
1/T = 0,1ω
↓
ϕ = 5o
= M1
- 20 log (1 β) = M1
(
)
s + 1T
1
7) Determinar G c = ⋅
β 

1
 s + T ⋅ β
8) Comprobar que las especificaciones pedidas se cumplen, de lo contrario repetir
los pasos 3 al 8 con un valor diferente para ϕ hasta lograr lo requerido
9) Determinar los componentes de la Red eléctrica (R1 , R2 y C).
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CONTROLADORES CON AMPLIFICADORES OPERACIONALES
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