Tema 14: Variables aleatorias continuas

Análisis de Datos I
Esquema del Tema 14
Tema 14: Variables aleatorias continuas
1. DEFINICIÓN
2. FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD, f(x)
3. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN, F(x)
4. CARACTERÍSTICAS DE LAS VARIABLES CONTINUAS
Valor Esperado de X
Varianza de X
Covarianza y correlación de X e Y
__________________
Bibliografía: Tema 10 (pág. 265-283)
Carmen Ximénez
1
Análisis de Datos I
Esquema del Tema 14
1. DEFINICIÓN
Las variables aleatorias continuas “se definen sobre espacios muestrales infinitos y no
numerables”.
2. FUNCIÓN DE DENSIDAD, f (x)
Asocia valores de la variable X con ordenadas o alturas de la curva en cada punto.
Para que f (x) sea función de densidad de X ha de cumplirse (*)
1). f (x) ≥ 0
2).
∫
+∞
−∞
f ( x ) dx = 1
Gráficamente se representa mediante una curva. Por ejemplo:
f ( x i)
(*)
Nota: La función de densidad f(x) puede tomar
un valor > 1.
1
-∞
+∞
Xi
3. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN, F(x)
Función que asocia a cada valor de X la probabilidad de que ésta adopte “como mucho”
ese valor xi concreto.
Donde:
1). F ( x ) =
∫
xi
−∞
f ( x ) dx
Donde: P(a ≤ X ≤ b) =
∫
b
a
f ( x ) dx o bien [F(b) - F(a)] si b ≥ a
2). F(- ∞) = 0
3). F(+ ∞) = 1
Gráficamente resulta la siguiente función:
1 ,0
,9
,8
,7
F (x) ,6
,5
,4
,3
,2
,1
0
-∞
Carmen Ximénez
X
+∞
2
Análisis de Datos I
Esquema del Tema 14
4. CARACTERÍSTICAS DE LAS VARIABLES CONTINUAS
UNA VARIABLE:
Valor esperado:
Varianza:
E (X) =
+∞
∫− ∞
σ2 (X) = [ ∫
+∞
−∞
xi ⋅ f ( x ) dx
xi2 ⋅ f ( x) dx ] – [E(X)]2
DOS VARIABLES: La Covarianza, σ ( XY ) = E( XY ) - E( X ) ⋅ E(Y )
Donde, E( XY ) = ∫
∞
∫
∞
−∞ −∞
La Correlación,
ρ ( XY ) =
x i ⋅ y i ⋅ f ( x i , y i ) dx dy
σ ( XY )
σ ( X ) ⋅ σ (Y )
En las variables continuas se puede definir las propiedades y la condición de
independencia, de la misma forma que en las variables discretas
El trabajo aplicado con variables continuas
Consiste en hallar probabilidades. Las situaciones más comunes son las tres siguientes:
P(X ≤ a) :
P(X ≤ a) =
f (x)
∫
a
−∞
f ( x ) dx
P(X ≤ a) = F(a)
F(a)
a
X
P(X ≥ a) :
P(X ≥ a) =
F(a)
f(x)
∫
+∞
a
f ( x ) dx
P(X ≥ a) = 1 - F(a)
a
X
P(a ≤ X ≤ b) :
F(b)
P(a ≤ X ≤ b) =
f(x)
∫
b
a
f ( x ) dx
P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a)
F(a)
a
Carmen Ximénez
b
si b > a
X
3