Lógica Matemática

Matemáticas Discretas
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Lógica Matemática
Lógica Matemática
OBJETIVOS
Unidad
Tema
Subtema
Objetivos
II Lógica Matemática
2.1 Lógica Proposicional
2.2 Lógica de Predicados
2.3 Métodos de Demostración
El establecimiento de cualquier teoría o concepto se hace
mediante declaraciones y/o afirmaciones llamadas enunciados o
proposiciones que tienen un valor de verdad o falsedad pero no
ambos.
Conocer y manejar estas proposiciones es el objetivo de este tema.
Para ello se definen dos principales conceptos: proposición y
conectivo.
Conocer, entender y aplicar los conceptos de:
Lenguaje proposicional:
• Proposición primitiva
• Proposición compuesta
• Conectivo lógico:
o Conjunción
o Disyunción
o Implicación
o Bicondición
o Tautología
o Contradicción
o Contingencia
o Equivalencia lógica
En muchas ocasiones es necesario conocer si dos situaciones son
iguales o equivalentes.
En matemáticas necesitamos saber cuando dos entidades son
iguales o esencialmente lo mismo.
En la lógica matemática se conoce como el álgebra de las
proposiciones en donde por medio de equivalencias se establece
cuando dos proposiciones son esencialmente la misma
Es objetivo de este tema conocer las leyes de la lógica para poder
establecer equivalencias.
Conocer, entender y aprender las siguientes leyes de la lógica:
Semántica de lógica proposicional:
• Ley de la doble negación
• Leyes de Morgan
• Leyes Conmutativas
• Leyes asociativas
• Leyes distributivas
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2.1 Lógica proposicional
1
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Lógica Matemática
• Leyes idempotencia
• Leyes de neutro
• Leyes de dominación
• Leyes inversa
Leyes de absorción
Para analizar la demostración de teoremas dentro de las
matemáticas discretas se estudia el concepto de argumento y de
cuándo un argumento es válido.
Conocer, entender y aprender las reglas de inferencia de:
Implicación
Regla de Separación: Modus Ponens·
Método de negación: Modus Tollens·
Ley del silogismo:
Implicación lógica
Regla de conjunción
Regla de contradicción
Regla de amplificación
Métodos de demostración
Método del absurdo
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2.1 Lógica proposicional
2
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Lógica Matemática
2 Lógica matemática
INTRODUCCIÓN
Lógica es el estudio del razonamiento; se refiere específicamente a si el
razonamiento es correcto. La lógica se centra en la relación entre las afirmaciones y
no en el contenido de una afirmación en particular.
Los métodos lógicos se usan en matemáticas para demostrar teoremas y en
las ciencias de la computación, para probar que los programas ejecutan lo que
deben de hacer. [Johnsonbaugh, 1]
El lenguaje natural es un instrumento de comunicación humana, que se
caracteriza por su gran flexibilidad y puede estar lleno de redundancias y
ambigüedades. Estas características hacen que la lógica formal no esté interesada
en el lenguaje natural.
La lógica pretende ser una ciencia rigurosa y universal que permita realizar
cálculos exactos. Para ello, la lógica requiere el diseño de un lenguaje artificial que
sea formal, donde lo que importe sea la forma o aspecto externo, y no el significado
de las frases y donde sólo los mensajes que cumplan rigurosamente las normas
sintácticas sean aceptados como correctos.
La lógica se ocupa básicamente de declaraciones o enunciados que se
caracterizan porque sus afirmaciones tienen un valor de verdad. Esto es, la lógica
trata a las proposiciones que se pueden definir como enunciados simples, ya sean
falsos o verdaderos, son proposiciones.
La lógica formal es una ciencia que estudia el conocimiento que genera un
conocimiento y este conocimiento puede producirse de dos formas, por
constatación, de hechos o ideas o por deducción, a partir de un conocimiento se
obtiene otro conocimiento. Esto es, la lógica formal estudia la deducción o
razonamiento como proceso mental capaz de generar nuevos elementos de
conocimiento a partir de otros.
Finalmente, la lógica formal es una ciencia. Una ciencia formal. Es el estudio
del razonamiento formalmente válido, es la ciencia de la inferencia deductiva. La
principal aportación que la lógica hace a las ciencias está en la ordenación,
estructuración y análisis de las verdades conocidas. . [Arenas, 3]
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2.1 Lógica proposicional
3
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2.1 Lógica proposicional
2.1.1 Lenguaje formal de la lógica proposicional
(sintaxis)
El lenguaje formal de la lógica proposicional está formado por dos
elementos: proposiciones y conectivos.
Proposiciones
• Proposición o enunciado: oración declarativa que es verdadera o falsa pero no
ambas [Grimaldi, 51]
• Proposiciones, frases declarativas simples: son la mínima unidad del lenguaje
con contenido de información sobre la que es posible enunciarse con un
“verdadero” o con un “falso” como valor de verdad. [Arenas, 5]
Las proposiciones se representan con letras minúsculas a partir de la “ p ”: p, q,
r, s, t, u, v…
Las proposiciones pueden ser de tres tipos:
• Proposiciones de acción con sujeto no determinado:
o Hace calor
o Es jueves
• Proposiciones de atribución de propiedades a sujetos determinados:
o Alberto estudia ingeniería
o Beatriz vive en Cuernavaca
o Carlos nació en México
• Proposiciones de relación:
o Alberto es primo de Beatriz
o Cuernavaca es la capital del estado de Morelos
o Para ir a Monterrey por carretera se pasa por los estados de
Distrito Federal, Querétaro, Estado de México, Guanajuato, San
Luis Potosí y Coahuila.
No son proposiciones aquellas declaraciones de tipo interrogativo e
imperativo:
o ¿Habla usted inglés?
o Cierra la ventana
ƒ Por favor, apaga la luz
Las proposiciones son oraciones declarativas
Pueden ser
•
FALSAS:
VERDADERAS:
“F” o “0”
“V” o “1”
Valor de verdad
Proposición primitiva: no se puede descomponer [Grimaldi, 52].
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2.1 Lógica proposicional
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•
Conectivos: son los elementos del lenguaje que permiten construir frases
nuevas a partir de las existentes obteniendo nuevos significados. [Arenas, 5]
Conectivos
conectivo
Negación
Símbolo lógico
¬p
Conjunción
(“y”)
p∧q
Disyunción
(“0”)
p∨q
Condicional
implicación
p→q
Bicondicional
doble
implicación
•
p↔q
Expresión en
lenguaje natural
Ejemplos
Hoy no hace calor
No llegaré tarde
Eso no es verdad
No p
No ocurre que p
No es cierto que p
Es falso que p
y q
aunque q
pero q
sin embargo q
no obstante q
a pesar de q
Vamos al cine y a
cenar también
Luis trabaja aunque
estudia de noche
Llegué a tiempo no
obstante haber salido
tarde
p o q o ambos
O bien p o bien q
Al menos p o q
Como mínimo p o q
O vamos al cine o
vamos a cenar
O me saco un 7 o me
saco un 8
si p entonces q
sólo si q entonces p
p es suficiente para q
q es necesaria para p
No p a menos que q
Si saco 8 entonces mi
promedio aprobatorio
Si saco 8 en el parcial
tendré el promedio
aprobado
Para tener el promedio
aprobado debe de
sacar 8
p si y solo si q
necesario
p
suficiente para q
Voy de vacaciones si y
solo si apruebo todas
mis materias
p
p
p
p
p
p
y
Proposición compuesta: combinación de proposiciones por medio de conectivos
lógicos [Kolmar, 47].
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2.1 Lógica proposicional
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Equivalencia entre conectivos13:
1. Implicación – disyunción: p → q es equivalente a ¬ p ∨ q . Ejemplo: si
llueve entonces me mojo, es equivalente a decir, o no llueve o me mojo.
2. Implicación – conjunción: p → q es equivalente a ¬ ( p ∧ ¬ q ) . Ejemplo: si
llueve entonces me mojo, es equivalente a decir, no ocurre que llueva y no
me moje.
3. Disyunción – conjunción: ¬ p ∨ q es equivalente a ¬ ( p ∧ ¬ q ) .
4. Bicondicional – implicación: p ↔ q es equivalente a ( p → q ) ∧ (q → p )
Sintaxis
Definición formal del lenguaje proposicional
La definición formal de un lenguaje requiere la especificación de su alfabeto
y de sus reglas de sintaxis14.
1. Alfabeto: los símbolos que se utilizan son
a. Símbolos de proposiciones: p, q, r , s, t , u , v
b. Símbolos de conectivos: ¬, ∧, ∨, →, ↔
c. Símbolos de paréntesis: { [ ( ) ] }
2. Reglas de sintaxis:
1ª Las fórmulas bien construidas (fbc) del lenguaje proposicional
se definen de la siguiente manera:
a. Las letras p, q, r , s, t , u , v son fbc
b. Si p y q son fbc también lo son ¬ p y ¬ q
c. Sólo son fbc las que se obtienen de las definiciones anteriores
(a y b)
2ª Para la correcta relación entre proposiciones y conectivos las
fbc:
a. No deben aparecer dos conectivos adyacentes, excepto en la
negación.
b. Es preciso definir la relación conectivo-proposición cuando
hay más de un conectivo en la fórmula:
• Un conectivo pertenece a la proposición inmediata o al
conjunto de proposiciones encerradas en un paréntesis,
corchete o llaves.
• Para evitar exceso de paréntesis, se define una jerarquía de
prioridades entre conectivos:
o Nivel 1 : negación
o Nivel 2: conjunción y disyunción
o Nivel 3: implicación y bicondicional
13
14
En el tema demostración de equivalencias se demostrará las siguientes equivalencias
Sintaxis son las reglas que define cualquier lenguaje.
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2.1 Lógica proposicional
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2.1.2 Semántica de lógica proposicional
Un sistema de fórmulas y razonamientos válidos se construye a partir del
significado (verdadero o falso) de las proposiciones compuestas, esto es, a partir de
la forma de dar un valor al contenido de la información de cada proposición. Se
llama semántico15 al método de demostración de los valores del significado de una
proposición compuesta.
La forma en cada conectivo genera los valores de una proposición compuesta
es por medio de una tabla de verdad en donde se definen todas las combinaciones
posibles de los valores que pueden tener el conjunto de proposiciones simples que
hacen una proposición compuesta.
Cálculo proposicional
Tablas de verdad de conectivos
15
Semántica define el significado de los signos de un lenguaje.
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2.1 Lógica proposicional
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En resumen:
p
0
1
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p∧ q
0
0
0
1
¬ p
1
0
p∨ q
0
1
1
1
p∨ q
0
1
1
0
p→ q
1
1
0
1
p↔ q
1
0
0
1
Tautología, contradicción y contingencia
•
TAUTOLOGÍA T0 : Cuando una proposición compuesta es verdadera
para todos los valores de verdad.
• CONTRADICCIÓN Fo : Cuando una proposición compuesta es falsa para
todos los valores de verdad.
• CONTINGENCIA: Proposición que puede ser falsa o verdadera
dependiendo de los valores de verdad.
Ejemplos:
•
•
•
p → ( p ∨ q)
p q
p∨q
p → ( p ∨ q)
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
p ∧ (¬ p ∧ q )
p
q
¬ p
¬ p∧q
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
p ∨ ( p ∧ ¬q )
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
¬ q
( p ∧ ¬q )
1
0
1
0
0
0
1
0
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Tautología
p ∧ (¬ p ∧ q )
0
0
0
0
p ∨ ( p ∧ ¬q )
0
0
1
1
2.1 Lógica proposicional
Contradicción
Contingencia
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Equivalencias lógicas
Proposición equivalente: Cuando todos los valores son siempre verdadero o
falso.
Ejemplo: p → q ⇔ ¬ p ∨ q
p
0
0
1
1
¬ p
1
1
0
0
q
0
1
0
1
p→q
1
1
0
1
¬ p ∨ q
1
1
0
1
equivalentes
p↔q ⇔
( p → q)
∧
( q → p)
p
q
p→q
q→ p
( p → q ) ∧ (q → p )
p↔q
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
equivalentes
Dos proposiciones S1 y S2 son lógicamente equivalentes (se escribe S1 ⇔ S2 )
cuando la proposición S1 es verdadera (respectivamente falsa) si y solo si la
proposición S2 es verdadera (respectivamente falsa).
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2.1 Lógica proposicional
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Leyes de la lógica
1
2
3
4
5
6
¬
(
¬ p) ⇔ p
∨ q) ⇔ ¬ p ∧ ¬ q
∧ q) ⇔ ¬ p ∨ ¬ q
p ∧ q ⇔q ∧p
p ∨ q ⇔q ∨p
p ∧ ( q ∧ r ) ⇔ ( p ∧q)∧r
p ∨ ( q ∨ r ) ⇔ ( p ∨q)∨r
p ∨ ( q ∧ r ) ⇔ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r)
p ∧ ( q ∨ r ) ⇔ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r)
p ∨ p⇔ p
p ∧ p⇔ p
¬
¬
(p
(p
p ∨ F0 ⇔ p
7
9
10
11
12
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p ∨ ¬ p ⇔ T0
p ∧ ¬ p ⇔ F0
(
(
p ∧ q
p ∨ q
)⇔
)⇔
Leyes conmutativas
Leyes asociativas
Leyes distributivas
Leyes ídem
potentes
Leyes de
dominación
p ∧ F0 ⇔ F0
p ∨
p ∧
Leyes de Morgan
Leyes de neutro
p ∧ T0 ⇔ p
p ∨ T0 ⇔ T0
8
Ley de la doble
negación
Leyes inversa
p
p
Leyes de absorción
p→q ⇔ ¬ p ∨ q
p ↔ q ⇔ ( p → q) ∧ ( q → p)
2.1 Lógica proposicional
10
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Reglas de sustitución
1) Si P (una proposición compuesta) es una tautología y p (una proposición
primitiva) aparece en P. Si p se reemplaza por otra proposición q y resulta P1
entonces P1 también es una tautología.
Ejemplo:
P: p → q ↔ ¬ p ∨ q es una tautología
Reemplazar p por r ∧ s
P1 :
[ (r ∧ s )
→ q] ↔ ¬
[ (r ∧ s )
∨ q ] también es una tautología
2) Sea P una proposición compuesta donde p es una proposición arbitraria que
aparece en P, y sea q una proposición tal que q ⇔ p. Si se reemplaza p por q
resulta la proposición P1 . Entonces P1 ⇔ P.
Ejemplo:
P: ( p ∧ F0 ) ↔ F0
Si p se reemplaza por (q ∨ r ) → s
P1: [ [ (q ∨ r ) → s ] ∧ F0 ] ↔ F0
Aplicación:
[ (r → s ) ∧ [ (r → s ) → (¬ t ∨ u ) ] ] → (¬ t ∨ u )
si p ⇔ r → s
y q ⇔ ¬t∨u
[ p ∧ ( p → q) ] → q
p q
0
0
1
1
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0
1
0
1
p→q
1
1
0
1
p ∧ ( p → q)
0
0
0
1
[
p ∧ ( p → q) ] → q
1
1
1
1
2.1 Lógica proposicional
11
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Lógica Matemática
NAND (↑)
Otras equivalencias
(p ↑ q)
⇔ ¬ ( p ∧ q)
se lee como: “p nand q”.
Tabla de verdad
NOR (↓)
p
q
NAND
p∧ q
0
0
1
0
1
0
0
0
0
(p ↓ q)
p↑ q
1
1
1
⇔ ¬ ( p ∨ q)
se lee como: “p nor q”.
Tabla de verdad
Ngj/v2008
p
q
NOR
p∨ q
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
p↓ q
1
0
0
0
2.1 Lógica proposicional
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