1 Ley de Newton de cambio de temperaturas. E: A las 13:00 horas

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Ley de Newton de cambio de temperaturas.
E: A las 13:00 horas un termómetro que indica 10 ı F se retira de un congelador y se coloca en
un cuarto cuya temperatura es de 66 ı F. A las 13:05, el termómetro indica 25 ı F. Más tarde, el
termómetro se coloca nuevamente en el congelador. A las 13:30 el termómetro da una lectura
de 32 ı F. ¿Cuándo se regresó el termómetro al congelador?; ¿cuál era la lectura del termómetro
en ese momento?
D: H La temperatura T .t/, en ı F, que marca el termómetro t minutos después de haberse sacado
del congelador, está dada por la solución del PVI:
T 0 D kŒT .t/
66; con T .0/ D 10 y además T .5/ D 25:
Resolvamos la ED.
dT
D k.T
dt
Z
Z
dT
dT
66/ )
D k dt )
Dk
dt )
T 66
T 66
) ln j T 66 j D k t C C ) j T 66 j D e ktCC D e kt e C D e kt C )
[Observe que T < 66, entonces j T
)
.T
66 j D
.T
66/ D C e kt ) T
66/].
66 D
C e kt ) T .t/ D 66
C e kt :
Hemos encontrado la solución general de la ED. Considerando que
C e 0 D 10 ) C D 56 ) T .t/ D 66 56e kt I
25 66
41
T .5/ D 25 ) 66 56e 5k D 25 ) e 5k D
D
)
56
56
1
41
41
) k D ln
D 0:06236 )
) 5k D ln
5
56
56
) T .t/ D 66 56e .0:06236/t :
T .0/ D 10 ) 66
Lo último es la temperatura marcada por el termómetro cuando se encuentra fuera del congelador y en el minuto t. Ahora si t2 es el instante en el que el termómetro es colocado de nuevo
en el congelador, entonces la lectura en el termómetro en este instante es
T2 D T .t2 / D 66
56e
.0:06236/t2
:
A partir del instante t2 , la lectura T .t/ que marca el termómetro está dada por la solución del
PVI:
0
T .t/ D kŒT .t/ 10; con T .0/ D T2 y además T .30 t2 / D 32:
La solución general de esta ED es T .t/ D 10 C C e kt . Usando las condiciones anteriores:
T .0/ D T2 ) 10 C C e 0 D T2 ) C D T2
T .30
t2 / D 32 ) 10 C .T2
4. canek.azc.uam.mx: 29/ 11/ 2010
10/e k.30
t2 /
10 ) T .t/ D 10 C .T2
D 32 ) .T2
10/e k.30
t2 /
10/e kt I
D 22:
2
En esta última ecuación se sustituye T2 D 66
Œ.66
56e kt2 /
10e k.30
t2 /
D 22 ) 56.1 e kt2 /e 30k e kt2 D 22 )
22
11
.1 e kt2 /e kt2 D
) .e kt2 1/ D e 30k )
30k
56e
28
11
11
kt2
30k
30k
e
D1C e
) k t2 D ln 1 C e
)
28
28
1
11 30k
t2 D
ln 1 C e
; con k D 0:06236 )
k
28
1
1
11 1:87
t2 D
ln 1 C e
D
ln.3:549/ D 20:31 :
0:06236
0:06236
28
D 22 ) .56
)
)
)
)
56e kt2 y se obtiene:
56e kt2 /e 30k
kt2
Luego t2 D 20:31 min o bien t2 D 20 min, 19 s y la temperatura marcada por el termómetro es
T2 D 66
56e kt2 D 66
56e
.0:06236/.20:31/
D 50:22 ı F: