11 - MSc. Ing. Julio Rito Vargas Avilés

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
UN-NORTE SEDE-ESTELI
Asignatura:
Investigación de Operaciones I
Problemas de PL con varias variables
Análisis de Sensibilidad
M.C. Ing. Julio Rito Vargas Avilés
1
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
1. Ken & Larry Inc. surte su helado a los expendios en
cuatro sabores: chocolate, vainilla, chicle y banano.
Debido al calor extremo y la alta demanda, la compañía
tiene un déficit en el abastecimiento de los ingredientes:
leche, azúcar y crema .
Esto no le permite satisfacer todas las órdenes
recibidas de sus expendios. Por estas circunstancias, la
compañía a decidido seleccionar la cantidad que debe
producir de cada sabor para maximizar la ganancia total,
dadas las restricciones en las cantidades de ingredientes
básicos.
2
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Sujeto a:
• La compañía tiene solo 220 galones de leche, 170
libras de azúcar y 70 galones de crema. (por mes)
• Un galón de helado de chocolate consume: 0.45 galón
de leche, 0.5 libra de azúcar y 0.10 galón de crema.
• Un galón de helado de Vainilla consume: 0.5 galón
de leche, 0.4 libra de azúcar y 0.15 galón de crema.
• Un galón de helado de banano consume: 0.4 galón de
leche, 0.4 libra de azúcar y 0.2 galón de crema.
• Un galón de helado de chicle consume: 0.4 galón de
leche, 0.4 libra de azúcar y 0.3 galón de crema.
3
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Sujeto a:
• La compañía para mantener su mercado cautivo de
sabores a decidido también producir al menos 30
galones de helados de cada uno de los cuatro sabores.
• Los sabores de chocolate, vainilla, banano y chicle
generan ganancias respectivas de $1.10, $1.0, $0.9,
y $.95 por galón.
170 lbs
220 gls
70 gls
4
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Variables de decisión
X1 = Números de Galones de helados de chocolate
X2 = Números de Galones de helados de vainilla
X3 = Números de Galones de helados de plátano
X4= Números de Galones de helados de chicle
5
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Función objetivo
Max. Z = 1.1 X1 + 1.0 X2 + 0.90X3 + 0.95X4
$ = ($/galón de chocolate) x (Número galones chocolate)
+ ($/galón de vainilla) x (Número galones vainilla)
+ ($/galón de plátano) x (Número galones plátano)
+ ($/galón de chicle) x (Número galones chicle)
6
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Restricción de producción(leche)
0.45X1 es el total de galones de leche que se requieren para
producir X1 galones de chocolates
0.5X2 es el total de galones de leche que se requieren para
producir X2 galones de vainilla
0.4X3es el total de galones de leche que se requieren para
producir X3 galones de banano
0.4X4 es el total de galones de leche que se requieren para
producir X4 galones de chicle
0.45X1 + 0.5X2 + 0.4X3 + 0.4X4  220
7
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Restricción de producción(azúcar)
0.5X1 es el total de libras de azúcar que se requieren para
producir X1 galones de chocolates
0.4X2 es el total de libras de azúcar que se requieren para
producir X2 galones de vainilla
0.4X3es el total de libras de azúcar que se requieren para
producir X3 galones de banano
0.4X4 es el total de libras de azúcar que se requieren para
producir X4 galones de chicle
0.5X1 + 0.4X2 + 0.4X3 + 0.4X4  170
8
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Restricción de producción(crema)
0.1X1 es el total de galones de crema que se requieren para
producir X1 galones de chocolates
0.15X2 es el total de galones de crema que se requieren para
producir X2 galones de vainilla
0.2X3es el total de galones de crema que se requieren para
producir X3 galones de banano
0.3X4 es el total de galones de crema que se requieren para
producir X4 galones de chicle
0.1X1 + 0.15X2 + 0.2X3 + 0.3X4  70
9
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Compromisos de demanda
X1 galones de chocolate  30 galones
X2 galones de vainilla  30 galones
X3 galones de Banano  30 galones
X4 galones de chicles  30 galones
10
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Max. Z = 1.1 X1 + 1.0 X2 + 0.90X3 + 0.95X4
Sujeto a:
0.45X1 + 0.5X2 + 0.4X3 + 0.4X4  220
0.5X1 + 0.4X2 + 0.4X3 + 0.4X4  170
0.1X1 + 0.15X2 + 0.2X3 + 0.3X4  70
X1
 30
X2
 30
X3
 30
X4
 30
No se necesitan las condiciones de no negatividad puesto que existen restricciones de
demanda mayores que cero para todas las variables de decisión.
11
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Coeficiente del modelo matemático
SIGUE
12
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Solución
SIGUE
13
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
PREGUNTAS ADICIONALES
 Suponga que la ganancia por galón de banano
es $1.00 ¿cambia la solución óptima y que se
puede decir de la ganancia total?
-Cambia la ganancia
total
Cambia la solución
óptima.
14
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
PREGUNTAS ADICIONALES
 Suponga que la ganancia por galón de banano
es $0.92 ¿cambia la solución óptima y que se
puede decir de la ganancia total?
-Cambia levemente la
ganancia total
No cambia la solución
óptima
Se podría decir que no
hay cambios relevantes
en la optimización.
15
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
PREGUNTAS ADICIONALES
 Suponga que descubren tres galones de
crema agrio que tienen que tirarse ¿cambia
la solución óptima y que se puede decir de
la ganancia total?
Se podría decir que no hay
cambios en la optimización
ni en la ganancia, eran
sobrantes.
16
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
PREGUNTAS ADICIONALES
 Suponga que tienen la oportunidad de
comprar 15 libras adicionales de azúcar por
un costo total de $15.00¿Deben comprarlas
? explique
Con 15 libras de azúcar adicionales
17
Problema de Programación Lineal
PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN
“TRASLADO DE GRAVA A PROYECTOS DE
CONSTRUCCIÓN”
18
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
2. Constructora. ¿Qué cantidad de grava enviar
de cada distribuidor(tres) a cada proyecto(tres)
con el objeto de minimizar
los costos totales?
Sujeto a:
• No enviar más de; 150 tons. del distribuidor 1;
175 tons. del distribuidor 2 y 275 tons. del
distribuidor 3.
• Enviar 200 tons. al proyecto 1; 100 tons. al
proyecto 2 y 300 tons. al proyecto 3.
19
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
• Los costos de envío del distribuidor i al proyecto j
son los siguientes:
• Costo del distribuidor 1 al proyecto 1, C11=$6
• Costo del distribuidor 1 al proyecto 2, C12=$8
• Costo del distribuidor 1 al proyecto 3, C13=$10
• Costo del distribuidor 2 al proyecto 1, C21 =$7
• Costo del distribuidor 2 al proyecto 2, C22=$11
• Costo del distribuidor 2 al proyecto 3, C23=$11
• Costo del distribuidor 3 al proyecto 1, C31 =$4
• Costo del distribuidor 3 al proyecto 2, C32=$5
• Costo del distribuidor 3 al proyecto 3, C33=$12
20
Costos de Envío
Costos de Envío (por tonelada)
Proyecto 1
Proyecto 2
Proyecto 3
Distribuidor 1
6
8
10
Distribuidor 2
7
11
11
Distribuidor 3
4
5
12
Cuánto enviar a cada proyecto?
Proyecto 1
Proyecto 2
Proyecto 3
Distribuidor 1
X11
X12
X13
Distribuidor 2
X21
X22
X23
Distribuidor 3
X31
X32
X33
21
Formulación de la Función Objetivo
Variables de decisión
XIJ = Número de toneladas a enviar del
distribuidor “I” al proyecto “J”.
X11 = Número de toneladas a enviar del
distribuidor “1” al proyecto “1”.
Función objetivo
Min. Z = 6X11 + 8X12 + 10X13 + 7X21 + 11X22
+ 11X23 + 4X31 + 5X32 + 12X33
22
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Restricciones de disponibilidad
X11 + X12 + X13  150
X21 + X22 + X23  175
X31 + X32 + X33  275
Restricciones de requerimientos
X11 + X21 + X31 = 200
X12 + X22 + X32 = 100
X13 + X23 + X33 = 300
23
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Min. Z = 6X11 + 8X12 + 10X13 + 7X21 + 11X22
+ 11X23 + 4X31 + 5X32 + 12X33
Sujeto a: X11 + X12 + X13  150
X21 + X22 + X23  175
X31 + X32 + X33  275
X11 + X21 + X31 = 200
X12 + X22 + X32 = 100
X13 + X23 + X33 = 300
X11, X12, X13 .... X33  0
24
INGRESO DE LOS COEFICIENTES DEL MODELO
MATEMATICO EN EL WINDQSB
25
Solución
26
Solución
27
Red de Distribución
28
Cuánto se envió a cada proyecto y
de que distribuidor?
Proyecto 1 Proyecto 2
Proyecto 3
Oferta
Distribuidor 1
0
0
150
150
Distribuidor 2
25
0
150
175
Distribuidor 3
175
100
0
275
Demanda
200
100
300
600
Proyecto 1
Proyecto 2
Proyecto 3
Distribuidor 1
6
8
10
Distribuidor 2
7
11
11
Distribuidor 3
4
5
12
29
Programación Lineal: Formulación
3. Mezcla de minerales. ¿Qué porcentaje de la
composición del nuevo producto provendrá de
cada una de las cuatro minas con
el objeto de minimizar su costo.
Sujeto a:
• El contenido del elemento básico “A” en el nuevo
producto no sea menor de 5 lb’s/ton.
• El contenido del elemento básico “B” en el nuevo
producto no sea menor de 100 lb’s/ton.
• El contenido del elemento básico “C” en el nuevo
producto no sea menor de 30 lb’s/ton.
30
Programación Lineal: Formulación
Variables de decisión
X1 = porcentaje que provendrá de la mina 1
X2 = porcentaje que provendrá de la mina 2
X3 = porcentaje que provendrá de la mina 3
X4 = porcentaje que provendrá de la mina 4
31
Programación Lineal: Formulación
Función objetivo
Min. Z = C1 X1 + C2 X2 + C3 X3 + C4 X4
$ = ($/ton. mina 1) x (% de la mina 1)
+ ($/ton. mina 2) x (% de la mina 2)
+ ($/ton. mina 3) x (% de la mina 3)
+ ($/ton. mina 4) x (% de la mina 4)
Min. Z = 800X1 + 400X2 + 600X3 + 500X4
32
Programación Lineal: Formulación
Restricción de elemento básico A
10X1 + 3X2 + 8X3 + 2X4  5
Restricción de elemento básico B
90X1 + 150X2 + 75X3 + 175X4  100
Restricción de elemento básico C
45X1 + 25X2 + 20X3 + 37X4  30
33
Programación Lineal: Formulación
Min. Z = 800X1 + 400X2 + 600X3 + 500X4
Sujeto a: 10X1 +
3X2 + 8X3 +
2X4 
5
90X1 + 150X2 + 75X3 + 175X4  100
45X1 + 25X2 + 20X3 + 37X4  30
X1 +
X 2 + X3 +
X4 =
1
X1, X2, X3, X4  0
34
INGRESO DE COEFICIENTES Y LADO DERECHO EN
WINQSB
35
SOLUCIÓN DEL MODELO LINEAL (EN WINQSB)
36
Programación Lineal: Formulación
4. Orsini. Fabrica tres tipos de zapatos.
¿Qué cantidad de cada estilo debe fabricar
durante el mes con el objeto de
maximizar las utilidades?
Sujeto a:
• No deben asignarse más de 1,200 horas de
tiempo de producción.
• Todos los costos de producción, de materiales
y costos fijos deben cubrirse con el efectivo
disponible durante el mes que es de $16,560.
• Satisfacer ciertos compromisos de demanda:
30 estilo 1, 55 estilo 2 y 32 estilo 3.
37
Programación Lineal: Formulación
Variables de decisión
X1 = Número de pares de zapatos estilo 1 que deben
fabricarse durante el mes.
X2 = Número de pares de zapatos estilo 2 que deben
fabricarse durante el mes.
X3 = Número de pares de zapatos estilo 3 que deben
fabricarse durante el mes.
38
Programación Lineal: Formulación
Función objetivo
Max. Z = C1 X1 + C2 X2 + C3 X3
$ = ($/par de zap. estilo 1) x (pares de zap. estilo 1)
+ ($/par de zap. estilo 2) x (pares de zap. estilo 2)
+ ($/par de zap. estilo 3) x (pares de zap. estilo 3)
Cálculo de C1
(3.5 horas/par) x ($10/hora) = $35/par
(3.25 U. piel/par) x ($4/U. piel) = $13/par
$48/par
39
Programación Lineal: Formulación
C1 = $60/par - $48/par = $12/par de zap. estilo 1
de forma similar,
C2 = $64/par - $43/par = $21/par de zap. estilo 2
C3 = $50/par - $28/par = $22/par de zap. estilo 3
Max. Z = 12X1 + 21X2 +22X3
40
Programación Lineal: Formulación
Restricción de producción
3.5X1 es el total de horas que se requieren para
fabricar el estilo 1
2.5X2 es el total de horas que se requieren para
fabricar el estilo 2
2.0X3 es el total de horas que se requieren para
fabricar el estilo 3
3.5X1 + 2.5X2 + 2.0X3  1,200
41
Programación Lineal: Formulación
Restricción de efectivo
Costo fijo = $3,000
Existen disponibles $16,560 - $3,000 = $13,560
para cubrir los costos variables.
48X1 + 43X2 + 28X3  13,560
Compromisos de demanda
X1 pares de zap. estilo 1  30 pares de zap. estilo 1
X2 pares de zap. estilo 2  55 pares de zap. estilo 2
X3 pares de zap. estilo 3  32 pares de zap. estilo 342
Programación Lineal: Formulación
Max. Z = 12X1 + 21X2 +22X3
Sujeto a:
3.5X1 + 2.5X2 + 2.0X3  1,200
48X1 + 43X2 + 28X3  13,560
X1
 30
X2
 55
X3  32
No se necesitan las condiciones de no negatividad
puesto que existen restricciones de demanda
para todas las variables.
43
Solución
44