Problemas de Probabilidad Soluciones

Problemas de Probabilidad
Soluciones
1. En una carrera participan los caballos A, B, C y D. Se estima que la probabilidad de que gane A es
el doble de la probabilidad de que gane cada uno de los otros tres. Hallar la probabilidad de que gane
B o C.
Solución Llamamos A al suceso “ganar el caballo A” , etc. Sabemos que son sucesos incompatibles
y que además
P (A) =




P (A)
= 2P (B)
P (A) − 2P (B)
=0






P (A)

P (B) =
= 2P (C)
P (A) − 2P (C)
=0
=⇒
=⇒


P (A)
= 2P (D)
P (A) − 2P (D)
=0




P (C) =


P (A) + P (B) + P (C) + P (D) = 1
P (A) + P (B) + P (C) + P (D) = 1
P (D) =
Ası́,
P (B ∪ C) = P (B) + P (C) =
1 1
2
+ =
.
5 5
5
2. Se sabe que el 50 % de los alumnos estudia francés, el 40 % inglés y el 10 % francés e inglés. Se elige
un alumno al azar. Hallar la probabilidad de que no estudie ninguno de los dos idiomas.
Solución
Llamamos
F ≡ “Estudiar francés”
I ≡ “Estudiar inglés”
Y ası́, los datos son:
P (F ) = 0, 5
P (I) = 0, 4
P (F ∩ I) = 0, 1
Entonces
P (F ∩ I) = P (F ∪ I) = 1 − P (F ∪ I) = 1 − (P (F ) + P (I) − P (F ∩ I)) = 1 − (0, 5 + 0, 4 − 0, 1) = 0, 2 .
3. En una bolsa hay 3 bolas blancas, 4 negras y 2 rojas. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola
blanca o negra?
Solución
Llamamos B a sacar bola blanca, etc. Ası́
P (B ∪ N ) = P (B) + P (N ) =
1
3 4
7
+ =
.
9 9
9
2
5
1
5
1
5
1
5
4. De una baraja de cuarenta naipes se extraen sucesivamente tres cartas. Calcular la probabilidad de
obtener tres reyes
a) suponiendo que cada vez que se extrae una carta, éste se devuelve a la baraja (extracción con
reemplazamiento);
b) suponiendo que no se devuelvan las cartas a la baraja (extracción sin reemplazamiento).
Solución Llamamos Ri a sacar rey en la i–ésima extracción.
a) Si hay reemplazamiento,
4 4 4
P (R1 ∩ R2 ∩ R3 ) =
=
40 40 40
4
40
3
=
1
.
1000
b) Si no hay reemplazamiento,
P (R1 ∩ R2 ∩ R3 ) =
4 3 2
3
=
.
40 39 38
9310
5. El 20 % de los hombres que fuman tiran las colillas al suelo. Sólo un 5 % de las mujeres que fuman
cometen esa incorrección. En una reunión, en la que hay 5 fumadores y 10 fumadoras, aparece una
colilla en el suelo. ¿Cuál es la probabilidad de que la haya tirado una mujer?
Solución
Llamamos M a ser mujer y S a tirar las colillas al suelo, ası́
P (M | S) =
0, 05 · 10
P (S | M )P (M )
P (S | M )P (M )
15
=
=
P (S)
0, 05 · 10
+
0,
2·
P (S | M )P (M ) + P (S | M )P (M )
15
5
15
=
1
.
3
9
6. Se estima que después de un dı́a bueno hace bueno al dı́a siguiente con probabilidad 10
y que después
1
de un dı́a malo, hace bueno con probabilidad 4 . Sabiendo que hoy jueves hace malo, ¿cuál es la
probabilidad de que el próximo sábado haga bueno? Llamamos SB a que el sábado haga bueno y VB
a que el sábado haga bueno, tenemos
P (SB ) = P (SB | VB )P (VB ) + P (SB | VB )P (VB ) =
9 1 13
33
+
=
.
10 4 4 4
80
7. Una caja contiene tres monedas con una cara en cada lado, cuatro monedas con una cruz en cada
lado y dos monedas legales. Si se selecciona al azar una de estas nueve monedas y se lanza una vez,
¿cuál es la probabilidad de obtener una cara? Si se ha obtenido cara, ¿cuál es la probabilidad de que
la moneda sea legal?
Solución
Nombramos los sucesos como sigue:
C ≡ “Sacar cara”
+ ≡ “Sacar cruz”
2C ≡ “Elegir una moneda de dos caras”
2+ ≡ “Elegir una moneda de dos cruces”
L ≡ “Elegir una moneda legal”
Ası́, la respuesta a la primera pregunta será
P (C) = P (C | 2C)P (2C) + P (C | 2+)P (2+) + P (C | L)P (L) = 1 ·
2
3
4 12
4
+0· +
=
.
9
9 29
9
Y la respuesta a la segunda,
P (L | C) =
P (C | L)P (L)
=
P (C)
12
29
4
9
=
1
.
4
8. Los porcentajes de votantes clasificados como liberales en tres distritos electorales disitntos se reparten
como sigue: En el primer distrito, 21 %; en el segundo distrito, 45 %, y en el tercero, 75 %. Si un distrito
se selecciona al azar y un votante del mismo se selecciona aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de
que sea liberal?
Solución
Nombramos los sucesos
I ≡ “Pertenecer al primer distrito”
II ≡ “Pertenecer al segundo distrito”
III ≡ “Pertenecer al tercer distrito”
L ≡ “Ser liberal”
Ası́,
P (L) = P (L | I)P (I) + P (L | II)P (II) + P (L | III)P (III) = 0, 21 ·
1
47
1
1
.
+ 0, 45 · + 0, 75 · =
3
3
3
100
9. Se ha descubierto una prueba para detectar un tipo particular de cáncer. Si se aplica la prueba a
una persona que no padece este tipo de cáncer, la probabilidad de que esa persona presente una
reacción positiva es de 0, 05. Supóngase que en la población global, una persona de cada 100 000 tiene
este tipo de cáncer. Si una persona seleccionada al azar presenta una reacción positiva a la prueba,
¿qué probabilidad hay de que padezca este tipo de cáncer?
Solución
Definimos los sucesos
C ≡ “Padecer el tipo de cáncer”
P ≡ “Dar positivo en el test”
Ası́
P (C | P ) =
P (P | C)P (C)
P (P | C)P (C)
=
=
P (P )
1·
P (P | C)P (C) + P (P | C)P (C)
1
1 · 100000
1
100000 + 0, 05 ·
99999
100000
=
20
.
100019
10. En una ciudad determinada, el 30 % de las personas son conservadores, el 50 % son liberales y el resto
son independientes. Los registros muestran que en unas elecciones concretas votaron el 65 % de los
conservadores, el 82 % de los liberales y el 50 % de los independientes. Si se selecciona al azar una
persona de la ciudad y se sabe que no votó en las elecciones pasadas, ¿cuál es la probabilidad de que
sea liberal?
Solución
Definimos los sucesos
C ≡ “Ser conservador”
L ≡ “Ser liberal”
I ≡ “Ser independiente”
V ≡ “Haber votado en las pasadas elecciones”
Tenemos entonces
P (L | V ) =
=
P (V | L)P (L)
P (V | L)P (L)
=
=
P (V )
P (V | L)P (L) + P (V | C)P (C) + P (V | I)P (I)
0, 18 · 0, 5
18
=
.
0, 18 · 0, 5 + 0, 35 · 0, 3 + 0, 5 · 0, 2
59
3
11. En una fábrica de tornillos, las máquinas A, B y C producen respectivamente el 30 %, 45 % y 25 % del
total. Analizada la producción, se sabe que el 1 %, 4 % y 3 % de los fabricados por las máquinas A, B
y C respectivamente, son tornillos defectuosos. Se toma al azar un tornillo. ¿Cuál es la probabilidad
de que sea defectuoso? Si ha resultado defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producido
por la máquina C?
Solución
Definimos los siguientes sucesos:
A ≡ “Ser un tornillo producido por la máquina A”
B ≡ “Ser un tornillo producido por la máquina B”
C ≡ “Ser un tornillo producido por la máquina C”
D ≡ “Ser un tornillo defectuoso”
Entonces tenemos
P (C | D) =
=
P (D | C)P (C)
P (D | C)P (C)
=
=
P (D)
P (D | C)P (C) + P (D | A)P (A) + P (D | B)P (B)
0, 03 · 0, 25
5
=
.
0, 03 · 0, 25 + 0, 01 · 0, 3 + 0, 04 · 0, 45
19
12. En una universidad en la que sólo se estudia Ciencias o Letras, hay 2000 estudiantes, de los cuales 500
son ingleses, 800 franceses, 400 alemanes y 300 españoles. Sabiendo que los estudiantes de Letras son
100 ingleses, 500 franceses, 150 alemanes y 200 españoles, si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que
a) estudie Ciencias?
b) sea frances, suponiendo que estudia Ciencias?
Definimos los siguientes sucesos:
A ≡ “Ser alemán”
I ≡ “Ser inglés”
F ≡ “Ser francés”
S ≡ “Ser español”
L ≡ “Estudiar letras”
a) Como estudiar Ciencias es el suceso contrario de estudiar Letras, tenemos
P (L) = 1 − P (L) = 1 −
100 + 500 + 150 + 200
21
=
.
2000
40
b) Tenemos
P (F | L) =
P (L | F )P (F )
=
P (L)
300 800
800 2000
21
40
=
5
.
7
13. El proceso de fabricación de cierto aparato consta de dos partes, A y B. La probabilidad de que surja
un defecto en la parte A es de 0,04 y la probabilidad de que surja un defecto el la parte B es de 0,01.
¿Cuál es la probabilidad de que el aparato no sea defectuoso?
Solución
Definimos los sucesos
A ≡ “Surgir un error en la parte A”
B ≡ “Surgir un error en la parte B”
4
Notemos que estos dos sucesos son independientes, luego sus complementarios también lo son (vale la
pena comprobarlo), entonces
P (A ∩ B) = P (A)P (B) = 0, 96 · 0, 99 =
594
.
625
14. La probabilidad de que un alumno, elegido al azar de cierta clase, apruebe Matemáticas y Lengua es
0,6. La probabilidad de que apruebe Lengua es 0,75 y la de que no apruebe Matemáticas es 0,2.
a) ¿Son los sucesos “Aprobar Lengua” y “Aprobar Matemáticas” independientes?
b) Calcula la probabilidad de que apruebe Matemáticas suponiendo que aprobó Lengua.
Solución
Llamamos L al suceso aprobar Lengua y M al suceso aprobar Matemáticas, entonces
a) P (L)P (M ) = 0, 75 · 0, 8 = 0, 6 = P (L ∩ M ) =⇒ Sı́ son independientes.
b) Puesto que los sucesos son independientes,
P (M | L) = P (M ) = 0, 8 .
15. En un colectivo en el que hay el mismo número de hombres que de mujeres, se sabe que el 5 % de
los hombres y 20 de cada 10 000 mujeres son daltónicos. Se elige una persona al azar y resulta ser
daltónica. Calcula la probabilidad de que dicha persona sea hombre.
Solución
Definimos los sucesos M ser mujer y D ser daltónico, entonces
P (M | D) =
0, 05 · 21
25
P (D | M )P (M )
=
1
20 1 = 26 .
0, 05 · 2 + 10000 2
P (D | M )P (M ) + P (D | M )P (M )
16. Determina si son independientes o dependientes, y compatibles o incompatibles los sucesos A y B que
cumplen las condiciones siguientes:
a) P (A) = 25 , P (B) = 14 , P (A ∪ B) = 12 .
5
b) P (A) = 16 , P (B) = 34 , P (A ∩ B) = 24
.
Solución
a) Independientes:


3 
2 1 1


P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B) = + − = .



5 4 2
20 


Por otra parte,
=⇒ No son independientes.








 P (A)P (B) = 2 1 = 2 .

54
20
Y tampoco son incompatibles pues hemos visto que la probabilidad de la intersección no es nula.
b) Independientes:


1 3
5
17 


P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B) = + −
= .



6 4 24
24 


Por otra parte,
=⇒ No son independientes.









 P (A)P (B) = 1 3 = 3 .
64
24
Y tampoco son incompatibles pues hemos visto que la probabilidad de la intersección no es nula.
17. Supongamos que el 5 % de la población padece la enfermedad de apendicitis (2 % en estado agudo A
y 3 % en estado crónico C) y el 95 % no la padece. Uno de los sı́ntomas es el dolor de estómago. Las
probabilidades de tener dolor de estómago padeciendo el estado A, el estado C o no padeciendo la
enfermedad son del 90 %, 70 % y 10 % respectivamente. Hallar la probabilidad de que una persona con
dolor de estómago sufra realmente el estado A de apendicitis.
5
Solución Llamamos A a padecer la enfermedad en estado agudo, C crónico y D a padecer dolor de
estómago y S a estar sano, entonces
P (A | D) =
=
P (D | A)P (A)
P (D | A)P (A)
=
=
P (D)
P (D | A)P (A) + P (D | C)P (C) + P (D | S)P (S)
9
0, 9 · 0, 02
=
.
0, 9 · 0, 02 + 0, 7 · 0, 03 + 0, 1 · 0, 95
67
18. La cuarta parte de una población ha sido vacunada contra una enfermedad. Se comprueba, no obstante,
que, de cada diez enfermos, dos están vacunados. Se sabe además que, de cada doce vacunados, uno
cae enfermo.
a) ¿Qué probabilidad tiene un individuo de contraer la enfermedad?
b) ¿Qué probabilidad tiene un individuo no vacunado de contraer la enfermedad?
Solución
Llamamos C a contraer la enfermedad y V a estar vacunado, entonces
a)
P (C | V ) =
P (V | C)P (C)
P (C | V )P (V )
=⇒ P (C) =
=
P (V )
P (V | C)
1 1
12 4
2
10
=
5
.
24
b)
5
2
1 − 10
P (V | C)P (C)
2
(1 − P (V | C))P (C)
24
P (C | V ) =
.
=
=
=
1
1 − P (V )
9
1− 4
P (V )
19. En una tienda de electrodomésticos se venden dos marcas A y B. Se ha comprobado que un tercio
de los clientes elige un electrodoméstico de la marca A y el resto, uno de la marca B. Además, la
probabilidad de que un electrodoméstico de la marca A sea defectuoso es 0,05 y la de que uno de la
marca B no lo sea es 0,9. Calcular razonadamente:
a) La probabilidad de que un cliente compre un electrodoméstico en dicha tienda y le salga defectuoso.
b) La probabilidad de que el electrodoméstico comprado sea de la marca B sabiendo que no es
defectuoso.
Solución: Llamamos A y B al suceso comprar la marca A y B respectivamente, y D a que el
electrodoméstico sea defectuoso. Entonces
a)
1
2
1
P (D) = P (D | A)P (A) + P (D | B)P (B) = 0, 05 + 0, 1 =
.
3
3
12
b)
0, 9 ·
P (D | B)P (B)
P (B | D) =
= 11
P (D)
12
2
3
=
36
.
55
20. El año pasado, el 60 % de los veraneantes de una cierta localidad eran menores de 30 años. Un 25 %
de los menores de 30 años y un 35 % de los mayores de 30 años eran nativos de esa localidad. Se pide:
a) La probabilidad de que un veraneante elegido al azar sea nativo de esa localidad.
b) Se elige un veraneante al azar y se observa que es nativo de la localidad, ¿cuál es la probabilidad
de que tenga más de 30 años?
6
Solución:
Llamamos J a ser menor de 30 años y N a ser nativo de la localidad, entonces
a)
P (N ) = P (N | J)P (J) + P (N | J)P (J) = 0, 25 · 0, 6 + 0, 35 · 0, 4 =
29
.
100
b)
P (J | N ) =
P (N | J)P (J)
14
0, 35 · 0, 4
=
.
=
29
P (N )
29
100
21. En una máquina de escribir hay 35 teclas, cada una de las cuales representa una letra, un signo de
puntuación o un acento. Hay también una tecla para los espacios y otra para las mayúsculas. En total,
pues, 37 teclas. Si se pulsa una vez la tecla de las mayúsculas, a partir de aquel momento todo queda
escrito en mayúsculas. Para volver a escribir en minúsculas hay que puslar de nuevo la mencionada
tecla. Un niño pulsa consecutivamente 29 teclas al azar. Hallar la probabilidad de que escriba la frase:
En un lugar de la Mancha.
Solución: Llamamos Ci a pulsar correctamente en la i–ésima pulsación, i = 1, . . . 29. Como el niño
no sabe escribir, pulsa aleatoriamente las teclas y de manera independiente y, además, ha de pulsarlas
en el orden correcto, entonces
29 veces
P (C1 ∩ C2 ∩ . . . ∩ C29 ) = P (C1 )P (C2 ) · · · P (C29 ) =
1
1 z}|{ 1
···
=
.
37
37
3729
22. Hallar la probabilidad de un suceso sabiendo que la suma del cuadrado de su probabilidad y del
cuadrado de la probabilidad del suceso contrario es igual a 59 .
Solución:
Llamamos p a la probabilidad buscada, entonces
p2 + (1 − p)2 =
5
4
1
2
⇐⇒ 2p2 − 2p + = 0 ⇐⇒ p = o bien p = .
9
9
3
3
Como ambas probabilidades son positivas (y una es complementaria de la otra), ambas soluciones son
correctas.
7