Document

El área sombreada (en verde) de la siguiente figura es de 400 cm2. Calcula el área de la zona no
sombreada.
Solución:
Sea r el radio del círculo grande.
Las áreas de los círculos grande y pequeño son:
ACÍRCULO GRANDE = π ⋅ r 2
2
r
ACÍRCULO PEQUEÑO = π ⋅  
 2
Vamos a calcular ahora el área de uno de los “pétalos”:
A II = ACUARTO DE CÍRCULO − ATRIÁNGULO =
=
π r2
16
−
A I 2=
A II
=
r2 r r
⋅
4 −2 2=
4
2
π⋅
r 2 π r 2 − 2r 2
=
8
16
π r 2 − 2r 2
8
Así, tenemos una relación entre el área de la zona sombreada (dato) y el radio del círculo grande
(incógnita):
=
ASOMBREADA ACÍRCULO GRANDE − 4 ⋅ ACÍRCULO PEQUEÑO + 8 ⋅ A I ⇔
⇔ 400= π r 2 − 4 ⋅
π r2
4
+ 8⋅
π r 2 − 2r 2
8
= π r 2 − 2r 2= r 2 (π − 2 ) ⇔
400
r ⇔ r  18, 72 cm r  19,33 cm
=
π −2
Por tanto, el área de la zona no sombreada es:
AZONA BLANCA = π r 2 −  r 2 π − 2  = 2r 2 = 700,88 cm 2
⇔
(
)
La pregunta ahora es si hay algún tipo de relación sencilla entre las dos áreas (del tipo una es el
doble que la otra, la tercera parte…). Para responder a esta pregunta, comparamos las dos áreas:
AZONA BLANCA
2r 2
2
= =
 1, 75
2
AZONA VERDE (π − 2 ) r
π −2
lo que nos dice que el área de la zona blanca es 1,75 veces el área de la zona verde.
Vamos a ver lo anterior de otra forma:
Empezamos viendo que las siguientes áreas son iguales:
1
Fijándonos en la figura adjunta,
=
ATRIÁNGULO CIRCULAR ACUARTO DE CÍRCULO GRANDE − ACÍRCULO
=
+ AI
PEQUEÑO
=
π r2
4
−
π r2
4
+
(π − 2 ) r 2 = (π − 2 ) r 2
8
8
= APÉTALO = A I
Así,
A
=
ACÍRCULO GRANDE
=
− 8 ⋅ AI
ZONA BLANCA
= π r2 − 8 ⋅
2
π r 2 − 2r 2
8
= 2r 2