ACT_2ESO_LENGUAJE ALGEBRAICO

LENGUAJE ALGEBRAICO. 2ºESO
1.- Los dos lados iguales de un triángulo isósceles miden x cm cada uno, y el otro mide la mitad que uno de
éstos.
a) Encuentra una expresión algebraica para el perímetro.
b) ¿Cuál es el perímetro si x vale 6?
Solución: a) x  x 
1
5x
x
2
2
b)
56
 15 cm
2
2.- Encuentra una expresión algebraica para cada apartado, simplificándola cuando sea posible:
a) El triple de un número menos el cuadrado de ese número.
b) El producto de un número por el número siguiente.
c) En un garaje hay x coches e y motos. ¿Cuántas ruedas hay en total?
d) En un rectángulo de base b, la altura mide la mitad que la base. ¿Cuál es el perímetro?
Solución:a) 3x - x2
b) x (x + 1) = x2 + x
c) 4x + 2y
d)
 1 
2   b b   2 b b  3 b
2 

3.- Escribe mediante una expresión algebraica cada una de las siguientes frases
a) Restar 5 a la mitad de un número.
b) Un múltiplo de 7.
c) Un kilogramo de tomates cuesta t euros y uno de patatas p euros. ¿cuánto tengo que pagar por 3 kg de
patatas y 2 de tomates?
d) Si Antonio tiene x años y Andrea tiene 3 años más, ¿Cuántos tienen entre los dos?
Solución:
a)
x
5
2
b) 7n
c) 3p + 2t
d) x + x + 3 = 2x + 3
4.- Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para x  1 y x  2 :
a) x2 - x (x + 2)
b) (x + 1) x2 - x
c) 3 (x - 2) + 2(x + 1)
Solución:a) Si x = -1: 1+1 = 2; si x = 2: 4 - 8 = 4 b) Si x = -1: 1; si x = 2: 12 - 2 = 10 c) Si x = -1: -9; si x = 2: 6
5.- Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores de x que se
indican:
Valores de x
-1
0
2
3
(x - 2) x
3x2 - x + 2
2x - 1
Solución:
Valores de x
-1
0
2
3
(x - 2) x
3
0
0
3
3x2 - x + 2
6
2
12
26
2x - 1
3
1
3
5
6.- Completa la siguiente tabla, sabiendo que la edad de Enrique es el doble que la de María, Begoña tiene 5
años más que Rubén y éste 8 menos que María:
Edad hace una
Edad dentro de
Edad actual
década
7años
María
Rubén
Begoña
x
Enrique
Solución:
Edad hace una
década
Edad actual
Edad dentro de 7
años
María
x-7
x+3
x + 10
Rubén
x - 15
x-5
x+2
Begoña
x - 10
x
x+7
Enrique
2x - 4
2x + 6
2x + 13
7.- Encuentra una expresión algebraica para cada uno de los siguientes enunciados, simplificándola
cuando sea posible:
a) Un número impar.
b) La mitad del producto de dos número.
c) En una caja hay b bolas blancas y el triple de bolas negras. ¿Cuántas hay en total?
d) Si p es el precio de unos pantalones y al pagarlos me descuentan el 20%, ¿cuánto pago por ellos?
Solución:
a) 2n + 1
b)
x y
2
c) b + 3b = 4b
d) p 
20 p 80 p 4 p


100 100
5
8.- Escribe mediante una expresión algebraica cada una de las siguientes frases:
a) Sumar 5 al cuadrado de un número.
b) En una clase hay x chicos y 2 chicas por cada uno de ellos. ¿Cuántas personas hay en total?
c) El triple de la suma de dos números consecutivos.
d) El lado de un hexágono regular cuyo perímetro es p.
Solución:
a) x2 + 5
b) x + 2x = 3x
c) 3 (x + x + 1) = 6x + 3
c)
p
6
9.- Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para x =  3 y para x =
a)
x 2  2x  5 x  2
b)
x 1
 x  6   x
2 4
Solución: a) Si x =  3 : 9 + 2 (-8) = -7 Si x =
b) Si x =  3 :

1
:
2
3 3
6 3 12 3
 3    
2 4
4 4 4 4
1
:
2
1
 9  5  1 90 91
 2      

4
4
 2  2  4 4
1
1 1 13 1 2 13 4
15
      
Si x = :
2
4 4 2 2 8 8 8
8
10.- Realiza las siguientes sumas:
a) 3x2 - 4x2 + xx + x2
b) 5ay4 - 4ay4 + 3ay4
c) 5x3 + x - x3 +4x3 - 2x
2
2
2
2
2
4
Solución: a) 3x - 4x + x + x = x
b) 4ay
c) 8x3 - x
11.- Agrupa y suma los monomios que sea posible:
5x 3bac yx3 6abc xxy 5ababb 3xyx
4x 5xx2y 8yx2 10a2b3 4ab3a
Solución:
5x + 4x = 9x
3bac + 6abc = 9abc
yx3 + 5xx2y = 6yx3
xxy + 3xyx + 8yx2 = 12x2y
5ababb + 10a2b3 + 4ab3a = 19a2b3
12.-Realiza las siguientes operaciones:
a) 4abc - 5bca + 8acb
b) w2r + 3rw2 - 4w2r + 5wr2
c) 4j2r -5jr · j + 7jr · jr + r2j
Solución: a) 7abc
b) 5wr2
c) 4j2r - 5j2r + 7j2r2 + r2j = -j2r + 7j2r2 + r2j
13.- Multiplica los siguientes monomios y halla el grado del resultado:
a) 5x · yx3
b) 3xy · 4z3y2x
c) x2 · ( -2x2y3 )
d) 4h3j ·
 1

  hjk 
 2

Solución: a) 5x4y b) 12x2y3z3 c) -2x4y3 d) -2h4j2k
14.- Multiplica los siguientes monomios y halla el grado del resultado:
a) 10abc · ( -3ba )
b) 3m2n · n2j3
c) ab · hj · a2b3 · 3j
d) -ax3 · bay2 · cz2y
2
2
2
3
3
3
4
2
2
3
2
Solución: a) -30a b c b) 3m n j
c) 3a b hj
d) -a bcy z
15.- Realiza las siguientes divisiones e indica el grado del monomio resultante:
a) 4a2c3 : 2ac
Solución:
b) 3mw2k : ( -mwk)
c) 
a) 2ac2 b) -3w
c)

3 3 2 8
x y z :  6x 2 y
2

1 7
xyz
4
16.- Realiza las siguientes divisiones e indica el grado del monomio resultante:
a) 8x4y2z8k : x2y2k
Solución:
a) 8x2z8
b) 2w2x3y4 : 4w2x3y
b)
1 3
y
2
c)
1 2 3 8
x y z : 2xy 2 z 7
5
c) 2/5 xyz
17.- Escribe un monomio que verifique:
a) Su coeficiente es -3 y la parte literal es w2xz.
b) Su coeficiente es 2 y es semejante a 4xz.
c) Tiene grado 8 y es opuesto a -5x3y4z.
Solución:
a) -3w2xz
b) 2xz
c) 5x3y4z
18.- Opera y simplifica al máximo posible:
a) 6x4 - 3x3 · x - x2y4 · 3y3 - ( -4x2y5 : 2x ) - 3xy4 + 5xy · ( y3xy3 + 4xy6 )
b) -z2w - ( -4z2 · 5w ) + ( 48z4w5h3 : 12z2h3w4 )
Solución: a) 6x4 - 3x4 - 3x2y7 + 2xy5 - 3xy4 + 5x2y7 + 20x2y7 = 3x4 + 22x2y7+ 2xy5 - 3xy4
b) -z2w + 20z2w + 4z2w = 23 z2w
19.- Reduce las siguientes expresiones algebraicas:
a) 2x2 - 5 + 3x - x2 + 2
b) 5a - 3b2 + 2ab + b2 - 2b - 4a
c) 2(xy - x) + 3x(y - 1)
d) t2 - 3t3 + 2 - t(1 + t + 3t2)
2
Solución: a) x + 3x - 3
b) -2b2 + 2ab + a - 2b
c) 2xy - 2x + 3xy - 3x = 5xy - 5x d) t2 - 3t3 + 2 - t - t2 - 3t3 = - 6t3 - t + 2
20.- Realiza las siguientes operaciones y reduce después términos semejantes:
a) 2(x - 3) - 5(1 - x) b) 3a + 2a(a - 1)
c) (x - 3)(x - 3) + 6x – 1
d) (a - b)(a + b) + 2b2
2
2
2
Solución: a) 2x - 6 - 5 + 5x = 7x – 11
b) 3a + 2a - 2a - a = a + a
c) x2 + 9 - 6x + 6x - 1 = x2 + 8
d) a2 - b2 + 2b2 = a2 + b2
21.- Realiza las siguientes operaciones reduciendo después términos semejantes:
a) (y + 1) (y + 1) - (y + 1)(y - 1) b) (x - a) (x - a) - x(x - a)
c) (a - 3)(2 + a) - 2a2
Solución:
a) (y + 1)2 - (y + 1)(y - 1) = y2 + 1 + 2y - (y2 - 1) = 2y + 2
b) (x - a)2 - x(x - a) = x2 + a2 - 2xa - x2 + xa = a2 - xa
c) (a - 3)(2 + a) - 2a2 =2a + a2 - 6 - 3a - 2a2 = -a2 - a - 6
22.- Realiza las siguientes operaciones y después reduce términos semejantes:
a) 3(x + 4) - 2(x - 1)
b) a(2a - 3) + 5a – 4
c) (x + a) (x + a) + (x + a)(1 - a)
d) (x - 1) (x - 1) + (x + 2)(x - 2)
Solución: a) 3x + 12 - 2x + 2 = x + 14
b) 2a2 - 3a + 5a - 4 = 2a2 +2a - 4
c) x2 + a2 + 2xa + x - ax + a - a2 = x2 + xa + a + x
d) x2 + 1 - 2x + x2 - 4 = 2x2 - 2x - 3
23.- Encuentra una expresión algebraica para el área de cada una de las siguientes figuras:
a)
x+1
b)
8
3x
c)
2x
x-1
Solución:
a) (x + 1)2 = x2 + 2x + 1
b)
3 x 8
 12 x
2
c) 2x (x - 1) = 2x2 - 2x
24.- En la pantalla de la calculadora hay un número y Carolina realiza con él las siguientes operaciones: le
resta tres, multiplica el resultado por 5 y finalmente suma 7.
a) Encuentra una expresión algebraica para el resultado de estas operaciones y simplifícala.
b) Si en la pantalla había un 4, ¿qué número se obtiene después de realizar estas operaciones?
Solución: a) x  3  5  7  5 x  8
b) 5  4  8  12
25.- Uno de los lados de un rectángulo mide el doble que el otro.
a) Encuentra una expresión algebraica para el área.
b) Encuentra una expresión algebraica para el perímetro.
c) Si el lado menor mide 5 cm, ¿cuál es el perímetro? ¿Y el área?
Solución: a) x 2 x  2 x b) 2  x  2 x   6 x c) El perímetro es 6  5  30 cm y el área 2  5  50 cm2
26.- Efectúa las siguientes operaciones y reduce después términos semejantes:
a) (a + 3) (a + 3) - 2a(a + 1) + (a + 2)(a - 2)
b) 2b(a2 + b) + (a - b) (a - b) - (a2 - b)(b - 1)
2
c) (x - 2y) (x - 2y) + 2y(2x - y) - 2x
Solución: a) a2 + 9 + 6a - 2a2 - 2a + a2 - 4 = 4a + 5
b) 2a2b + 2b2 + a2 + b2 - 2ab - a2b + a2 + b2 - b = a2b + 4b2 + 2a2 - 2ab - b
c) x2 + 4y2 - 4xy + 4xy - 2y2 - 2x2 = 2y2 - x2
27.- Simplifica las siguientes expresiones:
a) 2(3a - b2) - a(b + 6) + 3b2b) (2x - y)(2x + y) + y(3x + y)
c) (2 - x )(x - 2y) + (x - y) (x - y)
d) 3(a - 2b)a - 3(a - b) (a - b)
Solución:a) 6a - 2b2 - ab - 6a + 3b2 = b2 – ab
b) 4x2 - y2 + 3xy + y2 = 4x2 + 3xy
2
2
2
2
c) 2x - 4y - x + 2xy + x + y - 2xy = y + 2x - 4y d) 3a2 - 6ab - 3a2 - 3b2 + 6ab = - 3b2
28.- Opera y simplifica las siguientes expresiones:
a) (x - 1)(3x + 5) - x(2x + 1)
b) (a - 3) (a - 3) + 2a (a + 3)
c) (x + y) (x + y) - 3y(x - 2y)
d) (a + 2)(a - 2) - 4(a - 1)
Solución:a) 3x2 + 5x - 3x - 5 - 2x2 - x = x2 + x – 5
b) a2 + 9 - 6a + 2a2 + 6a = 3a2 + 9
c) x2 + y2 + 2xy -3xy + 6y2 = x2 + 7y2 – xy
d) a2 - 4 - 4a + 4 = a2 - 4a
29.- Simplifica este polinomio y calcula su opuesto: P(z) = z3 + 1 - z4 + 3z3 - 4z4 + z2 - 3z + 1 - z2
Solución: P(z) = - 5z4 + 4z3 - 3z +2
30.- Dados P(x) = 2x4 - 5x2 + 3x3 - 3 y Q(x) = 3x2 + 2x ,
a) Señala el grado de P(x) · Q(x) y calcúlalo comprobando el resultado.
b) Calcula P(x) - Q(x) y señala su grado y su término independiente.
c) ¿Cuál es el opuesto de P(x) - Q(x)? ¿Tiene alguna relación con Q(x) - P(x)?
Solución:
a) Tendrá grado 6. P(x) · Q(x) = (2x4 - 5x2 + 3x3 - 3) · (3x2 + 2x) = 6x6 + 4x5 - 15x4 - 10x3 + 9x5 +6x4 - 9x2 - 6x = 6x6 +
13x5 - 9x4 - 10x3 - 9x2 - 6x
b) P(x) - Q(x) = (2x4 - 5x2 + 3x3 - 3) - (3x2 + 2x) = 2x4 - 8x2 + 3x3 - 2x - 3. Grado 4 y término independiente -3.
c) - (P(x) - Q(x)) = -2x4 + 8x2 - 3x3 + 2x + 3. Sí, es Q(x) - P(x).
2
2
31.- Realiza las siguientes sumas y restas de polinomios:
1 2  2 1 

b) ( 4y5 + 5y3 - y + 3 ) - ( 3y4 + 8y3 - y + 1 )
 8z  z    2z  z 
3
2

 

1 2

2
c) 5b  5b  5   b  b  3 
2

7 2 15
9 2
z
Solución: a) z 
b) 4y5 - 3y4 - 3y3 +2 c) b  4 b  2
3
2
2
a)


32.- Dados los polinomios P(x) = 4x5 + 3x3 + x - 3 , Q(x) = x2 - 4x4 + 1 , R(x) = x3 - x2 + 5x , opera:
a) P(x) + Q(x) + R(x)
b) P(x) - 2Q(x) - R(x)
c) P(x) · Q(x) + R(x)
d) 4P(x) - 2Q(x) + R(x)
Solución:
a) 4x5 - 4x4 + 4x3 +6x - 2
b) 4x5 + 3x3 + x - 3 - 2 (x2 - 4x4 + 1) - (x3 - x2 + 5x) = 4x5 + 3x3 + x - 3 - 2 x2 +8x4 - 2 - x3 + x2 - 5x = 4x5 + 2x3 - 4x - 5
- x2 +8x4 .
c) (4x5 + 3x3 + x - 3) · (x2 - 4x4 + 1) + x3 - x2 + 5x = 4x7 - 16x9 + 4x5 +3x5 - 12x7 + 3x3 + x3 - 4x5 + x - 3x2 + 12x4 - 3 +
x3 - x2 + 5x = - 16x9 - 8x7 + 3x5 + 12x4 + 5x3 - 4x2 + 6x - 3.
d) 16x5 + 12x3 + 4x - 12 - 2x2 + 8x4 - 2 + x3 - x2 + 5x = 16x5 + 8x4 +13x3 - 3x2 + 9x - 14.
33.- Realiza las siguientes sumas y restas de polinomios:
a) ( 8z3 + z ) - ( 3z2 + z3 - 3 )
b) ( 4x2a2 + 5ax - 3a ) + ( 4xa - 5a2x2 + 8x )
c)
1
4 2
  2

2
2
 x ab  ba x  1   x ab  bxa  3 
2
3
 

Solución: a) 9z3 - 3z2 + z + 3
b) - a2x2 + 9ax + 8x - 3a
c)
1 2
3
x ab  ba 2 x  4
3
2
34.- Escribe en forma de polinomio en una variable y opera:
a) El cuadrado de un número, menos su doble, más su triple, menos cuatro
b) El cuadrado del cubo de un número, menos el número elevado a 6, más 32.
c) El área de un cuadrado de lado x, menos el área de un triángulo de altura x y base x.
Solución:
a) x2 - 2x + 3x - 4 = x2 + x – 4
b) (x3)2 - x6 + 32 = 32
c)
x2 
x2 x2

2
2
35.- Escribe en forma de polinomio en una variable y opera:
a) El producto de un número y su siguiente.
b) El cociente del cubo de un número entre dicho número, más el doble del cuadrado del número.
c) Dado un número, la diferencia entre su siguiente y su anterior.
Solución: a) x · (x + 1) = x2 + x
b) x3 : x + 2x2 = x2 + 2x2 = 3x2 c) x + 1 - (x - 1) = 2
36.- Indica si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas y corrígelas en caso de ser falsas:
a) (2x + y)2 = 4x2 + y2 b) (2x - y)(2x + y) = 4x2 - y2 c) 2x (2x - y) = 4x – y d) (2x - y)2 = 4x2 - y2 + 2xy
Solución: a) Falso , sería (2x + y)2= 4x2 + y2 + 4xy
b) Verdadero.
c) Falso, sería 2x(2x - y) = 4x2 - 2xy
d) Falso, sería (2x - y)2 =2x2 + y2 -4xy
37.- Completa:
a) x2 + 10x +25 = ( .... + .... )2
b) 4x2 - 4x +1 = ( .... - .... )2
2
2
c) 9 - 6x + x = ( .... - .... )
d) 9x2 - 4y2 = ( .... - .... ) ( .... + .... )
2
Solución: a) x + 10x +25 = ( x + 5 )2
b) 4x2 - 4x +1 = ( 2x - 1 )2
2
2
c) 9 - 6x + x = ( 3 - x )
d) 9x2 - 4y2 = ( 3x - 2y ) ( 3x + 2y )
38.- Aplica las identidades notables para desarrollar las siguientes expresiones:
a) (x - 1)2
b) (x + 1)2
c) (x - 1)(x + 1)
d) (2x - 3)2
e) (1 - 6x)(1 + 6x)
Solución: a) (x - 1)2 = x2 - 2x + 1
b) (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 c) (x - 1)(x + 1) = x2 - 1
d) (2x - 3)2 = 4x2 - 12x + 9
e) (1 - 6x)(1 + 6x) = 1 - 36x2
39.- Desarrolla las siguientes identidades notables:
a) (4x + 5)2 b) (2x + 3)(2x - 3) c) (x3 - 1)2 d) (xy + 10)2 e) (5bx - 1)2
Solución: a) (4x + 5)2 = 16x2 + 40x + 25
b) (2x + 3)(2x - 3) = 4x2 - 9 c) (x3 - 1)2 = x6 - 2x3 + 1
2
2
2
d) (xy + 10) = x y + 20xy + 100
e) (5bx - 1)2 = 25b2x2 - 10bx + 1
40.- Obtén el desarrollo de las siguientes expresiones:
a) (x + 1)2 (x - 1)
b) 1 - (3x - 1)2
c) (6x - y)(6x + y) + y2
Solución:
a) (x2 + 2x + 1)(x - 1) = x3 - x2 + 2x2 - 2x + x - 1 = x3 + x2 - x - 1
b) 1 - (9x2 - 6x + 1) = 1 - 9x2 + 6x - 1 = - 9x2 + 6x
c) 36x2 - y2 + y2 = 36x2
2
2
41.- Desarrolla y opera: a) (x + 2) - (x - 2)
b) (4x + y)2 - (4x - y)2
c) (x + 3) - (x + 2)(x - 2)
d) (3x - 2)(x - 2) + (x - 1)2
Solución: a) (x2 + 4x + 4) - (x2 - 4x + 4) = x2 + 4x + 4 - x2 + 4x - 4 = 8x
b) (16x2 + 8xy + y2) - (16x2 - 8xy + y2) = 16x2 + 8xy + y2 - 16x2 + 8xy - y2 = 16xy
c) (x + 3) - (x2 - 4) = x + 3 - x2 + 4 = - x2 + x + 7
d) 3x2 - 6x - 2x + 4 + x2 - 2x + 1 = 4x2 - 10x + 5
42.- Expresa en forma reducida los siguientes desarrollos de identidades notables:
a) x2 + 2x + 1
b) 4x2 - 12x + 9
c) x4 + 6x2 + 9
d) x2 - 9
e) 4x4 - 4x2 + 1
2
2
2
2
Solución: a) (x + 1)
b) (2x - 3)
c) (x + 3)
d) (x - 3)(x + 3)
e) (2x2 - 1)2
43.- Expresa en forma de identidad notable:
a) x4 - 6x2 + 9 b) 4x2y2 + 4xy + 1
c) 25x6 - 1
d) 4a2 + 4ab + b2
Solución: a) (x2 - 3)2 b) (2xy + 1)2 c) (5x3 - 1) (5x3 + 1)
d) (2a + b)2