Estimación de crecidas de alto período de retorno mediante

ESTIMACIÓN DE CRECIDAS DE
ALTO PERÍODO
Í
DE RETORNO
MEDIANTE FUNCIONES DE
DISTRIBUCIÓN CON LÍMITE
SUPERIOR E INFORMACIÓN NO
SISTEMÁTICA
Tesis doctoral presentada por:
Blanca Adriana Botero Hernández
Dirigida por: Dr. Félix Francés
Planteamiento de la pregunta de fondo
LLAMADA a los ingenieros e hidrólogos a
la estimación p
precisa de la p
probabilidad
de ocurrencia de crecidas extremas
NECESIDAD real de: Evaluación
Diseño
Planeación
EVITAR pérdidas humanas y económicas
(Inundación de poblaciones, daños a obras
civiles,
i il d
daños
ñ agrícolas,
í l d
daños
ñ
medioambientales… CATÁSTROFES)
Planteamiento de la pregunta de fondo
• Según proyecto Æ estimar crecidas de mayor o
menor probabilidad de ocurrencia
• Crecidas de menor probabilidad de ocurrir
asociadas a proyectos o situaciones críticas
como: Grandes presas, emplazamiento de plantas nucleares,
protección de ciudades contra inundaciones y otras donde
algún fallo produciría grandes pérdidas económicas,
humanas y medioambientales
• En algunos proyectos de este tipo es necesaria la
estimación de la crecida máxima probable,
probable PMF
Planteamiento de la pregunta de fondo
Problemas en la estimación de crecidas, entre otros:
Incertidumbre en la estimación, asociada a la
longitud
g
relativamente corta de los registros.
g
Menor que el Tr de la crecida de interés…
p
… extrapolaciones
Límite físico para las crecidas que se pueden dar en
una cuenca de características climáticas e
hidrológicas
g
determinadas. No incorporado
p
en el
análisis
Planteamiento de la pregunta de fondo
Varias técnicas existentes para mejorar la estimación, entre ellas:
• Extender la longitud del período con información: introduciendo datos
adicionales al registro de la estación de aforo. Información No
Sistemática
• Introducir límite: funciones de distribución con límite superior
¿Es posible mejorar la estimación de las crecidas
de alto p
período de retorno utilizando información
No Sistemática y funciones de distribución con
límite superior?
superior
OBJETIVOS
• Estructurar una metodología para la estimación de
crecidas
d de
d alto
l período
d de
d retorno con funciones
f
de distribución con límite superior e información
No Sistemática
S
• Análizar el comportamiento de las funciones.
funciones
Habilidad descriptiva, predictiva
• Establecer el error de los estimadores al usar esta
metodología
t d l í
• Determinar
D t
i
condiciones
di i
y recomendaciones
d i
d uso
de
•CONCEPTOS FUNDAMENTALES
•METODOLOGÍA
•APLICACIÓN
•ANÁLISIS DEL ERROR
•CONCLUSIONES
Conceptos Fundamentales:
• Crecidas de alto período de retorno
• Funciones de distribución con límite superior
• Información No Sistemática
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
Conclusiones
8
Crecidas de Alto Período de Retorno
Según el interés del proyecto:
Probabilidad de ocurrencia
anuall
Período de retorno
((Tr))
[años]
≤ 10-3 (NRC, 1988; Naghettini et al.,
1996)
≥ 1000
≤ 2 x 10-3 (England et al., 2003)
≥ 500
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
Conclusiones
9
Funciones de Distribución con Límite Superior
Con límite
Período
o de reto
orno Tr
P
Período
de retorrno Tr
Sin límite
xmin
x
∞
xmin
g
x
x <∞
F ( x) < 1
x< g
F ( x) → 1 x →∞
F ( x) = 1
x≥ g
F ( x) < 1
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
10
Conclusiones
Funciones de distribución con límite superior
Funciones con límite superior utilizadas en hidrología de
extremos:
Precipitación (Eliasson, 1994 y 1997; Takara y Loebis,1996;Takara y
Tosa, 1999)
Caudales (Takara y Tosa, 1999). Todos reportan aumento de precisión
en la estimación de los cuantiles
EV4 (Función de Distribución de Valor Extremo de 4 Parámetros)
TDF (Función
(F
ió d
de Di
Distribución
t ib ió d
de V
Valor
l E
Extremo
t
T
Transformada)
f
d )
LN4 (Función de Distribución LogNormal de 4 Parámetros)
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
11
Conclusiones
Funciones de distribución con límite superior
Función de Distribución EV4
⎡ ⎧ g − x ⎫k ⎤
F ( x) = expp ⎢− ⎨
⎬ ⎥
⎢⎣ ⎩ v( x − a ) ⎭ ⎥⎦
⎡ ⎧ g − x ⎫k ⎤
F ( x) = exp ⎢− ⎨
⎬ ⎥
⎢⎣ ⎩ v( x − a) ⎭ ⎥⎦
•Pertenece a la familia de las distribuciones de valor extremo
•Formulada a p
partir de las funciones EV tipo
p II y tipo
p III
•Propuesta por Kanda (1981)
•Utilizada por primera vez en Hidrología por Takara y Tosa (1999)
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
12
Conclusiones
Función de Distribución EV4
Parámetro v escala
Parámetro k forma
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
13
Conclusiones
Funciones de distribución con límite superior
Gumbel:
⎡
⎛ ⎛x
⎞ ⎞⎤
F ( x) = exp
p ⎢− exp
p⎜ − ⎜ + b ⎟ ⎟⎥
⎠ ⎠⎦
⎝ ⎝a
⎣
Transformación
x
k
y = +b+
a
⎛g ⎞ ⎛x ⎞
⎜ + b⎟ − ⎜ + b⎟
⎝ a ⎠ ⎝a ⎠
Variable reducida y = − ln (− ln[F ( x)]) = x + b
a
T
Transformación
f
ió
Conceptos Fundamentales
y=
x
k
+b+
a
⎛g
⎞ ⎛x
⎞
⎜ + b⎟ − ⎜ + b⎟
⎝a
⎠ ⎝a
⎠
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
14
Conclusiones
Función de Distribución TDF
Propuesta por Elíasson (1994)
⎡
⎛
k ⎞⎤
⎟⎟⎥
F ( x) = exp ⎢− exp⎜⎜ − z +
ylim − z ⎠⎦
⎝
⎣
x
z = +b
a
Conceptos Fundamentales
Metodología
ylim
li
g
= +b
a
Aplicación
Análisis del Error
15
Conclusiones
Funciones de distribución con límite superior
Distribución TDF
a controla la pendiente
k parámetro negativo
b parámetro de localización
Conceptos Fundamentales
Metodología
F
Forma
de
d aproximarse
i
all lí
límite
it
Aplicación
Análisis del Error
16
Conclusiones
Funciones de distribución con límite superior
Función de Distribución LN4
Utilizada en Hidrología por Takara y Loebis (1996)
Variable transformada y, propuesta por Slade (1936)
⎛ x−a ⎞
⎟⎟
y = ln⎜⎜
⎝ g−x⎠
g −a
f ( x) =
(x − a )(g − x )σ y
Conceptos Fundamentales
Metodología
⎡ 1 ⎛ y − u ⎞2 ⎤
y
⎟ ⎥
exp ⎢− ⎜
2π
⎢ 2 ⎜⎝ σ y ⎟⎠ ⎥
⎣
⎦
Aplicación
Análisis del Error
17
Conclusiones
Distribución LN4
Funciones de distribución con límite superior
σy forma
μy localización
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
18
Conclusiones
Conceptos Fundamentales
• Crecidas alto período de retorno
• Funciones de distribución con límite superior
p
• Información No Sistemática
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
19
Conclusiones
Información No Sistemática
•Valor de incorporar información No Sistemática en el
análisis de frecuencia de crecidas reconocido ampliamente
en la literatura. Entre otros por: Leese, 1973; USWRC, 1982;
Stendinger y Cohn
Cohn, 1986; Stedinger y Baker
Baker, 1987; Pilon y Adamowski
Adamowski, 1993;
Francés et al., 1994; Cohn et al., 1997; O’Conell et al., 2002; England et al.,
2003; Benito et al., 2004a; O’Conell, 2005…
•Información adicional al registro sistemático de la estación
de aforo
• Según su origen se clasifica en:
Información Histórica
Información sobre Paleocrecidas
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
20
Conclusiones
Información No Sistemática
Información Histórica
Información sobre los daños producidos, las fechas y niveles
alcanzados entre otros
alcanzados,
otros, por crecidas recopiladas en documentos
históricos tales como:
• Eclesiásticos ((Archivos parroquiales)
p
q
)
• Archivos municipales
• Otros: Periódicos,
Periódicos Reportes técnicos de daños
sufridos por construcciones de la época,
Crónicas, Reportes de marcas dejadas por
el agua en los edificios locales…
locales
Resultado Æ Cronología de eventos : Fecha, daños, niveles
alcanzados caudal de la crecida
alcanzados,
Historiadores e hidráulicos
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
21
Conclusiones
Información No Sistemática
Información de Paleocrecidas
Información obtenida de evidencias dejadas por la crecida
BOTÁNICAS
FÍSICAS
Esquema. Sección transversal del cauce y valle de inundación
Tomado de Benito et al. 2004b
Recopilada
R
il d y analizada
li d por geólogos,
ól
geomorfólogos
fól
e hid
hidráulicos
á li
que finalmente obtienen, fecha, nivel, caudal mínimo…
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
22
Conclusiones
Información No Sistemática
Información de Paleocrecidas
Información Histórica
Hay información de una crecida porque excedió algún umbral a
partir del cual quedó en la memoria de la población, en los
documentos históricos o dejó huellas físicas que se conservan
h
hasta
ahora
h
Umbral de percepción XH
(St di
(Stedinger
y Cohn,
C h 1986 y Francés
F
é ett al,
l 1994)
Información No Sistemática
para el análisis estadístico se
traduce a grandes rasgos en :
F h y magnitud
Fecha
i dd
de la
l crecida
id
Fecha en que XH fue excedido
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
23
Conclusiones
Clasificación de los Datos
Información No Sistemática
EX (Exacto) Æ Magnitud de la crecida
UB ((Upper
pp Bound)) Æ Límite superior
p
no excedido
LB (Lower Bound) Æ Límite inferior excedido
DB (Double Bound) Æ Crecida dentro de Intervalo
Si solo UB y EX: Información Censurada ((CE
CE))
Si solo UB y LB: Información Binomial Censurada (BC
BC)
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
24
Conclusiones
•CONCEPTOS FUNDAMENTALES
•METODOLOGÍA
•APLICACIÓN
•ANÁLISIS DEL ERROR
•CONCLUSIONES
E ti
Estimación
ió de
d parámetros
á t
por Máxima
Má i
V
Verosimilitud
i ilit d
•Permite incorporar fácilmente cualquier tipo de dato
•Estimadores más eficientes con muestras largas
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
26
Conclusiones
Estimación de parámetros por Máxima Verosimilitud
Probabilidad
P
b bilid d conjunta
j t de
d
ocurrencia de la muestra
Función de verosimilitud L(
L(Θ
Θ)
Producto de las probabilidades de
ocurrencia de cada
observación
n
Si variable es i.i.d
LX (Θ) = ∏ f X ( xi , Θ)
i =1
L(Θ) de muestra con
L(Θ
d t EX,
datos
EX UB,
UB DB,
DB LB
El producto de la probabilidad de
ocurrencia
i d
de cada
d uno d
de ellos
ll
Æ “el aporte de cada tipo de dato”
N EX
NUB
N LB
N DB
i =1
i =1
i =1
i =1
LX (Θ) = ∏ f X ( EX i , Θ)∏ FX (UBi , Θ)∏ [1 − FX ( LBi , Θ)]∏ [ FX (URi , Θ) − FX ( LRi , Θ)]
En el caso de las 3 distribuciones propuestas se desarrolla
explícitamente la función de verosimilitud
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
27
Conclusiones
Estimación de parámetros por Máxima Verosimilitud
Función de verosimilitud para la EV4
N EX
N EX
i =1
i =1
LLEX (Θ) = N EX ln(
l (k ) + (k − 1) ∑ ln(
l ( g − EX i ) − (k + 1) ∑ ln(
l ( EX i − a )
⎡ g − UBi ⎤
LLUB (Θ) = − ∑ ⎢
⎥
i =1 ⎣ v (UBi − a ) ⎦
NUB
k
k
⎡ g − EX i ⎤
+ N EX ln( g − a ) − N EX k ln(v)
− ∑⎢
⎥
i =1 ⎣ v ( EX i − a ) ⎦
N EX
k
⎡
⎡ g − LBi ⎤ ⎤
LLLB (Θ) = ∑ ln ⎢1 − exp ⎢−
⎥
⎥
i =1
⎣ v( LBi − a ) ⎦ ⎥⎦
⎢⎣
N LB
k
⎡ ⎡ g − UR ⎤ k
⎤
⎡
⎤
g − LRi
i
LLDB (Θ) = ∑ ln
l ⎢exp ⎢−
− exp ⎢−
⎥
⎥
⎥
(
)
(
)
i =1
⎣ v LRi − a ⎦ ⎥⎦
⎢⎣ ⎣ v URi − a ⎦
N DB
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
28
Conclusiones
Estimación de parámetros por Máxima Verosimilitud
Función de verosimilitud para la TDF
⎡ EX i
⎤ N EX i N
akk
akk
LLEX (Θ) = − ∑ exp ⎢−
+
− b⎥ − ∑
+∑
− Nb
g − EX i
i =1
i =1 g − EX i
⎣ a
⎦ i =1 a
N EX
EX
EX
⎡1
⎤
ak
+ ∑ ln
l ⎢ −
2⎥
i =1
⎣ a ( g − EX i ) ⎦
N EX
⎡UB
⎤
ak
− b⎥
LLUB (Θ) = − ∑ exp ⎢ i +
g − UBi
i =1
⎣ a
⎦
NUB
⎡
⎡ ⎡ LBi
⎤⎤⎤
ak
LLLB (Θ) = ∑ ln ⎢1 − exp
p ⎢exp
p⎢
+
− b⎥ ⎥ ⎥
g − LBi
i =1
⎢⎣
⎦ ⎦ ⎥⎦
⎣ ⎣ a
N LB
⎧⎪ ⎡ ⎛ URi
⎡ ⎛ LRi
⎞⎤
⎞⎤ ⎫⎪
ak
ak
LLDB (Θ) = ∑ ln ⎨exp ⎢exp⎜⎜
+
− b ⎟⎟⎥ − exp ⎢exp⎜⎜
+
− b ⎟⎟⎥ ⎬
g − URi
g − LRi
i =1
⎪⎩ ⎣ ⎝ a
⎠⎦
⎠⎦ ⎪⎭
⎣ ⎝ a
N LB
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
29
Conclusiones
Estimación de parámetros por Máxima Verosimilitud
Función de verosimilitud para la LN4
LLEX (Θ) = NEX ln( g − a) − ∑ ln(EXi − a) − ∑ ln( g − EXi ) − NEX ln(σ y )
N EX
N EX
i =1
i =1
N EX ln
(
)
2π −
1
2
LL UB ( Θ ) =
⎡ ⎡ ⎛ UB i − a
⎞−μ ⎤ σ ⎤
ln
Φ
⎟
∑
y⎥
y⎥
⎢ ⎢⎣ ⎜⎝
g
−
UB
i
⎠
i =1
⎦
⎣
⎦
LL LB ( Θ ) =
∑ ln ⎢1 − Φ ⎢ ⎛⎜⎝
N EX
∑
i =1
⎡ ln ⎛ EX i − a
⎞−μ ⎤
⎜
y ⎥
⎢ ⎝
g − EX i ⎟⎠
⎢
⎥
σ
y
⎥
⎢
⎣
⎦
2
N UB
N LB
i =1
⎡
⎣
⎡ LB i − a
⎞ − μ σ ⎤⎤
y
y ⎥⎥
g − LB i ⎟⎠
⎣
⎦⎦
LLDB (Θ) = ∑ ln{Φ[(((URi − a) ( g − URi )) − μ y ) σ y ] − Φ[(((URi − a) ( g − URi )) − μ y ) σ y ]}
N DB
i =1
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
30
Conclusiones
Estimación
i
i d
dell Límite
i Superior
i
Desafortunadamente en ciertos casos
ĝ por ML Æ Máximo observado
• Hidrología con funciones de límite superior (Eliasson, 1994 y 1997;
Takara y Loebis, 1996; Takara y Tosa, 1999) :
No se reporta que ĝ por ML=Máximo observado
Desafortunadamente en ciertos casos
Estimar límite superior g, por ML como un parámetro más
ĝ por ML Æ Máximo observado
Para la EV4 a medida que ĝ se acerca al Máximo
•Sin
Sin embargo Æ observado
b
d ell ajuste
j t mejora
j
(Takara
(T k
y Tosa,1999)
T
1999)
•Sismología (Kijko y Sellevoll, 1989)Æ Informacion No Sistemática +
distribución con límite superior + ML Æ g se estima por otro método ≠ML
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
31
Conclusiones
Estimación del límite superior
L(Θ)
Max.Obs
g
PMF
∞
Para esta función en particular la función de verosimilitud es
monótonamente decreciente con g (Kijko y Sellevoll, 1989)
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
32
Conclusiones
Estimación del límite superior
Análisis de la L(Θ) de cada una de las distribuciones
LB
DB, UB
EX
DB
DB
UB
EX
LB
ĝ≠M
Máx.Obss
EX
LN4
UB
EX
ĝ≠Má
áx.Obs
UB
TDF
ĝ≠Má
áx.Obs
ĝ≠Máx.Obs
ĝ=M
Máx.Obs
DB
ĝ=Máx.Obs
=
s
EV4
LB
LB
L(Θ
L(
Θ)
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
33
Conclusiones
Estimación del límite superior
Ecuación Genérica (EG)
g
∫ [ F X ( x )] dx
g = Max .Obs +
n
x min
Máxima observación de la información
Sistemática y No Sistemática
Max.Obs.
n
Información
Censurada
Orden del
Max.Obs.
Propuesta por Kijko (2004),
b d en ell estimador
basado
i d del
d l
límite superior de una variable
aleatoria de Cooke (1979)
λ L (Kijko,2004) Q máx ins. anual
Parámetro de
frecuencia en
una Poisson
λ 1
λ=1
n=L
L=M+N=Longitud
del período con
información
C
Cuando
d se tienen
i
d
datos tipo
i LB no es posible
ibl establecer
bl
ell orden
d
del Max.ObsÆ
Max.ObsÆ no se puede aplicar EG
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
34
Conclusiones
Estimación del límite superior
Límite Superior Preestablecido
•Máximo observado
•Crecida
C id máxima
á i
probable
b bl (PMF,
(PMF Probable
P b bl Maximum
M i
Fl
Flood)
d)
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
35
Conclusiones
Límite superior preestablecido
Estimación del límite superior
PMF
“…la crecida que se puede esperar de la
combinación de las más severas condiciones
razonablemente posibles en una región
determinada” (US Army
y Corp
p of Engineers,
g
, 1975))
Asociada a la precipitación
máxima probable, PMP
“La
La mayor altura acumulada de precipitación
meteorológicamente posible para una duración
determinada, para un tamaño de tormenta dado localizado
sobre un área específica
específica, en determinado momento del año”
(WMO, 1986)
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
36
Conclusiones
Límite superior preestablecido
Estimación del límite superior
PMF
PMP/PMF
Estimación estadística
Trasposición,
p
,
maximización de
tormentas Æ PMP
• Se asocia PMF con qT
de 10 mil años de Tr
PMP
Modelo
Lluvia – Escorrentía
PMF
Conceptos Fundamentales
Relaciones empíricas
Envolventes de las
crecidas mayores
mundiales
mundiales,
regionales…
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
37
Conclusiones
Límite superior preestablecido
6⎛ A ⎞
PMF = 10 ⎜ 8 ⎟
⎝ 10 ⎠
Estimación del límite superior
(1− 0.1k )
Francou y Rodier (1969)
•1200 crecidas máximas vs área
Rodier y Roche (1984)
•Completan
p
el estudio con
crecidas de 95 países.
•Obtienen k=6 para las crecidas
mayores y para A>100km
k 2
Crecidas Máximas mundiales
Tomadas de Smith y Ward (1998)
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
38
Conclusiones
Estimación del límite superior
Límite
i Superior
i Preestablecido
bl id
•Máximo observado
•Crecida máxima probable
•A efectos de la presente tésis
•Método
Método aproximado
Conceptos Fundamentales
Metodología
6⎛ A ⎞
PMF = 10 ⎜ 8 ⎟
⎝ 10 ⎠
Aplicación
(1− 0.1k )
Análisis del Error
Con k=6
39
Conclusiones
Métodos de Estimación para Funciones con Límite
Superior
Estimación
resto de
parámetros
Estimación
g
ML
ML
ML--Completo
ML
C
l t
x L(Θ’)
( )
Proceso máx
Iterativo
ML--EG
ML
G
EG
Θ por ML
gˆ = gˆ(Θ')
G=PMF
Preestablecido
ML--Prestablecido
ML
G=Xmax Obs
Θ conjunto
j
de
d parámetros
á
Θ’ conjunto de parámetros sin incluir g
Conceptos Fundamentales
Metodología
ĝ=G y máx L(Θ’)
Aplicación
Análisis del Error
40
Conclusiones
•CONCEPTOS FUNDAMENTALES
•METODOLOGÍA
•APLICACIÓN
•ANÁLISIS DEL ERROR
•CONCLUSIONES
•6 sitios con información No Sistemática en la región
g
del Mediterráneo
Español. Algunos parte del proyecto europeo SPHERE (Systematic,
Palaeoflood and Historical data for the ImprovEment of flood Risk Estimation)
Área
Media
km2
[m3/s]
Lleida
11369
995
0.95
3.05
Castellvell
3293
221
0.88
2.71
Vilomara
1885
319
0.84
2.6
Onyar
Girona
295
202
0.82
0.92
Júcar
Huerto Mulet
22000
713
2.73
5.26
Turia
La presa
6300
262
2.53
4.39
Río
Segre
Llobregat
Estación
CV
C.Asim.
•Información Histórica: 4
•Informacion de Paleocrecidas: 2
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
42
Conclusiones
Algunas series
Júcar: UB, EX
150
40
Longitudes grandes del período
con información
co
o ac ó No Sistemática
S ste át ca
500
30
Si el régimen de crecidas ha
cambiado, es decir si las
características estadísticas de las
series permanecen constantes
con el tiempo
Onyar: LB,UB,EX
Conceptos Fundamentales
•Cuestionar la estacionaridad:
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
43
Conclusiones
Análisis de Estacionaridad
Test estacionaridad para muestras censuradas (Lang et al. 1999)
•Se recortan la serie del
Onyar y la de
Vilomara,
considerando solo
d d 1870
desde
Onyar
1870, Final de la LIA para la peninsula Ibérica
(Barriendos, Martín-Vide,1998)
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
44
Conclusiones
Análisis de Estacionaridad
Test estacionaridad para muestras censuradas (Lang et al. 1999)
Lleida
Intervalo del 90%
para ell número
ú
d
de
eventos por encima
de un umbral en el
tiempo t)
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
•Futuro próximo
Æpasado reciente
Análisis del Error
45
Conclusiones
Bondad del Ajuste
•MML ((máxima verosimilitud logarítmica):
g
)
n
MLL = ∑ ln f ( xi ,θˆ)
Mejor ajuste, mayor MML
i =1
•AIC (criterio de información de Akaike):
A C = −2 MLL + 2k
AIC
Mejor ajuste, menor AIC
•Comparación
C
ió visual
i
ld
de llos ajustes
j
a llos d
datos (probabilidad
empírica)
ÆUtilizando expresiones para muestras censuradas
ÆIndispensable conocer el orden de todos los datos
Æ No
N es posible
ibl en muestras con d
datos LB.
LB Intervalos
I
l
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
46
Conclusiones
Algunos ajustes
Intervalo de probabilidad empírica de un
dato EX de magnitud mayor que el
umbral
b l LB
Turia LB, UB, EX
Efecto
f
” pata d
de perro”
”d
dell
inglés “Dog leg”
(Potter,1958)
LN4
EV4
TDF
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
XH
Análisis del Error
47
Conclusiones
Turia LB, UB, EX
LN4
EV4
TDF
G=MaxObs
ML-Completo
np
p
3
2
2
3
2
2
4
3
3
Mode o
Modelo
EV4/ML-Completo
EV4/G=PMF
EV4/G=XmaxObs
LN4/ML C
LN4/ML-Completo
l
LN4/G=PMF
LN4/G=XmaxObs
TDF/ML-Completo
/
p
TDF/G=PMF
TDF/G=XmaxObs
Conceptos Fundamentales
39753.2
20881.7
3700.1
41742 2
41742.2
20881.7
3700.1
43179.9
20881.7
3700.1
MM
MML
-262.69
-262.76
-263.96
-272.05
272 05
-272.34
-291.47
-323.37
-323.37
-383.48
Metodología
AIC
C
531.384
529.516
531.915
550 099
550.099
548.672
586.94
654.744
652.745
772.967
Aplicación
G=PMF
Análisis del Error
48
Conclusiones
Algunos ajustes
Júcar UB, EX
ML-Completo
G=Max.Obs
LN4
EV4
TDF
ML-GE
EV4
TDF
G=PMF
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
49
Conclusiones
Júcar UB, EX
np
Modelo
MML
AIC
3
EV4/ML-Completo
13000
-338.58
683.164
2
EV4/G=XmaxObs
V /G
axObs
13000.1
3000.
-338.8
338.8
681.591
68
.59
3
EV4/ML-GE
18067.6
-340.03
686.055
2
EV4/G=PMF
34434.9
-340.74
685.471
3
LN4/ML Completo
LN4/ML-Completo
93066 3
93066.3
-344.07
344 07
694 131
694.131
2
LN4/G=PMF
34434.9
-344.68
693.367
2
LN4/G=XmaxObs
13000.1
-367.26
738.525
4
TDF/ML C
TDF/ML-Completo
l
13000
-385.03
385 03
778 063
778.063
4
TDF/ML-GE
99253.2
-395.52
799.034
34434.9
-395.52
797.036
13000.1
-449.76
905.514
3
3
TDF/G=PMF
TDF/G=XmaxObs
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Método con ĝ ≠ Max.Obs
con mejor MML y AIC
Análisis del Error
50
Conclusiones
Algunos ajustes
Onyar
y LB, UB, EX
G=MaxObs
ML-Completo
LN4
EV4
TDF
•Por ML-Completo
ML Completo ĝ=Max.
ĝ=Max Obs
Obs.
para todas las F(x)
•TDF sigue la forma de
los datos
G=PMF
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
51
Conclusiones
Aspectos a Destacar de la Aplicación
•La función que mejor describe series con características de régimen
mediterráneo es la EV4
•No LBÆ EV4/ML
EV4/ML/
-GE Æpara
p
un ĝ ≠ Max.Obs
•Cando
C d h
hay LB : EV4/ML-Completo
EV4/ML C
l t
EV4/G=PMF
LN4/ML-Completo
Si hay “efecto pata
de perroӮ los que
involucran EV4
•Coeficientes de Asimetria bajos, el máximo observado es
determinante para estimar g
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
52
Conclusiones
•CONCEPTOS FUNDAMENTALES
•METODOLOGÍA
•APLICACIÓN
•ANÁLISIS DEL ERROR
•CONCLUSIONES
Simulación por MonteCarlo
Generando series
sintéticas
pertenecientes a :
M +N
Escenario 1: Datos tipo UB, EX
Coef. Asim. Alto
γx=5.77
Escenario 2:
2 Datos tipo UB, EX
Coef. Asim. Menor
γx=2.39
Coef. Asim. Alto
Escenario 3:
3 Datos tipo UB, LB, EX
γx=5.77
Coef Asim
Asim. Menor
Escenario 4:
4 Datos tipo UB, LB, EX Coef.
γx=2.39
Longitud del período Sistemático [100, 50] THÆ Período de retorno
del Umbral de percepción
Longitud del período Histórico [200, 400, 800]
Xh. [25, 75, …, 250] ((9))
Explorar varias longitudes y TH. En la línea de lo observado en las muestras con
información No Sistemática
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
54
Conclusiones
Medida del Error
R.M.S.E
1
N
E
Error
(%) =
θ
QT
θˆi
Q̂T
Conceptos Fundamentales
g
ĝ
Metodología
∑i=1
N
2
ˆ
(θ i −θ )
θ
Adimensional
En porcentaje
× 100
Teóricos
Estimados
st ados a pa
partir
t de laa serie
se e i
Aplicación
Análisis del Error
55
Conclusiones
Modelos Incluidos en el Análisis de Error
Se asume conocido
S
id ell
error asociado al valor
PMF preestablecido
EV4/ML--GE
EV4/ML
μ=PMF+0.1PMF
CV=0.3
EV4/ML--Completo
EV4/ML
EV4/G=PMF
EV4/G=Max.Obs
PMF
¿Cómo influye el error previo de la PMF en los cuantiles estimados?
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
56
Conclusiones
Error con Información CE (datos UB y EX)
•E(%) por ML-Completo y
G=MaxObs practicamente igual
•Error de ML-completo, ML-GE,
G=MaxObs, aprox del 20%, con
asimetría mayor
y y 10% asimetría
menor
γx=5.77
•E(%) a partir de cierto Tr aumenta
•Metodo ML-GE en E1 casi constante
•G=PMF mayor error. Directamente para la
PMF y el cuantil de 10 mil años corresponde
con el error asociado previo
Resultados para TH=100 años, M=400 y N=50
Conceptos Fundamentales
Metodología
γx=2.39
Aplicación
Análisis del Error
57
Conclusiones
Error con Información BC (datos UB y EX)
•E(%) por ML-Completo diferente al
E(%) por G=Max. Obs.
γx=5.77
•Menor error con Métodos g
Preestablecido
γx=2.39
•ML-Completo a partir de qT 1000
E(%) >50% con asimetría mayor y
E(%)>40% con asimetría
i t í menor
•E(%) crece a partir de cierto Tr
Conceptos Fundamentales
Metodología
Resultados para TH=100 años, M=400 y N=5058
Aplicación
Análisis del Error
Conclusiones
Influencia del Umbral TH en el Error
•Optimo de menor error aproximadamente cuando el Tr del qT estimado igual al
TH. Reportado
R
t d por Francés
F
é (1995).
(1995) Pero
P
para ML
ML-Completo
C
l t y ML
ML-GE
GE desplazado
d
l d
•Punto de referencia que indica los cuantiles a los cuales la información No
y
Sistemática está contribuyendo
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
60
Conclusiones
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
61
Conclusiones
Robustez
Comportamiento con series provenientes de otras poblaciones
Población TCEV
Población GEV
EV4
GEV
EV4
TCEV
GEV
TCEV
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
62
Conclusiones
Población EV4
Comportamiento con series provenientes de
otras poblaciones
Población TCEV
Población GEV
•EV4 puede modelar muestras
provenientes de dos mecanismos
generadores
d
diferentes
dif
t como las
l generadas
d
con TCEV
•Presenta igual o mayor robustez que
función sin límite GEV
Resultados para Escenario 2
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
63
Conclusiones
•CONCEPTOS FUNDAMENTALES
•METODOLOGÍA
•APLICACIÓN
•ANÁLISIS DEL ERROR
•CONCLUSIONES
Conclusiones
R
Respecto
t all comportamiento
t i t d
de llas ffunciones
i
de
d di
distribución:
t ib ió
•De las funciones con límite superior la EV4 es la que mejor representa
las características de los ríos mediterráneos.
mediterráneos Muestra capacidad para
describir series con el efecto “pata de perro”.
presenta el efecto “pata
p
de
•La TDF no se recomienda en casos donde se p
perro”.
Respecto
p
a la variación del error:
•Se destaca la presencia de un óptimo de mínimo error.
error En los métodos
ML--GE y ML
ML
ML--Completo este óptimo se desplaza hacia los cuantiles de
período
í d de
d retorno
t
mayor que ell período
í d d
de retorno
t
d
dell XH.
Respecto a la robustez:
•La EV4 demuestra ser robusta frente a muestras de una única población
(GEV) y de dos poblaciones (TCEV).
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
65
Conclusiones
Conclusiones
Respecto al tipo de Información No Sistemática:
•El estimador del límite superior de las funciones EV4 y TDF cuando
hay datos tipo EX, UB y DB es la máxima observación.
observación
•Es posible estimar la PMF como el límite superior de las funciones.
Cuando se tiene información BC por el método ML
ML--Completo.
Completo Cuando se
tiene información CE por el método ML
ML--GE .
• Se recomienda el uso del método EV4/ML
EV4/ML--GE cuando se tiene
información CE ya que produce los menores errores en los cuantiles de
alto período de retorno.
•Con información BC se recomienda el método
método--preestablecido ya que
produce
d
los
l cuantiles
l con menor error.
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
66
Conclusiones
Aportes
•Inclusión en el análisis de frecuencia de crecidas de dos herramientas hasta
aahora
o a no
o ut
utilizadas
adas conjuntamente,
conjuntamente
co
ju ta e te,
te co
como
o so
son la
a incorporación
co po ac ó de información
o ac ó
No Sistemática y el uso de distribuciones con límite superior.
superior
•Se analizó la capacidad
p
descriptiva
p
y predictiva
p
de las funciones EV4,, TDF y
LN4. Análisis de las relaciones entre los principales estadísticos y los
LN4
parámetros de las funciones.
•Sistematización
Si
i ió de
d la
l información
i f
ió Si
Sistemática
á i y No
N Sistemática
Si
á i para su
incorporación en una estructura de ML general.
general Se implementa un esquema de
ML el cual permite agregar cualquier tipo de dato que sea parte de la
i f
información
ió Si
Sistemática
t áti o de
d la
l No
N Sistemática.
Si t áti
•Se sistematizaron diferentes alternativas para la estimación del límite
p
de las funciones.
superior
•Inclusión de la Ecuación Genérica la cual no se reporta que haya sido utilizada
antes
t en Hid
Hidrología.
l í
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
67
Conclusiones
Aportes
•Definición de los casos cuando el límite superior puede ser
estimado por ML sin obtener la máxima observación.
observación
•Especificación de las recomendaciones de uso para estas funciones de
para los método de estimación p
propuestos,
p
,ap
partir del
distribución y p
análisis de robustez y de error realizados.
•Se realizó por primera vez el análisis de frecuencia en ríos Españoles con
Información No Sistemática utilizando funciones de distribución con límite
superior. Obteniendo un estimador estadístico de la PMF para todos ellos.
superior
•Se desarrolló el software de libre distribución AFINS para el Análisis de
Frecuencia de crecidas con Información No Sistemática.
http://lluvia.dihma.upv.es/software.php?language=es
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
68
Conclusiones
Futuras líneas de investigación
•Investigar comportamiento de las funciones bajo escenarios más
complejos con otros tipos de datos No Sistemáticos.
Sistemáticos
•Error asintótico de la LN4 la cual también mostró buenos resultados en
las aplicaciones.
•Analizar si es posible la implementación de una método que permita
utilizar la Ecuación Genérica cuando se tienen datos LB.
•Desarrollo de un modelo que pueda involucrar la no estacionaridad de
las series. Se puede beneficiar directamente del esquema tipo ML año año.
Conceptos Fundamentales
Metodología
Aplicación
Análisis del Error
69
Conclusiones
Agradecimientos
g
•Al Vicerrectorado de Investigación,
Investigación, Desarrollo e Innovación de la
Universidad Politécnica de Valencia y al Grupo de Investigación en
Hidráulica e Hidrología del Departamento de Ingeniería Hidráulica y
Medio Ambiente de la misma uni
universidad,
ersidad responsables de la beca
F.P.I para la realización de los estudios de doctorado.
•Al
Al proyecto europeo SPHERE
S
(S
(Systematic,
Palaeoflood
P l
fl d and
d Historical
H
l
data for the improvEment of flood Risk Estimation) bajo el cual se
desarrolló parte de esta tesis doctoral y de donde se obtuvo la mayoría de
los datos utilizados.
Gracias por su atención
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