Primer Parcial No se permite usar material. Se deben justificar

Centro de Matemática
Facultad de Ciencias
Universidad de la República
Cálculo 2
Curso 2016
Primer Parcial
Ejercicio 1. Sea f una función denida en un conjunto no acotado X ⊂ Rn . Denir lı́mx→∞ f (x) =
L y lı́mx→∞ f (x) = ∞ y lı́mx→a f (x) = ∞.
Determinar si valen las siguientes armaciones:
(i) Si g está acotada y lı́mx→∞ f (x) = ∞ entonces lı́mx→∞ f (x)g(x) = ∞.
(ii) Si g está acotada y lı́mx→a f (x) = 0 entonces lı́mx→a g(x)/f (x) = ∞.
Sean p y q polinomios tales que el grado de p es menor que el grado de q . ¾Se sigue que
p/q → 0 cuando x → ∞?
Ejercicio 2. Sea F una función diferenciable de R2 en R, y denotamos por f a su restricción
a X = [−1, 1] × R. Los conjuntos de nivel de f son como en la gura. Se sabe además que
∇f (x, y) 6= (0, 0) para todo (x, y) ∈ X y que fy (0, 0) > 0. Responder cuáles de las siguientes
armaciones son necesariamente verdaderas bajo estas hipótesis.
1. f está acotada superiormente y tiene máximo absoluto.
2. f está acotada inferiormente y tiene mínimo absoluto.
3. f (−1, 1) = f (1, 4)
4. fy (x, y) = 0 si x = ±1
5. fx (x, y) = 0 si x = ±1
6. fyy (0, y) → 0 si y → +∞
7. fx (−1, y) < 0 para todo y
8. la función x → f (x, log x) denida en (0, 1) es estrictamente creciente.
Ejercicio 3. Sea h : R → R una función C 2 tal que h0 (x) > 0 para todo x y dena f (x, y) =
h(xy).
1. Determinar si f es diferenciable.
2. Hallar los puntos críticos de f y clasicarlos.
3. Calcular
f (x, y) − f (0, 0)
(0,0)
x2 + y 2
lı́m
4. Gracar una posible h y los conjuntos de nivel de f resultantes.
No se permite usar material. Se deben justicar todas las respuestas.
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