Cálculo Diferencial Segundo parcial Tarea 1 1. Demostrar que si lım
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Cálculo Diferencial Segundo parcial Tarea 1 1. Demostrar que si lı́m f (x) = 0 y g es una función acotada en R, entonces x→x0 lı́m (f · g)(x) = 0. Dar un ejemplo que muestre que el resultado no se x→x0 cumple si g no es acotada. 2. Demostrar que lı́m f (x) = lı́m f (a + h) x→a h→0 3. Mediante la definición de − δ, demostrar que lı́m f (x) = L si: x→a a) f (x) = x4 , L = a4 . b) f (x) = x1 , a = 1, L = 1. c) f (x) = √x−1 , a x−1 = 1, L = 2 4. Dar un ejemplo de una función f para la cual la siguiente proposición sea falsa: Si |f (x)−L| < siempre que 0 < |x−a| < δ, entonces |f (x)−L| < 2 siempre que 0 < |x − a| < 2δ 5. Demostrar que lı́m f (x) = lı́m f (x − a) y lı́m f (x) = lı́m f (x3 ). x→a x→0 x→0 x→0 6. Demostrar que si lı́m f (x) = l y lı́m g(x) = m entonces lı́m máx(f (x), g(x)) = x→x0 x→x0 x→x0 máx(l, m). 7. A partir de la definición, demostrar que lı́m x1 no existe (Hay que proponer x→0 un l ∈ R como límite y verificar que no se satisface la definición de − δ). 8. Suponga que f (x) ≤ g(x) para todo x, l = lı́m f (x) y m = lı́m g(x). x→a x→a Demostrar que l ≤ m. ¿ Será cierto que si f (x) < g(x) para todo x entonces l < m. 9. Suponga que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x y l = lı́m f (x) = lı́m h(x). x→a x→a Entonces lı́m g(x) = l. x→a 10. A partir de propiedades de límites, calcular los siguientes: 3 √ 4 x−1 x→1 x−1 √ 2 (d) lı́m 1− x1−x 2 x→0 n −1 (f ) lı́m xx−1 si n x→0 −8 (a) lı́m xx−2 (b) lı́m x→2 √ 2 (c) lı́m 1− x1−x x→0 1 1 (e) lı́m ( (x+h) 2 − x2 ) h→0 1 ∈N
