problemas propuestos. temas 5 y 6 soluciones

Grado en Ingeniería Mecánica
Teoría de Sistemas
PROBLEMAS PROPUESTOS. TEMAS 5 Y 6
SOLUCIONES
Transformada Z. Función de transferencia discreta.
Modelado de sistemas discretos.
PROBLEMA 1. Sistema discreto definido por su ecuación en diferencias
Apartado 1. El primer paso consiste en la linealización y expresión en variables incrementales: en este caso es inmediato ya que todos los términos son lineales:
∆yk + 5∆yk−1 + 6∆yk−2 = 6∆xk + 6∆xk−1
A continuación transformamos la ecuación linealizada al dominio Z sustituyendo los retrasos
con productos por z −1 :
Y (z) + 5z −1 Y (z) + 6z −2 Y (z) = 6X(z) + 6z −1 X(z)
Despejando a partir de esta última expresión se obtiene la función de transferencia pedida:
F (z) =
Y (z)
6 + 6z −1
=
X(z)
1 + 5z −1 + 6z −2
Apartado 2. Primero calcularemos los valores de x e y en el punto de funcionamiento: En
este punto (punto de equilibrio) las señales no varían de instante a instante:
y0 + 5y0 + 6y0 = 6x0 + 6x0 + 36
x0 = 100
Despejando y0 se obtiene y0 = 103.
Ante la entrada {xk } = {1, 1, 0, 0, 0, . . .}, la salida será igual a la transformada Z de esta
entrada por la función de transferencia:
Y (z) = X(z) · F (z)
La transformada Z de la secuencia de entrada es
X(z) = 1 + z −1
Sustituyendo X(z) y F (z) en la expresión para Y (z) y operando:
Y (z) =
6 + 12z −1 + 6z −2
1 + 5z −1 + 6z −2
Para obtener los valores en los instantes pedidos puede utilizarse el método de la división
larga, resultando:
Y (z) = 6 − 18z −1 + 60z −2 − 192z −3 + . . .
1
A partir del resultado de la división larga se obtienen los términos de {∆yk }:
{∆yk } = {6, −18, 60, −192, . . .}
Para obtener el valor de la salida, se debe sumar el valor inicial a los términos incrementales
anteriores, resultando:
{yk } = y0 + {∆yk } = {109, 85, 163, −89, . . .}
Los valores pedidos corresponden a y1 e y2 :
Salida en el instante t = 1 segundo: y1 = 85.
Salida en el instante t = 2 segundos: y2 = 163.
PROBLEMA 2. Sistema discreto: ecuación en diferencias y secuencia de ponderación
Apartado 1. A partir de la entrada y salida dadas en el enunciado se puede conocer la
ecuación en diferencias del sistema:
Las transformadas Z de la entrada y la salida son:
X(z) = 1 + z −1
Y (z) = 2 + z −1
Por tanto, la función de transferencia del sistema, Y (z)/X(z) será:
Y (z)
2 + z −1
=
X(z)
1 + z −1
Operando en esta última expresión:
Y (z)(1 + z −1 ) = X(z)(2 + z −1 )
calculando la transformada inversa se tiene:
yk + yk−1 = 2xk + xk−1
o, despejando yk :
yk = 2xk + xk−1 − yk−1
Apartado 2. La secuencia de ponderación {gk } será la transformada Z inversa de la función
de transferencia G(z):
Y (z)
2 + z −1
G(z) =
=
X(z)
1 + z −1
Por división larga se obtiene:
{gk } = Z
−1
2 + z −1
1 + z −1
!
= {2, −1, 1, −1, 1, . . .}
El tercer término (k = 2) es, por tanto, +1.
2
PROBLEMA 3. Sistema discreto: función de transferencia, ecuación en diferencias y respuesta impulsional
Apartado 1. Para calcular la función de transferencia se calcula la transformada Z de la
secuencia de entrada y de la secuencia de salida:
X(z) = 1 − 3z −1 + 2z −2
Y (z) = 2z −1 + z −2
con lo que la función de transferencia resulta:
Y (z)
2z −1 + z −2
G(z) =
=
X(z)
1 − 3z −1 + 2z −2
O, en exponentes positivos:
G(z) =
z2
2z + 1
− 3z + 2
Apartado 2. La ecuación en diferencias se puede obtener a partir de la función de transferencia en exponentes negativos:
Y (z)
2z −1 + z −2
=
X(z)
1 − 3z −1 + 2z −2
Operando y calculando la transformada Z inversa se llega a la ecuación en diferencias siguiente:
yk − 3yk−1 + 2yk−2 = 2xk−1 + xk−2
Apartado 3. Para calcular la respuesta impulsional basta con calcular la transformada inversa Z de la función de transferencia. Se utilizará el método de descomposición en fracciones
simples, pero este método no es aplicable directamente por no ser el grado del denominador
superior al del numerador (en potencias negativas de z). Por ello es necesario en primer lugar
dividir numerador por denominador obteniendo:
3,5z −1 − 0,5
2z −1 + z −2
=
0,5
+
1 − 3z −1 + 2z −2
1 − 3z −1 + 2z −2
A la segunda fracción ya se le puede aplicar el método de descomposición en fracciones
simples (caso 1: raíces reales y simples), obteniendo:
3,5z −1 − 0,5
A
B
2,5
−3
=
+
=
+
−1
−2
−1
−1
−1
1 − 3z + 2z
1 − 2z
1−z
1 − 2z
1 − z −1
Por tanto, la transformada inversa será:
gk = 0,5 · δk + 2,5 · 2k − 3
(respuesta impulsional).
3
PROBLEMA 4. Sistema discreto realimentado
En primer lugar se simplifica el diagrama, llegando a una función de transferencia que
denominaremos M (z):
M (z) =
F (z) · G(z)
Y (z)
=
X(z)
1 + F (z) · G(z) · H(z)
De esta expresión se puede despejar F (z), llegando a:
F (z) =
M (z)
G(z) − M (z) · G(z) · H(z)
A continuación se obtiene M (z) a partir de la ecuación en diferencias, mediante el paso al
dominio Z:
yk − 3yk−1 + 2yk−2 = xk + 5xk−1
∆yk − 3∆yk−1 + 2∆yk−2 = ∆xk + 5∆xk−1
(linealización y var. incrementales)
Y (z) − 3z −1 Y (z) + 2z −2 Y (z) = X(z) + 5z −1 X(z)
M (z) =
(dominio Z)
1 + 5z −1
z 2 + 5z
Y (z)
=
=
X(z)
1 − 3z −1 + 2z −2
z 2 − 3z + 2
A partir de M (z), y teniendo en cuenta las funciones G(z) y H(z) dadas en el enunciado, se
puede calcular el dato F (z) pedido, llegando a:
F (z) =
z 2 + 6z + 5
M (z)
= 2
G(z) − M (z) · G(z) · H(z)
z − 4z − 3
PROBLEMA 5. Sistema discreto realimentado
A partir de la ecuación en diferencias del sistema obtenemos la función de transferencia global
M (z). Teniendo en cuenta que la ecuación es lineal y considerando variables incrementales,
calculamos la transformada Z:
z −2 Y (z) + 3z −1 Y (z) + 4Y (z) = 5z −1 X(z) + 3X(z)
Despejando Y (z)/X(z) se obtiene:
M (z) =
Y (z)
3 + 5z −1
=
X(z)
4 + 3z −1 + z −2
Aplicando la fórmula de realimentación sabemos que M (z) puede expresarse en función
de F (z) como
F (z)
M (z) =
1 + F (z)
Despejando F (z) obtenemos
F (z) =
M (z)
1 − M (z)
4
Sustituyendo M (z) por la expresión obtenida previamente y operando:
F (z) =
3 + 5z −1
3z 2 + 5z
=
1 − 2z −1 + z −2
z 2 − 2z + 1
PROBLEMA 6. Sistema discreto: función de transferencia y valores inicial y final
Apartado 1. La ecuación es lineal, considerando las variables x e y como incrementales y
calculando la transformada Z se tiene:
Y (z) − z −1 Y (z) + 0,16z −2 Y (z) = z −2 X(z)
Despejando Y (z)/X(z) se obtiene la función de transferencia pedida:
G(z) =
Y (z)
z −2
=
X(z)
1 − z −1 + 0,16z −2
Apartado 2. La salida ante escalón unitario es:
Y (z) = X(z) · G(z)
donde X(z) es la transformada Z del escalón unitario:
X(z) =
1
1 − z −1
El valor inicial de la respuesta puede obtenerse aplicando el teorema del valor inicial:
y0 = z→∞
lı́m Y (z) = z→∞
lı́m
1
z −2
=0
·
1 − z −1 1 − z −1 + 0,16z −2
⇒
y0 = 0
El valor final puede obtenerse aplicando el teorema del valor final (siempre y cuando el
sistema sea estable)
y∞
z −2
1
= lı́m (1 − z )Y (z) = lı́m (1 − z )
·
= 6,25
−1
−2
z→1
z→1
1 − z + 0,16z
1 − z −1
h
−1
i
−1
⇒
y∞ = 6,25
5
PROBLEMA 7. Sistema discreto realimentado
Apartado 1. Primero se obtiene la función de transferencia G(z) = Y (z)/X(z) reduciendo
el diagrama de bloques:
(z+1)(z+2)
z−7
(z+1)(z+2)
z−7
Y (z)
=
X(z)
1+
=
z 2 + 3z + 2
1 + 3z −1 + 2z −2
=
z 2 + 4z − 5
1 + 4z −1 − 5z −2
Operando y calculando la transformada Z inversa se obtiene la ecuación en diferencias global:
Y (z) · 1 + 4z −1 − 5z −2 = X(z) · 1 + 3z −1 + 2z −2
Y (z) + 4z −1 · Y (z) − 5z −2 · Y (z) = X(z) + 3z −1 · X(z) + 2z −2 · X(z)
yk + 4yk−1 − 5yk−2 = xk + 3xk−1 + 2xk−2
Apartado 2. La salida {yk } mostrada en el gráfico es un escalón de 3 unidades. Por tanto,
su transformada Z es:
3
Y (z) =
1 − z −1
Para calcular la entrada X(z) conocidas la salida Y (z) y la función de transferencia, basta
despejar:
Y (z)
Y (z)
⇒ X(z) =
G(z) =
X(z)
G(z)
La función de transferencia G(z) se ha calculado en el apartado anterior y en exponentes
positivos es:
z 2 + 3z + 2
G(z) = 2
z + 4z − 5
Factorizando numerador y denominador y expresándola en exponentes negativos se tiene:
(z + 1)(z + 2)
(1 + z −1 ) · (1 + 2z −1 )
G(z) =
=
(z − 1)(z + 5)
(1 − z −1 ) · (1 + 5z −1 )
Sustituyendo Y (z) y G(z) en la expresión previa para X(z) se tiene:
−1
3
(1−z
) · (1 + 5z −1 )
3 + 15z −1
X(z) =
·
=
(1 + z −1 ) · (1 + 2z −1 )
1−
z −1 (1 + z −1 ) · (1 + 2z −1 )
Para obtener el término general de la secuencia {xk } calcularemos la transformada inversa mediante el método de la descomposición en fracciones simples (caso 1: raíces reales y
simples):
A
B
12
9
X(z) =
+
=
−
−1
−1
−1
1+z
1 + 2z
1+z
1 + 2z −1
⇒
xk = 12 · (−1)k − 9 · (−2)k
6
PROBLEMA 8. Sistema discreto realimentado
Apartado 1. Las transformadas de las señales x y z son:
X(z) = 1 + 2z −1
Z(z) = 2 + 2z −1 + 4z −2
La función de transferencia global del sistema será el cociente entre la transformada de la
salida y la transformada de la entrada:
M (z) =
Z(z)
2 + 2z −1 + 4z −2
=
X(z)
1 + 2z −1
A partir de esta expresión puede obtenerse la ecuación en diferencias pedida:
Z(z) + 2z −1 Z(z) = 2X(z) + 2z −1 X(z) + 4z −2 X(z)
⇒
⇒
zk + 2zk−1 = 2xk + 2xk−1 + 4xk−2
Apartado 2. La función de transferencia del bloque G se calculará directamente como el
cociente entre la transformada de su salida y la transformada de su entrada:
G(z) =
Z(z)
2 + 2z −1 + 4z −2
=
Y (z)
2 + 3z −1 + 5z −2
Por la fórmula de realimentación sabemos que M (z) se puede expresar en función de F (z)
y G(z):
F (z) · G(z)
M (z) =
1 + F (z) · G(z)
De esta expresión puede despejarse la función F (z) pedida:
F (z) =
1
M (z)
·
G(z) 1 − M (z)
Sustituyendo M (z) y G(z) en la expresión anterior y operando se obtiene F (z):
F (z) =
2 + 3z −1 + 5z −2
−1 − 4z −2
Nota: También se podría haber obtenido F (z) de una forma más directa dividiendo la
transformada de la salida entre la transformada de la entrada:
F (z) =
Y (z)
2 + 3z −1 + 5z −2
2 + 3z −1 + 5z −2
=
=
X(z) − Z(z)
1 + 2z −1 − (2 + 2z −1 + 4z −2 )
−1 − 4z −2
7
PROBLEMA 9. Sistema discreto realimentado
(propuesto en el examen de septiembre de 2013)
Apartado a) Reduciendo el diagrama de bloques puede obtenerse una expresión para la
función de transferencia global del sistema, M (z), en función de F (z):
M (z) = 6 ·
3
1 + 3 · F (z)
de donde despejando F (z) se obtiene:
F (z) =
18 − M (z)
3 · M (z)
Por otro lado, M (z) puede calcularse dividiendo la transformada Z de la salida por la
transformada Z de la entrada dadas en el enunciado:
Y (z)
X(z)
M (z) =
Puesto que las secuencias {xk } e {yk } tienen los valores:
{xk } = {3, 1, −1, 0, 0, . . .}
{yk } = {1, 1, 0, 0, 0, . . .}
sus transformadas Z son:
X(z) = 3 + z −1 − z −2
Y (z) = 1 + z −1
Por tanto, M (z) queda:
1 + z −1
3 + z −1 − z −2
Sustituyendo M (z) en la expresión obtenida previamente para F (z) se llega a:
M (z) =
F (z) =
1+z −1
3+z −1 −z −2
1+z −1
3+z −1 −z −2
18 −
3·
Operando ...
F (z) =
53 + 17z −1 − 18z −2
3 + 3z −1
o, en exponentes positivos,
F (z) =
53z 2 + 17z − 18
3z 2 + 3z
Nota: también podría haberse obtenido F (z) dividiendo directamente la transformada
de su salida por la transformada de su entrada. Si llamamos {vk } a la secuencia de salida de
F , entonces
V (z)
F (z) =
Y (z)
8
Por otro lado, observando el diagrama de bloques, vemos que Y (z) se puede escribir como:
Y (z) = 3 · (6 · X(z) − V (z))
de donde, despejando V (z), se obtiene:
V (z) = 6 · X(z) −
1
· Y (z)
3
Sustituyendo esta expresión para V(z) en la de F (z) se tiene:
F (z) =
6 · X(z) − 31 · Y (z)
V (z)
18 · X(z) − Y (z)
=
=
Y (z)
Y (z)
3 · Y (z)
Sustituyendo X(z) e Y (z) por sus expresiones correspondientes, se obtiene la función de
transferencia pedida, que coincidirá con la obtenida con el método anterior.
Apartado b) Si llamamos {xk } a la secuencia de entrada pedida e {yk } a la secuencia de
salida deseada que nos dan en el enunciado entonces, en el dominio Z, se tiene:
Y (z) = X(z) · M (z)
de donde, despejando X(z), se obtiene:
X(z) =
Y (z)
M (z)
Como la secuencia yk toma los valores {yk } = {0, 1, 0, 0, . . .}, su transformada Z será
Y (z) = z −1
La función de transferencia M (z) se ha calculado en el apartado a):
M (z) =
1 + z −1
3 + z −1 − z −2
Sustituyendo Y (z) y M (z) en la expresión para X(z) anterior se tiene:
X(z) =
Y (z)
=
M (z)
z −1
1+z −1
3+z −1 −z −2
⇒
3z −1 + z −2 − z −3
1 + z −1
Puesto que se pide el término general de la secuencia, habrá que calcular la transformada Z inversa de X(z). Para ello aplicaremos, por ejemplo, el método de descomposición
en fracciones simples. Como el orden del numerador (3) es mayor que el del denominador
(1), dividimos numerador entre denominador hasta obtener una fracción con el orden del
numerador menor que el del denominador,
⇒ X(z) =
−z −3
+z −3
+z −2
+z −2
2z −2
−2z −2
+3z −1
z −1 + 1
−z −2 + 2z −1 + 1
+3z −1
−2z −1
z −1
−z −1
−1
−1
9
Por tanto, X(z) puede escribirse como
X(z) = 1 + 2 · z −1 − z −2 +
−1
1 + z −1
y su transformada inversa puede obtenerse directamente a partir de la tabla de transformadas:
{xk } = {δk + 2 · δk−1 − δk−2 − (−1)k }
(se ha tenido en cuenta que un producto por z −1 en el dominio Z es equivalente a una
unidad de retraso en el dominio del tiempo, por eso la transformada inversa de 2 · z −1 se
puede escribir como 2 · δk−1 y la de z −2 como δk−2 ).
Nota: A partir de esta expresión pueden obtenerse los valores de la secuencia para cualquier valor de k, teniendo en cuenta que
δk =

1,
si k = 0
si k =
6 0
0,
Así, los valores de la secuencia son:
{xk } = {0, 3, −2, 1, −1, 1, −1, 1, . . .}
10