Ecuaciones en Derivadas Parciales

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
por Jesús Carnicer Álvarez,
Departamento de Matemática Aplicada,
Universidad de Zaragoza, Mayo de 2013.
1. ¿Qué es una ecuación en derivadas parciales?
Informalmente podemos decir que una ecuación en derivadas parciales es una
ecuación en la que intervienen más de una variable independiente x1 , . . . , xn ,
una variable dependiente u, que es función de las variables independientes
u(x1 , . . . , xn ), y también las derivadas parciales de primer orden @u/@xi y de
órdenes superiores hasta cierto orden.
3. La ecuación de Laplace (3 variables espaciales)
uxx (x, y, z) + uyy (x, y, z) + uz (x, y, z) = 0,
la ecuación de ondas (3 variables espaciales y 1 variable temporal)
utt (x, y, z, t) = c2 uxx (x, y, z, t) + uyy (x, y, z, t) + uzz (x, y, z, t)
y la ecuación del calor (3 variables espaciales y 1 variable temporal)
ut (x, y, z, t) = k uxx (x, y, z, t) + uyy (x, y, z, t) + uzz (x, y, z, t)
son ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden.
La ecuación ut (x, t) = 0
Buscaremos las soluciones de la ecuación
Por ejemplo, una ecuación en derivadas parciales en dos variables independientes x, y, se puede escribir en la forma
F (x, y, u(x, y), ux (x, y), uy (x, y), . . .) = 0,
donde ux denota @u/@x y uy denota @u/@y.
Llamamos orden de una ecuación en derivadas parciales al orden de derivación máximo que aparece en las expresiones. Ası́, una ecuación de primer
orden es de la forma
F (x, y, u, ux , uy ) = 0
y una ecuación general de segundo orden es
F (x, y, u, ux , uy , uxx , uxy , uyy ) = 0.
Ejemplos.
1. La ecuación ut (x, t) = 0, nos indica que la variable dependiente u no
depende de t sino más bien de x.
2. La ecuación del transporte (1 variable espacial y 1 variable temporal)
ut (x, t) + cux (x, t) = 0
es una ecuación en derivadas parciales de primer orden.
1
ut (x, t) = 0
(1.1)
en sentido clásico, es decir, toda solución u es una función que admite derivadas parciales respecto a t en todos los puntos de su dominio de definición
⌦ ✓ R2 . Para simplificar la discusión supondremos que u 2 C 1 (⌦).
Supongamos que {x} ⇥ [t1 , t2 ] = {(x, t) | t 2 [t1 , t2 ]} es un subconjunto
de ⌦ Teniendo en cuenta que u es de clase C 1 (⌦) y (1.1), se deduce que la
función h : [t1 , t2 ] ! R definida por
h(t) = u(x, t),
t 2 [t1 , t2 ]
es una función de clase C 1 [t1 , t2 ]. Derivando obtenemos
h0 (t) =
d
@u
[u(x, t)] =
(x, t) = ut (x, t) = 0,
dt
@t
8t 2 J.
(1.2)
Por el Teorema del valor medio de Lagrange, existe t 2 (t1 , t2 ) ✓ J tal que
h0 (t) =
h(t2 )
t2
h(t1 )
.
t1
Teniendo en cuenta (1.2), deducimos que
h(t2 )
t2
h(t1 )
= 0,
t1
2
es decir, h(t1 ) = h(t2 ). Por tanto tenemos que si u 2 C 1 (⌦) es una solución
de la ecuación ut = 0 y {x} ⇥ [t1 , t2 ] ✓ ⌦, entonces
u(x, t1 ) = u(x, t2 ).
Si el dominio es convexo o más generalmente, si ⌦ es un conjunto tal que
Jx := {t 2 R | (x, t) 2 ⌦}
es un intervalo para todo x 2 I := {x 2 R | Jx 6= ;}, entonces tenemos que
para cada x 2 I, el valor u(x, t) no depende de t 2 Jx y podemos afirmar que
u(x, t) = f (x),
8(x, t) 2 ⌦,
f 2 C 1 (I),
(1.3)
siendo f (x) el único valor que toma u en el conjunto {x} ⇥ Jx .
)
Ω
Jx
Figura 2. El valor para u(x, t) puede depender de t.
Por ejemplo, sea el dominio
⌦ := ([ 4, 1] ⇥ [ 1, 1]) [ ([ 1, 3] ⇥ [ 2, 1]) [ ([ 1, 3] ⇥ [1, 2])
y sea la función
8
< x2
u(x, t) :=
x2
:
0
si (x, t) 2 ⌦, x > 0, t > 0,
si (x, t) 2 ⌦, x > 0, t < 0,
si (x, t) 2 ⌦, x  0.
(
Entonces ⌦ es conexo, u 2 C 1 (⌦) verifica (1.1) en todos los puntos pero
u(x, t1 ) 6= u(x, t2 ) si x > 0, t1 < 0 < t2 . Ası́ que la expresión de la solución
general (1.3) no es válida en este dominio.
2. La ecuación del transporte
x
Figura 1. Intersección del dominio con rectas x = constante
La fórmula (1.3) recibe el nombre de solución general de la ecuación y
expresa el hecho de que las soluciones de la ecuación (1.1) son funciones que
solamente dependen de la variable x pero no de la variable t.
Si Jx no es conexo para todo x 2 I, pueden aparecer soluciones que no
tomen un único valor para el mismo x, es decir, tales que u(x, t1 ) 6= u(x, t2 ),
t1 , t2 2 Jx .
3
Consideremos un fluido moviéndose en el espacio Rn y una sustancia dispersa
transportándose en el seno del fluido. Una forma de describir el movimiento
del fluido consiste en proporcionar en cada punto y cada instante el campo
de velocidades
v(x, t) = (v1 (x, t), . . . , vn (x, t)) 2 Rn .
Cada partı́cula en el seno del fluido se verá arrastrada con el movimiento
del fluido, por lo que tendrá un movimiento de acuerdo con el campo de
velocidades. Este fenómeno de transporte recibe el nombre de advección o
convección.
4
Si las partı́culas en el seno del fluido se transportan mediante advección,
el movimiento individual de cada partı́cula transportada estará gobernado
por la ecuación diferencial ordinaria
x0 (t) = v(x(t), t).
Las soluciones de la ecuación diferencial anterior son las curvas paramétricas
correspondientes al movimiento de las partı́culas dentro del seno del fluido y
reciben el nombre de lı́neas de corriente.
Las lı́neas de corriente proporcionan una descripción macroscópica del
movimiento, despreciando los efectos de la agitación molecular debido a la
temperatura y de los movimientos microscópicos que no dan lugar a desplazamientos macroscópicos netos. Estos fenómenos microscópicos son los responsables del fenómeno de difusión. Incluso en un fluido en reposo podemos
detectar transporte neto de sustancia debido a la difusión.
Aunque la advección en un fluido puede expresarse en términos del movimiento de cada partı́cula según las lı́neas de corriente, la descripción de la
posición de cada partı́cula de una sustancia no es útil en la práctica. En primer lugar, es imposible seguir con detalle la trayectoria de un gran sistema de
partı́culas, más aún si se trata de un medio continuo. Además las partı́culas
de una misma sustancia pueden ser indistinguibles lo que hace prácticamente
imposible investigar su movimiento individual. Por ello, pretendemos formular la advección en términos magnitudes que podamos observar y medir. La
concentración de una sustancia es la cantidad de sustancia por unidad de
volumen y puede definirse como
mD (t)
u(x, t) :=
lı́m
,
x2D;vol(D)!0 vol(D)
donde D denota una porción del fluido que contiene al punto x, y mD (t) la
cantidad sustancia contenida en el dominio D. La densidad del fluido ⇢(x, t)
es
MD (t)
⇢(x, t) :=
lı́m
,
x2D;vol(D)!0 vol(D)
donde MD (t) denota la cantidad total de fluido contenida en el volumen D.
Una magnitud que tiene interés cuando hay grandes cambios de densidad en
el fluido es la concentración relativa de la sustancia o concentración especı́fica,
definida como
mD (t)
u(x, t)
U (x, t) :=
lı́m
=
.
⇢(x, t)
x2D;vol(D)!0 MD (t)
5
Flujo de material
Para deducir correctamente la ley del transporte debemos introducir la velocidad de flujo de concentración q(x, t). La velocidad de flujo de concentración
indica la cantidad de sustancia que atraviesa una pequeña superficie por unidad de tiempo.
En los fenómenos de transporte tiene sentido definir un vector correspondiente a la velocidad de flujo de concentración. Si S es una pequeña
superficie plana con vector normal n que contiene al punto x y m es la
cantidad de substancia que atraviesa dicha pequeña superficie plana en un
pequeño intervalo de tiempo t entonces existe un vector q(x, t) tal que
q(x, t) · n =
lı́m
t!0; S!0
m
,
t S
Observemos que el vector q(x, t) queda determinado al medir q(x, t) · n para
superficies normales a una base de vectores del espacio.
Si conocemos la velocidad de flujo de sustancia podemos deducir mediante
integración la cantidad de sustancia que atraviesa una superficie macroscópica
S dada en un intervalo de tiempo [t0 , t0 + t] es
Z t0 + t Z
m=
q(x, t) · n(x)d (x)dt.
t0
S
Leyes de conservación y ecuación del transporte
De la definición de velocidad de flujo, se deduce que la cantidad de sustancia
por unidad de tiempo que atraviesa una superficie S viene dada por la integral
Z
dm
=
q(x, t) · n(x)d (x).
dt
S
Si tomamos S = @D la superficie que encierra al dominio D, podemos aplicar
el Teorema de la divergencia de Gauss y obtener
Z
Z
m0D (t) =
q(x, t) · n(x)d (x) =
div q(x, t)dx.
@D
D
El signo se debe a que la normal es exterior, por lo que la integral de flujo no
expresa el incremento sino más bien la tasa de decremento de material. Por
otro lado
Z
Z
@
m0D (t) :=
u(x, t)dx =
ut (x, t)dx,
@t D
D
6
de donde se deduce la siguiente fórmula
Z
Si multiplicamos por la concentración obtenemos la cantidad de sustancia
que atraviesa la superficie
(ut (x, t) + div q(x, t))dx = 0.
m=u V =
D
y entonces
Teniendo en cuenta que el dominio D es arbitrario, se deduce que
ut (x, t) + div q(x, t) = 0.
(2.1)
La relación anterior es una ley de conservación de material expresada en
forma diferencial. Si no hay fuentes ni sumideros de material, la variación
de la concentración de material debe coincidir exactamente con el balance de
material entrante y saliente debido al flujo.
Flujo advectivo
Consideremos el caso de transporte puramente advectivo de una sustancia
con concentración u constante y velocidad constante v. Al cabo de un tiempo
pequeño t, el fluido que atraviesa la superficie plana S rellena un volumen
prismático igual a
V =
S tv · n =
S tkvk cos ↵,
siendo ↵ el ángulo formado por la dirección de la velocidad y la normal a la
superficie.
n
S tuv · n
q(x, t) · n = u v · n,
para todo n, lo que implica que la velocidad de flujo es q(x, t) = u v. En
el caso general, la cantidad de sustancia que atraviesa la superficie S en el
intervalo de tiempo [t0 , t0 + t] es
m=
Z
t0 + t
t0
Z
S
u(x, t) v(x, t) · n(x)d (x)dt.
Por tanto, la velocidad de flujo de material en los fenómenos de transporte es
el producto de la concentración por la velocidad
q(x, t) = u(x, t)v(x, t).
(2.2)
Ecuación del transporte y ley de conservación de la masa
La velocidad de flujo en los fenómenos de transporte puramente advectivo viene dada por (2.2), lo que permite eliminar la velocidad de flujo en la
ecuación (2.1)
ut (x, t) + div(u(x, t)v(x, t)) = 0,
(2.3)
obteniendo la expresión diferencial de la ecuación del transporte. Esta ecuación no describe el fenómeno general de transporte sino solamente la advección, por lo que en algunos contextos recibe el nombre de ecuación de la
advección para indicar que excluye los fenómenos de difusión y microcirculación.
Razonando análogamente con la cantidad total de fluido,
Z
Z
0
⇢t (x, t)dx = MD
(t) =
div(⇢(x, t)v(x, t))dx,
D
n
v dt
D
obtenemos la forma diferencial de ley de conservación de la masa
Figura 6. Volumen de fluido que atraviesa una superficie
⇢t (x, t) + div(⇢(x, t) · v(x, t)) = 0.
7
8
(2.4)
t
Teniendo en cuenta que u(x, t) = U (x, t)⇢(x, t) se deduce de (2.3) que
Ω
0 = ut (x, t) + div(u(x, t)v(x, t))
@
= (U (x, t)⇢(x, t)) + div(U (x, t)⇢(x, t)v(x, t))
@t
= ⇢(x, t)Ut (x, t) + U (x, t)⇢t (x, t)
(x0,t0)
+ ⇢(x, t) v(x, t) · grad U (x, t) + U (x, t) div(⇢(x, t) · v(x, t))
= ⇢(x, t)(Ut (x, t) + v(x, t) · grad U (x, t))
+ u(x, t)(⇢t (x, t) + div(⇢(x, t) · v(x, t)))
x
Al aplicar la ecuación (2.4), se deduce la ecuación del transporte para la
concentración relativa
donde I(t0 , x0 ) es la mayor intervalo que contiene a t0 tal que
Ut (x, t) + v(x, t) · grad U (x, t) = 0.
Si la velocidad no depende de t, entonces se trata de un flujo estacionario
y la ecuación del transporte se reduce a
y si no existen variaciones espaciales de la velocidad tenemos la ecuacion en
derivadas parciales con coeficientes constantes
Ut (x, t) + v · grad U (x, t) = 0.
(2.5)
debe ser una función u 2 C 1 (⌦). Las lı́neas de corriente son las soluciones de
la ecuación diferencial
x0 (t) = v.
Imponiendo una condición inicial arbitraria x(t0 ) = x0 , obtenemos la expresión genérica de las lı́neas de corriente
t0 )v,
9
t 2 I(t0 x0 ),
h(t) := u(x0 + (t
t0 )v, t),
(2.6)
t 2 I(t0 , x0 ).
Observemos que h es una función definida en I(t0 , x0 ) de clase C 1 . Derivando
la función h y teniendo en cuenta que u verifica (2.5), deducimos que
t0 )v, t) +
n
X
i=1
Toda solución de la ecuación del transporte
x(t; t0 , x0 ) = x0 + (t
t0 )v | t 2 I(t0 , x0 )}.
está contenido en ⌦.
h0 (t) = ut (x0 + (t
Transporte con campo de velocidades constante
@u
ut +
vi
= 0,
@x
i
i=1
{x0 + (t
Para resolver la ecuación del transporte definimos para cada (x0 , t0 )
Ut (x, t) + v(x) grad U (x, t) = 0
n
X
Figura 4. Lı́neas de corriente en un dominio
ci
@u 0
(x + (t
@xi
t0 )v, t) = 0,
de donde se deduce que la función h es constante. Por tanto, la función u
permanece constante sobre los segmentos (2.6), que son las lı́neas de corriente.
Describamos el conjunto de todas las soluciones o solución general, en el
caso en que el dominio de definición sea ⌦ = Rn ⇥R. Como u(x, t) permanece
constante sobre las lı́neas de corriente (2.6), tenemos
u(x0 + (t
t0 )v, t) = u(x0 , t0 ),
8t 2 R.
Supongamos que conocemos la solución en el instante t0 . Sustituyendo t0 = 0
en la ecuación anterior, obtenemos
u(x0 + tv, t) = u(x0 , 0).
10
Llamando f (x0 ) := u(x0 , 0), x0 2 Rn tenemos
Tomando x = x0 + (t
inicial propuesto (2.7).
u(x0 + tv, t) = f (x0 ).
Si ahora sustituimos x0 = x
sión de la solución general
u(x, t) = f (x
f(x+c)
tv, en la fórmula anterior, deducimos la expretv),
(x, t) 2 R2 ,
f(x)
f 2 C 1 (R).
t0 )v, obtenemos la solución del problema de valor
u(x, t) = f (x
(t
t0 )v),
(x, t) 2 R2 .
Transporte con campo de velocidades variable
Si el campo de velocidades v(x, t) no es constante, entonces las lı́neas de
corriente son las soluciones del sistema diferencial
f(x-c)
x0 (t) = v(x(t), t).
Teorema 2.1. Sea ⌦ un abierto de Rn ⇥ R y sea u 2 C 1 (⌦) una solución
del problema de valor inicial para la ecuación del transporte
c
ut +
n
X
i=1
Las funciones de la forma f (x tv) pueden interpretarse como señales
que viajan con velocidad v. Esto corresponde a la idea intuitiva de que la
sustancia transportada debe moverse a lo largo de las lı́neas de corriente. Ası́
que la evolución temporal de una distribución espacial de concentración sufre
a un desplazamiento respecto a la distribución inicial en la dirección de la
velocidad, siendo el desplazamiento proporcional al tiempo transcurrido.
Esta interpretación de la solución u(x, t) = f (x tv) como la evolución
temporal de una distribución inicial de concentración u(x, 0) = f (x), nos
conduce a la idea de problema de valor inicial para la ecuación del transporte
@u
ut +
vi
= 0,
@x
i
i=1
u(x, t0 ) = f (x).
t0 )v, t) = u(x0 , t0 ) = f (x0 ).
11
@u
= 0,
@xi
u(x, t0 ) = f (x),
x0 (t) = v(x(t), t),
(2.9)
x(t0 ) = x0 ,
definida en un intervalo I(t0 , x0 ) tal que
(x(t; t0 , x0 ), t) 2 ⌦,
8t 2 I(t0 , x0 ).
Entonces u verifica
u(x(t; t0 , x0 ), t) = f (x0 ),
(2.7)
Para resolverlo, tenemos en cuenta de nuevo que la solución permanece constante sobre las lı́neas de corriente
u(x0 + (t
vi (x, t)
con campo de velocidades v 2 C 1 (⌦). Sea x(t; t0 , x0 ) la solución del problema
de valor inicial para el sistema diferencial
Figura 5. Un pulso que viaja a la derecha con velocidad c
n
X
(2.8)
8t 2 I(t0 , x0 )
para todo t 2 I(t0 , x0 ).
Demostración. Para cada (x0 , t0 ) dado, definimos
h(t) := u(x(t; t0 , x0 ), t),
12
t 2 I(t0 , x0 ).
(2.10)
que es una función de clase C 1 . Derivando, deducimos que la función h verifica
h0 (t) = ut (x(t; t0 , x0 ), t) +
= ut (x0 + (t
n
X
@u 0
(x + (t
@x
i
i=1
t0 )v, t) +
n
X
ci (x0 + (t
t
t0 )v, t) x0i (t; t0 x0 )
1
t0 )v, t)
i=1
@u 0
(x + (t
@xi
t0 )v, t).
x
0
0
Como u verifica (2.9), se deduce que h (t) = 0 para todo t 2 I(t0 , x ). Por
tanto, h(t) = h(t0 ), para todo t 2 I(t0 , x0 ). Como h(t0 ) = u(x0 , t0 ) = f (x0 ),
deducimos que la función u verifica (2.10).
-10
-5
5
10
-1
La fórmula (2.10) permite determinar implicitamente la solución del problema bajo determinadas condiciones.
Para un campo de velocidades de clase C 1 , la solución maximal x(t; t1 , x1 )
correspondiente a cada condición inicial (t1 , x1 ) es única. Observemos que si
t0 2 I(t1 , x1 ), entonces x(t; t1 , x1 ) es una solución del problema de valor inicial
x0 (t) = v(x, t),
x(t0 ) = x(t0 ; t1 , x1 ).
Las lı́neas de corriente son las soluciones de la ecuación diferencial
x(t; t0 , x(t0 ; t1 , x1 )) = x(t; t1 , x1 )
x0 (t) = x(t).
y que I(t1 , x1 ) = I(t0 , x(t0 ; t1 , x1 )). Tomando t = t1 , tenemos
Las gráficas de las lı́neas de corriente en el espacio fásico (x, t) están
representadas en la Figura 7.
x(t1 ; t0 , x(t0 ; t1 , x1 )) = x1 .
La solución de x0 (t) = x(t) que verifica la condición inicial x(t0 ) = x0 es
para todo t0 2 I(t1 , x1 ). Tomando x0 = x(t0 ; t1 , x1 ) en la fórmula (2.10)
obtenemos u(x1 , t1 ) = f (x(t0 ; t1 , x1 )), de donde se deduce la siguiente fórmula
explı́cita de la solución de la ecuación general del transporte
(2.11)
para todo (x, t) tal que t0 2 I(t, x). Notemos que el teorema de Peano garantiza la dependencia de clase C 1 de x(t0 ; t, x) respecto a las condiciones
iniciales t, x.
13
Ejemplo 2.1. Considérese la ecuación
ut (x, t) + xux (x, t) = 0.
De la unicidad de solución se deduce que
u(x, t) = f (x(t0 ; t, x)),
Figura 7. Lı́neas de corriente de la ecuación ut + xux = 0
x(t; t0 , x) = exp(t
t0 )x0 ,
t 2 R.
Supongamos que conocemos la distribución inicial de concentraciones en el
instante t0 viene dada
u(x, t0 ) = f (x),
x 2 R,
con f 2 C 1 (R). Entonces podemos sustituir
x(t0 ; t, x) = exp(t0
14
t)x.
en la fórmula (2.11) y expresar la solución del problema de valor inicial
ut (x, t) + xux (x, t) = 0,
u(x, t0 ) = f (x),
x 2 R,
Jy := {x 2 R | (x, y) 2 D̄} = (a(y), b(y)),
en la forma
u(x, t) = f (exp(t0
para todo
t 2 R.
t)x),
Mediante la elección de t0 = 0, deducimos que la fórmula u(x, t) =
f (exp( t)x) expresa la solución general de la ecuación ut + xux = 0. Por
lo tanto, una función de dos variables es solución de la ecuación ut + xux = 0
si y sólo si esta es expresable como una función de la solución particular
exp( t)x.
Apéndice: la fórmula de Green
Sea D ⇢ Rn un abierto acotado con frontera orientable y lipschitiziana y sea
u 2 C 1 (D̄) un campo escalar. Entonces
Z
D
@u
(x)dx =
@xi
Z
u(x)ni (x)d (x),
(2.12)
@D
donde ni es la componente i-ésima del vector normal n(x) a la variedad @D.
n2
n
n1
Sin pérdida de generalidad supongamos que i = 1. Por simplicidad demostraremos la propiedad para dominios D tales que
y 2 D0 := {y 2 Rn
1
| (x, y) 2 D para algún x},
es decir, el dominio D es de la forma
D = {(x, y) | y 2 D0 ,
x 2 (a(y), b(y))}.
siendo a, b 2 C 1 (D0 ). La propiedad puede extenderse a dominios que son
unión de dominios de este tipo y más generalmente a dominios acotados con
frontera orientable y lipschitziana.
La frontera del dominio queda descompuesta en dos partes
@D := {(a(y), y) | y 2 D0 },
@D+ := {(b(y), y) | y 2 D0 }.
En virtud de tipo de dominio elegido, podemos escribir la integral de volumen
en la forma
Z
D
Z
Z
⇣ @u
⌘
(x1 , y)dx1 dy
@x1
D 0 a(y)
Z
Z
=
u(b(y), y)dy
u(a(y), y)dy.
@u
(x)dx =
@x1
b(y)
D0
D
D0
Ahora tenemos que expresar el elemento de superficie en términos de dy. En
@D+ tenemos
dy = cos ↵1 d (x) = n1 (x)d (x),
∂D–
∂ D+
Figura 8. Fórmula de Green
15
siendo ↵1 es ángulo que forma la normal con el vector (1, 0, . . . , 0) normal al
plano y = y0 . Si tenemos en cuenta el cambio de orientación de las normales
exteriores, vemos que en @D , el elemento de superficie verifica
dy =
n1 (x)d (x).
16
Por tanto tenemos
Z
Z
Z
@u
(x)dx =
u(x)n1 (x)d (x) +
u(x)n1 (x)d (x)
D @xi
@D+
@D
Z
=
u(x)n1 (x)d (x),
La conocida fórmula de Green en el plano, se deduce inmediatamente de
(2.12). La circulación de un campo vectorial v(x) = (v1 (x), v2 (x)) viene dada
por la fórmula
Z
@D
siendo t(x) = ( n2 (x), n1 (x)) el vector tangente unitario a la lı́nea frontera.
En el caso bidimensional el elemento de hipersuperficie d (x) corresponde al
elemento de arco de la curva frontera. Aplicando (2.12) obtenemos
D
lo que demuestra la fórmula (2.12).
Recordemos que
grad u(x) :=
Z
⇣ @u
⌘T
@u
(x), . . . ,
(x) .
@x1
@xn
@D
v(x) · t(x)d (x) =
grad u(x)dx =
D
Z
y llamando
u(x) n(x)d (x).
(2.13)
div v dx =
D
Z
@D
v(x) · n(x)d (x),
(2.14)
donde v 2 C 1 (D̄; Rn ) es un campo vectorial sobre un dominio D ✓ Rn al
que podemos dotar de una normal exterior. El miembro de la derecha se
interpreta como el flujo del campo vectorial v que atraviesa la frontera de D.
Si definimos
n
X
@vi
div v(x) :=
(x),
@x
i
i=1
tenemos que
Z
div v(x)dx =
D
n Z
X
i=1
=
Z
@D
n
@D
rot v(x) :=
@D
Basándonos en la fórmula (2.13), podemos demostrar el teorema de la
divergencia de Gauss
Z
Z
(n1 (x)v2 (x) n2 (x)v1 (x))d (x)
Z D⇣
⌘
@v2
@v1
=
(x)
(x) dx,
@x2
D @x1
Entonces las ecuaciones (2.12) pueden resumirse en una sola fórmula vectorial
Z
v(x) · t(x)d (x)
X
@vi
(x)dx =
@xi
i=1
v(x) · n(x)d (x).
17
Z
vi (x)ni (x)d (x)
D
@v2
(x)
@x1
@v1
(x),
@x2
obtenemos la fórmula de Green en el plano
Z
@D
v(x) · t(x)d (x) =
Z
rot v(x)dx.
D
3. Dependencia funcional
La solución general de algunas ecuaciones en derivadas parciales lineales de
primer orden puede formularse en términos de una dependencia funcional. En
este capı́tulo desarrollaremos algunas propiedades de la dependencia funcional
que serán útiles para obtener expresiones de las soluciones.
Definición 3.1. Sean u1 , . . . , uk , u funciones definidas en ⌦ ✓ Rn . Se dice
que u depende funcionalmente de u1 , . . . , uk sobre ⌦ si existe una función
F : D ✓ Rk ! R definida en cierto subconjunto de Rk tal que
0
1
u1 (x)
B .. C
@ . A 2 D,
uk (x)
18
8x 2 ⌦
y
entonces
8x 2 ⌦.
u(x) = F (u1 (x), . . . , uk (x)),
k 1
X
@uk
(x) =
Di F (u1 (x), . . . , uk
@xj
i=1
Si no hay problemas de confusión, omitiremos las variables independientes, al expresar una relación de dependencia funcional
es decir
u = F (u1 , . . . , uk ).
Para funciones diferenciables es habitual suponer que la relación de dependencia funcional es diferenciable, lo que permite establecer relaciones entre
las derivadas parciales.
Ejemplo 3.2. Sean u, v : I ! R, donde I ✓ R es un intervalo y suponer
que u es una función inyectiva. Como u es inyectiva, existe la función inversa
u
Definamos F = v u
v = F (u).
1
1
, entonces tenemos la relación de dependencia funcional
⌦ ✓ Rn y sea
···
..
.
···
1
@u1
(x) C
@xn
C
..
C
C
.
A
@uk
(x)
@xn
es decir, ui depende funcionalmente de u1 , . . . , ui
@(u1 , . . . , uk )
(x)  k
@x
1 (x))
j = 1, . . . , n,
@ui
(x),
@x
de donde se deduce que la última fila de la matriz Jacobiana @u(x)/@x es una
combinación lineal de las filas anteriores. Por tanto rango @u(x)/@x < k para
todo x 2 ⌦.
1,
1 , ui+1 , . . . , uk ,
uk (x) = F (u1 (x), . . . , uk
u 2 D,
F (u1 (x), . . . , uk (x)) = 0,
entonces
8x 2 ⌦.
1 (x)),
Definición 3.4. Sean u1 , . . . , uk funciones definidas en ⌦ ✓ Rn . Se dice
que u1 , . . . , uk son funcionalmente dependientes sobre ⌦ si existe existe una
función F 2 C 1 (D), D ✓ Rk , con gradiente no nulo
tal que se verifica la siguiente relación de dependencia funcional no trivial
Demostración. Reordenando las funciones si es necesario, podemos suponer
sin pérdida de generalidad que
19
k 1
X
@uk
(x) =
Di F (u1 (x), . . . , uk
@x
i=1
grad F (u) 6= 0,
la matriz jacobiana de la función vectorial u(x) := (u1 (x), . . . , uk (x)), x 2 ⌦.
Si
ui = F (u1 , . . . , ui 1 , ui+1 , . . . , uk ), F 2 C 1 ,
rango
@ui
(x),
@xj
A veces es necesario considerar relaciones de dependencia entre funciones
sin especificar cuál puede expresarse en términos de las demás
: u(I) ! R.
Proposición 3.3. Sean u1 , . . . , uk 2 C 1 (⌦),
0
@u1
B @x1 (x)
B
@(u1 , . . . , uk )
..
(x) = B
B
@x
@ @uk.
(x)
@x1
1 (x))
x 2 ⌦.
Nota 3.5. Si u depende funcionalmente de u1 , . . . , uk ,
u = F (u1 , . . . , uk )
entonces las funciones u1 , . . . , uk , u son funcionalmente dependientes, ya que
podemos establecer entre ellas la relación de dependencia funcional no trivial
u
F (u1 , . . . , uk ) = 0.
Ejemplo 3.6. Las funciones trigonométricas sen x y cos x son funcionalmente
dependientes, ya que verifican la relación de dependencia funcional
sen2 x + cos2 x = 1,
20
x 2 R.
Definiendo F (u1 , u2 ) = u21 + u22 1, podemos expresar la relación de dependencia en la forma F (sen x, cos x) = 0.
lo que significa que si el rango de la matriz jacobiana es máximo en un punto
podemos garantizar la independencia funcional en un entorno de dicho punto.
Proposición 3.7. Sean u1 , . . . , uk 2 C 1 (⌦), ⌦ ✓ Rn . Si u1 , . . . , uk son
funcionalmente dependientes, entonces
Según la definición dada de independencia funcional, existen funciones
que no son ni funcionalmente dependientes ni funcionalmente independientes.
Por ejemplo, las funciones
⇢
⇢
x3 si x  0,
x2 si x  0,
u1 (x) :=
u
(x)
:=
2
2
x si x 0,
x3 si x 0,
rango
@(u1 , . . . , uk )
(x)  k
@x
8x 2 ⌦.
1,
Demostración. Si derivamos la relación de dependencia funcional (respecto
a todas las variables) tenemos
F (u1 (x), . . . , uk (x)) = 0.
obtenemos
k
X
Di F (u(x))
i=1
@ui
(x) = 0,
@x
luego para cada x 2 ⌦ existe una relación lineal no trivial entre las filas de la
matriz jacobiana @u(x)/@x.
Definición 3.8. Sean u1 , . . . , uk 2 C 1 (⌦) funciones definidas en ⌦ ✓ Rn . Se
dice que u1 , . . . , uk son funcionalmente independientes sobre ⌦ si
rango
@(u1 , . . . , uk )
(x) = k,
@x
8x 2 ⌦.
son C 1 (R) pero no pueden ser independientes sobre ningún intervalo abierto
porque el número de funciones es mayor que el número de variables
✓ 0
◆
u1 (x)
rango
< 2, 8x 2 R.
u02 (x)
Tampoco pueden ser dependientes. Si existiera una relación de dependencia funcional en un entorno de x = 0
F (u1 (x), u2 (x)) = 0,
se tendrı́a
D1 F (u1 (x), u2 (x))2x + D2 F (u1 (x), u2 (x))3x2 = 0,
D1 F (0, 0) = 0.
Análogamente
Nota 3.9. Observemos que si para un cierto punto x0 2 ⌦ se verifica la
condición
@(u1 , . . . , uk ) 0
rango
(x ) = k,
@x
y tomando lı́mite cuando x ! 0
rango
@(u1 , . . . , uk )
(x) = k,
@x
21
8x 2 U,
0 < x < ✏,
y tomando lı́mite cuando x ! 0+ obtendrı́amos
Una primera consecuencia de la definición es que la independencia funcional implica que en número de funciones debe ser menor o igual que el número
de variables independientes k  n.
entonces existe un entorno U de x0 en el que
|x|  ",
D1 F (u1 (x), u2 (x))3x2 + D2 F (u1 (x), u2 (x))2x = 0,
✏ < x < 0,
obtendrı́amos
D2 F (0, 0) = 0.
Se deduce que el gradiente de F debe ser nulo en (0, 0), lo que contradice que
se haya obtenido una relación de dependencia funcional.
El Teorema del rango constante permite deducir la existencia de una
función que dependen funcionalmente de las demás.
22
Teorema 3.10. Sean u1 , . . . , uk 2 C 1 (⌦), ⌦ ✓ Rn , funciones tales que
@(u1 , . . . , uk )
rango
(x) = k
@x
y como
det
1,
x 2 ⌦,
deducimos que
0
0
entonces para x 2 ⌦ existe i 2 {1, . . . , k} y un entorno U ✓ ⌦ de x tal que
las funciones u1 , . . . , ui 1 , ui+1 , . . . , uk son funcionalmente independientes y
ui depende funcionalmente de las demás sobre U ,
ui (x) = F (u1 (x), . . . , ui
1 (x), ui+1 (x), . . . , uk (x)),
x 2 U,
con F de clase C 1 .
Demostración. Sea u := (u1 , . . . , uk ) 2 C 1 (⌦; Rk ). Si rango @u(x)/@x =
k 1 en x0 , entonces un menor será no nulo. Reordenando las funciones y las
variables si es preciso, podemos suponer sin pérdida de generalidad que
@(u1 , . . . uk 1 ) 0
det
(x ) 6= 0.
@(x1 , . . . , xk 1 )
Definamos la función auxiliar
f (x) = (u1 (x), . . . , uk
1 (x), xk , . . . , xn )
2 Rn
y como
det
rango
f
1
@v
(y) = k
@y
8y 2 V0 .
1,
Por otro lado sabemos que
vi (f (x)) = ui (x) = fi (x),
8x 2 U0 ,
i = 1, . . . , k
1,
de donde se deduce que
vi (y) = yi ,
y 2 V0 ,
i = 1, . . . , k
Ası́ que la matriz Jacobiana de v es
0
1
0 ···
0
..
..
B
.
0
1
.
B
B
.
..
..
@v
..
B
.
.
0
(y) = B
B
..
..
@y
B
.
.
0
1
@ @vk
@vk
(y) · · · · · ·
(y)
@y1
@yk 1
1.
0
..
.
···
0
···
0
@vk
(y)
@yk
1
0
···
0
..
.
···
···
0
@vk
@yn (y)
Se deduce que para que la matriz jacobiana @v/@y tenga rango k
necesario que
@f 0
@(u1 , . . . uk 1 ) 0
(x ) = det
(x ) 6= 0,
@x
@(x1 , . . . , xk 1 )
deducimos que f es un difeomorfismo local, ası́ que existe un entorno U0 ✓ ⌦
de x0 y un entorno V0 = f (U0 ) de y0 = f (x0 ) de modo que la función inversa
@f 1
(y) 6= 0,
@y
@vk
(y) = 0,
@yi
y 2 V0 ,
i = k, k + 1, . . . , n.
vk (y) = F (y1 , . . . , yk
8y 2 V ✓ V0 .
1 ),
Evaluando en
v : y 2 V0 7! (u1 f
1
(y), . . . , uk
f
1
(y)) 2 Rk .
La regla de la cadena nos implica que la matriz Jacobiana de v es
@v
@u
(y) =
(f
@y
@x
1
@f
1
(y))
(y),
@y
23
1, es
Esto quiere decir que la función vk no depende de las variables yk , yk+1 . . . , yn
en un entorno de y0 , luego existe F 2 C 1 (D), D ✓ Rk 1 , tal que
: V0 7! U0
es de clase C 1 . Sea
C
C
C
C
C.
C
C
A
y = f (x) = (u1 (x), . . . , uk
1 (x), xk , . . . , xn )
T
,
tenemos
uk (x) = vk (f (x)) = F (u1 (x), . . . , uk
1 (x)),
x2U =f
1
(V ),
de donde se obtiene la relación de dependencia uk = F (u1 , . . . , uk
24
1 ).
4. Integrales primeras de un sistema diferencial
En esta sección estudiaremos algunas propiedades de los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
x01 (t) = f1 (t, x(t)),
..
.
x0n (t)
que escribiremos en forma vectorial
donde f 2 C(D; Rn ), D ✓ R ⇥ Rn . Recordemos que si f 2 C 1 (D; Rn ),
entonces el problema de valor inicial
x(t0 ) = x0 ,
admite una solución única
x(·; t0 , x0 ) : t 2 I(t0 ,x0 ) 7! x(t; t0 , x0 ),
definida en el intervalo maximal I(t0 ,x0 ) , llamada solución general de la ecuación. El teorema de Peano sobre dependencia respecto a condiciones iniciales
y parámetros nos permite deducir que la solución general depende continua y
diferenciablemente de la variable t y de las condiciones iniciales t0 y x0 .
El concepto de integral primera está relacionado con la idea de que existen
magnitudes fı́sicas que permanecen constante en la evolución de los sistemas.
Por ejemplo, en un oscilador armónico, sujeto a las ecuaciones
p0 (t) =
kx(t),
la energı́a mecánica
p2
kx2
+
2m
2
permanece constante a lo largo de las trayectorias del oscilador. En efecto,
E(x, p) =
d
1
k
k
[E(x(t), p(t)] = p(t)p0 (t) + kx(t)x0 (t) =
x(t)p(t) + x(t)p(t) = 0.
dt
m
m
m
25
1
(2E
m
kx(t)2 ).
0, podemos integrar
que es una ecuación de variables separables y puede resolverse mediante cuadraturas.
x0 (t) = f (t, x(t)),
x0 (t) = p(t)/m,
x0 (t)2 =
Si queremos obtener una solución local en la que x0 (t)
la ecuación
r
2E kx(t)2
x0 (t) =
,
m
= fn (t, x(t)),
x0 (t) = f (t, x(t)),
La observación anterior permite reducir el sistema diferencial anterior a una
sola ecuación de primer orden
Las integrales primeras de un sistema diferencial son funciones de las
variables fásicas t, x que permanecen constantes a lo largo de las soluciones
del sistema. Las integrales primeras pueden utilizarse para reducir la complejidad de un sistema diferencial como hemos visto en el ejemplo anterior.
Además, en la resolución de ciertos sistemas diferenciales las representaciones
explı́citas de las soluciones pueden ser muy complicadas. Las integrales primeras están indicadas especialmente para obtener representaciones implı́citas
de la solución general de la forma
E1 (x, t) = c1 , . . . , En (x, t) = cn ,
siendo c1 , . . . , cn son constantes arbitrarias
Por último, indicar que la resolución de ecuaciones en derivadas parciales
de primer orden está ligada al estudio de integrales primeras. Las soluciones
permanecen constantes sobre las lı́neas integrales de un sistema diferencial
asociado o, al menos, conviene investigar la evolución de una solución sobre
tales lı́neas.
Definición 4.1. Sea f 2 C(D; Rn ), D ✓ R ⇥ Rn . Se dice que la función
E(x, t), (x, t) 2 V ✓ Rn ⇥ R,
{(t, x) 2 R ⇥ Rn | (x, t) 2 V } ✓ D
es una integral primera del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias
x0 = f (t, x),
26
(t, x) 2 D,
si para cualquier solución x : I ! Rn del sistema diferencial, definida en un
intervalo I tal que
(x(t), t) 2 V, 8t 2 I,
la función t 2 I 7! E(x(t), t) permanece constante.
Ejemplo 4.2. La solución general de la ecuación
Demostración. Sea x(t) una solución cualquiera de la ecuación x0 = f (t, x).
Derivando la función E(x(t), t), obtenemos
n
X
d
@E
@E
E(x(t), t) =
(x(t), t) +
(x(t), t)x0i (t)
dt
@t
@x
i
i=1
=
x0 = ax
es x(t; t0 , x0 ) = exp(a(t t0 ))x0 . Fijemos t0 = 0. Al recorrer x0 toda la recta
real obtendremos todas las posibles soluciones de la ecuación en términos de
su valor inicial x(0) = x0
x(t) = exp(at)x0
Si despejamos x0 en la ecuación anterior, obtenemos x0 = exp( at))x(t). Por
lo tanto, al evaluar la función
E(x, t) := exp( at)x
sobre una solución x(t) de la ecuación x0 = ax, obtendremos el valor constante
x0 = x(0) = E(x(t), t). Ası́ que E(x, t) es una integral primera de la ecuación
x0 = ax. Esto puede verificarse derivando a lo largo de una solución arbitraria
de la ecuación
d
d
E(x(t), t) = [exp( at)x(t)] = exp( at)(x0 (t)
dt
dt
n
X
@E
@E
(x(t), t) +
fi (t, x(t))
(x(t), t).
@t
@x
i
i=1
(4.3)
Si E es solución de (4.2) entonces
d
E(x(t), t) = 0,
dt
(4.4)
de donde se deduce que E(x(t), t) permanece constante sobre todas las soluciones del sistema (4.1), es decir E(x, t) es una integral primera. Recı́procamente,
si E es una integral primera del sistema (4.1), y x(t) es la solución tal que
x(t0 ) = x0 , entonces se verifica (4.4), y de (4.3) se deduce que
n
X
@E
@E
(x(t), t) +
fi (t, x(t))
(x(t), t) = 0.
@t
@x
i
i=1
Evaluando en t = t0 se obtiene
n
X
@E 0
@E 0
(x , t0 ) +
fi (t0 , x0 )
(x , t0 ) = 0.
@t
@xi
i=1
ax(t)) = 0.
El problema del cálculo de las integrales primeras está relacionado con la
resolución de una ecuación en derivadas parciales asociada.
Sabemos que por cada punto del dominio (t0 , x0 ) 2 D pasa una solución, lo
cual implica que E verifica (4.2) en todos los puntos (x0 , t0 ) 2 V .
Proposición 4.3. Sea f 2 C(D; Rn ), D ✓ R⇥Rn y sea V ✓ Rn ⇥R tal que
{(t, x) 2 R ⇥ Rn | (x, t) 2 V } ✓ D. La función E 2 C 1 (V ) es una integral
primera del sistema
x0 = f (t, x), (t, x) 2 D,
(4.1)
La ecuación (4.2) puede interpretarse hidrodinámicamente como la ecuación del transporte de una sustancia en un fluido con campo de velocidades
v(x, t) = f (t, x). Las lı́neas de corriente son las soluciones del sistema diferencial (4.1) y corresponden a las ecuaciones del movimiento de las partı́culas
transportadas en el seno del fluido. Vemos que la concentración de la sustancia
transportada en un fluido permanece constante sobre las lı́neas de corriente.
Recı́procamente, para que u(x, t) represente la concentración relativa de una
sustancia transportada en el seno del fluido, es necesario que u(x(t), t) permanezca constante sobre las lı́neas de corriente.
si y sólo si E es solución de la ecuación en derivadas parciales
n
@u X
@u
+
fi (t, x)
= 0.
@t
@x
i
i=1
27
(4.2)
28
Solucion general de la ecuación de las integrales primeras
Como la resolución de la ecuación en derivadas parciales lineal homogénea
(4.2) equivale al problema de determinar todas las integrales primeras de un
sistema diferencial, vamos a intentar deducir una expresión del conjunto de
dichas integrales primeras.
Si conocemos la solución general del sistema diferencial x0 (t) = f (t, x(t)),
podemos obtener integrales primeras asociadas
Proposición 4.4. Sea x(t; t0 , x0 ) la solución general de la ecuación x0 =
f (t, x), f 2 C 1 (D, Rn ), D ✓ R ⇥ Rn abierto y sea (t0 , x0 ) un punto interior
del dominio D. Entonces las funciones
Ej (x, t) = xj (t0 ; t, x),
j = 1, . . . , n,
son integrales primeras definidas en un entorno V de (x0 , t0 ), de clase C 1 y
funcionalmente independientes
Demostración. Por el teorema de Peano, hay unicidad de solución y la
dependencia respecto a las condiciones iniciales es C 1 en un entorno de (t0 , x0 ).
Por tanto, toda solución en un entorno de (t0 , x0 ) es de la forma x(t; t0 , y),
donde y varı́a en un entorno de x0 . Observemos que x(t; t0 , y) es solución del
problema de valor inicial
x0 (t) = f (t, x),
x(t1 ) = x(t1 ; t0 , y).
x(t;t0,y)
x
x(t;t0,y)
(t1,x(t1;t0,y))
De la unicidad de solución se deduce que
x(t; t1 , x(t1 ; t0 , y)) = x(t; t0 , y)
y, tomando t = t0 , tenemos
x(t0 ; t1 , x(t1 ; t0 , y)) = y.
para todo t1 . Por lo tanto
Ej (x(t; t0 , y), t) = xj (t0 ; t, x(t; t0 , y)) = yj
no depende de t. Luego Ej (x, t) es integral primera, ya que permanece constante a lo largo de toda solución. Para demostrar la independencia funcional,
recordemos que la matriz jacobiana
@(E1 , . . . , En ) 0
@x(t; t0 , x0 )
(t0 ; t0 , x0 ) = In ,
(x , t0 ) =
@x
@x0
lo que implica que
rango
@(E1 , . . . , En )
(x, t) = n
@(x, t)
para todo (x, t) en un entorno de (x0 , t0 ).
Observemos que, si E1 (x, t), . . . , Ek (x, t) son integrales primeras del sistema (4.1), entonces E(x, t) := F (E1 (x, t), . . . , Ek (x, t)) también es una integral primera del sistema (4.1), aunque no aporta información nueva, porque
depende funcionalmente de las integrales primeras dadas.
Proposición 4.5. Sea E1 , . . . , Ek 2 C 1 (V ), V ✓ Rn ⇥ R integrales primeras
del sistema (4.1). Suponer que F 2 C 1 (U ), donde U ✓ E1 (V )⇥· · ·⇥Ek (V ) ✓
Rk . Entonces la función
E(x, t) := F (E1 (x, t), . . . , Ek (x, t)),
(t0,y)
(x, t) 2 V,
también es integral primera del sistema (4.1).
(t0,x0)
t
Figura 9. La solución x(t; t0 , y) coincide con x(t; t1 , x(t1 ; t0 , y))
29
Demostración. Sea x(t) una solución arbitraria de (4.1). Por ser E1 , . . . , Ek
integrales primeras tenemos que
Ei (x(t), t) = ci ,
30
t 2 I,
entonces
E(x(t), t) = F E1 (x(t), t), . . . , Ek (x(t), t) = F (c1 , . . . , ck ),
y no dependen de t, luego es una integral primera de (4.1).
Veamos ahora que un sistema de n integrales primeras funcionalmente
independiente permiten obtener cualquier otra integral primera del sistema
diferencial.
Proposición 4.6. Sean E1 , . . . , En , E 2 C 1 (V ) integrales primeras del sistema (4.1). Sea (x0 , t0 ) 2 V arbitrario y suponer que
@(E1 , . . . , En ) 0
rango
(x , t0 ) = n.
@(x, t)
Entonces existe un entorno V0 ✓ V de (x0 , t0 ) sobre el que E depende funcionalmente de E1 , . . . , En , es decir
E = F (E1 , . . . , En ),
para cierta función F de clase C 1 .
Demostración. Las funciones E1 , . . . , En son funcionalmente independientes
en un entorno de (x0 , t0 ), luego
rango
@(E1 , . . . , En , E)
(x, t)
@(x, t)
n,
para todo (x, t) en un entorno de (x0 , t0 ). Además E1 , . . . , En , E verifican
la misma ecuación en derivadas parciales (4.2), luego hay una relación de
dependencia lineal entre las columnas de la matriz jacobiana
rango
@(E1 , . . . , En , E)
(x, t) = n,
@(x, t)
(x, t) 2 V
Del Teorema 3.10 se deduce que una de las funciones depende funcionalmente
de las restantes. Teniendo en cuenta la independencia funcional de E1 , . . . , En ,
obtenemos la relación funcional E = F (E1 , . . . , En ).
Corolario 4.7. Sean u1 , . . . , un 2 C 1 (V ), soluciones de la ecuación en derivadas parciales
n
@u X
@u
+
vi (x, t)
=0
@t
@x
i
i=1
funcionalmente independientes en un entorno V de (x0 , t0 ). Entonces existe
un entorno V0 ✓ V de (x0 , t0 ) tal que el conjunto de todas las soluciones sobre
el dominio V0 de la ecuación (4.2) es de la forma
u = F (u1 , . . . , un ),
F 2 C 1.
Ejemplo 4.8. Queremos obtener soluciones de la ecuación en derivadas parciales
ut + tg x ux = 0.
De acuerdo con la Proposición 4.4, la resolución de la ecuación equivale al
problema de encontrar integrales primeras de la ecuación diferencial ordinaria
x0 (t) = tg(x(t)).
Determinemos la solución general. Al tratarse de una problema de variables
separables podemos escribir la ecuación en la forma
cos x(t)x0 (t)
= 1,
sen x(t)
integrando entre t0 y t y teniendo en cuenta la condición inicial x(t0 ) = x0
tenemos
log sen x(t; t0 , x0 ) log sen x0 = t t0 ,
tomando exponenciales encontramos
sen x(t; t0 , x0 ) = exp(t
t0 ) sen x0 .
Por la Proposición 4.4, x(t0 , t, x) es una integral primera y, teniendo en cuenta la Proposición 4.5, deducimos que sen x(t0 ; t, x) también es una integral
primera. Fijando t0 = 0, obtenemos la integral primera
E(x, t) = sen x(0; t, x) = exp( t) sen x.
Aplicando la Proposición 4.5 de nuevo, se deduce que las funciones
u(x, t) = F (exp( t) sen x),
F 2 C 1 (R)
(4.5)
Los resultados anteriores pueden aplicarse a la resolución de la ecuación
del transporte. Las soluciones de la ecuación del transporte son precisamente
las integrales primeras del sistema diferencial x0 = v(x, t), cuyas soluciones
son las lı́neas de corriente. De la Proposición 4.5 y la Proposición 4.6, se
deduce una expresión de la solución general de la ecuación del transporte.
son también integrales primeras del sistema y, por lo tanto, soluciones de la
ecuación en derivadas parciales dada. Se deduce del Corolario 4.7 que (4.5) es
la solución general del problema, en el sentido de que en un entorno de cada
punto toda solución es de la forma (4.5).
31
32
Integrales primeras de un sistema diferencial lineal
Evaluando en t = t0 , tenemos
Sea un sistema lineal de ecuaciones diferenciales
x0 (t) = A(t)x(t),
(y(t0 )0 + AT (t0 )y(t0 ))T x0 = 0.
t 2 I,
n⇥n
donde A 2 C(I; R
). Limitemos la búsqueda de integrales primeras a las
funciones lineales en x.
Proposición 4.9. Sea A 2 C(I; R
E(x, t) =
n⇥n
n
X
). Una función
yi (t)xi = y(t)T x
i=1
es integral primera del sistema diferencial lineal x0 (t) = A(t)x(t) si y sólo si
y(t) es solución del sistema diferencial adjunto
y0 (t) =
A(t)T y(t).
Además, soluciones independientes del sistema adjunto corresponden a integrales primeras funcionalmente independientes.
Demostración. Si y es solución del sistema diferencial adjunto, entonces
tenemos que y0 (t)T = y(t)T A(t), luego
d
d
E(x(t), t) = [y(t)T x(t)] = y0 (t)T x(t) + y(t)T x0 (t)
dt
dt
= y(t)T A(t)x(t) + y(t)T x0 (t) = y(t)T (x0 (t)
y(t0 )0 + AT (t0 )y(t0 ) = 0,
A(t)x(t))
x(t0 ) = x0 ,
tenemos
8t0 2 I,
lo que muestra que y es una solución del sistema diferencial adjunto. Finalmente, si tenemos y1 , . . . , yk soluciones del sistema diferencial adjunto y
Ei (x, t) = yi (t)T x, i = 1, . . . , n, tenemos que la matriz Jacobiana parcial es
la traspuesta del wronskiano del sistema de funciones
0 1 T1
y (t)
@(E1 , . . . , Ek )
B
C
(x) = @ ... A = W (y1 , . . . , yk )(t)T ,
@x
yk (t)T
y
0
1
y1 (t)T x
d
C
..
1
k
T
A = W (y , . . . , y )(t) x
.
dt
yk (t)T x
@(E1 , . . . , Ek )
W (y1 , . . . , yk )(t)T A(t)x =
A(t)x
@x
@(E1 , . . . , Ek )
d B
=
@
@t
dt
=
Por tanto, si x(t) es una solución arbitraria del sistema x0 (t) = A(t)x(t),
entonces se tiene que dE(x(t), t)/dt = 0 y E(x(t), t) permanece constante en
el intervalo I. Recı́procamente si E(x(t), t) es una integral primera, y x(t) es
solución del problema de valor inicial
x0 (t) = A(t)x(t),
Como todo problema de valor inicial tiene solución podemos tomar t0 2 I y
x0 2 Rn cualesquiera, de donde se deduce que
Por tanto
rango
(E1 , . . . , Ek )
rango(E1 , . . . , Ek )
=
= rango W (y1 , . . . , yk )(t),
@(t, x)
@x
y la independencia de las soluciones y1 , . . . , yk del sistema adjunto equivale
a la independencia de las integrales primeras correspondientes.
De la Proposición 4.6 y de la Proposición 4.9 deducimos que todas las
integrales primeras de un sistema lineal pueden expresarse en la forma
F (y1 (t)T x, . . . , yn (t)T x),
d
d
0 = E(x(t), t) = [y(t)T x(t)] = y0 (t)T x(t) + y(t)T x0 (t)
dt
dt
= y0 (t)T x(t) + y(t)T A(x)x(t) = (y(t)0 + AT (t)y(t))T x(t)
siendo y1 (t), . . . , yn (t) un sistema fundamental de soluciones del sistema adjunto.
33
34
5. Ecuaciones semilineales de primer orden
Si conocemos una solución particular up de la ecuación T [u] = b, entonces
Hemos descrito las soluciones de la ecuación del transporte como integrales primeras del sistema diferencial asociado que corresponde a las lı́neas de
corriente. En el estudio de la ecuación del transporte la variable temporal
t juega un papel especial. Sin embargo, en ciertos problemas de carácter
geométrico no conviene distinguir ninguna variable, por lo que surge la necesidad de abordar el estudio de ecuaciones más generales en las que todas
las derivadas parciales tienen un coeficiente no necesariamente constante. En
este tema abordamos el estudio de ecuaciones diferenciales lineales en las que
pueden intervenir términos no homogéneos. La búsqueda de soluciones particulares y de la solución general de este tipo de ecuaciones llevan a problemas
diferenciales que se generalizan inmediatamente a una clase más amplia de
ecuaciones diferenciales, llamadas ecuaciones semilineales. En este capı́tulo
se estudia este tipo de ecuaciones utilizando como punto de partida el análisis
efectuado para la ecuación del transporte.
Ecuaciones lineales
Una ecuación en derivadas parciales de primer orden se llama lineal, si es de
la forma
@u
@u
a1 (x)
+ · · · + an (x)
= a0 (x)u + b(x),
@x1
@xn
donde x = (x1 , . . . , xn )T 2 ⌦, ⌦ ✓ Rn . En el caso de que b(x) sea idénticamente nula, la ecuación se llama lineal homogénea. Asociado a una ecuación
lineal, tenemos el operador diferencial de primer orden
n
X
@u(x)
T [u](x) :=
ai (x)
@xi
i=0
a0 (x)u(x),
(5.1)
ai 2 C(⌦), ⌦ ✓ Rn . de manera que una ecuación lineal puede escribirse en
la forma
T [u] = b,
(5.2)
mientras que la correspondiente ecuación homogénea es
T [u] = 0.
(5.3)
Debido a la linealidad del operador T : C 1 (⌦) ! C(⌦), el conjunto de la
soluciones de una ecuación lineal homogénea es un espacio vectorial, el núcleo
del operador ker T .
35
T [u
de donde u
up ] = b
b = 0,
up 2 ker T . Recı́procamente si u
up 2 ker T , entonces
T [u] = T [up ] = b,
de donde se deduce el siguiente resultado: el conjunto de soluciones de una
ecuación diferencial lineal es el subespacio trasladado up + ker T , cuyo espacio
de direcciones ker T es el conjunto de soluciones de la ecuación homogénea
asociada
T 1 [b] = up + ker T = {up + v | v 2 ker T }.
(5.4)
Por tanto, podemos afirmar que la solucion general de una ecuación diferencial
lineal se obtiene al añadir a una solución particular la solución general de la
ecuación homogénea.
La idea anterior puede expresarse en términos de cambios de variables. Si
up es una solución particular de la ecuación homogénea, T [up ] = b, entonces
el cambio v := u up transforma la ecuación no homogénea T [u] = b en la
ecuación homogénea T [v] = 0.
Como método de estudio de ecuaciones en derivadas parciales lineales
introducimos el operador diferencial lineal de primer orden
Da [u](x) := a1 (x)
@u
@u
(x) + · · · + an (x)
(x)
@x1
@xn
(5.5)
correspondiente al primer miembro. En terminologı́a propia de la geometrı́a
diferencial, estos operadores reciben el nombre de campos vectoriales. Los
coeficientes de la ecuación diferencial lineal pueden usarse para definir una
función vectorial de varias variables
a : x 2 ⌦ 7! (a1 (x), . . . , an (x))T 2 Rn .
Esta aplicación que asocia a cada punto del dominio un vector también recibe
el nombre de campo vectorial.
En el caso particular de que tengamos el campo vectorial constante asociado a un vector canónico ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), el operador Dei es una
derivación parcial para el que utilizaremos la notación simplificada
Di := Dei =
36
@
.
@xi
Si aplicamos el operador Da a un producto de funciones,
Da [uv](x) =
n
X
ai (x)
i=1
@
(u(x)v(x)) =
@xi
Ecuación homogénea reducida y curvas caracterı́sticas
⇣
@v(x)
@u(x) ⌘
ai (x) u(x)
+ v(x)
@xi
@xi
i=1
n
X
= u(x)Da [v](x) + v(x)Da [u](x)
se obtiene la regla de Leibniz
Da [uv] = uDa [v] + vDa [u]
Llamamos parte principal de un operador diferencial al operador diferencial que contiene los términos de mayor orden. Observemos que Da es la parte
principal del operador de primer orden (5.1). Podemos escribir el operador T
dado por (5.1) usando la notación anterior
T [u](x) = Da [u](x)
a0 (x)I[u](x),
donde I, denota el operador identidad, I[u] = u. El operador T queda descompuesto como la resta de dos operadores, la parte principal (de primer
orden estricto) Da [u] y un operador multiplicación (de orden cero) a0 I.
Si conocemos una solución particular no nula uh de una ecuación lineal
homogénea, podemos trasformar la ecuación diferencial dada en una ecuación
reducida mediante un cambio de variables, basado en el llamado método de
variación de las constantes de Lagrange. Si uh es solución de la ecuación
homogénea, entonces cuh , también es solución para toda constante c 2 R. Si
sustituimos la constante por una función arbitraria c(x) tenemos
T [cuh ] = Da [cuh ]
a0 cuh = cDa [uh ] + uh Da [c]
a0 cuh = cT [uh ] + uh Da [c]
Teniendo en cuenta que uh es una solución no nula de la ecuación homogénea,
tenemos T [uh ] = 0, y la fórmula anterior se reduce a
T [cuh ] = Da [c]uh .
Por lo tanto el cambio de variables u(x) = c(x)uh (x), cuyo cambio inverso
es c(x) = u(x)/uh (x), transforma la ecuación lineal homogénea T [u] = 0 en
la ecuación reducida Da [c] = 0, que no contiene términos de orden cero, sino
solamente términos estrictamente de primer orden. Ası́ que podemos escribir
ker T = uh ker Da = {cuh | c 2 ker Da }.
37
(5.6)
Hemos visto que para encontrar la solución general de una ecuación lineal,
basta con encontrar una solución particular y resolver la ecuación homogénea.
También hemos visto que la solución de la ecuación homogénea puede expresarse como el producto de una solución particular por una solución arbitraria
de la ecuación reducida Da [u] = 0. Dejemos para un estudio posterior la
cuestión de cómo encontrar soluciones particulares de la ecuación lineal y de
la ecuación lineal homogénea y estudiemos el problema de encontrar todas las
soluciones de la ecuación homogénea reducida
n
X
i=1
ai (x)
@u
= 0.
@xi
(5.7)
Geométricamente, la ecuación (5.7) significa que el vector a(x) es ortogonal
al vector
⇣ @u(x)
@u(x) ⌘T
grad u(x) :=
,...,
@x1
@xn
para todo x, es decir
grad u(x) ? a(x).
Por tanto, el campo vectorial a asociado al operador diferencial Da es ortogonal al campo vectorial gradiente grad u de toda solución u de la ecuación
Da [u] = 0.
Una forma de abordar la resolución de la ecuación (5.7) es la búsqueda
de curvas que sean tangentes en cada punto a la dirección del campo a(x).
Para ello introducimos el campo de direcciones
hai : x 2 ⌦ 7! ha(x)i := { a(x) |
2 R}.
Observamos que si a(x) = 0, entonces el campo de direcciones es singular, en
el sentido de que el campo vectorial a no determina ninguna dirección en el
punto x 2 ⌦.
Definición 5.1. Una curva caracterı́stica de la ecuación Da [u] = 0 es una
curva contenida en ⌦ y tangente en cada punto a las direcciones prescritas
por el campo vectorial a.
La condición de que una curva es tangente en cada punto al campo vectorial a puede expresarse mediante el sistema diferencial caracterı́stico en forma
38
continua
dx1
dxn
= ··· =
,
a1 (x)
an (x)
(5.8)
Entonces la ecuación en derivadas parciales (5.7) sobre el dominio V es equivalente a la ecuación en derivadas parciales
X ai (x) @u
@u
+
= 0.
@xj
aj (x) @xi
bien entendido que la notación dxi /ai (x) no expresa siempre un cociente. Más
bien el sistema (5.8) indica una relación de proporcionalidad
dx1 : dx2 : · · · : dxn :: a1 (x) : a2 (x) : · · · : an (x),
es decir, los vectores tangentes a las curvas solución del sistema (dx1 , . . . , dxn )
tienen que ser paralelos al campo (a1 (x), . . . , an (x)).
Para integrar la ecuación (5.7) supondremos que el campo no es singular
en el dominio considerado, es decir a(x) 6= 0 para todo x 2 ⌦. Ası́ que, en
cada punto x0 , el campo caracterı́stico determina una dirección ha(x0 )i. Por
tanto, existirá un ı́ndice j tal que aj (x0 ) 6= 0 y, como el campo es continuo,
aj (x) 6= 0 en un entorno de x0 . En dicho entorno, el sistema caracterı́stico es
equivalente al sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias
dxi
ai (x)
=
,
dxj
aj (x)
i 6= j,
donde la variable independiente es xj . Notemos que la ecuación de las integrales primeras del sistema diferencial anterior es
n 1
X ai (x) @u
@u
+
= 0,
@xn
a (x) @xi
i=1 n
i6=j
Por la Proposición 4.3, las soluciones de la ecuación en derivadas parciales
Da [u] = 0 son precisamente las integrales primeras del sistema de ecuaciones
diferenciales ordinarias en la variable xj
dxi
ai (x)
=
,
dxj
aj (x)
equivalente al sistema diferencial caracterı́stico (5.8).
Con objeto de proporcionar una formulación general e independiente de
la selección de una variable, consideraremos representaciones paramétricas de
las curvas caracterı́sticas x(t) 2 ⌦, t 2 I. El siguiente lema describe el sistema
diferencial caracterı́stico asociado a las representaciones paramétricas regulares, es decir tales que x0 (t) 6= 0 para todo t 2 I, de las curvas caracterı́sticas.
Lema 5.3. Sea a 2 C(⌦; Rn ), ⌦ ✓ Rn y sea x 2 C 1 (I; ⌦) una representación
paramétrica regular de una curva caracterı́stica de la ecuación (5.7). Si ningún
punto de la curva caracterı́stica es un punto singular del campo caracterı́stico,
entonces existe una función continua 2 C(I) tal que
x0 (t) = (t)a(x(t)),
ecuación equivalente a (5.7) en un entorno de x0 .
Teorema 5.2. Sea a 2 C 1 (⌦; Rn ), ⌦ ✓ Rn , x0 2 ⌦ tal que a(x0 ) 6= 0.
Entonces existe un entorno de x0 en el que las siguientes afirmaciones son
equivalentes
(a) La función u satisface la ecuación en derivadas parciales Da [u] = 0.
(b) La función u es una integral primera del sistema diferencial caracterı́stico
(5.8).
Demostración. Como a(x0 ) 6= 0, alguna componente del campo será no
nula en dicho punto, aj (x0 ) 6= 0, y existirá un entorno V de x0 tal que
aj (x) 6= 0,
39
x 2 V.
i 6= j,
para todo t 2 I.
Demostración. La dirección tangente hx0 (t)i a una curva caracterı́stica x(t)
debe coincidir con la dirección caracterı́stica ha(x(t))i, es decir
hx0 (t)i = ha(x(t))i,
t 2 I.
Como ambos vectores x0 (t) y a(x(t)) son no nulos deben ser proporcionales
ası́ que para cada t existe un escalar no nulo (t) tal que
x0 (t) = (t)a(x(t)),
40
para todo t 2 I. Veamos la continuidad de en cada punto t0 2 I. Como
la representación es regular, existirá j 2 {1, . . . , n} tal que xj (t0 ) 6= 0. Por
tanto
x0j (t0 ) = (t0 )aj (x(t0 )),
y aj (x(t0 )) es no nula. Debido a la continuidad de las funciones x0j (t) y
aj (x(t)), estas funciones se mantienen no nula en un entorno de t0 , por lo que
(t) =
x0j (t)
aj (x(t))
en un entorno de t0 . Como x0j (t)/aj (x(t)) es el cociente de dos funciones
continuas con denominador no nulo, deducimos la continuidad de en t0 .
Observemos que la función (t) del Lema 5.3 anterior depende no sólo
de t sino también de la curva caracterı́stica considerada e incluso del tipo de
representación paramétrica elegido para dicha curva.
Podemos utilizar las representaciones paramétricas para ofrecer una demostración alternativa del Teorema 5.2, siguiendo las mismas lı́neas argumentales que en la Proposición 4.3 para ilustrar la utilidad de las representaciones
paramétricas de las curvas caracterı́sticas.
Demostración alternativa del Teorema 5.2. Como a(x0 ) 6= 0, existe un
entorno V de x0 tal que a(x) 6= 0 para todo x 2 V . Sea u una solución de la
ecuación Da u(x) = 0, definida en un entorno abierto de x0 contenido en V .
Si x(t) es la representación regular de una curva caracterı́stica contenida en
el dominio de definición de dicha solución, por el lema x0 (t) = (t)x(t). Sea
u es una solución de Da u = 0, entonces
n
n
X @u
X
d
@u
u(x(t)) =
(x(t))x0i (t) = (t)
ai (x(t))
(x(t)) = 0,
dt
@xi
@xi
i=1
i=1
lo que implica que u es una integral primera del sistema caracterı́stico.
Recı́procamente, supongamos que u es una integral primera del sistema caracterı́stico definida en un entorno abierto de x0 contenido en V . Sea
x(t; t0 , y) la solución del sistema caracterı́stico x0 (t) = a(x(t)) tal que x(t0 ) =
y. Entonces u(x(t; t0 , y)) es un valor independiente de t. Derivando respecto
a la variable t, obtenemos
n
X
i=1
ai (x(t; t0 , y))
@u
(x(t; t0 , y)) = 0.
@xi
41
y evaluando en t = t0 , tenemos
n
X
ai (y)
i=1
@u
(y) = 0.
@xi
Como y es un punto arbitrario del dominio de definición de u, deducimos que
la ecuación (5.7) se verifica en todos los puntos.
Interpretación hidrodinámica
La ecuación (5.7) admite también una interpretación hidrodinámica. Podemos considerar las soluciones de (5.7) como las soluciones estacionarias
(independientes del tiempo) de la ecuación del transporte en un fluido
ut +
n
X
ai (x)
i=1
@u
= 0.
@xi
con campo de velocidades a(x) independiente del tiempo (flujo estacionario).
Más generalmente podemos considerar campos de velocidades variables con
el tiempo paralelos al campo a(x)
v(x, t) = (x, t)a(x)
de modo que las soluciones (5.7) son las soluciones estacionarias de la ecuación
del transporte
n
X
@u
ut +
(x, t)ai (x)
= 0.
(5.9)
@x
i
i=1
Podemos obtener una versión paramétrica del sistema diferencial caracterı́stico, considerando las lı́neas de corriente asociadas a la ecuación anterior
x0 (t) = (x(t), t)a(x(t))
para cierta función continua
adopta la forma
(5.10)
(x, t). El sistema escrito en forma continua
x0n (t)
x01 (t)
= ··· =
= (x(t), t).
a1 (x(t))
an (x(t))
42
Por tanto, las lı́neas de corriente (5.10) de la ecuación (5.9) son representaciones paramétricas de las curvas caracterı́sticas (5.8) de la ecuación (5.7) y
recı́procamente, toda curva caracterı́stica de la ecuación (5.7) puede interpretarse como una lı́nea de corriente de una ecuación del tipo (5.9).
Por la Proposición 4.3, las integrales primeras E(x, t) de (5.10) son las
soluciones de la ecuación en derivadas parciales de primer orden (5.9). Si
imponemos a una solución u de (5.9) que no dependa de la variable t, entonces
ut = 0, y u verificará la ecuación en derivadas paraciales (5.7). Por tanto, las
soluciones de (5.7) pueden interpretarse como integrales primeras de (5.10)
independientes de t. Por tratarse de integrales primeras, las soluciones de
la ecuación en derivadas parciales (5.7) permanecerán constantes sobre las
soluciones del sistema diferencial (5.10).
Por la Proposición 4.4, las integrales primeras del sistema caracterı́stico deben
ser soluciones de la ecuación Da [u] = 0, luego
n
X
ai (x(t))
i=1
@uj
(x(t)) = 0,
@xi
j = 1, . . . , n
1.
Al ser x0 (t) y a(x(t)) vectores ortogonales al mismo conjunto de n 1 vectores
independientes grad uj , j = 1, . . . , n 1, deducimos que deben ser paralelos
hx0 (t)i = ha(x(t))i, es decir x(t) es una curva caracterı́stica.
Solución general de la ecuación homogénea reducida
En el Teorema 5.2 hemos demostrado que las soluciones u de la ecuación
Da [u] = 0 permanecen constantes a lo largo de las curvas caracterı́sticas. El
siguiente resultado muestra que las curvas caracterı́sticas están caracterizadas
localmente por esta propiedad.
Sea x0 2 ⌦ un punto del dominio donde el campo de direcciones caracterı́sticas a 2 C 1 (⌦; Rn ) no es singular. Por tanto existe j 2 {1, . . . , n} tal
que aj (x0 ) 6= 0, y como el campo de direcciones es continuo, tendremos que
aj (x) 6= 0 para todo x en un entorno de x0 . Para analizar la solución general
de la ecuación homogénea reducida, Da [u] = 0, podemos aplicar el Corolario
4.7 a la ecuación equivalente
Teorema 5.4. Sea a 2 C 1 (⌦; Rn ), ⌦ ✓ Rn , x0 2 ⌦ tal que a(x0 ) 6= 0.
Entonces existe un entorno U ✓ ⌦ de x0 tal que las siguientes afirmaciones
sobre una curva paramétrica x 2 C 1 (I; U ) son equivalentes:
X ai (x) @u
@u
+
= 0,
@xj
aj (x) @xi
Identificación de las curvas caracterı́sticas
(a) x es solución del sistema caracterı́stico.
(b) Para toda solución u 2 C 1 (U ) de la ecuación Da [u] = 0, la función
u(x(t)), t 2 I, es constante.
Demostración. Por el Teorema 5.2, toda solución u(x, t) de la ecuación
en derivadas parciales Da [u] = 0 es una integral primera del sistema caracterı́stico. Por definición de integral primera, si t 7! x(t) es una solución
del sistema caracterı́stico, entonces u(x(t)) debe ser una función constante.
Recı́procamente, por la Proposición 4.4, podemos encontrar en un entorno del
punto x0 un conjunto de integrales primeras u1 , . . . , un 1 del sistema caracterı́stico funcionalmente independientes que deben verificar
n
X
i=1
x0i (t)
@uj
(x(t)) = 0,
@xi
43
j = 1, . . . , n
i6=j
en un entorno de x0 y obtener una expresión local de la solución general.
Teorema 5.5. Sea a 2 C 1 (⌦; Rn ), ⌦ ✓ Rn , x0 2 ⌦ tal que a(x0 ) 6= 0, y
sean u1 , . . ., un 1 2 C 1 (⌦) soluciones de la ecuación Da [u] = 0 funcionalmente
independientes en un entorno de x0 . Entonces toda solución u de la ecuación
en derivadas parciales es de la forma
u = F (u1 , . . . , un
en un entorno de x0 .
1.
44
1 ),
F 2 C 1,
Resolución de la ecuación homogénea reducida con coeficientes
constantes
Si los coeficientes de la ecuación
n
X
ai
i=1
@u
=0
@xi
son constantes, podemos obtener una fórmula explı́cita de cualquier solución
u 2 C 1 (Rn ). Sea a := (a1 , . . . , an ) 2 Rn . En este caso, las curvas caracterı́sticas son las lı́neas rectas cuyo vector de dirección es a.
La función debe permanecer constante a lo largo de dichas rectas. En
efecto, la derivada de la función h(t) := u(x ta) es
h0 (t) = Da [u](x
ta) = 0,
por lo que h(t) es una función constante lo que permite afirmar que
u(x) = u(x
x
x=
a·x
a 2 a? .
kak2
i = 1, . . . , n
n
X1
j=1
y por tanto para determinar la solución bastará con conocer el valor de u en
los puntos del hiperplano a?
⇣
a·x ⌘
u(x) = u x
a
kak2
45
Sean s1 , . . . , sn las coordenadas de un vector x 2 Rn , respecto a la base
w1 , . . . , wn 1 , a de Rn
n
X1
x=
sj wj + sn a.
Por tanto se verifica
En efecto, tomando t = (a · x)/kak2 , tenemos que
Para obtener una fórmula explı́cita de la solución, sea v1 , . . . , vn
base de a? . El núcleo de la aplicación lineal
0 1
1
v ·x
..
B
C
n
.
C
L : x 2 Rn 7! B
@ vn 1 · x A 2 R
a·x
i, j 2 {1, . . . , n},
donde ij denota el sı́mbolo delta de Kronecker. De la propiedad de biortogonalidad se deduce que w1 , . . . , wn 1 es una base de aT .
si = vi · x,
n
ta 2 a := {v 2 R | a · v = 0}.
x
ij ,
Entonces por la propiedad de biortogonalidad tenemos
Para cada x podemos encontrar un escalar t 2 R tal que
?
vi · wj =
j=1
8t 2 R.
ta),
es el conjunto de los vectores ortogonales a todos los elementos de la base
v1 , . . . , vn 1 , a de Rn . Se deduce que ker L = 0 y, por tanto es biyectiva.
Para cada j = 1, . . . , n 1, sea wj 2 Rn = L 1 (ej ), donde ej es el j-ésimo
vector canónico. Por construcción a · wj = 0, lo que indica que los vectores
wj , j = 1, . . . , n 1, son elementos del hiperplano a? . Además v1 , . . . , vn 1
y w1 , . . . , wn 1 forman un par biortogonal
1
una
1,
(vj · x)wj +
sn =
a·x
.
kak22
a·x
a
kak2
para cualquier vector x de Rn .
Todo elemento del conjunto a? puede expresarse en la forma
n
X1
sj w j ,
(s1 , . . . , sn
j=1
1)
2 Rn
1
,
y, si el valor de u sobre a? está prescrito, podremos determinar la función de
varias variables
f (s1 , . . . , sn
1 ) := u
⇣ nX1
j=1
⌘
sj w j ,
46
(s1 , . . . , sn
1)
2 Rn
1
.
Como u permanece constante sobre las lı́neas de dirección hai, deducimos que
⇣
u(x) = u x
⇣ nX1
⌘
a·x ⌘
a
=
u
(vj · x)wj = f (v1 · x, . . . , vn
2
kak
j=1
1
· x),
de donde se obtiene una expresión de la solución general de la ecuación lineal
homogénea reducida de primer orden con coeficientes constantes
u(x) = f (v1 · x, . . . , vn
1
1
· x),
en términos de una base cualquiera v , . . . , v
f 2 C 1 (Rn
n 1
1
Proposición 5.6. Sea a 2 C 1 (⌦; Rn ), an+1 2 C 1 (⌦ ⇥ U ), ⌦ ✓ Rn , U ✓ R
intervalo. Supongamos que a(x) 6= 0, para todo x 2 ⌦. Sea u 2 C 1 (⌦)
una solución de la ecuación en derivadas parciales semilineal (5.11). Sea x 2
C 1 (I; ⌦), una representación paramétrica regular de una curva caracterı́stica.
Sea x0 = x(t0 ), t0 2 I, un punto de la curva caracterı́stica en el que conocemos
el valor de la solución u0 = u(x0 ). Entonces el valor de la solución u sobre
todos los puntos de la curva caracterı́stica x(t) queda determinado
),
u(x(t)) = xn+1 (t),
del espacio a? .
t 2 I0 ,
donde la función xn+1 2 C ( I0 ) es la solución del problema de valor inicial
Ecuaciones semilineales
Una ecuación en derivadas parciales de primer orden se dice semilineal si es
de la forma
n
X
@u
ai (x)
= an+1 (x, u),
(5.11)
@x
i
i=1
donde an+1 es una función de clase C 1 . En el caso particular en que an+1 (x, u)
sea una función afı́n de u, es decir
an+1 (x, u) = a0 (x)u + b(x),
tenemos una ecuación lineal y si la función es de la forma an+1 (x, u) = a0 (x)u
la ecuación es lineal homogénea.
Si definimos a(x) = (a1 (x), . . . , an (x)) el campo vectorial asociado al
primer miembro de la ecuación, una ecuación semilineal puede escribirse en
la forma
Da [u](x) = an+1 (x, u).
Como en el caso de las ecuaciones Da [u] = 0, podemos definir las curvas caracterı́sticas de la ecuación semilineal como aquellas curvas que son tangentes
a las direcciones prescritas por el campo vectorial a,
dx1
dxn
= ··· =
.
a1 (x)
an (x)
x0n+1 (t) = (t)an+1 (x(t), xn+1 (t)),
(5.13)
definida en I0 ✓ I y (t) es la función continua y no nula determinada por la
relación
x0 (t) = (t)a(x(t)).
Demostración. Sea x(t), t 2 I, una representación regular de una curva
caracterı́stica cualquiera. Por el Lema 5.3, existe una función continua (t)
determinada por la relación x0 (t) = (t)a(x(t)). Sea xn+1 (t) := u(x(t)), t 2 I.
Entonces xn+1 (t) verifica
x0n+1 (t) =
n
n
X
X
@u
@u
(x(t))x0i (t) = (t)
ai (x(t))
(x(t))
@x
@x
i
i
i=1
i=1
y teniendo en cuenta que u es una solución de (5.11)
n
X
i=1
(5.12)
xn+1 (t0 ) = u0 ,
ai (x(t))
@u
(x(t)) = an+1 (x(t), u(x(t))),
@xi
se deduce que xn+1 (t) es la solución del problema de valor inicial (5.13).
La resolución de una ecuación semilineal puede obtenerse mediante integración sobre las caracterı́sticas. Pero en este caso las soluciones de la ecuación
semilineal (5.11) no son necesariamente constantes a lo largo de las curvas caracterı́sticas. Sin embargo, es posible determinar la evolución de la solución
a lo largo de las curvas caracterı́sticas resolviendo una ecuación diferencial
ordinaria.
A veces se adjunta la ecuación diferencial de (5.13) al sistema caracterı́stico para describir el problema diferencial caracterı́stico en el espacio de
fases ampliado con la variable dependiente xn+1 = u
47
48
dx1
dxn
dxn+1
= ··· =
=
.
a1 (x1 , . . . , xn )
an (x1 , . . . , xn )
an+1 (x1 , . . . , xn , xn+1 )
La proposición anterior sugiere un método de cálculo de la solución. Se
calculan curvas caracterı́sticas que pasan por diferentes puntos del dominio
x0 . Bajo determinadas condiciones, la selección de los puntos iniciales x0
en un subconjunto (n 1)-dimensional permite determinar la solución en
cualquier punto del dominio. La existencia o unicidad de solución dependerá
en buena medida de la selección apropiada del conjunto en el que conocemos
el valor de la solución.
El problema de Cauchy para la ecuación semilineal consiste en encontrar
una solución de la ecuación semilineal (5.11) cuyos valores sobre los puntos
de la variedad inicial estén dados por una función f 2 C 1 (U )
n
X
ai (x)
i=1
@u
= an+1 (x, u),
@xi
u(g(s)) = f (s),
Problema de Cauchy
Para plantear problemas de Cauchy o problemas de valor inicial correspondientes a una ecuación semilineal, introducimos el concepto de variedad transversal o no caracterı́stica. Se trata de una variedad diferenciable ✓ ⌦ de
dimensión n 1 (hipersuperficie) tal que las curvas caracterı́sticas atraviesan
a a lo sumo una sola vez.
Una hipersuperficie de clase C 1 en Rn puede ser representada localmente en forma paramétrica mediante las ecuaciones
x1 = g1 (s1 , . . . , sn
..
.
1 ),
xn = gn (s1 , . . . , sn
1 ),
(5.14)
donde s = (s1 , . . . , sn 1 ) recorre un abierto U de Rn 1 y gi 2 C 1 (U ), i =
1, . . . , n. Definamos la función vectorial
0
1
g1 (s)
B
C
g : s 2 U 7! g(s) = @ ... A 2 Rn .
gn (s)
La parametrización de la hipersuperficie
rango
@g 0
(s ) = n
@s
es regular si
1,
8s0 2 U.
(5.15)
Gracias a la condición de regularidad (5.15), queda definido el espacio
tangente a en el punto x0 = g(s0 ) como el espacio (n 1)-dimensional
Tx0
=
D @g
E
@g
(s0 ), . . . ,
(s0 ) ,
@s1
@sn 1
49
s0 2 U.
(5.16)
(5.17)
s 2 U.
Consideremos parametrizaciones regulares x(t) de las curvas caracterı́sticas tales que para cierto valor del parámetro t = t0 pasan por un punto de
la variedad inicial . Para cada punto g(s) de , consideramos la solución de
un problema de valor inicial caracterı́stico
x0 (t) = a(x(t)),
x(t0 ) = g(s),
(5.18)
donde a(x) := (a1 (x), . . . , an (x))T .
Si el campo vectorial a 2 C 1 (D; Rn ), podemos aplicar el Teorema de
Peano de dependencia respecto a condiciones iniciales y deducir que existe
una función y(t, s) de clase C 1 que permite expresar la solución del problema
de valor diferencial caracterı́stico (5.18).
Para obtener una solución local del problema de Cauchy necesitamos
invertir localmente la aplicación y. Por el Teorema de la función inversa, la
función y(t, s) es un difeomorfismo local si y sólo si
det
@y
(t0 , s0 ) 6= 0.
@(t, s)
(5.19)
Teniendo en cuenta que
@y
(t0 , s0 ) = a(y(t0 , s0 )) = a(g(s0 )),
@t
@y
@g 0
(t0 , s0 ) =
(s ),
@s
@s
la condición (5.19) puede formularse equivalentemente en la forma
0
1
@g1 0
@g1
a1 (g(s0 ))
(s ) · · ·
(s0 )
B
C
@s1
@sn 1
B
C
..
..
..
C 6= 0.
det B
B
C
.
.
.
@
A
@g
@g
n 0
n
0
0
an (g(s ))
(s ) · · ·
(s )
@s1
@sn 1
50
(5.20)
Llamando x0 = g(s0 ), y teniendo en cuenta (5.16) vemos que (5.20) equivale
a imponer llamada condición de transversalidad
a(x0 ) 2
/ Tx 0 ,
x0 2 ,
en x0 no contiene al vector
es decir, el espacio tangente a la variedad
caracterı́stico a(x0 ).
En el siguiente Teorema se demuestra la existencia y unicidad de solución
local del problema de Cauchy para la ecuación semilineal, bajo la hipótesis de
que las condiciones iniciales se imponen sobre una hipersuperficie transversal
al campo caracterı́stico.
1
n
1
n
Teorema 5.7. Sean a 2 C (⌦, R ) y an+1 2 C (⌦ ⇥ J), donde ⌦ ✓ R ,
J ✓ R, y sea g 2 C 1 (U ; Rn 1 ), U ✓ Rn 1 , la representación paramétrica de
una hipersuperficie. Si para s0 2 U
rango
@g 0
(s ) = n
@s
1,
a(g(s0 )) 2
/
D @g
@s1
(s0 ), . . . ,
E
@g
(s0 ) ,
@sn 1
(5.21)
entonces existe un entorno U0 de s0 en el que : x = g(s), s 2 U0 representa
una hipersuperficie regular y un entorno ⌦0 de x0 = g(s0 ) tal que el problema
de Cauchy
n
X
@u
ai (x)
= an+1 (x, u), u(g(s)) = f (s)
@x
i
i=1
tiene una única solución u 2 C 1 (⌦0 ) para cada f 2 C 1 (U0 ).
Demostración. Por el Teorema de Peano de dependencia de soluciones
respecto a condiciones iniciales, la solución y(t, s) del problema de valor inicial
x0 (t) = a(x(t)),
x(t0 ) = g(s),
está bien definida y es C 1 (I0 ⇥ U0 ), donde I0 ⇥ U0 es un entorno de (t0 , s0 )
Consideremos ahora la ecuación diferencial
x0n+1 (t) = an+1 (y(t; s), xn+1 (t)),
xn+1 (t0 ) = f (s).
Para cada s, el problema de valor inicial tiene una solución que denotaremos
por h(t, s). Aplicando el Teorema de Peano de dependencia de soluciones
51
respecto a condiciones iniciales y parámetros y restringiendo adecuadamente
el dominio de definición I0 ⇥ U0 podemos suponer h 2 C 1 (I0 ⇥ U0 ) y que
⌦0 = y(I0 ⇥ U0 ).
Si el rango de la matriz @g/@s(s0 ) es n 1, entonces la matriz debe tener
un menor no nulo y ese menor será no nulo en todo un entorno de s0 . Por lo
tanto, : x = g(s) representa una hipersuperficie regular en un entorno de s0 .
Restringiendo de nuevo el conjunto U0 podemos suponer que la hipersuperficie
es regular en los puntos x = g(s), s 2 U0 .
El valor de u queda determinado en los puntos y(t, s) mediante la fórmula
u(y(t, s)) = h(t, s),
ya que u(y(t, s)) es solución del problema de valor inicial que define h(t, s). La
hipótesis (5.21) implica (5.20), por lo que y(t, s) es un difeomorfismo local.
Aplicando el Teorema de la función inversa, deducimos la existencia de un
entorno abierto ⌦0 de x0 = g(s0 ) en el que la inversa y 1 está bien definida
y es de clase C 1 . Esto nos permite determinar la solución en el dominio ⌦0
mediante la fórmula u(x) := h y 1 (x).
Obtención de soluciones particulares de una ecuación lineal
Las ecuaciones lineales son casos especiales de ecuaciones semilineales. Por
tanto, si suponemos resuelto el sistema caracterı́stico, la solución se obtiene
mediante la integración de una ecuación diferencial adicional. En el caso de la
ecuación lineal, las ecuaciones diferenciales que aparecen son lineales y la integración puede reducirse a cuadraturas a lo largo de las lı́neas caracterı́sticas.
Aunque la integración directa de la ecuación diferencial lineal lleva a la
resolución del problema, hemos querido presentar algunos argumentos que nos
permiten relacionar el problema de obtener soluciones particulares al cálculo
de integrales de lı́nea a lo largo de las caracterı́sticas, ilustrando algunos usos
de la técnica de variación de las constantes adaptadas a este contexto.
Cuadraturas. Recordemos que una cuadratura es una ecuación diferencial
de la forma x0 (t) = b(t). Mediante integración directa pueden obtenerse soluRt
ciones particulares x(t) = t0 b(s)ds. Un problema multidimensional análogo
son las ecuaciones lineales de la forma
n
X
i=1
ai (x)
@u
(x) = b(x)
@xi
52
El método de las caracterı́sticas nos permite determinar soluciones particulares de este problema mediante cuadraturas a lo largo de las caracterı́sticas. Si
x(t) es una parametrización regular de una curva caracterı́stica que no pasa
por ningún punto singular, entonces, por el Lema 5.3, existe una función (t)
tal que
x0 (t) = (t)a(x(t))
se reduce al problema anterior mediante el cambio u = exp(v). Teniendo en
cuenta que
Da [u](x) = Da [exp v](x) =
n
X
ai (x)
i=1
@ exp v(x)
= exp v(x)Da [v](x),
@xi
la ecuación se transforma en
Derivando u(x(t)) obtenemos
n
Da [v] = a0 .
n
X @u
X
d
@u
u(x(t)) = (t)
(x(t))x0i (t) = (t)
ai (x(t))
= (t)b(x(t)).
dt
@x
@x
i
i
i=1
i=1
Por tanto, si conocemos el valor de una solución particular sobre un punto
x0 = x(t0 ) de la curva caracterı́stica, podemos determinar el valor de la
solución particular a lo largo de toda la curva caracterı́stica mediante una
cuadratura
Z
t
u(x(t)) = u(x0 ) +
(s)b(x(s))ds.
t0
Para que la curva caracterı́stica x(t) esté parametrizada respecto al arco,
kx0 (t)k2 = 1, es suficiente tomar (t) := ka(x(t))k2 1 . Se deduce que los
valores de la solución pueden expresarse a través de la integral de lı́nea
u(x) = u(x0 ) +
Z
Una vez determinada una solución positiva uh de la ecuación homogénea
Da [u] = a0 u podemos hallar la solución general mediante el método de variación de las constantes. Sabemos que cualquier múltiplo cuh , c 2 R, es
también solución de la ecuación homogénea. Sustituimos la constante c por
una función arbitraria u(x) = c(x)uh (x), lo que equivale a definir la función
c(x) := u(x)/uh (x). Entonces tenemos
0 = Da [u]
y como Da [uh ]
a0 u = Da [cuh ]
donde u1 , . . . , un 1 son integrales primeras funcionalmente independientes del
sistema caracterı́stico.
Ecuación homogénea. El problema de determinar la solución de ecuaciones
en derivadas parciales lineales homogéneas de primer orden
Da [u] = a0 u,
a0 cuh = c(Da [uh ]
a0 uh ) + Da [c]uh
a0 uh = 0, tenemos que c verifica la ecuación
kak2 1 b,
siendo la curva caracterı́stica que une x con el punto x0 . Por lo tanto,
podemos obtener soluciones particulares de la ecuación Da [u] = b calculando
ciertas integrales de lı́nea a lo largo de las curvas caracterı́sticas. Una vez
determinada la solución particular up , la expresión local de la solución general
de Da [u] = b es
u = up + F (u1 , . . . , un 1 ),
53
Puede obtenerse una solución particular vp de la ecuación anterior integrando
a lo largo de las caracterı́sticas. Entonces tomando uh = exp(vp ) se obtiene
una solución particular positiva de la ecuación homogénea.
Da [c] = 0,
Luego, si u1 , . . . , un 1 soluciones funcionalmente independientes de Da [u] = 0,
entonces c = F (u1 , . . . , un 1 ) y u = uh c = uh F (u1 , . . . , un 1 ), obteniendo la
siguiente expresión local de la solución general de Da [u] = a0 u en la forma
u = uh F (u1 , . . . , un
1 ),
donde u1 , . . . , un 1 son integrales primeras funcionalmente independientes del
sistema caracterı́stico.
Ecuación lineal completa. En el caso lineal completo Da [u] = a0 u + b,
puede obtenerse una solución particular up mediante el método de variación de
las constantes, partiendo de una solución particular de la ecuación homogénea
uh que no se anule en ningún punto. Definiendo c(x) := u(x)/uh (x), tenemos
b = Da [u]
a0 u = Da [cuh ]
a0 cuh = c(Da [uh ]
54
a0 uh ) + Da [c]uh
y, teniendo en cuenta que Da [uh ]
a0 uh = 0, la función c verifica la ecuación
Da [c] =
b
.
uh
Por lo tanto, si (6.2) expresa una familia uniparamétrica de soluciones de (6.1),
entonces grad u(x0 ) debe ser paralelo al campo P(x0 ) = (P1 (x0 ), . . . , Pn (x0 ))
en cada punto x0 .
Una expresión del tipo
Podemos determinar una solución particular cp mediante integrales de lı́nea
a lo largo de las caracterı́sticas. De esta forma se determina una solución
particular up = cp uh de la ecuación lineal completa Da [u] = a0 u + b. La
expresión de la solución general es
!(x) =
siendo u1 , . . . , un 1 integrales primeras funcionalmente independientes del sistema caracterı́stico.
6. Ecuaciones en diferenciales totales
Un modo natural de expresar familias de hipersuperficies solución de (6.1)
es mediante una fórmula implı́cita del tipo
en el punto x0 es precisamente
grad u(x0 )(x
55
x0 ) = 0.
Observemos que si ! es una forma de clase C 1 exacta, entonces su función
potencial u debe ser de clase C 2 y, teniendo en cuenta la igualdad de las
derivadas cruzadas, se deduce que
@Pi
@2u
@2u
@Pj
(x) =
(x) =
(x) =
(x).
@xj
@xj @xi
@xi @xj
@xi
La observación anteriorPlleva a la siguiente definición. Una forma difen
rencial de clase C 1 , !(x) = i=1 Pi (x)dxi , se dice cerrada si se verifica
@Pi
@Pj
(x) =
(x),
@xj
@xi
8i 6= j.
(6.2)
donde u es una función de gradiente no nulo. Observemos que si el hiperplano
tangente a la hipersuperficie
u(x) = u(x0 )
n
X
@u
(x)dxi .
@x
i
i=1
(6.1)
Una solución de la ecuación en diferenciales totales (6.1) es una variedad
diferenciable cuyos vectores tangentes dx son ortogonales a los vectores del
campo
P(x) = (P1 (x), . . . , Pn (x)).
C 2 R,
du(x) =
o, equivalentemente, grad u(x) = P(x).
Una ecuación en diferenciales totales o ecuación diferencial de Pfa↵ es una
ecuación de la forma
u(x) = C,
Pi (x)dxi
i=1
recibe el nombre de forma diferencial. Una forma diferencial ! se dice exacta
si existe u 2 C 1 (llamada función potencial) tal que ! = du, donde
u = up + uh F (u1 , . . . , un ),
P1 (x)dx1 + · · · + Pn (x)dxn = 0.
n
X
Se deduce que una condición necesaria para que una forma ! de clase C 1
sea exacta es que ! sea una forma cerrada. El recı́proco no es cierto en un
dominio general, pero puede demostrarse para ciertos dominios particulares
como los abiertos estrellados.
Teorema 6.1 (Lema de Poincaré). Sea ⌦ ✓ Rn un abierto estrellado de
Rn , es decir, existe x0 2 ⌦ tal que
[x0 , x] := {(1
t)x0 + tx
t 2 [0, 1]} ✓ ⌦,
56
8x 2 ⌦.
Pn
Sea !(x) = i=1 Pi (x)dxi , Pi 2 C 1 (⌦), i = 1, . . . , n una forma diferencial de
clase C 1 sobre ⌦. Si ! es cerrada, entonces es exacta y
u(x) :=
Z
!=
[x0 ,x]
Z
0
n
1X
Pi ((1
t)x0 + tx)(xi
x0i )dt
Supongamos que x0 es un punto no singular, es decir, !(x0 ) 6= 0. Si P
es un campo continuo, entonces P(x) es un campo vectorial que no se anula
en un entorno de x0 . La condición de que los vectores no nulos grad u(x) y
P(x) sean paralelos en un entorno de x0 puede expresarse en la forma
i=1
grad u(x) = µ(x)P(x)
es una función potencial de ! tal que u(x0 ) = 0.
Demostración. (Idea) Derivando bajo el signo integral tenemos
@u(x)
=
@xj
=
=
=
Z
Z
Z
Z
1
0
0
n
⇣X
@P
i
i=1
n
1⇣X
i=1
1
0
1
0
((1
t)x0 + tx)t(xi
x0i ) + Pj ((1
@Pj
((1
@xi
t)x0 + tx)t(xi
x0i ) + Pj ((1
@xj
⇣ d
t [Pj ((1
dt
d
[tPj ((1
dt
⌘
t)x0 + tx)) dt
⌘
t)x0 + tx)) dt
t)x0 + tx)] + Pj ((1
⌘
t)x0 + tx) dt
t)x0 + tx)]dt = Pj (x)
0 = Pj (x).
Luego du = !.
El Lema de Poincaré garantiza que toda forma cerrada es localmente
exacta en el sentido de que existe una función potencial definida en un entorno
de cada punto.
Volvamos al problema de integrar una ecuación en diferenciales totales
(6.1) expresando una familia uniparamétrica de soluciones locales en la forma
implı́cita u(x) = C, C 2 R. Como ya hemos mencionado, este problema
equivale a determinar una función u cuyo gradiente sea no nulo y paralelo al
campo vectorial P(x) = (P1 (x), . . . , Pn (x)).
Pn
Si la forma diferencial !(x) = i=1 Pi (x)dxi es nula en x0 ,
P1 (x0 ) = · · · = Pn (x0 ) = 0,
entonces tenemos que la forma diferencial es singular en dicho punto y no
queda fijada la dirección del vector gradiente de la función u(x) en x0 . En
ese caso decimos que x0 es un punto singular de la ecuación en diferenciales
totales.
57
o equivalentemente
du(x) = µ(x)!(x),
siendo µ(x) una función no nula definida en un entorno de x0 .
De acuerdo con el Lema de Poincaré, si la forma ! es de clase C 1 la
condición necesaria y suficiente para que la ecuación en diferenciales totales
!(x) = 0 admita una familia de soluciones implı́citas u(x) = C, C 2 R, en
un entorno de x0 es que exista una función µ no nula tal que µ! sea una
forma cerrada sin puntos singulares. Las ecuaciones en diferenciales totales
que satisfacen esta condición reciben el nombre de ecuaciones completamente
integrables.
La función µ(x) se llama factor integrante y no tiene por qué existir a no
ser que la ecuación en diferenciales totales !(x) = 0 sea completamente integrable. La existencia de factor integrante equivale a la existencia de solución
de los sistemas de ecuaciones en derivadas parciales lineales
@(µPi )
@(µPj )
(x) =
(x),
@xj
@xi
i < j,
o equivalentemente
Pj (x)
@µ
(x)
@xi
Pi (x)
⇣ @P
@µ
i
(x) =
(x)
@xj
@xj
⌘
@Pj
(x) µ(x),
@xi
i < j.
Eliminando la función µ de las relaciones anteriores obtenemos las condiciones
de integrabilidad
Pi
⇣ @P
j
@xk
⇣ @P
@Pk ⌘
k
+ Pj
@xj
@xi
⇣ @P
@Pi ⌘
i
+ Pk
@xk
@xj
@Pj ⌘
= 0,
@xi
i < j < k,
que identifican a las llamadas ecuaciones completamente integrables.
58
En el caso de dos variables, este factor integrante existe siempre en un
entorno de cada punto no singular y es la solución de la ecuación en derivadas
parciales lineal homogénea
⇣ @P
⌘
@µ
@µ
@P2
1
P2 (x)
(x) P1 (x)
(x) =
(x)
(x) µ(x).
(6.3)
@x1
@x2
@x2
@x1
Para demostrar la existencia de solución de las ecuación en diferenciales totales y de los factores integrantes en dos variables asociamos a la ecuación en
diferenciales totales
P1 (x)dx1 + P2 (x)dx2 = 0,
(6.4)
el sistema diferencial equivalente escrito en forma continua
dx1
dx2
=
P2 (x)
P1 (x)
Las ecuaciones en diferenciales totales pueden aplicarse al cálculo de integrales primeras de un sistema diferencial
dx1
dxn
= ··· =
.
a1 (x)
an (x)
@u
@u
(x) P1 (x)
(x) = 0.
(6.6)
@x1
@x1
La Proposición 4.4 nos permite garantizar la existencia de una integral primera
u de (6.5) en el entorno de cada punto no singular. Por el Teorema 5.2,
esta integral primera será solución de la ecuación (6.6). De la relación (6.6)
deducimos que du es paralelo al campo vectorial (P1 (x), P2 (x)). Definamos
P2 (x)
1 @u
(x),
Pi (x) @xi
con i 2 {1, 2} tal que Pi (x) 6= 0. Entonces µ es un factor integrante de la
ecuación, lo que demuestra la existencia de factores integrantes en el caso de
dos variables.
El factor integrante no tiene que ser único. Teniendo en cuenta que la
ecuación (6.6) de las integrales primeras de (6.5) es la ecuación homogénea
correspondiente a la ecuación de los factores integrantes (6.3), podemos deducir del Teorema 5.5 que la expresión general de los factores integrantes
es
µ(x) = µp (x)F (u(x)),
n
X
Pi (x)ai (x) = 0.
(6.8)
i=1
Observemos que los multiplicadores permiten definir un campo vectorial
(P1 (x), . . . , Pn (x))
ortogonal al campo vectorial dado
a(x) = (a1 (x), . . . , an (x)).
Pn
Si la forma diferencial asociada a los multiplicadores !(x) := i=1 Pi (x)dxi
es cerrada, entonces podemos definir localmente una función potencial u(x),
tal que du = !.
Sea x(t), t 2 C 1 (I; Rn ), entonces
n
n
X @u
X
d
[u(x(t))] =
(x(t))x0i (t) = !(x(t))(x0 (t)) =
Pi (x(t))x0i (t)
dt
@x
i
i=1
i=1
Si x(t) es una curva solución del sistema diferencial (6.7), entonces x0 (t) es
paralelo a a(x(t)) y por la relación de ortogonalidad (6.8) se deduce que
u(x(t)), t 2 I, es constante. Luego la función potencial u es una integral
primera del sistema (6.3) y también una solución particular de la ecuación en
derivadas parciales Da [u] = 0.
donde µp es un factor integrante particular, u es una integral primera arbitraria de (6.5) y F una función cualquiera con valores no nulos.
59
(6.7)
Se consideran multiplicadores P1 (x), . . . , Pn (x) tales que
(6.5)
correspondiente al campo vectorial (P2 (x), P1 (x)). La resolución de (6.3)
mediante fórmulas implı́citas u(x) = C, C 2 R, equivale a la búsqueda de
integrales primeras del sistema (6.5). La ecuación de las integrales primeras
de (6.5) es la ecuación en derivadas parciales lineal homogénea
µ(x) :=
Método de los multiplicadores para el cálculo de integrales
primeras
60
7. Ecuaciones cuasilineales de primer orden
entonces la relación
Una ecuación cuasilineal es una ecuación de la forma
n
X
@u
ai (x, u)
= an+1 (x, u),
@x
i
i=1
(x, u) 2 D,
E(x, u) = c,
(7.1)
donde D ✓ Rn ⇥ R. Las ecuaciones cuasilineales generalizan a las ecuaciones
semilineales. Por tanto, el análisis de estas ecuaciones, las consideraciones
geométricas y los resultados que obtendremos en esta sección pueden aplicarse
también al estudio de las ecuaciones lineales y semilineales.
En primer lugar, la resolución de una ecuación cuasilineal puede reducirse
al de una ecuación lineal homogénea incrementando el número de variables.
La idea consiste en expresar las soluciones de la ecuación (7.1) implı́citamente
en la forma E(x, u) = 0 ó incluso determinar implı́citamente familias uniparamétricas de soluciones de la forma E(x, u) = c, c 2 R, buscando integrales
primeras E(x, xn+1 ) del sistema diferencial
dx1
dxn
dxn+1
= ··· =
=
a1 (x, xn+1 )
an (x, xn+1 )
an+1 (x, xn+1 )
(7.2)
en el espacio de fases ampliado con la variable dependiente xn+1 = u. El sistema (7.2) recibe el nombre de sistema caracterı́stico de la ecuación cuasilineal
(7.1).
1
Sea E una integral primera de clase C del sistema (7.2). Por el Teorema
5.2, E verifica la ecuación en derivadas parciales lineal de primer orden
n
X
i=1
ai (x, xn+1 )
@E
@E
(x, xn+1 ) + an+1 (x, xn+1 )
(x, xn+1 ) = 0,
@xi
@xn+1
(7.3)
E(x, u(x)) = c,
61
(x0 , u0 ) 2 D0 ,
u(x0 ) = u0 .
que es solución de la ecuación cuasilineal (7.1). Recı́procamente, si E 2
C 1 (D0 ) y u 2 C 1 (⌦) es una solución de la ecuación cuasilineal (7.1) tal que
(x, u(x)) 2 D0 ,
E(x, u(x)) = c,
8x 2 ⌦,
entonces E verifica la ecuación transformada de Jacobi (7.3) sobre la gráfica
de u.
Demostración. Si
@E
(x0 , u0 ) 6= 0,
@xn+1
la relación
E(x, u) = c,
con c = E(x0 , u0 ) 2 R, define en un entorno de x0 una función u(x) de clase
C 1 tal que
E(x, u(x)) = c, u(x0 ) = u0 .
Mediante derivación implicita obtenemos
@u
(x) =
@xi
Veamos que toda ecuación cuasilineal está estrechamente relacionada con
su transformada de Jacobi.
@E
(x0 , u0 ) 6= 0,
@xn+1
(7.4)
permite definir implicitamente una función u en un entorno de x0
y recı́procamente, toda solución de la ecuación (7.3) es integral primera del
sistema (7.2). La ecuación (7.3) recibe el nombre de ecuación transformada
de Jacobi de la ecuación cuasilineal (7.1).
Teorema 7.1. Sea D0 ⇢ D 2 Rn ⇥ R. Si E 2 C 1 (D0 ), D0 ⇢ D, es una
solución de la ecuación transformada de Jacobi (7.3) tal que
c := E(x0 , u0 ),
@E
(x, u(x))
@xi
.
@E
(x, u(x))
@xn+1
(7.5)
Sustituyendo u = u(x) en (7.3) obtenemos
n
X
i=1
ai (x, u(x))
@E
@E
(x, u(x)) + an+1 (x, u(x))
(x, u(x)) = 0.
@xi
@xn+1
62
(7.6)
Dividiendo para
@E
(x, u(x))
@xn+1
Interpretación geométrica
Si u(x) es solución de la ecuación cuasilineal (7.1) entonces la hipersuperficie
correspondiente a la gráfica de u
@E
(x, u(x))
@xi
0=
ai (x, u(x))
+ an+1 (x, u(x))
@E
i=1
(x, u(x))
@u
n
X
@u
=
ai (x, u(x))
(x) + an+1 (x, u(x))
@x
i
i=1
n
X
se deduce que la función u = u(x) definida implı́citamente por (7.4) satisface
la ecuación cuasilineal (7.1).
Para el recı́proco, derivando respecto a xi en la relación E(x, u(x)) = c,
obtenemos
@E
@u
@E
(x, u(x)) +
(u(x))
(x, u(x)) = 0
@xi
@xi
@xn+1
Multiplicando cada una de estas relaciones por ai (x, u(x)) y sumándolas obtenemos
n
X
n
X
@E
@u
@E
ai (x, u(x))
(x, u(x)) +
ai (x, u(x))
(u(x))
(x, u(x)) = 0.
@x
@x
@x
i
i
n+1
i=1
i=1
Teniendo en cuenta que u verifica la ecuación (7.1), obtenemos (7.6). Por lo
tanto, E verifica la ecuación transformada de Jacobi sobre la gráfica de u.
Veremos al estudiar el problema de Cauchy que, por cada punto (x0 , u0 )
en el que (a1 (x0 , u0 ), · · · , an (x0 , u0 )) 6= 0, pasa al menos una variedad transversal y también una solución de la ecuación cuasilineal. Por lo tanto si
E(x, u(x)) permanece constante sobre toda solución u de la ecuación cuasilineal (7.1), debe verificar la ecuación transformada de Jacobi (7.3) en todos
los puntos (x, xn+1 ) tales que (a1 (x, xn+1 ), · · · , an (x, xn+1 )) 6= 0.
(x, u(x)) 2 Rn+1 ,
x 2 ⌦ ✓ Rn ,
recibe el nombre de hipersuperficie integral. Sea
0
1
a1 (x, xn+1 )
B
C
..
n
n+1
a(x, xn+1 ) = @
.
A 2 R , (x, xn+1 ) 2 D ✓ R
.
an (x, xn+1 )
Entonces podemos asociar a la ecuación (7.1) el campo vectorial
✓
a(x, xn+1 )
an+1 (x, xn+1 )
◆
0 a (x, x
1
1
n+1 )
.
B
C
..
C 2 Rn ,
=B
@
A
an (x, xn+1 )
an+1 (x, xn+1 )
(x, xn+1 ) 2 D ✓ Rn+1 .
y el campo
⌧✓
a(x, xn+1 )
an+1 (x, xn+1 )
◆
(x, xn+1 ) 2 D ✓ Rn+1
,
de direcciones caracterı́sticas. Observamos que a(x, xn+1 ) es la proyección del
campo caracterı́stico sobre Rn y el valor de dicha proyección depende de la
altura xn+1 . Para evitar que la dirección caracterı́stica sea paralela al vector
en+1 = (0, . . . , 0, 1)T , imponemos la condición
a(x, xn+1 ) 6= 0,
Si u es solución de la ecuación cuasilineal (7.1), entonces
n
X
i=1
ai (x, u(x))
@u
(x) = an+1 (x, u(x))
@xi
lo que equivale a imponer que el vector normal a la hipersuperficie integral
⇣ @u
⌘T
@u
(x), . . . ,
(x), 1
@x1
@xn
63
64
sea ortogonal a la dirección caracterı́stica en el punto (x, u(x))
⌧✓
◆
a(x, u(x))
an+1 (x, u(x))
Por tanto, la hipersuperficie integral es tangente en cada punto (x, u(x)) a la
dirección caracterı́stica.
Las curvas caracterı́sticas son soluciones del sistema caracterı́stico (7.2).
El siguiente resultado muestra que una hipersuperficie integral está formada
por la unión de curvas caracterı́sticas, en el siguiente sentido: si una curva
caracterı́stica toca a la hipersuperficie integral en un punto, entonces está
completamente contenida en dicha hipersuperficie.
n
Derivando xn+1 (t)
d
[xn+1 (t)
dt
u(x(t)) obtenemos
u(x(t))] = x0n+1 (t)
⇣
= (t) an+1 (x(t), xn+1 (t))
n
X
n
X
@u
(x(t))x0 (t) =
@x
i
i=1
ai (x(t), xn+1 (t))
i=1
⌘
@u
(x(t)) .
@xi
Teniendo en cuenta que u(x) es solución de la ecuación cuasilineal (7.1)
deducimos que
d
[xn+1 (t) u(x(t))] = 0
dt
y, como xn+1 (t0 ) u(x(t0 )) = 0, se deduce que xn+1 (t) u(x(t)) = 0 para
todo t 2 I.
Problema de Cauchy
En las ecuaciones cuasilineales también podemos plantear el problema de
Cauchy o problema de valor inicial sobre variedades transversales (también
llamadas variedades no caracterı́sticas).
de clase C 1 en Rn
Consideramos una hipersuperficie
: x = g(s),
Figura 10. Las curvas caracterı́sticas son tangentes a la superficie integral
1
xn+1 (t) = u(x(t)),
8t 2 I.
Demostración. Como (x(t), xn+1 (t)) es solución del sistema caracterı́stico,
queda definida una función escalar mediante
(t) :=
x0n+1 (t)
x01 (t)
x0n (t)
= ··· =
=
,
a1 (x(t), xn+1 (t))
an (x(t), xn+1 (t))
an+1 (x(t), xn+1 (t))
de modo que
rango
(x
(t), x0n+1 (t))
= (t)a(x(t), xn+1 (t)).
65
@g(s)
=n
@s
1.
(7.7)
En cada punto de la variedad inicial prescribiremos un valor de la función
que deseamos determinar a través de una función gn+1 2 C 1 (U ) tal que
(g(s), gn+1 (s)) 2 D,
8s 2 U.
El problema de Cauchy para la ecuación cuasilineal consiste en encontrar una
solución de la ecuación cuasilineal (7.1) cuyos valores sobre los puntos de la
variedad inicial estén prescritos
n
X
i=1
0
1
que verifica la condición de regularidad
n
Teorema 7.2. Sea u 2 C (⌦), ⌦ ✓ R una solución de la ecuación cuasilineal (7.1) y sea (x(t), xn+1 (t)), t 2 I, una solución del sistema caracterı́stico
(7.2) tal que (x(t), xn+1 (t)) 2 D, x(t) 2 ⌦, para todo t 2 I. Si para t0 2 I
tenemos que xn+1 (t0 ) = u(x(t0 )), entonces
s 2 U ✓ Rn
ai (x, u)
@u
= an+1 (x, u),
@xi
u(g(s)) = gn+1 (s).
66
(x, u) 2 D,
(7.8)
El problema de Cauchy admite la siguiente interpretación geométrica: queremos que los puntos (g(s), gn+1 (s)), s 2 U , estén contenidos en la hipersuperficie integral de (7.1).
Para cada punto de correspondiente a un valor del parámetro s 2 U ,
consideramos la solución de un problema de valor inicial caracterı́stico que
pasa precisamente por el punto (g(s), gn+1 (s)) 2 D
x0 (t) = a(x(t), xn+1 (t)),
x(t0 ) = g(s),
x0n+1 (t)
xn+1 (t0 ) = gn+1 (s).
= an+1 (x(t), xn+1 (t)),
(7.9)
Si el campo vectorial a 2 C 1 (D), podemos aplicar el Teorema de Peano
de dependencia respecto a condiciones iniciales y deducir que existen funciones
y(t, s) = (y1 (t, s), . . . , yn (t, s))T
yn+1 (t, s),
(t, s) 2 I0 ⇥ U0 ,
de clase C 1 que permiten expresar la solución del problema diferencial caracterı́sitico (7.9). Por el Teorema 7.2, los puntos (y(t, s), yn+1 (t, s)), (t, s) 2
I0 ⇥ U0 , están contenidos en la hipersuperficie integral del problema de valor
inicial (7.8).
Γ
es un difeomorfismo local y podemos definir la solución u del problema de valor
inicial en un entorno de y(t0 , s0 ) mediante la fórmula u(x) = yn+1 y 1 (x).
Teniendo en cuenta que
@y
(t0 , s0 ) = a(y(t0 , s0 ), yn+1 (t0 , s0 )) = a(g(s0 ), gn+1 (s0 ))
@t
y que
@y
@g 0
(t0 , s0 ) =
(s ),
@s
@s
la condición de transversalidad (7.10) puede expresarse equivalentemente en
la forma
0
1
@g1 0
@g1
a1 (g(s0 ), gn+1 (s0 ))
(s ) · · ·
(s0 )
B
C
@s1
@sn 1
B
C
..
..
..
C 6= 0.
det B
(7.11)
B
C
.
.
.
@
A
@g
@g
n 0
n
an (g(s0 ), gn+1 (s0 ))
(s ) · · ·
(s0 )
@s1
@sn 1
Llamando x0 = g(s0 ) y teniendo en cuenta que gn+1 (s0 ) es el valor u(x0 ) de
la solución que queremos determinar en el punto x0 , podemos escribir
a(x0 , u(x0 )) 2
/ Tx0 ,
x0 2 ,
es decir, el espacio tangente a la variedad
en x0 no contiene al vector
a(x0 , u(x0 )), proyección sobre el espacio Rn del campo vectorial caracterı́stico
en el punto (x0 , u(x0 )) 2 D ✓ Rn+1 .
La relación de transversalidad mencionada anteriormente puede interpretarse en el espacio ampliado Rn+1 , teniendo en cuenta que el determinante
0
1
@g 0
@g
a(g(s0 ), gn+1 (s0 ))
(s )
...
(s0 ) 0
B
C
@s1
@sn 1
det @
A
@gn+1 0
@gn+1 0
0
0
an+1 (g(s ), gn+1 (s ))
(s ) . . .
(s ) 1
@s1
@sn 1
Figura 11. Superficie integral de un problema de Cauchy
Si se verifica la condición de transversalidad
det
@y
(t0 , s0 ) 6= 0,
@(t, s)
entonces
y : (t, s) 2 I0 ⇥ U0 7! y(t, s) 2 Rn ,
67
(7.10)
tiene el mismo valor que el determinante (7.11). Entonces los vectores
0 @g
1
0 @g
1
✓
◆
(s0 )
(s0 )
0
0
a(g(s ), gn+1 (s ))
B @s1
C
B @s
C n+1
, @ @g
A , · · · , @ @g 1
A,e
an+1 (g(s0 ), gn+1 (s0 ))
n+1 0
n+1 0
(s )
(s )
@sn 1
@s1
68
forman una base de Rn+1 . Definiendo la hipersuperficie en D ✓ Rn+1
0 g (s , . . . , s ) 1
1 1
n
..
B
C
.
¯:B
C,
@
A
gn (s1 , . . . , sn )
sn
(s1 , . . . , sn
1 , sn )
2 U ⇥ R,
la condición de transversalidad equivale a decir que
✓
◆
a(x, u)
2
/ T(x,u(x)) ¯ , x 2 ,
an+1 (x, u(x))
es decir, el campo vectorial caracterı́stico no es tangente a la variedad ¯ en
los puntos (x, u(x)), x 2 .
Ecuación general de primer orden
La ecuación general de primer orden
F x, u,
@u
=0
@x
F (x, u, p) = 0.
La resolución de este sistema está asociado a un sistema de ecuaciones cuasilineales. Si la función
F (x, u, p),
(x, u, p) 2 D ✓ Rn ⇥ R ⇥ Rn
es de clase C 1 (D), podemos derivar la relación F (x, u, @u/@x) = 0 respecto a
xj , obteniendo
n
X @F
@F
@u
@F
@u @u
@u @ 2 u
x, u,
+
x, u,
+
x, u,
= 0.
@xj
@x
@u
@x @xj
@pi
@x @xi @xj
i=1
Teniendo en cuenta que
pj (x) =
n
X
@F
@pj
(x, u, p)
=
@p
@xi
i
i=1
@F
(x, u, p)
@xj
@u
(x),
@xj
69
i = 1, . . . , n,
@F
(x, u, p)pj ,
@u
j = 1, . . . , n. (7.12)
Como la solución u debe verificar las relaciones @u(x)/@xj = pj (x), tenemos
n
n
X
X
@u
@F
@F
(x, u, p)
(x) =
pi
(x, u, p).
@p
@x
@p
i
i
i
i=1
i=1
(7.13)
Observemos que todas las ecuaciones en derivadas parciales (7.12), (7.13)
comparten un campo caracterı́stico común
a(x, u, p) =
puede reducirse a un sistema mixto diferencial–algebraico
@u
= p,
@x
se deduce que que las funciones pj deben satisfacer el sistema de ecuaciones
en derivadas parciales cuasilineales
⇣ @F
@p1
(x, u, p), . . . ,
⌘
@F
(x, u, p) .
@pn
Podemos asociar al problema de determinar las funciones u(x), p(x) el sistema
caracterı́stico de ecuaciones diferenciales
dx1
dxn
du
= ··· =
=
=
Pn
@F
@F
@F
(x, u, p)
(x, u, p)
p
(x,
u,
p)
i=1 i
@p1
@pn
@pi
dp1
dpn
= ··· =
@F
@F
@F
@F
(x, u, p) + p1
(x, u, p)
(x, u, p) + pn
(x, u, p)
@x1
@u
@xn
@u
(7.14)
llamado sistema de Lagrange–Charpit. Si t 7! (x(t), u(t), p(t)) es una solución
del sistema de Lagrange–Charpit, entonces la función t 7! F (x(t), u(t), p(t))
permanece constante.
Proposición 7.2. Sea (x(t), u(t), p(t)), t 2 I, una solución del sistema caracterı́stico (7.14) tal que (x(t), u(t), p(t)) 2 D, para todo t 2 I. Si para
t0 2 I tenemos que F x(t0 ), u(t0 ), p(t0 ) = 0, entonces
F x(t), u(t), p(t) = 0,
70
8t 2 I.
Demostración. Como (x(t), u(t), p(t)) es solución del sistema caracterı́stico,
queda definida una función escalar (t) tal que
@F
(x(t), u(t), p(t)), i = 1, . . . , n
@pi
n
X
@F
u0 (t) = (t)
pi (t)
(x(t), u(t), p(t)),
@p
i
i=1
⇣ @F
⌘
@F
p0i (t) =
(t)
(x(t), u(t), p(t)) + pi (t)
(x(t), u(t), p(t)) ,
@xi
@u
i = 1, . . . , n.
x0i (t) = (t)
Derivando F (x(t), u(t), p(t)) respecto a t obtenemos
Proposición 7.3. Sea (x) una solución de la ecuación de primer orden
F (x, u, @u/@x) = 0 y sea (x(t), u(t), p(t)), t 2 I una solución del sistema
caracterı́stico de Lagrange–Charpit (7.14) tal que para cierto t0 2 I se verifica
x(t0 ) = x0 ,
n
X
@F
@F
(x(t), u(t), p(t))u0 (t) +
(x(t), u(t), p(t))p0i (t) =
@u
@p
i
i=1
X
n
@F
@F
(t)
(x(t), u(t), p(t))
(x(t), u(t), p(t))+
@p
@x
i
i
i=1
n
X
i=1
n
X
i=1
pi (t)
u(t) = (x(t)),
x0 (t) =
p(t) =
@F
@
x(t), (x(t)),
(x(t)) ,
@p
@x
u(t) := (x(t)),
8t 2 I.
x(t0 ) = x0 .
p(t) :=
@
(x(t)).
@x
Veamos que (x(t), u(t), p(t)) es solución del sistema de Lagrange–Charpit. De
las definiciones se deduce
x0i (t) =
@F
(x(t), u(t), p(t)),
@pi
i = 1, . . . , n,
En segundo lugar tenemos
n
u0 (t) =
71
@
(x(t)),
@x
y sean
= 0.
La integración a lo largo de las lı́neas caracterı́sticas del sistema de
Lagrange–Charpit con condiciones iniciales adecuadas permite determinar soluciones de la ecuación original F (x, u, @u/@x) = 0. Veamos que, si (x),
x 2 ⌦ ✓ Rn , es una solución, entonces la variedad
n⇣
⌘
o
@
x, (x),
(x) | x 2 ⌦ ✓ D ✓ Rn ⇥ R ⇥ Rn
@x
debe contener a toda curva solución del sistema caracterı́stico que pase por
uno de sus puntos (x0 , (x0 ), @@x (x0 ) .
@
(x0 ),
@x
Demostración. Sea x(t) la solución del problema de valor inicial
@F
@F
(x(t), u(t), p(t))
(x(t), u(t), p(t))
@pi
@u
⇣ @F
⌘
@F
@F
(x(t), u(t), p(t))
(x(t), u(t), p(t)) + pi (t)
(x(t), u(t), p(t))
@pi
@xi
@u
p(t0 ) =
Entonces
n
X @F
d
F (x(t), u(t), p(t)) =
(x(t), u(t), p(t))x0i (t)+
dt
@xi
i=1
u(t0 ) = (x0 ),
n
X@
X
d
@F
(x(t)) =
(x(t))x0i (t) =
pi (t)
(x(t), u(t), p(t)).
dt
@x
@p
i
i
i=1
i=1
Derivando respecto a xj la relación F (x, (x), @@x (x)) = 0, obtenemos
n
X
@2
@F
@
(x)
x, (x),
(x) =
@x
@x
@p
@x
i
j
i
i=1
@F
@
x, (x),
(x)
@xj
@x
@
@F
@
(x)
x, (x),
(x)
@xj
@u
@x
72
ası́ que
n
X @2
d @
p0j (t) =
(x(t)) =
(x(t))x0i (t) =
dt @xj
@x
@x
i
j
i=1
n
X
@2
@F
(x(t))
(x(t), u(t), p(t)) =
@x
@x
@p
i
j
i
i=1
@F
(x(t), u(t), p(t))
@xj
pj (t)
Una ecuación de segundo orden lineal homogénea con coeficientes constantes es una ecuación de la forma
n X
n
X
i=1 j=1
@F
(x(t), u(t), p(t)).
@u
u(t0 ) = (x(t0 )) = (x0 ),
p(t0 ) =
@
@
(x(t0 )) =
(x0 ))
@x
@x
n
X
@2u
@u
+2
a0i
+ a00 u = 0,
@xi @xj
@x
i
i=1
AT = A,
A = (aij )i,j=1,...,n ,
formada con los coeficientes de segundo orden está asociada al operador diferencial de segundo orden
De la unicidad de solución del problema de valor inicial caracterı́stico se deduce el resultado.
DA [u](x) :=
n X
n
X
aij Di Dj [u](x).
i=1 j=1
La matriz simétrica
8. Clasificación de las ecuaciones lineales de segundo
orden con coeficientes constantes
Las ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden surgen en problemas de la fı́sica matemática de diferente naturaleza. Existen varios tipos de
ecuaciones de segundo orden. La interpretación fı́sica de la solución y de
las variables independientes que intervienen sugieren métodos de análisis que
necesariamente deben adaptarse al tipo de problema. De un modo genérico
podemos decir que las variables espaciales están asociadas a condiciones de
contorno mientras que la variable temporal permite establecer problemas de
valor inicial. Determinar qué tipo de problema estamos considerando es una
importante cuestión previa al análisis más detallado de las técnicas de resolución. Por ello, es importante clasificar las ecuaciones de segundo orden.
Además las técnicas que se utilizan para la clasificación permiten transformar una ecuación más complicada a otra más simple cuyo análisis está bien
documentado.
(8.1)
con aij = aji . La matriz simétrica
Además tenemos
x(t0 ) = x0 ,
aij
ÃT = Ã.
à = (aij )i,j=0,...,n ,
contiene todos los coeficientes de la ecuación (8.1). Definiendo el vector
a = (a10 , . . . , an0 )T ,
podemos expresar la ecuación (8.11) en la forma abreviada
LÃ [u] = 0,
donde
LÃ [u] := DA [u] + 2Da [u] + a00 u.
Asociada a la matriz Ã, tenemos una forma cuadrática
Aunque existen varios criterios de clasificación, realizaremos una clasificación que se basa en los términos de mayor orden, sin tener en cuenta otras
consideraciones sobre el comportamiento global en los que ciertos términos de
orden menor podrı́an tener cierta influencia.
0
1
x0
n X
n
B x1 C X
C=
q(x0 , x1 , . . . , xn ) = (x0 , x1 . . . , xn )Ã B
aij xi xj ,
.
@ .. A
73
74
xn
i=1 j=1
de modo que podemos representar el operador LÃ en la forma
LÃ = q(D0 , . . . , Dn ) =
n
X
Tomando c00 = 1, c0i = ci0 = 0, i = 1, . . . , n, las fórmulas anteriores se
resumen en
aij Di Dj ,
Di Dj [u](x) =
i,j=0
n X
n
X
siendo D0 [u] := u, Di [u] := @u/@xi , i = 1, . . . , n.
Estudiaremos el efecto de un cambio de variables lineal y = Cx, C 2
Rn⇥n , det C 6= 0, sobre la ecuación LÃ [u] = 0. La función v(y) := u(C 1 y)
verifica la relación
u(x) = v(Cx).
@u
@v
@v
(x) =
(Cx)C =
(y)C
@x
@y
@y
LÃ [u](x) =
=
n X
n
X
aij Di Dj [v](y) =
i=0 j=0
n X
n ⇣X
n X
n
X
k=0 l=0
B̃ =
@u
@v
Di [u](x) =
(x)ei =
(y)Cei ,
@x
@y
para i = 1, . . . , n. Denotemos por ci = Cei el vector formado por la columna
i-ésima de C, entonces tenemos
⌘
n X
n
X
k=0 l=0
⌘
cki clj Dk Dl [v](y)
aij cki clj Dk Dl [v](y) = LB̃ [v](y),
✓
1
0
0
C
◆
Ã
✓
1
0
0
CT
◆
.
B = CAC T .
Para obtener las derivadas de segundo orden, derivamos la relación Di [u](x) =
Dci [v](Cx), obteniendo
Di Dj [u](x) = Dci Dcj [v](y),
fórmula que puede escribirse desarrollada
Sabemos que toda matriz simétrica es congruente ortogonal a una matriz de
la forma
CAC T = diag( 1 , . . . , n ),
donde 1 , . . . , n son los valores propios de A. Un cambio de escala permite
transformar estos valores en 1, 0 ó 1, luego tenemos
CAC T = diag(s1 , . . . , sn ),
i, j = 1, . . . , n.
k=1 l=1
Utilizando esta idea reiteradamente, podemos expresar cualquier derivada de
orden r de la función u en términos de un operador diferencial lineal de orden
r formado al componer varias derivadas direccionales
Di1 Di2 · · · Dir [u](x) = Dci1 Dci2 · · · Dcir [v](y).
75
aij
Sean A y B las submatrices n⇥n formadas por las últimas filas y columnas de
à y B̃ respectivamente, correspondientes a la parte principal de los operadores
diferenciales. Entonces obtenemos la relación
Di [u](x) = Dci [v](y).
cki clj Dk Dl [v](y),
n X
n ⇣
X
i=0 j=0
i=0 j=0
donde
de donde se obtiene
n X
n
X
i, j = 0, 1, . . . , n,
y
Derivando respecto a todas las variables encontramos
Di Dj [u](x) =
cki clj Dk Dl [v](y),
k=0 l=0
siendo si = sign( i ), i = 1, . . . , n, la signatura de la forma cuadrática asociada
a la matriz A. Por tanto, toda ecuación en derivadas parciales de segundo
orden puede transformarse en una ecuación del tipo siguiente
s1
@2u
@2u
+ · · · + sn 2 + términos de menor orden = 0,
2
@x1
@xn
76
con si 2 { 1, 0, 1}, i = 1, . . . , n. Reordenando las variables si es necesario, la
ecuación adopta la forma
p
X
@2u
r
X
@2u
+ términos de menor orden = 0,
@x2i
i=p+1
@x2i
i=1
donde p es el número de valores propios positivos de A y r el rango de A.
Cambiando de signo la ecuación podemos suponer, sin pérdida de generalidad
que el número de valores propios positivos de A es mayor o igual que el número
de valores propios negativos, luego p r p.
Si p = r = n, entonces la matriz A es definida positiva y la ecuación en
derivadas parciales se llama elı́ptica y su forma reducida es
n
X
@2u
i=1
@x2i
= términos de menor orden.
La ecuación de Laplace u = 0, la ecuación de Helmholtz u + k 2 u = 0 y la
ecuación de Helmholtz modificada u k 2 u = 0 (también llamada ecuación
de Yukawa o ecuación de Poisson amortiguada) son ecuaciones de este tipo.
Si p = n 1, r = n, entonces la ecuación en derivadas parciales se llama
hiperbólica y la ecuación puede reducirse a una del tipo
n
X1
i=1
@2u
@x2i
@2u
= términos de menor orden.
@x2n
La ecuación de ondas utt = c2 u es el ejemplo más importante de ecuación
hiperbólica. Otro tipo de ecuación hiperbólica es la ecuación de Klein–Gordon
utt c2 u + u = 0, donde = (mc2 /h̄)2 .
No todas las ecuaciones de segundo orden con r = n son de uno de
estos dos tipos. Una clase de ecuaciones de cierto interés son las ecuaciones
ultrahiperbólicas correspondientes a n = r = 2p. En dimensión n = 4 son de
la forma
@2u @2u
+
@x21
@x22
@2u
@x23
@2u
+ términos de menor orden = 0.
@x24
9. Clasificación de las ecuaciones semilineales
de segundo orden
Una ecuación semilineal de segundo orden es una ecuación de la forma
n X
n
⇣
X
@2u
@u
@u ⌘
aij (x)
= F x, u,
,...,
.
(9.1)
@xi @xj
@x1
@xn
i=1 j=1
Sin pérdida de generalidad podemos tomar aij (x) = aji (x). Sea A la función
matricial simétrica
0
1
a11 (x) · · · a1n (x)
B
.. C ,
..
A(x) := @ ...
(9.2)
.
. A
a1n (x)
···
a1n (x)
cuyos elementos son las funciones coeficientes del sistema lineal. El primer
miembro de la ecuación lineal es DA [u], donde DA es el operador de segundo
orden
n
X
DA [u](x) =
aij (x)Di Dj [u](x).
(9.3)
i,j=1
Clasificación puntual
Atendiendo al rango y signatura de A(x) para cada x podemos asociar a cada
punto un tipo de ecuación. Como los coeficientes son variables, el carácter de
la ecuación puede variar con el punto.
Ejemplo 9.1. Discutamos el carácter de la ecuación lineal con coeficientes
variables
yuxx 2uxy + xuyy = 0.
El discriminante de la ecuación es 1 xy. Por tanto, la ecuación es elı́ptica
en el conjunto abierto formado por la unión de las dos regiones conexas
{(x, y) 2 R2 | x > 0, y > 0, xy > 1} [ {(x, y) 2 R2 | x < 0, y < 0, xy > 1}.
El comportamiento es hiperbólico sobre la región conexa
{(x, y) 2 R2 | xy < 1}.
La ecuación degenera en una ecuación parabólica sobre los puntos de la curva
{(x, y) 2 R2 | xy = 1},
Finalmente, en el caso en que r < n, la ecuación en derivadas parciales se
llama parabólica. Un ejemplo de ecuación parabólica es la ecuación del calor
ut = k u.
pero no mantiene dicho carácter en ningún conjunto abierto. La lı́nea separa
la transición entre dos comportamientos distintos elı́ptico e hiperbólico.
77
78
Sea ci el campo vectorial definido por la i-ésima columna de la matriz (9.9)
Cambios de variable no lineales
Recordemos que la aplicación f : U ! Rn , definida en un abierto U ✓ Rn ,
es un difeomorfismo de clase C 2 si f 2 C 2 (U ; Rn ) es inyectiva y la matriz
jacobiana en cada punto es no singular
det
ci (y) := C(y)ei = Di f (f
n
X
k=1
Si definimos el campo vectorial
ci (y) := Di f (f
x 2 U,
(9.4)
sobre una ecuación semilineal, donde f un difeomorfismo de clase C 2 (U ; Rn ),
ésta se transforma en otra ecuación semilineal con coeficientes modificados.
Sea
v(y) := u(f 1 (y)).
(9.5)
(9.11)
Dk v(y)cki (y) = ci (y) grad v(y) = Dci [v](y)
Veamos al aplicar un cambio de variables
y = f (x),
(y)).
Observamos que el miembro de la derecha en (9.8) es
@f
(x) 6= 0.
@x
Del Teorema de la función inversa se deduce que la función inversa está bien
definida f 1 : V = f (U ) ! Rn y es una función de clase C 2 .
1
1
(y)),
obtenemos
Di [u](x) = Dci [v](y).
(9.12)
Esto nos indica que las derivadas de orden superior pueden obtenerse componiendo operadores de primer orden
Di Dj [u](x) = Dci Dcj [v](y).
Por tanto, tenemos que
u(x) = v(f (x))
(9.6)
y llamando y = f (x), podemos escribir u(x) = v(y). Derivando en (9.6),
obtenemos por la regla de la cadena
@u
@v
@f
(x) =
(f (x)) (x).
@x
@y
@x
En el apéndice se obtiene la expresión de la composición de este tipo de
operadores diferenciales.
Otra forma de obtener las derivadas de orden superior consiste en derivar
de nuevo en la expresión (9.8)
(9.7)
n
X
k=1
Dk v(f (x))Di fk (x).
(9.8)
k=1
Sea
C(y) :=
n
n
X
X
@
=
Dk v(f (x)) Di fk (x) +
Dk v(f (x))Dj Di fk (x)
@xj
=
@f
(f
@x
la matriz jacobiana de f evaluada en f
1
k=1
n X
n
X
k=1
Dk Dl v(f (x))Di fk (x)Dj fl (x) +
k=1 l=1
1
(y)),
(9.9)
Di Dj [u](x) =
(9.10)
n
X
Dk v(f (x))Di Dj fk (x).
k=1
de donde deducimos la fórmula
(y), entonces podemos escribir
@u
@v
(x) =
(y)C(y),
@x
@y
79
⌘
@ ⇣X
Dk v(f (x))Di fk (x)
@xj
n
Di Dj [u](x) =
La igualdad (9.7) puede desglosarse elemento a elemento
Di [u](x) =
(9.13)
n X
n
X
Di fk (x)Dj fl (x)Dk Dl v(y) +
k=1 l=1
n
X
Di Dj fk (x)Dk v(y).
k=1
80
(9.14)
Hk (y) coincide con el elemento (i, j) del producto de la matriz @(C T (y)ek )/@y
por C(y), lo que permite deducir la expresión compacta equivalente a (9.18)
Para k = 1, . . . , n, sea Hk (y) la función matricial simétrica
Hk (y) :=
@ 2 fk
(f
@x2
1
(y))
(9.15)
Hk (y) =
cuyas funciones componentes son
hkij (y) =
@ 2 fk
(f
@xi @xj
Sustituyendo x = f
Di Dj [u](x) =
1
(y)) =
n
X
@cik
l=1
1
@xl
(y)clj (y) =
n
X
@cjk
l=1
@xl
(y)cli (y). (9.16)
cki (y)clj (y)Dk Dl v(y) +
k=1 l=1
Teniendo en cuenta la simetrı́a de la matriz Hk (y) deducimos la expresión
alternativa
n
X
@ckj
hkij (y) =
cli (y)
(y) = Dci [ckj ](y).
(9.19)
@yl
l=1
(y) en (9.14) obtenemos
n X
n
X
@C T (y)ek
C(y)
@y
n
X
hkij (y)Dk v(y).
(9.17)
A veces no disponemos del cambio de variables directo y = f (x), y nos
proporcionan el cambio inverso
k=1
x = g(y),
(9.20)
Vamos a obtener una expresión alternativa de los elementos de las matrices Hk (y). Tengamos en cuenta que por (9.9)
con g = f 1 . Ello puede deberse a que la función g tenga una inversa difı́cil
de expresar explı́citamente. En este caso tenemos
@fk
(x) = cki (f (x)).
@xi
v(y) = u(g(y)).
(9.21)
@v
@u
@g
(y) =
(g(y)) (y),
@y
@x
@y
(9.23)
Derivando en (9.22)
Derivando con respecto a xj ,
@fk
(x) =
@xi @xj
y evaluando en x = f
1
n
X
l=1
@cki
@fl
(f (x))
(x),
@yl
@xj
volvemos a obtener la fórmula análoga a (9.10)
@u
@v
(g(y)) =
(y)C(y),
@x
@y
(y),
hkij (y) =
n
X
@cki
l=1
@yl
(y)
@fl
(f
@xj
1
con
(y)),
C(y) :=
n
X
l=1
clj (y)
@cki
(y) = Dcj [cki ](y).
@yl
@y
(y)
⌘
1
.
(9.24)
Observamos que ahora para obtener C(y) es necesario calcular la matriz inversa de la matriz jacobiana @g/@y de la transformación.
que por (9.9) puede expresarse en la forma
hkij (y) =
⇣ @g
(9.18)
Si queremos aplicar ahora la fórmula (9.16), bastará con calcular hkij (y)
mediante la fórmula (9.17) o (9.18).
Ahora podemos transformar la ecuación
Teniendo en cuenta que @cki /@yl es el elemento (i, l) de la matriz jacobiana del
vector (ck1 , . . . , ckn )T = C T ek , deducimos que el elemento (i, j) de la matriz
DA [u](x) = F (x, u(x), @u(x)/@x).
81
82
(9.25)
Para el primer miembro de (9.25) tenemos
n X
n X
n X
n
X
DA [u](x) =
aij (x)Di fk (x)Dj fl (x)Dk Dl v(y)
i=1 j=1 k=1 l=1
+
n X
n X
n
X
aij (x)Di Dj fk (x)Dk v(y),
i=1 j=1 k=1
es decir
DA [u](x) =
+
El problema de obtener un cambio de variables que reduzca la ecuación a
una forma canónica requiere la resolución de un problema diferencial. Abordaremos un caso particular simple: la reducción de una ecuación en derivadas
parciales semilineal hiperbólica en dos variables
a11 (x1 , x2 )
n X
n ⇣X
n X
n
X
aij (f
i=1 j=1
k=1 l=1
n ⇣X
n X
n
X
1
aij (f
k=1
Reducción a forma canónica
i=1 j=1
1
⌘
(y))cki (y)clj (y) Dk Dl v(y)
⌘
(y))hkij (y) Dk v(y)
Para interpretar el cálculo anterior, observemos que el coeficiente del término
de segundo orden Dk Dl
n X
n
X
aij (f 1 (y))cki (y)clj (y),
i=1 j=1
@2u
@2u
@2u
@u @u
+ 2a12 (x1 , x2 )
+ a22 (x1 , x2 ) 2 = F (x, u,
,
)
2
@x1
@x1 @x2
@x2
@x1 @x2
con
a la forma
@2v
= términos de menor orden
@y1 @y2
que puede transformarse en la forma canónica
@2w
@⇠22
1
⇠ 1 = y1 + y2 ,
(y))C T (y).
El coeficiente del término de primer orden que contiene Dk es
n X
n
X
bk (y) :=
aij (f 1 (y))hkij (y)
i=1 j=1
@2w
= términos de menor orden
@⇠12
mediante el cambio de variables
es el elemento (k, l) de la matriz
B(y) := C(y)A(f
y1 = f1 (x1 , x2 ),
y2 .
y2 = f2 (x1 , x2 ),
obteniendo para la ecuación transformada la fórmula
DB [v](y1 , y2 ) = 0,
DA [u](x) = DB [v](y) + Db [v](y)
83
⇠2 = y 1
Para obtener la forma reducida utilizamos un cambio de variables
ası́ que
Por tanto la ecuación diferencial semilineal (9.18) se transforma en
⇣
⌘
@v(y)
DB [v](y) = F f 1 (y), v(y),
C(y)
Db [v](y),
@y
que es también una ecuación semilineal cuya parte de segundo orden corresponde a la función matricial B tal que
⇣ @f
⌘T
@f
B(f (x)) =
(x)A(x)
(x) .
@x
@x
Luego la matriz A(x) es congruente lineal con la matriz B(y) en el punto
correspondiente y = f (x).
a12 (x1 , x2 )2 < 0
a11 (x1 , x2 )a22 (x1 , x2 )
siendo
B(f (x)) =
✓
@f1 (x)/@x1
@f2 (x)/@x1
@f1 (x)/@x2
@f2 (x)/@x2
◆
A(x)
✓
@f1 (x)/@x1
@f1 (x)/@x2
@f2 (x)/@x1
@f2 (x)/@x2
◆
.
Para obtener la forma estándar, debemos imponer que las funciones b11 (y) y
b22 (y) sean idénticamente nulas, es decir
0 @f (x) 1
1
⇣ @f
⌘
@f1
B @x1 C
1
(x),
(x) A(x) @
= 0,
@f1 (x) A
@x1
@x2
@x2
84
y
Teniendo en cuenta que
0 @f (x) 1
2
⇣ @f
⌘
@f2
B
C
2
(x),
(x) A(x) @ @x1 A = 0.
@f2 (x)
@x1
@x2
@x2
@fi
(x) =
@x2
Eso quiere decir que ambas funciones componentes f1 (x) y f2 (x) son soluciones de la ecuación en derivadas parciales de primer orden no lineal
(x) =
@u(x)/@x2
@u(x)/@x2
det
@f
@f1
@f1
(x) =
(x)
(x)(
@x
@x1
@x2
1 (x)
2 (x))
p
a212 (x) a11 (x)a22 (x)
@f1
@f1
=2
(x)
(x)
6= 0,
@x1
@x2
a22 (x)
por ser f1 (x), f2 (x) integrales primeras no triviales.
Apéndice: Composición de operadores diferenciales
Entonces tenemos que la función (x) es solución de la ecuación de segundo
grado
a22 (x) (x)2 2a12 (x) (x) + a11 (x) = 0,
En la composición de operadores diferenciales de primer orden aparecen junto
a los términos de segundo orden otros términos de primer orden cuyos coeficientes contienen derivadas de los coeficientes de los operadores dados. Sean
b y c dos campos vectoriales y sean
de donde se obtienen
1,2 (x)
=
a12 (x) ±
p
a212 (x)
a11 (x)a22 (x)
a22 (x)
@u
@u
+
= 0,
@x1
@x2
n
X
ci (x)Di
i=1
n
⇣X
bj (x)Dj
j=1
=
n
X
bj (x)
j=1
n X
n
X
n
⇣X
n
⌘h X
i=1
bi (x)cj (x)Di Dj u(x) +
ci (x)Di u(x)
i=1
Dj ci (x)Di u(x) + ci (x)Dj Di u(x)
i=1 j=1
@f1
@f2
(x)
(x),
@x2
@x1
Dc =
entonces
=
para i = 1, 2. Comprobemos que esta elección proporciona un difeomorfismo.
En efecto, el jacobiano del cambio es
85
bi (x)Di ,
i=1
i = 1, 2.
i (x),
@f
@f1
@f2
det
(x) =
(x)
(x)
@x
@x1
@x2
n
X
Db Dc [u](x) = Db [Dc [u]](x) =
Por tanto fi es una integral primera no trivial de la ecuación diferencial
dx1
=
dx2
Db =
.
Para obtener el cambio de variable, tomaremos f1 , f2 , soluciones independientes de cada una de las ecuaciones en derivadas parciales lineales
i (x)
@fi
(x),
@x1
deducimos que
⇣ @u ⌘2
⇣ @u ⌘2
@u @u
a11 (x)
+ 2a12 (x)
+ a22 (x)
= 0.
@x1
@x1 @x2
@x2
Para resolverla, supongamos sin pérdida de generalidad que a22 (x) 6= 0. Sea
i (x)
n ⇣X
n
X
i=1
j=1
⌘
⌘
bj (x)Dj ci (x) Di u(x).
Por tanto
Db Dc =
n X
n
X
bi (x)cj (x)Di Dj +
i=1 j=1
n ⇣X
n
X
i=1
86
i
j=1
⌘
bj (x)Dj ci (x) Di ,
Db Dc = DA + Da ,
donde
T
A(x) := b(x)c(x) ,
Vibraciones longitudinales en una barra
@c
a(x) =
(x)b(x) = Db [c](x).
@x
Observemos que el producto de operadores diferenciales (con coeficientes variables) no es conmutativo. Al cambiar de orden los factores tenemos
Dc Db [u](x) =
n
n X
X
bi (x)cj (x)Di Dj +
i=1 j=1
n ⇣X
n
X
i=1
j=1
⌘
cj (x)Dj bi (x) Di .
La parte de segundo orden es la misma en ambos operadores pero la parte de
primer orden es ligeramente distinta. Una medida de la falta de conmutatividad de los operadores lo da el conmutador o corchete de Lie
[Db , Dc ] := Db Dc
Dc Db =
n ⇣X
n
X
i=1
bj (x)Dj ci (x)
j=1
⌘
cj (x)Dj bi (x) Di .
cuyo resultado es un operador diferencial de primer orden que está asociado
al campo vectorial
[b, c] := Db [c]
Dc [b] =
@c
(x)b(x)
@x
@b
(x)c(x).
@x
Ahora podemos abordar el problema de calcular la composición de los
operadores del segundo miembro de la fórmula (9.13)
D ci D cj =
n X
n
X
cki (y)clj (y)Dk Dl +
k=1 l=1
hkij (y)
Pn
n
X
hkij (y)Dk ,
k=1
donde
= l=1 cli (y)Dl ckj (y) = Dci [ckj ](y), obteniéndose directamente la fórmula (9.17).
Cuando sobre un sólido rı́gido se ejercen fuerzas cuya resultante es nula de
modo que la suma de los momentos de las fuerzas sobre cualquier punto es
cero, el cuerpo se halla en equilibrio estático y no se mueve ningún punto del
sólido. Sin embargo, las fuerzas en equilibrio estático ejercidas sobre puntos
de aplicación diferentes crean un estado de tensión que se distribuye en el
medio elástico. Si el sólido es flexible, al ejercer este tipo de fuerzas el sólido
no tiene un movimiento perceptible pero el material sufre deformaciones, se
estira en algunas zonas, en otras se comprime y también se dobla y retuerce
para acomodarse al estado de tensión. Los esfuerzos del material describen el
estado de tensión de un sólido elástico y permiten deducir las deformaciones
en el sólido mediante la relación entre esfuerzo y deformación unitaria.
El estudio de la relación entre fuerzas de tensión y desplazamientos producidos en una barra puede ser complicado ya que hay que tener en cuenta
los múltiples factores que pueden intervenir: tipo de materiales, forma de
la barra, tipos de fuerzas que actúan. Para describir matemáticamente las
ecuaciones que rigen las relaciones entre fuerzas de tensión y desplazamientos utilizaremos un modelo de elasticidad lineal, cuyo rango de aplicación es
válido para esfuerzos pequeños y pequeñas deformaciones sobre un estado de
tensión inicial del material.
Supondremos que tenemos una barra larga y delgada con sección S constante y formada por un material isótropo y homogéneo. Esta hipótesis implica
que si no queremos detalles muy precisos podemos describir las deformaciones
en la barra a través de la forma de la lı́nea neutra, que es la lı́nea formada
por los centros de gravedad de las secciones. Si suponemos que la barra tiene
inicialmente una longitud de l y la lı́nea neutra en estado de reposo es un
segmento, podemos elegir coordenadas para que la posición inicial de la barra
venga descrita por (x, 0, 0), x 2 [0, l].
Consideremos como ejemplo una viga sujeta a una pared, sobre la que
ejercemos una fuerza F de dirección normal a la pared con objeto de producir
un estiramiento. La viga reacciona a esta fuerza produciendo un desplazamiento d(L) que según la Ley de Hooke es proporcional a la fuerza ejercida.
Veamos cómo aparecen algunas ecuaciones en derivadas parciales de segundo
orden al analizar algunos modelos fı́sicos de vibraciones mecánicas, electromagnetismo, termodinámica y dinámica de fluidos.
En realidad se desplazan todos los puntos de la viga y no solo el punto
final, de manera que tras el estiramiento la posición nueva de cada punto es
(x + d(x), 0, 0), x 2 [0, l]. Un análisis más detallado del problema nos revela
que el desplazamiento d(x) es directamente proporcional a x. Además para
conseguir el mismo desplazamiento para una viga cuya sección tiene mayor
87
88
10. Vibraciones, difusiones y otros fenómenos fı́sicos
x
l
F
x+d(x)
l+d(l)
Figura 12. Desplazamiento causado por una fuerza de tensión
área S necesitamos ejercer una fuerza proporcionalmente mayor
d(x) =
x
F.
ES
La constante E depende del material del que está hecha la viga y recibe el
nombre de módulo de Young. Se define esfuerzo tensil como el cociente entre
la fuerza ejercida sobre una superficie y el área de dicha superficie T = F/S
y la deformación unitaria como el desplazamiento dividido para la longitud
total del material que se ha desplazado
0
u(x) := d (x) = d(x)/x.
Entonces la ley de Hooke puede expresarse en la forma
fuerza puede ser normal a la superficie y provocar una extensión o estiramiento, en cuyo caso se habla de esfuerzo tensil o esfuerzo de tensión. Las fuerzas
internas paralelas a la superficie de separación dan lugar a esfuerzos cortantes. Sin embargo, debemos advertir que en algunas ramas de la ingenierı́a y
ciencia de los materiales se prefiere llamar tensión al término stress y reservar
el nombre de esfuerzo para la fuerza total que actúa sobre una superficie dada. Según esta terminologı́a, en lugar del término esfuerzo tensil, se deberı́a
utilizar el término tensión normal, mientras que el término esfuerzo cortante
se sustituirı́a por tensión tangencial.
Vamos a analizar las ecuaciones del movimiento de las partı́culas de una
barra que presenta desplazamientos longitudinales d(x, t). Si hiciéramos un
corte de la barra perpendicular a la lı́nea neutra en (x, 0, 0), entonces una
parte de la barra se separarı́a de la que se encuentra sujeta a la pared. El
hecho de que ambas partes estén unidas puede interpretarse como que en el
punto x la parte libre de la barra ejerce una fuerza F (x, t) sobre la parte
sujeta a la pared y, debido al principio de acción y reacción, debemos también
considerar que la parte sujeta a la pared ejerce una fuerza F (x, t) sobre
la otra parte de la barra. Gracias a la ley de Hooke generalizada, podemos
establecer una relación entre la fuerza y el desplazamiento
F (x, t) = ST (x, t) = SEdx (x, t).
Estas relaciones pueden generalizarse al caso en que la barra no sea uniforme
y la sección S(x) sea variable
F (x, t) = S(x)E(x)dx (x, t).
T = Eu.
Nota sobre la terminologı́a utilizada. El término tensión para designar
el estado de tensión de un sólido es polémico. En inglés tenemos dos palabras diferentes: stress y tension. La palabra tension indica que una cuerda
está tirante, se ha estirado debido a una fuerza de tracción longitudinal; sin
embargo la palabra stress se refiere a las fuerzas internas que se producen en
un sólido generalmente provocadas por fuerzas exteriores aplicadas en puntos
distintos produciendo un estado de constricción en el sólido. En estas notas
nos adheriremos a la terminologı́a de muchos libros sobre mecánica de sólidos
elásticos y utilizaremos la palabra esfuerzo como correspondiente a stress con
el significado de una fuerza interna repartida a lo largo de una superficie. Esta
89
Sea F(x, t) = (F (x, t), 0, 0) la fuerza de tensión y ⇢(x) la densidad de
la barra. Aplicando la segunda ley de Newton a la parte de la barra que se
encuentra en el intervalo [x0 , x1 ]
F(x1 , t)
F(x0 , t) = m[x0 ,x1 ] ā[x0 ,x1 ] ,
donde ā[x0 ,x1 ] denota la aceleración media de la parte de la barra en el intervalo
[x0 , x1 ]. Suponiendo que la aceleración sea la misma a(x0 , t) para todos los
puntos de la sección de la barra en x = x0 , podemos obtener el lı́mite
@F
1
(x0 , t) = lı́m
m[x0 ,x] ā[x0 ,x] = S(x0 )⇢(x0 )a(x0 , t),
x!x0 x
@x
x0
90
(10.1)
donde ⇢(x0 ) denota la densidad de todos los puntos de la barra en x = x0 y
a(x, t) denota la aceleración en la dirección del desplazamiento de cada parte
de la barra.
Definimos la densidad de fuerza como el lı́mite cuando el volumen tiende
a cero del producto de la fuerza resultante que actúa sobre un volumen dado
multiplicado por el inverso de dicho volumen
f=
obtenemos, al igualar las primeras componentes en la fórmula (10.1),
S(x)⇢(x)dtt (x, t) =
En el caso de que la sección S(x) sea constante y la barra homogénea (y
por tanto E(x) y ⇢(x) constantes), tenemos
1
F(V ).
vol(V )!0 vol(V )
lı́m
dtt (x, t) =
La definición de densidad de fuerza, permite deducir la siguiente versión
local de la segunda ley de Newton
f (x0 , t) = ⇢(x0 )a(x0 , t),
Observemos que la fórmula (10.1) es un caso particular de la fórmula
general (10.2). Para una barra la densidad de fuerza se expresa en términos
de la fuerza de tensión
1 @F
F(x0 , t)) =
(x0 , t).
S(x0 ) @x
Sustituyendo esta expresión en la fórmula (10.2), obtenemos la fórmula (10.1)
deducida anteriormente.
Si suponemos que el desplazamiento es longitudinal entonces tendremos
que el punto de la barra situado en el punto (x, 0, 0) en el instante inicial, se
encuentra en (x + d(x, t), 0, 0) en el instante t, derivando dos veces respecto
al tiempo obtenemos
0
1
dtt (x, t)
A
a(x, t) = @
0
0
Teniendo en cuenta que
y llamando
c :=
(10.2)
es decir, la densidad de fuerza es igual a la densidad de masa por la aceleración.
1
f (x0 , t) = lı́m R x
(F(x, t)
x!x0
S(⇠)d⇠
x0
@
(S(x)E(x)dx (x, t)).
@x
E
dxx (x, t)
⇢
s
E
,
⇢
se deduce que los desplazamientos longitudinales en una barra isótropa homogéna de sección uniforme verifican la ecuación
utt = c2 uxx
(Ecuación de ondas)
La constante c tiene dimensiones de velocidad y puede interpretarse como una
velocidad de transmisión de las vibraciones. Observamos que el módulo de
Young es una medida de la rigidez del material, es decir la resistencia del material a las deformaciones espaciales, mientras que la densidad es una medida
de la inercia, considerada como resistencia a realizar cambios de velocidad.
En la formulación de las vibraciones en una barra elástica vemos ilustrado un
principio genérico que rige las pequeñas vibraciones materiales: el cuadrado
de la velocidad de transmisión es directamente proporcional a la rigidez e
inversamente proporcional a la inercia.
Vibraciones transversales: La cuerda vibrante
Sea una cuerda larga y estrecha cuya sección S es aproximadamente constante
y compuesta de un material homogéneo. Supongamos que la cuerda está
contenida inicialmente en un único plano en todo momento, lo que implica
que las fuerzas de tensión también se aplican en dicho plano.
1
S(x)E(x)dx (x, t)
A,
F(x, t) = @
0
0
Introduzcamos coordenadas para representar el lugar geométrico de todos
los centros de gravedad de cada sección, llamado lı́nea neutra. Sin pérdida
de generalidad podemos suponer que el plano que contiene a la cuerda es
es plano z = 0 y que la posición de equilibrio de la lı́nea neutra es (x, 0, 0),
91
92
0
T(X 1 )
x 2 (0, l), siendo l la longitud de la cuerda. Supongamos que todas las fuerzas
se ejercen en el plano XY y que las velocidades iniciales se encontraban en
el plano XY . En cada instante de tiempo t las partı́culas de la sección que
definı́an la lı́nea neutra se habrán desplazado obedeciendo a las leyes de la
dinámica y podremos representar la nueva posición de la lı́nea neutra
T(X 0 )
(x + d(x, t), u(x, t), 0),
x 2 [0, l].
La función d(x, t) representa el desplazamiento horizontal mientras que u(x, t)
representa el desplazamiento vertical o deflexión. Supongamos que los desplazamientos horizontales y las deflexiones son suficientemente pequeñas
|d(x, t)| << 1,
@d(x, t)
<< 1,
@x
|u(x, t)| << 1,
@u(x, t)
<< 1.
@x
Si la velocidad inicial de la cuerda no tenı́a componente en la dirección del
eje x y las deflexiones son pequeñas en comparación con la tensión de la
cuerda podemos despreciar el movimiento longitudinal de la cuerda y utilizar
la descripción simplificada del movimiento de la cuerda
(x, u(x, t), 0),
x 2 [0, l].
u(x,t)
Figura 13. Desplazamiento transversal de una cuerda
Sea F(x, t) la fuerza de tensión y ⇢(x) la densidad de la cuerda. Si
aplicamos la segunda ley de Newton a la parte de la cuerda que se encuentra
en el intervalo I = [x0 , x1 ], tenemos
Z x1
F(x1 , t) F(x0 , t) =
S(x)⇢(x)a(x, t)dx.
x0
Tomando lı́mites cuando x1 ! x0 deducimos la siguiente versión local de
la segunda ley de Newton (10.2)
f (x, t) = ⇢(x)a(x, t),
93
X1
X0
Figura 14. Tensión en una cuerda
donde f (x, t) es la densidad de fuerza, dada por
f (x, t) =
1 @F
(x, t)
S(x) @x
o equivalentemente
@F
(x, t) = S(x)⇢(x)a(x, t).
@x
Supongamos que la cuerda es perfectamente elástica, esto quiere decir
que los desequilibrios en el módulo de la fuerza de tensión se reajustan muy
rápidamente, de modo que podemos considerar que el módulo de la fuerza de
tensión es independiente de la posición de la cuerda
kF(x, t)k = F0 (t),
8x 2 (0, l).
Como la cuerda es flexible, la fuerza de tensión es siempre tangente a la cuerda
y tenemos
0
1
1
F0 (t)
@ ux (x, t) A .
F(x, t) = p
1 + ux (x, t)2
0
p
Teniendo en cuenta que las deflexiones son pequeñas, 1 + ux (x, t)2 ⇡ 1, se
obtiene
0
1
1
F(x, t) ⇡ F0 (t) @ ux (x, t) A
0
94
y
0
1
0
1 @F(x, t)
F0 (t) @
f (x, t) =
⇡
uxx (x, t) A ,
S(x) @x
S(x)
0
por lo que la densidad de la fuerza es aproximadamente transversal a la posición de equilibrio y contenida en el plano de movimiento de la cuerda.
Al introducir coordenadas, hemos utilizado la hipótesis de que el movimiento de la cuerda puede considerarse esencialmente transversal, si la velocidad inicial de la cuerda no tenı́a componente en la dirección del eje x. Ahora
podemos justificar nuestra afirmación. La segunda ley de Newton afirma que
la densidad de fuerza es proporcional a la aceleración. Como la fuerza es
aproximadamente transversal a la posición de equilibrio, también debe serlo la aceleración. Hallando la segunda derivada de la posición de la cuerda
respecto al tiempo obtenemos
0
1
0
a(x, t) = @ utt (x, t) A ,
0
ası́ que la ecuación (10.2) se transforma en la ecuación aproximada
F0 (t)uxx (x, t) = ⇢(x)S(x)utt (x, t).
La fuerza de tensión sobre una cuerda se reparte a lo largo de toda la
sección. Para un mismo estado de tensión la escala de fuerzas será mayor si
la cuerda es más gruesa. Podemos expresar el estado de tensión mediante el
esfuerzo tensil, que es la fuerza de tensión dividida para el área de la sección
S de la cuerda
1
T(x, t) =
F(x, t).
S(x)
Si la cuerda tiene sección constante S(x) = S, el esfuerzo tensil tiene
módulo T0 (t) = F0 (t)/S. Si la cuerda está lo suficientemente tensa, podemos
considerar que el esfuerzo tensil de la cuerda es aproximadamente constante
a lo largo del tiempo T0 (t) = T0 . En dicho caso la ecuación se reduce a
T0 uxx (x, t) = ⇢(x)utt (x, t)
95
Si la cuerda es homogénea, entonces ⇢(x) = ⇢ es constante. Llamando
s
T0
c :=
,
⇢
obtenemos la ecuación utt = c2 uxx . La constante c tiene dimensiones de velocidad y corresponede una velocidad de desplazamiento de las perturbaciones
transversales.
La membrana vibrante
Sea una membrana elástica, flexible y homogénea (por ejemplo, la piel de un
tambor) de grosor constante h.
Elijamos un sistema de coordenadas para que, en la posición de reposo, la
membrana se encuentre en el plano XY abarcando un dominio (tı́picamente
un cı́rculo o un rectángulo). Como la membrana es elástica y flexible, la
tensión es siempre tangente a la superficie y se transmite instantáneamente a
todos los puntos de la membrana.
Las fuerzas de tensión sobre cada punto interior se compensan. Sobre
los puntos de cualquier lı́nea que separe el dominio en dos partes aparece una
fuerza de tensión neta repartida a lo largo de toda la lı́nea. El esfuerzo tensil
en cada punto es tangente a la superficie y normal a la lı́nea de separación. Si
el grosor de la membrana elástica es constante, el módulo del esfuerzo tensil
en cada instante de tiempo, no depende de la lı́nea elegida ni del punto donde
se ejerce
kT(x, t)k2 = T0 (t).
Sea u(x, t) el desplazamiento vertical y D una parte del dominio con
frontera @D. Sobre los puntos de la frontera de D aparece un esfuerzo tensil
tangente a la superficie de la membrana.
Sea grad u(x) = (@u(x)/@x1 , @u(x)/@x2 )T . Si suponemos desplazamientos pequeños k grad u(x)k2 << 1, la proyección del esfuerzo tensil sobre el
plano XY es aproximadamente ortogonal a la lı́nea frontera y dirigida hacia
el exterior
✓
◆
T0 (t)
n(x)
T(x, t) ⇡ p
1 + (grad u(x) · n(x))2 grad u(x, t) · n(x)
✓
◆
n(x)
⇡ T0 (t)
, x 2 @D,
grad u(x, t) · n(x)
96
Por lo tanto, la fuerza resultante sobre D se ejerce esencialmente en la
dirección ortogonal a la del plano de equilibrio. Aplicando el Teorema de la
divergencia de Gauss a la última componente, correspondiente a la dirección
ortogonal al plano de equilibrio, obtenemos la expresión siguiente
(n, n grad u)
F3D ⇡ hT0 (t)
Z
@D
grad u(x, t) · n(x)d (x) = hT0 (t)
n
FD (t) = h
Figura 15. Membrana vibrante
donde n(x) = (n1 (x), n2 (x))T es el vector normal exterior unitario en el punto
x 2 @D.
Para obtener la fuerza total que actúa sobre la membrana tenemos que
integrar la tensión neta que ejerce el resto de la membrana sobre la parte
situada en el dominio D a lo largo de todos los puntos de la frontera obteniendo
Z
FD (t) = h
T(x, t)d (x),
FD (t) ⇡ hT0 (t)
@D
n(x)
grad u(x, t) · n(x)
d (x).
Aplicando el Teorema de la divergencia de Gauss a las primeras componentes
de FD , tenemos
Z
Z
FiD ⇡ hT0 (t)
ni (x)d (x) = hT0 (t)
div ei dx = 0, i = 1, 2,
@D
D
donde e1 = (1, 0)T y e2 = (0, 1)T representan los campos vectoriales coordenados con divergencia nula al ser constantes. Deducimos que la proyección de
la fuerza sobre el plano XY puede considerarse despreciable.
97
⇢(x)a(x, t)dx,
D
0
1
0
A.
a(x, t) ⇡ @
0
utt (x, t)
Por tanto, podemos escribir
de donde se obtiene
◆
Z
donde ⇢(x) es la densidad del material que forma la membrana en x, h es el
grosor de la membrana y a(x, t) es el vector aceleración. Partiendo de condiciones iniciales adecuadas y teniendo en cuenta la naturaleza de las fuerzas,
es natural suponer que el movimiento se efectúa esencialmente en la dirección
del desplazamiento, luego
@D
✓
div grad u(x, t)dx.
D
Una vez conocida la fuerza resultante, podemos aplicar la segunda ley de
Newton al pequeño parche D para obtener
D
Z
Z
hT0 (t)
Z
div grad u(x, t)dx = h
D
Z
⇢(x)utt (x, t)dx.
D
Como el dominio D es arbitrario, se deduce que
T0 (t) div grad u(x, t) = ⇢(x)utt (x, t).
Si la membrana es homogénea ⇢ no depende de x. Si el módulo del esfuerzo
tensil T0 permanece constante a lo largo del tiempo, podemos definir
c :=
s
98
T0
.
⇢
La constante c tiene dimensiones de velocidad y con ella la ecuación adopta
la forma
utt (x, t) = c2 div grad u(x, t).
puede aplicarse para deducir la siguiente propiedad de los campos de clase C 2
en R3
rot rot v(x) = grad div v
v,
El operador diferencial de segundo orden div grad se llama laplaciano y se
denota por
n
X
@2u
u(x, t) := div grad u(x, t) =
(x, t),
@x2i
i=1
donde
con lo que la ecuación de la membrana vibrante puede escribirse en la forma
utt (x, t) = c2 u(x, t).
(Ecuación de ondas multidimensional)
La ecuación de ondas aparece en multitud de fenómenos fı́sicos como la propagación de terremotos, del sonido y de las perturbaciones electromagnéticas
(por ejemplo, luz, infrarrojos, microondas y ondas de radio).
Perturbaciones electromagnéticas
El producto vectorial permite asignar vectores que representan el área y
la orientación de determinadas superficies planas en R3 . Si a, b 2 R3 , el
producto vectorial se define como
0
1
a 2 b3 a 3 b2
a ⇥ b = @ a 3 b1 a 1 b 3 A
a 1 b2 a 2 b 1
El rotacional de un campo vectorial v(x) = (v1 (x), v2 (x), v3 (x)) de clase C 1
en R3
0
1
@v3 (x) @v2 (x)
0
1 0
1 B @x
@x3 C
2
@/@x1
v1 (x)
B
C
@v
(x)
@v
B
1
3 (x) C
rot v(x) := @ @/@x2 A ⇥ @ v2 (x) A = B
C.
B @x3
@x1 C
@/@x3
v3 (x)
@ @v (x) @v (x)
A
2
1
@x1
@x2
mide la tendencia de rotación un campo vectorial alrededor de un punto. La
fórmula para un doble producto vectorial
a ⇥ (b ⇥ c) = (baT
99
(b · a)I3 )c
0
v := @
1
v1 (x)
v2 (x) A
v3 (x)
denota el campo vectorial que se obtiene al aplicar el operador Laplaciano a
cada componente.
Sea E el vector campo eléctrico. El desplazamiento eléctrico D tiene en
cuenta las fuerzas correspondientes a la polarización inducida por el campo
eléctrico en el material. Bajo condiciones muy generales se puede constatar
la proporcionalidad de ambos campos vectoriales D = ✏E a través de la
permitividad eléctrica del material ✏.
El vector campo magnético H toma en consideración la magnetización
del material y en determinadas circunstancias es proporcional a la inducción magnética B = µH a través de la constante µ llamada permeabilidad
magnética del material.
Denotando mediante ⇢ la densidad de carga y J el flujo de corriente
eléctrica la conservación de la carga puede expresarse mediante la relación
diferencial
⇢t (x, t) + div J(x, t) = 0.
Las ecuaciones de Maxwell describen la evolución espacial y temporal de
los campos eléctricos y magnéticos en un medio, incluyendo los efectos de
polarización y magnetización de los materiales y el movimiento de corrientes
de cargas en los diferentes medios
div D(x, t) = ⇢(x, t),
rot E(x, t) =
Bt (x, t),
div B(x, t) = 0,
rot H(x, t) = Dt (x, t) + J(x, t).
Estas ecuaciones corresponden a la ley de Coulomb expresada en la forma de
Gauss, la ley de Gauss del magnetismo que indica que no existen fuentes de
carga magnética, la ley de inducción de Faraday y la ley de Ampère, con la
modificación propuesta por Maxwell. Estas ecuaciones, junto con la ley de
Ohm
J(x, t) = E(x, t),
100
donde denota la conductividad del material, permiten describir en situaciones muy generales la evolución de las perturbaciones eléctricas, mágnéticas y
movimientos de cargas a lo largo del tiempo.
En el espacio vacı́o tenemos ⇢(x, t) = 0 y J(x, t) = 0 y las ecuaciones se
transforman en ecuaciones homogéneas. Además D = ✏0 E y B = µ0 H, donde
✏0 es la permitividad eléctrica del vacı́o, µ0 la permeabilidad magnética del
vacı́o, lo que permite eliminar D y H en las ecuaciones anteriores
div E(x, t) = 0,
rot E(x, t) =
div B(x, t) = 0,
rot B(x, t) = µ0 ✏0 Et (x, t).
La constante
Bt (x, t),
1
c= p
µ0 ✏ 0
tiene dimensiones de velocidad.
Vamos a eliminar el campo magnético en las ecuaciones de Maxwell en
el vacı́o para escribir una ecuación diferencial que describa las perturbaciones
del campo eléctrico en el espacio vacı́o. Derivando respecto a t en la ecuación
Et (x, t) = c2 rot B(x, t) obtenemos
@2E
@
@B
(x, t) = (c2 rot B(x, t)) = c2 rot
(x, t) = c2 rot( rot E(x, t))
@t2
@t
@t
= c2 rot rot E(x, t) = c2 ( E(x, t) grad div E(x, t))
= c2 E(x, t),
de lo que se deduce que cada componente del campo électrico sufre perturbaciones gobernadas por la ecuación de ondas utt = c2 u. De la misma manera,
si eliminamos el campo eléctrico, tenemos
@2B
@
@E
(x, t) = ( rot E(x, t)) = rot
(x, t) = rot(c2 rot B(x, t))
@t2
@t
@t
= c2 rot rot B(x, t) = c2 ( B(x, t) grad div B(x, t))
= c2 B(x, t)
La ecuación de Klein–Gordon
La leyes de la mecánica cuántica se expresan asociando a cada partı́cula una
función compleja (x, t) que verifica la ecuación de ondas de Schrödinger
ih̄
@ (x, t)
=
@t
h̄2
2m
(x, t) + V (x) (x, t).
Para el estudio de una sola partı́cula puede utilizarse una variante de la ecuación de ondas que tiene en cuenta ciertas leyes de la Teorı́a Especial de la
Relatividad, llamada ecuación de Klein-Gordon.
La hipótesis de cuantización de la energı́a propuesta por Planck fue utilizada por Einstein para describir los fotones como partı́culas que tenı́an asociada una energı́a E proporcional a su frecuencia ⌫. Si expresamos la relación
E = h⌫ en términos de la frecuencia angular ! = 2⇡⌫ , tenemos
E = h̄!
donde h̄ =
h
2⇡ .
La Teorı́a Especial de la Relatividad establece una relación entre el momento y la energı́a de una partı́cula
E2
c2 P2 = (mc2 )2 .
Teniendo en cuenta que los fotones viajan a la velocidad de la luz c, deben
tener masa en reposo m nula. Por tanto, se establece una relación entre
momento y la longitud de onda = c/⌫ asociada
P2 =
⇣ h ⌘2
E2
h2 ⌫ 2
=
=
c2
c2
para los fotones. Esta relación entre momento y longitud de onda kPk = h/
puede ser expresada a través del vector número de onda k cuya dirección
corresponde a la dirección de propagación de la onda, siendo su módulo 2⇡ 1
y también las componentes del la inducción magnética verifican la misma
ecuación de ondas.
P = h̄k.
Al coincidir c = (µ0 ✏0 ) 1/2 exactamente con la velocidad de la luz en el
vacı́o 299.792.458 m/s, las ecuaciones de Maxwell permitieron establecer la
naturaleza electromagnética de las ondas luminosas.
De Broglie sugirió que esta relación, no solamente era válida para fotones,
sino también para describir fenómenos en los que intervenı́an otras partı́culas,
como los electrones, para los que no se habı́an descrito ondas asociadas. La
101
102
ecuación relativista que liga la energı́a y el momento de una partı́cula cualquiera, se traduce en una relación entre frecuencia angular y número de onda
para la onda asociada a dicha partı́cula
⇣ mc2 ⌘2
E 2 c 2 P2
! 2 k 2 c2 =
=
.
2
h̄
h̄
Apliquemos las relaciones anteriores al caso simple de una función de
onda plana
(x, t) = A sen(!t k · x + ).
siendo L[ ] un cierto operador diferencial lineal. Por tanto podemos asociar
a la posición y el momento los siguientes operadores diferenciales de orden 0
y orden 1, respectivamente
X[ ](x, t) = x (x, t),
P[ ](x, t) =
La masa en reposo admite la representación m =
tanto, está asociada al operador multiplicación
ih̄ grad (x, t).
R
m (x, t) ¯(x, t)dx. Por lo
M [ ](x, t) = m (x, t).
Entonces tenemos
tt (x, t)
=
de donde se deduce que
! 2 (x, t),
(x, t) =
k2 (x, t),
verifica la ecuación diferencial
⇣ mc2 ⌘2
utt c2 u =
u,
h̄
La energı́a cinética esperada se obtiene mediante la integral
h̄2
2m
Z
Para describir el caso general en que la partı́cula no está asociada a una
onda plana indicaremos cómo se describe el momento y la energı́a de una
partı́cula en mecánica cuántica. La función de onda es una función compleja
que verifica la condición de normalización
Z
| (x, t)|2 dx = 1.
La posición y el momento más probables de la partı́cula vienen descritas por
las integrales
Z
Z
¯
x (x, t) (x, t)dx,
ih̄ grad (x, t) ¯(x, t)dx,
respectivamente. En general, el valor esperado de toda magnitud observable
fı́sicamente puede expresarse en la forma
Z
L[ (x, t)] ¯(x, t)dx,
103
Z
(x, t) ¯(x, t)dx.
y está asociada al operador
llamada ecuación de Klein-Gordon.
Una superposición de ondas planas también es posible fı́sicamente, ası́
que la ecuación de Klein-Gordon especifica una propiedad de la función de
onda de una partı́cula libre.
h̄2
2m
| grad (x, t)|2 dx =
h̄2
2m
K[ ](x, t) =
(x, t).
Los términos del miembro derecho de la ecuación de Schrödinger pueden identificarse con la energı́a cinética y potencial de la función de onda. Por tanto
el miembro de la izquierda representa una descripción de la energı́a total en
términos de derivadas temporales de la función de ondas. En virtud de la
ecuación de Schrödinger, podemos asociar a la energı́a de la partı́cula el operador
@
E[ ](x, t) = ih̄
(x, t).
@t
Ahora podemos ofrecer una interpretación cuántica de la relación relativista E 2 c2 P2 = (mc2 )2 . Para ello, teniendo en cuenta la ecuación de
Schrödinger, asociamos al cuadrado de la energı́a E 2 el operador diferencial
de segundo orden h̄2 @ 2 /@t2 . El cuadrado del momento P2 = 2mK corresponderá al operador diferencial de segundo orden h̄2 y el término mc2
corresponderá al operador multiplicación mc2 I. Por tanto, la relación relativista entre energı́a y momento da lugar a la ecuación
h̄2
⇣ @2
@t2
c2
⌘
+ (mc2 )2 I = 0.
104
y las soluciones de la ecuación de Klein–Gordon son precisamente las funciones
que anulan el operador diferencial anterior.
Puede comprobarse que la integral
Z ✓
@ (x, t)
@t
2
+ c2 | grad (x, t)|2 +
⇣ mc2 ⌘2
h̄
◆
| (x, t)|2 dx
es independiente del tiempo para cualquier solución de la ecuación de Klein–
Gordon, hecho que puede interpretarse en términos de la conservación de
la energı́a relativista de la partı́cula, obtenida al sumar la energı́a cinética,
potencial y la energı́a debida a la masa en reposo.
Flexión en una barra
Estudiemos ahora la flexión de una barra. Para eliminar en nuestro estudio
los efectos de la tensión y de la torsión supondremos que todas las fuerzas de
carga que se ejercen sobre la barra son ortogonales a la lı́nea neutra y actúan
en un único plano produciendo flexión pura. Fijamos coordenadas para que
la posición inicial de la lı́nea neutra sea
x 2 [0, l].
(x, 0, 0),
Supongamos que las fuerzas de carga vienen dadas por una densidad de fuerza
(0, f (x), 0),
x 2 [0, l].
aplicada en cada punto (x, 0, 0), x 2 [0, l] de la lı́nea neutra.
Debido al carácter del problema, la barra sufrirá desplazamientos cuya
componente en el eje OZ será nula, ası́ que la nueva posición de la lı́nea neutra
de la barra deformada será (x + d(x), u(x), 0), x 2 [0, l]. Los desplazamientos
en la dirección de las fuerzas u(x) reciben el nombre de deflexiones. Con objeto de simplificar el estudio, despreciaremos los desplazamientos horizontales
d(x) ⇡ 0, ya que son mucho menores que las deflexiones u(x). Esto es válido
si todas las fuerzas ejercidas sobre la barra son suficientemente pequeñas y
las deflexiones son relativamente pequeñas
|u(x)| << 1,
|u0 (x)| << 1,
105
x 2 [0, l].
Figura 17. Fuerzas flectoras sobre una barra biapoyada
Queremos determinar la deflexión u(x) en términos de las fuerzas ejercidas.
Supongamos que nuestra barra se encuentra apoyada en ambos extremos y que las fuerzas que se ejercen son transversales y vienen dadas por la
densidad de fuerzas (0, f (x), 0), x 2 [0, l]. De las condiciones de equilibrio
estático
Z l
Z l
(0) +
f (⇠)d⇠ + (l) = 0,
⇠f (⇠)d⇠ + l (l) = 0,
0
0
podemos deducir la magnitud de las esfuerzos cortantes de reacción (0, (0), 0)
y (0, (l), 0) en ambos extremos (0, 0, 0), (l, 0, 0):
Z
Z
1 l
1 l
(0) =
(l ⇠)f (⇠)d⇠,
(l) =
⇠f (⇠)d⇠.
l 0
l 0
Consideremos una superficie de separación normal a la lı́nea neutra en
el punto (x, u(x), 0). La resultante de las fuerzas flectoras que actúan en un
punto desde un lado de la barra es igual y de sentido contrario a la resultante
de las fuerzas que actúan desde el otro lado en virtud de las condiciones de
equilibrio estático, dando lugar a un esfuerzo cortante (0, (x), 0) en cada
punto de la barra (x, 0, 0)
Z x
Z l
(x) = (0) +
f (⇠)d⇠ =
(l)
f (⇠)d⇠.
0
x
Sustituyendo (0) por su valor obtenemos la expresión explı́cita en términos
de la densidad de fuerza f (x)
Z
Z l
⌘
1⇣ x
(x) =
lf (⇠)d⇠
(l ⇠)f (⇠)d⇠
l
0
0
Z
Z l
⌘
1⇣ x
=
⇠f (⇠)d⇠ +
f (⇠)(l ⇠)d⇠ .
l
0
x
106
El momento resultante de las fuerzas flectoras que actúan en un punto
desde un lado de la barra es igual y de sentido contrario al momento resultante
de las fuerzas flectoras que actúan desde el otro lado dando lugar a
M (x) := S
⇣
(0)x +
Z
x
f (⇠)(x
0
⌘
⇣Z l
⇠)d⇠ = S
f (⇠)(⇠
x)d⇠
x
(l)(l
⌘
x) ,
donde S = área(D) es el área de la sección recta de la barra. El material
circundante puede ejercer en ambos extremos momentos de la barra momentos
opuestos M (0) + M (l) = 0, por lo que la expresión del momento flector por
unidad de área puede contener un término adicional
M (x) = M (0) + S (0)x + S
Z
x
f (⇠)(x
⇠)d⇠.
0
Derivando la relación anterior obtenemos
Z x
⇣
⌘
M 0 (x) = S (0) +
f (⇠)d⇠ = S (x)
0
y
M 00 (x) = Sf (x).
La ley de Euler–Bernoulli permite relacionar las fuerzas flectoras y las
deflexiones en una barra sometida a esfuerzos de flexión puros
(x) =
1
M (x),
R
siendo (x) la curvatura del eje neutro, M (x) el momento flector de las fuerzas
que producen la deflexión y R una constante llamada rigidez flexural que
depende de la geometrı́a de la sección D y del material de la barra
R = EI,
siendo E el módulo de Young e I el llamado momento de inercia de área
I=
Z
y 2 dydz.
D
107
La curvatura del eje neutro es
(x) =
(1 + d0 (x))u00 (x) d00 (x)u0 (x)
((1 + d0 (x))2 + u0 (x)2 )3/2
y teniendo en cuenta que las fuerzas que intervienen no producen deflexiones
grandes podemos suponer que
d0 (x) ⇡ 0,
de donde
d00 (x) ⇡ 0,
u0 (x) ⇡ 0,
(x) ⇡ u00 (x).
Por lo tanto, podemos expresar la ley de Euler-Bernoulli por la ecuación
aproximada
1
u00 (x) = M (x), x 2 [0, l].
R
Ahora vamos a describir las pequeñas vibraciones transversales de una
barra de grosor no despreciable en la que las fuerzas flectoras predominan
sobre las fuerzas de tensión. La posición de la barra correspondiente a la
abscisa x de la lı́nea neutra en el el instante de tiempo t, vendrá determinada
por (0, u(x, t), 0). Para una deflexión dada, pueden determinarse a través de
la ley de Euler–Bernoulli los momentos flectores que mantendrı́an a la barra
en una situación de equilibrio estático
M (x, t) = E(x)I(x)
@2u
(x, t).
@x2
Derivando dos veces en la fórmula que proporciona el momento flector obtendrı́amos la densidad de fuerzas cortantes correspondientes
f (x, t) =
1
Mxx (x, t).
S
Si hay que aplicar una fuerza cortante de densidad f (x, t) para mantener la
barra en equilibrio para una deflexión dada u(x, t), esto significa que el estado
de flexión genera una fuerza recuperadora cuya densidad es
f (x, t) =
⌘
1 @2 ⇣
@2u
E(x)I(x)
(x,
t)
.
S @x2
@x2
108
Aplicando la segunda ley de Newton deducimos que
⌘
1 @2 ⇣
@2u
⇢(x)utt (x, t) =
E(x)I(x)
(x,
t)
,
S @x2
@x2
obteniendo la ecuación diferencial que rige las vibraciones de flexión de una
barra
⌘
@2u
1 @2 ⇣
@2u
(x, t) =
E(x)I(x) 2 (x, t) .
2
2
@t
S⇢(x) @x
@x
Si la barra es homogénea, la ecuación se reduce a la ecuación en derivadas
parciales de cuarto orden
@2u
=
@t2
EI @ 4 u
.
S⇢ @x4
Supongamos que la barra está estirada en los extremos sufriendo un esfuerzo de tensión neto de módulo T0 . El esfuerzo de tensión es siempre tangente a la lı́nea neutra. Si la lı́nea neutra tiene variaciones de dirección aparecerá
un término de densidad de fuerza cortante correspondiente a las variaciones
de dirección del esfuerzo de tensión
✓
◆
@
T0 ux (x, t)
⇡ T0 uxx (x, t)
@x (1 + u2x (x, t))1/2
como ya se discutió en el análisis de la cuerda vibrante. Las variaciones de
curvatura del eje neutro darán lugar a una densidad de fuerza flectora
⌘
⌘
1 @2 ⇣
1 @2 ⇣
@2u
E(x)I(x)(x, t) ⇡
E(x)I(x) 2 (x, t)
2
2
S @x
S @x
@x
según la ley de Euler-Bernoulli. Por tanto, la densidad total de las fuerzas
cortantes que aparecen debido a la deflexión de la barra bajo tensión será
⌘
1 @2 ⇣
@2u
T0 uxx
E(x)I(x)
(x,
t)
,
S @x2
@x2
de donde se deduce la siguiente ecuación en derivadas parciales para las vibraciones de la barra
⌘
@2u
1 @2 ⇣
@2u
⇢(x) 2 (x, t) = T0 uxx (x, t)
E(x)I(x)
(x,
t)
.
@t
S @x2
@x2
Si la barra sufre compresión en lugar de tensión, el problema tiene una
análisis similar. Bastará con considerar valores negativos para T0 .
109
Vibraciones en un sólido elástico
En general, el estado de tensión de un sólido puede determinarse en cada
punto del material a través del tensor de esfuerzos S(x). En un entorno de
cada punto podemos construir pequeñas superficies de prueba y analizar la
cantidad de fuerza que ejerce la parte situada a un lado sobre la parte situada
en el otro lado. Dividiendo la fuerza para la superficie y haciendo tender el
área de la superficie hacia cero obtenemos un valor lı́mite para todas las superficies con la misma orientación. Si n es la normal a la superficie de prueba,
y S es el área de la superfice de prueba, tenemos que existe una aplicación
lineal que relaciona el vector Sn con el vector fuerza F. Esta aplicación lineal
describe el estado de tensión del solido en dicho punto y recibe el nombre de
tensor de esfuerzos. Existen diferentes tipos de esfuerzos dependiendo de la
acción de las fuerzas que ejercen los puntos del material en un entorno del
punto: esfuerzos de tensión, compresión, expansión, flexión, torsión, etc. Los
esfuerzos pueden clasificarse en dos tipos fundamentales: esfuerzos tensiles y
esfuerzos cortantes (o de cizalladura) Los esfuerzos tensiles corresponden a la
componente de la fuerza normal a la superficie y tienden a expandir o comprimir el material a lo largo de esa dirección. Los esfuerzos cortantes tienden
corresponden a la componente de la fuerza tangencial (paralela a la superficie)
y tienden a separar capas paralelas del material.
La deformación unitaria en un sólido expresa el estado de constricción
del material y puede medirse calculando la diferencial del desplazamiento del
material. La defomación unitaria en un punto es un tensor y se representa a
través de la simetrización de la matriz Jacobiana del desplazamiento. Existen
varios tipos de deformaciones: dilataciones o contracciones cuando la variación
se mide a lo largo de la dirección de desplazamiento o cizalladuras cuando se
mide a lo largo de una dirección perpendicular al desplazamiento.
La proporcionalidad entre esfuerzo y deformación unitaria constituye uno
de los principios básicos de la teorı́a de la elasticidad y tiene validez en cualquier trozo pequeño del material cuando los esfuerzos y las deformaciones son
relativamente pequeñas. Esto nos permite obtener relaciones entre los tensores de esfuerzos y deformaciones en cualquier punto del material considerado.
Si el material es isótropo las relaciones se simplifican notablemente. Más aún
si solamente se consideran esfuerzos en la dirección normal a la superficie de
separación (esfuerzos tensiles).
La fuerza total que hace el espacio circundante sobre un dominio D sobre
110
el espacio circundante es
Z
FD (t) =
S(x, t)n(x)d (x) +
D
Z
donde E es el llamado tensor de elasticidad (o más apropiadamente tensor de
rigidez).
f (x, t)dx,
D
donde S(x, t)n(x) es el esfuerzo medido en la dirección normal a la superficie
y f (x, t) es la densidad de fuerza correspondiente a la resultante de todas las
fuerzas exteriores que actúan sobre el dominio D. Por tanto podemos expresar
la segunda ley de Newton en la forma
Z
Z
⇣
⌘
⇢(x) dtt (x, t) f (x, t) dx =
S(x, t)n(x)d (x),
D
D
siendo d(x, t) es el vector desplazamiento. Extrayendo la componente i-ésima
y teniendo en cuenta la simetrı́a del tensor de esfuerzos
En un medio isótropo homogéneo, esta relación se expresa en la forma
⇣
⌘
1
S(x, t) = 2G U (x, t)
Tr U (x, t)In + K Tr U (x, t)In ,
n
donde G es el llamado módulo de elasticidad transversal y K el módulo de
compresibilidad. Teniendo en cuenta que
Tr U (x, t) = div d(x, t),
podemos interpretar el segundo sumando como el término correspondiente a
las variaciones de volumen, mientras que el primer sumando, con traza nula,
excluye tales variaciones. Utilizando las constantes de Lamé
:= K
(S(x, t)n(x)) · ei = (S(x, t)ei ) · n(x)
tenemos
Z
⇢(x)
D
⇣ @2d
i
(x, t)
@t2
Z
⌘
fi (x, t) dx =
(S(x, t)ei )n(x)d (x).
D
Aplicando el teorema de la divergencia de Gauss, se obtiene la relación
Z
⇣ @2d
⌘
i
i
⇢(x)
(x,
t)
f
(x,
t)
div(S(x,
t)e
)
dx = 0,
i
@t2
D
Teniendo en cuenta que el dominio D es arbitrario deducimos la siguiente
expresión de la segunda ley de Newton
⇢(x)
@ 2 di
(x, t) = div(S(x, t)ei ) + fi (x, t).
@t2
La proporcionalidad entre en tensor de esfuerzos S(x, t) y la deformación
unitaria
⌘ 1 ⇣ @d
⌘T
1 ⇣ @d
U (x, t) =
(x, t) +
(x, t) ,
2 @x
2 @x
se expresa en general mediante la relación
S(x, t) = E U (x, t),
111
2G
,
n
µ := G,
obtenemos una expresión más cómoda de manejo
✓
⇣ @d
⌘T ◆
@d
S(x, t) = div d(x, t)In + µ
(x, t) +
(x, t)
.
@x
@x
Considerando ahora
S(x, t)ei =
div d(x, t)ei + µ
⇣ @d
@xi
⌘
(x, t) + grad di (x, t) .
La segunda ley de Newton en cada componente adopta la forma
⇣ @d
⌘
@ 2 di
@
⇢(x) 2 (x, t) =
div d(x, t) + µ di (x, t) + µ div
(x, t) + fi (x, t).
@t
@xi
@xi
@
@
Intercambiando el orden de derivación div @x
= @x
div, y reuniendo la infori
i
mación para todas las componentes en una sola ecuación vectorial, se obtienen
la ecuación elastodinámica que gobierna las vibraciones elásticas en un solido
isótropo homogéneo
⇢(x)
@2d
(x, t) = ( + µ) grad div d(x, t) + µ d(x, t) + f (x, t),
@t2
donde d(x, t) denota la función vectorial obtenida al aplicar el operador
Lapaciano en cada componente.
112
Difusión y transporte general
Las partı́culas de una sustancia en el seno de un fluido se ven impulsadas por
el resto de partı́culas que se encuentran en el fluido y tienden a moverse con
él. Sin embargo la velocidad que medimos es macroscópica y es en realidad un
promedio. En todo fluido existen corrientes microscópicas que no dan lugar a
desplazamientos netos y agitación molecular. Aunque un fluido se encuentre
en reposo, podemos detectar un movimiento neto de una sustancia dispersa
en él. En el fenómeno de difusión, la sustancia tiende a dispersarse en el fluido
de modo que la concentración tiende a aumentar en zonas de concentración
baja respecto a su entorno y tiende a disminuir en zonas de concentración
alta respecto a su entorno.
La difusión está gobernada por la ley de Fick.
volumen mediante la integral de volumen
Z
mD (t) =
u(x, t)dx.
D
Por un lado, la tasa de variación de la cantidad de sustancia contenida
en un dominio D es
Z
Z
d
m0D (t) =
u(x, t)dx =
ut (x, t)dx,
(10.3)
dt D
D
Por otro lado, la variación de la cantidad de sustancia se debe al balance neto
de la cantidad de sustancia que entra y sale por la frontera
Z
m0D (t) =
q(x, t) · n(x)d (x).
@D
Figura 16. Difusión de una sustancia en un fluido
El signo negativo se debe a que la normal es exterior. Por el Teorema de la
divergencia de Gauss
Z
Z
q(x, t) · n(x)d (x) =
div q(x, t)dx,
@D
D
tenemos
Ley de Fick. Las sustancias se difunden de las zonas de mayor concentranción a las de menor concentración y lo hacen tanto más rápido cuanto mayor
es la diferencia de concentración, siendo la velocidad de flujo de concentración
proporcional y de sentido contrario al gradiente de la concentración.
Para formular correctamente esta ley utilizaremos velocidad de flujo de
concentración q(x, t). La velocidad de flujo de concentración indica la cantidad de sustancia que atraviesa una pequeña superficie por unidad de tiempo
y su dirección corresponde a la dirección de transporte neto. La velocidad de
flujo de concentración permite expresar la ley de conservación de sustancia.
Si no se suministra ni se extrae sustancia del fluido, la variación de cantidad
de sustancia en un dominio dado D se debe a la cantidad de sustancia que
entra y sale del dominio a través de la frontera.
La cantidad de sustancia mD (t) contenida en el dominio D en el instante
t puede expresarse en términos de la concentración u(x, t) por unidad de
113
m0D (t) =
Z
div q(x, t)dx.
(10.4)
D
Comparando (10.3) y (10.4) obtenemos
Z
(ut (x, t) + div q(x, t))dx = 0.
D
y como el dominio es arbitrario, el balance de material queda expresado en
forma diferencial mediante la ley de conservación
ut (x, t) =
div q(x, t)
(10.5)
La ley de Fick puede enunciarse matemáticamente en la forma
q(x, t) =
k grad u(x, t),
114
(Ley de Fick)
donde
⇣ @u
⌘T
@u
grad u(x, t) =
(x, t), . . . ,
(x, t)
@x1
@xn
La constante k mide la difusividad y depende del tipo de sustancia y de
las caracterı́sticas fı́sicas del medio en el que se difunde (tipo de sustancia,
densidad, temperatura, etc).
Flujo de calor
Consideremos un sólido y sea u(x, t) la temperatura en x en el instante t. Sea
una pequeña superficie de área S y sea n su vector normal. Si consideramos
la transferencia de energı́a en forma de calor a través de dicha superficie en
un pequeño intervalo de tiempo tenemos
Q=
Combinando el balance de material (10.5) y la ley de Fick
ut (x, t) =
div q(x, t) = div(k grad u(x, t)) = k u(x, t),
de donde se obtiene la ecuación de la difusión o segunda ley de Fick
ut (x, t) = k u(x, t).
donde k denota la conductividad térmica del material y q es el vector velocidad
de flujo de calor entendida como la transferencia de energı́a por unidad de
tiempo y de superficie. Esto permite definir el vector de velocidad de flujo de
calor (o simplemente flujo de calor)
(Ecuación de la difusión)
La velocidad de flujo de material en un fenómeno de transporte en un
fluido en el que haya que considerar los fenómenos de convección y difusión
puede expresarse en la forma
q(x, t) = u(x, t)v(x, t)
k grad u(x, t),
donde u(x, t) es la concentración de sustancia, v(x, t) es el campo de velocidades en el fluido y k es la constante de difusividad de la sustancia en el fluido.
El término u(x, t)v(x, t) es la parte de la velocidad de flujo correspondiente a la convección o advección (2.2), mientras que el término k grad u(x, t)
corresponde a la difusión según la Ley de Fick.
Sustituyendo la expresión de la velocidad de flujo en la ley de conservación
(10.5) obtenemos la ecuación general del transporte,
ut (x, t) + div(u(x, t)v(x, t)) = k u(x, t)
el término div(u(x, t)v(x, t)) corresponde a la advección o convección, mientras que el término de segundo orden k u(x, t) correspondiente a la difusión
de la sustancia en el medio.
t S q · n,
q(x, t) · n =
lı́m
t!0; S!0
Q
.
t S
La ley de Fourier de conducción de calor afirma que el calor fluye de
temperaturas mayores a temperaturas menores y que el flujo de calor es proporcional al gradiente de temperaturas.
La ley de Fourier puede formularse matemáticamente de la siguiente forma
q(x, t) =
(x) grad u(x, t),
(Ley de Fourier)
donde  denota la conductividad térmica del material.
Es bien conocido que la aportación de calor corresponde a una variación
de la temperatura. El calor especı́fico de un material puede definirse como
c(x) :=
lı́m
u!0;vol(D)!0
Q
mD u
=
1
⇢(x)
Q
,
u!0;vol(D)!0 vol(D) u
lı́m
donde ⇢(x) representa la densidad del material. En general, el calor especı́fico
depende del tipo de material y las condiciones termodinámicas de presión y
temperatura en el que se encuentre. Experimentalmente se constata que si
no hay cambios de presión el calor especı́fico puede considerarse aproximadamente constante en amplios rangos de temperatura. Esta hipótesis no resulta
válida para temperaturas muy bajas.
Si consideramos un dominio D dentro del sólido en el que se está transfiriendo energı́a calorı́fica, podemos realizar un balance energético. Por un
115
116
lado, la energı́a calorı́fica transferida al medio circundante durante el periodo
de tiempo entre t0 y t1 puede calcularse a través de la diferencia de temperaturas observada en cada punto del dominio
Z
QD
c(x)⇢(x)(u(x, t0 ) u(x, t1 ))dx.
t0 !t1 =
Si combinamos el primer principio de la termodinámica con la ley de Fourier,
obtenemos
1

ut (x, t) =
div q(x, t) =
div grad u(x, t),
c⇢
c⇢
y, llamando k := (c⇢)
1
, obtenemos
D
Tomando lı́mites cuando t1 t0 ! 0, obtenemos la siguiente fórmula para la
velocidad de transferencia de calor del dominio D al medio circundante
Z
dQ D
=
c(x)⇢(x)ut (x, t)dx.
dt
D
La velocidad de transferencia de calor al exterior de D también puede obtenerse integrando el flujo de calor sobre la frontera
dQ D
=
dt
Z
@D
q(x, t) · n(x)d (x).
Igualando tenemos
Z
c(x)⇢(x)ut (x, t)dx =
D
Z
@D
q(x, t) · n(x)d (x).
Esta relación puede verse como una formulación del primer principio de la
termodinámica que establece que el cambio de energı́a interna de un sistema
es igual a la energı́a calorı́fica suministrada al sistema.
Aplicando el teorema de la divergencia de Gauss, obtenemos
Z
(c(x)⇢(x)ut (x, t) + div q(x, t))dx = 0.
ut (x, t) = k u(x, t).
(Ecuación del calor)
La naturaleza del calor no fue bien comprendida hasta mitad del siglo
XIX. La explicación del calor como un modo de transferencia de energı́a empezó a cobrar fuerza cuando Rumford comprobó que el rozamiento era capaz
de transformarse en calor. Más tarde Joule confirmó que el trabajo mecánico
se transformaba en calor. Antes de que se impusiera la idea de que el calor
era un modo de transferencia de energı́a se consideraba que el calor era era
el flujo de una sustancia llamada calórico. Según la teorı́a del calórico, el
calórico era un fluido que se desplazaba de las zonas con mayor temperatura
a las zonas con menor temperatura. La temperatura en un medio homogéneo,
según esta teorı́a, era proporcional a la densidad de calórico. Por tanto, la
teorı́a del calórico interpretaba la ley de Fourier como un caso particular de
la ley de Fick de difusión de sustancias. De hecho, en la mayorı́a de procesos calorimétricos y termodinámicos la transferencia de calor se comporta
idénticamente al transporte de una sustancia en un medio. Desde el punto de
las ecuaciones en derivadas parciales, este hecho se traduce en las expresiones
coincidentes de la ecuación del calor y la segunda ley de Fick.
Los principios de la termodinámica
Supongamos que el medio es homogéneo con lo que podemos considerar
la conductividad térmica , el calor especı́fico c y la densidad ⇢ constantes.
Hemos mencionado que la proporcionalidad entre calor y diferencias de temperatura es solamente aproximada por lo que la ecuación del calor debe modificarse cuando el rango de temperaturas es amplio.
La ley de conservación de la energı́a calorı́fica postula la existencia de
una energı́a interna especı́fica e(x, t) de forma que las variaciones de dicha
energı́a se manifiestan en transferencia de calor al exterior y también en trabajo mecánico. Para ignorar los efectos del trabajo mecánico y obtener una
formulación más simple supondremos que no hay fuerzas exteriores realizando
un trabajo sobre el sistema y que la presión, volumen y densidad permanecen
constantes en el tiempo, hipótesis válidas para sólidos y fluidos en reposo, de
manera que las variaciones de temperatura se deben exclusivamente a la difusión de la energı́a calorı́fica. Por consiguiente, podemos expresar la relación
117
118
D
y como D es arbitrario, se deduce que
c(x)⇢(x)ut (x, t) + div q(x, t) = 0,
que puede verse como una formulación diferencial de la conservación de la
energı́a termodinámica.
entre la transferencia de calor al exterior y el incremento de energı́a interna
mediante la fórmula
Z
dQD
+
⇢(x)et (x, t)dx = 0.
dt
D
Si la energı́a se conserva, el flujo de calor detectado en la frontera debe corresponder a la variación de la energı́a interna
Z
Z
dQD
=
q(x, t) · n(x)d (x) =
div q(x, t)dx.
dt
@D
D
Tenemos que
Z
(⇢(x)et (x, t) + div q(x, t))dx
que junto con el primer principio de la termodinámica da lugar a
⇢(x)et (x, t) = div((x, u(x, t)) grad u(x, t)).
Introduciendo la relación entre energı́a interna y calor especı́fico, obtenemos
la ecuación del calor general no lineal
⇢(x)c(x, u(x, t))ut (x, t) = div (x, u(x, t)) grad u(x, t) .
Otra cantidad relacionada con la energı́a calorı́fica que puede producir
trabajo útil es la entropı́a termodinámica. Para una región D suficientemente
pequeña, y una pequeña aportación de calor QD la entropı́a es una magnitud
cuya variación puede obtenerse de la expresión
D
SD =
y como el dominio es arbitrario obtenemos la siguiente formulación diferencial
del primer principio de la termodinámica
⇢(x)et (x, t) + div q(x, t) = 0.
La temperatura u(x, t) está asociada al nivel de energı́a especı́fica en el
punto x en el instante de tiempo t. La energı́a interna no sólo depende de
la temperatura sino de otras variables que expresan el estado termodinámico
(presión, densidad). Bajo las hipótesis de presión y densidad constantes y de
material en reposo, la relación entre energı́a y temperatura puede expresarse en cada punto del dominio mediante e = ✏(x, u). A mayor temperatura
corresponde mayor energı́a especı́fica, de manera que
c(x, u) :=
@✏
(x, u)
@u
0.
La función no negativa llamada c(x, u) recibe el nombre de calor especı́fico y
permite establecer la relación
et (x, t) = c(x, u(x, t))ut (x, t).
La conductividad térmica  también depende del estado termodinámico
del sistema y para un medio en reposo podemos describirla mediante una
función (x, u). La ley de Fourier adopta la forma
q(x, t) =
(x, u(x, t)) grad u(x, t).
119
QD
,
u
donde u denota la temperatura media en la región D. Esta definición termodinámica es válida en dominios materiales donde la variación de densidad
de material es despreciable, lo que permite descartar los efectos energéticos
atribuibles a trabajo mecánico producido por expansiones y contracciones del
material. Se deduce que la variación temporal de la entropı́a en una región
relativamente extensa D puede describirse mediante la fórmula
Z
Z
d D
et (x, t)
div q(x, t)
S (t) =
⇢(x)
dx =
dx.
dt
u(x,
t)
u(x, t)
D
D
Z
Aplicando el teorema de la divergencia de Gauss tenemos
Z
Z
q(x, t) · n(x)
div q(x, t)
q(x, t) · grad u(x, t)
d (x) =
dx
dx.
u(x, t)
u(x, t)
u(x, t)2
@D
D
D
Sumando las ecuaciones anteriores obtenemos
Z
Z
d D
q(x, t) · n(x)
q(x, t) · grad u(x, t)
S (t) +
d (x) =
dx
dt
u(x, t)
u(x, t)2
@D
D
De la ley de Fourier deducimos
Z
Z
⇣ grad u(x, t) ⌘2
q(x, t) · grad u(x, t)
dx
=
(x, u(x, t))
dx
2
u(x, t)
u(x, t)
D
D
120
0,
de donde se obtiene
d D
S (t) +
dt
Z
@D
q(x, t) · n(x)
d (x)
u(x, t)
0.
La relación anterior puede interpretarse en los siguientes términos: la variación de entropı́a de un sistema más la cantidad de entropı́a cedida al exterior
por unidad de tiempo es siempre positiva. De las fórmulas anteriores se deduce
Z ⇣
⇣ 1
⌘⌘
⇢(x)et (x, t)
+ div
q(x, t) dx 0.
u(x, t)
u(x, t)
D
Como la integral sobre un dominio arbitrario es mayor o igual que cero, el
integrando debe ser no negativo. Por tanto, el segundo principio de la termodinámica puede expresarse en forma diferencial mediante la desigualdad
⇣ 1
⌘
⇢(x)et (x, t)
+ div
q(x, t)
u(x, t)
u(x, t)
0.
Dinámica de Fluidos
La descripción del movimiento de un fluido viene dado por dos magnitudes
⇢(x, t) la densidad del fluido y v(x, t) el vector velocidad en el instante t. Las
ecuaciones de Navier-Stokes surgen al plantear la ley de conservación de la
masa y la segunda ley de Newton en un fluido.
Para deducir la ley de conservación de la masa, necesitamos hacer un
balance entre la cantidad de fluido que sale por la frontera de un dominio D
y la cantidad de materia encerrada en ese dominio
Z
MD (t) =
⇢(x, t)dx.
D
de modo que
0
MD
(t)
=
Z
q(x, t)n(x)d (x) =
@D
Z
div q(x, t)dx.
D
Por tanto tenemos
Z
(⇢t (x, t) + div q(x, t))dx = 0
D
y al considerar un dominio D arbitrario se obtiene la siguiente ecuación diferencial que expresa el balance de material como una ley de conservación
análoga a (10.5)
⇢t (x, t) + div(q(x, t)) = 0.
La velocidad del flujo de material q(x, t) coincide con la densidad de
cantidad de movimiento
q(x, t) = ⇢(x, t)v(x, t)
Sustituyendo la expresión de la velocidad de flujo en la ecuación de balance
de material, obtenemos la llamada ley de conservación de la masa
⇢t (x, t) =
div(⇢(x, t)v(x, t)).
La segunda ley de Newton relaciona la variación de la densidad de cantidad de movimiento con la densidad de fuerza debida a dos causas principales:
fuerzas externas ejercidas por un campo de fuerzas y fuerzas de contacto entre las diversas partes del fluido. Estas fuerzas de contacto son la presión
y las fuerzas viscosas que se ejercen a lo largo de la superficie de contacto
de una parte del fluido y otra. Para nuestra descripción inicial, omitiremos
consideraciones acerca de las fuerzas de viscosidad, obteniendo la ecuación de
Euler.
El momento lineal contenido en una región D en el instante de tiempo
t, viene dado por la integral de la densidad de momento, magnitud fı́sica
equivalente a la velocidad de flujo de material q(x, t) = ⇢(x, t)v(x, t)
Z
PD (t) =
⇢(x, t)v(x, t)dx,
D
la variación de este momento lineal con respecto al tiempo
Z
@
(⇢(x, t)v(x, t))dx
P0D (t) =
D @t
tiene tres causas. La primera causa se debe a flujo de partı́culas que entran
y salen a través de la superficie del dominio D transportando un momento
lineal que contribuye a una variación neta del momento lineal
Z
⇢(x, t)v(x, t)(v(x, t) · n(x))d (x).
@D
121
(10.6)
122
La segunda causa se debe a fuerzas de contacto que ejerce el resto del fluido
sobre el fluido a través de la frontera del dominio D. La presión en un fluido
p(x, t) es la causa principal de las fuerzas de contacto. La presión se ejerce
en todas las direcciones y sobre el dominio D proporciona una fuerza que se
ejerce a lo largo de toda la frontera @D y está dirigida hacia el interior según
la normal a la superficie de contacto. La fuerza neta que ejerce la presión
sobre el dominio D puede calcularse a través de la integral de superficie
Z
Podemos aplicar el Teorema de la divergencia de Gauss (o la fórmula de
Green) a las integrales de superficie
Z
Z
⇢(x, t)vi (x, t)v(x, t) · n(x)d (x) =
div(⇢(x, t)vi (x, t)v(x, t))dx,
D
Z@D
Z
Z
@p
i
p(x, t)ni (x)d (x) =
p(x, t)e · n(x)d (x) =
(x, t)dx,
@x
i
@D
@D
D
para expresar cada componente de la segunda Ley de Newton en la forma
p(x, t)n(x)d (x).
Z ⇣
⌘
@
(⇢(x, t)vi (x, t)) + div(⇢(x, t)vi (x, t)v(x, t)) dx
D @t
Z ⇣
⌘
@p
=
fi (x, t)
(x, t) dx.
@xi
D
@D
La tercera causa que contribuye a la variación del momento lineal son las
fuerzas externas ejercidas en el seno del fluido por un campo de fuerzas
Z
f (x, t)dx,
Como el dominio de integración es arbitrario, deducimos que los integrandos
deben coincidir en todos los puntos, obteniendo
D
siendo el ejemplo más común las fuerzas ejercidas por un campo gravitatorio
constante, correspondiente a una densidad de fuerza dada por
f (x, t) =
⇢(x, t)g.
El primer miembro de la ecuación anterior puede simplificarse teniendo en
cuenta la ley de conservación de la masa
Si despreciamos el efecto de las fuerzas viscosas, podemos expresar la
segunda Ley de Newton en la forma
Z
D
@
(⇢(x, t)v(x, t))dx =
@t
Z
Z
⇢(x, t)v(x, t)(v(x, t) · n(x))d (x)
Z
p(x, t)n(x)d (x) +
f (x, t)dx.
@D
@D
D
Para manejar la ecuación vectorial anterior, estudiamos separadamente cada
una de sus componentes
Z
D
@
(⇢(x, t)vi (x, t))dx =
@t
Z
Z
⇢(x, t)vi (x, t)v(x, t) · n(x)d (x)
Z
p(x, t)ni (x)d (x) +
fi (x, t)dx.
@D
@D
D
123
@p
(x, t).
@xi
@
(⇢(x, t)vi (x, t)) + div(⇢(x, t)vi (x, t)v(x, t)) = fi (x, t)
@t
n
X
@
@⇢
@vi
@vi
(⇢vi ) + div(⇢vi v) =
vi + ⇢
+ div(⇢v)vi +
⇢vj
@t
@t
@t
@x
j
j=1
⇣ @⇢
⌘
⇣ @v
⌘
⇣ @v
⌘
i
i
=
+ div(⇢v) vi + ⇢
+ D v vi = ⇢
+ Dv vi
@t
@t
@t
Podemos sustituir en la ecuación anterior para obtener las ecuaciones de Euler,
que expresan la segunda ley de Newton en un fluido no viscoso
⇢(x, t)
⇣ @v (x, t)
⌘
i
+ Dv vi (x, t) = fi (x, t)
@t
@p
(x, t),
@xi
i = 1, . . . , n.
Con ellas podemos escribir la siguiente fórmulación vectorial
⇢(x, t)(vt (x, t) + Dv v(x, t)) = f (x, t)
124
grad p(x, t),
donde
Dv v(x, t) :=
por tanto, la presión es un esfuerzo tensil (de compresión), ya que la presión
siempre se ejerce en la dirección normal a la superficie de separación
@v
(x, t)v(x, t).
@x
En las ecuaciones anteriores término Dv v puede descomponerse como la
suma de un campo que deriva de un gradiente y un campo que tiene en cuenta
la vorticidad. Teniendo en cuenta que
T
1
1
@v(x, t)
grad v2 (x, t) = grad kv(x, t)k22 =
v(x, t),
2
2
@x
deducimos que
⇣ @v(x, t)
1
Dv v = grad v2 (x, t) +
2
@x
T
@v(x, t) ⌘
v(x, t).
@x
Si el campo de velocidades es irrotacional, entonces @v(x, t)/@x es una matriz
simétrica, lo que permite escribir las ecuaciones en la forma
vt (x, t) + grad
⇣ v2 (x, t) ⌘
2
1
f (x, t)
+
grad p(x, t) =
.
⇢(x, t)
⇢(x, t)
Hasta ahora hemos prescindido de las fuerzas viscosas. En general, las
fuerzas de contacto se describen a través de los esfuerzos, que tienen magnitud
de fuerza por unidad de superficie. El esfuerzo depende linealmente de la
orientación de la superficie a través del llamado tensor de esfuerzos S(x, t),
de modo que la contribución de las fuerzas de contacto que ejerce el resto del
fluido sobre la frontera de D es
Z
S(x, t)n(x)d (x),
@D
donde S(x, t) es una matriz simétrica cuyas componentes se denotan por
ij (x, t). Si el esfuerzo es normal a la superficie hablamos de esfuerzo tensil
y si tiende a separar capas paralelas muy próximas a la normal el esfuerzo se
llama cortante o de cizalladura. La presión está asociada a una matriz escalar
(múltiplo de la identidad)
ij (x, t)
=
p(x, t)
125
ij ,
S(x, t)n =
p(x, t)n.
Las fuerzas viscosas tienen su origen en variaciones espaciales de velocidad
en el fluido. Se trata de fuerzas disipativas cuya magnitud está dirigida en
sentido contrario a las variaciones de velocidad. Puede demostrarse que si el
fluido es isótropo, tensor de esfuerzos puede expresarse en la forma
⇣ @v
⌘
@vj
2
i
p(x, t) ij + µ
(x, t) +
(x, t)
div v(x, t) ij
ij (x, t) =
@xj
@xi
n
+ µB div v(x, t)
ij ,
es decir
S(x, t) =
⇣
p(x, t) + µB
⌘
⇣ @v(x, t) @v(x, t) T ⌘
2
µ div v(x, t) In + µ
+
.
n
@x
@x
Por tanto, el esfuerzo correspondiente a una superficie de prueba con dirección
normal n puede expresarse en la forma
⇣
⌘
2
S(x, t)n =
p(x, t)+ µB
div v(x, t) n+µ(Dn v(x, t)+grad(v(x, t)n)).
n
El coeficiente µ se llama coeficiente de viscosidad y corresponde a esfuerzos cortantes que aparecen en el fluido debido a variaciones de velocidad
@v/@x. El coeficiente µB se llama coeficiente de viscosidad de volumen y
representa una fuerza que se opone a la expansión o contracción. Aplicando
el teorema de la divergencia, estas contribuciones se traducen en la incorporación en la j-esima ecuación de Euler de dos términos adicionales de densidad
de fuerza interna debida a la viscosidad
⇣
⌘
⇣ @v
⌘
2
Sej =
p + µB
µ div v ej + µ
+ grad vj ,
n
@xj
@p
2 @ div v
@ div v
j
div Se =
+ µB
µ
+µ
+ div grad vj ,
@xj
n
@xj
@xj
luego el término de densidad de fuerzas internas es
grad p + µB +
n
2
n
µ grad div v + µ v,
126
de donde obtenemos
⇢(x, t)[vt (x, t) + Dv v(x, t)] = f (x, t)
+ µB +
n
grad p(x, t) + µ v(x, t)
2
µ grad(div v(x, t)).
n
(10.7)
Las ecuaciones (10.6) y (10.7) gobiernan la dinámica de los fluidos y reciben
el nombre de ecuaciones de Navier-Stokes.
En el caso de tener un fluido incompresible, es decir, con densidad constante ⇢(x, t) = ⇢, las ecuaciones de Navier-Stokes se simplifican notablemente
div v(x, t) = 0,
vt (x, t)+Dv v(x, t) = ⇢
1
f (x, t)
grad p(x, t) +⌫ v(x, t),
donde ⌫ := µ/⇢ es la llamada viscosidad cinemática.
Propagación del sonido
Nuestros oı́dos detectan perturbaciones en la presión del aire debido a variaciones en la densidad. Estas perturbaciones pueden ser descritas por las
ecuaciones de la dinámica de un gas. Para expresarlas debemos tener en cuenta algunas relaciones entre los campos de presión p, densidad ⇢ y velocidad
v.
Para simplificar el modelo, eliminemos el efecto de fuerzas externas como
la fuerza gravitatoria. Si el gas en el que se propaga el sonido no está sometido
a grandes presiones ni cambios de velocidad, podemos despreciar los efectos
viscosos
⇢t (x, t) = div(⇢(x, t)v(x, t)),
(10.8)
1
vt (x, t) + Dv v(x, t) =
grad p(x, t).
⇢(x, t)
La ley de Boyle–Mariotte afirma que la presión y la densidad de un gas
son directamente proporcionales cuando el gas se encuentra en un estado
termodinámico estable. La ecuación de estado
pV = nRT,
aplicada a volúmenes cada vez más pequeños en torno a un punto lleva a la
ecuación
n
RT
p(x, t) = RT lı́m
=
⇢(x, t),
V !0 V
m
127
R representa la constante de los gases ideales, T la temperatura absoluta
y m la masa molecular del gas. Suponiendo que todo el gas se encuentra
a temperatura constante durante la transmisión de ondas sonoras, podemos
escribir k = RT /m y formular la ley de Boyle-Mariotte en la forma
p(x, t) = k⇢(x, t).
(10.9)
Suponer que el gas se encuentra en equilibrio termodinámico es una
hipótesis incompatible con la existencia de ondas sonoras. El trabajo mecánico, correspondiente a variaciones de presión y de densidad, da lugar a cambios de la energı́a interna que se manifiestan en variaciones espaciales y temporales de la temperatura. La proporcionalidad entre la presión y la densidad
es una aproximación que no proporciona, en general, una buena estimación
de la velocidad de las ondas sonoras. Para tener en cuenta los efectos termodinámicos asociados a las ondas sonoras, se utilizan generalizaciones de la ley
de Boyle–Mariotte p = k⇢, llamadas leyes de estado que establecen relaciones entre diversas magnitudes locales que se utilizan para describir el estado
termodinámico de un sistema. En el siguiente modelo, se supone que puede
establecerse una relación entre presión y densidad
p = f (⇢),
(10.10)
obtenida al eliminar la temperatura entre diversas leyes de estado que ligan,
presión, densidad, temperatura y entropı́a y bajo hipótesis adicionales que
indican cómo se distribuye la energı́a interna del sistema.
Podemos eliminar la presión en (10.8) usando (10.10) para obtener
⇢t (x, t) =
div(⇢(x, t)v(x, t)),
vt (x, t) + Dv v(x, t) =
f 0 (⇢(x, t))
grad ⇢(x, t).
⇢(x, t)
Como primera aproximación podemos despreciar los términos no lineales debidos a variaciones espaciales de la velocidad Dv v. Cuando las perturbaciones son pequeñas puede simplificarse el modelo todavı́a más, linealizando las
ecuaciones resultantes
⇢t (x, t) =
⇢0 div(v(x, t)),
vt (x, t) =
128
f 0 (⇢0 )
grad ⇢(x, t).
⇢0
(10.11)
De (10.11) obtenemos
⇢tt =
@
( ⇢0 div v) =
@t
⇢0 div vt = f 0 (⇢0 ) div grad ⇢ = f 0 (⇢0 ) ⇢,
luego ⇢ verifica la ecuación de ondas
⇢tt = c2 ⇢,
c=
p
f 0 (⇢0 ).
sonoras en un fluido puede considerarse en primera aproximación como un
fenómeno de este tipo. La ley de estado de un proceso adiabático se puede
describir mediante la fórmula
⇣⇢⌘
p = p0
,
⇢0
donde
es una constante, llamada exponente adiabático, que depende de
ciertas condiciones termodinámicas del fluido. Para un gas ideal tenemos
Las componentes de la velocidad verifican la ecuación diferencial
@⇣
vtt =
@t
⌘
f (⇢0 )
grad ⇢ =
⇢0
0
0
f (⇢0 )
grad ⇢t = f 0 (⇢0 ) grad div v.
⇢0
@vi ⌘
@xj
Si no hay turbulencias, entonces @v/@x es una matriz simétrica (en tres variables esto se expresa mediante la ecuación rot v = 0) y tenemos
grad div v =
v.
Linealizando la relación (10.10),
p = f (⇢0 ) + f (⇢0 )(⇢
p
p0
=
k,
⇢0
Hemos deducido que que para pequeñas perturbaciones, el sonido detectado por el oı́do a través de las variaciones de presión del aire tiene aproximadamente las caracterı́sticas de un fenómeno ondulatorio. Para el aire en
condiciones normales de presión p0 = 101325 Pa. y temperatura 293.15 K se
tiene ⇢0 ⇡ 1.2041 Kg/m3 y ⇡ 7/5, lo que da lugar a la estimación de la
velocidad del sonido c ⇡ 343 m/s.
11. Estudio de las ondas unidimensionales
Se deduce que todas las componentes de la velocidad también verifican la
ecuación de ondas
p
vtt = c2 v, c = f 0 (⇢0 ).
0
r
donde k = RT /m es la constante que aparece en la formulación (10.9) de la
ley de Boyle-Mariotte.
Observemos que la componente i-esima de grad div v es
n
n
n
n
X
X
@ X @vj
@ 2 vj
@ 2 vj
@ X ⇣ @vj
=
=
+
@xi j=1 @xj
@xi @xj
@x2j
@xi j=1 @xi
j=1
j=1
c=
⇢0 ),
deducimos que en el caso de pequeñas variaciones de densidad,
la presión
p
también verifica la ecuación de ondas ptt = c2 p, con c = f 0 (⇢0 ).
Queremos resolver la ecuación
utt = c2 uxx ,
(11.1)
donde c es una constante positiva.
El problema de encontrar todas las soluciones de (11.1) definidas en R2 es
un problema lineal. Definiendo L : C 2 (R2 ) ! C(R2 ) el operador diferencial
lineal de segundo orden
L[u](x) := utt (x, t)
c2 uxx (x, t),
u 2 C 2 (R2 ),
(11.2)
Un proceso adiabático (o isentrópico) describe la evolución termodinámica de sistemas en los que hay variaciones conjuntas de presión, densidad
y temperatura que no corresponden a transferencia de calor, de modo que
se puede despreciar la difusión de la energı́a calorı́fica y no se detecta un
aumento significativo de la entropı́a del sistema. La propagación de ondas
vemos que la ecuación lineal homogénea puede escribirse en la forma L[u] = 0
y, por tanto, el conjunto de soluciones u 2 C 2 (R2 ) de (11.1) es el espacio
vectorial ker L.
129
130
Solución de D’Alembert
En primer lugar, observemos que todas las soluciones u 2 C 2 (R2 ) de la
ecuación del transporte
ut + cux = 0,
(11.3)
también son soluciones de la ecuación de ondas. En efecto, derivando con
respecto a t y con respecto a x en la ecuación anterior tenemos utt = cutx ,
utx = cuxx y, combinando ambas relaciones, vemos que
utt =
cutx = c2 uxx .
Teniendo en cuenta que las soluciones de clase C 2 (R2 ) de la ecuación (11.3)
son de la forma
u(x, t) = f (x ct), f 2 C 2 (R),
(11.4)
deducimos que (11.4) proporciona un conjunto de soluciones de (11.1).
cux = 0.
Demostración. Sea v := ut cux , entonces la ecuación (11.1) da lugar al
sistema de ecuaciones de primer orden
vt + cvx = 0,
c
(11.5)
v(x, t) = v(x0 , t0 ),
ut (x, t)
ct0 .
(x, t) 2 R2 ,
ct),
cux (x, t) = h(x
2cf 0 (x
ct),
g 2 C 2 (R),
(11.6)
ct) = h(x
de donde se deduce que h(x) =
función
luego (11.6) también proporciona un conjunto de soluciones de (11.1).
Teniendo en cuenta que el conjunto de soluciones ker L es un espacio
vectorial, vemos que la fórmula
f, g 2 C 2 (R),
(11.7)
proporciona un conjunto de soluciones de la ecuación de clase C 2 (R2 ). El
siguiente resultado demuestra que (11.7) es la solución general de la ecuación
(11.1).
131
ct = x0
donde h 2 C 1 (R). Sustituyendo la solución de vt +cvx en la segunda ecuación,
deducimos que para toda solución de la ecuación de ondas utt = c2 uxx de clase
C 2 , existe alguna función h tal que
Las soluciones de clase u 2 C 2 (R2 ) de la ecuación (11.5) son de la forma
ct) + g(x + ct),
x
(x, t) 2 R2 .
(11.8)
Busquemos una solución particular de la ecuación (11.8) de la forma f (x ct),
f 2 C 1 (R). Derivando obtenemos
utt = cutx = c2 uxx .
u(x, t) = f (x
cux = v.
Se deduce que
Vemos que toda solución C 2 (R2 ) de la ecuación (11.5) verifica las relaciones
utt = cutx , utx = cuxx , de donde se deduce
u(x, t) = g(x + ct),
ut
La primera ecuación es una ecuación del transporte homogénea y por tanto,
la solución permanece constante a lo largo de las lı́neas caracterı́sticas x =
x0 + c(t t0 ), es decir
v(x, t) = h(x
Consideremos ahora la ecuación del transporte con velocidad opuesta
ut
Teorema 11.1 (Solución de d’Alembert). Sea u 2 C 2 (R2 ) tal que utt =
c2 uxx con c > 0. Entonces existen f, g 2 C 2 (R) tales que u(x, t) = f (x
ct) + g(x + ct) para todo (x, t) 2 R2 .
Tomando
f (x) =
ct),
(x, t) 2 R2
2cf 0 (x), es decir, f es una primitiva de la
1
h.
2c
1
2c
Z
x
h(y)dy,
0
obtenemos una solución particular de la forma f (x ct) de (11.8). Por tanto,
vemos que existe una función f 2 C 2 (R) tal que la función w(x, t) = u(x, t)
f (x ct) es una solución de clase C 2 de la ecuación del transporte homogénea
wt
cwx = 0.
132
De nuevo la función w debe ser constante a lo largo de las lı́neas caracterı́sticas
x = x0 c(t t0 ), lo que conduce a la relación
2
2
f(x-t)
g(x+t)
u(x)
1.5
w(x, t) = w(x0 , t0 ),
x + ct = x0 + ct0 .
2
Por tanto, existe g 2 C (R) tal que w(x, t) = g(x + ct), de donde se obtiene
u(x, t) = f (x
ct) + g(x + ct),
(x, t) 2 R2 ,
para ciertas funciones f, g 2 C 2 (R).
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
Observación 11.2. El resultado anterior es válido para cualquier dominio
D ✓ R2 tal que, si (x0 , t0 ), (x1 , t1 ) 2 D son puntos del dominio tales que
|x1 x0 | = c|t1 t0 |, t1 6= t0 , entonces el segmento que une ambos puntos
del dominio está contenido en D. En particular, si D es un conjunto convexo
puede afirmarse que toda solución de la ecuación de ondas puede representarse en la forma (11.7). Esto garantiza además que cualquier solución de la
ecuación de ondas en un abierto arbitrario puede expresarse localmente en la
forma (11.7), ya que todo punto interior siempre admite un entorno convexo.
f(x-t)
g(x+t)
u(x)
1.5
-3
-2
-1
0
1
2
2
-1
3
-3
-2
-1
0
1
2
f(x-t)
g(x+t)
u(x)
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
2
3
f(x-t)
g(x+t)
u(x)
Descomposición de una onda
Del Teorema 11.1, se deduce que toda solución de la ecuación de ondas (11.7)
puede interpretarse como suma de dos pulsos viajeros
u(x, t) = u+ (x, t) + u (x, t),
u (x, t) = g(x + ct).
(11.8)
El primero u+ (x, t) = f (x ct) es una perturbación que se propaga con
velocidad c hacia la derecha y el segundo u (x, t) = g(x + ct) es una perturbación que se propaga con velocidad c hacia la izquierda. Observemos que la
descomposición anterior no es única, ya que tomando
u+ (x, t) = f (x
u+ (x, t) = f (x
ct) + a,
-1
-3
-2
-1
0
1
2
-1
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
Figura 18. Dos impulsos viajan en direcciones opuestas
ct),
u (x, t) = g(x + ct)
a,
con a una constante arbitraria también tenemos u = u+ + u , siendo u+
solución de (11.3) y u solución de (11.5).
donde ⇢ es la densidad de masa y T (x, t) la componente del esfuerzo de tensión
en la dirección transversal en el punto x y en el instante t. Si la única fuerza
sobre cada punto de la cuerda se debe a la tensión podemos escribir
T (x, t) = T0 ux (x, t),
(11.10)
s
(11.11)
y definiendo
c :=
T0
,
⇢
Para interpretar fı́sicamente la ecuación de ondas, tomaremos como modelo la cuerda vibrante, en la que la segunda ley de Newton puede escribirse
en la forma
@T
⇢utt (x, t) =
(x, t),
(11.9)
@x
se deduce que el desplazamiento transversal u(x, t) en una cuerda vibrante
verifica la ecuación de ondas (11.1).
133
134
Según el principio de acción y reacción las tensiones en los puntos interiores de un segmento de cuerda dan lugar a un conjunto de fuerzas internas
cuya resultante es nula. La fuerza transversal total que actúa sobre un trozo de segmento se obtiene integrando la densidad de fuerza en la dirección
transversal
@T
(x, t) = T0 uxx (x, t),
(11.12)
@x
sobre el volumen de cuerda en el que actúa
Z x1
Z x1
@T
S
(x, t)dx = T0 S
uxx (x, t)dx = T0 S(ux (x1 , t) ux (x0 , t))
x0 @x
x0
= S(T (x1 , t)
T (x0 , t)),
siendo S el área de la sección de la cuerda. La fórmula anterior confirma el
hecho de que las únicas fuerzas netas que actúan sobre un segmento de cuerda
son las tensiones que ejerce el resto de la cuerda en ambos extremos.
Sea v(x, t) := ut (x, t) la velocidad transversal de los puntos de la cuerda.
Veamos que la velocidad puede descomponerse de forma única como suma de
dos velocidades que corresponden a cada uno de los impulsos viajeros. Sean
@u+
v+ (x, t) =
(x, t),
@t
@u
@u+
@u
(x, t) =
(x, t) +
(x, t) = v+ (x, t) + v (x, t),
@t
@t
@t
@u+
c
(x, t),
@x
@u
@u
v (x, t) =
(x, t) = c
(x, t)
@t
@x
v (x, t) =
cux (x, t),
Combinando (11.13) y (11.14), se deduce que v+ y v
rectamente de la solución de la ecuación de ondas
cux (x, t)
,
2
ut (x, t) + cux (x, t)
v (x, t) =
.
2
v+ (x, t) =
ut (x, t)
135
1
(ut (x, t)
2c
(11.14)
pueden obtenerse di-
g 0 (x + ct) =
cux (x, t)),
1
(ut (x, t) + cux (x, t))
2c
y, tomando t = 0, podemos determinar f 0 y g 0 en terminos de los valores
iniciales
f 0 (x) =
1
(ut (x, 0)
c
g 0 (x) =
cux (x, 0)),
1
(ut (x, 0) + cux (x, 0)).
c
Esto demuestra que las funciones f y g están determinadas salvo una constante.
La fórmula (11.14) muestra que el esfuerzo tensil es proporcional a la
diferencia de las velocidades transversales correspondientes a ambos pulsos
T0
(v+ (x, t)
c
v (x, t)).
Definiendo la impedancia de la cuerda
Z :=
podemos escribir
De donde se deduce que
v+ (x, t)
ct) =
(11.13)
Como u+ y u son soluciones de las ecuaciones (11.3) y (11.5) respectivamente, tenemos
@u+
v+ (x, t) =
(x, t) =
@t
f 0 (x
T (x, t) = T0 ux (x, t) =
@u
v (x, t) =
(x, t)
@t
siendo u+ , u funciones correspondientes a una descomposición (11.8). Entonces tenemos
v(x, t) =
La fórmula anterior puede expresarse en términos de las funciones f y g de la
fórmula (11.8)
T (x, t) =
p
T0 ⇢ =
T0
= c⇢,
c
Z(v+ (x, t)
(11.15)
v (x, t)).
(11.16)
La fórmula (11.16) puede interpretarse de la siguiente manera: el esfuerzo
de tensión transmite a ambos lados de la cuerda dos impulsos que viajan
en direcciones opuestas. Además la diferencia de velocidades transversales
de ambos impulsos es proporcional al valor de la componente transversal de
la tensión en ese punto. La constante de proporcionalidad Z depende de la
densidad de la cuerda ⇢ y del estado de tensión de la cuerda T0 . La fórmula
(11.16) permite expresar la descomposición de velocidades en términos de la
impedancia y de la fuerza de tensión
cux (x, t)
1
= (v(x, t) Z
2
2
ut (x, t) + cux (x, t)
1
v (x, t) =
= (v(x, t) + Z
2
2
v+ (x, t) =
ut (x, t)
136
1
T (x, t)),
1
T (x, t)).
Una magnitud fı́sica relevante es el momento lineal. El momento lineal
de un segmento de cuerda correspondiente a un intervalo I = [x0 , x1 ] es
P[x0 ,x1 ] (t) = S
Z
x!x0
Recordemos que la energı́a cinética de una partı́cula es
x1
K=
⇢ut (x, t)dx.
x0
Definimos la densidad de momento como
p(x, t) := lı́m
Energı́a de una onda
P[x0 ,x] (t)
= ⇢ut (x, t) = ⇢v(x, t).
S(x x0 )
(11.17)
Observemos que la densidad de momento tiene una descomposición similar a
la de la velocidad
Para un segmento de cuerda I = [x0 , x1 ] la contribución a la energı́a cinética
es
Z x1
Z
⇢
S⇢ x1
K[x0 ,x1 ] (t) = S
v(x, t)2 dx =
ut (x, t)2 dx.
2
2
x0
x0
La energı́a potencial puede definirse como el trabajo que hay que realizar
para llevar la cuerda desde la posición actual (x) a la posición de equilibrio
0
W !0 = W0! .
Obtendremos la energı́a potencial correspondiente a un segmento de cuerda
I = [x0 , x1 ]. Para calcularla hay que elegir un camino de funciones
p(x, t) = p+ (x, t) + p (x, t),
con
p+ (x, t)
p (x, t) = ⇢(v+ (x, t)
=
v (x, t)) =
⇢cux (x, t) =
⇢
T (x, t).
Z
⇢c
T (x, t)
T0
T (x, t) = T+ (x, t) + T (x, t)
T+ (x, t)
⇣ @u (x, t) @u (x, t) ⌘
+
@x
@x
T0
(v+ (x, t) + v (x, t)) =
c
de modo que
0
= 0,
1
s
Z
v(x, t).
⇢
2 C 2 (I),
= . Una elección particular del camino es
= s (x),
x 2 [x0 , x1 ],
s 2 [0, 1].
Se supone que desplazamos la cuerda lenta y progresivamente (el parámetro s es independiente del tiempo) para que las velocidades y aceleraciones
no afecten al cálculo del trabajo).
Consideremos un desplazamiento suficientemente pequeño s ! s+ s
en un pequeño trozo de cuerda [x, x + x], entonces el trabajo de las fuerzas
para llevar la cuerda desde s hasta la posición s+ s será aproximadamente
W = F̄
T (x, t) = T0
=
s 2 [0, 1] !
s (x)
Análogamente, la componente transversal del esfuerzo tensil admite una
descomposición
con
1
mv 2 .
2
¯(s)
donde F̄ es la fuerza media que actúa sobre el segmento y ¯(s) es el desplazamiento medio. Supondremos que la fuerza sólo depende de la posición
actual y del punto en el que se aplica.
Integrando las contribuciones del trabajo en todos los trozos de cuerda y
sobre el desplazamiento, obtenemos la expresión del trabajo
Z 1 Z x1
@ s
W0! := S
f [ s ](x)
(x)dxds,
@s
0
x0
137
138
donde f [ s ](x) es la densidad de la fuerza en el punto x cuando la cuerda
adopta la posición s y S es la sección de la cuerda.
Esto permite dar una fórmula simple del trabajo
Si la fuerza depende linealmente de la posición entonces el trabajo realizado para llevar la cuerda desde la posición de equilibrio a otra posición es
la mitad del valor medio del producto de la fuerza en la posición de llegada
por el desplazamiento. En efecto, como la fuerza no depende del camino elegido, podemos utilizar s = s , s 2 [0, 1], para calcular la energı́a potencial.
Entonces podemos escribir escribir
Z 1 Z x1
Z
S x1
W0! = S
sf [ ](x) (x)dxds =
f [ ](x) (x)dx.
2 x0
0
x0
W0! = ST0
Z
1
0
@ s
@ s
(x1 )
(x1 )ds ST0
@x
@s
En el caso de la cuerda vibrante la densidad de fuerza debida a la tensión
@2
f [ ](x) = T0 2 (x),
@x
luego
W0! = ST0
Z
1
0
Z
x1
x0
@2 s
@ s
(x)
(x)dxds,
@x2
@s
Aunque esta integral depende del camino elegido, obtenemos integrando por
partes
Z 1
Z 1 Z x1
x1
@ s
@ s
@ s
@2 s
W0! = ST0
(x)
(x)ds
ST0
(x)
(x)dxds.
@s
@x
@s@x
x0
0 @x
0
x0
La integral del segundo término del segundo miembro no depende del camino
Z 1 Z x1
Z
Z
@ s @2 s
1 x 1 1 @ ⇣ @ s ⌘2
(x)dxds =
(x)dsdx
@x @s@x
2 x0 0 @s @x
0
x0
Z
⌘2
1 x1 ⇣ @
=
(x) dx.
2 x0 @x
Definimos la energı́a potencial como
U[x0 ,x1 ] [ ] := S
T0
2
Z
139
x1
x0
⇣@
@x
(x)
⌘2
dx
1
0
@ s
@ s
(x0 )
(x0 )ds U[x0 ,x1 ] [ ]
@x
@s
El término
ST0
Z
1
0
@ s
@ s
(x1 )
(x1 )ds
@x
@s
ST0
Z
1
@ s
@ s
(x0 )
(x0 )ds
@x
@s
0
corresponde al trabajo realizado por las fuerzas de tensión
Si el trabajo es independiente del camino elegido, se puede definir una
energı́a potencial.
es
Z
ST0
@
s (x1 )
,
@x
ST0
@
s (x0 )
,
@x
en cada uno de los extremos de la cuerda. Este trabajo será nulo si, por ejemplo, los extremos de la cuerda se mantienen fijos en la posición de equilibrio.
La energı́a total de una cuerda vibrante en el segmento [x0 , x1 ] es la suma
de las energı́as cinética y potencial
E[x0 ,x1 ] (t) =
S⇢
2
Z
x1
ut (x, t)2 dx +
x0
ST0
2
Z
x1
ux (x, t)2 dx.
(11.18)
x0
La energı́a total puede considerarse como una integral a lo largo del dominio
de la densidad de energı́a,
e(x, t) = lı́m
x!x0
E[x0 ,x] (t)
⇢
= (ut (x, t)2 + c2 ux (x, t)2 ).
S(x x0 )
2
(11.19)
Veamos que la energı́a total de una onda permanece constante si las
fuerzas de tensión en los extremos no realizan trabajo. Derivando respecto a
t tenemos
Z
d
S⇢ d x1
E[x0 ,x1 ] (t) =
(ut (x, t)2 + c2 ux (x, t)2 )dx
dt
2 dt x0
Z x1
= S⇢
(ut (x, t)utt (x, t) + c2 ux (x, t)uxt (x, t))dx,
x0
140
teniendo en cuenta que utt = c2 uxx , la integral se puede expresar en la forma
Z x1
d
E[x0 ,x1 ] (t) = S⇢c2
(ut (x, t)uxx (x, t) + ux (x, t)uxt (x, t))dx
dt
x0
Z x1
@
= ST0
(ut (x, t)ux (x, t))dx
@x
x0
= ST0 (ut (x1 , t)ux (x1 , t)
ut (x0 , t)ux (x0 , t)),
ut (x0 , t)ux (x0 , t)) = F (x1 , t)v(x1 , t)
F (x0 , t)v(x0 , t)
es la potencia transmitida en los extremos de la cuerda. Si en los extremos
de la cuerda no se transmite potencia (por ejemplo, si están fijos o si la pendiente en los extremos de la cuerda se mantiene nula) entonces se conserva la
energı́a total de la cuerda vibrante. Observemos que si integramos la potencia
transmitida por los extremos de la cuerda, obtendremos el trabajo realizado
por la fuerzas de tensión en los extremos x0 , x1
W = ST0
Z
t1
(ut (x1 , t)ux (x1 , t)
también verifican la misma ecuación.
Las magnitudes fı́sicas asociadas que se transmiten de acuerdo con la
ecuación (11.1) vienen dadas por parejas. Teniendo en cuenta que p(x, t) =
⇢ut (x, t) y que T (x, t) = T0 ux (x, t), podemos deducir que
pt (x, t) = ⇢utt (x, t) = ⇢c2 uxx (x, t) = T0 uxx (x, t) = Tx (x, t),
Tt (x, t) = T0 uxt (x, t) = ⇢c2 uxt (x, t) = c2 px (x, t).
de donde se deduce que el esfuerzo de tensión y el momento también verifican
la ecuación de ondas. De la misma manera, las funciones cuadráticas densidad
de energı́a e intensidad verifican
ut (x0 , t)ux (x0 , t))dt.
t0
La potencia transmitida en un punto
P (x, t) = ST0 ut (x, t)ux (x, t) = ST (x, t)ut (x, t)
Sabemos que el desplazamiento verifica la ecuación de ondas (11.1). También la fuerza y el momento varı́an con el espacio y el tiempo y constituyen
fenómenos ondulatorios. En efecto, derivando la ecuación (11.1) respecto las
variables x, t, deducimos que
@ i+j u
(x, t)
@xi @tj
La expresión
ST0 (ut (x1 , t)ux (x1 , t)
Fenómenos ondulatorios asociados
(11.20)
admite la interpretación fı́sica siguiente: si dividiéramos la cuerda en dos
partes, serı́a necesario suministrar potencia en ese extremo para que cada
parte de la cuerda se comporte como si no se hubiera roto. El trabajo realizado
sobre cada trozo es el mismo y de signo contrario.
et = ⇢(ut utt + c2 ux uxt ) = ⇢c2 (ut uxx + ux uxt ) = T0 (ut uxx + ux uxt ) = Ix ,
It = T0 (utt ux + ut utx ) = ⇢c2 (ut uxt + c2 ux uxx ) = c2 ex .
Se deduce que la propagación de una onda lleva asociada la propagación de
fuerzas, momentos, energı́as y potencias.
Una magnitud relacionada con la potencia transmitida es la intensidad
de una onda. Se define la intensidad de una onda I(x, t) como el cociente
entre la potencia de la onda entre el área sobre la que actúa
I(x, t) =
P (x, t)
= T0 ux (x, t)ut (x, t) = T (x, t)ut (x, t).
S
De la definición se deduce que la intensidad tiene dimensiones de esfuerzo por
velocidad.
141
142
12. El problema de valor inicial para la ecuación de
ondas
En la mayoria de los problemas procedentes de la fı́sica, la ecuación de ondas
tiene sentido sólo en un dominio acotado y es necesario proporcionar condiciones de contorno para obtener soluciones razonables. Eliminaremos las
condiciones de contorno, resolviendo un problema de valor inicial en toda la
recta real. La considereación de una onda en un dominio ilimitado es una
idealización válida para estudiar ondas durante intervalos de tiempo suficientemente breves, siempre que analicemos el comportamiento de la solución en
puntos suficientemente alejados de la frontera y, para ello, el dominio debe
ser suficientemente extenso. Si queremos estudiar el comportamiento global,
especialmente cerca de la frontera o tener encuenta periodos de tiempo largos,
es necesario anallizar problemas de contorno, que se abordarán en la sección
siguiente.
Es bien conocido que la posición y la velocidad inicial de una partı́cula
sujeta a la acción de un campo de fuerzas determinan el movimiento de dicha
partı́cula. Es posible describir una propiedad análoga para los fenómenos
ondulatorios, estudiando cómo condiciones de posición y velocidad inicial,
determinan la evolución de una onda.
Un problema de Cauchy (o problema de valor inicial) para la ecuación
de ondas en la recta es
utt (x, t) = c2 uxx (x, t),
u(x, 0) = (x),
ut (x, 0) = (x),
2 C 2 (R),
(12.1)
2 C 1 (R).
c( f 0 (x) + g 0 (x)) = ut (x, 0) = (x),
f (x) + g(x) = u(x, 0) = (x),
es decir f, g son soluciones del sistema de ecuaciones
f 0 + g0 = .
f +g = ,
Como f y g son de clase C 2 , las funciones y deben ser necesariamente
de clase C 1 . Las funciones f y g no están unı́vocamente determinadas pero
sı́ sus derivadas. Derivando la primera relación tenemos
f 0 + g0 =
0
f0 + g = c
,
1
,
de donde se obtienen las derivadas f 0 y g 0
f0 =
1
(
2
0
c
1
),
g0 =
1
(
2
0
+c
1
).
Si integramos ambas ecuaciones entre 0 y x obtenemos
Z x
1
1
f (x) f (0) = ( (x)
(0))
(y)dy,
2
2c 0
Z x
1
1
g(x) g(0) = ( (x)
(0)) +
(y)dy
2
2c 0
Luego
El problema de valor inicial (12.1) fue introducido por Euler para el estudio
de la ecuación de ondas y discutió la validez de la solución para condiciones
iniciales , con menores condiciones de suavidad.
Teorema 12.1 (Fórmula de d’Alembert). El problema de valor inicial
(12.1) tiene una única solución que viene dada por la fórmula
Z x+ct
1
1
u(x, t) =
(x + ct) + (x ct) +
(y)dy.
(12.2)
2
2c x ct
2
Demostración. Por el Teorema 11.1, existen funciones f, g 2 C (R) tales
que
u(x, t) = f (x ct) + g(x + ct).
143
Imponiendo las condiciones iniciales tenemos
f (x
1
ct) = f (0) + ( (x
2
ct)
1
g(x + ct) = g(0) + ( (x + ct)
2
(0)) +
(0)) +
1
2c
1
2c
Z
Z
0
(y)dy,
x ct
x+ct
(y)dy,
0
y sumando ambas ecuaciones tenemos
u(x, t) = f (0) + g(0)
(0) +
1
2
(x + ct) + (x
ct) +
1
2c
Z
x+ct
(y)dy,
x ct
y teniendo en cuenta que f (0) + g(0) = u(0, 0) = (0), se deduce (12.2).
144
Ejemplo 12.2. Taylor dedujo las ecuaciones de la oscilación de una cuerda
e impuso la condición de que la posición inicial de la cuerda era la posición
de equilibrio y que todos los puntos de la cuerda regresan simultáneamente al
eje de abscisas. Deduzcamos cómo deben ser las soluciones del problema de
Taylor. Con la primera condición tenemos
u(x, 0) = (x) = 0,
8x 2 R,
luego la solución es de la forma
u(x, t) =
Z
Z
(x) = an cos(kn x),
la solución adopta la forma
u(x, t) = an !n 1 cos(kn x) sen(!n t).
También son soluciones del problema de Taylor cualquier combinación lineal
de las soluciones anteriores
N
X
x+ct
(y)dy.
x ct
n=1
La segunda condición implica que
u(x, T ) =
que es la solución obtenida por Taylor. Si partimos de una condición incial
x+cT
(y)dy = 0,
x cT
8x 2 R
cT ) = (x + cT ),
n⇡t ⇣
n⇡x
n⇡x ⌘
An cos
+ Bn sen
.
T
cT
cT
Bernoulli prestó atención a las soluciones trigonométricas de la ecuación
de ondas obteniendo además de las soluciones de Taylor A cos(kx) sen(!t),
B sen(kx) sen(!t), con ! = kc, otras soluciones de carácter trigonométrico.
Tomando condiciones iniciales
(x) = B sen(kx),
Derivando con respecto a x obtenemos
(x
sen
x 2 R,
obtenemos
u(x, t) = B sen(kx) cos(!t),
de donde se deduce que es una función periódica de periodo 2cT tal que la
integral de sobre todo intervalo de longitud 2cT es nula.
Y si tomamos
Un tipo simple de función periódica de periodo 2cT con integral nula en
segmentos de longitud 2cT son las funciones trigonométricas de periodo 2cT
del tipo
n⇡
kn =
n (x) = bn sen(kn x),
cT
obtenemos
con n un cierto número entero positivo. Si aplicamos la fórmula (12.2) obtenemos
(x) = 0,
(x) = A cos(kx),
! = kc.
(x) = 0,
u(x, t) = a cos(kx) cos(!t),
! = kc.
Ejemplo 12.3 (la cuerda pulsada). Con dos dedos de una mano se mantiene fija la cuerda, con la otra mano se tensa la cuerda y después soltamos.
Se trata de averiguar la forma de las ondas.
(0,b)
bn
u(x, t) =
(cos(kn (x
2kn c
ct))
sen(kn ct)
cos(kn (x + ct))) = bn sen(kn x)
,
kn c
y llamando !n := kn c = n⇡/T tenemos
1
(-a,0)
(a,0)
u(x, t) = bn !n sen(kn x) sen(!n t),
Figura 19. La cuerda pulsada
145
146
La forma del pulso inicial es
Finalmente cuando ct
(x) = bN (x/a),
donde N es la llamada función sombrero
N (x) = máx(0, 1
|x|) =
n
1
0
|x|
Teniendo en cuenta que la velocidad inicial es
a tenemos
8
0,
>
>
>
b
>
(1 + x+ct
>
a ),
>
> 2b
>
< 2 (1 x+ct
a ),
u(x, t) = 0,
>
>
b(1 + x act ),
>
>
>
b
>
>
(1 x act ),
>
:2
0,
si |x|  1,
en otro caso.
(x) = 0, se deduce de (12.2)
si
si
si
si
si
si
si
x  ct a,
ct a  x  ct,
ct  x  ct + a,
ct + a  x  ct a,
ct a  x  ct,
ct  x  ct + a,
x  ct + a.
La Figura 20 muestra la propagación de la pulsación.
u(x, t) =
1
( (x
2
ct) + (x + ct)) =
b
N ((x
2
ct)/a) + N ((x + ct)/a) .
Observemos que para cada t fijo u(·, t) es una función que está soportada en
el conjunto
x 2 [ct a, ct + a] [ [ ct a, ct + a].
La expresión varı́a dependiendo de la posición relativa de los puntos
ct + a, ct a y ct en la recta. Por ejemplo si 0  ct  a/2, tenemos
8 0,
>
> b (1 + x+ct ),
>
>
2
a
>
>
x
>
< b(1 + a ),
ct
u(x, t) = b(1 a ),
>
>
b(1 xa ),
>
>
>
b
x ct
>
>
: 2 (1
a ),
0,
si
si
si
si
si
si
si
x  ct a,
ct a  x  ct a,
ct a  x  ct,
ct  x  ct,
ct  x  ct + a,
ct + a  x  ct + a,
x  ct + a.
Ejemplo 12.4 (el golpe de martillo). En el piano, un martillo proporciona
un impulso instantáneo a una cuerda inicialmente en la posición de equilibrio
(x) = 0.
ct,
Figura 21. Un golpe de martillo
Como primera aproximación podemos suponer que impulso proporcionado se distribuye uniformemente en el intervalo [ a, a]
(x) = 1[
En el caso en que a/2  ct  a tenemos
8
0,
>
>
>
b
>
(1 + x+ct
>
a ),
>
> 2b
>
< 2 (1 x+ct
a ),
),
u(x, t) = b(1 ct
a
>
>
b(1 + x act ),
>
>
>
b
>
>
(1 x act ),
>
:2
0,
si
si
si
si
si
si
si
147
x  ct a,
ct a  x  ct,
ct  x  ct a,
ct a  x  ct + a,
ct + a  x  ct,
ct  x  ct + a,
x  ct + a.
⇢
1,
0,
a,a] (y)dy
=
a,a] (x) =
si |x|  a,
en otro caso.
La solución es este caso es
u(x, t) =
1
2c
Z
x+ct
1[
x ct
1
2c
Z
dy,
[ a,a]\[x ct,x+ct]
Luego
u(x, t) =
1
m([ a, a] \ [x
2c
148
ct, x + ct]),
t=0.00
2
2
f(x-t)
f(x+t)
u(x)
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
f(x-t)
f(x+t)
u(x)
t=0.50
u(x)
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
-3
-2
-1
0
1
2
0
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
u(x)
2
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
t=1.00
2
2
f(x-t)
f(x+t)
u(x)
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
f(x-t)
f(x+t)
u(x)
-3
-2
-1
0
1
2
0
3
-3
-2
-1
0
1
2
2
f(x-t)
f(x+t)
u(x)
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
f(x-t)
f(x+t)
u(x)
1.5
1
1
0.5
0.5
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
-3
-2
-1
0
1
2
0
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
Figura 20. Propagación de una pulsación
1
2
3
u(x)
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
Figura 22. Extensión del efecto de un impulso
donde m denota la medida de Lebesgue (longitud) de un subconjunto medible
de R.
149
0
t=2.50
u(x)
2
0
0
3
u(x)
t=2.00
2
2
2
1.5
3
1
t=1.50
u(x)
2
0
0
0
150
1
2
3
Si 0  ct  a, tenemos
8
0,
>
>
>
< x + ct + a,
u(x, t) = 2ct,
>
>
>
: x + ct + a,
0,
y, si ct
respectivamente. Entonces tenemos
Sean u := u2
a, entonces
8
0,
>
>
>
< x + ct + a,
u(x, t) = 2a,
>
>
>
: x + ct + a,
0,
si x  ct a,
si ct a  x  ct + a,
si ct + a  x  ct a,
si ct a  x  ct + a,
si x  ct + a.
u1 ,
La fórmula de D’Alembert proporciona una dependencia explı́cita de las
condiciones iniciales. Un examen rápido permite deducir que la ecuación de
ondas es un problema bien planteado, ya que ligeras modificaciones en las
condiciones iniciales dan lugar a pequeñas modificaciones de la solución.
:=
2
2
utt = c uxx ,
1
y
:=
1,
2
u(x, 0) = (x),
entonces tenemos
ut (x, 0) = (x).
Aplicando el Teorema 12.1, debe verificarse la fórmula de d’Alembert
(12.2), que se traduce en los siguientes términos
1
2 (x + ct)
2
Z x+ct
1
+
( 2 (y)
2c x ct
u2 (x, t)
u1 (x, t) =
Observamos que el impulso inicial crece hasta tomar un tamaño y se expande
en ambas direcciones.
Dependencia de las condiciones iniciales
La posibilidad de hacer experimentos y deducir conclusiones sobre ellos depende de que se puedan realizar y repetir. Para ello, hace falta que ante una
serie de condiciones se produzca un fenómeno (existencia), que ese fenómeno
sólo dependa de una serie de variables reproducibles en laboratorio (unicidad)
y que podamos repetirlos. Como es práctiamente imposible reunir condiciones
idénticas, la posibilidad de repetir experimentos implica que bajo condiciones
similares se obtengan resultados similares (continuidad respecto a los datos).
Informalmente podemos decir que un problema bien planteado consiste
en una ecuación (en derivadas parciales) junto con una serie de condiciones
auxiliares (iniciales o de contorno) de manera que tengamos existencia de
solución, unicidad y estabilidad. La estabilidad quiere decir que la única
solución debe depender de modo continuo y estable de los datos del problema.
Si los datos cambian poco, la solución también lo hará.
2
@ 2 u2 (x, t)
2 @ u2 (x, t)
=
c
,
@t2
@x2
u2 (x, 0) = 2 (x),
@u2
(x, 0) = 2 (x).
@t
2
@ 2 u1 (x, t)
2 @ u1 (x, t)
=
c
,
@t2
@x2
u1 (x, 0) = 1 (x),
@u1
(x, 0) = 1 (x),
@t
si x  ct a,
si ct a  x  ct a,
si ct a  x  ct + a,
si ct + a  x  ct + a,
si x  ct + a.
1 (x
+ ct) +
2 (x
ct)
1 (x
ct)
1 (y))dy.
Observamos que si 1 = 2 y 1 = 2 entonces u2 u1 = u = 0, lo que
puede interpretarse como un resultado de unicidad de solución.
2
Analicemos la estabilidad de la solución del problema. Si las diferencias
1 y 2
1 son funciones acotadas, tenemos
|u2 (x, t)
u1 (x, t)|  k
1 k1
2
+k
2
1 k1 |t|,
donde
k
2
1 k1
:= sup |
y2R
2 (y)
1 (y)|,
k
1 k1
2
:= sup |
y2R
2 (y)
1 (y)|.
Por tanto
sup
(x,t)2R⇥[ T,T ]
|u2 (x, t)
u1 (x, t)|  k
2
1 k1
+k
2
1 k1 T.
Analicemos esta cuestión con más detalle. Sean u1 , u2 soluciones de
la ecuación de ondas correspondientes a condiciones iniciales 1 , 1 y 2 , 2
Si 2 y 2 convergen uniformemente a 1 y 1 , respectivamente, entonces
la solución u2 (x, t) converge a la solución u1 (x, t), uniformemente sobre toda
banda R ⇥ [ T, T ]. Luego la solución de la ecuación de ondas depende, en
cierto sentido, continuamente de las condiciones iniciales y el problema de
valor inicial para la ecuación de ondas en toda la recta es un problema bien
planteado.
151
152
(x0-ct,t)
Causalidad
En los ejemplos anteriores hemos visto que el efecto de la posición inicial es
un par de ondas gemelas cuya amplitud es la mitad de la inicial y que viajan
cada una en direcciones opuestas y con velocidad c. El efecto de la velocidad
inicial es el de una perturbación que se extiende con velocidad  c en ambas
direcciones. Estos ejemplos parecen indicar que ninguna parte de la onda
“viaja” a velocidad mayor que c.
Para ilustrar la influencia de las condiciones iniciales y su velocidad de
propagación, consideremos perturbaciones de soporte compacto. Supongamos
que modificamos la condición inicial sólo en un compacto K 6= ; y veamos
dónde se modifica la solución. Sea U := R \ K el complementario de dicho
compacto, que es un conjunto abierto en el que y son nulas. Si [x ct, x +
ct] ⇢ U entonces
(x + ct) = (x
ct) =
Z
x+ct
(y)dy = 0.
8(x, t) 2 R ⇥ [0, +1),
[x
ct, x + ct] ⇢ R \ K,
Es decir, o bien u(x, t) = 0 o bien existe x0 2 K tal que |x
donde se deduce que
supp u(·, t) ✓
luego
[
x0 2K
supp u \ (R ⇥ [0, +1)) ✓
[
[x0
x0 2K
ct, x0 + ct],
{(x, t) | |x
C
(x0 ,0)
Figura 23. Dominio de influencia
llegar a modificar el valor de la solución en los puntos del conjunto {(x, t) |
|x x0 |  ct, t 0}.
Definamos el cono de influencia
C(x0 ,0) := {(x, t) | |x
x0 |  ct,
t
0},
entonces la fórmula
x ct
De la fórmula de D’Alembert (12.2), se deduce que u(x, t) = 0. Luego podemos afirmar que
u(x, t) = 0,
(x0+ct,t)
t
t
0.
x0 |  ct, de
0.
x0 |  ct,
supp u \ (R ⇥ [0, +1)) ✓
0}.
Por tanto si las condiciones iniciales de una ecuación de ondas tienen
soporte compacto, entonces para cada t 0, supp u(·, t) es un conjunto compacto. En particular, si , son nulas para |x| > R, entonces u(x, t) es nula
en |x| > R + ct.
C(x0 ,0)
x0 2supp [supp
indica que el valor de la solución de un problema de valor inicial en un punto
(x, t) 2 C(x0 ,0) depende de las condiciones iniciales en el punto (x0 , 0).
El cono de influencia, puede definirse para condiciones iniciales dadas en
cualquier instante t0 ,
C(x0 ,t0 ) := {(x, t) | |x
t
[
x0 |  c(t
t0 ),
t
t0 }
y puede interpretarse como el conjunto de sucesos futuros que pueden alcanzarse desde (x0 , t0 ) con una velocidad menor o igual que c.
La historia anterior puede llegar a influir sobre un suceso. Definimos el
cono de dependencia
D(x0 ,t0 ) := {(x, t) | |x
x0 |  c(t0
t), t  t0 }.
Si tomamos compactos K cada vez más pequeños que contengan a un
punto x0 , deducimos que toda perturbación “concentrada” en un punto puede
El cono de dependencia D(x0 ,t0 ) está formado por aquellos puntos (x, t) tales
que su cono de influencia C(x,t) contiene al punto (x0 , t0 ). Por tanto, el cono
153
154
(x0 ,t0 )
Si derivamos en (12.2), obtenemos
(x0-ct0,0)
(x0+ct0,0)
Figura 24. Dominio de dependencia
de influencia es el conjunto de sucesos pasados desde los que se puede llegar
al suceso (x0 , t0 ) viajando con una velocidad menor o igual que c.
Si un suceso anterior no tiene influencia, no puede considerarse como parte de la historia de un fenómeno. Si un suceso posterior no se encuentra en
el dominio de dependencia, tampoco puede considerarse causado por él. Una
de las consecuencias de la Teorı́a de la Relatividad Especial es que ninguna
señal puede transmitirse a una velocidad superior a la de las ondas luminosas.
Sólo los sucesos en el cono de influencia (resp., de dependencia) de un suceso
pueden considerarse propiamente sucesos futuros (resp., pasados). Aquellos
sucesos fuera del cono de dependencia y del de influencia de las ondas luminosas de un suceso dado pueden considerarse simultáneos, ya que puede
encontrarse un cambio de variables (transformación de Lorentz) que preserve
la ecuación de las ondas luminosas de modo que los sucesos compartan la
misma coordenada temporal.
Método de la energı́a y unicidad de solución
Vamos a utilizar la energı́a asociada a una onda para demostrar la unicidad
de solución. Por ello, limitaremos nuestro estudio al conjunto de soluciones
cuya integral de la energı́a
E[u](t) :=
1
2
Z
+1
(ut (x, t)2 + c2 ux (x, t)2 )dx
1
es finita para cada valor de t 2 R, lo que equivale a afirmar que las funciones
ut (·, t), ux (·, t) 2 L2 (R), para todo t 2 R. Con este objetivo, definimos el
espacio Observemos que para que la solución del PVI (12.1) tenga energı́a
finita es necesario que 0 (x) y (x) sean funciones de C 1 (R) \ L2 (R). Esta
condición es también suficiente para que la solución dada por la fórmula de
d’Alembert (12.2) se encuentre en el espacio de soluciones con energı́a finita.
155
c 0
( (x + ct)
2
1
ux (x, t) = ( 0 (x + ct) +
2
ut (x, t) =
D
0
(x
0
(x
1
ct)) + ( (x + ct) + (x ct)),
2
1
ct)) + ( (x + ct)
(x ct)),
2c
que para cada t fijo son una combinación lineal de las funciones 0 (· ± ct),
(· ± ct), todas en el espacio C 1 (R) \ L2 (R). Por tanto, u es una solución
con energı́a finita.
Las condiciones de integrabilidad que permiten definir una energı́a finita
asociada a la solución, implican un cierto comportamiento de la solución en
el infinito. Para discutir este problema necesitaremos el siguiente Lema.
Lema 12.5. Sea f 2 C 1 (R) tal que f 0 2 L1 (R). Entonces f es una función
acotada y uniformemente continua. Además existen los lı́mites
lı́m f (x),
lı́m f (x)
x! 1
x!+1
y son finitos. Si f 2 Lp (R), 1 < p < +1, entonces
lı́m
|x|!+1
f (x) = 0.
Demostración. Como f 0 2 L1 (R) tenemos
|f (x1 )
f (x0 )| 
Z
x1
x0
|f 0 (x)|dx  kf 0 k1 .
Lo cual muestra que f es una función acotada con
sup |f (x)|  M := |f (x0 )| + kf 0 k1 .
x2R
De la integrabilidad de f 0 deducimos
lı́m
R!+1
Z
R
R
|f 0 (x)|dx = kf 0 k1 ,
156
de donde obtenemos
Estudiemos la evolución a lo largo del tiempo de la integral de la energı́a
lı́m
R!+1
Por tanto, si x0 , x1
Z
{x2R:|x|>R}
|f 0 (x)|dx = 0.
R,
|f (x1 )
f (x0 )| 
Z
x1
x0
|f 0 (x)|dx 
Z
+1
R
x0 ,x1 !+1
f (x1 )
|f 0 (x)|dx,
d
E[v](t) =
dt
= c2
f (x0 ) = 0.
Por el criterio de Cauchy, debe existir L = lı́mx!+1 f (x) < +1.
Si L 6= 0, entonces existe R > 0 tal que
luego
Z
|L|
,
2
|f (x)|p
Z
+1
R
8x > R,
2R
R
p
|f (x)|
|L|
R.
2p
+1
p
R
|f (x)| = 1,
luego f 2
/ Lp (R). Análogamente puede comprobarse que existe lı́mx! 1 f (x)
y es finito, lo cual demuestra que f 2 C 1 (R) es una función uniformemente continua. Finalmente, si lı́mx! 1 f (x) 6= 0 entonces se muestra
análogamente que f 2
/ Lp (R).
Veamos ahora cómo puede usarse la conservación de la energı́a para demostrar la unicidad de solución. Si u1 es otra solución del PVI (12.1) de
energı́a finita, entonces v = u u1 2 U y verifica
2
vtt = c vxx ,
v(x, 0) = vt (x, 0) = 0, x 2 R.
157
Z
+1
(vt (x, t)2 + c2 vx (x, t)2 )dx.
1
1
(vt (x, t)vtt (x, t) + c2 vx (x, t)vxt (x, t))dx
1
Z
Z
1
1
1
1
(vt (x, t)vxx (x, t) + vx (x, t)vxt (x, t))dx
@
(vt (x, t)vx (x, t))dx,
@x
t 2 [0, T ].
Una condición suficiente para que el cálculo anterior sea válido es que las
funciones vx (·, t), vt (·, t), vxx (·, t), vxt (·, t), vtt (·, t) puedan dominarse uniformemente por alguna función de cuadrado integrable, es decir
y haciendo tender R ! +1 deducimos que
Z
Z
= c2
|f (x)| >
1
2
Inicialmente tenemos E[v](0) = 0. Para poder derivar bajo el signo integral,
es necesario que la función v verifique algunas hipótesis adicionales
y haciendo tender R ! +1, se deduce que
lı́m
E[v](t) =
sup |vx (·, t)|, sup |vt (·, t)| 2 L2 (R),
t2[0,T ]
t2[0,T ]
sup |vxx (·, t)|, sup |vxt (·, t)|, sup |vtt (·, t)| 2 L2 (R).
t2[0,T ]
t2[0,T ]
t2[0,T ]
La integrabilidad de todos términos, puede deducirse de la desigualdad de
Cauchy-Schwarz. Bajo las hipótesis anteriores deducimos que, para todo t 2
[0, T ], la función x 2 R 7! vt (x, t)vx (x, t) es integrable, y su derivada respecto
a x también es integrable. Aplicando el Lema 12.5 a esta función obtenemos
Z
1
1
@
(vt (x, t)vx (x, t))dx =
@x
= lı́m vt (x, t)vx (x, t)
x!+1
lı́m vt (x, t)vx (x, t) = 0.
x! 1
Como la integral de la energı́a permanece constante, tenemos
Z
+1
(vt (x, t)2 + c2 vx (x, t)2 )dx = 0,
1
158
t 2 [0, T ],
de donde se deduce
vt (x, t) = vx (x, t) = 0.
luego v(x, t) es una función constante. Teniendo en cuenta la condición inicial
v(x, 0) = 0, obtenemos v(x, t) = 0 para todo (x, t) 2 R ⇥ [0, T ]. Tomando T
arbitrariamente grande se deduce la unicidad.
El método de la energı́a puede utilizarse no sólo para demostrar la unicidad sino también la estabilidad de las soluciones de energı́a finita de la ecuación de ondas. Este método resulta muy apropiado para analizar problemas
de contorno en intervalos acotados ya que las condiciones de integrabilidad se
simplifican considerablemente.
13. Problemas de contorno para la ecuación de ondas
En el caso en que el dominio en que estudiemos la ecuación de ondas sea
un segmento o una semirrecta aparecen además de las condiciones iniciales
condiciones en la frontera del dominio llamadas condiciones de contorno.
Problemas de contorno
En cada problema fı́sico hay un dominio en el que es válida la ecuación en
derivadas parciales. Por ejemplo, en la cuerda vibrante, el dominio natural es
[0, l], donde l es la longitud de la cuerda, en el caso de la membrana vibrante
el dominio D será bidimensional y en el estudio de vibraciones en un medio
sólido, consideraremos dominios tridimensionales.
Hay varios tipos de condiciones de contorno. Las más comunes son las
condiciones de Dirichlet, que especifican el valor de la solución en la frontera
u(x) , x 2 @D. La condición de Neumann consiste en prescribir el valor de
la derivada según la dirección normal exterior sobre los puntos de la frontera Dn u(x) = grad u(x)n(x), x 2 @D. Un tercer tipo mixto el la llamada
condición de Robin que consiste en especificar cuna combinación de ambas
Dn u(x) + au(x), x 2 @D.
Para especificar una condición de contorno es preciso usar funciones que
sólo estén definidas en la frontera @D del dominio D. Por ejemplo, en el
problema de la ecuación de ondas, podemos escribir condiciones de contorno
de los tipos siguientes
u(x, t) = g(x, t),
Dn u(x, t) = g(x, t),
x 2 @D, t 2 [0, T ], (Condición de Dirichlet)
Figura 25. Condiciones de Dirichlet, Neumann y Robin
en todos los casos g es una función definida sólo en el contorno lateral @D ⇥
[0, T ] de la region prismática D ⇥ [0, T ].
En problemas unidimensionales, los problemas de contorno son problemas con condiciones en un punto (origen de la semirrecta) o en dos puntos
(extremos del intervalo). Las condiciones de contorno admiten interpretaciones fı́sicas en cada modelo. En el caso de la cuerda vibrante, las condiciones
de Dirichlet homogéneas significan que la cuerda vibrante está fijada en ambos extremos (por ejemplo la cuerda de una guitarra). Las condiciones de
Neumann en un extremo significan que se permite a la cuerda movimiento
transversal sin resistencia a través de una guı́a. Las condiciones de Robin,
se interpretan de modo similar, se permite que la cuerda se mueva transversalemente sobre una guı́a pero atada a un muelle con fuerza recuperadora
proporcional a la distancia.
x 2 @D, t 2 [0, T ], (Condición de Neumann)
Dn u(x, t) + au(x, t) = g(x, t), x 2 @D, t 2 [0, T ],
159
(Condición de Robin)
160
Reflexión en la semirrecta
Cuando un pulso llega a un extremo fijo de una cuerda vibrante se refleja.
Para estudiar la reflexión de un pulso planteamos el problema de Dirichlet
utt = c2 uxx ,
x
u(x, 0) = (x),
u(0, t) = 0,
donde
0,
Resolvamos el problema de Dirichlet
ut (x, 0) = (x),
x
0,
(13.1)
2 C 1 [0, +1),
(0) = 0.
u(0, t) = 0,
donde
0
(x)
utt = c2 uxx ,
si x 2 ( 1, 0],
si x 2 [0, +1),
x
u(x, 0) = (x),
Para comprender el fenómeno de reflexión, compararemos la solución del
problema de Dirichlet (13.1) con la de un problema de valor inicial en la recta
completa
ũtt = c2 ũxx ,
(13.2)
ũ(x, 0) = ˜(x), ũt (x, 0) = ˜(x),
⇢
Por lo tanto, tendremos un comportamiento diferente de las soluciones
de los problemas (13.1) y (13.2).
t 2 R,
2 C 2 [0, +1), (0) = 0 y
˜(x) =
energı́a que deberı́a transmitirse hacia la izquierda (fenómeno de reflexión
total).
˜(x) =
⇢
0
(x)
si x 2 ( 1, 0],
si x 2 [0, +1).
Para que ˜ 2 C 2 (R), ˜ 2 C 1 (R), es necesario imponer las hipótesis
adicionales
(0) = 0 (0) = 00 (0) = 0,
(0) = 0 (0) = 0.
lo que implica que ˜(x) = c ˜0 (x) y, en particular,
(13.3)
(x) = c 0 (x).
El problema (13.2) corresponde al caso en que no hay ningún obstáculo,
por lo que la señal puede transportar energı́a y potencia desde la semirrecta
positiva hacia la semirrecta negativa.
Para el problema (13.1), la condición de Dirichlet implica que la potencia
transmitida en el origen de la semirrecta es 0. Como la energı́a debe conservarse, al llegar la perturbación al origen, tiene que devolver a la cuerda toda
161
x
0,
(13.4)
t 2 R,
con 2 C 2 [0, +1), (0) = 0 (0) = 00 (0) = 0, en la semirrecta. Sabemos que
la solución general de la ecuación de ondas utt = c2 uxx
u(x, t) = f (x
ct) + g(x + ct),
x
0,
t 2 R.
(13.5)
con f, g 2 C 2 (R), es válida para expresar todas las soluciones en el dominio considerado [0, +1) ⇥ R. Observemos que las condiciones iniciales no
determinan completamente la solución. Imponiendo las condiciones iniciales
f (x) + g(x) = (x),
f 0 (x) + g 0 (x) =
0
x
0,
(x),
x
0.
Como las funciones f y g están determinadas salvo una constante aditiva,
podemos imponer la condición adicional f (0) = 0, de donde se deduce que
Para simplificar nuestro estudio supongamos que la onda (13.2) es una
señal que se transporta hacia la izquierda, en el sentido de que ũ(x, t) verifica
la ecuación del transporte ũt (x, t) cũx (x, t) = 0, es decir,
ũ(x, t) = ˜(x + ct),
0,
ut (x, 0) = c 0 (x),
f (x) = 0,
x
g(x) = (x),
0,
x
0.
Las funciones f y g sólo están determinadas en la semirrecta positiva. Para
expresar la solución (13.5) necesitamos conocerlas en toda la recta. La condición de contorno nos permitirá deducir el valor de f y g en la semirrecta
negativa. Imponiendo la condición de Dirichlet obtenemos
f ( ct) + g(ct) = 0,
Tomando t
0, x =
8t 2 R,
ct deducimos que
f (x) =
g( x) =
162
( x),
x  0,
y considerando t  0, x = ct,
g(x) =
x  0,
f ( x) = 0,
Por tanto las funciones f y g quedan completamente determinadas
⇢
⇢
0,
si x  0,
( x), si x  0,
f (x) =
g(x) =
(x), si x 0.
0,
si x 0,
a :=
⇢
a
0
ũ(x, 0) = (x+ )
si a  0,
si a 0,
podemos escribir
(x ),
g(x) = (x+ ),
y la solución puede expresarse en la forma
u(x, t) = f (x
ct) + g(x + ct) = ((x + ct)+ )
((ct
x)+ ).
La solución adopta formas distintas según el valor de x.
Si x
c|t|, entonces x + ct, x
La solución del problema de Dirichlet (13.4) puede considerarse como la
restricción a la semirrecta de un problema de valor inicial en toda la recta
ũtt = c2 ũxx ,
Introduciendo la notación
⇢
0 si a  0,
a+ :=
a si a 0,
f (x) =
En este caso estamos retrocediendo en el tiempo y puesto que la onda inicialmente sólo se transportaba hacia la izquierda, el pulso inicial aparece trasladado hacia la derecha. Al disminuir t, el pulso inicial se aleja del origen cada
vez más y aparece un intervalo [0, ct], cada vez más amplio, en el que la
solución es nula.
ct
0y
(ct
x > 0,
u(x, 0) = (x),
u(0, t) = 0,
ut (x, 0) = (x),
x > 0,
(13.7)
t 2 R,
utilizaremos el método de las reflexiones. Se considera un problema de valor
inicial asociado (13.2), donde las funciones ˜ 2 C 2 (R), ˜ 2 C 1 (R), son
extensiones de las condiciones iniciales (13.7) a toda la recta real, es decir
x).
El tiempo es positivo, y durante este perı́odo parte de la onda se ha reflejado,
la solución que percibimos es una suma de la onda incidente y de la onda
reflejada, es decir, las señales incidente y reflejada interfieren.
163
(13.6)
Problema de Dirichlet en la semirrecta
utt = c2 uxx ,
Si 0  x  ct obtenemos
u(x, t) = 0.
(x )),
Para estudiar el problema de Dirichlet
obteniendo la misma solución que la solución (13.3) de (13.2). Esto quiere
decir que estamos situados demasiado lejos del origen para notar el efecto
de la condición de Dirichlet, es decir, la perturbación reflejada no ha tenido
tiempo de llegar.
Un tercer caso interesante es 0 < x <
0
suma de dos perturbaciones u(x, t) = i(x, t) + r(x, t) inicialmente separadas.
Por un lado, tenemos la onda incidente i(x, t) := ((x + ct)+ ) con valor inicial
i(x, 0) = (x+ ), it (x, t) = c 0 (x+ ) en la semirrecta positiva que se transporta
hacia la izquierda. Por otro lado la onda reflejada r(x, t) :=
((ct x)+ ) es
una onda gemela que inicialmente que está soportada en la semirrecta negativa
r(x, 0) =
(x ), rt (x, t) = c 0 (x ), de amplitud opuesta que interferirá con
la onda incidente para t 0.
u(x, t) = (x + ct)
u(x, t) = (x + ct)
ũt (x, 0) = c( 0 (x+ ) +
(x ),
˜|(0,+1) = ,
˜|(0,+1) = .
Las condiciones de Dirichlet implican (0) =
de D’Alembert proporciona la solución
ct, la solución correspondiente es
ũ(x, t) =
1 ˜
(x + ct) + ˜(x
2
ct) +
164
00
1
2c
(0) =
Z
x+ct
x ct
(0) = 0. La fórmula
˜(y)dy.
(13.8)
Imponiendo la condición de Dirichlet en (13.8) obtenemos
3
3
2+u(x)
f(x+t)
-f(t-x)
2.5
2.5
2
2
1.5
2+u(x)
f(x+t)
-f(t-x)
0 = ũ(0, t) =
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
Tomando t > 0, x :=
0=
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1
2
1 ˜
1
(ct) + ˜( ct) +
2
2c
Z
+ct
˜(y)dy.
ct
ct, obtenemos
1⇣
( x) + ˜(x) +
2c
Z
x
(y)dy +
0
Z
0
x
⌘
˜(y)dy .
Tomando t < 0, x := ct, obtenemos
3
3
2+u(x)
f(x+t)
-f(t-x)
2.5
2.5
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
2+u(x)
f(x+t)
-f(t-x)
0=
˜(x) + ( x) = 0,
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3
3
2+u(x)
f(x+t)
-f(t-x)
2.5
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
2+u(x)
f(x+t)
-f(t-x)
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
(y)dy +
0
Z
0
x
⌘
˜(y)dy .
0
0.5
1
1.5
Figura 26. Reflexión total en la semirrecta
2
2.5
3
Z
x
(y)dy +
0
Z
0
˜(y)dy = 0,
x
8x < 0,
de donde se deduce el valor de las extensiones en la zona negativa
˜(x) =
2.5
Z
Combinando ambas ecuaciones se deduce que
-0.5
-1
1⇣
2c
1 ˜
(x) + ( x)
2
( x),
˜(x) =
( x),
x < 0.
Por tanto, el problema de Dirichlet (13.7) tiene una única solución que corresponde a un problema de valor inicial (13.2), con condiciones iniciales formadas
por las extensiones impares de las funciones y ,
8
8
( x), si x < 0,
( x), si x < 0,
<
<
˜(x) = 0,
si x = 0,
(x) = 0,
si x = 0,
(13.9)
:
:
(x),
si x > 0,
(x),
si x > 0.
Observemos que la solución ũ dada por (13.8) también debe ser impar,
ũ(x, t) + ũ( x, t) = 0.
(13.10)
En efecto, si llamamos ṽ(x, t) := ũ(x, t) + ũ( x, t), entonces por (13.9)
ṽ(x, 0) = ˜(x) + ˜( x) = 0,
165
vt (x, 0) = ˜(x) + ˜( x) = 0,
166
a toda la recta real. Las condiciones de Neumann implican 0 (0) = 0 (0) = 0.
Imponiendo la condición de Neumann en la fórmula de D’Alembert (13.8)
obtenemos
luego v(x, t) debe ser solución del problema de valor inicial
ṽtt = c2 ṽxx
ṽ(x, 0) = ṽt (x, 0) = 0,
de donde se deduce que v(x, t) = 0, lo que demuestra (13.10).
Teniendo en cuenta que ˜(y) = 1[0,+1) (y) (y) + 1( 1,0) (y) ( y), se
deduce que
Z x+ct
Z x+ct
Z x ct
˜(y)dy =
1[0,+1) (y) (y)dy +
1[0,+1) (y) (y)dy
x ct
x ct
x+ct
Una vez sustituidas las funciones (13.9) en la fórmula de D’Alembert (13.8)
obtenemos
⌘
1⇣
u(x, t) =
(x + ct)+ + (x ct)+
( x ct)+
(ct x)+
2
✓ Z x+ct
◆
Z x ct
1
+
1[0,+1) (y)dy +
1[0,+1) (y)dy .
2c
x ct
x+ct
Una discusión detallada de los casos posibles da lugar a las
siones explı́citas de la solución
81
R x+ct
1
>
< 2 (x + ct) + (x ct) + 2c Rx ct (y)dy,
ct+x
1
u(x, t) = 12 (ct + x)
(ct x) + 2c
(y)dy,
ct x
>
R ct+x
:
1
1
(x ct)
( x ct)
(y)dy,
2
2c
ct x
siguientes expre-
u(x, 0) = (x),
ux (0, t) = 0,
0 < x < ct,
0<x<
ct.
(13.11)
0,
ut (x, 0) = (x),
x > 0,
(13.12)
t 2 R,
es muy similar al problema de Dirichlet. Se considera un problema de valor inicial asociado (13.2), donde las funciones ˜ 2 C 2 (R), ˜ 2 C 1 (R) son
extensiones de las condiciones iniciales (13.7)
˜(x) = (x),
˜(x) = (x),
167
0=
1
2
1 ˜0
1
(ct) + ˜0 ( ct) + ( ˜(ct)
2
2c
˜(ct))dy.
ct, obtenemos
0
1
( x) + ˜0 (x) + ( ( y)
2c
˜(y)).
Tomando t < 0, x := ct, obtenemos
0=
1
2
˜0 (x) +
0
( x) +
1 ˜
( (y)
2c
Combinando ambas ecuaciones se deduce que
Z x
Z
˜0 (x) + 0 ( x) = 0,
(y)dy +
0
0
( y)).
˜(y)dy = 0,
x
8x < 0,
de donde se deduce el valor de las extensiones en la zona negativa
0
( x),
˜(x) =
( x),
x < 0.
si x > c|t|,
El análisis del problema de Neumann en la semirrecta
x
Tomando t > 0, x :=
˜0 (x) =
Problema de Neumann en la semirrecta
utt = c2 uxx ,
0 = ũ(0, t) =
Por tanto, el problema de Neumann (13.12) tiene una única solución que
corresponde a un problema de valor inicial (13.2), con condiciones iniciales
formadas por las extensiones pares de las funciones y ,
⇢
⇢
( x), si x  0,
( x), si x  0,
˜(x) =
(x) =
(x),
si x 0,
(x),
si x 0,
Una vez sustituidas las funciones anteriores en
(13.8) obtenemos
81
R x+ct
1
(x + ct) + (x ct) + 2c
>
2
x ct
>
>
>
> 12 (ct + x) + (ct x)
<
R x+ct
R ct x
1
u(x, t) =
+ 2c
(y)dy + 0
0
>
>
1
>
(x ct)
( x ct)
>
>
R x ct
R x ct
:2
1
(y)dy + 0
2c
0
168
la fórmula de D’Alembert
(y)dy,
si x > c|t|
(y)dy ,
si 0 < x < ct,
(y)dy ,
si 0 < x <
ct.
(13.14)
Ondas en un intervalo
La descripción de la transmisión de fenómenos ondulatorios en dominios
acotados es un problema natural de la fı́sica cuyo análisis matemático conduce
al estudio de series de funciones.
(3,0)
Si tenemos una cuerda (de guitarra) con los extremos fijos, la solución
corresponde al problema de Dirichlet sobre el segmento [0, l]
utt = c2 uxx ,
ut (x, 0) = (x),
u(0, t) = u(l, t) = 0,
t 2 R,
x 2 [0, l],
⇢
(2kl x)
(x 2kl),
(1,1)
si x 2 [(2k 1)l, 2kl], k 2 Z,
si x 2 [2kl, (2k + 1)l], k 2 Z,
Podemos expresar las extensiones periódicas impares mediante las series
X
˜(x) =
(x 2kl)1[2kl,(2k+1)l] (x)
(2kl x)1[(2k 1)l,2kl] (x) ,
k2Z
˜(x) =
X
(x
2kl)1[2kl,(2k+1)l] (x)
(2kl
x)1[(2k
1)l,2kl] (x)
.
k2Z
Es difı́cil dar una fórmula explı́cita de la solución ya que está compuesta de
contribuciones de términos diferentes. El número de sumandos que contribuye
aumenta en la proporcion c|t|/2l y la expresión completa da lugar a una serie.
La Figura 27 representa gráficamente las regiones con fórmulas diferentes. Los
números entre paréntesis indican el número de reflexiones en la frontera que
hay que tener en cuenta para calcular el valor de la solución en esa zona.
La dificultad de expresar la solución es similar cuando se tienen otras
condiciones de contorno como las de Neumann o Robin.
La existencia de solución y su cálculo puede realizarse en caso con técnicas
de separación de variables y series de Fourier. La expresiones de las soluciones
169
(0,2)
(13.15)
Las ondas se reflejaran en cada extremo una y otra vez acumulando los efectos.
El método de reflexión al tener dos espejos paralelos da lugar a extensiones
de y impares definida por periodicidad ˜(x + 2l) = ˜(x), ˜(x + 2l) = ˜(x)
⇢
(2kl x) si x 2 [(2k 1)l, 2kl], k 2 Z,
˜(x) =
(x 2kl),
si x 2 [2kl, (2k + 1)l], k 2 Z,
˜(x) =
(2,2)
(2,0)
x 2 [0, l],
u(x, 0) = (x),
(0,3)
(1,0)
(0,1)
(0,0)
Figura 27. Número de reflexiones en los extremos
obtenidas mediante estas técnicas permiten extraer más información acerca de
las soluciones. Por un lado, las propiedades de las soluciones pueden deducirse
más fácilmente que con otras técnicas. Por otro lado, el método permite
obtener aproximaciones muy precisas de las soluciones exactas.
Para deducir la unicidad de solución, el método de la energı́a es especialmente adecuado. Recordemos que la integral de la energı́a viene dada
por
Z
1 l
E[u](t) =
(ut (x, t)2 + c2 ux (x, t)2 )dx
2 0
Proposición 13.1. El problema de Dirichlet (13.15) admite a lo sumo una
solución.
Demostración. Sean u1 , u2 dos soluciones del problema de Dirichlet (13.15),
entonces v = u2 u1 2 U y verifica
vtt = c2 vxx ,
v(x, 0) = vt (x, 0) = 0,
v(0, t) = v(l, t) = 0,
170
x 2 [0, l],
t 2 R.
14. Principio del máximo en difusión
Derivando bajo el signo integral
d
E[v](t) =
dt
Z
Considérese la ecuación de la difusión
l
(vt (x, t)vtt (t, x) + c2 vx (x, t)vxt (x, t))dx
0
= c2
= c2
Z
Z
ut = k u,
l
(vt (x, t)vxx (t, x) + vx (x, t)vxt (x, t))dx
0
@
(vt (x, t)vx (x, t))dx = vt (l, t)vx (l, t)
@x
vt (0, t)vx (0, t).
De la condición de contorno de Dirichlet, se obtiene por derivación
vt (0, t) = vt (l, t) = 0,
luego dE[v](t)/dt = 0 y la integral de la energı́a permanece constante. Por
tanto, E[v](t) = E[v](0) = 0 y tenemos que
Z
l
(vt (x, t)2 + c2 vx (x, t)2 )dx = 0,
t 2 R,
x 2 [0, l],
t 2 R.
0
t > 0,
(14.1)
n
0
l
x 2 ⌦,
en un dominio abierto acotado ⌦ ✓ R . El problema de Dirichlet para
¯⇥
la ecuación de la difusión consiste en determinar las soluciones u 2 C(⌦
[0, T ]) \ C 2 (⌦ ⇥ (0, T )) que verifican la condición inicial
u(x, 0) = (x),
8x 2 ⌦,
(14.2)
con 2 C(⌦) y cuyos valores en la frontera verifican la condición de contorno
de Dirichlet
u(x, t) = g(x, t), x 2 @⌦, t 2 [0, T ],
(14.3)
donde g(x, t) es una cierta función continua definida en la superficie lateral
@⌦ ⇥ [0, T ]. Recordemos que la continuidad en un dominio no necesariamente
abierto significa que la función admite una extensión continua a un conjunto
abierto que contiene al dominio.
T
de donde se deduce
vt (x, t) = vx (x, t) = 0,
luego v(x, t) es una función constante. Teniendo en cuenta la condición inicial
v(x, 0) = 0, obtenemos v(x, t) = 0 para todo (x, t) 2 [0, l]⇥R. Ası́ que u1 = u2
y la solución debe ser única.
Si en lugar de condicion de Dirichlet tenemos la condición de Neumann,
entonces v = u2 u1 verifica vx (0, t) = vx (l, t) y teniendo en cuenta que
vt (l, t)vx (l, t)
vt (0, t)vx (0, t) = 0
podemos demostrar que la energı́a se mantiene constantemente nula, deduciéndose también la unicidad.
171
DT
0
Ω
Figura 28. Problema de Dirichlet para la ecuación del calor
¯ ⇥ [0, T ]) \ C 2 (⌦ ⇥ (0, T )), es
Para la existencia de solución u 2 C(⌦
necesaria una condición de compatibilidad entre las condiciones iniciales (14.2)
y de contorno (14.3): la extensión de a la frontera con los valores g(x, 0)
¯ continua,
sea una función ˜ 2 C(⌦)
⇢
(x),
si x 2 ⌦,
˜(x) :=
g(x, 0), si x 2 @⌦.
172
La condición inicial (14.2) está impuesta sobre la base ⌦ ⇥ {0} de la
¯ ⇥ [0, T ], mientras que la condición de contorno de
región prismática DT := ⌦
Dirichlet (14.3) se impone sobre la superficie lateral @⌦ ⇥ [0, T ]. Ası́ que las
condiciones, iniciales o de contorno, se imponen sobre
T
:= ⌦ ⇥ {0} [ @⌦ ⇥ [0, T ]
(14.4)
obtenida al unir la base y la superficie lateral de la región prismática DT . Para
evitar la discusión de la compatibilidad entre las condiciones (14.2) y (14.3)
podemos reemplazar estas condiciones por una única condición que reune a
ambas e incorpora la compatibilidad
u(x, t) = g̃(x, t),
donde g̃ 2 C(
contiene a T .
T ),
(x, t) 2
T,
(14.5)
es decir, g̃ admite extensión continua a un abierto que
Observación. A menudo es necesario analizar problemas en los que no se
verifica esta condición de compatibilidad por lo que buscaremos soluciones
discontinuas, lo que lleva a un problema de Dirichlet en el que la condición
inicial se reemplaza por otra condición más general.
lı́m+ u(x, t) = (x),
t!0
8x 2 ⌦.
Una hipótesis importante en este contexto es que ⌦ sea un conjunto acota¯ ⇥ [0, T ] es compacta.
do, de donde se deduce que la región prismática DT = ⌦
El Teorema de Weierstrass, permite asegurar la existencia de puntos en los
que se alcanza el valor máximo de cualquer función en C(DT ). El principio
del máximo, permite localizar el valor máximo de una función continua que
verifica la ecuación (14.1) y puede utilizarse como una herramienta básica en
el análisis del problema de Dirichlet (14.1), (14.2), (14.3).
y que este valor máximo no se alcanza sobre
M :=
máx u(x, t) = u(x0 , t0 ),
(x,t)2DT
173
es decir
m := máx u(x, t) < M.
(x,t)2
T
Entonces existe algún punto (x1 , t1 ) 2 ⌦ ⇥ (0, T ) en el interior de DT para el
que se verifican las relaciones
ut (x1 , t1 )
u(x1 , t1 )  0.
0,
Demostración. Si en en interior hay un máximo relativo (x1 , t1 ), debe
verificarse
@u
(x1 , t1 ) = 0,
@(x, t)
y la matriz Hessiana
@2u
(x1 , t1 )
@(x, t)2
debe ser semidefinida negativa. En particular tenemos
@u 1
(x , t1 ) = 0,
@t
u(x1 , t1 ) =
n
X
@2u
i=1
@x2i
(x1 , t1 )  0.
En caso contrario, si en el interior no hay máximos relativos, el valor
máximo sobre el compacto DT debe alcanzarse en un punto (x0 , t0 ) de la
tapa superior de la región prismática, es decir, (x0 , t0 ) 2 ⌦ ⇥ {T }, luego
t0 = T . Sea
m := máx u(x, t) < M,
(x,t)2
T
De la continuidad de u, se deduce que para " < (M
que si kx x0 k  y t 2 [T
, T ], entonces
M
Lema 14.1. Sea el abierto acotado ⌦, la región prismática compacta DT :=
¯ ⇥ [0, T ] y sea T dada por (14.4). Supongamos que la función u 2 C(DT ) \
⌦
C 2 (⌦ ⇥ (0, T )) alcanza su valor máximo en un punto (x0 , t0 ) 2 DT \ T
T,
m)/2 existe
> 0 tal
"  u(x, t)  M.
Fijemos un T 0 2 [T
, T ). Sabemos que la función continua u debe alcanzar
¯ ⇥ [0, T 0 ] además
su valor máximo en un punto (x1 , t1 ) del compacto DT 0 = ⌦
u(x1 , t1 ) =
máx
(x,t)2DT 0
u(x, t)
M
174
" > m = máx u(x, t),
(x,t)2
T
de donde se deduce que (x1 , t1 ) 2 DT 0 \ T . Como es imposible que (x1 , t1 )
esté en el interior de DT 0 ⇢ DT , debe tenerse que t1 = T 0 .
Como v(x0 , t0 ) = M , podemos afirmar que
máx v(x, t)
Consideremos ahora la función parcial u(x1 , ·) : t 2 [0, T 0 ] ! R. Como u
alcanza su máximo en t1 = T 0 , se deduce que
ut (x1 , t1 )
Si (x, t) 2
0.
¯ ! R alcanza
Ahora tengamos en cuenta que la función parcial u(·, t1 ) : ⌦
su valor máximo en el punto interior x1 2 ⌦. Por la condición de máximo
relativo, deducimos que la matriz hessiana
M m 2
M +m
d =
< M,
2d2
2
ası́ que
vt (x1 , t1 )
Teorema 14.2 (Principio del máximo). Sea el abierto acotado ⌦, la re¯ ⇥ [0, T ], sea T dada por (14.4) y sea
gión prismática compacta DT := ⌦
u 2 C(DT ) \ C 2 (⌦ ⇥ (0, T )) tal que
8(x, t) 2 ⌦ ⇥ (0, T ),
T.
T
k v(x1 , t1 )
0.
máx u(x, t),
m := máx u(x, t).
(x,t)2DT
(x,t)2
T
Como T ✓ DT , siempre tendremos que m  M . Suponer que m < M
y sea (x0 , t0 ) 2 DT el punto en el que u alcanza su valor máximo, ası́ que
(x0 , t0 ) 2 DT \ T . Como ⌦ está acotado,
d := sup kx
x2⌦
0
x k2 < +1,
y podemos definir la función
v(x, t) := u(x, t) +
M
2d2
175
n
mX
i=1
(xi
x0i )2 .
(14.6)
Pero por otro lado tenemos
⇣@
⌘
k [v](x, t)
@t
⇣@
⌘
M m⇣ @
=
k [u](x, t) +
@t
2d2
@t
k
M m

( 2kn) < 0.
2d2
Demostración. Sea
M :=
v(x, t)  m +
Por tanto, la función v satisface las hipótesis del Lema 14.1, luego existe algún
punto (x1 , t1 ) en el interior de DT para el que
u(x1 , t1 )  0.
entonces u alcanza su valor máximo en
entonces tenemos que
(x,t)2
debe ser semidefinida negativa, luego
k u(x, t)  0,
T,
M.
máx v(x, t) < M.
@2u 1
(x , t1 )
@x2
ut (x, t)
(x,t)2DT
n
⌘h X
(xi
x0i )2
i=1
i
en cualquier punto (x, t) del interior de DT , lo que contradice (14.6).
De esta contradicción, se deduce que no puede ser cierto que m < M .
Por tanto, el valor máximo debe alcanzarse en T .
El principio del máximo puede generalizarse al caso de funciones que no
estén definidas sobre el contorno T . Esto es especialmente útil a la hora de
tratar problemas de Dirichlet con condiciones discontinuas.
¯ ⇥ [0, T ],
Teorema 14.3. Sea ⌦ un abierto acotado, DT = ⌦
(14.4). Sea u 2 C 2 (DT \ T ) tal que
ut (x, t)
k u(x, t)  0.
176
T
dada por
Entonces para todo compacto K ✓ DT \
sup
T,
u(x, t) =
(x,t)2DT \
tenemos
sup
Por el Teorema 14.3, w alcanza su valor máximo y su valor mı́nimo en
dada por (14.4), luego
u(x, t).
(x,t)2DT \( [K)
0=
Demostración. (Idea) Se puede adaptar la demostración del Lema 14.1 y
del Teorema 14.2, para deducir que u no puede alcanzar su valor máximo en
el conjunto DT \ . Por tanto, el supremo sup(x,t)2DT \ T es inaccesible y para
todo compacto K ✓ DT \ T , debe tenerse
sup u(x, t) <
sup
Del principio del máximo se deducen algunos resultados de interés
Teorema 14.4. Sea el abierto acotado ⌦, la región prismática compacta
¯ ⇥ [0, T ], sea T dada por (14.4) y sea u 2 C(DT ) \ C 2 (⌦ ⇥ (0, T ))
DT := ⌦
tal que
ut (x, t) = k u(x, t), 8(x, t) 2 ⌦ ⇥ (0, T ),
entonces u alcanza su valor máximo y su valor mı́nimo en
T.
Demostración. Basta con aplicar el principio del máximo a las funciones u
y u.
Teorema 14.5. Sea ⌦ un abierto acotado y sea la región prismática com¯ ⇥ [0, T ]. El problema de Dirichlet
pacta DT := ⌦
ut (x, t)
k u(x, t) = f (x, t),
u(x, 0) = (x),
u(x, t) = g(x, t),
x 2 ⌦,
x 2 @⌦,
t 2 [0, T ],
f 2 C(⌦ ⇥ (0, T )), 2 C(⌦), g 2 C(@⌦ ⇥ [0, T ]), tiene a lo sumo una solución
u 2 C(DT ) \ C 2 (⌦ ⇥ (0, T )).
Demostración. Si u1 , u2 son dos soluciones, entonces su diferencia w =
u2 u1 verifica
wt (x, t) = k v(x, t),
w(x, 0) = 0,
w(x, t) = 0,
x 2 ⌦,
x 2 @⌦,
177
t 2 [0, T ].
w(x, t)  w(x, t) 
máx w(x, t) = 0,
(x,t)2DT
de donde se deduce que w es idénticamente nula.
Dependencia de las condiciones iniciales
Recordemos que un problema bien planteado consiste en una ecuación (en
derivadas parciales) junto con una serie de condiciones auxiliares (iniciales o de
contorno) de manera que la solución existe, es única y depende continuamente
de los datos del problema.
u(x, t).
(x,t)2DT \
(x,t)2K
mı́n
(x,t)2DT
T
El principio del máximo equivale a decir que el problema de Dirichlet para
la ecuación de difusión está bien planteado para t > 0. El siguiente resultado
permite deducir la estabilidad de la solución del problema de Dirichlet respecto
a las condiciones iniciales y de contorno.
Teorema 14.5. Sea ⌦ un abierto acotado, sea la región prismática compacta
¯ ⇥ [0, T ] y T dado por (14.4). Sean u1 , u2 2 C(DT ) \ C 2 (⌦ ⇥ (0, T ))
DT := ⌦
soluciones de los problemas de Dirichlet
@u1
(x, t) k u1 (x, t) = f (x, t),
@t
u1 (x, t) = g̃1 (x, t), (x, t) 2 T ,
con f 2 C(⌦ ⇥ (0, T )), g̃1 , g̃2 2 C(
máx
(x,t)2DT 0
|u2 (x, t)
@u2
(x, t) k u2 (x, t) = f (x, t),
@t
u2 (x, t) = g̃2 (x, t), (x, t) 2 T ,
T ).
u1 (x, t)| 
Entonces para todo T 0 2 (0, T ]
máx |g̃2 (x, t)
(x,t)2
g̃1 (x, t)|.
T0
Demostración. Sea w(x, t) = u2 (x, t) u1 (x, t). Por el principio del máximo
tenemos
máx w(x, t) = máx (g̃2 (x, t) g̃1 (x, t))
(x,t)2DT 0
(x,t)2
T0
y análogamente para el mı́nimo
mı́n
(x,t)2DT 0
w(x, t) =
mı́n
(x,t)2
(g̃2 (x, t)
T0
178
g̃1 (x, t)),
de donde se deduce el resultado.
Para simplificar el enunciado del Teorema 14.5 hemos expresado las condiciones iniciales y de contorno en la forma (14.5). Si queremos expresar
las condiciones iniciales y de contorno independientemente mediante (14.2) y
(14.3), la estabilidad puede expresarse mediante la siguiente fórmula
máx |u2 (x, t) u1 (x, t)| 
¯
x2⌦
⇣
máx sup | 2 (x)
1 (x)|,
x2⌦
máx
(x,s)2@⌦⇥[0,t]
|g2 (x, s)
⌘
g1 (x, s)| ,
El problema de difusión para t < 0, llamado problema de antidifusión
equivale a un problema de difusión con constante k negativa. El problema de
antidifusión es un problema inestable. Precisamente los procesos de difusión
están involucrados en multitud de fenómenos irreversibles en el tiempo.
Asociado al proceso de difusión de una sustancia encontramos una integral
de una función cuadrática que juega un papel similar a la energı́a de una
onda. En la sección siguiente, relacionamos esta integral con la varianza de
la distribución de temperaturas.
Z
1
E[u](t) =
u(x, t)2 dx.
(14.7)
2 ⌦
Derivando la integral anterior respecto al tiempo, obtenemos
Z
Z
d
E[u](t) =
u(x, t)ut (x, t)dx =
u(x, t) u(x, t)dx.
dt
⌦
⌦
@⌦
(grad u(x, t))2 dx.
⌦
de donde se obtiene
Z
Z
u(x, t)Dn u(x, t)d (x)
@⌦
(grad u(x, t))2 dx.
⌦
Si en la frontera se verifican condiciones de Dirichlet homogéneas o de Neumann homogéneas podemos escribir
Z
u(x, t)Dn u(x, t)d (x) = 0
@⌦
y
d
E[u](t) =
dt
Z
⌦
(grad u(x, t))2 dx  0.
Esta observación nos permite deducir la unicidad de problemas de Dirichlet o de Neumann. Si u1 , u2 son soluciones del mismo problema con
las mismas condiciones iniciales y de contorno, entonces tenemos que para
w = u2 u1 , se verifica w(x, 0) = 0 y condiciones de contorno homogéneas.
Luego tenemos
E[w](t)  E[w](0) = 0,
y
Z
w(x, t)2 dx = 0
⌦
de donde se deduce que w es idénticamente nula.
La dependencia continua y estable de las condiciones iniciales también
puede deducirse usando la integral (14.7). Si u1 y u2 son dos soluciones de la
misma ecuación diferencial
Aplicando el teorema de la divergencia a la relación
@u
(x, t)
@t
div(v grad u) = grad v · grad u + v u,
179
Z
u(x, t)Dn u(x, t)d (x)
Luego E[u] es una función decreciente del tiempo.
Método de la energı́a, unicidad y estabilidad
⌦
⌦
d
E[u](t) =
dt
donde i (x) = ui (x, 0), x 2 ⌦, gi (x, s) = ui (x, s), x 2 @⌦, s 2 [0, T ] para
i = 1, 2.
deducimos la primera fórmula de Green
Z
Z
(grad v · grad u + v u)dx =
Tomando v = u deducimos
Z
Z
u(x, t) u(x, t)dx =
k u(x, t) = f (x, t),
que verifican las mismas condiciones de contorno
vDn ud (x).
@⌦
(14.8)
u(x, t) = g(x, t),
x 2 @⌦,
180
t 2 [0, T ],
entonces w = u2
u1 es solución del problema de Dirichlet
wt (x, t)
w(x, 0) =
k w(x, t) = 0,
2 (x)
x 2 ⌦,
1 (x),
x 2 @⌦, t 2 [0, T ],
w(x, t) = 0,
siendo
i (x)
:= ui (x, 0),
x2⌦
i = 1, 2.
Teniendo en cuenta que E[w] es decreciente, obtendremos
Z
Z
2
w(x, t)2 dx  ( 2 (x)
1 (x)) dx,
⌦
⌦
es decir
ku2 (·, t)
u1 (·, t)kL2 (⌦)  k
2
1 kL2 (⌦) .
La misma conclusión se obtiene para el caso de condiciones de contorno de
Neumann.
La desigualdad anterior puede interpretarse diciendo que las soluciones
en el futuro no distan más de lo que diferı́an inicialmente, lo cual muestra la
estabilidad de la ecuación del calor con respecto a las condiciones iniciales en
L2 (⌦).
Varianza y entropı́a
Sea ⌦ un dominio acotado y u una solución de la ecuación ut = k u tal que
¯ ⇥ [0, T ]. En el caso de que u satisfaga condiciones de
u 2 C 1 (DT ), DT = ⌦
Neumann homogéneas
La condición de Neumann significa que el dominio está aislado del exterior de
manera que la frontera no permite que entre sustancia del exterior ni que se
escape sustacia a través de ella.
Como la cantidad de sustancia es invariante, puede definirse la concentración media
R
Z
u(x, t)dx
1
u0 := ⌦ R
=
u(x, t)dx,
vol(⌦) ⌦
1dx
⌦
que debe permanecer constante. La varianza
Z
1
V [u](t) :=
(u(x, t)
vol(⌦) ⌦
u0 )2 dx
admite la expresión
V [u](t) =
1 ⇣
vol(⌦)
Z
u(x, t)2 dx
⌦
⌘ 2E[u](t)
u20 =
vol(⌦)
u20 ,
y como E[u](t) es una función decreciente del tiempo, se deduce que la varianza de la concentración tiende a disminuir.
En el caso de la ecuación del calor, la varianza se interpreta como una
medida de dispersión de la energı́a térmica. Un sistema aislado evoluciona
en el tiempo de manera que la energı́a térmica tiende a distribuirse uniformemente, estando cada vez menos dispersa. La diferencia de temperaturas
hace posible extraer del sistema trabajo útil, de donde parece deducirse que
el trabajo útil que podemos extraer de un sistema aislado tiende a disminuir
con el tiempo.
permanece constante. En efecto, tomando v = 1 en la primera fórmula de
Green (14.8) deducimos
Z
Z
Z
d
u(x, t)dx =
ut (x, t)dx = k
u(x, t)dx
dt ⌦
⌦
⌦
Z
=k
Dn u(x, t)d (x) = 0.
Una magnitud termodinámica relacionada con el trabajo útil que puede
realizarse a costa de las variaciones de nivel de energı́a térmica es la entropı́a
termodinámica. Para una región D pequeña, y una pequeña aportación de
calor QD la entropı́a S D es una magnitud cuya variación corresponde a
u S D = QD , donde u denota la temperatura media en la región D. Si el
medio es homogéneo, puede considerarse que la variación de energı́a calorı́fica
es proporcional a la variación de temperatura en amplios intervalos de temperatura dQD /dt ⇡ c⇢ut vol(D), donde c, ⇢ representan el calor especı́fico y la
densidad de material respectivamente. Se deduce que la variación temporal
de la entropı́a en una región extensa ⌦ puede describirse mediante la fórmula
Z
ut (x, t)
d
S[u](t) = c⇢
dx.
dt
⌦ u(x, t)
181
182
x 2 @⌦,
Dn u(x, t) = 0,
t 2 [0, T ],
puede deducirse que la cantidad total de sustancia en el dominio ⌦
Z
u(x, t)dx
⌦
@⌦
El aumento de entropı́a de un sistema implica una mayor dificultad para
transformar la energı́a térmica en otros tipos de energı́a o extraer trabajo
útil.
Como la proporcionalidad entre calor aportado y diferencia de temperaturas no es válida para temperaturas muy bajas, parece lógico imponer que
u 2 C 1 (DT ) sea una función acotada inferiormente por una cantidad positiva.
Teniendo en cuenta que u verifica la ecuación del calor c⇢ut =  u obtenemos
Z
d
u(x, t)
S[u](t) = 
dx,
dt
⌦ u(x, t)
donde  es la conductividad térmica del material. Podemos aplicar la primera
fórmula de Green (14.8) tomando v = 1/u
Z
Z
d
Dn u(x, t)
(grad u(x, t))2
S[u](t) = 
d (x) + 
dx.
dt
u(x, t)2
@⌦ u(x, t)
⌦
Podemos interpretar fı́sicamente la relación anterior. El flujo de calor según la
ley de Fourier es q(x, t) =  grad u(x, t), lo que permite escribir la igualdad
anterior en la forma
Z
Z ⇣
d
q(x, t) · n(x)
grad u(x, t) ⌘2
S[u](t) +
d (x) = 
dx.
dt
u(x, t)
u(x, t)
@⌦
⌦
Teniendo en cuenta que el integrando del segundo miembro es no negativo
tenemos
Z
d
q(x, t) · n(x)
S[u](t) +
d (x) 0.
dt
u(x, t)
@⌦
La desigualdad anterior significa que la suma de la entropı́a termodinámica y
la entropı́a cedida al exterior por un sistema es una función creciente del tiempo, como afirma el segundo principio de la termodinámica. Bajo condiciones
de aislamiento
q(x, t) · n(x) = 0, x 2 @⌦,
correspondientes a la condiciones de Neumann homogéneas, Dn u(x, t) = 0,
obtendremos
d
S[u](t) 0,
dt
de donde se deduce que la entropı́a termodinámica de un sistema aislado es
una función creciente del tiempo.
183
Otra integral relacionada con la reversibilidad de un proceso, el desorden
y la cantidad de información contenida en una distribución de valores es la
entropı́a de Shannon, utilizada en teorı́a de la información y relacionada con
la ideas introducidas por Boltzmann para el estudio termodinámico del estado
de un gas
Z
H[u](t) :=
u(x, t) log(u(x, t))dx.
⌦
Para nuestra deducción supondremos que u 2 C 1 (D) es una función acotada
inferiormente por una cantidad positiva que verifica la ecuación de la difusión
ut = k u. Derivando la expresión anterior
Z
d
H[u](t) =
(log(u(x, t)) + 1)ut (x, t)dx
dt
⌦
Z
= k (log(u(x, t)) + 1) u(x, t)dx
⌦
y aplicando la primera fórmula de Green deducimos que
Z
d
H[u](t) = k
(log(u(x, t)) + 1)Dn u(x, t)d (x)
dt
Z @⌦
+k
grad log(u(x, t)) grad u(x, t)dx.
⌦
Bajo condiciones de Neumann homogéneas, se deduce que la entropı́a de Shannon es una función creciente del tiempo
Z
d
(grad u(x, t))2
H[u](t) = k
dx 0.
dt
u(x, t)
⌦
Observación. La función u log u admite una extensión continua a [0, +1)
ya que lı́mu!0+ u log u = 0. Esto sugiere que la definición de entropı́a puede
extenderse para funciones no negativas
Z
H[u](t) :=
u(x, t) log(u(x, t))dx.
{x2⌦:u(x,t)>0}
En este caso más general, la deducción anterior sigue siendo válida, si imponemos que los integrandos que aparecen en las expresiones intermedias puedan
dominarse por funciones integrables apropiadas.
184
15. El problema de valor inicial para la difusión
en la recta
es decir que
sea un polinomio de grado menor o igual que 2N
solución del problema es
En el caso de la recta, podemos plantear el problema de valor inicial
u(x, t) =
ut = kuxx
(2i)
(x)
i=0
(15.1)
u(x, 0) = (x),
N
X1
1. La
(kt)i
.
i!
Si (x) es una función analı́tica podemos escribir la solución en forma de
donde
2 C(R).
serie
Una de las dificultades que surgen en el análisis del problema de valor
inicial (15.1) es que la solución no tiene que ser única. La unicidad falla porque
el problema con condiciones iniciales nulas además de la solución nula, posee
otras soluciones de crecimiento no controlado.
Antes de analizar la solución general, consideremos algunas construcciones que permiten encontrar soluciones.
El problema (15.1) admite soluciones polinómicas si la función
polinomio. Expresemos la solución en la forma
N
X
i=0
(kt)i
.
i!
ci (x) =
(x),
1,
c00N (x) = 0.
i = 0, 1, . . . , N
1
X
(kt)i
(x) = 0,
185
i!
= exp(x) exp(kt) = exp(x + kt),
Ya hemos mencionado la importancia de la velocidad de crecimiento de las
soluciones. Queremos encontrar soluciones de la ecuación de crecimiento muy
rápido cuando |x| ! 1 y para ello buscamos soluciones de la forma
u(x, t) = A(t) exp(a(t)x2 ).
Derivando respecto a t y respecto a x obtenemos
ut (x, t) = exp(a(t)x2 )(a0 (t)A(t)x2 + A0 (t)),
ux (x, t) = 2 exp(a(t)x2 )a(t)x,
1.
Observemos que para que se verifique c00N (x) = 0, es necesario que
(2N )
u(x, t) = exp(x)
Soluciones de crecimiento rápido
Las funciones ci (x) pueden obtenerse por recurrencia
(2i)
(kt)i
.
i!
que es la única solución del problema analı́tica en R ⇥ R.
comparando con el resultado de derivar dos veces respecto a x, se obtiene
i = 0, . . . , N
(x)
El Teorema de Cauchy-Kovalevskaya implica que la serie anterior define una
función analı́tica que es solución del problema de valor inicial (15.1) en un
entorno de cada punto (x0 , 0). Esta función es la única solución analı́tica en
un entorno de dicho punto.
(x) es un
La condición inicial implica que c0 (x) = (x). Derivando respecto a t obtenemos
N
X1
(kt)i
ut (x, t) = k
ci+1 (x)
,
i!
i=0
ci+1 (x) = c00i (x),
(2i)
i=0
i=0
ci (x)
1
X
Por ejemplo, tomando (x) = exp(x) se obtiene la solución de (15.1)
Soluciones polinómicas y soluciones analı́ticas
u(x, t) =
u(x, t) =
uxx (x, t) = exp(a(t)x2 )(4a(t)2 x2 + 2a(t)),
Identificando ut = kuxx obtenemos las relaciones
A0 (t) = 2ka(t)A(t),
186
a0 (t) = 4ka(t)2 .
Resolviendo la ecuación a0 (t) = 4ka(t)2 , obtenemos
a(t) =
Observemos que las soluciones dominadas por este tipo de funciones pueden
acotarse uniformemente en t. En efecto, teniendo en cuenta que t  T ,
podemos escribir
a0
,
4a0 kt
1
sustituyendo la solución obtenida en la ecuación A0 (t) = 2ka(t)A(t), tenemos
A(t) = p
A0
,
4a0 kt
1
M=p
⇣ a x2 ⌘
A0
0
exp
,
1 4a0 kt
1 4a0 kt
t 2 [0, (4a0 k)
1
y llamando ⌧ = (4a0 k) , tenemos que a0 = (4k⌧ )
solución anterior mediante la fórmula
u(x, t) = p
A0
1
t/⌧
exp
⇣
⇣ a x2 ⌘
⇣ a x2 ⌘
A0
A0
0
0
exp
p
exp
 M exp(ax2 ),
1 4a0 kt
1 4a0 kT
1 4a0 kt
1 4akT
donde
de donde obtenemos una familia de soluciones de crecimiento rápido de la
ecuación del calor ut = kuxx
u(x, t) = p
p
1
⌘
x2
,
4k(⌧ t)
1
y podemos describir la
187
u(x, 0)  0,
x 2 R,
tal que
t 2 [0, ⌧ ).
sup u(x, t)  M exp(ax2 ),
t2[0,T ]
t 2 [0, T ],
(15.2)
x 2 R.
Entonces u(x, t)  0 para todo (x, t) 2 R ⇥ [0, T ].
Demostración. Sin pérdida de generalidad supondremos que T < (4ka) 1 .
En efecto, si tenemos unicidad para los intervalos temporales de longitud
menor que (4ka) 1 , podemos descomponer cualquier intervalo [0, T ] como
una unión de subintervalos
[0, T ] ✓
con 0 = ⌧0 < · · · < ⌧N = T , ⌧i+1
el resultado de unicidad.
Sea
1
T <
.
4a0 k
1
Teorema 15.1. Sea u 2 C(R ⇥ [0, T ]) \ C 2 (R ⇥ (0, T )) una función tal que
Vamos a mostrar la unicidad de solución dentro del espacio vectorial de las
soluciones dominadas por una solución de crecimiento rápido
con
a0
.
4a0 kT
Por tanto las funciones que verifican (15.2) coinciden con aquellas que verifican
la acotación
sup |u(x, t)|  M exp(ax2 ), x 2 R.
(15.3)
ut  kuxx ,
El teorema de unicidad de Tychonov
⇣ a x2 ⌘
A0
0
exp
,
1 4a0 kt
1 4a0 kt
a=
t2[0,T ]
),
Observemos que si A0 6= 0, entonces lı́mt!⌧ |u(x, t)| = 1. Por tanto, R ⇥
(0, ⌧ ) es el mayor dominio donde puede definirse este tipo de soluciones de
crecimiento rápido. La relación 4k⌧ a0 = 1 nos indica que cuanto más rápido
es el crecimiento de la solución más pequeño es el intervalo temporal donde
podemos definir la solución.
|u(x, t)|  p
A0
,
1 4akT
v(x, t) := p
N[1
[⌧i , ⌧i+1 ],
i=0
⌧i < (4ka)
1
y aplicar en cada subintervalo
⇣ a x2 ⌘
M
0
exp
1 4a0 kt
1 4a0 kt
188
con a < a0 < (4kT ) 1 , una solución de crecimiento más rápido que u(x, t).
Consideremos la diferencia
u(x, t)
⇣ a x2 ⌘
✏M
0
exp
1 4a0 kt
1 4a0 kt
" exp(a0 x2 )) = M exp(ax2 )(1 " exp((a0 a)x2 )).
"v(x, t)  M exp(ax2 )
2
 M (exp(ax )
p
w(x, t) := u(x, t)
a)r2 )v(x, t)
exp( (a0
2
 M exp(ax )(1
exp((a0
a)(x2
r2 ))),
luego
w(x, t)  0,
Además w(x, 0) = u(x, 0)
función w verifica
|x|
w(x, 0)  0,
w(r, t)  0,
x2 )
x 2 ( r, r),
w( r, t)  0,
a2 )  0. Por tanto, la
a)r2 )v(x, t) =
u1 (x, t)  u2 (x, t),
⇣ a x2 ⌘
M exp( (a0 a)r2 )
0
p
exp
,
1 4a0 kt
1 4a0 kt
para x 2 [ r, r], t 2 [0, T ]. Para cada x fijo, podemos tomar r > |x| y hacer
tender r ! 1 para deducir la desigualdad u(x, t)  0.
Demostración. La función u(x, t) = u2 (x, t)
del Teorema 15.1, luego u(x, t)  0.
t 2 [0, T ].
u1 (x, t) satisface las hipótesis
Consideremos el problema de valor inicial en la recta para la ecuación del
calor con constante de difusividad k = 1
ut (x, t) = uxx (x, t),
Corolario 15.2. Sea u 2 C(R ⇥ [0, T ]) \ C (R ⇥ (0, T )) una solución del
problema de valor inicial
lı́m u(x, 0) = (x).
t!0+
sup |u(x, t)|  M exp(ax2 ),
t2[0,T ]
x 2 R.
Sea
ut (x, t) = uxx (x, t), para todo x 2 R, t 2 (0, T ),
que verifica (15.3). Entonces u = 0.
189
(16.2)
N (R ⇥ [0, T ]) := {u 2 C(R ⇥ [0, T ]) \ C 2 (R ⇥ (0, T )) |
u(x, 0) = 0,
Demostración. Basta con aplicar el Teorema 15.1 a u y
(16.1)
pro el Teorema de unicidad de Tychonov, existe a lo sumo una solución del
problema tal que se verifica
2
ut = kuxx ,
x 2 R,
16. Solución fundamental de la ecuación del calor
t 2 [0, T ].
Por el principio del máximo, w(x, t)  0 para (x, t) 2 [ r, r] ⇥ [0, T ], de donde
se deduce
u(x, t)  exp( (a0
Teorema 15.4 (Principio de comparación). Si u1 , u2 son soluciones de
la ecuación del calor ut = kuxx en R ⇥ [0, T ] que verifican (15.3) y u1 (x, 0) 
u2 (x, 0), entonces
r, t 2 [0, T ].
M exp( a0 (r2
wt  kwxx ,
Demostración. Por el Corolario 15.2, si u1 y u2 son dos soluciones de (15.1),
entonces su diferencia w = u2 u1 debe ser idénticamente nula.
Observación. En el caso en que el dominio sea R ⇥ (0, T 0 ) o R ⇥ (0, +1), el
teorema de Tychonov también es válido. Basta con tomar T < T 0 arbitrario
o T arbitrariamente grande.
a)r2 ), obtenemos
Eligiendo " = exp( (a0
Teorema 15.3 (de unicidad de Tychonov). El problema de valor inicial
(15.1) admite a lo sumo una solución en el dominio R ⇥ [0, T ] que verifica la
condición (15.3).
u.
y existen a 2 R, M
0, tales que
supt2[0,T ] |u(x, t)|  M exp(ax2 ), para todo x 2 R}.
190
(16.3)
el conjunto de las soluciones definidas en R ⇥ [0, T ] que verifican la acotación
(16.2).
Veamos que N (R ⇥ [0, T ]) es un espacio vectorial. En efecto, si u1 , u2 2
N (R ⇥ [0, T ]) con
|u1 (x, t)|  M1 exp(a1 x2 ),
|u2 (x, t)|  M2 exp(a2 x2 ),
(x, t) 2 R ⇥ [0, T ],
entonces v(x, t) = c1 u1 (x, t)+c2 u2 (x, t) es una función C(R⇥[0, T ])\C 2 (R⇥
(0, T )) que verifica vt = vxx y la acotación
|u1 (x, t)|  |c1 |M1 exp(a1 x2 ) + |c2 |M2 exp(a2 x2 )  M exp(ax2 )
donde a = máx(a1 , a2 ) y M = |c1 |M1 + |c2 |M2 .
Del Teorema de unicidad de Tychonov, se deduce que la aplicación evaluación en t = 0
E : u 2 N (R ⇥ [0, T ]) ! u(·, 0) 2 C(R),
es una aplicación lineal inyectiva.
Por tanto, el problema de encontrar la única solución (16.1) en N (R ⇥
[0, T ]) es equivalente a describir la aplicación inversa
E
1
: E(N (R ⇥ [0, T ])) ! N (R ⇥ [0, T ]).
La inversa de una aplicación lineal es una aplicación lineal. Por tanto,
E 1 es un operador lineal, es decir, una aplicación lineal que transforma funciones en funciones. Los operadores lineales que admiten una representación
integral a través de un núcleo aparecen frecuentemente en la resolución de
ecuaciones diferenciales. En el caso de la ecuación del calor mostraremos que
existe un núcleo resolvente
Z +1
E 1 [ ](x) :=
K(x, y, t) (y)dy,
2 E(N (R ⇥ [0, T ])),
1
Proposición 16.1. El núcleo de Weierstrass es un núcleo de convolución, es
decir
K(x, y, t) = S(x y, t).
Demostración. Para cada función 2 E(N (R ⇥ [0, T ])) definamos
Z
u(x, t) :=
K(x, y, t) (y)dy, v(x, t) = u(x + c, t), x 2 R, t 2 [0, T ].
R
Sea a0 > a cualquiera, entonces la función cuadrática
a(x + c)2
alcanza su valor máximo en ⇠ := ac/(a0
2
exp(a(x + c) )
= exp(a(x + c)2
exp(a0 x2 )
Definiendo
a0 x2
a), de donde se deduce que
a0 x2 )  exp(a(⇠ + c)2
M 0 := M exp(a(⇠ + c)2
a0 ⇠ 2 ),
8x 2 R.
a0 ⇠ 2 ),
deducimos que v 2 N (R ⇥ [0, T ]), ya que v 2 C(R ⇥ [0, T ]) \ C 2 (R ⇥ [0, T ])
verifica vt = vxx y además
|v(x, t)|  |u(x + c, t)|  M exp(a(x + c)2 )  M 0 exp(a0 x2 ).
Las funciones u, v 2 N (R⇥[0, T ]) verifican u(x, 0) = (x) y v(x, 0) = (x+c).
Utilizando la representación de Weierstrass tenemos
Z
Z
u(x + c, t) = v(x, t) =
K(x, y, t) (y + c)dy =
K(x, y c, t) (y)dy
R
De donde se deduce que
Z
(K(x + c, y, t)
R
K(x, y
c, t)) (y)dy = 0.
R
Tomando una condición inicial cualquiera obtenemos la propiedad de invariancia por traslaciones
llamado núcleo de Weierstrass. Como la restricción de una solución es también
una solución se puede trabajar sin pérdida de generalidad con la representación de la solución para condiciones iniciales en el espacio E(N (R ⇥ [0, +1))
del que se sabe que contiene a todas las funciones continuas y acotadas. Esto
permite deducir que el núcleo de Weierstrass no depende de T .
Sea S(x, t) := K(x, 0, t) entonces tenemos
Veremos cómo las propiedades del problema de valor inicial (16.1) nos
permiten obtener la expresión del núcleo de Weierstrass.
La función S(x, t) asociada al núcleo de convolución recibe el nombre de
solución fundamental de la ecuación de difusión ut = uxx .
191
192
K(x + c, y, t) = K(x, y
S(x
y, t) = K(x
c, t),
x, y, c 2 R,
y, 0, t) = K(x, y, t),
x, y 2 R,
t 2 [0, T ].
t 2 [0, T ].
Proposición 16.2. Para cada r > 0, la solución fundamental de la ecuación
ut = uxx verifica S(x, t) = rS(rx, r2 t).
2 E(N (R ⇥ [0, +1)))
Demostración. Para cada función
u(x, t) :=
Z
S(x
y, t) (y)dy,
R
x 2 R,
t
R
0,
es la solución de la ecuación ut = uxx en N (R⇥[0, +1)) que verifica u(x, 0) =
(x). Notemos que v(x, t) = u(x/r, t/r2 ) pertenece a N (R ⇥ [0, +1)), vt =
vxx y v(x, 0) = (x/r), ası́ que tenemos
v(x, t) =
Z
S(x
y, t) (y/r)dy,
R
y
u(x, t) = v(rx, r2 t) =
Z
S(rx
x 2 R,
t
0,
y, r2 t) (y/r)dy.
R
Mediante el cambio de variables y = rz obtenemos
u(x, t) =
Z
rS(r(x
Tomando
Como S(x, t), St (x, t), Sx (x, t) y Sxx (x, t) son funciones integrables en la variable x para todo t > 0, podemos derivar bajo el signo integral y, teniendo en
cuenta que, u es una solución de la ecuación diferencial ut uxx = 0 deducimos
Z
⇣@
@2 ⌘
0=
S(x y, t) (y)dy
@t @x2 R
Z
=
(St (x y, t) Sxx (x y, t)) (y)dy.
R
Como
es una función arbitraria tenemos que St = Sxx .
Bajo las hipótesis de la Proposición 16.3, podemos definir
Z x
Q(x, t) :=
S(y, t)dy, x 2 R, t > 0,
1
z), r2 t) (z)dz.
R
Comparando esta expresión de u(x, t) con la definición, se deduce que
Z
2 E(N (R ⇥ [0, +1))), entonces tenemos
Z
u(x, t) :=
S(x y, t) (y)dy, x 2 R, t 0.
Demostración. Sea
llamada función fuente de la ecuación ut = uxx . Como la solución fundamental verifica St = Sxx , también tendremos
Z x
Qt (x, t) Qxx (x, t) =
(St (y, t) Sxx (y, t))dy = 0.
1
(S(x
y, t)
rS(r(x
y), r2 t)) (y)dy = 0.
R
una función arbitraria deducimos que S(x, t) = rS(rx, r2 t).
El nombre de solución fundamental parece indicar que S(x, t) es una
solución de la ecuación de la difusión. Veamos que S(x, t) verifica la ecuación
ut = uxx .
Proposición 16.3. Sea S(x, t) la solución fundamental de la ecuación ut =
uxx en R ⇥ (0, +1). Si S(x, t), St (x, t), Sx (x, t) y Sxx (x, t) son funciones
integrables en la variable x para todo t > 0 entonces
St (x, t) = Sxx (x, t),
193
x 2 R,
t > 0.
Observemos que la función Q(x, t) verifica
Z rx
Z x
Z
Q(rx, r2 t) =
S(y, r2 t)dy =
rS(rz, r2 t)dz =
1
x
1
S(z, t)dz,
1
de donde se deduce que
Q(rx, r2 t) = Q(x, t),
para todo r > 0.
La función fuente puede interpretarse como una solución del problema
de valor inicial con condición inicial discontinua
Qt (x, t) = Qxx (x, t),
lı́m Q(x, t) = H(x),
t!0+
194
donde
H(x) =
( 0,
si x < 0,
si x = 0,
si x > 0.
1/2.
1,
es la función escalón unitario de Heaviside. En efecto, aplicando la representación del núcleo de Weierstrass a la condición inicial H(x) obtenemos
Z
S(x
y, t)H(y)dy =
R
Z
S(y, t)H(x
y)dy =
R
Z
Proposición 16.3. La función fuente Q(x, t) viene dada por
Z x
⇣ x ⌘
1 1
2
Q(x, t) = + erf p , erf(x) := p
exp( y 2 )dy.
2 2
⇡ 0
2 t
y la solución fundamental de la ecuación ut = uxx es
S(x, t) = p
x
S(y, t)dy = Q(x, t).
1
Demostración. Tomando r =
Observemos que, como H no es una función continua en 0, Q no puede ser una
función continua en un entorno de (0, 0). Por ello expresamos la condición
inicial en forma de lı́mite con objeto de precisar cómo debe interpretarse dicha
condición.
Para hallar la función S(x, t), primero determinaremos la función Q(x, t).
p
t, en la relación
Q(x, t) = Q(x/r, t/r2 ),
deducimos que
⇣ x2 ⌘
1
exp
.
4t
4⇡t
(x, t) 2 R ⇥ [0, 1),
u(x)
u0(x)
1
p
Q(x, t) = Q(x/ t, 1).
p
Definiendo la función q(x) := Q(x, 1), tenemos que Q(x, t) = q(x/ t) y el
problema se reduce a obtener la función q.
Qt (x, t) =
x 0⇣ x ⌘
1 ⇣ x ⌘
1 ⇣ x ⌘
p q p , Qx (x, t) = p q 0 p , Qxx (x, t) = q 00 p ,
t
2t t
t
t
t
t
la relación Qt = Qxx da lugar a la ecuación diferencial
⇣ x ⌘
x ⇣ x ⌘
p q0 p
q 00 p =
t
2 t
t
p
y llamando ⇠ = x/ t, tenemos
0.8
0.6
0.4
⇠ 0
q (⇠),
2
q 00 (⇠) =
0.2
cuya solución es
0
q(⇠) = C1
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Por tanto
Figura 29. Difusión de un escalón unitario
195
r > 0.
Teniendo en cuenta que
t=1.00
-4
(16.4)
Q(x, t) = C1
Z
Z
⇠
exp( y 2 /4)dy + C2 .
0
p
x/ t
exp( y 2 /4)dy + C2 .
0
196
Vamos a determinar las constantes C1 y C2 para que se verifique la condición inicial. Para x > 0, tenemos
Z +1
1 = lı́m+ Q(x, t) = C1
exp( y 2 /4)dy + C2
t!0
de donde se deduce (16.4).
Aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo a
Q(x, t) =
0
y para x < 0, tenemos
0 = lı́m+ Q(x, t) = C1
t!0
Z
1
obtenemos
S(x, t) =
2
exp( y /4)dy + C2 .
0
Teniendo en cuenta la simetrı́a del integrando tenemos
Z 0
Z +1
Z
1 +1
exp( y 2 /4)dy =
exp( y 2 /4)dy =
exp( y 2 /4)dy.
2 1
1
0
Z
+1
exp( y 2 /4)dy =
1
Z
+1
exp( x2 )dx =
p
⇡.
S(x, t) = p
Como K(x, y, t) = S(x
Weierstrass
1
Por tanto, la verificación de la condición inicial equivale a resolver el sistema
de ecuaciones
p
p
C1 ⇡ + C2 = 1,
C1 ⇡ + C2 = 0,
de donde obtenemos
1
C1 = p ,
2 ⇡
C2 =
1
.
2
Por la definición de H(x), se tiene
lı́m Q(0, t) =
t!0+
1
= H(0).
2
Observemos que, como la función Q(x, t) es creciente en x y
lı́m Q(x, t) = 0,
x! 1
lı́m Q(x, t) = 1,
x!+1
(16.5)
Q(x, t) =
1
1
+ p
2 2 ⇡
Z
p
x/ t
exp( y 2 /4)dy =
0
197
1
1
+p
2
⇡
Z
p
x/ 4t
exp( y 2 )dy,
0
S(y, t)dy.
1
@Q
(x, t)
@x
⇣ x2 ⌘
1
exp
.
4t
4⇡t
y, t), obtenemos la expresión del núcleo de
K(x, y, t) = p
⇣ (x y)2 ⌘
1
exp
.
4t
4⇡t
Por tanto el problema de valor inicial (16.1) con la condición (16.2) puede
resolverse mediante la fórmula
Z
⇣ (x y)2 ⌘
1
u(x, t) = p
exp
(y)dy.
4t
4⇡t R
Observemos que la solución de la ecuación del calor se puede expresar
como un producto de convolución de la solución fundamental por la condición
inicial
Z
Z
u(x, t) =
S(x y, t) (y)dy =
S(y, t) (x y)dy = S(·, t) ⇤
R
los valores de Q(x, t) se encuentran acotados entre 0 y 1 al igual que los valores
de la condición inicial H(x). Por tanto
x
lo que permite expresar la función S(x, t) en términos de la función Q(x, t).
Derivando fórmula (16.4) con respecto a x se deduce que
Por otro lado
1
2
Z
R
Aplicando la definición de Q(x, t) deducimos
Z
+1
S(y, t)dy = lı́m
1
x!+1
Z
x
S(y, t)dy = lı́m Q(x, t) =
x!+1
1
198
1 + erf(+1)
= 1.
2
Por tanto, la función S(·, t) es una función de densidad de una variable aleatoria para cada t > 0. Recordemos que una variable aleatoria tiene distribución
gaussiana (normal) si su función de densidad es de la forma
N (y; µ, ) =
⇣ (y
1
p exp
2
2⇡
2
µ)2 ⌘
con constante de difusividad k arbitraria, imponiendo la condición inicial en
un instante t0 cualquiera. Para ello, basta con notar que v(x, s) := u(x, t0 +
s/k) está definida en R ⇥ [0, +1], verifica las condiciones
vs (x, s) = vxx (x, s),
siendo µpla media y la desviación tı́pica. Teniendo en cuenta que K(x, y, t) =
N (y; x, 2t), podemos interpretar el núcleo de Weierstrass K(x, y, t) como la
función de densidad depuna variable aleatoria normal (o gaussiana) con media
x y desviación tı́pica 2t. En consecuencia, el valor de la solución u(x, t) de
la ecuación del calor puede interpretarse como el valor esperado (X),
p donde
X es una variable aleatoria normal de media x y desviación tı́pica 2t.
1
lı́m v(x, s) = (x).
s!0+
La única solución en N (R ⇥ [0, T ]) es
Z
v(x, s) =
K(x, y, s) (y)dy.
R
Deshaciendo el cambio de variables s = k(t t0 ) deducimos que
Z
u(x, t) =
K(x, y, k(t t0 )) (y)dy
R
Z
⇣ (x y)2 ⌘
1
=p
exp
(y)dy
4k(t t0 )
4⇡k(t t0 ) R
es la única solucion del problema de (16.6) en
0.8
Nk (R ⇥ [t0 , t0 + T ]) :={u 2 C(R ⇥ [t0 , t0 + T ]) \ C 2 (R ⇥ (t0 , t0 + T )) |
0.6
ut = kuxx , y existen a, M 2 R tales que
supt2[t0 ,t0 +T ] |u(x, t)|  M exp(ax2 ), x 2 R}.
0.4
Teorema 16.4. Sea
una función continua tal que
0.2
| (x)|  M exp(ax2 ),
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
para ciertos a, M 2 R, y sea 0 < T < (4ak)
4
u(x, t) = p
Figura 30. Solución fundamental para t = 0.1, 0.5, 1, 2.
El núcleo de Weierstrass permite abordar problemas de valor inicial
ut (x, t) = kuxx (x, t),
lı́m u(x, t0 ) = (x).
t!t+
0
199
(16.6)
1
4⇡k(t
t0 )
Z
exp
R
⇣ (x
4k(t
1
. Entonces
y)2 ⌘
(y)dy,
t0 )
t 2 (t0 , t0 + T ],
es una función C 1 (R⇥(t0 , t0 +T ]) que verifica la ecuación del calor ut = kuxx
y satisface la condición inicial
lı́m u(x, t) = (x).
t!t+
0
200
Además u verifica la mayoración
|u(x, t)|  p
M
1
4ak(t
t0 )
exp
⇣
ax2
4ak(t
1
t0 )
⌘
.
Demostración. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que t0 = 0 y
que k = 1. Para comprobar las propiedades de diferenciabilidad, veamos que
podemos dominar uniformemente todas las derivadas sucesivas del integrando
S(x
exp
⇣ x2 ⌘ x
,
4t 2t
lı́m exp(2aR|y|
|y|!1
Sxx (x, t) = exp
Para órdenes de derivacion más altos tenemos
⇣ x2 ⌘
@nS
(x, t) = ( 1)n exp
(4t)
n
@x
4t
⇣ x2 ⌘⇣ x2
4t
4t2
n/2
1⌘
.
2t
p
Hn (x/ 4t),
donde Hn es el n-ésimo polinomio de Hermite. Demostremos por inducción
la fórmula anterior, teniendo en cuenta la recurrencia 2xHn (x) Hn0 (x) =
Hn+1 (x)
@ n+1 S
(x, t)
@xn+1
⇣ x2 ⌘
⇣ 1
p
p
x⌘
(4t) n/2 p Hn0 (x/ 4t) Hn (x/ 4t)
=
4t
2t
4t
⇣ x2 ⌘
⇣
p
p ⌘
x
= ( 1)n exp
(4t) (n+1)/2 2Hn (x/ 4t) p
Hn0 (x/ 4t)
4t
4t
⇣ x2 ⌘
p
= ( 1)n+1 exp
(4t) (n+1)/2 Hn+1 (x/ 4t).
4t
= ( 1)n exp
Ahora podemos acotar
@nS
(y, t) (x
@xn
Teniendo en cuenta que
y, t) (y).
Teniendo en cuenta que la solución fundamental verifica la ecuación del calor
St = Sxx en R ⇥ (0, 1), bastará con controlar las derivadas sucesivas de
S(x, t) respecto a x. Observemos que
Sx (x, t) =
Para obtener una dominación uniforme consideramos
1
x 2 [ R, R], t 2 [⌧, T ], h =
a > 0,
4T
p
@nS
(y, t) (y)  M exp(a(x y)2 ) exp( (4T ) 1 y 2 )(4⌧ ) n/2 Hn (y/ 4⌧ )
n
@x
.
p
 M (4⌧ ) n/2 exp(aR2 + 2aR|y| hy 2 ))Hn (y/ 4⌧ )
y)  M exp(a(x
y)2 ) exp
201
⇣ y2 ⌘
(4t)
4t
n/2
p
Hn (y/ 4t).
p
hy 2 )Hn (y/ 4⌧ ) = 0,
deducimos que podemos dominar el integrando uniformemente. Esta dominación nos permite deducir que u(x, t) es indefinidamente diferenciable. Además
tenemos
Z
ut (x, t) uxx (x, t) =
(St (x, t) Sxx (x, t)) (x y)dy = 0.
R
Veamos que lı́mt!0+ u(x, t) = (x). Tenemos que
Z
(x) u(x, t) =
S(y, t)( (x)
(x y))dy
R
Z +1
⇣ y2 ⌘
1
=p
exp
( (x)
(x y))dy,
4t
4⇡t 1
p
Si hacemos un cambio de variable en la integral y/ 4t = z, tenemos
Z +1
p
1
exp( z 2 )( (x)
(x z 4t)dz
(x) u(x, t) = p
⇡
1
Como
es continua, sabemos que para todo " > 0, existe un
| (x)
Entonces
1
p
⇡
Z
p
(x
y)|  "/2,
exp( z 2 )| (x)
|z| / 4t
1
máx | (x)
(x y)| p
⇡
y2[ ,+ ]
Z
" 1
"
< p
exp( z 2 )dz = .
2 ⇡ R
2

202
> 0 tal que
8|y|  .
(x
Z
p
z 4t)|dz =
p
|z| / 4t
exp( z 2 )dz
p
p
Queremos dominar exp( z 2 )| (x)
(x z 4t)|, para |z| > / 4t. Para ello,
tengamos en cuenta que nuestra hipótesis sobre el crecimiento de implica
que
p
p
| (x z 4t)|  M exp(a(x z 4t)2 )
es una función acotada. Sea t < (8a)
1
| (x)
p
z 4t)2
p
z 4t)2
z 2 /2 =
Z
⇣ (x y)2 ⌘
1
| (y)| exp
dy
4t
4⇡t R
Z
⇣
M
(x y)2 ⌘
p
exp(ay 2 ) exp
dy
4t
4⇡t R
Z
⇣ 1
⌘
M
p
exp(ay 2 ) exp
((x y)2 4aty 2 ) dy
4t
4⇡t R
z 2 /2).
alcanza su valor máximo ax2 (1
tanto, podemos escribir
2
exp( z /2) (x
p
4a txz + ax2 ,
8at)z 2 /2
(1
1
8at)
en z =
p
4ax t(1
Teniendo en cuenta que t < T < 1/4a
8at)
1
. Por
(x
⇣ ax2 ⌘
z 4t)  M exp
.
1 8at
2
z 4t)|  exp( z )(| (x)| + | (x
⇣ ax2 ⌘
 exp( z 2 )M exp(ax2 ) + exp( z 2 /2)M exp
1 8at
⇣ ax2 ⌘
 2M exp
exp( z 2 /2).
1 8at
exp( z )| (x)
(x
p
z 4t)|)
Z
1
((x
4t
y)
2
2
|z|
exp( z 2 )| (x)
(x
4aty ) =
z=
p
z 2t)|dz
/ 4t
⇣ ax2 ⌘ Z
2M
 p exp
1 4at0 |z|
⇡
p
/ 4t
exp( z 2 /2)dz ! 0,
t ! 0+ ,
de donde se deduce la existencia de t1 > 0 tal que si t < t1 ,
1
p
⇡
Z
|z|
p
exp( z 2 )| (x)
/ 4t
203
(x
p
⇣ p1 4at
p
y
4t
p
1 4at
p
y
4t
se tiene
p
2xy + x2
y haciendo el cambio
Por tanto
1
p
⇡
4aty 2 = (1 4at)y 2
⇣p
=
1 4aty
x
1
4at
⌘2
x2
+ x2 ,
1 4at
de donde
Entonces tenemos
2
y)2
p
p
0 < t  t1 .
|u(x, t)|  p
y la función cuadrática
a(x
u(x, t)|  ",
Por último, la mayoración se deduce de la representación integral
, entonces
p
z 4t)  M exp(a(x
exp( z 2 /2) (x
Luego
p
z 2t)|dz  "/2.
p
p
x
4t(1
x
4t(1
4at)
4at)
⌘2
+
ax2
1 4at
,
⇣ ax2 ⌘ Z
⇣ ((1 4at)y x)2 ⌘2
M
|u(x, t)|  p
exp
exp
dy
1 4at R
4t(1 4at)
4⇡t
p
⇣ ax2 ⌘ Z
M
4t
p
=p
exp
exp( z 2 )dz
1 4at R
4⇡t 1 4at
⇣ ax2 ⌘
M
=p
exp
.
1 4at
1 4at
204
El semigrupo uniparamétrico de transformaciones asociado a
la ecuación del calor
La única solución del problema de valor inicial para la ecuación del calor en
la recta
ut = kuxx , u(x, t0 ) = (x),
en en Nk (R ⇥ [t0 , t0 + T ]) puede expresarse a través del núcleo de Weierstrass
u(x, t) =
Z
S(x
y, k(t
Por tanto, la solución del problema de valor inicial
ut = kuxx ,
S(x, t) := p
u(x, t) = Sk(t1
Ek,t0 !t1 [u](x) =
Z
siendo
⇣ x2 ⌘
1
exp
.
4t
4⇡t
Para t0 < t1 , sea Ek,t0 !t1 la aplicación que asocia a cada función
u(·, t0 ), la función
S(x
y, k(t1
St [ ](x) =
=
Como consecuencia del Teorema de unicidad de Tychonov se deduce que
Ek,t0 !t1 = Ek,t0 !t2 .
Observemos que
Ek,t0 !t1 = Ek,0!t1
t0 ,
lo que permite deducir la siguiente propiedad aditiva
Ek,0!T2 = Ek,0!T1 +T2 ,
que convierte a la familia uniparamétrica de transformaciones lineales
Ek,0!T ,
T 2 [0, +1)
en un semigrupo.
205
Z
t0 ) [
S(x
](x),
y, t) (y)dy.
R
La fórmula anterior puede interpretarse si consideramos a la ecuación del
calor como una ecuación diferencial ordinaria sobre el espacio vectorial de las
funciones C 2 (R). Cada solucion u 2 Nk (R ⇥ [0, T ]), puede verse como una
función como una función
t0 )) (y)dy
R
correspondiente a los valores en t = t1 de la única solución u del problema de
valor inicial (16.6) en Nk (R ⇥ [t0 , t0 + T ]).
Ek,t1 !t2
u(·, t0 ) =
puede expresarse en la forma
t0 )) (y)dy,
R
donde
Ek,0!T1
Un cambio en la escala temporal permite relacionar ecuaciones con distintas constantes de difusividad de modo que la familia uniparamétrica de
operadores St := E1,0!t , t 0, es suficiente para describir la solución general
de la ecuación del calor
Ek,t0 !t1 = Sk(t1 t0 )
U : t 2 [0, T ] 7! u(t, ·) 2 C 2 (R)
con valores en el espacio vectorial de dimensión infinita de las funciones C 2 (R)
de modo que podemos escribir
U 0 (t) = kA[U (t)],
U (t0 ) = U0
2
siendo A : C (R) ! C(R) el operador diferencial lineal dado por
A[ ](x) := D2 [ ](x) = U000 (x).
La solución del problema viene dada por
U (t) = Sk(t
t0 ) [U0 ].
En el caso finito-dimensional, la solución general de un sistema diferencial
lineal
y0 (t) = kAy(t), y(t0 ) = y0 ,
puede expresarse en la forma
y(t; t0 , y0 ) = exp(k(t
t0 )A)y0 .
La analogı́a entre ambos problemas, permite identificar el semigrupo uniparamétrico de operadores St , t 0, con el semigrupo exponencial exp(tD2 )
St = exp(tD2 ),
206
t
0.
Apéndice: cálculo de algunas integrales relacionadas
R +1
p
Nuestro objetivo es justificar la fórmula 1 exp( y 2 )dy = ⇡ y efectuar
el cálculo de otras integrales relacionadas con la ecuación del calor. Para ello
introducimos la función definida mediante la fórmula integral
(x) :=
Z
exp( t)tx
1
dt,
x > 0.
0
(1) =
Z
+1
exp( t)dt = 1.
0
Integrando por partes puede verificarse la siguiente ecuación funcional
(x + 1) =
+1
x
exp( t)t dt = x
0
Z
lo que permite deducir que el valor de
exp( tx)t
dt = x (x),
0
para cualquier entero es
1)!
Algunas integrales
pueden expresarse en términos de la función , por ejemplo
R1
la integral 0 (1 x)p xq dx. Para calcularla utilizamos el Teorema de Fubini
=
Z
Z
+1
exp( t)tx
1
dt
0
Z
Z
+1
exp( s)sy
1
ds
0
s)tx
exp( t
+1
0
+1
Z
1 y 1
s
dtds
= s/(t + s) podemos expresar
1
exp( ⌧ )(⌧
0
⌧ )x 1 (⌧ )y 1 ⌧ d d⌧
Z ⌧
1
d⌧
(1
)x 1 y 1 d ,
exp( ⌧ )⌧ x+y
Z ⌧
= (x + y)
(1
)x
=
Z
[0,+1)⇥[0,+1)
Mediante un cambio de variables ⌧ = t + s,
la integral en la forma
(x) (y) =
0
0
207
Realizando el cambio x = (1 + sen ✓)/2 en la integral anterior, obtenemos
Z 1
Z ⇡/2
dx
p
=
d✓ = ⇡,
x x2
0
⇡/2
de donde se deduce que
x 1
0
1 y 1
d
(p + 1) (q + 1)
.
(p + q + 2)
1/2 en la fórmula anterior tenemos
Z 1
dx
p
(1/2)2 =
x x2
0
+1
(n) = (n
(x) (y) =
x)p xq dx =
0
Tomando p = q =
+1
Observemos que
Z
de donde deducimos que
Z 1
(1
(1/2) =
p
⇡.
Utilizando la ecuación funcional (x + 1) = x (x), podemos calcular el valor
de para todos los números de la forma n + 1/2, siendo n un entero
p Y
n
⇡
(n + 1/2) = n
(2j 1).
2 j=1
Podemos aplicar ahora nuestros cálculos para obtener el valor de integrales
de la forma
Z +1
⇣ y2 ⌘
exp
y n dy
4t
0
con t > 0. Realizamos el cambio de variables y = 2t1/2 x1/2 , obteniendo
Z +1
Z +1
⇣ y2 ⌘
dx
exp
y n dy = 2n tn/2
exp( x)xn/2 2t1/2 1/2
4t
2x
0
0
⇣n + 1⌘
= 2n t(n+1)/2
.
2
Tomando n = 0 en la fórmula anterior obtenemos
Z +1
Z +1
⇣ y2 ⌘
⇣ y2 ⌘
p
p
exp
dy = 2
exp
dy = 2 (1/2) t = 4⇡t
4t
4t
1
0
y para t = 1/4
Z
+1
exp( y 2 )dy =
1
208
p
⇡.
17. La ecuación de Laplace
de donde se deduce la ecuación de Poisson
La ecuación elı́ptica más simple es la ecuación de Laplace es
u = 0.
Las soluciones de la ecuación de Laplace se llaman funciones armónicas. La
versión no homogénea de la ecuación de Laplace
div grad u(x) = ✏
1
⇢(x),
Si no hay cargas en la región considerada, el potencial eléctrico verifica la
ecuación de Laplace
u = 0.
Las ideas anteriores pueden generalizarse a otros campos conservativos
como el campo gravitatorio. Es bien conocido que el campo gravitatorio g(x)
generado por una distribución de masas ⇢(x) verifica la ley de Gauss
u=f
recibe el nombre de ecuación de Poisson.
div g(x) =
Ecuación de Laplace y fenómenos estacionarios
La ecuación de Laplace aparece con frecuencia en fenómenos intependientes
del tiempo. Ası́ las ondas estacionarias
utt = c2 u,
ut = 0,
Por tanto, el potencial gravitatorio es la solución de la ecuación de Poisson
ut = 0,
div grad u(x) =
obedecen a la ecuación de Laplace.
La ecuación de Laplace también aparece en electrostática. Si no hay
desplazamientos de cargas ni variaciones temporales en los campos eléctrico
y magnético, las ecuaciónes de Maxwell
div E(x, t) = ✏
1
⇢(x, t),
div B(x, t) = 0,
rot E(x, t) =
Bt (x, t)
rot B(x, t) = µ✏Et (x, t) + µJ(x, t),
se reducen a
div E(x) = ✏
1
⇢(x),
rot E(x) = 0,
siendo G = 6.67428 ⇥ 10 11 N m2 kg 2 la constante de gravitación universal.
Como la fuerza gravitacional es una fuerza conservativa, existe una función
potencial u(x), llamado potencial gravitatorio tal que
g(x) = grad u(x).
y las soluciones estacionarias de la ecuación de difusión
ut = k u,
4⇡G⇢(x),
div B(x) = 0,
rot B(x) = 0
Como rot E = 0, se deduce que el campo eléctrico deriva de un potencial
4⇡G⇢(x).
En regiones vacı́as del espacio donde no hay masa, el potencial gravitatorio
verificará la ecuación de Laplace
u = 0.
Otro ejemplo interesante es el flujo estacionario que se produce en un
fluido. Generalmente, el estado dinámico de un fluido viene determinado por
la velocidad v(x, t) en cada punto x e instante de tiempo t.
Recordemos que la ley de conservación de la masa puede formularse en
forma diferencial
⇢t (x, t) + div(⇢(x, t)v(x, t)) = 0.
Si el fluido es incompresible, entonces ⇢ debe ser constante. Luego tenemos
E(x) = grad u(x),
div v(x, t) = 0.
209
210
Si el flujo es estacionario, entonces vt = 0, de donde podemos suponer que la
velocidad en el seno del fluido sólo depende de las variables espaciales
div v(x) = 0.
Derivando formalmente en la serie respecto a x obtenemos
ux (x, y) + ivx (x, y) =
Si el flujo estacionario es irrotacional, es decir la matriz @v(x)/@x es simétrica,
tenemos que
grad div v(x) = v(x),
luego las componentes de la velocidad verifican la ecuación de Laplace
v(x) = 0.
y la condición de flujo estacionario incompresible div v(x) = 0 equivale a la
ecuación de Laplace
u(x) = 0
z0 ) n =
1
X
nan (x + yi
z0 ) n
1
n=1
= f 0 (x + iy),
y derivando respecto a y
uy (x, y) + ivy (x, y) =
Además puede demostrarse que existe una función u(x) llamada potencial de
velocidades tal que
v(x) = grad u(x),
1
@ X
an (x + iy
@x n=0
1
@ X
an (x + iy
@y n=0
z0 ) n = i
1
X
nan (x + yi
z0 ) n
1
n=1
= if 0 (x + iy).
Combinando ambas fórmulas se obtiene
uy (x, y) + ivy (x, y) = i(ux (x, y) + ivx (x, y)),
para el potencial de velocidades.
Ecuaciones de Cauchy-Riemann y funciones armónicas
Una función analı́tica puede definirse como aquella que se expresa en torno
a cada punto del dominio z0 como una serie de potencias de radio no nulo
f (z) =
1
X
an (z
z0 ) n ,
n=0
an 2 C.
La serie puede derivarse término a término y en el caso de convergencia de la
serie de las derivadas, se deduce que la serie de las derivadas es precisamente
el desarrollo en serie de potencias de la función derivada
f 0 (z) =
1
X
nan (z
z0 ) n
1
.
n=1
de donde se deducen las ecuaciones de Cauchy-Riemann
uy (x, y) =
vx (x, y),
vy (x, y) = ux (x, y).
Derivando las ecuaciones de Cauchy-Riemann tenemos
uxx = vxy =
uyy ,
vxx =
vyy ,
de donde se deduce que las partes real e imaginaria de una función analı́tica
verifican la ecuación de Laplace
uxx + uyy = 0,
vxx + vyy = 0.
La función analı́tica puede verse como una función de dos variables reales
y dos componentes reales. Llamando z = x + iy, u(x, y) = Re f (x + iy),
v(x, y) = Im f (x + iy), tenemos
f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)
211
uxy =
212
Principio del máximo
Una función subarmónica es aquella que verifica la desigualdad
u
0.
Corolario 17.2. Sea D un conjunto abierto conexo con clausura compacta
D̄ y sea u 2 C(D̄) una función armónica en D. Entonces u alcanza su máximo
y su mı́nimo en la frontera @D.
Demostración. Basta con aplicar el principio del máximo a u y
Las funciones subarmonicas verifican el prinicipio del máximo, que puede
considerarse como una generalización a varias variables de una propiedad de
las funciones convexas en una variable. Es bien conocido que si una función
convexa tiene un extremo relativo en el interior de un intervalo, este es un
mı́nimo. Esta propiedad puede verse bajo el siguiente punto de vista: el
máximo de toda función convexa definida en un intervalo debe alcanzarse en
los extremos. La correspondiente propiedad de las funciones subarmónicas da
lugar al llamado principio del máximo.
Teorema 17.1 (Principio del máximo). Sea D un conjunto abierto conexo con clausura compacta D̄ y sea u 2 C(D̄) una función subarmónica en
D. Entonces el máximo de u se alcanza en la frontera @D.
Pn
Demostración. Sea v" (x) = u(x) + " i=1 x2i , entonces v" = 2n" > 0 en
D. Se deduce que la matriz hessiana de v✏ no es semidefinida negativa y la
función v" no puede alcanzar su máximo valor en el interior. Por tanto, el
máximo de v" se alcanza en x" 2 @D,
u.
Corolario 17.3 (Unicidad del problema de Dirichlet). Sea D un conjunto abierto conexo con clausura compacta D̄. El problema de Dirichlet
x 2 D,
u(x) = f (x),
u(x) = g(x),
x 2 @D,
para la ecuación de Poisson, tiene a lo sumo una solución u 2 C(D̄).
Demostración. Si u1 y u2 son dos soluciones, su diferencia u2 u1 es una
función armónica, continua en D̄ y nula en la frontera. Por el principio del
máximo, su valor máximo y mı́nimo deben ser nulos, luego u2 u1 = 0.
Propiedad del Valor Medio
Aplicando el teorema de la divergencia a la relación
div(v(x) grad u(x)) = grad v(x) grad u(x) + v(x) u(x),
v" (x" ) = máx v" (x).
x2D̄
Entonces tenemos que
u(x) < v" (x)  v" (x" ) = u(x" ) + "kx" k22  máx u(x) + "l2 ,
x2@D
máx u(x)  máx u(x)  máx u(x) + "l2 ,
x2@D
x2D̄
y haciendo tender " ! 0, obtenemos
máx u(x) = máx u(x).
x2D̄
D
v(x)Dn u(x)d (x).
(17.1)
@D
Tomando v = 1, en (17.1) se tiene
siendo l := máxx2@D kxk2 . Luego
x2@D
se obtiene la primera fórmula de Green
Z
Z
(grad v(x) grad u(x) + v(x) u(x))dx =
x2@D
Z
Dn u(x)d (x) =
@D
Z
u(x)dx.
D
Si u es una función armónica, se deduce que
Z
Dn u(x)d (x) = 0.
@D
Como consecuencia del principio del máximo tenemos
213
La fórmula anterior es útil para mostrar la propiedad del valor medio.
214
(17.2)
Teorema 17.4 (Propiedad del valor medio). El promedio del valor de
una función armónica en una esfera coincide con su valor en el centro
R
u(x0 + x)d (x)
kxk2 =r
0
R
u(x ) =
.
d (x)
kxk2 =r
Demostración. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que el centro
es el origen, x0 = 0. Sea Sn 1 la hiperesfera unitaria de dimensión n 1
S
n 1
cuya medida medida (n
n
1)-dimensional denotamos por
1
Vamos a aplicar la fórmula (17.2) a una función armónica en el dominio
D = Br (0) := {x 2 R | kxk2  r},
cuya frontera es
@D = {ry 2 Rn | kyk2 = 1} = rSn
1
.
En cada punto de la esfera x = ry, y 2 S
, la dirección normal
exterior n(x) es y = r 1 x y el elemento de superficie es d (ry) = rn 1 d✓(y),
donde d✓ denota el elemento de superficie de la esfera unitaria (también puede
considerarse como un elemento de ángulo solido). De (17.2) se deduce que
Z
Dn u(x)d (x) =
kxk2 =r
= rn
1
Z
Sn
1
Dy u(ry)rn
Sn
1
grad u(ry) · y d✓(y).
Sea
F (r) :=
Z
u(ry)d✓(y),
Sn
1
215
lı́m F (r) = u(0)!n
r!0+
Por tanto,
R
SnR
u(ry)d✓(y)
=
d✓(y)
Sn 1
1
R
1.
kxk2 =r
R
u(x)d (x)
kxk2 =r
d (x)
.
En esta sección daremos una interpretación fı́sica del funcional
Z
E[u] :=
(grad u(x))2 dx
D
u(x) = h(x),
n 1
Z
lo que implica que F (r) es una función constante, además
en términos de energı́a potencial e introduciremos la idea de que las funciones armónicas minimizan la energı́a entre aquellas que satisfacen las mismas
condiciones de contorno. Para ello recordemos que el problema de contorno
de Dirichlet
u = 0,
n
0=
1
Principio de Dirichlet
2⇡ n/2
.
(n/2)
:=
Sn
u(0) =
:= {x 2 R | kxk2 = 1}
!n
entonces derivando respecto a r, obtenemos
Z
F 0 (r) =
grad u(ry)ry d✓(y) = 0,
1
d✓(y)
x 2 @D,
puede interpretarse como la posición que adopta una membrana elástica forzada a ajustarse a un determinado contorno en la frontera.
Podemos definir la energı́a potencial asociada a una membrana como
el trabajo necesario para desplazar la membrana desde la posición dada a
la posición de equilibrio bajo condiciones adecuadas. Supongamos que la
posición actual u se ha obtenido como estado final de estados intermedios us ,
s 2 [0, 1], donde u0 = 0 y u1 = u
Teniendo en cuenta que densidad de fuerza de tensión en la dirección
transversal es aproximadamente hT0 u, donde h es el grosor de la membrana
y T0 el esfuerzo de tensión, este trabajo puede estimarse como
Z 1Z
@us
Wu!0 = hT0
us (x)
(x)dxds
@s
0
D
216
Tomando v = @us /@s en la primera fórmula de Green (17.1), tenemos
Z 1Z
@us
Wu!0 = hT0
grad us (x) grad
(x)dxds
@s
0
D
Z 1Z
@us
hT0
Dn us (x)
(x)d (x)ds.
@s
0
@D
El primer término es independiente del camino recorrido
Z 1Z
Z Z 1
@us
1
@
grad us (x) grad
(x)dxds =
(grad u(x))2 dsdx
@s
2
@s
0
D
D 0
Z
1
=
(grad u(x))2 dx.
2 D
El segundo término corresponde al trabajo realizado por los esfuerzos de tensión exteriores al dominio sobre su frontera. Eliminando el trabajo realizado
correspondiente a las fuerzas exteriores al domino D, vemos que puede definirse la energı́a potencial elástica a través de la integral
Z
hT0
(grad u(x))2 dx.
2 D
Teorema 17.5 (Principio de Dirichlet). De todas las funciones w 2 C(D̄)
de energı́a finita que verifican la condición de frontera de Dirichlet
w(x) = h(x),
x 2 @D,
Tomando v = w u en la primera fórmula de Green (17.1) tenemos
Z
grad u(x) grad(w u)(x)dx
D
Z
Z
=
(w u)(x)Dn u(x)dx
(w u)(x) u(x)dx.
@D
E[w] = E[u] + E[w
Como u es armónica en D, tenemos que u = 0 y el funcional E puede
expresarse como una integral sobre la frontera.
Z
1
E[u] =
u(x)Dn u(x)dx.
2 @D
u(x)Dn u(x) = 0,
lo que implica que
u|@D = h.
Entonces tenemos
u)] = E[u] + E[w
217
u] +
Z
grad u(x) grad(w
D
E[u].
Si u verifica condiciones de Dirichlet o de Neumann homogéneas, entonces
Demostración. Como hemos visto, la energı́a potencial es proporcional al
funcional cuadrático
Z
1
E[u] :=
(grad u(x))2 dx.
2 D
E[w] = E[u + (w
u]
La unicidad de solución del problema de Dirichlet o de Neumann puede
deducirse de un argumento basado en la energı́a elástica almacenada por la
función armónica. En efecto, si u 2 C(D̄) es una función armónica cuya
energı́a sobre D es finita, entonces por la primera fórmula de Green (17.1)
tenemos
Z
Z
Z
1
1
1
E[u] =
(grad u(x))2 dx =
u(x)Dn u(x)dx
u(x) u(x)dx.
2 D
2 @D
2 D
la función de menor energı́a potencial es la única función armónica
u = 0,
D
El primer término del segundo miembro es nulo, por ser w u nula en la
frontera y el segundo término es nulo por ser u armónica. Por tanto, tenemos
u)(x)dx.
Z
x 2 @D,
(grad u(x))2 dx = 0.
D
Se deduce que grad u = 0 en D y que la función u es constante.
Si u1 y u2 son dos funciones armónicas que verifican la misma condición
de Dirichlet, entonces u = u2 u1 = 0 y tenemos unicidad de solución.
En el caso en que u1 y u2 sean dos funciones armónicas que verifican la
misma condición de Neumann, sólo podemos deducir que u2 u1 es constante.
Por lo tanto, el problema de Neumann tiene solución única salvo adición de
constantes.
218
18. Solución fundamental y función de Green
En este capı́tulo, demostraremos que puede expresarse la solución de la ecuación del problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace a través de una
fórmula integral. Esta fórmula integral está intimamente ligada a las ideas
de solución fundamental y función de Green de una ecuación en derivadas
parciales, que mostraremos en el caso de la ecuación de Laplace.
Soluciones radiales de la ecuación de Laplace
Las soluciones radiales correspondientes a D = 0 y C = 1/!n 1 , donde
!n 1 = 2⇡ n/2 / (n/2) es la medida n 1 dimensional de la esfera unitaria,
reciben el nombre de soluciones fundamentales de la ecuación de Laplace o
potencial Newtoniano
N (x) := fn (kxk2 ),
Buscamos soluciones radiales u(x) =Pf (kxk2 ) de la ecuación de Laplace en
n
Rn \ {0}. Llamando r(x) = kxk2 = ( i=1 x2i )1/2 , tenemos
@r
xi
(x) =
,
@xi
r(x)
y
xi xi
1 ⇣
=
1
2
r(x) r(x)
r(x)
@2r
1
(x) =
@x2i
r(x)
x2i ⌘
,
r(x)2
@
@r
xi
f (r(x)) = f 0 (r(x))
(x) = f 0 (r(x))
,
@xi
@xi
r(x)
⇣ @r
⌘2
@2
@2r
f (r(x)) = f 00 (r(x))
(x) + f 0 (r(x)) 2 (x)
2
@xi
@xi
@xi
⇣
2
0
x
f
(r(x))
x2i ⌘
= f 00 (r(x)) i 2 +
1
,
r(x)
r(x)
r(x)2
de donde obtenemos
u(x) = f 00 (r(x)) + (n
1)
f 0 (r(x))
.
r(x)
Por tanto, si la función radial u(x) = f (r(x)) es armónica en x 6= 0, entonces
f (r) debe ser solución de la ecuación diferencial
f 00 (r) =
de donde se deduce que
1
n
r
f 0 (r),
f (r) = Cr
1 n
2
,
(18.1)
si n > 2.
La primera fórmula de Green (17.1) puede escribirse en la forma
Z
Z
(v u + grad v · grad u)dx =
vDn ud (x).
D
@D
Intercambiando los papeles de u y v obtenemos
Z
Z
(u v + grad u · grad v)dx =
D
uDn vd (x).
@D
Al restar ambas fórmulas, desaparecen los términos grad u · grad v, obteniéndose la llamada segunda fórmula de Green
Z
Z
(u v v u)dx =
(uDn v vDn u)d (x).
(18.2)
D
@D
y) = fn (kx
yk2 ) = N (y
x),
en el abierto
e integrando obtenemos
219
si n = 2,
Aplicando la segunda fórmula de Green a la solución fundamental (18.1)
,
8
< Cr + D,
f (r) = C log(r) + D,
: 2 n
Cr
/(2 n) + D,
si n = 1,
La fórmula de representación de Green
N (x
0
81
>
r,
>
>
>
2
>
>
< 1
log r,
fn (r) :=
2⇡
>
>
>
>
>
1
>
:
(n 2)!n 1 rn
D \ B̄r (y) = {x 2 D | kx
si n = 1,
si n = 2,
si n > 2.
yk2 > "}
obtenemos la tercera fórmula de Green, también llamada fórmula de representación de Green que permite expresar una función armónica en términos
de los valores de la función y de sus derivadas normales en la frontera.
220
Proposición 18.1 (Fórmula de representación de Green). Sea D un
abierto acotado con frontera orientable y lipschitziana y sea u 2 C 2 (D̄), entonces
Z
u(y) =
N (x y) u(x)dx+
Z D
+
grad N (x y)n(x)u(x) N (x y)Dn u(x) d (x).
@D
En particular, si u es una función armónica en D, entonces
Z
u(y) =
grad N (x y)n(x)u(x) N (x y)Dn u(x) d (x).
Demostración. Para demostrar la fórmula de representación de Green, podemos aplicar una traslación, lo que permite suponer sin pérdida de generalidad que y = 0. La fórmula (18.3) se reduce a
Z
N (x) u(x)dx +
D
Z
N (x) u(x)dx =
D\B̄r (0)
Z
Dn u(x)d (x) =
kxk=r
lı́m
r!0
kxk=r
Veamos que (18.4) se obtiene al tomar lı́mites cuando r ! 0 en la expresión
anterior.
Z
Z
u(x)dx.
Br (0)
Dn u(x)d (x) = 0.
kxk=r
Por otro lado
fn0 (r)
Z
u(x)d (x)
u(0) =
kxk=r
!n
1
n
1r
1
Z
 máx |u(x)
x2B̄r (0)
(u(x)
kxk=r
u(0)|
y de la continuidad de u en el origen deducimos
lı́m fn0 (r)
r!0
Z
u(x)d (x) = u(0),
kxk=r
lo que justifica el paso al lı́mite cuando r ! 0.
En primer lugar tengamos en cuenta que N (x) es una función continua
en Rn \ {0} e integrable en un entorno del origen porque rn 1 fn (r) es una
221
N (x) u(x)dx.
D
Sea R > 0 tal que B̄R (0) ⇢ D. Como u es continua en D̄, está acotada y
tenemos
Z
!n 1 r n
fn (r)
u(x)dx 
f (r) máx | u|,
n
x2D̄
Br (0)
@D
Por lo tanto, tenemos
Z
Z
N (x) u(x)dx +
(Dn N (x)u(x) N (x)Dn u(x))d (x) =
D\B̄r (0)
@D
Z
Z
= fn0 (r)
u(x)d (x) fn (r)
Dn u(x)d (x).
Z
De la primera fórmula de Green (17.1), se deduce que
N (x)Dn u(x))d (x). (18.4)
@(D\B̄r (0))
kxk=r
r!0
Z
luego
(Dn N (x)u(x)
Como N es armónica en el abierto D \ B̄r (0), deducimos de la segunda
fórmula de Green que
Z
Z
N (x) u(x)dx =
(Dn N (x)u(x) N (x)Dn u(x))d (x).
D\B̄r (0)
lı́m
(18.3)
@D
u(0) =
función continua y que u(x) es una función continua en el compacto D̄. Por
tanto, podemos pasar al lı́mite en la integral
222
u(0))d (x)
Solución del problema de Dirichlet y función de Green
La fórmula de representación de Green puede utilizarse para resolver el problema de Dirichlet mediante una fórmula integral.
Definición 18.2. La función de Green (o núcleo de Green) para el operador
Laplaciano y el dominio D es una función G : (x, y) 2 D̄ ⇥ D ! R tal
que G(x, y) N (x y) es una función armónica con G(x, y) = 0 para todo
x 2 @D, y 2 D.
La función de Green para un dominio dado permite obtener una representación integral de la solución del problema de Dirichlet para la ecuación
de Poisson. Tengamos en cuenta que el dominio no puede ser arbitrario ya
que las representaciones integrales de las soluciones se basan en el Teorema de
representación de Green y es necesario imponer condiciones de orientabilidad
y regularidad en la frontera. Aunque la representación integral es muy útil,
la función de Green de un cierto dominio puede ser difı́cil de construir.
La solución u del problema de Dirichlet para la ecuación de Poisson en
el dominio D
u = f,
u(x) = g(x), x 2 @D,
puede expresarse como suma de dos funciones u1 +u2 , donde u1 es una solución
del problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace (problema de Laplace)
u = 0,
u(x) = g(x),
x 2 @D,
y u2 es una solución del problema de Dirichlet con condiciones homogéneas
para la ecuación de Poisson (problema de Poisson)
u = f,
u(x) = 0,
x 2 @D,
Teorema 18.3. La solución del problema de Laplace
u = 0,
u(x) = g(x),
x 2 @D,
viene dada por la fórmula integral de Poisson
u(y) =
Z
P (x, y)g(x)d (x),
@D
donde P : (x, y) 2 @D ⇥ D ! R es el llamado núcleo de Poisson, obtenido de
la función de Green mediante la fórmula
P (·, y) = Dn G(·, y).
Demostración. Sin pérdida de generalidad tomemos y = 0. Sea v(x) :=
G(x, 0) N (x). Por la definición de función de Green, v es armónica. Por la
tercera fórmula de Green (18.3), tenemos
Z
u(0) =
(u(x)Dn N (x) N (x)Dn u(x))d (x),
@D
y por la segunda fórmula de Green (18.2),
Z
0=
(u(x)Dn v(x) v(x)Dn u(x))d (x).
@D
Sumando ambas fórmulas
Z
u(0) =
(u(x)Dn G(x, 0)
y, por definición de función de Green, G(x, 0) = 0 para todo x 2 @D, ası́ que
la fórmula se reduce a
Z
Z
u(0) =
u(x)Dn G(x, 0)d (x) =
P (x, 0)u(x)d (x).
@D
@D
La función de Green puede utilizarse para expresar la solución del problema de Poisson.
Teorema 18.3. La solución del problema de Poisson
u = f,
u(x) = 0,
x 2 @D,
viene dada por la fórmula integral
Z
u(y) =
G(x, y)f (x)dx,
D
223
G(x, 0)Dn u(x))d (x).
@D
224
donde G : (x, y) 2 D̄ ⇥ D ! R es la función de Green G(x, y).
Demostración. Sin pérdida de generalidad tomamos y = 0. Apliquemos la
fórmula de representación de Green en el abierto D al potencial Newtoniano
N (x) y tendremos
Z
N (x)f (x)dx
D
Z
N (x)Dn u(x)d (x) = u(0).
@D
Z
v(x)f (x)dx
D
v(x)Dn u(x)d (x) = 0.
@D
G(x, 0)f (x)dx
D
Z
Sin embargo los polinomios son suma de monomios, que tienen las variables separadas. Por tanto podemos esperar que la familia de funciones que
son sumas de funciones de variables separadas sea una familia suficientemente extensa para poder representar un amplio conjunto de soluciones de una
ecuación diferencial.
Si V y W son dos espacios vectoriales de funciones de una sola variable,
se define el producto tensorial de ambos espacios como
N
X
V ⌦W ={
fi (x)gi (y) | fi 2 V, gi 2 W, i = 1, . . . , N, N 2 N}
el conjunto de sumas finitas de productos de funciones en cada variable.
G(x, 0)Dn u(x)d (x) = u(0).
Si V y W son espacios de dimensión finita, entonces
@D
Como G(x, 0) = 0 para todo x 2 @D, obtenemos
u(0) =
h(x, y) = X(x)Y (y),
i=1
Sumando ambas fórmulas tenemos
Z
No todas las funciones de 2 variables tienen las variables separadas
es decir son expresables como producto de una función de cada variable.
Sea v(x) = G(x, 0) N (x). Aplicando la segunda fórmula de Green a la
función armónica v en el abierto D, tenemos
Z
19. El método de separación de variables
Z
dim(V ⌦ W ) = dim V · dim W.
En efecto si i , i = 0, . . . , n, es una base del espacio V y j , j = 0, . . . , m es
una base del espacio W , entonces el conjunto de funciones
G(x, 0)f (x)dx.
{ i (x)
D
j (y)
| i = 0, . . . , n, j = 0, . . . , m}
es una base de V ⌦ W .
El ejemplo más caracterı́stico de producto tensorial de espacios vectoriales es
n X
m
X
Pn,m (R2 ) :=
aij xi y j | aij 2 R
i=0 j=0
el espacio de polinomios cuyo grado en x es menor o igual que n y cuyo
grado en y es menor o igual que m. Si denotamos por Pn (R) el conjunto de
polinomios en una indeterminada de grado menor o igual que n, tenemos
Pn,m (R2 ) = Pn (R) ⌦ Pm (R).
225
226
El conjunto de polinomios en dos indeterminadas es el producto tensorial del
espacio de polinomios en una indeterminada por sı́ mismo
[
P (R2 ) =
Pn (R) ⌦ Pm (R) = P (R) ⌦ P (R).
n,m 0
El teorema de aproximación de Weierstrass afirma que los polinomios son
densos en el conjunto de las funciones continuas sobre un compacto. Como el
espacio C(I) ⌦ C(J) contiene a todos los polinomios, se deduce que es denso
en el conjunto de todas las funciones continuas bivariadas C(I ⇥ J), siendo I,
J intervalos compactos. Por lo tanto, aunque no toda funcion sea de variables
separadas ni suma de funciones de variables separadas, podemos esperar que
pueda expresarse como lı́mite de sumas (o series) de funciones de variables
separadas.
La discusión anterior motiva el siguiente método de búsqueda de soluciones de ecuaciones en derivadas parciales. Primero intentamos conocer las
soluciones de variables separadas y obtenemos espacios de soluciones mediante sumas finitas de soluciones con variables separadas. Después estudiamos el
proceso de paso al lı́mite.
El método de separación de variables es especialmente útil cuando se
presentan condiciones de contorno. En el análisis de las soluciones de la
ecuación de ondas
utt = c2 uxx ,
Una motivación para el análisis de las ondas mediante funciones trigonométricas es el fenómeno de reflexión de ondas en un intervalo. Supongamos
que tenemos una cuerda vibrante sujeta por ambos extremos, lo que corresponde a imponer condiciones de Dirichlet homogéneas.
Si tenemos un pulso viajero elemental desplazándose hacia uno de los
extremos, este se reflejará y se convertirá en un pulso viajando a la velocidad
contraria hasta que se vuelva a reflejar en el otro extremo. Conforme pasa
el tiempo las reflexiones en uno y otro extremo se suceden indefinidamente.
Como el pulso viaja a la velocidad c, una vez transcurrido el tiempo 2l/c
el pulso coincide con el pulso inicial. Esto sugiere que las soluciones de la
ecuación de ondas son periódicas en el tiempo con un periodo igual a 2l/c.
Las funciones trigonométricas son las funciones periódicas más simples por lo
que cabe esperar que existan soluciones de la forma
u(x, t) = (x) cos(!t) + (x)!
El valor de A corresponde a la amplitud de la onda, k es es llamado número
de onda relacionado con la longitud de onda mediante la fórmula k = 2⇡/ ,
! es la pulsación o frecuencia angular, relacionada con el periodo T mediante
! = 2⇡/T , y es la fase de la onda. Para que la fórmula anterior corresponda
a soluciones de la ecuación de ondas, es preciso que se tenga la relación
!
c= = .
k
T
En el análisis tradicional de las ondas, se estudia preferentemente el comportamiento de las soluciones sinusoidales porque se presupone que una solución
arbitraria puede descomponerse como suma o serie de tales soluciones.
227
sen(!t),
es decir, buscamos soluciones que correspondan para cada x a un movimiento armónico simple, por lo que tales soluciones deben verificar la ecuación
diferencial
⇡c
utt + ! 2 u = 0, ! 2
Z.
l
Al imponer la ecuación de ondas obtenemos
juegan un papel importante las soluciones sinusoidales de la forma
u(x, t) = A sen(kx ± !t + ').
1
! 2 (x) = c2
00
! 2 (x) = c2
(x),
00
(x)
de donde deducimos que ambas funciones y son soluciones de la ecuación
diferencial
!
y 00 (x) + k 2 y(x) = 0, k = .
c
Por tanto, el conjunto de soluciones que verifican
utt = c2 uxx ,
utt + ! 2 u = 0,
es un espacio vectorial de dimensión 4, generado por la base de soluciones de
variables separadas
cos(!t) cos(kx),
cos(!t) sen(kx),
sen(!t) cos(kx),
228
sen(!t) sen(kx),
con k = !/c. Las soluciones trigonométricas obtenidas pueden expresarse
como la suma de dos ondas viajeras sinusoidales
A1 sen(kx
!t + '1 ) + A2 sen(kx + !t + '2 ).
Teniendo en cuenta que k = !/c, el hecho que la frecuencia angular sea
un múltiplo de la frecuencia fundamental ⇡c/l,
!2
⇡c
Z
l
El método de separación de variables parte de la búsqueda de soluciones
de variables separadas de una ecuación diferencial dada. Centraremos nuestro
análisis en el estudio de la ecuación de ondas por su importancia histórica,
aunque este método también puede aplicarse a la ecuación del calor y a la
ecuación de Laplace. Convenientemente adaptado, el método de separación
de variables puede utilizarse para determinar series que expresan soluciones de
ecuaciones no homogéneas, ecuaciones con coeficientes variables, ecuaciones
de orden superior o incluso con más de dos variables.
Proposición 19.1. El problema de contorno de Dirichlet
implica que
⇡
Z
l
Observemos que esto da una condición geométrica sobre la longitud de onda
= 2⇡/k,
2l
l
= k 2 Z.
⇡
utt = c2 uxx
k2
Las vibraciones sonoras que se producen en un instrumento musical (por
ejemplo, una cuerda de guitarra o el tubo de resonancia de una flauta) están
gobernadas por ecuaciones en derivadas parciales muy similares a la ecuación de ondas. La geometrı́a de un instrumento musical impone condicones
de contorno que limitan el tipo soluciones (su longitud de onda y por tanto
su frecuencia) de la ecuación diferencial dada. Las soluciones de estas ecuaciones pueden aproximarse mediante combinaciones lineal de soluciones más
simples de modo que los coeficientes de dicha combinación lineal decrecen
rápidamente. Este hecho corresponde a la idea de que en un instrumento
musical simple se produce un sonido que puede interpretarse como la combinanción de un tono principal al cual le acompañan otros armónicos cuya
frecuencia es un múltiplo de la del tono principal. La forma en que se combinan estos tonos es responsable del timbre propio de cada instrumento.
(19.1)
u(0, t) = 0 = u(l, t)
u(x, 0) = (x),
ut (x, 0) = (x)
admite soluciones de variables separadas no nulas si y sólo si
(x) = aX(x),
(x) = bX(x),
(19.2)
siendo a, b 2 R constantes no simultáneamente nulas y X(x) una solución no
trivial de problema de contorno
X 00 (x) + X(x) = 0,
para cierto valor de
es de la forma
X(0) = X(l) = 0,
(19.3)
2 R. En ese caso, la única solución del problema (19.1)
u(x, t) = X(x)T (t),
(19.4)
siendo T (t) la única solución del problema de valor inicial
T 00 (t) + c2 T (t) = 0,
T (0) = a,
T 0 (0) = b.
(19.5)
Por tanto, podemos afirmar que el sonido que emiten los instrumentos
musicales está estrechamente relacionado con la descomposición de la solución
de un problema de contorno de la ecuación de ondas como serie de soluciones trigonométricas correspondientes a frecuencias caracterı́sticas. El análisis
del problema de Dirichlet homogéneo para la ecuación de ondas mediante el
método de separación de variables nos permitirá comprender mejor esta relación entre geometrı́a de los medios elásticos y la frecuencia de sus vibraciones
caracterı́sticas.
Demostración. En primer lugar veamos qué soluciones del problema pueden
ser de variables separadas u(x, t) = X(x)T (t). La solución que buscamos
no debe ser nula, lo que implica que X(x) y T (t) no deben ser funciones
idénticamente nulas. Por tanto, existe x0 2 [0, l] y t0 2 R tales que X(x0 ) 6= 0
y T (t0 ) 6= 0. Al imponer que u(x, t) sea solución de la ecuación diferencial,
obtenemos la relación
229
230
X(x)T 00 (t) = c2 X 00 (x)T (t).
(19.6)
Al sustituir x = x0 , t = t0 , obtenemos la relación
que existen soluciones no triviales se llaman valores propios del problema de
Sturm-Liouville. Cada solución no trivial de un problema de Sturm-Liouville
recibe el nombre de función propia y está asociada a un valor propio.
X 00 (x0 )
T 00 (t0 )
= 2
.
X(x0 )
c T (t0 )
Sea
:=
X 00 (x0 )
=
X(x0 )
T 00 (t0 )
.
c2 T (t0 )
(19.7)
Sustituyendo en (19.5), t = t0 , obtenemos
T 00 (t0 )
X (x) = 2
X(x) =
c T (t0 )
00
X(x).
Ası́ que tenemos que X(x) es solución del problema de contorno (19.3).
Supongamos que el problema (19.2) admite soluciones no triviales para
algún valor de . Para determinar T (t), tenemos que sustituir en (19.6),
x = x0 obteniendo
c2 T (t).
Finalmente, observamos que si queremos que se verifiquen las condiciones
iniciales debemos tener
T 0 (0)X(x) = (x),
y llamando T (0) = a, T 0 (0) = b, vemos que debe verificarse (19.2) con a y
b no simultáneamente nulas. Recı́procamente, si las condiciones iniciales son
de la forma (19.2), siendo X(x) solución de (19.3), y si T (t) es solución del
problema de valor incial (19.5), entonces T (t)X(x) es solución del problema
de Dirichlet. La unicidad de solución de (19.1) se deduce del método de la
energı́a expuesto en la última sección del Capı́tulo 13.
El problema de contorno dependiente de un parámetro (19.3) es un caso
particular de problema de Sturm-Liouville. Los valores del parámetro para los
231
X(x)T (t)
Y (x)S(t),
X(x)S(t) + Y (x)T (t)
no son soluciones de variables separadas propiamente dichas pero son una suma de dos funciones de variables separadas, aunque cada uno de los sumandos
no es solución.
X(0) = X(l) = 0.
T (0)X(x) = (x),
(X(x)+iY (x))(T (t)+iS(t)) = X(x)T (t) Y (x)S(t)+i(X(x)S(t)+Y (x)T (t)),
la partes reales e imaginarias de estas soluciones
Las condiciones de contorno se traducen en
X 00 (x0 )
T 00 (t) = c2
T (t) =
X(x0 )
Si consideramos la posibilidad de que las funciones propias y los valores
propios sean complejos, entonces aparecerán soluciones de variables separadas
de la forma
Otro motivo para tomar en consideración las soluciones complejas son las
las ondas amortiguadas, que aparecen en algunos problemas de contorno,
e↵(x
ct)
cos(kx
!t)),
! = kc,
y que pueden expresarse de un modo compacto, como la parte real de una
onda exponencial compleja
e(↵+ki)(x ct) .
Nuestro próximo objetivo es resolver el problema de Sturm-Liouville
(19.3).
Lema 19.2. El problema de Sturm-Liouville (19.3) solamente tiene valores
propios reales positivos
⇣ n⇡ ⌘
, n 2 N.
n =
l
A cada valor propio
propias
n,
corresponde un espacio unidimensional de funciones
Xn (x) := sen
⇣ n⇡x ⌘
l
.
Demostración. Consideraremos separadamente los casos en que
= 0, > 0 y 2
/ R.
232
< 0,
Si < 0, podemos escribir = k 2 , con k > 0. La solución general de
la ecuación diferencial
X 00 (x) = k 2 X(x)
es
Al imponer las condiciones de contorno obtenemos un sistema de ecuaciones
que deben verificar las constantes c0 , c1 2 R
c0 exp( kl) + c1 exp(kl) = 0,
cuya matriz de coeficientes tiene determinante
det
✓
1
exp( kl)
1
exp(kl)
◆
= exp(kl)
exp( kl) > 0,
ya que la función exponencial es una función estrictamente creciente. Por lo
tanto c0 = c1 = 0, y solamente obtenemos soluciones triviales en este caso.
Deducimos que no existen valores propios negativos.
Si
c0 = 0,
c0 cos(kl) + c1 sen(kl) = 0.
Si sen(kl) 6= 0, entonces c0 = c1 = 0 y sólo tenemos soluciones triviales.
X(x) = c0 exp( kx) + c1 exp(kx).
c0 + c1 = 0,
Al imponer las condiciones de contorno obtenemos
Por lo tanto, si
= k 2 es un valor propio del problema (19.3), entonces
sen(kl) = 0,
k > 0.
La ecuación anterior equivale a decir que la constante k debe ser un múltiplo
entero de 2⇡/l. Teniendo en cuenta que k > 0, obtenemos una sucesión de
creciente de valores de k
kn :=
n⇡
,
l
n 2 N,
para los que se verifica la condición sen(kl) = 0. Correspondiendo a cada kn ,
obtenemos los valores propios del problema de Sturm-Liouville (19.3)
= 0, entonces la solución general de la ecuación diferencial
n
= kn2 ,
n 2 N,
es
X(x) = c0 + c1 x.
Xn (x) := sen(kn x) = sen
Al imponer las condiciones de contorno obtenemos
c0 + c1 l = 0,
de donde se deduce inmediatamente que c0 = c1 = 0 y solamente obtenemos
soluciones triviales. Luego 0 no es valor propio.
Finalmente, si
solución general de
> 0, entonces podemos escribir
X 00 (x) + k 2 X(x) = 0
(19.9)
a cada uno de los cuales corresponde un espacio unidimensional de soluciones
del problema de contorno engendrado por la función propia
X 00 (x) = 0
c0 = 0,
(19.8)
= k 2 con k > 0 y la
⇣ n⇡x ⌘
l
,
X(x) = c0 cos(kx) + c1 sen(kx).
233
(19.10)
Otro caso posible teóricamente es que existiera un valor propio complejo
no real. Para descartar ese caso, sea k es una raı́z cuadrada compleja de
, es decir, = k 2 . Como 0 no es valor propio, podemos suponer k 6= 0.
Un sistema fundamental de soluciones de X 00 (x) = k 2 X(x) viene dado por
las funciones complejas exp( kx) y exp(kx). Por tanto, = k 2 será valor
propio si y sólo si
✓
◆
1
1
det
= 0,
exp( kl) exp(kl)
lo que equivale a afirmar que
puede expresarse en la forma
n 2 N.
exp( kl)(exp(2kl)
234
1) = 0.
Demostración. Las soluciones triviales aparecen al tomar n 2 N arbitrario
y an = bn = 0. Si la solución es no trivial debe corresponder a alguna solución
no trivial del problema de Sturm-Liouville (19.3),
⇣ n⇡ ⌘2
⇣ n⇡x ⌘
, Xn (x) = sen
.
n =
l
l
De la Proposición 19.1, deducimos que las condiciones iniciales deben verificar
(19.11), y que la solución del problema es Xn (x)Tn (t), siendo Tn (t) la solución
del problema de valor inicial
⇣ n⇡c ⌘2
T 00 (t) +
T (t) = 0, T (0) = an , T 0 (0) = bn ,
l
es decir
Tn (t) = an cos
⇣ n⇡ct ⌘
l
+ bn
⇣ n⇡ct ⌘
l
sen
.
n⇡c
l
Se deduce el siguiente resultado
Figura 31. Funciones propias ±X5 del problema de Sturm-Liouville.
Como los únicos ceros de la función exponencial compleja son los múltiplos
de 2⇡i, se deduce que 2kl 2 2⇡iZ, es decir
⇡i
k 2 Z,
l
de donde se deduce que = k 2 2 R y queda descartada la existencia de
valores propios no reales.
La discusión completa del problema de Sturm-Liouville nos permite deducir qué condiciones iniciales corresponden a soluciones con variables separadas.
Teorema 19.3. El problema de contorno de Dirichlet (19.1) admite soluciones de variables separadas si y sólo si
⇣ n⇡x ⌘
⇣ n⇡x ⌘
(x) = an sen
,
(x) = bn sen
,
(19.11)
l
l
siendo an , bn 2 R. En ese caso, la solución del problema de Dirichlet es de la
forma
⇣ n⇡x ⌘h
⇣ n⇡ct ⌘
⇣ n⇡ct ⌘i
bn l
u(x, t) = sen
an cos
+
sen
.
(19.12)
l
l
n⇡c
l
235
Teorema 19.4. Si las condiciones iniciales son de la forma
(x) =
N
X
an sen
n=1
⇣ n⇡x ⌘
l
,
(x) =
N
X
n=1
bn sen
⇣ n⇡x ⌘
l
,
siendo an , bn 2 R, entonces la solución del problema de contorno de Dirichlet
(19.1) es suma de soluciones con variables separadas
u(x, t) =
N
X
sen
n=1
⇣ n⇡x ⌘h
l
an cos
⇣ n⇡ct ⌘
l
+
⇣ n⇡ct ⌘i
bn l
sen
.
n⇡c
l
Hemos mencionado que el espacio de las combinaciones de funciones de
variables separadas C 2 [0, l] ⌦ C 2 (R) es denso en cierto sentido en el conjunto
de todas las funciones C 2 ([0, l] ⇥ R). Esto nos hace pensar que tal vez toda
solución pueda expresarse como lı́mite de soluciones que son combinaciones
lineales de soluciones con variables separadas. En otras palabras, queremos
expresar la solución general como una serie
u(x, t) =
1
X
n=1
sen
⇣ n⇡x ⌘h
l
an cos
⇣ n⇡ct ⌘
236
l
+
⇣ n⇡ct ⌘i
bn l
sen
.
n⇡c
l
Observemos que para determinar los coeficientes an , bn , debemos expresar las
condiciones iniciales como series
(x) =
1
X
n=1
an sen
⇣ n⇡x ⌘
l
,
(x) =
1
X
bn sen
n=1
⇣ n⇡x ⌘
l
En 1751, Euler introdujo el problema de valor inicial para la ecuación de
ondas y demostró que conocida la posición inicial y la distribución inicial
de velocidades , las solución puede expresarse mediante la fórmula
1
2
(x + ct) + (x
ct) +
1
2c
Z
x+ct
(y)dy,
x ct
discutiendo la validez de la solución para condiciones iniciales no necesariamente continuas. Euler obtuvo soluciones en forma de serie trigonométrica,
afirmando que eran un caso particular.
En 1753, D. Bernoulli propuso que la solución general podı́a expresarse en
forma de serie trigonométrica inspirado en consideraciones fı́sicas. El sonido
en una cuerda vibrante es la suma del tono fundamental y de otros tonos
(armónicos), deduciendo que toda solución era expresable en forma de serie
trigonométrica.
Euler afirmó que la solución propuesta por D. Bernoulli no era suficientemente general. En aquel momento los fundamentos del análisis moderno no
disponı́an de herramientas que permitieran aclarar algunos conceptos como
el concepto de continuidad y se discutı́a hasta qué punto las funciones continuas son funciones expresables analı́ticamente en el sentido de que pueden
expresarse como fórmulas (o series).
En 1807, Fourier demuestra en un trabajo que fue publicado posteriormente que las funciones periódicas de periodo 2⇡ pueden representarse mediante series
1
a0 X
f (x) =
+
[an cos(nx) + bn sen(nx)],
2
n=1
237
1
⇡
Z
⇡
f (x) cos(nx)dx,
bn =
⇡
1
⇡
Z
⇡
f (x) sen(nx)dx,
⇡
abordando con ello la resolución de la ecuación del calor.
,
Pero no está claro si toda función puede expresarse como una serie trigonométrica. La cuestión de qué funciones podı́an ser expresadas como serie
trigonométirca dio lugar a muchas controversias sobre la validez general de
método de separación de variables.
u(x, t) =
an =
Esto dio lugar a nuevas discusiones. Se advirtió que no toda función es
expresable como serie de Fourier. En efecto, se necesitan ciertas condiciones
complementarias como continuidad a trozos, finitud de la derivada, etc., para
poder garantizar esta representación.
La discusión que surgió en el análisis del método de separación de variables ha sido uno de las incentivos más relevantes para la revisión crı́tica
de los conceptos fundamentales del análisis matemático, como continuidad,
derivabilidad, analiticidad e integrabilidad, realizada desde comienzos del siglo XIX. La necesidad de conciliar las aparentes contradicciones que surgı́an
con el método de separación de variables en el estudio de las Ecuaciones en
Derivadas Parciales ha sido una de las causas que ha impulsado el aumento
de rigor en el análisis matemático.
Para dar una idea de la complejidad de los conceptos que intervienen a la
hora de considerar series de soluciones de variables separadas, formularemos a
continuación uno de los posibles resultados relativos a las series de soluciones
en la resolución de la ecuación de ondas. En general, la convergencia de series
de soluciones respecto a una norma, depende de las propiedades de estabilidad
de la solución del problema respecto a dicha norma. En el siguiente resultado se muestran las propiedades de convergencia respecto a una seminorma
asociada a la energı́a de una cuerda finita
kukE := sup
t2R
hZ
l
(ut (x, t)2 + c2 ux (x, t)2 )dx
0
i1/2
.
Notemos que la restricción de esta seminorma al espacio de funciones que
verifican las condiciones de Dirichlet
1
CR
([0, l] ⇥ R) = {u 2 C 1 ([0, l] ⇥ R) | u(0, t) = u(l, t) = 0, 8t 2 R}
es una norma.
Para la demostración conviene recordar que la integral
E[u] :=
Z
l
(ut (x, t)2 + c2 ux (x, t)2 )dx
0
238
1
no depende del tiempo, si u 2 CR
([0, l] ⇥ R) \ C 2 ((0, l) ⇥ R) es una solución
de la ecuación de ondas, por lo que el cálculo de la norma k · kE se simplifica
notablemente
kukE =
hZ
l
(ut (x, 0)2 + c2 ux (x, 0)2 )dx
0
i1/2
.
Teorema 19.5. Sea el problema de contorno de Dirichlet (19.1), y supóngase
que las condiciones iniciales pueden expresarse en serie trigonométrica
(x) =
1
X
an sen
n=1
⇣ n⇡x ⌘
l
,
(x) =
1
X
bn sen
n=1
⇣ n⇡x ⌘
l
lı́m
N !1
lı́m
N !1
0
0
Z l⇣
(x)
0
N
X
bn sen
n=1
⇣ n⇡x ⌘⌘2
l
lı́m krN kE = 0,
lo que implica la convergencia de la serie que expresa la única solución del
problema.
20. Sistemas ortogonales y series de Fourier
En este capı́tulo estudiaremos desarrollos en serie de funciones de la forma
en un espacio normado pre-Hilbert.
dx = 0.
Entonces, la solución del problema (19.1) puede expresarse en forma de una
serie
u(x, t) =
1
X
sen
n=1
⇣ n⇡x ⌘h
l
an cos
⇣ n⇡ct ⌘
l
⇣ n⇡ct ⌘i
bn l
+
sen
,
n⇡c
l
N !1
u(x, t)
N
X
n=1
sen
⇣ n⇡x ⌘h
l
rN (x, t) := u(x, t)
n=1
sen
que proviene de un producto escalar h·, ·i.
I
an cos
⇣ n⇡ct ⌘
l
+
⇣ n⇡ct ⌘i
bn l
sen
n⇡c
l
E
= 0.
Demostración. Por la linealidad del problema (19.1), tenemos que
N
X
Recordemos que un espacio prehilbertiano en un espacio vectorial F dotado de una norma
1/2
kuk = hu, ui
Ejemplos tı́picos de espacios pre-Hilbert son espacios vectoriales de funciones u tales que
Z
u(x)2 r(x)dx < +1,
convergente en el sentido de que
lı́m
Las condiciones del enunciado implican que
N !1
N
⇣ n⇡x ⌘⌘2
X
n⇡an
cos
dx = 0,
l
l
n=1
(x)
Z l h⇣
⇣ @r (x, 0) ⌘2 i
@rN (x, 0) ⌘2
N
+ c2
dx =
@t
@x
0
Z l⇣
N
N
⇣ n⇡x ⌘⌘2
⇣
⇣ n⇡x ⌘⌘2
X
X
n⇡an
0
(x)
cos
dx +
(x)
bn sen
dx.
l
l
l
0
n=1
n=1
krN kE =
,
en el sentido de que
Z l⇣
es una solución de (19.1), tal que
⇣ n⇡x ⌘h
l
an cos
239
⇣ n⇡ct ⌘
l
⇣ n⇡ct ⌘i
bn l
+
sen
n⇡c
l
siendo I un intervalo de la recta real y r una función positiva. En este caso
la norma y el producto escalar son
kuk :=
⇣Z
u(x)2 r(x)dx
I
⌘1/2
,
hu, vi :=
Z
u(x)v(x)r(x)dx
(20.1)
I
La norma permite definir una distancia d(u, v) = ku vk y una topologı́a.
Decimos que la sucesión de funciones un 2 F converge en norma a una función
u si d(un , u) = kun uk ! 0 para n ! 1. Si toda sucesión de Cauchy es
240
convergente enel espacio pre-Hilbert F , entonces F es completo, y decimos
que F es un espacio de Hilbert.
reciben el nombre de desarrollos en serie de Fourier.
Dado un sistema ortogonal de funciones (un )n2N , los espacios vectoriales
Una sucesión de funciones
En := hu1 , u2 , . . . , un i,
u1 , . . . , un , . . .
forman una sucesión creciente
es un sistema ortogonal si
hun , um i = 0,
para todo n 6= m.
Las funciones no nulas de un sistema ortogonal son linealmente independientes.
En efecto, si u1 , . . . , uN son funciones ortogonales no nulas tales que
Pn
m=1 cm um = 0, entonces multiplicando por un tenemos
0=
N
X
m=1
cm hun , um i = cn kun k2 ,
0 ✓ E1 ✓ E2 ✓ · · · ✓ En ✓ · · ·
todos contenidos en el espacio
n=1
2
=
n
X
n,m=1
cn cm hun , um i =
N
X
n=1
c2n kun k2
que puede considerarse como una versión general del teorema de Pitágoras
N
X
En .
n2N
Si F es un espacio completo (llamado espacio de Hilbert), tiene sentido considerar la clausura Ē, de modo que
E ✓ Ē ✓ F.
Para un sistema ortogonal de funciones u1 , . . . , un , . . ., tenemos
c n un
[
E=
de donde cn = 0, n = 1, . . . , N .
N
X
n 2 N,
un
2
=
n=1
N
X
n=1
kun k2 .
Los sistemas ortogonales surgen de forma natural al aplicar el método
de separación de variables a la resolución de ecuaciones en derivadas parciales. Esto se debe al hecho de que las funciones propias del problema de
Sturm-Liouville asociado son ortogonales respecto a cierta función peso r. La
cuestión de si las condiciones iniciales son expresables como serie de funciones
propias fue analizada por Fourier en su estudio de la ecuación del calor, por
lo que los desarrollos en serie de funciones respecto a un sistema ortogonal
f (x) =
1
X
an un (x)
n=1
241
Dada una función f 2 F cualquiera, buscamos la mejor aproximación de
f por funciones de EN , es decir, una función 'N 2 EN de modo que
k'N
f k  ku
f k,
8 u 2 EN .
Teorema 20.1. Sea u1 , . . . , uN un sistema ortogonal de funciones no nulas
del espacio prehilbertiano F y sea EN = hu1 , . . . , uN i ✓ F . Sea 'N 2 EN la
mejor aproximación de f 2 F en el espacio EN . Entonces
'N =
N
X
hf, un i
un
hu
n , un i
n=1
(20.2)
y está caracterizada por la propiedad
'N 2 EN ,
f
'N ? EN
(20.3)
Demostración. Si se verifica (20.3), entonces tenemos para toda función
' 2 EN
kf
'k2 = k(f
'N ) + ('N
')k2 = kf
242
'N k2 + k'N
'k2
kf
'N k2
luego
La expresión el el segundo miembro de (20.2)
d('N , f )  d(', f ),
8' 2 EN ,
luego 'N es la mejor aproximación de f en EN . Recı́procamente, sea 'N 2
EN la mejor aproximación de f en EN , y sea g := f 'N . Entonces para
todo u 2 EN tenemos
kgk2  kg + tuk2 = kgk2 + 2thg, ui + t2 kuk2 ,
t 2 R.
Observemos que para que la función cuadrática t 7! kg + t'k2 alcanze su
mı́nimo valor en t = 0, es necesario que hg, ui = 0, luego
hf
'N , ui = 0,
La mejor aproximación es única porque, si v, w 2 EN fueran mejores
aproximaciones, tendrı́amos
f
v ? EN ,
u, f
de donde
u
y como u
v ? EN ,
v 2 EN , tendrı́amos
hu
recibe el nombre de suma de Fourier.
Una vez estudiada la mejor aproximación respecto a un espacio de dimensión finita, podemos preguntarnos si la sucesión de funciones 'N converge a
f cuando N ! 1. En este caso
1
X
hf, un i
un
hu
n , un i
n=1
8u 2 EN ,
'N ? EN .
lo que equivale a afirmar que f
N
X
hf, un i
un
hu
n , un i
n=1
recibe el nombre de serie de Fourier.
Teorema 20.2. Sea u1 , . . . , un , . . . un sistema ortogonal de funciones no nulas del espacio prehilbertiano F y sea f 2 F , entonces se tiene
1
X
hf, un i2
 kf k2
hu
,
u
i
n
n
n=1
(Desigualdad de Bessel)
y se verifica la igualdad
v, u
vi = 0,
luego u = v.
Una vez vista la caracterización y unicidad veamos que la mejor aproximación viene dada por (20.2) y tendremos la existencia
1
X
hf, un i2
= kf k2
hu
,
u
i
n
n
n=1
luego
'N , um i = 0,
para todo m = 1, . . . , N , de donde se deduce que 'N definida por (20.2)
verifica (20.3).
243
(Identidad de Parseval)
si y sólo si la serie de Fourier
1
X
hf, un i
un
hun , un i
n=1
N
X
hf, un i
hf, um i
h'N , um i =
hun , um i =
hum , um i = hf, um i,
hu
,
u
i
hu
n
n
m , um i
n=1
hf
(20.4)
converge en norma a f 2 F .
Demostración. Sea
cn :=
hf, un i
hun , un i
244
y
'N :=
N
X
c n un
n=1
la suma de Fourier N -ésima. Como 'N ? EN = hu1 , . . . , uN i, tenemos por el
Teorema de Pitágoras que
kf k2 = kf
'N k2 + k'N k2 .
Para calcular k'N k tenemos en cuenta de nuevo el Teorema de Pitágoras
2
k'N k =
Se deduce que
N
X
n=1
c2n kun k2
N
N
X
X
hf, un i2
hf, un i2
=
hu
,
u
i
=
n
n
2
hun , un i
hun , un i
n=1
n=1
N
X
hf, un i2
= k'N k2  kf k2
hun , un i
n=1
ûn =
hun , un i
Corolario 20.4. Sea u1 , . . . , un , . . . un sistema ortonormal de funciones del
espacio prehilbertiano F y sea f 2 F , entonces se tiene
Además tenemos que
kf
2
'N k = kf k
2
2
k'N k = kf k
La identidad de Parseval es equivalente a
2
0 = kf k
N
X
hf, un i2
.
hun , un i
n=1
N
X
hf, un i2
lı́m
= lı́m kf
N !1
N !1
hu
n , un i
n=1
2
'N k ,
lo que equivale a afirmar que
lı́m kf
N !1
1
1
un =
un .
kun k
hun , un i1/2
En el caso de tener un sistema ortogonal normalizado (llamado sistema ortonormal) las fórmulas anteriores se simplifican notablemente.
converge y se verifica la desigualdad de Bessel.
1
X
hf, un i2
 kf k2 .
hu
,
u
i
n
n
n=1
2
n=1
Como la serie es convergente, su término general tiende a cero, de donde se
deduce que lı́mn!1 kcn un k = 0, es decir la norma de los términos de la serie
tiende a cero.
Todo sistema ortogonal de funciones no nulas puede normalizarse dividiendo cada elemento para su norma
y haciendo tender N ! 1 vemos que la serie
1
X
hf, un i2
n=1
Corolario 20.3. Los términos de la serie de Fourier de cualquier función f 2
F respecto a un sistema ortogonal de funciones no nulas cualquiera tienden a
cero.
P1
Demostración. Consideramos la serie de Fourier n=1 cn un , cuyos coeficientes son cn := hf, uN i/hun , un i. Por la desigualdad de Bessel (Teorema
20.2) tenemos
1
X
kcn un k2  kf k2 < +1.
1
X
n=1
hf, un i2  kf k2 .
Se verifica la igualdad
1
X
n=1
hf, un i2 = kf k2
1
X
es decir, 'N converge en norma a f .
n=1
245
(Identidad de Parseval)
si y solo si la serie de Fourier
'N k = 0,
Como consecuencia de la desigualdad de Bessel, obtenemos un resultado
de gran utilidad
(Desigualdad de Bessel)
hf, un iun
converge en norma a f 2 F .
246
21. Series de Fourier trigonométricas
Aplicando la primera identidad de (21.4) obtenemos
Z
Las series de trigonométricas más importantes son la serie de Fourier de senos
Z
1
⇣ n⇡x ⌘
⇣ n⇡x ⌘
X
2 l
bn sen
, bn =
f (x) sen
dx, n 1,
(21.1)
l
l 0
l
n=1
la serie de Fourier de cosenos
Z
1
⇣ n⇡x ⌘
⇣ n⇡x ⌘
a0 X
2 l
+
an cos
, an =
f (x) cos
dx,
2
l
l 0
l
n=1
⇣ n⇡x ⌘
⇣ n⇡x ⌘⌘
a0
+
an cos
+ bn sen
2
l
n=1
Z
⇣ n⇡x ⌘
1 l
an =
f (x) cos
dx, n
l
l
l
Z
⇣ n⇡x ⌘
1 l
bn =
f (x) sen
dx, n
l
l
l
l
sen
0
=
1
2
Z
⇣ n⇡x ⌘
l
l
cos
0
✓
sen
(n
0,
(21.2)
Ck :=
Si k 6= 0, tenemos
,
0,
Ck =
(21.3)
Z
l
cos
0
0
247
0
dx =
Ck = l
siendo
nm
(21.4)
Z
l
cos
0
⇣ k⇡x ⌘
l
✓
(n + m)⇡x
l
◆
dx.
dx.
⇣ k⇡x ⌘
l
sen
k⇡
l
x=l
x=0
= 0,
l
dx = l
0
(21.5)
:=
k 2 Z,
k0 ,
⇢
0,
1,
si n 6= m,
si n = m.
Cn
m
Por tanto,
Z
l
sen
0
⇣ n⇡x ⌘
l
sen
⇣ m⇡x ⌘
l
dx =
Cn+m
2
=
l
(
2
n m,0
n+m,0 )
Y si n, m 1, n 6= m, tenemos n m,0 = n+m,0 = 0. Ası́ queda comprobada
la ortogonalidad del sistema de funciones (21.5) respecto al producto escalar
(21.6).
Análogamente podemos comprobar que el sistema de funciones
l
u(x)v(x)dx.
cos
Z
de donde deducimos que
respecto al producto escalar
hu, vi :=
l
1.
Comprobemos la ortogonalidad del sistema de funciones
⇣ ⇡x ⌘
⇣ 2⇡x ⌘
⇣ n⇡x ⌘
sen
, sen
, . . . , sen
,...
l
l
l
Z
⇣ k⇡x ⌘
1
2
dx
C0 =
1
1
cos(↵
)
cos(↵ + ),
2
2
1
1
= cos(↵
) + cos(↵ + ),
2
2
1
1
= sen(↵ + )
sen(↵
).
2
2
sen ↵ cos
◆
Z
l
dx =
mientras que, si k = 0,
=
cos ↵ cos
l
m)⇡x
l
Los tres tipos de series son desarrollos en serie de funciones respecto a un
sistema ortogonal. Para comprobar la ortogonalidad de estos sistemas de
funciones podemos utilizar las siguientes identidades trigonométricas
sen ↵ sen
⇣ m⇡x ⌘
Sea
n
y la serie de Fourier completa
1 ⇣
X
l
(21.6)
⇣ ⇡x ⌘
⇣ 2⇡x ⌘
⇣ n⇡x ⌘
1
, cos
, cos
, . . . , cos
,...
2
l
l
l
248
(21.7)
es ortogonal respecto al producto escalar (21.6). Para ello aplicamos la segunda identidad de (21.4)
Z l
⇣ n⇡x ⌘
⇣ m⇡x ⌘
cos
cos
dx =
l
l
0
✓
◆
✓
◆
Z l
Z
1
(n m)⇡x
1 l
(n + m)⇡x
=
cos
dx +
cos
dx =
2 0
l
2 0
l
Cn m + Cn+m
l
=
= ( n m,0 + n+m,0 ).
2
2
De nuevo, si n 6= m, n m,0 = n+m,0 = 0.
Analicemos la ortogonalidad del sistema de funciones
⇣ ⇡x ⌘
⇣ ⇡x ⌘
⇣ n⇡x ⌘
⇣ n⇡x ⌘
1
, cos
, sen
, . . . , cos
, sen
,...
2
l
l
l
l
respecto al producto escalar
Z l
hu, vi :=
u(x)v(x)dx.
(21.8)
Z
=
l
sen
l
1
2
Z
⇣ n⇡x ⌘
l
l
sen
l
Z
= l( n m,0
n+m,0 ),
Z l
⇣ n⇡x ⌘
⇣ m⇡x ⌘
cos
cos
dx
l
l
l
✓
◆
Z
Z
1 l
(n m)⇡x
1
=
cos
dx +
2 l
l
2
= l(
n m,0
+
n+m,0 ),
249
(n + m)⇡x
l
Z
l
cos
l
✓
(n + m)⇡x
l
(21.9)
◆
dx
cos
l
✓
(n + m)⇡x
l
◆
◆
1
2
dx
Z
l
sen
l
✓
(n
m)⇡x
l
◆
dx = 0,
l
sen2
0
⇣ n⇡x ⌘
l
l
,
2
dx =
Rl
f (x) sen(n⇡x/l)dx
2
=
Rl
2
l
sen (n⇡x/l)dx
0
0
Z
l
f (x) sen
0
⇣ n⇡x ⌘
l
dx,
lo que confirma (21.1). Para demostrar que (21.2) representa una serie de
Fourier, tengamos en cuenta que
a0 =
Rl
0
Z
f (x) 12 dx
2
=
Rl 1
l
dx
0 4
l
cos2
0
de donde obtenemos
an =
l
dx
de donde el n-ésimo coeficiente de la suma de Fourier correspondiente es
y para n > 0,
1
2
l
Veamos que las series de Fourier correspondientes a los sistemas ortogonales anteriores vienen dadas por (21.1), (21.2) y (21.3), respectivamente.
Para la serie de senos tenemos
l
Aplicando las fórmulas (21.4) tenemos
Z l
⇣ n⇡x ⌘
⇣ m⇡x ⌘
sen
sen
dx
l
l
l
✓
◆
Z l
1
(n m)⇡x
=
cos
dx
2 l
l
⇣ m⇡x ⌘
lo que confirma la ortogonalidad de la base (21.8).
bn =
Para expresar el resultado debemos calcular algunas integrales intermedias
que aparecen en los cálculos
Z l
Z l
⇣ k⇡x ⌘
⇣ k⇡x ⌘
sen
dx = 0,
cos
dx = 2l k0 .
l
l
l
l
✓
cos
⇣ n⇡x ⌘
l
Rl
f (x) cos(n⇡x/l)dx
2
=
Rl
2
l
cos (n⇡x/l)dx
0
0
Z
Z
l
f (x)dx
0
l
,
2
dx =
l
f (x) cos
0
⇣ n⇡x ⌘
l
En el caso de la serie completa tenemos
dx
a0 =
Rl
l
f (x) 12 dx
Rl
1
dx
l 4
=
250
1
l
Z
l
f (x)dx
l
dx,
n > 0.
y para n > 1
Z
l
cos2
l
⇣ n⇡x ⌘
l
dx =
Z
l
sen2
l
⇣ n⇡x ⌘
l
donde los coeficientes de Fourier están dados a través de las integrales
Z
Z
1 ⇡
1 ⇡
an =
f (x) cos(nx)dx, bn =
f (x) sen(nx)dx.
⇡
⇡
⇡
⇡
dx = l,
obteniendo
an =
bn =
Rl
Z
Rl
Z
f (x) cos(n⇡x/l)dx
1
l
=
Rl
2 (n⇡x/l)dx
l
cos
l
f (x) sen(n⇡x/l)dx
1
l
=
Rl
2
l
sen (n⇡x/l)dx
l
l
f (x) cos
l
l
f (x) sen
l
⇣ n⇡x ⌘
l
Queremos demostrar que la serie de Fourier converge para todo x 2
[ ⇡, ⇡] a la propia función f , es decir
dx,
⇣ n⇡x ⌘
l
dx.
Observemos que las series de Fourier trigonométricas tienen sentido fuera
del intervalo de definición de la función f a la que aproximan. Una serie de
Fourier trigonométrica completa convergente en todo el intervalo [ l, l] define
una función en toda la recta real que es periódica de periodo 2l. De la misma
manera, las series de senos (resp., cosenos) dan lugar a funciones impares
(resp., pares) y periódicas de periodo 2l.
Por otro lado, cabe establecer una relación entre la serie de Fourier trigonométrica completa y las series de Fourier de senos y de cosenos. Si f es una
funcion impar en [ l, l], entonces la serie completa se reduce a una serie de
senos y los coeficientes de esta serie coinciden con los coeficientes correspondientes al intervalo [0, l]. Análogamente, si f es una funcion par, entonces la
serie completa en [ l, l] se reduce a una serie de cosenos y los coeficientes son
los mismos que los correspondientes al intervalo [0, l]. Por tanto, el análisis
de la convergencia de la serie trigonométrica completa permite deducir también propiedades sobre la convergencia de las series de Fourier de senos y de
cosenos.
Convergencia de la serie de Fourier trigonométrica completa
Centraremos nuestro estudio en el caso de la serie completa. Para simplificar
la notación, supondremos sin pérdida de generalidad que l = ⇡. Sea f 2
C 1 [ ⇡, ⇡] tal que f ( ⇡) = f (⇡) y f 0 ( ⇡) = f 0 (⇡). Sea SN [f ](x) la N -ésima
suma de Fourier de f
Veamos que la N -ésima suma de Fourier puede expresarse como la convolución de f respecto a un núcleo, llamado núcleo de Dirichlet. En efecto
N
a0 X
+
(an cos(nx) + bn cos(nx))
2
n=1
Z ⇡ h
N
i
X
1
=
1+2
(cos(ny) cos(nx) + sen(ny) sen(nx)) f (y)dy
2⇡
⇡
n=1
Z ⇡ h
N
i
X
1
=
1+2
cos(n(x y)) f (y)dy
2⇡
⇡
n=1
SN [f ](x) =
Definiendo el núcleo de Dirichlet como
KN (✓) := 1 + 2
251
N
X
cos(n✓),
n=1
obtenemos una expresión compacta para la suma de Fourier
Z ⇡
1
SN [f ](x) =
KN (x y)f (y)dy.
2⇡
⇡
(21.10)
Podemos obtener una expresión compacta del núcleo de Dirichlet utilizando
aritmética compleja
KN (✓) = 1 + 2
N
X
cos(n✓) =
n=1
N
a0 X
SN [f ](x) :=
+
(an cos(nx) + bn sen(nx)),
2
n=1
8x 2 [ ⇡, ⇡].
lı́m SN [f ](x) = f (x),
N !1
=
e
i(N +1/2)✓
ei✓/2
N
X
k= N
exp(ik✓) =
ei(N +1)✓ eiN ✓
ei✓ 1
ei(N +1/2)✓
sen[(N + 1/2)✓]
=
sen(✓/2)
e i✓/2
252
C 1 de periodo 2⇡
1
C2⇡
:= {f 2 C 1 (R) | f (x + 2⇡) = f (x)}.
Como KN es una función periódica de periodo 2⇡, la integral es invariante
por traslaciones y puede expresarse en la forma
SN [f ](x) =
Z
1
2⇡
⇡
KN (✓)f (x + ✓)d✓,
(21.11)
⇡
en donde tomamos en consideración valores de f en puntos fuera del intervalo
[x ⇡, x + ⇡] obtenidos de la extensión periódica.
El error de la serie de Fourier puede expresarse en la forma
SN [f ](x)
Figura 32. Núcleo de Dirichlet K14 .
En la Figura 32 se muestra el núcleo de Dirichlet correspondiente a N =
14, podemos ver que tiene una forma similar al núcleo de Weierstrass en
algunos aspectos (forma de campana), pero al contrario que el núcleo de
Weiestrass, el núcleo de Dirichlet es fuertemente oscilante.
Observamos que el núcleo de Dirichlet es una funcion par. Esto permite
expresar la fórmula (21.10) como
Z ⇡
Z x+⇡
1
1
SN [f ](x) =
KN (y x)f (y)dy =
KN (✓)f (x + ✓)d✓,
2⇡
2⇡
⇡
x ⇡
donde ✓ = y
x.
Como la suma de la serie completa de Fourier es periódica, es natural
considerar la extensión periódica de la función f a toda la recta real. Si f
verifica las condiciones
f ( ⇡) = f (⇡),
253
1
2⇡
Z
⇡
KN (✓)(f (x + ✓)
f (x))d✓.
(21.12)
⇡
Utilizaremos esta expresión del error para deducir la convergencia de la serie
de Fourier.
1
Teorema 21.1. Sea f 2 C2⇡
una función de clase C 1 de periodo 2⇡. Entonces la serie de Fourier trigonométrica completa converge puntualmente a la
función f
lı́m SN [f ](x) = f (x), x 2 R.
N !1
Demostración. Sea
1
f 2 C2⇡
= {f 2 C 1 (R) | f (x + 2⇡) = f (x)}.
la extensión periódica de f a toda la recta real. Entonces el error puede
expresarse por la fórmula (21.12)
SN [f ](x)
f 0 ( ⇡) = f 0 (⇡),
entonces f admite una extensión periódica de periodo 2⇡ de clase C 1 . Para la
discusión de la convergencia consideramos el espacio de las funciones de clase
f (x) =
f (x) =
1
2⇡
Z
⇡
⇡
Llamando
g(✓) :=
f (x + ✓) f (x)
sen((N + 1/2)✓)d✓.
sen(✓/2)
f (x + ✓) f (x)
,
sen(✓/2)
254
tenemos que
la función sea continua y derivable en el punto en el que se quiere comprobar
la convergencia. Estas hipótesis pueden debilitarse aún más exigiendo tan
solo que los cocientes incrementales de la función
lı́m g(✓) = 2f 0 (x),
✓!0
luego g 2 C[ ⇡, ⇡].
f (x + h)
h
Observemos que las funciones
sen(✓/2), sen(3✓/2), . . . , sen((N + 1/2)✓), . . .
forman un sistema ortogonal de funciones en el intervalo ( ⇡, ⇡). Llamando
uN (✓) := sen((N + 1/2)✓),
tenemos por (21.4)
Z
1 ⇡
huN , uM i =
cos((N
2 ⇡
Como g 2 C[ ⇡, ⇡],
N = 0, 1, 2, . . .
f (x)
estén acotados en un entorno de h = 0. Considerando separadamente el comportamiento a la derecha y a la izquierda podemos estudiar el comportamiento
de la serie incluso en los puntos de discontinuidad.
Teorema 21.2. Sea f : R ! R periódica de periodo 2⇡
f (x + 2⇡) = f (x)
1
2
M )✓)d✓
Z
Z
⇡
cos((N + M + 1)✓)d✓ = ⇡
N,M .
⇡
⇡
2
g(✓) d✓ < +1.
⇡
y podemos aplicar la desigualdad de Bessel
Z
1
1 X
hg, uN i2 
⇡
N =1
⇡
g(✓)2 d✓,
⇡
tal que f es lipschtiziana a trozos, es decir, existen x1 < · · · < xk < xk+1 :=
x1 + 2⇡ tales que
|f (x)
f (y)|  L|x
y|,
8 x, y 2 (xi , xi+1 ),
para todo i = 1, . . . , k. Entonces la serie de Fourier completa converge puntualmente
f (x+ ) + f (x )
lı́m SN [f ](x) =
, x 2 R.
N !1
2
Demostración. Por la periodicidad, el conjunto de nudos de la partición es
infinito y debe repetirse periódicamente. Definiendo
de donde se deduce que la serie
xi+lk := xi + 2⇡l,
1
X
N =1
hg, uN i2
es convergente y que lı́mN !+1 hg, uN i = 0. Por tanto
Z ⇡
1
lı́m SN [f ](x) f (x) =
lı́m
g(✓)uN (✓)d✓ = 0,
N !+1
2⇡ N !+1 ⇡
lo que muestra la convergencia puntual.
la sucesión de nudos es (xi )i2Z . En primer lugar, la función periódica es
continua en cada subintervalo (xi , xi+1 ) ya que
0  |f (x)
f (y)|  L|x
y|.
Lo que permite deducir que lı́my!x f (y) = x. Para cada nudo xi tenemos que
lı́m |f (x)
x,y!xi
f (y)| = 0,
lı́m |f (x)
x,y!x+
i
f (y)| = 0,
Observemos que las condiciones para que haya convergencia puntual pueden debilitarse. No es necesaria la continuidad de la derivada, basta con que
lo que permite demostrar la existencia de los lı́mites laterales f (xi ) y f (x+
i ).
Por tanto, la expresión (f (x+ ) + f (x ))/2 tiene sentido para todo x 2 R.
255
256
Las funciones
f (x + ✓) f (x+ )
,
sen(✓/2)
f (x + ✓) f (x )
g (✓) :=
,
sen(✓/2)
de la serie de Fourier para funciones que presentan discontinuidades o están
definidas a trozos. La condición de Lipschitz a trozos no es fácil de comprobar
en general a través de la definición. Sin embargo, la tarea de calcular y acotar
las derivadas es más simple en la práctica.
✓ 2 ( ⇡, 0),
g+ (✓) :=
✓ 2 (0, ⇡),
Puede mostrarse que la serie completa de una función impar en [ ⇡, ⇡]
coincide con la serie de senos en [0, ⇡] y que la serie completa de una funcion
par en [ ⇡, ⇡] coincide con la serie de cosenos en [0, ⇡]. Por tanto, puede
aplicarse el Teorema anterior para deducir la convergencia puntual de las
series de senos y de cosenos.
son continuas a trozos. Teniendo en cuenta que
✓
,
sen(✓/2)
✓ 2 [0, ⇡],
Teorema 21.4. Sea f : R ! R periódica de periodo 2⇡ impar (resp., par)
es una función continua y creciente obtenemos las acotaciones
|g (✓)|  ⇡L,
✓ 2 ( ⇡, 0),
|g+ (✓)|  ⇡L,
✓ 2 (0, ⇡),
lo que implica que
Z
0
g (✓)2 d✓ < +1,
⇡
Z
⇡
f (x + 2⇡) = f (x)
tal que f y f 0 son continuas a trozos. Entonces la serie de Fourier completa
en [ ⇡, ⇡] coincide con la serie de Fourier de senos (resp., de cosenos) en [0, ⇡]
y converge puntualmente
g+ (✓)2 d✓ < +1.
0
lı́m SN (x) =
N !1
Llamando
uN (✓) := sen((N + 1/2)✓),
Convergencia uniforme de la serie de Fourier
f (x+ ) + f (x )
1
=
2
2⇡
Z
0
1
g (✓)uN (✓)d✓ +
2⇡
⇡
Z
⇡
g+ (✓)uN (✓)d✓.
0
Teniendo en cuenta que uN forma un sistema ortogonal en ( ⇡, 0) y en
(0, ⇡), la desigualdad de Bessel implica que
lı́m
N !+1
Z
x 2 R.
N = 0, 1, 2, . . .
podemos escribir
SN [f ](x)
f (x+ ) + f (x )
,
2
⇡
g+ (✓)uN (✓)d✓ = 0,
0
lı́m
N !+1
Z
1
Teorema 21.5. Si f 2 C2⇡
, entonces la serie de Fourier converge uniformemente a f .
1
Demostración. Como f 2 C2⇡
, tenemos por el Teorema 21.1 que
0
g (✓)uN (✓)d✓ = 0,
f (x) =
⇡
lo que demuestra la convergencia.
Observación 21.3. Si f es una función periódica C 1 a trozos tal que para
cada x 2 R siempre existen f 0 (x ), f (x+ ) y son finitos, entonces f es lipschitziana a trozos. Esto permite simplificar la comprobación de la convergencia
257
Si la función f es suficientemente suave, tenemos no solamente convergencia
puntual sino también uniforme.
1
a0 X
+
(an cos(nx) + bn sen(nx)).
2
n=1
Como f es derivable, podemos aplicar la fórmula de integración por partes
an =
1
⇡
Z
⇡
f (x) cos(nx)dx =
⇡
1
n⇡
258
Z
⇡
⇡
f 0 (x) sen(nx)dx,
n > 0,
y
1
bn =
⇡
Z
Como f 0 es continua,
⇡
1
f (x) sen(nx)dx =
n⇡
⇡
Z
⇡
Z
⇡
f 0 (x) cos(nx)dx.
⇡
Demostración. (a) La función g(x) := f (⇡x/l), x 2 [ ⇡, ⇡] puede extenderse por periodicidad a toda la recta real. Puede comprobarse que la serie
de Fourier completa de f evaluada en ⇡x/l x 2 [ l, l], coincide término a
término con la serie de Fourier de g. Aplicando el Teorema 21.5, se deduce la
convergencia uniforme.
f 0 (x)2 dx < +1
⇡
podemos aplicar la desigualdad de Bessel y deducir que la serie
1 h⇣ Z
X
⇡
0
f (x) cos(nx)dx
⇡
n=1
⌘2
+
⇣Z
⇡
0
f (x) sen(nx)dx
⇡
⌘2 i
< +1
P1
es convergente. Por tanto n=1 n2 (a2n + b2n ) < +1 y nan , nbn ! 0. Analicemos ahora la sumabilidad absoluta de la serie de Fourier
1
X
n=1
|an cos(nx)| + |bn sen(nx)| 
1
X
n=1
|an | + |bn | .
Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz
1
X
n=1
(c) Sea f 2 C 1 [0, l] tal que f 0 (0) = f 0 (l) = 0. Entonces la serie de Fourier
de cosenos de f converge uniformemente a f .
1
1
⇣ X
⌘1/2
1 ⌘1/2 ⇣ X 2 2
|an | + |bn |  2
n (an + b2n )
< +1.
2
n
n=1
n=1
(b) y (c) La función g(x) := f (⇡x/l), x 2 [0, ⇡] puede extenderse a una
función periódica impar de periodo 2⇡ si se verifican las hipótesis (b) y a
una función periódica par de periodo 2⇡ si se verifican las hipótesis (c). En
cualquier caso, la serie de Fourier completa de f evaluada en los puntos ⇡x/l
x 2 [0, l] coincide término a término con la serie de Fourier de g. Aplicando
el Teorema 21.5, se deduce de nuevo la convergencia uniforme.
El resultado anterior permite demostrar la convergencia en media cuadrática de la serie de Fourier de funciones de clase C 1 .
Teorema 21.7. Sea f 2 C 1 [ l, l], tal que f (l) = f ( l) y f 0 (l) = f 0 ( l),
entonces la serie de Fourier converge en media cuadrática a f .
Demostración. Sea SN [f ] la suma N -ésima de Fourier en el intervalo [ l, l].
Aplicando el Teorema 21.6 (a), deducimos que SN [f ] converge a f uniformemente. Dado " > 0, existe un N0 tal que si N N0 , entonces
Por el criterio M de Weierstrass, la serie de Fourier converge absoluta y uniformemente a una función. Como las hipótesis implican que SN [f ] converge
a f puntualmente, la convergencia uniforme será a la misma función.
El resultado anterior puede aplicarse directamente al estudio la convergencia de la serie de Fourier de funciones C 1 [ l, l] que verifican condiciones
de contorno periódicas y de las funciones C 1 [0, l] que verifican condiciones de
Dirichlet o de Neumann.
máx |f (x)
x2[ l,l]
1
(b) Sea f 2 C [0, l] tal que f (0) = f (l) = 0. Entonces la serie de Fourier de
senos de f converge uniformemente a f .
259
r
"
,
2l
N
N0 ,
de donde obtenemos
Z
Teorema 21.6.
(a) Sea f 2 C 1 [ l, l] tal que f (l) = f ( l) y f 0 (l) = f 0 ( l). Entonces la serie
de Fourier completa de f converge uniformemente a f .
SN (x)| 
l
SN (x))2 dx  ",
(f (x)
l
Se deduce que
lı́m
N !+1
Z
N
N0 .
l
(f (x)
SN (x))2 dx = 0.
l
260
Teniendo en cuenta la densidad de las funciones de clase C 1 en las funciones de cuadrado integrable, el resultado anterior permite establecer la convergencia en media cuadrática de la serie de Fourier de cualquier función de
cuadrado integrable.
Según el Teorema 20.2, la convergencia en media cuadrática de las series
de Fourier (21.1), (21.2) y (21.3) a la función f es equivalente a la identidad de
Parseval. Esta identidad permite comprobar y deducir diversas propiedades
de las series de Fourier trigonométricas.
Para la serie de senos (21.1), la identidad de Parseval equivale a
Z
1
X
l
f (x)2 dx =
0
b2n
n=1
Z
l
sen2
0
⇣ n⇡x ⌘
l
dx =
1
l X 2
b .
2 n=1 n
En la serie de cosenos (21.2), la identidad de Parseval adopta la forma
Z
l
f (x)2 dx =
0
a20
4
Z
l
dx +
0
1
X
a2n
n=1
Z
l
cos2
0
⇣ n⇡x ⌘
l
dx =
l ⇣ a20 X 2 ⌘
+
an .
2 2
n=1
1
Finalmente, para la serie de Fourier completa (21.3), la identidad de Parseval
es
Z
l
f (x)2 dx =
l
+
a20
4
1
X
Z
n=1
l
b2n
dx +
l
Z
1
X
a2n
n=1
l
sen2
l
Z
l
cos2
l
⇣ n⇡x ⌘
l
⇣ n⇡x ⌘
dx = l
l
⇣ a2
0
2
+
n=1
Cuando se resuelven ecuaciones en derivadas parciales aparecen asociados
problemas de contorno unidimensionales llamados problemas de Sturm. Un
caso muy importante de estos problemas surge al aplicar el método de separación de variables. Las soluciones de variables separadas se determinan
encontrando soluciones no triviales de un problema de Sturm dependiente
de un parámetro. Este tipo de problemas, llamados problemas de SturmLiouville, tienen cierta similitud con el problema de determinar los valores
propios de una aplicación lineal, aunque hay una notable diferencia: los espacios vectoriales involucrados tienen dimensión infinita. En los problemas de
Sturm-Liouville más comunes aparece una sucesión de parámetros, llamados
valores propios del problema a los que están asociadas soluciones no triviales,
llamadas funciones propias del problema. Bajo ciertas condiciones de simetrı́a,
las funciones propias forman un sistema ortogonal de funciones. La solución
de los problemas de contorno se simplifica notablemente cuando se expresan
las soluciones como series de Fourier generales de funciones propias, de las
que las series trigonométricas son un caso particular. Estas series incluyen
importantes desarrollos en serie de polinomios ortogonales y de funciones de
Bessel.
Dedicamos este tema al estudio de los problemas de contorno unidimensionales y los problemas de Sturm-Liouville debido a las notables implicaciones
de esta teorı́a en la resolución de ecuaciones en derivadas parciales mediante
series de funciones especiales.
Problemas de Sturm
dx+
1
X
22. Problemas de Sturm-Liouville
⌘
(a2n + b2n ) .
Un problema de Sturm es un problema de contorno lineal de segundo orden
L[u] = f,
R0 [u] = ⌘0 ,
R1 [u] = ⌘1 ,
donde L es un operador diferencial lineal de segundo orden
L[u] = a2 (x)u00 (x) + a1 (x)u0 (x) + a0 (x)u(x),
x 2 [x0 , x1 ],
y Ri [u], i = 0, 1 son las llamadas condiciones de contorno obtenidas como
combinanción lineal de los valores de u y su derivada en los extremos
Ri [u] =
1 X
1
X
ijk u
(k)
j=0 k=0
261
262
(xj ),
i = 0, 1.
Las condiciones de contorno más habituales son las condiciones de Dirichlet
Ri [u] = u(xi ),
i = 0, 1,
las condiciones de Neumann
Ri [u] = u0 (xi ),
y las de Robin
i = 0, 1,
0
Ri [u] = u (xi ) + ↵i u(xi ),
Como el problema homogéneo sólo tiene la solución trivivial, el sistema de
ecuaciones (22.2) sólo admite la solución c0 = c1 = 0, de donde se deduce
(22.1).
i = 0, 1.
Las condiciones de los tipos anteriores son condiciones separadas, en el sentido
de que cada condición de contorno hace referencia a cada uno de los extremos por separado. Un tipo de condiciones no separadas importantes por las
aplicaciones que tienen son las condiciones de contorno periódicas
R0 [u] = u(x1 )
0
u(x0 ),
R1 [u] = u (x1 )
0
u (x0 ).
Si u, v son soluciones de un problema de Sturm, entonces u v es solución
del problema de Sturmo homogéneo (f = 0, ⌘0 = ⌘1 = 0). La solución de un
problema de Sturm homogéneo es el espacio vectorial
ker L \ ker R0 \ ker R1 ,
subespacio del espacio bidimensional de las soluciones de la ecuación diferencial lineal L[u] = 0
ker L := {u 2 C 2 [x0 , x1 ] | L[u] = 0} ⇢ C 2 [x0 , x1 ],
dim ker L = 2.
Todas las soluciones de un problema de Sturm se obtienen sumando a una
solución particular la solución general del problema homogéneo.
La existencia de solución está ı́ntimamente ligada con la unicidad
Proposición 22.1. Sea u0 , u1 un sistema fundamental de soluciones de la
ecuación L[u] = 0. Entonces son equivalentes
(a) El problema de Sturm siempre tiene solución única.
det
✓
R0 u0
R1 u0
263
R0 u1
R1 u1
◆
6= 0.
Para ver que (c) implica (a), partimos de la siguiente expresión de la
solución general de la ecuación
u(x) = up (x) + c0 u0 (x) + c1 u1 (x),
donde up denota una solución particular de la ecuación y u0 , u1 son dos soluciones independientes de la ecuación homogénea. Al imponer las condiciones
de contorno, tenemos
✓
◆✓ ◆ ✓
◆
R0 u0 R0 u1
c0
⌘ 0 R0 u p
=
.
R1 u0 R1 u1
c1
⌘ 1 R1 u p
Como se verifica (22.1), el sistema anterior admite una única solución, lo que
muestra la existencia y unicidad de solución del problema de contorno.
El problema de Sturm suele formularse en forma autoadjunta. Para transformar la ecuación
a2 (x)u00 + a1 (x)u0 + a0 (x)u = f (x)
a una ecuación autoadjunta es preciso multiplicar ambos miembros por el
factor
1
r(x) =
exp A(x),
a2 (x)
donde A(x) es una primitiva cualquiera de a1 (x)/a2 (x), es decir A0 (x) =
a1 (x)/a2 (x). Llamando p(x) = r(x)a2 (x), q(x) = r(x)a0 (x) y g(x) = r(x)f (x)
la ecuación diferencial adopta la forma
(b) El problema de Sturm homogéneo sólo admite la solución trivial.
(c)
Demostración. Tomando f = 0, ⌘0 = ⌘1 = 0, vemos que (a) implica (b).
Veamos ahora que (b) implica (c). Notemos que las soluciones del problema
homogéneo son de la forma u = c0 u0 + c1 u1 con c0 , c1 soluciones del sistema
✓
◆✓ ◆ ✓ ◆
R0 u0 R0 u1
c0
0
=
.
(22.2)
R1 u0 R1 u1
c1
0
(22.1)
p(x)u00 (x) + p0 (x)u0 (x) + q(x)u(x) = g(x)
264
y teniendo en cuenta que p(x)u00 (x) + p0 (x)u0 (x) = (p(x)u0 (x))0 obtenemos la
llamada forma autoadjunta de la ecuación diferencial anterior
0
0
(p(x)u (x)) + q(x)u(x) = g(x),
donde p 2 C 1 [x0 , x1 ], q, g 2 C[x0 , x1 ].
L[u](x) = (p(x)u0 (x))0 + q(x)u(x)
0
0
0
R1 [u] := p(x1 )u0 (x1 )
u(x0 ),
p(x0 )u0 (x0 ).
Si las condiciones de contorno son simétricas, la fórmula de Green se redu2
ce a la siguiente propiedad de simetria del operador L en el espacio CR
[x0 , x1 ]
recibe el nombre de operador autoadjunto. Restando las ecuaciones
0
Las condiciones de contorno de Dirichlet, de Neumann y las de Robin
son condiciones de contorno simétricas. También pertenecen a esta clase las
condiciones no separadas del tipo
R0 [u] := u(x1 )
El operador diferencial asociado a una ecuación autoadjunta
0
2
para cualquier u, v 2 CR
[x0 , x1 ],
Z
0
(p(x)v (x)u(x)) = p(x)u (x)v (x) + (p(x)v (x)) v(x),
(p(x)u0 (x)v(x))0 = p(x)u0 (x)v 0 (x) + (p(x)u0 (x))0 v(x),
obtenemos
x1
u(x)L[v](x)dx =
x0
Z
x1
v(x)L[u](x)dx,
x0
2
u, v 2 CR
[x0 , x1 ].
Problemas de Sturm-Liouville
0
(p(x)v (x)u(x)
0
0
0
0
0
p(x)u (x)v(x)) = (p(x)v (x)) u(x)
0
(p(x)u (x)) v(x)
De donde se deduce que los operadores autoadjuntos verifican la identidad de
Lagrange
u(x)L[v](x)
0
0
v(x)L[u](x) = (p(x)(u(x)v (x)
0
v(x)u (x))) .
La simetrı́a de un operador autoadjunto se manifiesta en el hecho de que
uL[v] vL[u] es una derivada exacta de una expresión que depende de derivadas de u y v de orden inferior a 2. Integrando entre x0 y x1 obtenemos la
(segunda) fórmula de Green
Z x1
(u(x)L[v](x) v(x)L[u](x))dx = p(x1 )(u(x1 )v 0 (x1 ) v(x1 )u0 (x1 ))
x0
0
p(x0 )(u(x0 )v (x0 )
0
v(x0 )u (x0 )).
Sea
2
CR
[x0 , x1 ] := {u 2 C 2 [x0 , x1 ] | R0 [u] = R1 [u] = 0}.
el espacio de las funciones de clase C 2 que verifican las condiciones de contorno
homogéneas. Se llaman condiciones de contorno simétricas a las condiciones
de contorno tales que podemos garantizar la igualdad
p(x1 )(u(x1 )v 0 (x1 )
v(x1 )u0 (x1 )) = p(x0 )(u(x0 )v 0 (x0 )
265
v(x0 )u0 (x0 )),
Un problema de Sturm-Liouville es un problema de contorno lineal de segundo
orden dependiente de un parámetro
L[u](x) + r(x)u(x) = 0,
R0 u = R1 u = 0
al que asociamos condiciones de contorno homogéneas. Multiplicando por un
factor adecuado, el problema de Sturm-Liouville puede expresarse en forma
autoadjunta, por lo que podemos suponer que
L[u](x) = (p(x)u0 (x))0 + q(x)u(x),
con p 2 C 1 [x0 , x1 ], q, r 2 C[x0 , x1 ], p > 0.
Los escalares 2 C tales que existen soluciones (complejas) no triviales
del problema se llaman valores propios y dichas soluciones no triviales reciben
el nombre de funciones propias.
Podemos asociar a un problema de Sturm-Liouville la forma bilineal
hu, vi =
Z
x1
u(x)v(x)r(x)dx.
x0
Notemos que para que sea un producto escalar definido positivo es necesario
que la función r sea estrictamente positiva en el interior del intervalo. En
266
el caso de considerar funciones complejas se utiliza el producto sesquilineal
definido positivo
Z x1
hu, vi =
u(x)v̄(x)r(x)dx.
x0
Supondremos además que las condiciones de contorno son simétricas de modo
que
Z x1
Z x1
2
u(x)L[v](x)dx =
L[u](x)v(x)dx, u, v 2 CR
[x0 , x1 ].
x0
deducimos que + iµ =
iµ, es decir µ = 0, luego todos los valores
propios son reales. Sean un , um funciones propias correspondientes a los
valores propios distintos n 6= m . Entonces tenemos
n hun , um i =
=
2
Demostración. Supongamos que u, v 2 CR
[x0 , x1 ] son tales que u + iv es
función propia correspondiente al valor propio + iµ, es decir
L[u + iv] =
( + iµ)r(u + iv)
y teniendo en cuenta que p, q, r son funciones reales obtenemos las relaciones
L[u] =
r( u
µv),
L[v] =
x1
L[un ](x)um (x)dx =
x
Z x0 1
un (x)L[um ](x)dx =
x0
x0
Teorema 22.2. Los valores propios de un problema de Sturm-Liouville autoadjunto con condiciones simétricas son reales y las funciones propias correspondientes a valores propios distintos son ortogonales.
Z
m hun , um i,
de donde deducimos que hun , um i = 0.
Enunciamos a continuación el resultado sobre existencia valores y funciones propias de un problema de Sturm-Liouville autoadjunto y sobre la
convergencia de los desarrollos en serie de Fourier. La demostración excede
los propósitos de estas notas y no se incluye.
Teorema 22.3. Sea p 2 C 1 [x0 , x1 ], p > 0, q, r 2 C[x0 , x1 ], r > 0, L[u] :=
(pu0 )0 + qu, R0 , R1 condiciones de contorno separadas. Considérese el problema de Sturm-Liouville autoadjunto
L[u] + ru = 0,
r(µu + v)
R0 u = R1 u = 0.
Entonces tenemos
y también
L[u
iv] =
(
iµ)r(u
iv).
Utilizamos la simetrı́a para deducir
Z x1
( + iµ)hu + iv, u + ivi =
L[u + iv](x)(u(x) iv(x))dx =
x0
Z x1
=
(L[u](x)u(x) + L[v](x)v(x))dx
x
Z x0 1
=
L[u iv](x)(u(x) + iv(x))dx = (
iµ)hu + iv, u + ivi
x0
y teniendo en cuenta que
hu + iv, u + ivi =
Z
x1
r(x)(u(x)2 + v(x)2 )dx > 0
x0
267
(a) El problema de Sturm-Liouville tiene infinitos valores propios reales
0
<
1
< ··· <
n
< ···
tales que
0 < lı́mı́nf
y a cada valor propio
funciones propias.
n
n
n2
 lı́m sup
n
n2
< +1
corresponde un subespacio unidimensional de
(b) Sea un la función propia asociada a n normalizada hun , un i = 1. Entonces un tiene n ceros simples en (x0 , x1 ) y entre cada dos ceros de un
hay uno de un+1 .
(c) Funciones propias correspondientes a valores propios distintos son ortogonales.
268
1
(d) Toda función f 2 CR
:= {u 2 C 1 [x0 , x1 ] | R0 u = R1 u = 0} puede
desarrollarse en serie de funciones propias (serie de Fourier)
f (x) =
1
X
n=0
hun , f iun (x),
que converge uniformemente a f en [x0 , x1 ].
Las series de Fourier trigonométricas son casos particulares del teorema
anterior. Las series de Fourier de senos corresponden al problema de SturmLiouville con condiciones de Dirichlet
u00 + u = 0,
u(0) = u(l) = 0.
Las series de Fourier de cosenos aparecen al considerar problemas de Neumann
u00 + u = 0,
u0 (0) = u0 (l) = 0.
Las series de Fourier completas corresponden a problemas con condiciones
periódicas
u00 + u = 0,
u(l)
u( l) = u0 (l)
u0 ( l) = 0.
Como las condiciones periódicas no son condiciones separadas, el Teorema
22.3 no es aplicable directamente. De hecho, el espacio de funciones propias
correspondiente a cada valor propio no nulo es bidimensional aunque el desarrollo en serie (de Fourier) de funciones propias sigue siendo válido en este
caso.
Otros casos de interés en los que el Teorema anterior no es aplicable
directamente son los llamados casos singulares, en los que o bien el intervalo de
definición no está acotado o bien las funciones p o r presentan singularidades
(se anulan o tienden a infinito tı́picamente en algún extremo del intervalo).
En el caso de los problemas de Sturm-Liouville singulares puede generalizarse
el Teorema 22.3, manteniéndose la mayor parte de las afirmaciones, aunque
matizadas. El análisis de los problemas de Sturm-Liouville más generales abre
la posibilidad de expresar las soluciones de diversos problemas de contorno
que aparecen en ecuaciones en derivadas parciales como series de funciones
propias.
269