ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES por Jesús Carnicer Álvarez, Departamento de Matemática Aplicada, Universidad de Zaragoza, Mayo de 2013. 1. ¿Qué es una ecuación en derivadas parciales? Informalmente podemos decir que una ecuación en derivadas parciales es una ecuación en la que intervienen más de una variable independiente x1 , . . . , xn , una variable dependiente u, que es función de las variables independientes u(x1 , . . . , xn ), y también las derivadas parciales de primer orden @u/@xi y de órdenes superiores hasta cierto orden. 3. La ecuación de Laplace (3 variables espaciales) uxx (x, y, z) + uyy (x, y, z) + uz (x, y, z) = 0, la ecuación de ondas (3 variables espaciales y 1 variable temporal) utt (x, y, z, t) = c2 uxx (x, y, z, t) + uyy (x, y, z, t) + uzz (x, y, z, t) y la ecuación del calor (3 variables espaciales y 1 variable temporal) ut (x, y, z, t) = k uxx (x, y, z, t) + uyy (x, y, z, t) + uzz (x, y, z, t) son ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden. La ecuación ut (x, t) = 0 Buscaremos las soluciones de la ecuación Por ejemplo, una ecuación en derivadas parciales en dos variables independientes x, y, se puede escribir en la forma F (x, y, u(x, y), ux (x, y), uy (x, y), . . .) = 0, donde ux denota @u/@x y uy denota @u/@y. Llamamos orden de una ecuación en derivadas parciales al orden de derivación máximo que aparece en las expresiones. Ası́, una ecuación de primer orden es de la forma F (x, y, u, ux , uy ) = 0 y una ecuación general de segundo orden es F (x, y, u, ux , uy , uxx , uxy , uyy ) = 0. Ejemplos. 1. La ecuación ut (x, t) = 0, nos indica que la variable dependiente u no depende de t sino más bien de x. 2. La ecuación del transporte (1 variable espacial y 1 variable temporal) ut (x, t) + cux (x, t) = 0 es una ecuación en derivadas parciales de primer orden. 1 ut (x, t) = 0 (1.1) en sentido clásico, es decir, toda solución u es una función que admite derivadas parciales respecto a t en todos los puntos de su dominio de definición ⌦ ✓ R2 . Para simplificar la discusión supondremos que u 2 C 1 (⌦). Supongamos que {x} ⇥ [t1 , t2 ] = {(x, t) | t 2 [t1 , t2 ]} es un subconjunto de ⌦ Teniendo en cuenta que u es de clase C 1 (⌦) y (1.1), se deduce que la función h : [t1 , t2 ] ! R definida por h(t) = u(x, t), t 2 [t1 , t2 ] es una función de clase C 1 [t1 , t2 ]. Derivando obtenemos h0 (t) = d @u [u(x, t)] = (x, t) = ut (x, t) = 0, dt @t 8t 2 J. (1.2) Por el Teorema del valor medio de Lagrange, existe t 2 (t1 , t2 ) ✓ J tal que h0 (t) = h(t2 ) t2 h(t1 ) . t1 Teniendo en cuenta (1.2), deducimos que h(t2 ) t2 h(t1 ) = 0, t1 2 es decir, h(t1 ) = h(t2 ). Por tanto tenemos que si u 2 C 1 (⌦) es una solución de la ecuación ut = 0 y {x} ⇥ [t1 , t2 ] ✓ ⌦, entonces u(x, t1 ) = u(x, t2 ). Si el dominio es convexo o más generalmente, si ⌦ es un conjunto tal que Jx := {t 2 R | (x, t) 2 ⌦} es un intervalo para todo x 2 I := {x 2 R | Jx 6= ;}, entonces tenemos que para cada x 2 I, el valor u(x, t) no depende de t 2 Jx y podemos afirmar que u(x, t) = f (x), 8(x, t) 2 ⌦, f 2 C 1 (I), (1.3) siendo f (x) el único valor que toma u en el conjunto {x} ⇥ Jx . ) Ω Jx Figura 2. El valor para u(x, t) puede depender de t. Por ejemplo, sea el dominio ⌦ := ([ 4, 1] ⇥ [ 1, 1]) [ ([ 1, 3] ⇥ [ 2, 1]) [ ([ 1, 3] ⇥ [1, 2]) y sea la función 8 < x2 u(x, t) := x2 : 0 si (x, t) 2 ⌦, x > 0, t > 0, si (x, t) 2 ⌦, x > 0, t < 0, si (x, t) 2 ⌦, x 0. ( Entonces ⌦ es conexo, u 2 C 1 (⌦) verifica (1.1) en todos los puntos pero u(x, t1 ) 6= u(x, t2 ) si x > 0, t1 < 0 < t2 . Ası́ que la expresión de la solución general (1.3) no es válida en este dominio. 2. La ecuación del transporte x Figura 1. Intersección del dominio con rectas x = constante La fórmula (1.3) recibe el nombre de solución general de la ecuación y expresa el hecho de que las soluciones de la ecuación (1.1) son funciones que solamente dependen de la variable x pero no de la variable t. Si Jx no es conexo para todo x 2 I, pueden aparecer soluciones que no tomen un único valor para el mismo x, es decir, tales que u(x, t1 ) 6= u(x, t2 ), t1 , t2 2 Jx . 3 Consideremos un fluido moviéndose en el espacio Rn y una sustancia dispersa transportándose en el seno del fluido. Una forma de describir el movimiento del fluido consiste en proporcionar en cada punto y cada instante el campo de velocidades v(x, t) = (v1 (x, t), . . . , vn (x, t)) 2 Rn . Cada partı́cula en el seno del fluido se verá arrastrada con el movimiento del fluido, por lo que tendrá un movimiento de acuerdo con el campo de velocidades. Este fenómeno de transporte recibe el nombre de advección o convección. 4 Si las partı́culas en el seno del fluido se transportan mediante advección, el movimiento individual de cada partı́cula transportada estará gobernado por la ecuación diferencial ordinaria x0 (t) = v(x(t), t). Las soluciones de la ecuación diferencial anterior son las curvas paramétricas correspondientes al movimiento de las partı́culas dentro del seno del fluido y reciben el nombre de lı́neas de corriente. Las lı́neas de corriente proporcionan una descripción macroscópica del movimiento, despreciando los efectos de la agitación molecular debido a la temperatura y de los movimientos microscópicos que no dan lugar a desplazamientos macroscópicos netos. Estos fenómenos microscópicos son los responsables del fenómeno de difusión. Incluso en un fluido en reposo podemos detectar transporte neto de sustancia debido a la difusión. Aunque la advección en un fluido puede expresarse en términos del movimiento de cada partı́cula según las lı́neas de corriente, la descripción de la posición de cada partı́cula de una sustancia no es útil en la práctica. En primer lugar, es imposible seguir con detalle la trayectoria de un gran sistema de partı́culas, más aún si se trata de un medio continuo. Además las partı́culas de una misma sustancia pueden ser indistinguibles lo que hace prácticamente imposible investigar su movimiento individual. Por ello, pretendemos formular la advección en términos magnitudes que podamos observar y medir. La concentración de una sustancia es la cantidad de sustancia por unidad de volumen y puede definirse como mD (t) u(x, t) := lı́m , x2D;vol(D)!0 vol(D) donde D denota una porción del fluido que contiene al punto x, y mD (t) la cantidad sustancia contenida en el dominio D. La densidad del fluido ⇢(x, t) es MD (t) ⇢(x, t) := lı́m , x2D;vol(D)!0 vol(D) donde MD (t) denota la cantidad total de fluido contenida en el volumen D. Una magnitud que tiene interés cuando hay grandes cambios de densidad en el fluido es la concentración relativa de la sustancia o concentración especı́fica, definida como mD (t) u(x, t) U (x, t) := lı́m = . ⇢(x, t) x2D;vol(D)!0 MD (t) 5 Flujo de material Para deducir correctamente la ley del transporte debemos introducir la velocidad de flujo de concentración q(x, t). La velocidad de flujo de concentración indica la cantidad de sustancia que atraviesa una pequeña superficie por unidad de tiempo. En los fenómenos de transporte tiene sentido definir un vector correspondiente a la velocidad de flujo de concentración. Si S es una pequeña superficie plana con vector normal n que contiene al punto x y m es la cantidad de substancia que atraviesa dicha pequeña superficie plana en un pequeño intervalo de tiempo t entonces existe un vector q(x, t) tal que q(x, t) · n = lı́m t!0; S!0 m , t S Observemos que el vector q(x, t) queda determinado al medir q(x, t) · n para superficies normales a una base de vectores del espacio. Si conocemos la velocidad de flujo de sustancia podemos deducir mediante integración la cantidad de sustancia que atraviesa una superficie macroscópica S dada en un intervalo de tiempo [t0 , t0 + t] es Z t0 + t Z m= q(x, t) · n(x)d (x)dt. t0 S Leyes de conservación y ecuación del transporte De la definición de velocidad de flujo, se deduce que la cantidad de sustancia por unidad de tiempo que atraviesa una superficie S viene dada por la integral Z dm = q(x, t) · n(x)d (x). dt S Si tomamos S = @D la superficie que encierra al dominio D, podemos aplicar el Teorema de la divergencia de Gauss y obtener Z Z m0D (t) = q(x, t) · n(x)d (x) = div q(x, t)dx. @D D El signo se debe a que la normal es exterior, por lo que la integral de flujo no expresa el incremento sino más bien la tasa de decremento de material. Por otro lado Z Z @ m0D (t) := u(x, t)dx = ut (x, t)dx, @t D D 6 de donde se deduce la siguiente fórmula Z Si multiplicamos por la concentración obtenemos la cantidad de sustancia que atraviesa la superficie (ut (x, t) + div q(x, t))dx = 0. m=u V = D y entonces Teniendo en cuenta que el dominio D es arbitrario, se deduce que ut (x, t) + div q(x, t) = 0. (2.1) La relación anterior es una ley de conservación de material expresada en forma diferencial. Si no hay fuentes ni sumideros de material, la variación de la concentración de material debe coincidir exactamente con el balance de material entrante y saliente debido al flujo. Flujo advectivo Consideremos el caso de transporte puramente advectivo de una sustancia con concentración u constante y velocidad constante v. Al cabo de un tiempo pequeño t, el fluido que atraviesa la superficie plana S rellena un volumen prismático igual a V = S tv · n = S tkvk cos ↵, siendo ↵ el ángulo formado por la dirección de la velocidad y la normal a la superficie. n S tuv · n q(x, t) · n = u v · n, para todo n, lo que implica que la velocidad de flujo es q(x, t) = u v. En el caso general, la cantidad de sustancia que atraviesa la superficie S en el intervalo de tiempo [t0 , t0 + t] es m= Z t0 + t t0 Z S u(x, t) v(x, t) · n(x)d (x)dt. Por tanto, la velocidad de flujo de material en los fenómenos de transporte es el producto de la concentración por la velocidad q(x, t) = u(x, t)v(x, t). (2.2) Ecuación del transporte y ley de conservación de la masa La velocidad de flujo en los fenómenos de transporte puramente advectivo viene dada por (2.2), lo que permite eliminar la velocidad de flujo en la ecuación (2.1) ut (x, t) + div(u(x, t)v(x, t)) = 0, (2.3) obteniendo la expresión diferencial de la ecuación del transporte. Esta ecuación no describe el fenómeno general de transporte sino solamente la advección, por lo que en algunos contextos recibe el nombre de ecuación de la advección para indicar que excluye los fenómenos de difusión y microcirculación. Razonando análogamente con la cantidad total de fluido, Z Z 0 ⇢t (x, t)dx = MD (t) = div(⇢(x, t)v(x, t))dx, D n v dt D obtenemos la forma diferencial de ley de conservación de la masa Figura 6. Volumen de fluido que atraviesa una superficie ⇢t (x, t) + div(⇢(x, t) · v(x, t)) = 0. 7 8 (2.4) t Teniendo en cuenta que u(x, t) = U (x, t)⇢(x, t) se deduce de (2.3) que Ω 0 = ut (x, t) + div(u(x, t)v(x, t)) @ = (U (x, t)⇢(x, t)) + div(U (x, t)⇢(x, t)v(x, t)) @t = ⇢(x, t)Ut (x, t) + U (x, t)⇢t (x, t) (x0,t0) + ⇢(x, t) v(x, t) · grad U (x, t) + U (x, t) div(⇢(x, t) · v(x, t)) = ⇢(x, t)(Ut (x, t) + v(x, t) · grad U (x, t)) + u(x, t)(⇢t (x, t) + div(⇢(x, t) · v(x, t))) x Al aplicar la ecuación (2.4), se deduce la ecuación del transporte para la concentración relativa donde I(t0 , x0 ) es la mayor intervalo que contiene a t0 tal que Ut (x, t) + v(x, t) · grad U (x, t) = 0. Si la velocidad no depende de t, entonces se trata de un flujo estacionario y la ecuación del transporte se reduce a y si no existen variaciones espaciales de la velocidad tenemos la ecuacion en derivadas parciales con coeficientes constantes Ut (x, t) + v · grad U (x, t) = 0. (2.5) debe ser una función u 2 C 1 (⌦). Las lı́neas de corriente son las soluciones de la ecuación diferencial x0 (t) = v. Imponiendo una condición inicial arbitraria x(t0 ) = x0 , obtenemos la expresión genérica de las lı́neas de corriente t0 )v, 9 t 2 I(t0 x0 ), h(t) := u(x0 + (t t0 )v, t), (2.6) t 2 I(t0 , x0 ). Observemos que h es una función definida en I(t0 , x0 ) de clase C 1 . Derivando la función h y teniendo en cuenta que u verifica (2.5), deducimos que t0 )v, t) + n X i=1 Toda solución de la ecuación del transporte x(t; t0 , x0 ) = x0 + (t t0 )v | t 2 I(t0 , x0 )}. está contenido en ⌦. h0 (t) = ut (x0 + (t Transporte con campo de velocidades constante @u ut + vi = 0, @x i i=1 {x0 + (t Para resolver la ecuación del transporte definimos para cada (x0 , t0 ) Ut (x, t) + v(x) grad U (x, t) = 0 n X Figura 4. Lı́neas de corriente en un dominio ci @u 0 (x + (t @xi t0 )v, t) = 0, de donde se deduce que la función h es constante. Por tanto, la función u permanece constante sobre los segmentos (2.6), que son las lı́neas de corriente. Describamos el conjunto de todas las soluciones o solución general, en el caso en que el dominio de definición sea ⌦ = Rn ⇥R. Como u(x, t) permanece constante sobre las lı́neas de corriente (2.6), tenemos u(x0 + (t t0 )v, t) = u(x0 , t0 ), 8t 2 R. Supongamos que conocemos la solución en el instante t0 . Sustituyendo t0 = 0 en la ecuación anterior, obtenemos u(x0 + tv, t) = u(x0 , 0). 10 Llamando f (x0 ) := u(x0 , 0), x0 2 Rn tenemos Tomando x = x0 + (t inicial propuesto (2.7). u(x0 + tv, t) = f (x0 ). Si ahora sustituimos x0 = x sión de la solución general u(x, t) = f (x f(x+c) tv, en la fórmula anterior, deducimos la expretv), (x, t) 2 R2 , f(x) f 2 C 1 (R). t0 )v, obtenemos la solución del problema de valor u(x, t) = f (x (t t0 )v), (x, t) 2 R2 . Transporte con campo de velocidades variable Si el campo de velocidades v(x, t) no es constante, entonces las lı́neas de corriente son las soluciones del sistema diferencial f(x-c) x0 (t) = v(x(t), t). Teorema 2.1. Sea ⌦ un abierto de Rn ⇥ R y sea u 2 C 1 (⌦) una solución del problema de valor inicial para la ecuación del transporte c ut + n X i=1 Las funciones de la forma f (x tv) pueden interpretarse como señales que viajan con velocidad v. Esto corresponde a la idea intuitiva de que la sustancia transportada debe moverse a lo largo de las lı́neas de corriente. Ası́ que la evolución temporal de una distribución espacial de concentración sufre a un desplazamiento respecto a la distribución inicial en la dirección de la velocidad, siendo el desplazamiento proporcional al tiempo transcurrido. Esta interpretación de la solución u(x, t) = f (x tv) como la evolución temporal de una distribución inicial de concentración u(x, 0) = f (x), nos conduce a la idea de problema de valor inicial para la ecuación del transporte @u ut + vi = 0, @x i i=1 u(x, t0 ) = f (x). t0 )v, t) = u(x0 , t0 ) = f (x0 ). 11 @u = 0, @xi u(x, t0 ) = f (x), x0 (t) = v(x(t), t), (2.9) x(t0 ) = x0 , definida en un intervalo I(t0 , x0 ) tal que (x(t; t0 , x0 ), t) 2 ⌦, 8t 2 I(t0 , x0 ). Entonces u verifica u(x(t; t0 , x0 ), t) = f (x0 ), (2.7) Para resolverlo, tenemos en cuenta de nuevo que la solución permanece constante sobre las lı́neas de corriente u(x0 + (t vi (x, t) con campo de velocidades v 2 C 1 (⌦). Sea x(t; t0 , x0 ) la solución del problema de valor inicial para el sistema diferencial Figura 5. Un pulso que viaja a la derecha con velocidad c n X (2.8) 8t 2 I(t0 , x0 ) para todo t 2 I(t0 , x0 ). Demostración. Para cada (x0 , t0 ) dado, definimos h(t) := u(x(t; t0 , x0 ), t), 12 t 2 I(t0 , x0 ). (2.10) que es una función de clase C 1 . Derivando, deducimos que la función h verifica h0 (t) = ut (x(t; t0 , x0 ), t) + = ut (x0 + (t n X @u 0 (x + (t @x i i=1 t0 )v, t) + n X ci (x0 + (t t t0 )v, t) x0i (t; t0 x0 ) 1 t0 )v, t) i=1 @u 0 (x + (t @xi t0 )v, t). x 0 0 Como u verifica (2.9), se deduce que h (t) = 0 para todo t 2 I(t0 , x ). Por tanto, h(t) = h(t0 ), para todo t 2 I(t0 , x0 ). Como h(t0 ) = u(x0 , t0 ) = f (x0 ), deducimos que la función u verifica (2.10). -10 -5 5 10 -1 La fórmula (2.10) permite determinar implicitamente la solución del problema bajo determinadas condiciones. Para un campo de velocidades de clase C 1 , la solución maximal x(t; t1 , x1 ) correspondiente a cada condición inicial (t1 , x1 ) es única. Observemos que si t0 2 I(t1 , x1 ), entonces x(t; t1 , x1 ) es una solución del problema de valor inicial x0 (t) = v(x, t), x(t0 ) = x(t0 ; t1 , x1 ). Las lı́neas de corriente son las soluciones de la ecuación diferencial x(t; t0 , x(t0 ; t1 , x1 )) = x(t; t1 , x1 ) x0 (t) = x(t). y que I(t1 , x1 ) = I(t0 , x(t0 ; t1 , x1 )). Tomando t = t1 , tenemos Las gráficas de las lı́neas de corriente en el espacio fásico (x, t) están representadas en la Figura 7. x(t1 ; t0 , x(t0 ; t1 , x1 )) = x1 . La solución de x0 (t) = x(t) que verifica la condición inicial x(t0 ) = x0 es para todo t0 2 I(t1 , x1 ). Tomando x0 = x(t0 ; t1 , x1 ) en la fórmula (2.10) obtenemos u(x1 , t1 ) = f (x(t0 ; t1 , x1 )), de donde se deduce la siguiente fórmula explı́cita de la solución de la ecuación general del transporte (2.11) para todo (x, t) tal que t0 2 I(t, x). Notemos que el teorema de Peano garantiza la dependencia de clase C 1 de x(t0 ; t, x) respecto a las condiciones iniciales t, x. 13 Ejemplo 2.1. Considérese la ecuación ut (x, t) + xux (x, t) = 0. De la unicidad de solución se deduce que u(x, t) = f (x(t0 ; t, x)), Figura 7. Lı́neas de corriente de la ecuación ut + xux = 0 x(t; t0 , x) = exp(t t0 )x0 , t 2 R. Supongamos que conocemos la distribución inicial de concentraciones en el instante t0 viene dada u(x, t0 ) = f (x), x 2 R, con f 2 C 1 (R). Entonces podemos sustituir x(t0 ; t, x) = exp(t0 14 t)x. en la fórmula (2.11) y expresar la solución del problema de valor inicial ut (x, t) + xux (x, t) = 0, u(x, t0 ) = f (x), x 2 R, Jy := {x 2 R | (x, y) 2 D̄} = (a(y), b(y)), en la forma u(x, t) = f (exp(t0 para todo t 2 R. t)x), Mediante la elección de t0 = 0, deducimos que la fórmula u(x, t) = f (exp( t)x) expresa la solución general de la ecuación ut + xux = 0. Por lo tanto, una función de dos variables es solución de la ecuación ut + xux = 0 si y sólo si esta es expresable como una función de la solución particular exp( t)x. Apéndice: la fórmula de Green Sea D ⇢ Rn un abierto acotado con frontera orientable y lipschitiziana y sea u 2 C 1 (D̄) un campo escalar. Entonces Z D @u (x)dx = @xi Z u(x)ni (x)d (x), (2.12) @D donde ni es la componente i-ésima del vector normal n(x) a la variedad @D. n2 n n1 Sin pérdida de generalidad supongamos que i = 1. Por simplicidad demostraremos la propiedad para dominios D tales que y 2 D0 := {y 2 Rn 1 | (x, y) 2 D para algún x}, es decir, el dominio D es de la forma D = {(x, y) | y 2 D0 , x 2 (a(y), b(y))}. siendo a, b 2 C 1 (D0 ). La propiedad puede extenderse a dominios que son unión de dominios de este tipo y más generalmente a dominios acotados con frontera orientable y lipschitziana. La frontera del dominio queda descompuesta en dos partes @D := {(a(y), y) | y 2 D0 }, @D+ := {(b(y), y) | y 2 D0 }. En virtud de tipo de dominio elegido, podemos escribir la integral de volumen en la forma Z D Z Z ⇣ @u ⌘ (x1 , y)dx1 dy @x1 D 0 a(y) Z Z = u(b(y), y)dy u(a(y), y)dy. @u (x)dx = @x1 b(y) D0 D D0 Ahora tenemos que expresar el elemento de superficie en términos de dy. En @D+ tenemos dy = cos ↵1 d (x) = n1 (x)d (x), ∂D– ∂ D+ Figura 8. Fórmula de Green 15 siendo ↵1 es ángulo que forma la normal con el vector (1, 0, . . . , 0) normal al plano y = y0 . Si tenemos en cuenta el cambio de orientación de las normales exteriores, vemos que en @D , el elemento de superficie verifica dy = n1 (x)d (x). 16 Por tanto tenemos Z Z Z @u (x)dx = u(x)n1 (x)d (x) + u(x)n1 (x)d (x) D @xi @D+ @D Z = u(x)n1 (x)d (x), La conocida fórmula de Green en el plano, se deduce inmediatamente de (2.12). La circulación de un campo vectorial v(x) = (v1 (x), v2 (x)) viene dada por la fórmula Z @D siendo t(x) = ( n2 (x), n1 (x)) el vector tangente unitario a la lı́nea frontera. En el caso bidimensional el elemento de hipersuperficie d (x) corresponde al elemento de arco de la curva frontera. Aplicando (2.12) obtenemos D lo que demuestra la fórmula (2.12). Recordemos que grad u(x) := Z ⇣ @u ⌘T @u (x), . . . , (x) . @x1 @xn @D v(x) · t(x)d (x) = grad u(x)dx = D Z y llamando u(x) n(x)d (x). (2.13) div v dx = D Z @D v(x) · n(x)d (x), (2.14) donde v 2 C 1 (D̄; Rn ) es un campo vectorial sobre un dominio D ✓ Rn al que podemos dotar de una normal exterior. El miembro de la derecha se interpreta como el flujo del campo vectorial v que atraviesa la frontera de D. Si definimos n X @vi div v(x) := (x), @x i i=1 tenemos que Z div v(x)dx = D n Z X i=1 = Z @D n @D rot v(x) := @D Basándonos en la fórmula (2.13), podemos demostrar el teorema de la divergencia de Gauss Z Z (n1 (x)v2 (x) n2 (x)v1 (x))d (x) Z D⇣ ⌘ @v2 @v1 = (x) (x) dx, @x2 D @x1 Entonces las ecuaciones (2.12) pueden resumirse en una sola fórmula vectorial Z v(x) · t(x)d (x) X @vi (x)dx = @xi i=1 v(x) · n(x)d (x). 17 Z vi (x)ni (x)d (x) D @v2 (x) @x1 @v1 (x), @x2 obtenemos la fórmula de Green en el plano Z @D v(x) · t(x)d (x) = Z rot v(x)dx. D 3. Dependencia funcional La solución general de algunas ecuaciones en derivadas parciales lineales de primer orden puede formularse en términos de una dependencia funcional. En este capı́tulo desarrollaremos algunas propiedades de la dependencia funcional que serán útiles para obtener expresiones de las soluciones. Definición 3.1. Sean u1 , . . . , uk , u funciones definidas en ⌦ ✓ Rn . Se dice que u depende funcionalmente de u1 , . . . , uk sobre ⌦ si existe una función F : D ✓ Rk ! R definida en cierto subconjunto de Rk tal que 0 1 u1 (x) B .. C @ . A 2 D, uk (x) 18 8x 2 ⌦ y entonces 8x 2 ⌦. u(x) = F (u1 (x), . . . , uk (x)), k 1 X @uk (x) = Di F (u1 (x), . . . , uk @xj i=1 Si no hay problemas de confusión, omitiremos las variables independientes, al expresar una relación de dependencia funcional es decir u = F (u1 , . . . , uk ). Para funciones diferenciables es habitual suponer que la relación de dependencia funcional es diferenciable, lo que permite establecer relaciones entre las derivadas parciales. Ejemplo 3.2. Sean u, v : I ! R, donde I ✓ R es un intervalo y suponer que u es una función inyectiva. Como u es inyectiva, existe la función inversa u Definamos F = v u v = F (u). 1 1 , entonces tenemos la relación de dependencia funcional ⌦ ✓ Rn y sea ··· .. . ··· 1 @u1 (x) C @xn C .. C C . A @uk (x) @xn es decir, ui depende funcionalmente de u1 , . . . , ui @(u1 , . . . , uk ) (x) k @x 1 (x)) j = 1, . . . , n, @ui (x), @x de donde se deduce que la última fila de la matriz Jacobiana @u(x)/@x es una combinación lineal de las filas anteriores. Por tanto rango @u(x)/@x < k para todo x 2 ⌦. 1, 1 , ui+1 , . . . , uk , uk (x) = F (u1 (x), . . . , uk u 2 D, F (u1 (x), . . . , uk (x)) = 0, entonces 8x 2 ⌦. 1 (x)), Definición 3.4. Sean u1 , . . . , uk funciones definidas en ⌦ ✓ Rn . Se dice que u1 , . . . , uk son funcionalmente dependientes sobre ⌦ si existe existe una función F 2 C 1 (D), D ✓ Rk , con gradiente no nulo tal que se verifica la siguiente relación de dependencia funcional no trivial Demostración. Reordenando las funciones si es necesario, podemos suponer sin pérdida de generalidad que 19 k 1 X @uk (x) = Di F (u1 (x), . . . , uk @x i=1 grad F (u) 6= 0, la matriz jacobiana de la función vectorial u(x) := (u1 (x), . . . , uk (x)), x 2 ⌦. Si ui = F (u1 , . . . , ui 1 , ui+1 , . . . , uk ), F 2 C 1 , rango @ui (x), @xj A veces es necesario considerar relaciones de dependencia entre funciones sin especificar cuál puede expresarse en términos de las demás : u(I) ! R. Proposición 3.3. Sean u1 , . . . , uk 2 C 1 (⌦), 0 @u1 B @x1 (x) B @(u1 , . . . , uk ) .. (x) = B B @x @ @uk. (x) @x1 1 (x)) x 2 ⌦. Nota 3.5. Si u depende funcionalmente de u1 , . . . , uk , u = F (u1 , . . . , uk ) entonces las funciones u1 , . . . , uk , u son funcionalmente dependientes, ya que podemos establecer entre ellas la relación de dependencia funcional no trivial u F (u1 , . . . , uk ) = 0. Ejemplo 3.6. Las funciones trigonométricas sen x y cos x son funcionalmente dependientes, ya que verifican la relación de dependencia funcional sen2 x + cos2 x = 1, 20 x 2 R. Definiendo F (u1 , u2 ) = u21 + u22 1, podemos expresar la relación de dependencia en la forma F (sen x, cos x) = 0. lo que significa que si el rango de la matriz jacobiana es máximo en un punto podemos garantizar la independencia funcional en un entorno de dicho punto. Proposición 3.7. Sean u1 , . . . , uk 2 C 1 (⌦), ⌦ ✓ Rn . Si u1 , . . . , uk son funcionalmente dependientes, entonces Según la definición dada de independencia funcional, existen funciones que no son ni funcionalmente dependientes ni funcionalmente independientes. Por ejemplo, las funciones ⇢ ⇢ x3 si x 0, x2 si x 0, u1 (x) := u (x) := 2 2 x si x 0, x3 si x 0, rango @(u1 , . . . , uk ) (x) k @x 8x 2 ⌦. 1, Demostración. Si derivamos la relación de dependencia funcional (respecto a todas las variables) tenemos F (u1 (x), . . . , uk (x)) = 0. obtenemos k X Di F (u(x)) i=1 @ui (x) = 0, @x luego para cada x 2 ⌦ existe una relación lineal no trivial entre las filas de la matriz jacobiana @u(x)/@x. Definición 3.8. Sean u1 , . . . , uk 2 C 1 (⌦) funciones definidas en ⌦ ✓ Rn . Se dice que u1 , . . . , uk son funcionalmente independientes sobre ⌦ si rango @(u1 , . . . , uk ) (x) = k, @x 8x 2 ⌦. son C 1 (R) pero no pueden ser independientes sobre ningún intervalo abierto porque el número de funciones es mayor que el número de variables ✓ 0 ◆ u1 (x) rango < 2, 8x 2 R. u02 (x) Tampoco pueden ser dependientes. Si existiera una relación de dependencia funcional en un entorno de x = 0 F (u1 (x), u2 (x)) = 0, se tendrı́a D1 F (u1 (x), u2 (x))2x + D2 F (u1 (x), u2 (x))3x2 = 0, D1 F (0, 0) = 0. Análogamente Nota 3.9. Observemos que si para un cierto punto x0 2 ⌦ se verifica la condición @(u1 , . . . , uk ) 0 rango (x ) = k, @x y tomando lı́mite cuando x ! 0 rango @(u1 , . . . , uk ) (x) = k, @x 21 8x 2 U, 0 < x < ✏, y tomando lı́mite cuando x ! 0+ obtendrı́amos Una primera consecuencia de la definición es que la independencia funcional implica que en número de funciones debe ser menor o igual que el número de variables independientes k n. entonces existe un entorno U de x0 en el que |x| ", D1 F (u1 (x), u2 (x))3x2 + D2 F (u1 (x), u2 (x))2x = 0, ✏ < x < 0, obtendrı́amos D2 F (0, 0) = 0. Se deduce que el gradiente de F debe ser nulo en (0, 0), lo que contradice que se haya obtenido una relación de dependencia funcional. El Teorema del rango constante permite deducir la existencia de una función que dependen funcionalmente de las demás. 22 Teorema 3.10. Sean u1 , . . . , uk 2 C 1 (⌦), ⌦ ✓ Rn , funciones tales que @(u1 , . . . , uk ) rango (x) = k @x y como det 1, x 2 ⌦, deducimos que 0 0 entonces para x 2 ⌦ existe i 2 {1, . . . , k} y un entorno U ✓ ⌦ de x tal que las funciones u1 , . . . , ui 1 , ui+1 , . . . , uk son funcionalmente independientes y ui depende funcionalmente de las demás sobre U , ui (x) = F (u1 (x), . . . , ui 1 (x), ui+1 (x), . . . , uk (x)), x 2 U, con F de clase C 1 . Demostración. Sea u := (u1 , . . . , uk ) 2 C 1 (⌦; Rk ). Si rango @u(x)/@x = k 1 en x0 , entonces un menor será no nulo. Reordenando las funciones y las variables si es preciso, podemos suponer sin pérdida de generalidad que @(u1 , . . . uk 1 ) 0 det (x ) 6= 0. @(x1 , . . . , xk 1 ) Definamos la función auxiliar f (x) = (u1 (x), . . . , uk 1 (x), xk , . . . , xn ) 2 Rn y como det rango f 1 @v (y) = k @y 8y 2 V0 . 1, Por otro lado sabemos que vi (f (x)) = ui (x) = fi (x), 8x 2 U0 , i = 1, . . . , k 1, de donde se deduce que vi (y) = yi , y 2 V0 , i = 1, . . . , k Ası́ que la matriz Jacobiana de v es 0 1 0 ··· 0 .. .. B . 0 1 . B B . .. .. @v .. B . . 0 (y) = B B .. .. @y B . . 0 1 @ @vk @vk (y) · · · · · · (y) @y1 @yk 1 1. 0 .. . ··· 0 ··· 0 @vk (y) @yk 1 0 ··· 0 .. . ··· ··· 0 @vk @yn (y) Se deduce que para que la matriz jacobiana @v/@y tenga rango k necesario que @f 0 @(u1 , . . . uk 1 ) 0 (x ) = det (x ) 6= 0, @x @(x1 , . . . , xk 1 ) deducimos que f es un difeomorfismo local, ası́ que existe un entorno U0 ✓ ⌦ de x0 y un entorno V0 = f (U0 ) de y0 = f (x0 ) de modo que la función inversa @f 1 (y) 6= 0, @y @vk (y) = 0, @yi y 2 V0 , i = k, k + 1, . . . , n. vk (y) = F (y1 , . . . , yk 8y 2 V ✓ V0 . 1 ), Evaluando en v : y 2 V0 7! (u1 f 1 (y), . . . , uk f 1 (y)) 2 Rk . La regla de la cadena nos implica que la matriz Jacobiana de v es @v @u (y) = (f @y @x 1 @f 1 (y)) (y), @y 23 1, es Esto quiere decir que la función vk no depende de las variables yk , yk+1 . . . , yn en un entorno de y0 , luego existe F 2 C 1 (D), D ✓ Rk 1 , tal que : V0 7! U0 es de clase C 1 . Sea C C C C C. C C A y = f (x) = (u1 (x), . . . , uk 1 (x), xk , . . . , xn ) T , tenemos uk (x) = vk (f (x)) = F (u1 (x), . . . , uk 1 (x)), x2U =f 1 (V ), de donde se obtiene la relación de dependencia uk = F (u1 , . . . , uk 24 1 ). 4. Integrales primeras de un sistema diferencial En esta sección estudiaremos algunas propiedades de los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias x01 (t) = f1 (t, x(t)), .. . x0n (t) que escribiremos en forma vectorial donde f 2 C(D; Rn ), D ✓ R ⇥ Rn . Recordemos que si f 2 C 1 (D; Rn ), entonces el problema de valor inicial x(t0 ) = x0 , admite una solución única x(·; t0 , x0 ) : t 2 I(t0 ,x0 ) 7! x(t; t0 , x0 ), definida en el intervalo maximal I(t0 ,x0 ) , llamada solución general de la ecuación. El teorema de Peano sobre dependencia respecto a condiciones iniciales y parámetros nos permite deducir que la solución general depende continua y diferenciablemente de la variable t y de las condiciones iniciales t0 y x0 . El concepto de integral primera está relacionado con la idea de que existen magnitudes fı́sicas que permanecen constante en la evolución de los sistemas. Por ejemplo, en un oscilador armónico, sujeto a las ecuaciones p0 (t) = kx(t), la energı́a mecánica p2 kx2 + 2m 2 permanece constante a lo largo de las trayectorias del oscilador. En efecto, E(x, p) = d 1 k k [E(x(t), p(t)] = p(t)p0 (t) + kx(t)x0 (t) = x(t)p(t) + x(t)p(t) = 0. dt m m m 25 1 (2E m kx(t)2 ). 0, podemos integrar que es una ecuación de variables separables y puede resolverse mediante cuadraturas. x0 (t) = f (t, x(t)), x0 (t) = p(t)/m, x0 (t)2 = Si queremos obtener una solución local en la que x0 (t) la ecuación r 2E kx(t)2 x0 (t) = , m = fn (t, x(t)), x0 (t) = f (t, x(t)), La observación anterior permite reducir el sistema diferencial anterior a una sola ecuación de primer orden Las integrales primeras de un sistema diferencial son funciones de las variables fásicas t, x que permanecen constantes a lo largo de las soluciones del sistema. Las integrales primeras pueden utilizarse para reducir la complejidad de un sistema diferencial como hemos visto en el ejemplo anterior. Además, en la resolución de ciertos sistemas diferenciales las representaciones explı́citas de las soluciones pueden ser muy complicadas. Las integrales primeras están indicadas especialmente para obtener representaciones implı́citas de la solución general de la forma E1 (x, t) = c1 , . . . , En (x, t) = cn , siendo c1 , . . . , cn son constantes arbitrarias Por último, indicar que la resolución de ecuaciones en derivadas parciales de primer orden está ligada al estudio de integrales primeras. Las soluciones permanecen constantes sobre las lı́neas integrales de un sistema diferencial asociado o, al menos, conviene investigar la evolución de una solución sobre tales lı́neas. Definición 4.1. Sea f 2 C(D; Rn ), D ✓ R ⇥ Rn . Se dice que la función E(x, t), (x, t) 2 V ✓ Rn ⇥ R, {(t, x) 2 R ⇥ Rn | (x, t) 2 V } ✓ D es una integral primera del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias x0 = f (t, x), 26 (t, x) 2 D, si para cualquier solución x : I ! Rn del sistema diferencial, definida en un intervalo I tal que (x(t), t) 2 V, 8t 2 I, la función t 2 I 7! E(x(t), t) permanece constante. Ejemplo 4.2. La solución general de la ecuación Demostración. Sea x(t) una solución cualquiera de la ecuación x0 = f (t, x). Derivando la función E(x(t), t), obtenemos n X d @E @E E(x(t), t) = (x(t), t) + (x(t), t)x0i (t) dt @t @x i i=1 = x0 = ax es x(t; t0 , x0 ) = exp(a(t t0 ))x0 . Fijemos t0 = 0. Al recorrer x0 toda la recta real obtendremos todas las posibles soluciones de la ecuación en términos de su valor inicial x(0) = x0 x(t) = exp(at)x0 Si despejamos x0 en la ecuación anterior, obtenemos x0 = exp( at))x(t). Por lo tanto, al evaluar la función E(x, t) := exp( at)x sobre una solución x(t) de la ecuación x0 = ax, obtendremos el valor constante x0 = x(0) = E(x(t), t). Ası́ que E(x, t) es una integral primera de la ecuación x0 = ax. Esto puede verificarse derivando a lo largo de una solución arbitraria de la ecuación d d E(x(t), t) = [exp( at)x(t)] = exp( at)(x0 (t) dt dt n X @E @E (x(t), t) + fi (t, x(t)) (x(t), t). @t @x i i=1 (4.3) Si E es solución de (4.2) entonces d E(x(t), t) = 0, dt (4.4) de donde se deduce que E(x(t), t) permanece constante sobre todas las soluciones del sistema (4.1), es decir E(x, t) es una integral primera. Recı́procamente, si E es una integral primera del sistema (4.1), y x(t) es la solución tal que x(t0 ) = x0 , entonces se verifica (4.4), y de (4.3) se deduce que n X @E @E (x(t), t) + fi (t, x(t)) (x(t), t) = 0. @t @x i i=1 Evaluando en t = t0 se obtiene n X @E 0 @E 0 (x , t0 ) + fi (t0 , x0 ) (x , t0 ) = 0. @t @xi i=1 ax(t)) = 0. El problema del cálculo de las integrales primeras está relacionado con la resolución de una ecuación en derivadas parciales asociada. Sabemos que por cada punto del dominio (t0 , x0 ) 2 D pasa una solución, lo cual implica que E verifica (4.2) en todos los puntos (x0 , t0 ) 2 V . Proposición 4.3. Sea f 2 C(D; Rn ), D ✓ R⇥Rn y sea V ✓ Rn ⇥R tal que {(t, x) 2 R ⇥ Rn | (x, t) 2 V } ✓ D. La función E 2 C 1 (V ) es una integral primera del sistema x0 = f (t, x), (t, x) 2 D, (4.1) La ecuación (4.2) puede interpretarse hidrodinámicamente como la ecuación del transporte de una sustancia en un fluido con campo de velocidades v(x, t) = f (t, x). Las lı́neas de corriente son las soluciones del sistema diferencial (4.1) y corresponden a las ecuaciones del movimiento de las partı́culas transportadas en el seno del fluido. Vemos que la concentración de la sustancia transportada en un fluido permanece constante sobre las lı́neas de corriente. Recı́procamente, para que u(x, t) represente la concentración relativa de una sustancia transportada en el seno del fluido, es necesario que u(x(t), t) permanezca constante sobre las lı́neas de corriente. si y sólo si E es solución de la ecuación en derivadas parciales n @u X @u + fi (t, x) = 0. @t @x i i=1 27 (4.2) 28 Solucion general de la ecuación de las integrales primeras Como la resolución de la ecuación en derivadas parciales lineal homogénea (4.2) equivale al problema de determinar todas las integrales primeras de un sistema diferencial, vamos a intentar deducir una expresión del conjunto de dichas integrales primeras. Si conocemos la solución general del sistema diferencial x0 (t) = f (t, x(t)), podemos obtener integrales primeras asociadas Proposición 4.4. Sea x(t; t0 , x0 ) la solución general de la ecuación x0 = f (t, x), f 2 C 1 (D, Rn ), D ✓ R ⇥ Rn abierto y sea (t0 , x0 ) un punto interior del dominio D. Entonces las funciones Ej (x, t) = xj (t0 ; t, x), j = 1, . . . , n, son integrales primeras definidas en un entorno V de (x0 , t0 ), de clase C 1 y funcionalmente independientes Demostración. Por el teorema de Peano, hay unicidad de solución y la dependencia respecto a las condiciones iniciales es C 1 en un entorno de (t0 , x0 ). Por tanto, toda solución en un entorno de (t0 , x0 ) es de la forma x(t; t0 , y), donde y varı́a en un entorno de x0 . Observemos que x(t; t0 , y) es solución del problema de valor inicial x0 (t) = f (t, x), x(t1 ) = x(t1 ; t0 , y). x(t;t0,y) x x(t;t0,y) (t1,x(t1;t0,y)) De la unicidad de solución se deduce que x(t; t1 , x(t1 ; t0 , y)) = x(t; t0 , y) y, tomando t = t0 , tenemos x(t0 ; t1 , x(t1 ; t0 , y)) = y. para todo t1 . Por lo tanto Ej (x(t; t0 , y), t) = xj (t0 ; t, x(t; t0 , y)) = yj no depende de t. Luego Ej (x, t) es integral primera, ya que permanece constante a lo largo de toda solución. Para demostrar la independencia funcional, recordemos que la matriz jacobiana @(E1 , . . . , En ) 0 @x(t; t0 , x0 ) (t0 ; t0 , x0 ) = In , (x , t0 ) = @x @x0 lo que implica que rango @(E1 , . . . , En ) (x, t) = n @(x, t) para todo (x, t) en un entorno de (x0 , t0 ). Observemos que, si E1 (x, t), . . . , Ek (x, t) son integrales primeras del sistema (4.1), entonces E(x, t) := F (E1 (x, t), . . . , Ek (x, t)) también es una integral primera del sistema (4.1), aunque no aporta información nueva, porque depende funcionalmente de las integrales primeras dadas. Proposición 4.5. Sea E1 , . . . , Ek 2 C 1 (V ), V ✓ Rn ⇥ R integrales primeras del sistema (4.1). Suponer que F 2 C 1 (U ), donde U ✓ E1 (V )⇥· · ·⇥Ek (V ) ✓ Rk . Entonces la función E(x, t) := F (E1 (x, t), . . . , Ek (x, t)), (t0,y) (x, t) 2 V, también es integral primera del sistema (4.1). (t0,x0) t Figura 9. La solución x(t; t0 , y) coincide con x(t; t1 , x(t1 ; t0 , y)) 29 Demostración. Sea x(t) una solución arbitraria de (4.1). Por ser E1 , . . . , Ek integrales primeras tenemos que Ei (x(t), t) = ci , 30 t 2 I, entonces E(x(t), t) = F E1 (x(t), t), . . . , Ek (x(t), t) = F (c1 , . . . , ck ), y no dependen de t, luego es una integral primera de (4.1). Veamos ahora que un sistema de n integrales primeras funcionalmente independiente permiten obtener cualquier otra integral primera del sistema diferencial. Proposición 4.6. Sean E1 , . . . , En , E 2 C 1 (V ) integrales primeras del sistema (4.1). Sea (x0 , t0 ) 2 V arbitrario y suponer que @(E1 , . . . , En ) 0 rango (x , t0 ) = n. @(x, t) Entonces existe un entorno V0 ✓ V de (x0 , t0 ) sobre el que E depende funcionalmente de E1 , . . . , En , es decir E = F (E1 , . . . , En ), para cierta función F de clase C 1 . Demostración. Las funciones E1 , . . . , En son funcionalmente independientes en un entorno de (x0 , t0 ), luego rango @(E1 , . . . , En , E) (x, t) @(x, t) n, para todo (x, t) en un entorno de (x0 , t0 ). Además E1 , . . . , En , E verifican la misma ecuación en derivadas parciales (4.2), luego hay una relación de dependencia lineal entre las columnas de la matriz jacobiana rango @(E1 , . . . , En , E) (x, t) = n, @(x, t) (x, t) 2 V Del Teorema 3.10 se deduce que una de las funciones depende funcionalmente de las restantes. Teniendo en cuenta la independencia funcional de E1 , . . . , En , obtenemos la relación funcional E = F (E1 , . . . , En ). Corolario 4.7. Sean u1 , . . . , un 2 C 1 (V ), soluciones de la ecuación en derivadas parciales n @u X @u + vi (x, t) =0 @t @x i i=1 funcionalmente independientes en un entorno V de (x0 , t0 ). Entonces existe un entorno V0 ✓ V de (x0 , t0 ) tal que el conjunto de todas las soluciones sobre el dominio V0 de la ecuación (4.2) es de la forma u = F (u1 , . . . , un ), F 2 C 1. Ejemplo 4.8. Queremos obtener soluciones de la ecuación en derivadas parciales ut + tg x ux = 0. De acuerdo con la Proposición 4.4, la resolución de la ecuación equivale al problema de encontrar integrales primeras de la ecuación diferencial ordinaria x0 (t) = tg(x(t)). Determinemos la solución general. Al tratarse de una problema de variables separables podemos escribir la ecuación en la forma cos x(t)x0 (t) = 1, sen x(t) integrando entre t0 y t y teniendo en cuenta la condición inicial x(t0 ) = x0 tenemos log sen x(t; t0 , x0 ) log sen x0 = t t0 , tomando exponenciales encontramos sen x(t; t0 , x0 ) = exp(t t0 ) sen x0 . Por la Proposición 4.4, x(t0 , t, x) es una integral primera y, teniendo en cuenta la Proposición 4.5, deducimos que sen x(t0 ; t, x) también es una integral primera. Fijando t0 = 0, obtenemos la integral primera E(x, t) = sen x(0; t, x) = exp( t) sen x. Aplicando la Proposición 4.5 de nuevo, se deduce que las funciones u(x, t) = F (exp( t) sen x), F 2 C 1 (R) (4.5) Los resultados anteriores pueden aplicarse a la resolución de la ecuación del transporte. Las soluciones de la ecuación del transporte son precisamente las integrales primeras del sistema diferencial x0 = v(x, t), cuyas soluciones son las lı́neas de corriente. De la Proposición 4.5 y la Proposición 4.6, se deduce una expresión de la solución general de la ecuación del transporte. son también integrales primeras del sistema y, por lo tanto, soluciones de la ecuación en derivadas parciales dada. Se deduce del Corolario 4.7 que (4.5) es la solución general del problema, en el sentido de que en un entorno de cada punto toda solución es de la forma (4.5). 31 32 Integrales primeras de un sistema diferencial lineal Evaluando en t = t0 , tenemos Sea un sistema lineal de ecuaciones diferenciales x0 (t) = A(t)x(t), (y(t0 )0 + AT (t0 )y(t0 ))T x0 = 0. t 2 I, n⇥n donde A 2 C(I; R ). Limitemos la búsqueda de integrales primeras a las funciones lineales en x. Proposición 4.9. Sea A 2 C(I; R E(x, t) = n⇥n n X ). Una función yi (t)xi = y(t)T x i=1 es integral primera del sistema diferencial lineal x0 (t) = A(t)x(t) si y sólo si y(t) es solución del sistema diferencial adjunto y0 (t) = A(t)T y(t). Además, soluciones independientes del sistema adjunto corresponden a integrales primeras funcionalmente independientes. Demostración. Si y es solución del sistema diferencial adjunto, entonces tenemos que y0 (t)T = y(t)T A(t), luego d d E(x(t), t) = [y(t)T x(t)] = y0 (t)T x(t) + y(t)T x0 (t) dt dt = y(t)T A(t)x(t) + y(t)T x0 (t) = y(t)T (x0 (t) y(t0 )0 + AT (t0 )y(t0 ) = 0, A(t)x(t)) x(t0 ) = x0 , tenemos 8t0 2 I, lo que muestra que y es una solución del sistema diferencial adjunto. Finalmente, si tenemos y1 , . . . , yk soluciones del sistema diferencial adjunto y Ei (x, t) = yi (t)T x, i = 1, . . . , n, tenemos que la matriz Jacobiana parcial es la traspuesta del wronskiano del sistema de funciones 0 1 T1 y (t) @(E1 , . . . , Ek ) B C (x) = @ ... A = W (y1 , . . . , yk )(t)T , @x yk (t)T y 0 1 y1 (t)T x d C .. 1 k T A = W (y , . . . , y )(t) x . dt yk (t)T x @(E1 , . . . , Ek ) W (y1 , . . . , yk )(t)T A(t)x = A(t)x @x @(E1 , . . . , Ek ) d B = @ @t dt = Por tanto, si x(t) es una solución arbitraria del sistema x0 (t) = A(t)x(t), entonces se tiene que dE(x(t), t)/dt = 0 y E(x(t), t) permanece constante en el intervalo I. Recı́procamente si E(x(t), t) es una integral primera, y x(t) es solución del problema de valor inicial x0 (t) = A(t)x(t), Como todo problema de valor inicial tiene solución podemos tomar t0 2 I y x0 2 Rn cualesquiera, de donde se deduce que Por tanto rango (E1 , . . . , Ek ) rango(E1 , . . . , Ek ) = = rango W (y1 , . . . , yk )(t), @(t, x) @x y la independencia de las soluciones y1 , . . . , yk del sistema adjunto equivale a la independencia de las integrales primeras correspondientes. De la Proposición 4.6 y de la Proposición 4.9 deducimos que todas las integrales primeras de un sistema lineal pueden expresarse en la forma F (y1 (t)T x, . . . , yn (t)T x), d d 0 = E(x(t), t) = [y(t)T x(t)] = y0 (t)T x(t) + y(t)T x0 (t) dt dt = y0 (t)T x(t) + y(t)T A(x)x(t) = (y(t)0 + AT (t)y(t))T x(t) siendo y1 (t), . . . , yn (t) un sistema fundamental de soluciones del sistema adjunto. 33 34 5. Ecuaciones semilineales de primer orden Si conocemos una solución particular up de la ecuación T [u] = b, entonces Hemos descrito las soluciones de la ecuación del transporte como integrales primeras del sistema diferencial asociado que corresponde a las lı́neas de corriente. En el estudio de la ecuación del transporte la variable temporal t juega un papel especial. Sin embargo, en ciertos problemas de carácter geométrico no conviene distinguir ninguna variable, por lo que surge la necesidad de abordar el estudio de ecuaciones más generales en las que todas las derivadas parciales tienen un coeficiente no necesariamente constante. En este tema abordamos el estudio de ecuaciones diferenciales lineales en las que pueden intervenir términos no homogéneos. La búsqueda de soluciones particulares y de la solución general de este tipo de ecuaciones llevan a problemas diferenciales que se generalizan inmediatamente a una clase más amplia de ecuaciones diferenciales, llamadas ecuaciones semilineales. En este capı́tulo se estudia este tipo de ecuaciones utilizando como punto de partida el análisis efectuado para la ecuación del transporte. Ecuaciones lineales Una ecuación en derivadas parciales de primer orden se llama lineal, si es de la forma @u @u a1 (x) + · · · + an (x) = a0 (x)u + b(x), @x1 @xn donde x = (x1 , . . . , xn )T 2 ⌦, ⌦ ✓ Rn . En el caso de que b(x) sea idénticamente nula, la ecuación se llama lineal homogénea. Asociado a una ecuación lineal, tenemos el operador diferencial de primer orden n X @u(x) T [u](x) := ai (x) @xi i=0 a0 (x)u(x), (5.1) ai 2 C(⌦), ⌦ ✓ Rn . de manera que una ecuación lineal puede escribirse en la forma T [u] = b, (5.2) mientras que la correspondiente ecuación homogénea es T [u] = 0. (5.3) Debido a la linealidad del operador T : C 1 (⌦) ! C(⌦), el conjunto de la soluciones de una ecuación lineal homogénea es un espacio vectorial, el núcleo del operador ker T . 35 T [u de donde u up ] = b b = 0, up 2 ker T . Recı́procamente si u up 2 ker T , entonces T [u] = T [up ] = b, de donde se deduce el siguiente resultado: el conjunto de soluciones de una ecuación diferencial lineal es el subespacio trasladado up + ker T , cuyo espacio de direcciones ker T es el conjunto de soluciones de la ecuación homogénea asociada T 1 [b] = up + ker T = {up + v | v 2 ker T }. (5.4) Por tanto, podemos afirmar que la solucion general de una ecuación diferencial lineal se obtiene al añadir a una solución particular la solución general de la ecuación homogénea. La idea anterior puede expresarse en términos de cambios de variables. Si up es una solución particular de la ecuación homogénea, T [up ] = b, entonces el cambio v := u up transforma la ecuación no homogénea T [u] = b en la ecuación homogénea T [v] = 0. Como método de estudio de ecuaciones en derivadas parciales lineales introducimos el operador diferencial lineal de primer orden Da [u](x) := a1 (x) @u @u (x) + · · · + an (x) (x) @x1 @xn (5.5) correspondiente al primer miembro. En terminologı́a propia de la geometrı́a diferencial, estos operadores reciben el nombre de campos vectoriales. Los coeficientes de la ecuación diferencial lineal pueden usarse para definir una función vectorial de varias variables a : x 2 ⌦ 7! (a1 (x), . . . , an (x))T 2 Rn . Esta aplicación que asocia a cada punto del dominio un vector también recibe el nombre de campo vectorial. En el caso particular de que tengamos el campo vectorial constante asociado a un vector canónico ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), el operador Dei es una derivación parcial para el que utilizaremos la notación simplificada Di := Dei = 36 @ . @xi Si aplicamos el operador Da a un producto de funciones, Da [uv](x) = n X ai (x) i=1 @ (u(x)v(x)) = @xi Ecuación homogénea reducida y curvas caracterı́sticas ⇣ @v(x) @u(x) ⌘ ai (x) u(x) + v(x) @xi @xi i=1 n X = u(x)Da [v](x) + v(x)Da [u](x) se obtiene la regla de Leibniz Da [uv] = uDa [v] + vDa [u] Llamamos parte principal de un operador diferencial al operador diferencial que contiene los términos de mayor orden. Observemos que Da es la parte principal del operador de primer orden (5.1). Podemos escribir el operador T dado por (5.1) usando la notación anterior T [u](x) = Da [u](x) a0 (x)I[u](x), donde I, denota el operador identidad, I[u] = u. El operador T queda descompuesto como la resta de dos operadores, la parte principal (de primer orden estricto) Da [u] y un operador multiplicación (de orden cero) a0 I. Si conocemos una solución particular no nula uh de una ecuación lineal homogénea, podemos trasformar la ecuación diferencial dada en una ecuación reducida mediante un cambio de variables, basado en el llamado método de variación de las constantes de Lagrange. Si uh es solución de la ecuación homogénea, entonces cuh , también es solución para toda constante c 2 R. Si sustituimos la constante por una función arbitraria c(x) tenemos T [cuh ] = Da [cuh ] a0 cuh = cDa [uh ] + uh Da [c] a0 cuh = cT [uh ] + uh Da [c] Teniendo en cuenta que uh es una solución no nula de la ecuación homogénea, tenemos T [uh ] = 0, y la fórmula anterior se reduce a T [cuh ] = Da [c]uh . Por lo tanto el cambio de variables u(x) = c(x)uh (x), cuyo cambio inverso es c(x) = u(x)/uh (x), transforma la ecuación lineal homogénea T [u] = 0 en la ecuación reducida Da [c] = 0, que no contiene términos de orden cero, sino solamente términos estrictamente de primer orden. Ası́ que podemos escribir ker T = uh ker Da = {cuh | c 2 ker Da }. 37 (5.6) Hemos visto que para encontrar la solución general de una ecuación lineal, basta con encontrar una solución particular y resolver la ecuación homogénea. También hemos visto que la solución de la ecuación homogénea puede expresarse como el producto de una solución particular por una solución arbitraria de la ecuación reducida Da [u] = 0. Dejemos para un estudio posterior la cuestión de cómo encontrar soluciones particulares de la ecuación lineal y de la ecuación lineal homogénea y estudiemos el problema de encontrar todas las soluciones de la ecuación homogénea reducida n X i=1 ai (x) @u = 0. @xi (5.7) Geométricamente, la ecuación (5.7) significa que el vector a(x) es ortogonal al vector ⇣ @u(x) @u(x) ⌘T grad u(x) := ,..., @x1 @xn para todo x, es decir grad u(x) ? a(x). Por tanto, el campo vectorial a asociado al operador diferencial Da es ortogonal al campo vectorial gradiente grad u de toda solución u de la ecuación Da [u] = 0. Una forma de abordar la resolución de la ecuación (5.7) es la búsqueda de curvas que sean tangentes en cada punto a la dirección del campo a(x). Para ello introducimos el campo de direcciones hai : x 2 ⌦ 7! ha(x)i := { a(x) | 2 R}. Observamos que si a(x) = 0, entonces el campo de direcciones es singular, en el sentido de que el campo vectorial a no determina ninguna dirección en el punto x 2 ⌦. Definición 5.1. Una curva caracterı́stica de la ecuación Da [u] = 0 es una curva contenida en ⌦ y tangente en cada punto a las direcciones prescritas por el campo vectorial a. La condición de que una curva es tangente en cada punto al campo vectorial a puede expresarse mediante el sistema diferencial caracterı́stico en forma 38 continua dx1 dxn = ··· = , a1 (x) an (x) (5.8) Entonces la ecuación en derivadas parciales (5.7) sobre el dominio V es equivalente a la ecuación en derivadas parciales X ai (x) @u @u + = 0. @xj aj (x) @xi bien entendido que la notación dxi /ai (x) no expresa siempre un cociente. Más bien el sistema (5.8) indica una relación de proporcionalidad dx1 : dx2 : · · · : dxn :: a1 (x) : a2 (x) : · · · : an (x), es decir, los vectores tangentes a las curvas solución del sistema (dx1 , . . . , dxn ) tienen que ser paralelos al campo (a1 (x), . . . , an (x)). Para integrar la ecuación (5.7) supondremos que el campo no es singular en el dominio considerado, es decir a(x) 6= 0 para todo x 2 ⌦. Ası́ que, en cada punto x0 , el campo caracterı́stico determina una dirección ha(x0 )i. Por tanto, existirá un ı́ndice j tal que aj (x0 ) 6= 0 y, como el campo es continuo, aj (x) 6= 0 en un entorno de x0 . En dicho entorno, el sistema caracterı́stico es equivalente al sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias dxi ai (x) = , dxj aj (x) i 6= j, donde la variable independiente es xj . Notemos que la ecuación de las integrales primeras del sistema diferencial anterior es n 1 X ai (x) @u @u + = 0, @xn a (x) @xi i=1 n i6=j Por la Proposición 4.3, las soluciones de la ecuación en derivadas parciales Da [u] = 0 son precisamente las integrales primeras del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias en la variable xj dxi ai (x) = , dxj aj (x) equivalente al sistema diferencial caracterı́stico (5.8). Con objeto de proporcionar una formulación general e independiente de la selección de una variable, consideraremos representaciones paramétricas de las curvas caracterı́sticas x(t) 2 ⌦, t 2 I. El siguiente lema describe el sistema diferencial caracterı́stico asociado a las representaciones paramétricas regulares, es decir tales que x0 (t) 6= 0 para todo t 2 I, de las curvas caracterı́sticas. Lema 5.3. Sea a 2 C(⌦; Rn ), ⌦ ✓ Rn y sea x 2 C 1 (I; ⌦) una representación paramétrica regular de una curva caracterı́stica de la ecuación (5.7). Si ningún punto de la curva caracterı́stica es un punto singular del campo caracterı́stico, entonces existe una función continua 2 C(I) tal que x0 (t) = (t)a(x(t)), ecuación equivalente a (5.7) en un entorno de x0 . Teorema 5.2. Sea a 2 C 1 (⌦; Rn ), ⌦ ✓ Rn , x0 2 ⌦ tal que a(x0 ) 6= 0. Entonces existe un entorno de x0 en el que las siguientes afirmaciones son equivalentes (a) La función u satisface la ecuación en derivadas parciales Da [u] = 0. (b) La función u es una integral primera del sistema diferencial caracterı́stico (5.8). Demostración. Como a(x0 ) 6= 0, alguna componente del campo será no nula en dicho punto, aj (x0 ) 6= 0, y existirá un entorno V de x0 tal que aj (x) 6= 0, 39 x 2 V. i 6= j, para todo t 2 I. Demostración. La dirección tangente hx0 (t)i a una curva caracterı́stica x(t) debe coincidir con la dirección caracterı́stica ha(x(t))i, es decir hx0 (t)i = ha(x(t))i, t 2 I. Como ambos vectores x0 (t) y a(x(t)) son no nulos deben ser proporcionales ası́ que para cada t existe un escalar no nulo (t) tal que x0 (t) = (t)a(x(t)), 40 para todo t 2 I. Veamos la continuidad de en cada punto t0 2 I. Como la representación es regular, existirá j 2 {1, . . . , n} tal que xj (t0 ) 6= 0. Por tanto x0j (t0 ) = (t0 )aj (x(t0 )), y aj (x(t0 )) es no nula. Debido a la continuidad de las funciones x0j (t) y aj (x(t)), estas funciones se mantienen no nula en un entorno de t0 , por lo que (t) = x0j (t) aj (x(t)) en un entorno de t0 . Como x0j (t)/aj (x(t)) es el cociente de dos funciones continuas con denominador no nulo, deducimos la continuidad de en t0 . Observemos que la función (t) del Lema 5.3 anterior depende no sólo de t sino también de la curva caracterı́stica considerada e incluso del tipo de representación paramétrica elegido para dicha curva. Podemos utilizar las representaciones paramétricas para ofrecer una demostración alternativa del Teorema 5.2, siguiendo las mismas lı́neas argumentales que en la Proposición 4.3 para ilustrar la utilidad de las representaciones paramétricas de las curvas caracterı́sticas. Demostración alternativa del Teorema 5.2. Como a(x0 ) 6= 0, existe un entorno V de x0 tal que a(x) 6= 0 para todo x 2 V . Sea u una solución de la ecuación Da u(x) = 0, definida en un entorno abierto de x0 contenido en V . Si x(t) es la representación regular de una curva caracterı́stica contenida en el dominio de definición de dicha solución, por el lema x0 (t) = (t)x(t). Sea u es una solución de Da u = 0, entonces n n X @u X d @u u(x(t)) = (x(t))x0i (t) = (t) ai (x(t)) (x(t)) = 0, dt @xi @xi i=1 i=1 lo que implica que u es una integral primera del sistema caracterı́stico. Recı́procamente, supongamos que u es una integral primera del sistema caracterı́stico definida en un entorno abierto de x0 contenido en V . Sea x(t; t0 , y) la solución del sistema caracterı́stico x0 (t) = a(x(t)) tal que x(t0 ) = y. Entonces u(x(t; t0 , y)) es un valor independiente de t. Derivando respecto a la variable t, obtenemos n X i=1 ai (x(t; t0 , y)) @u (x(t; t0 , y)) = 0. @xi 41 y evaluando en t = t0 , tenemos n X ai (y) i=1 @u (y) = 0. @xi Como y es un punto arbitrario del dominio de definición de u, deducimos que la ecuación (5.7) se verifica en todos los puntos. Interpretación hidrodinámica La ecuación (5.7) admite también una interpretación hidrodinámica. Podemos considerar las soluciones de (5.7) como las soluciones estacionarias (independientes del tiempo) de la ecuación del transporte en un fluido ut + n X ai (x) i=1 @u = 0. @xi con campo de velocidades a(x) independiente del tiempo (flujo estacionario). Más generalmente podemos considerar campos de velocidades variables con el tiempo paralelos al campo a(x) v(x, t) = (x, t)a(x) de modo que las soluciones (5.7) son las soluciones estacionarias de la ecuación del transporte n X @u ut + (x, t)ai (x) = 0. (5.9) @x i i=1 Podemos obtener una versión paramétrica del sistema diferencial caracterı́stico, considerando las lı́neas de corriente asociadas a la ecuación anterior x0 (t) = (x(t), t)a(x(t)) para cierta función continua adopta la forma (5.10) (x, t). El sistema escrito en forma continua x0n (t) x01 (t) = ··· = = (x(t), t). a1 (x(t)) an (x(t)) 42 Por tanto, las lı́neas de corriente (5.10) de la ecuación (5.9) son representaciones paramétricas de las curvas caracterı́sticas (5.8) de la ecuación (5.7) y recı́procamente, toda curva caracterı́stica de la ecuación (5.7) puede interpretarse como una lı́nea de corriente de una ecuación del tipo (5.9). Por la Proposición 4.3, las integrales primeras E(x, t) de (5.10) son las soluciones de la ecuación en derivadas parciales de primer orden (5.9). Si imponemos a una solución u de (5.9) que no dependa de la variable t, entonces ut = 0, y u verificará la ecuación en derivadas paraciales (5.7). Por tanto, las soluciones de (5.7) pueden interpretarse como integrales primeras de (5.10) independientes de t. Por tratarse de integrales primeras, las soluciones de la ecuación en derivadas parciales (5.7) permanecerán constantes sobre las soluciones del sistema diferencial (5.10). Por la Proposición 4.4, las integrales primeras del sistema caracterı́stico deben ser soluciones de la ecuación Da [u] = 0, luego n X ai (x(t)) i=1 @uj (x(t)) = 0, @xi j = 1, . . . , n 1. Al ser x0 (t) y a(x(t)) vectores ortogonales al mismo conjunto de n 1 vectores independientes grad uj , j = 1, . . . , n 1, deducimos que deben ser paralelos hx0 (t)i = ha(x(t))i, es decir x(t) es una curva caracterı́stica. Solución general de la ecuación homogénea reducida En el Teorema 5.2 hemos demostrado que las soluciones u de la ecuación Da [u] = 0 permanecen constantes a lo largo de las curvas caracterı́sticas. El siguiente resultado muestra que las curvas caracterı́sticas están caracterizadas localmente por esta propiedad. Sea x0 2 ⌦ un punto del dominio donde el campo de direcciones caracterı́sticas a 2 C 1 (⌦; Rn ) no es singular. Por tanto existe j 2 {1, . . . , n} tal que aj (x0 ) 6= 0, y como el campo de direcciones es continuo, tendremos que aj (x) 6= 0 para todo x en un entorno de x0 . Para analizar la solución general de la ecuación homogénea reducida, Da [u] = 0, podemos aplicar el Corolario 4.7 a la ecuación equivalente Teorema 5.4. Sea a 2 C 1 (⌦; Rn ), ⌦ ✓ Rn , x0 2 ⌦ tal que a(x0 ) 6= 0. Entonces existe un entorno U ✓ ⌦ de x0 tal que las siguientes afirmaciones sobre una curva paramétrica x 2 C 1 (I; U ) son equivalentes: X ai (x) @u @u + = 0, @xj aj (x) @xi Identificación de las curvas caracterı́sticas (a) x es solución del sistema caracterı́stico. (b) Para toda solución u 2 C 1 (U ) de la ecuación Da [u] = 0, la función u(x(t)), t 2 I, es constante. Demostración. Por el Teorema 5.2, toda solución u(x, t) de la ecuación en derivadas parciales Da [u] = 0 es una integral primera del sistema caracterı́stico. Por definición de integral primera, si t 7! x(t) es una solución del sistema caracterı́stico, entonces u(x(t)) debe ser una función constante. Recı́procamente, por la Proposición 4.4, podemos encontrar en un entorno del punto x0 un conjunto de integrales primeras u1 , . . . , un 1 del sistema caracterı́stico funcionalmente independientes que deben verificar n X i=1 x0i (t) @uj (x(t)) = 0, @xi 43 j = 1, . . . , n i6=j en un entorno de x0 y obtener una expresión local de la solución general. Teorema 5.5. Sea a 2 C 1 (⌦; Rn ), ⌦ ✓ Rn , x0 2 ⌦ tal que a(x0 ) 6= 0, y sean u1 , . . ., un 1 2 C 1 (⌦) soluciones de la ecuación Da [u] = 0 funcionalmente independientes en un entorno de x0 . Entonces toda solución u de la ecuación en derivadas parciales es de la forma u = F (u1 , . . . , un en un entorno de x0 . 1. 44 1 ), F 2 C 1, Resolución de la ecuación homogénea reducida con coeficientes constantes Si los coeficientes de la ecuación n X ai i=1 @u =0 @xi son constantes, podemos obtener una fórmula explı́cita de cualquier solución u 2 C 1 (Rn ). Sea a := (a1 , . . . , an ) 2 Rn . En este caso, las curvas caracterı́sticas son las lı́neas rectas cuyo vector de dirección es a. La función debe permanecer constante a lo largo de dichas rectas. En efecto, la derivada de la función h(t) := u(x ta) es h0 (t) = Da [u](x ta) = 0, por lo que h(t) es una función constante lo que permite afirmar que u(x) = u(x x x= a·x a 2 a? . kak2 i = 1, . . . , n n X1 j=1 y por tanto para determinar la solución bastará con conocer el valor de u en los puntos del hiperplano a? ⇣ a·x ⌘ u(x) = u x a kak2 45 Sean s1 , . . . , sn las coordenadas de un vector x 2 Rn , respecto a la base w1 , . . . , wn 1 , a de Rn n X1 x= sj wj + sn a. Por tanto se verifica En efecto, tomando t = (a · x)/kak2 , tenemos que Para obtener una fórmula explı́cita de la solución, sea v1 , . . . , vn base de a? . El núcleo de la aplicación lineal 0 1 1 v ·x .. B C n . C L : x 2 Rn 7! B @ vn 1 · x A 2 R a·x i, j 2 {1, . . . , n}, donde ij denota el sı́mbolo delta de Kronecker. De la propiedad de biortogonalidad se deduce que w1 , . . . , wn 1 es una base de aT . si = vi · x, n ta 2 a := {v 2 R | a · v = 0}. x ij , Entonces por la propiedad de biortogonalidad tenemos Para cada x podemos encontrar un escalar t 2 R tal que ? vi · wj = j=1 8t 2 R. ta), es el conjunto de los vectores ortogonales a todos los elementos de la base v1 , . . . , vn 1 , a de Rn . Se deduce que ker L = 0 y, por tanto es biyectiva. Para cada j = 1, . . . , n 1, sea wj 2 Rn = L 1 (ej ), donde ej es el j-ésimo vector canónico. Por construcción a · wj = 0, lo que indica que los vectores wj , j = 1, . . . , n 1, son elementos del hiperplano a? . Además v1 , . . . , vn 1 y w1 , . . . , wn 1 forman un par biortogonal 1 una 1, (vj · x)wj + sn = a·x . kak22 a·x a kak2 para cualquier vector x de Rn . Todo elemento del conjunto a? puede expresarse en la forma n X1 sj w j , (s1 , . . . , sn j=1 1) 2 Rn 1 , y, si el valor de u sobre a? está prescrito, podremos determinar la función de varias variables f (s1 , . . . , sn 1 ) := u ⇣ nX1 j=1 ⌘ sj w j , 46 (s1 , . . . , sn 1) 2 Rn 1 . Como u permanece constante sobre las lı́neas de dirección hai, deducimos que ⇣ u(x) = u x ⇣ nX1 ⌘ a·x ⌘ a = u (vj · x)wj = f (v1 · x, . . . , vn 2 kak j=1 1 · x), de donde se obtiene una expresión de la solución general de la ecuación lineal homogénea reducida de primer orden con coeficientes constantes u(x) = f (v1 · x, . . . , vn 1 1 · x), en términos de una base cualquiera v , . . . , v f 2 C 1 (Rn n 1 1 Proposición 5.6. Sea a 2 C 1 (⌦; Rn ), an+1 2 C 1 (⌦ ⇥ U ), ⌦ ✓ Rn , U ✓ R intervalo. Supongamos que a(x) 6= 0, para todo x 2 ⌦. Sea u 2 C 1 (⌦) una solución de la ecuación en derivadas parciales semilineal (5.11). Sea x 2 C 1 (I; ⌦), una representación paramétrica regular de una curva caracterı́stica. Sea x0 = x(t0 ), t0 2 I, un punto de la curva caracterı́stica en el que conocemos el valor de la solución u0 = u(x0 ). Entonces el valor de la solución u sobre todos los puntos de la curva caracterı́stica x(t) queda determinado ), u(x(t)) = xn+1 (t), del espacio a? . t 2 I0 , donde la función xn+1 2 C ( I0 ) es la solución del problema de valor inicial Ecuaciones semilineales Una ecuación en derivadas parciales de primer orden se dice semilineal si es de la forma n X @u ai (x) = an+1 (x, u), (5.11) @x i i=1 donde an+1 es una función de clase C 1 . En el caso particular en que an+1 (x, u) sea una función afı́n de u, es decir an+1 (x, u) = a0 (x)u + b(x), tenemos una ecuación lineal y si la función es de la forma an+1 (x, u) = a0 (x)u la ecuación es lineal homogénea. Si definimos a(x) = (a1 (x), . . . , an (x)) el campo vectorial asociado al primer miembro de la ecuación, una ecuación semilineal puede escribirse en la forma Da [u](x) = an+1 (x, u). Como en el caso de las ecuaciones Da [u] = 0, podemos definir las curvas caracterı́sticas de la ecuación semilineal como aquellas curvas que son tangentes a las direcciones prescritas por el campo vectorial a, dx1 dxn = ··· = . a1 (x) an (x) x0n+1 (t) = (t)an+1 (x(t), xn+1 (t)), (5.13) definida en I0 ✓ I y (t) es la función continua y no nula determinada por la relación x0 (t) = (t)a(x(t)). Demostración. Sea x(t), t 2 I, una representación regular de una curva caracterı́stica cualquiera. Por el Lema 5.3, existe una función continua (t) determinada por la relación x0 (t) = (t)a(x(t)). Sea xn+1 (t) := u(x(t)), t 2 I. Entonces xn+1 (t) verifica x0n+1 (t) = n n X X @u @u (x(t))x0i (t) = (t) ai (x(t)) (x(t)) @x @x i i i=1 i=1 y teniendo en cuenta que u es una solución de (5.11) n X i=1 (5.12) xn+1 (t0 ) = u0 , ai (x(t)) @u (x(t)) = an+1 (x(t), u(x(t))), @xi se deduce que xn+1 (t) es la solución del problema de valor inicial (5.13). La resolución de una ecuación semilineal puede obtenerse mediante integración sobre las caracterı́sticas. Pero en este caso las soluciones de la ecuación semilineal (5.11) no son necesariamente constantes a lo largo de las curvas caracterı́sticas. Sin embargo, es posible determinar la evolución de la solución a lo largo de las curvas caracterı́sticas resolviendo una ecuación diferencial ordinaria. A veces se adjunta la ecuación diferencial de (5.13) al sistema caracterı́stico para describir el problema diferencial caracterı́stico en el espacio de fases ampliado con la variable dependiente xn+1 = u 47 48 dx1 dxn dxn+1 = ··· = = . a1 (x1 , . . . , xn ) an (x1 , . . . , xn ) an+1 (x1 , . . . , xn , xn+1 ) La proposición anterior sugiere un método de cálculo de la solución. Se calculan curvas caracterı́sticas que pasan por diferentes puntos del dominio x0 . Bajo determinadas condiciones, la selección de los puntos iniciales x0 en un subconjunto (n 1)-dimensional permite determinar la solución en cualquier punto del dominio. La existencia o unicidad de solución dependerá en buena medida de la selección apropiada del conjunto en el que conocemos el valor de la solución. El problema de Cauchy para la ecuación semilineal consiste en encontrar una solución de la ecuación semilineal (5.11) cuyos valores sobre los puntos de la variedad inicial estén dados por una función f 2 C 1 (U ) n X ai (x) i=1 @u = an+1 (x, u), @xi u(g(s)) = f (s), Problema de Cauchy Para plantear problemas de Cauchy o problemas de valor inicial correspondientes a una ecuación semilineal, introducimos el concepto de variedad transversal o no caracterı́stica. Se trata de una variedad diferenciable ✓ ⌦ de dimensión n 1 (hipersuperficie) tal que las curvas caracterı́sticas atraviesan a a lo sumo una sola vez. Una hipersuperficie de clase C 1 en Rn puede ser representada localmente en forma paramétrica mediante las ecuaciones x1 = g1 (s1 , . . . , sn .. . 1 ), xn = gn (s1 , . . . , sn 1 ), (5.14) donde s = (s1 , . . . , sn 1 ) recorre un abierto U de Rn 1 y gi 2 C 1 (U ), i = 1, . . . , n. Definamos la función vectorial 0 1 g1 (s) B C g : s 2 U 7! g(s) = @ ... A 2 Rn . gn (s) La parametrización de la hipersuperficie rango @g 0 (s ) = n @s es regular si 1, 8s0 2 U. (5.15) Gracias a la condición de regularidad (5.15), queda definido el espacio tangente a en el punto x0 = g(s0 ) como el espacio (n 1)-dimensional Tx0 = D @g E @g (s0 ), . . . , (s0 ) , @s1 @sn 1 49 s0 2 U. (5.16) (5.17) s 2 U. Consideremos parametrizaciones regulares x(t) de las curvas caracterı́sticas tales que para cierto valor del parámetro t = t0 pasan por un punto de la variedad inicial . Para cada punto g(s) de , consideramos la solución de un problema de valor inicial caracterı́stico x0 (t) = a(x(t)), x(t0 ) = g(s), (5.18) donde a(x) := (a1 (x), . . . , an (x))T . Si el campo vectorial a 2 C 1 (D; Rn ), podemos aplicar el Teorema de Peano de dependencia respecto a condiciones iniciales y deducir que existe una función y(t, s) de clase C 1 que permite expresar la solución del problema de valor diferencial caracterı́stico (5.18). Para obtener una solución local del problema de Cauchy necesitamos invertir localmente la aplicación y. Por el Teorema de la función inversa, la función y(t, s) es un difeomorfismo local si y sólo si det @y (t0 , s0 ) 6= 0. @(t, s) (5.19) Teniendo en cuenta que @y (t0 , s0 ) = a(y(t0 , s0 )) = a(g(s0 )), @t @y @g 0 (t0 , s0 ) = (s ), @s @s la condición (5.19) puede formularse equivalentemente en la forma 0 1 @g1 0 @g1 a1 (g(s0 )) (s ) · · · (s0 ) B C @s1 @sn 1 B C .. .. .. C 6= 0. det B B C . . . @ A @g @g n 0 n 0 0 an (g(s )) (s ) · · · (s ) @s1 @sn 1 50 (5.20) Llamando x0 = g(s0 ), y teniendo en cuenta (5.16) vemos que (5.20) equivale a imponer llamada condición de transversalidad a(x0 ) 2 / Tx 0 , x0 2 , en x0 no contiene al vector es decir, el espacio tangente a la variedad caracterı́stico a(x0 ). En el siguiente Teorema se demuestra la existencia y unicidad de solución local del problema de Cauchy para la ecuación semilineal, bajo la hipótesis de que las condiciones iniciales se imponen sobre una hipersuperficie transversal al campo caracterı́stico. 1 n 1 n Teorema 5.7. Sean a 2 C (⌦, R ) y an+1 2 C (⌦ ⇥ J), donde ⌦ ✓ R , J ✓ R, y sea g 2 C 1 (U ; Rn 1 ), U ✓ Rn 1 , la representación paramétrica de una hipersuperficie. Si para s0 2 U rango @g 0 (s ) = n @s 1, a(g(s0 )) 2 / D @g @s1 (s0 ), . . . , E @g (s0 ) , @sn 1 (5.21) entonces existe un entorno U0 de s0 en el que : x = g(s), s 2 U0 representa una hipersuperficie regular y un entorno ⌦0 de x0 = g(s0 ) tal que el problema de Cauchy n X @u ai (x) = an+1 (x, u), u(g(s)) = f (s) @x i i=1 tiene una única solución u 2 C 1 (⌦0 ) para cada f 2 C 1 (U0 ). Demostración. Por el Teorema de Peano de dependencia de soluciones respecto a condiciones iniciales, la solución y(t, s) del problema de valor inicial x0 (t) = a(x(t)), x(t0 ) = g(s), está bien definida y es C 1 (I0 ⇥ U0 ), donde I0 ⇥ U0 es un entorno de (t0 , s0 ) Consideremos ahora la ecuación diferencial x0n+1 (t) = an+1 (y(t; s), xn+1 (t)), xn+1 (t0 ) = f (s). Para cada s, el problema de valor inicial tiene una solución que denotaremos por h(t, s). Aplicando el Teorema de Peano de dependencia de soluciones 51 respecto a condiciones iniciales y parámetros y restringiendo adecuadamente el dominio de definición I0 ⇥ U0 podemos suponer h 2 C 1 (I0 ⇥ U0 ) y que ⌦0 = y(I0 ⇥ U0 ). Si el rango de la matriz @g/@s(s0 ) es n 1, entonces la matriz debe tener un menor no nulo y ese menor será no nulo en todo un entorno de s0 . Por lo tanto, : x = g(s) representa una hipersuperficie regular en un entorno de s0 . Restringiendo de nuevo el conjunto U0 podemos suponer que la hipersuperficie es regular en los puntos x = g(s), s 2 U0 . El valor de u queda determinado en los puntos y(t, s) mediante la fórmula u(y(t, s)) = h(t, s), ya que u(y(t, s)) es solución del problema de valor inicial que define h(t, s). La hipótesis (5.21) implica (5.20), por lo que y(t, s) es un difeomorfismo local. Aplicando el Teorema de la función inversa, deducimos la existencia de un entorno abierto ⌦0 de x0 = g(s0 ) en el que la inversa y 1 está bien definida y es de clase C 1 . Esto nos permite determinar la solución en el dominio ⌦0 mediante la fórmula u(x) := h y 1 (x). Obtención de soluciones particulares de una ecuación lineal Las ecuaciones lineales son casos especiales de ecuaciones semilineales. Por tanto, si suponemos resuelto el sistema caracterı́stico, la solución se obtiene mediante la integración de una ecuación diferencial adicional. En el caso de la ecuación lineal, las ecuaciones diferenciales que aparecen son lineales y la integración puede reducirse a cuadraturas a lo largo de las lı́neas caracterı́sticas. Aunque la integración directa de la ecuación diferencial lineal lleva a la resolución del problema, hemos querido presentar algunos argumentos que nos permiten relacionar el problema de obtener soluciones particulares al cálculo de integrales de lı́nea a lo largo de las caracterı́sticas, ilustrando algunos usos de la técnica de variación de las constantes adaptadas a este contexto. Cuadraturas. Recordemos que una cuadratura es una ecuación diferencial de la forma x0 (t) = b(t). Mediante integración directa pueden obtenerse soluRt ciones particulares x(t) = t0 b(s)ds. Un problema multidimensional análogo son las ecuaciones lineales de la forma n X i=1 ai (x) @u (x) = b(x) @xi 52 El método de las caracterı́sticas nos permite determinar soluciones particulares de este problema mediante cuadraturas a lo largo de las caracterı́sticas. Si x(t) es una parametrización regular de una curva caracterı́stica que no pasa por ningún punto singular, entonces, por el Lema 5.3, existe una función (t) tal que x0 (t) = (t)a(x(t)) se reduce al problema anterior mediante el cambio u = exp(v). Teniendo en cuenta que Da [u](x) = Da [exp v](x) = n X ai (x) i=1 @ exp v(x) = exp v(x)Da [v](x), @xi la ecuación se transforma en Derivando u(x(t)) obtenemos n Da [v] = a0 . n X @u X d @u u(x(t)) = (t) (x(t))x0i (t) = (t) ai (x(t)) = (t)b(x(t)). dt @x @x i i i=1 i=1 Por tanto, si conocemos el valor de una solución particular sobre un punto x0 = x(t0 ) de la curva caracterı́stica, podemos determinar el valor de la solución particular a lo largo de toda la curva caracterı́stica mediante una cuadratura Z t u(x(t)) = u(x0 ) + (s)b(x(s))ds. t0 Para que la curva caracterı́stica x(t) esté parametrizada respecto al arco, kx0 (t)k2 = 1, es suficiente tomar (t) := ka(x(t))k2 1 . Se deduce que los valores de la solución pueden expresarse a través de la integral de lı́nea u(x) = u(x0 ) + Z Una vez determinada una solución positiva uh de la ecuación homogénea Da [u] = a0 u podemos hallar la solución general mediante el método de variación de las constantes. Sabemos que cualquier múltiplo cuh , c 2 R, es también solución de la ecuación homogénea. Sustituimos la constante c por una función arbitraria u(x) = c(x)uh (x), lo que equivale a definir la función c(x) := u(x)/uh (x). Entonces tenemos 0 = Da [u] y como Da [uh ] a0 u = Da [cuh ] donde u1 , . . . , un 1 son integrales primeras funcionalmente independientes del sistema caracterı́stico. Ecuación homogénea. El problema de determinar la solución de ecuaciones en derivadas parciales lineales homogéneas de primer orden Da [u] = a0 u, a0 cuh = c(Da [uh ] a0 uh ) + Da [c]uh a0 uh = 0, tenemos que c verifica la ecuación kak2 1 b, siendo la curva caracterı́stica que une x con el punto x0 . Por lo tanto, podemos obtener soluciones particulares de la ecuación Da [u] = b calculando ciertas integrales de lı́nea a lo largo de las curvas caracterı́sticas. Una vez determinada la solución particular up , la expresión local de la solución general de Da [u] = b es u = up + F (u1 , . . . , un 1 ), 53 Puede obtenerse una solución particular vp de la ecuación anterior integrando a lo largo de las caracterı́sticas. Entonces tomando uh = exp(vp ) se obtiene una solución particular positiva de la ecuación homogénea. Da [c] = 0, Luego, si u1 , . . . , un 1 soluciones funcionalmente independientes de Da [u] = 0, entonces c = F (u1 , . . . , un 1 ) y u = uh c = uh F (u1 , . . . , un 1 ), obteniendo la siguiente expresión local de la solución general de Da [u] = a0 u en la forma u = uh F (u1 , . . . , un 1 ), donde u1 , . . . , un 1 son integrales primeras funcionalmente independientes del sistema caracterı́stico. Ecuación lineal completa. En el caso lineal completo Da [u] = a0 u + b, puede obtenerse una solución particular up mediante el método de variación de las constantes, partiendo de una solución particular de la ecuación homogénea uh que no se anule en ningún punto. Definiendo c(x) := u(x)/uh (x), tenemos b = Da [u] a0 u = Da [cuh ] a0 cuh = c(Da [uh ] 54 a0 uh ) + Da [c]uh y, teniendo en cuenta que Da [uh ] a0 uh = 0, la función c verifica la ecuación Da [c] = b . uh Por lo tanto, si (6.2) expresa una familia uniparamétrica de soluciones de (6.1), entonces grad u(x0 ) debe ser paralelo al campo P(x0 ) = (P1 (x0 ), . . . , Pn (x0 )) en cada punto x0 . Una expresión del tipo Podemos determinar una solución particular cp mediante integrales de lı́nea a lo largo de las caracterı́sticas. De esta forma se determina una solución particular up = cp uh de la ecuación lineal completa Da [u] = a0 u + b. La expresión de la solución general es !(x) = siendo u1 , . . . , un 1 integrales primeras funcionalmente independientes del sistema caracterı́stico. 6. Ecuaciones en diferenciales totales Un modo natural de expresar familias de hipersuperficies solución de (6.1) es mediante una fórmula implı́cita del tipo en el punto x0 es precisamente grad u(x0 )(x 55 x0 ) = 0. Observemos que si ! es una forma de clase C 1 exacta, entonces su función potencial u debe ser de clase C 2 y, teniendo en cuenta la igualdad de las derivadas cruzadas, se deduce que @Pi @2u @2u @Pj (x) = (x) = (x) = (x). @xj @xj @xi @xi @xj @xi La observación anteriorPlleva a la siguiente definición. Una forma difen rencial de clase C 1 , !(x) = i=1 Pi (x)dxi , se dice cerrada si se verifica @Pi @Pj (x) = (x), @xj @xi 8i 6= j. (6.2) donde u es una función de gradiente no nulo. Observemos que si el hiperplano tangente a la hipersuperficie u(x) = u(x0 ) n X @u (x)dxi . @x i i=1 (6.1) Una solución de la ecuación en diferenciales totales (6.1) es una variedad diferenciable cuyos vectores tangentes dx son ortogonales a los vectores del campo P(x) = (P1 (x), . . . , Pn (x)). C 2 R, du(x) = o, equivalentemente, grad u(x) = P(x). Una ecuación en diferenciales totales o ecuación diferencial de Pfa↵ es una ecuación de la forma u(x) = C, Pi (x)dxi i=1 recibe el nombre de forma diferencial. Una forma diferencial ! se dice exacta si existe u 2 C 1 (llamada función potencial) tal que ! = du, donde u = up + uh F (u1 , . . . , un ), P1 (x)dx1 + · · · + Pn (x)dxn = 0. n X Se deduce que una condición necesaria para que una forma ! de clase C 1 sea exacta es que ! sea una forma cerrada. El recı́proco no es cierto en un dominio general, pero puede demostrarse para ciertos dominios particulares como los abiertos estrellados. Teorema 6.1 (Lema de Poincaré). Sea ⌦ ✓ Rn un abierto estrellado de Rn , es decir, existe x0 2 ⌦ tal que [x0 , x] := {(1 t)x0 + tx t 2 [0, 1]} ✓ ⌦, 56 8x 2 ⌦. Pn Sea !(x) = i=1 Pi (x)dxi , Pi 2 C 1 (⌦), i = 1, . . . , n una forma diferencial de clase C 1 sobre ⌦. Si ! es cerrada, entonces es exacta y u(x) := Z != [x0 ,x] Z 0 n 1X Pi ((1 t)x0 + tx)(xi x0i )dt Supongamos que x0 es un punto no singular, es decir, !(x0 ) 6= 0. Si P es un campo continuo, entonces P(x) es un campo vectorial que no se anula en un entorno de x0 . La condición de que los vectores no nulos grad u(x) y P(x) sean paralelos en un entorno de x0 puede expresarse en la forma i=1 grad u(x) = µ(x)P(x) es una función potencial de ! tal que u(x0 ) = 0. Demostración. (Idea) Derivando bajo el signo integral tenemos @u(x) = @xj = = = Z Z Z Z 1 0 0 n ⇣X @P i i=1 n 1⇣X i=1 1 0 1 0 ((1 t)x0 + tx)t(xi x0i ) + Pj ((1 @Pj ((1 @xi t)x0 + tx)t(xi x0i ) + Pj ((1 @xj ⇣ d t [Pj ((1 dt d [tPj ((1 dt ⌘ t)x0 + tx)) dt ⌘ t)x0 + tx)) dt t)x0 + tx)] + Pj ((1 ⌘ t)x0 + tx) dt t)x0 + tx)]dt = Pj (x) 0 = Pj (x). Luego du = !. El Lema de Poincaré garantiza que toda forma cerrada es localmente exacta en el sentido de que existe una función potencial definida en un entorno de cada punto. Volvamos al problema de integrar una ecuación en diferenciales totales (6.1) expresando una familia uniparamétrica de soluciones locales en la forma implı́cita u(x) = C, C 2 R. Como ya hemos mencionado, este problema equivale a determinar una función u cuyo gradiente sea no nulo y paralelo al campo vectorial P(x) = (P1 (x), . . . , Pn (x)). Pn Si la forma diferencial !(x) = i=1 Pi (x)dxi es nula en x0 , P1 (x0 ) = · · · = Pn (x0 ) = 0, entonces tenemos que la forma diferencial es singular en dicho punto y no queda fijada la dirección del vector gradiente de la función u(x) en x0 . En ese caso decimos que x0 es un punto singular de la ecuación en diferenciales totales. 57 o equivalentemente du(x) = µ(x)!(x), siendo µ(x) una función no nula definida en un entorno de x0 . De acuerdo con el Lema de Poincaré, si la forma ! es de clase C 1 la condición necesaria y suficiente para que la ecuación en diferenciales totales !(x) = 0 admita una familia de soluciones implı́citas u(x) = C, C 2 R, en un entorno de x0 es que exista una función µ no nula tal que µ! sea una forma cerrada sin puntos singulares. Las ecuaciones en diferenciales totales que satisfacen esta condición reciben el nombre de ecuaciones completamente integrables. La función µ(x) se llama factor integrante y no tiene por qué existir a no ser que la ecuación en diferenciales totales !(x) = 0 sea completamente integrable. La existencia de factor integrante equivale a la existencia de solución de los sistemas de ecuaciones en derivadas parciales lineales @(µPi ) @(µPj ) (x) = (x), @xj @xi i < j, o equivalentemente Pj (x) @µ (x) @xi Pi (x) ⇣ @P @µ i (x) = (x) @xj @xj ⌘ @Pj (x) µ(x), @xi i < j. Eliminando la función µ de las relaciones anteriores obtenemos las condiciones de integrabilidad Pi ⇣ @P j @xk ⇣ @P @Pk ⌘ k + Pj @xj @xi ⇣ @P @Pi ⌘ i + Pk @xk @xj @Pj ⌘ = 0, @xi i < j < k, que identifican a las llamadas ecuaciones completamente integrables. 58 En el caso de dos variables, este factor integrante existe siempre en un entorno de cada punto no singular y es la solución de la ecuación en derivadas parciales lineal homogénea ⇣ @P ⌘ @µ @µ @P2 1 P2 (x) (x) P1 (x) (x) = (x) (x) µ(x). (6.3) @x1 @x2 @x2 @x1 Para demostrar la existencia de solución de las ecuación en diferenciales totales y de los factores integrantes en dos variables asociamos a la ecuación en diferenciales totales P1 (x)dx1 + P2 (x)dx2 = 0, (6.4) el sistema diferencial equivalente escrito en forma continua dx1 dx2 = P2 (x) P1 (x) Las ecuaciones en diferenciales totales pueden aplicarse al cálculo de integrales primeras de un sistema diferencial dx1 dxn = ··· = . a1 (x) an (x) @u @u (x) P1 (x) (x) = 0. (6.6) @x1 @x1 La Proposición 4.4 nos permite garantizar la existencia de una integral primera u de (6.5) en el entorno de cada punto no singular. Por el Teorema 5.2, esta integral primera será solución de la ecuación (6.6). De la relación (6.6) deducimos que du es paralelo al campo vectorial (P1 (x), P2 (x)). Definamos P2 (x) 1 @u (x), Pi (x) @xi con i 2 {1, 2} tal que Pi (x) 6= 0. Entonces µ es un factor integrante de la ecuación, lo que demuestra la existencia de factores integrantes en el caso de dos variables. El factor integrante no tiene que ser único. Teniendo en cuenta que la ecuación (6.6) de las integrales primeras de (6.5) es la ecuación homogénea correspondiente a la ecuación de los factores integrantes (6.3), podemos deducir del Teorema 5.5 que la expresión general de los factores integrantes es µ(x) = µp (x)F (u(x)), n X Pi (x)ai (x) = 0. (6.8) i=1 Observemos que los multiplicadores permiten definir un campo vectorial (P1 (x), . . . , Pn (x)) ortogonal al campo vectorial dado a(x) = (a1 (x), . . . , an (x)). Pn Si la forma diferencial asociada a los multiplicadores !(x) := i=1 Pi (x)dxi es cerrada, entonces podemos definir localmente una función potencial u(x), tal que du = !. Sea x(t), t 2 C 1 (I; Rn ), entonces n n X @u X d [u(x(t))] = (x(t))x0i (t) = !(x(t))(x0 (t)) = Pi (x(t))x0i (t) dt @x i i=1 i=1 Si x(t) es una curva solución del sistema diferencial (6.7), entonces x0 (t) es paralelo a a(x(t)) y por la relación de ortogonalidad (6.8) se deduce que u(x(t)), t 2 I, es constante. Luego la función potencial u es una integral primera del sistema (6.3) y también una solución particular de la ecuación en derivadas parciales Da [u] = 0. donde µp es un factor integrante particular, u es una integral primera arbitraria de (6.5) y F una función cualquiera con valores no nulos. 59 (6.7) Se consideran multiplicadores P1 (x), . . . , Pn (x) tales que (6.5) correspondiente al campo vectorial (P2 (x), P1 (x)). La resolución de (6.3) mediante fórmulas implı́citas u(x) = C, C 2 R, equivale a la búsqueda de integrales primeras del sistema (6.5). La ecuación de las integrales primeras de (6.5) es la ecuación en derivadas parciales lineal homogénea µ(x) := Método de los multiplicadores para el cálculo de integrales primeras 60 7. Ecuaciones cuasilineales de primer orden entonces la relación Una ecuación cuasilineal es una ecuación de la forma n X @u ai (x, u) = an+1 (x, u), @x i i=1 (x, u) 2 D, E(x, u) = c, (7.1) donde D ✓ Rn ⇥ R. Las ecuaciones cuasilineales generalizan a las ecuaciones semilineales. Por tanto, el análisis de estas ecuaciones, las consideraciones geométricas y los resultados que obtendremos en esta sección pueden aplicarse también al estudio de las ecuaciones lineales y semilineales. En primer lugar, la resolución de una ecuación cuasilineal puede reducirse al de una ecuación lineal homogénea incrementando el número de variables. La idea consiste en expresar las soluciones de la ecuación (7.1) implı́citamente en la forma E(x, u) = 0 ó incluso determinar implı́citamente familias uniparamétricas de soluciones de la forma E(x, u) = c, c 2 R, buscando integrales primeras E(x, xn+1 ) del sistema diferencial dx1 dxn dxn+1 = ··· = = a1 (x, xn+1 ) an (x, xn+1 ) an+1 (x, xn+1 ) (7.2) en el espacio de fases ampliado con la variable dependiente xn+1 = u. El sistema (7.2) recibe el nombre de sistema caracterı́stico de la ecuación cuasilineal (7.1). 1 Sea E una integral primera de clase C del sistema (7.2). Por el Teorema 5.2, E verifica la ecuación en derivadas parciales lineal de primer orden n X i=1 ai (x, xn+1 ) @E @E (x, xn+1 ) + an+1 (x, xn+1 ) (x, xn+1 ) = 0, @xi @xn+1 (7.3) E(x, u(x)) = c, 61 (x0 , u0 ) 2 D0 , u(x0 ) = u0 . que es solución de la ecuación cuasilineal (7.1). Recı́procamente, si E 2 C 1 (D0 ) y u 2 C 1 (⌦) es una solución de la ecuación cuasilineal (7.1) tal que (x, u(x)) 2 D0 , E(x, u(x)) = c, 8x 2 ⌦, entonces E verifica la ecuación transformada de Jacobi (7.3) sobre la gráfica de u. Demostración. Si @E (x0 , u0 ) 6= 0, @xn+1 la relación E(x, u) = c, con c = E(x0 , u0 ) 2 R, define en un entorno de x0 una función u(x) de clase C 1 tal que E(x, u(x)) = c, u(x0 ) = u0 . Mediante derivación implicita obtenemos @u (x) = @xi Veamos que toda ecuación cuasilineal está estrechamente relacionada con su transformada de Jacobi. @E (x0 , u0 ) 6= 0, @xn+1 (7.4) permite definir implicitamente una función u en un entorno de x0 y recı́procamente, toda solución de la ecuación (7.3) es integral primera del sistema (7.2). La ecuación (7.3) recibe el nombre de ecuación transformada de Jacobi de la ecuación cuasilineal (7.1). Teorema 7.1. Sea D0 ⇢ D 2 Rn ⇥ R. Si E 2 C 1 (D0 ), D0 ⇢ D, es una solución de la ecuación transformada de Jacobi (7.3) tal que c := E(x0 , u0 ), @E (x, u(x)) @xi . @E (x, u(x)) @xn+1 (7.5) Sustituyendo u = u(x) en (7.3) obtenemos n X i=1 ai (x, u(x)) @E @E (x, u(x)) + an+1 (x, u(x)) (x, u(x)) = 0. @xi @xn+1 62 (7.6) Dividiendo para @E (x, u(x)) @xn+1 Interpretación geométrica Si u(x) es solución de la ecuación cuasilineal (7.1) entonces la hipersuperficie correspondiente a la gráfica de u @E (x, u(x)) @xi 0= ai (x, u(x)) + an+1 (x, u(x)) @E i=1 (x, u(x)) @u n X @u = ai (x, u(x)) (x) + an+1 (x, u(x)) @x i i=1 n X se deduce que la función u = u(x) definida implı́citamente por (7.4) satisface la ecuación cuasilineal (7.1). Para el recı́proco, derivando respecto a xi en la relación E(x, u(x)) = c, obtenemos @E @u @E (x, u(x)) + (u(x)) (x, u(x)) = 0 @xi @xi @xn+1 Multiplicando cada una de estas relaciones por ai (x, u(x)) y sumándolas obtenemos n X n X @E @u @E ai (x, u(x)) (x, u(x)) + ai (x, u(x)) (u(x)) (x, u(x)) = 0. @x @x @x i i n+1 i=1 i=1 Teniendo en cuenta que u verifica la ecuación (7.1), obtenemos (7.6). Por lo tanto, E verifica la ecuación transformada de Jacobi sobre la gráfica de u. Veremos al estudiar el problema de Cauchy que, por cada punto (x0 , u0 ) en el que (a1 (x0 , u0 ), · · · , an (x0 , u0 )) 6= 0, pasa al menos una variedad transversal y también una solución de la ecuación cuasilineal. Por lo tanto si E(x, u(x)) permanece constante sobre toda solución u de la ecuación cuasilineal (7.1), debe verificar la ecuación transformada de Jacobi (7.3) en todos los puntos (x, xn+1 ) tales que (a1 (x, xn+1 ), · · · , an (x, xn+1 )) 6= 0. (x, u(x)) 2 Rn+1 , x 2 ⌦ ✓ Rn , recibe el nombre de hipersuperficie integral. Sea 0 1 a1 (x, xn+1 ) B C .. n n+1 a(x, xn+1 ) = @ . A 2 R , (x, xn+1 ) 2 D ✓ R . an (x, xn+1 ) Entonces podemos asociar a la ecuación (7.1) el campo vectorial ✓ a(x, xn+1 ) an+1 (x, xn+1 ) ◆ 0 a (x, x 1 1 n+1 ) . B C .. C 2 Rn , =B @ A an (x, xn+1 ) an+1 (x, xn+1 ) (x, xn+1 ) 2 D ✓ Rn+1 . y el campo ⌧✓ a(x, xn+1 ) an+1 (x, xn+1 ) ◆ (x, xn+1 ) 2 D ✓ Rn+1 , de direcciones caracterı́sticas. Observamos que a(x, xn+1 ) es la proyección del campo caracterı́stico sobre Rn y el valor de dicha proyección depende de la altura xn+1 . Para evitar que la dirección caracterı́stica sea paralela al vector en+1 = (0, . . . , 0, 1)T , imponemos la condición a(x, xn+1 ) 6= 0, Si u es solución de la ecuación cuasilineal (7.1), entonces n X i=1 ai (x, u(x)) @u (x) = an+1 (x, u(x)) @xi lo que equivale a imponer que el vector normal a la hipersuperficie integral ⇣ @u ⌘T @u (x), . . . , (x), 1 @x1 @xn 63 64 sea ortogonal a la dirección caracterı́stica en el punto (x, u(x)) ⌧✓ ◆ a(x, u(x)) an+1 (x, u(x)) Por tanto, la hipersuperficie integral es tangente en cada punto (x, u(x)) a la dirección caracterı́stica. Las curvas caracterı́sticas son soluciones del sistema caracterı́stico (7.2). El siguiente resultado muestra que una hipersuperficie integral está formada por la unión de curvas caracterı́sticas, en el siguiente sentido: si una curva caracterı́stica toca a la hipersuperficie integral en un punto, entonces está completamente contenida en dicha hipersuperficie. n Derivando xn+1 (t) d [xn+1 (t) dt u(x(t)) obtenemos u(x(t))] = x0n+1 (t) ⇣ = (t) an+1 (x(t), xn+1 (t)) n X n X @u (x(t))x0 (t) = @x i i=1 ai (x(t), xn+1 (t)) i=1 ⌘ @u (x(t)) . @xi Teniendo en cuenta que u(x) es solución de la ecuación cuasilineal (7.1) deducimos que d [xn+1 (t) u(x(t))] = 0 dt y, como xn+1 (t0 ) u(x(t0 )) = 0, se deduce que xn+1 (t) u(x(t)) = 0 para todo t 2 I. Problema de Cauchy En las ecuaciones cuasilineales también podemos plantear el problema de Cauchy o problema de valor inicial sobre variedades transversales (también llamadas variedades no caracterı́sticas). de clase C 1 en Rn Consideramos una hipersuperficie : x = g(s), Figura 10. Las curvas caracterı́sticas son tangentes a la superficie integral 1 xn+1 (t) = u(x(t)), 8t 2 I. Demostración. Como (x(t), xn+1 (t)) es solución del sistema caracterı́stico, queda definida una función escalar mediante (t) := x0n+1 (t) x01 (t) x0n (t) = ··· = = , a1 (x(t), xn+1 (t)) an (x(t), xn+1 (t)) an+1 (x(t), xn+1 (t)) de modo que rango (x (t), x0n+1 (t)) = (t)a(x(t), xn+1 (t)). 65 @g(s) =n @s 1. (7.7) En cada punto de la variedad inicial prescribiremos un valor de la función que deseamos determinar a través de una función gn+1 2 C 1 (U ) tal que (g(s), gn+1 (s)) 2 D, 8s 2 U. El problema de Cauchy para la ecuación cuasilineal consiste en encontrar una solución de la ecuación cuasilineal (7.1) cuyos valores sobre los puntos de la variedad inicial estén prescritos n X i=1 0 1 que verifica la condición de regularidad n Teorema 7.2. Sea u 2 C (⌦), ⌦ ✓ R una solución de la ecuación cuasilineal (7.1) y sea (x(t), xn+1 (t)), t 2 I, una solución del sistema caracterı́stico (7.2) tal que (x(t), xn+1 (t)) 2 D, x(t) 2 ⌦, para todo t 2 I. Si para t0 2 I tenemos que xn+1 (t0 ) = u(x(t0 )), entonces s 2 U ✓ Rn ai (x, u) @u = an+1 (x, u), @xi u(g(s)) = gn+1 (s). 66 (x, u) 2 D, (7.8) El problema de Cauchy admite la siguiente interpretación geométrica: queremos que los puntos (g(s), gn+1 (s)), s 2 U , estén contenidos en la hipersuperficie integral de (7.1). Para cada punto de correspondiente a un valor del parámetro s 2 U , consideramos la solución de un problema de valor inicial caracterı́stico que pasa precisamente por el punto (g(s), gn+1 (s)) 2 D x0 (t) = a(x(t), xn+1 (t)), x(t0 ) = g(s), x0n+1 (t) xn+1 (t0 ) = gn+1 (s). = an+1 (x(t), xn+1 (t)), (7.9) Si el campo vectorial a 2 C 1 (D), podemos aplicar el Teorema de Peano de dependencia respecto a condiciones iniciales y deducir que existen funciones y(t, s) = (y1 (t, s), . . . , yn (t, s))T yn+1 (t, s), (t, s) 2 I0 ⇥ U0 , de clase C 1 que permiten expresar la solución del problema diferencial caracterı́sitico (7.9). Por el Teorema 7.2, los puntos (y(t, s), yn+1 (t, s)), (t, s) 2 I0 ⇥ U0 , están contenidos en la hipersuperficie integral del problema de valor inicial (7.8). Γ es un difeomorfismo local y podemos definir la solución u del problema de valor inicial en un entorno de y(t0 , s0 ) mediante la fórmula u(x) = yn+1 y 1 (x). Teniendo en cuenta que @y (t0 , s0 ) = a(y(t0 , s0 ), yn+1 (t0 , s0 )) = a(g(s0 ), gn+1 (s0 )) @t y que @y @g 0 (t0 , s0 ) = (s ), @s @s la condición de transversalidad (7.10) puede expresarse equivalentemente en la forma 0 1 @g1 0 @g1 a1 (g(s0 ), gn+1 (s0 )) (s ) · · · (s0 ) B C @s1 @sn 1 B C .. .. .. C 6= 0. det B (7.11) B C . . . @ A @g @g n 0 n an (g(s0 ), gn+1 (s0 )) (s ) · · · (s0 ) @s1 @sn 1 Llamando x0 = g(s0 ) y teniendo en cuenta que gn+1 (s0 ) es el valor u(x0 ) de la solución que queremos determinar en el punto x0 , podemos escribir a(x0 , u(x0 )) 2 / Tx0 , x0 2 , es decir, el espacio tangente a la variedad en x0 no contiene al vector a(x0 , u(x0 )), proyección sobre el espacio Rn del campo vectorial caracterı́stico en el punto (x0 , u(x0 )) 2 D ✓ Rn+1 . La relación de transversalidad mencionada anteriormente puede interpretarse en el espacio ampliado Rn+1 , teniendo en cuenta que el determinante 0 1 @g 0 @g a(g(s0 ), gn+1 (s0 )) (s ) ... (s0 ) 0 B C @s1 @sn 1 det @ A @gn+1 0 @gn+1 0 0 0 an+1 (g(s ), gn+1 (s )) (s ) . . . (s ) 1 @s1 @sn 1 Figura 11. Superficie integral de un problema de Cauchy Si se verifica la condición de transversalidad det @y (t0 , s0 ) 6= 0, @(t, s) entonces y : (t, s) 2 I0 ⇥ U0 7! y(t, s) 2 Rn , 67 (7.10) tiene el mismo valor que el determinante (7.11). Entonces los vectores 0 @g 1 0 @g 1 ✓ ◆ (s0 ) (s0 ) 0 0 a(g(s ), gn+1 (s )) B @s1 C B @s C n+1 , @ @g A , · · · , @ @g 1 A,e an+1 (g(s0 ), gn+1 (s0 )) n+1 0 n+1 0 (s ) (s ) @sn 1 @s1 68 forman una base de Rn+1 . Definiendo la hipersuperficie en D ✓ Rn+1 0 g (s , . . . , s ) 1 1 1 n .. B C . ¯:B C, @ A gn (s1 , . . . , sn ) sn (s1 , . . . , sn 1 , sn ) 2 U ⇥ R, la condición de transversalidad equivale a decir que ✓ ◆ a(x, u) 2 / T(x,u(x)) ¯ , x 2 , an+1 (x, u(x)) es decir, el campo vectorial caracterı́stico no es tangente a la variedad ¯ en los puntos (x, u(x)), x 2 . Ecuación general de primer orden La ecuación general de primer orden F x, u, @u =0 @x F (x, u, p) = 0. La resolución de este sistema está asociado a un sistema de ecuaciones cuasilineales. Si la función F (x, u, p), (x, u, p) 2 D ✓ Rn ⇥ R ⇥ Rn es de clase C 1 (D), podemos derivar la relación F (x, u, @u/@x) = 0 respecto a xj , obteniendo n X @F @F @u @F @u @u @u @ 2 u x, u, + x, u, + x, u, = 0. @xj @x @u @x @xj @pi @x @xi @xj i=1 Teniendo en cuenta que pj (x) = n X @F @pj (x, u, p) = @p @xi i i=1 @F (x, u, p) @xj @u (x), @xj 69 i = 1, . . . , n, @F (x, u, p)pj , @u j = 1, . . . , n. (7.12) Como la solución u debe verificar las relaciones @u(x)/@xj = pj (x), tenemos n n X X @u @F @F (x, u, p) (x) = pi (x, u, p). @p @x @p i i i i=1 i=1 (7.13) Observemos que todas las ecuaciones en derivadas parciales (7.12), (7.13) comparten un campo caracterı́stico común a(x, u, p) = puede reducirse a un sistema mixto diferencial–algebraico @u = p, @x se deduce que que las funciones pj deben satisfacer el sistema de ecuaciones en derivadas parciales cuasilineales ⇣ @F @p1 (x, u, p), . . . , ⌘ @F (x, u, p) . @pn Podemos asociar al problema de determinar las funciones u(x), p(x) el sistema caracterı́stico de ecuaciones diferenciales dx1 dxn du = ··· = = = Pn @F @F @F (x, u, p) (x, u, p) p (x, u, p) i=1 i @p1 @pn @pi dp1 dpn = ··· = @F @F @F @F (x, u, p) + p1 (x, u, p) (x, u, p) + pn (x, u, p) @x1 @u @xn @u (7.14) llamado sistema de Lagrange–Charpit. Si t 7! (x(t), u(t), p(t)) es una solución del sistema de Lagrange–Charpit, entonces la función t 7! F (x(t), u(t), p(t)) permanece constante. Proposición 7.2. Sea (x(t), u(t), p(t)), t 2 I, una solución del sistema caracterı́stico (7.14) tal que (x(t), u(t), p(t)) 2 D, para todo t 2 I. Si para t0 2 I tenemos que F x(t0 ), u(t0 ), p(t0 ) = 0, entonces F x(t), u(t), p(t) = 0, 70 8t 2 I. Demostración. Como (x(t), u(t), p(t)) es solución del sistema caracterı́stico, queda definida una función escalar (t) tal que @F (x(t), u(t), p(t)), i = 1, . . . , n @pi n X @F u0 (t) = (t) pi (t) (x(t), u(t), p(t)), @p i i=1 ⇣ @F ⌘ @F p0i (t) = (t) (x(t), u(t), p(t)) + pi (t) (x(t), u(t), p(t)) , @xi @u i = 1, . . . , n. x0i (t) = (t) Derivando F (x(t), u(t), p(t)) respecto a t obtenemos Proposición 7.3. Sea (x) una solución de la ecuación de primer orden F (x, u, @u/@x) = 0 y sea (x(t), u(t), p(t)), t 2 I una solución del sistema caracterı́stico de Lagrange–Charpit (7.14) tal que para cierto t0 2 I se verifica x(t0 ) = x0 , n X @F @F (x(t), u(t), p(t))u0 (t) + (x(t), u(t), p(t))p0i (t) = @u @p i i=1 X n @F @F (t) (x(t), u(t), p(t)) (x(t), u(t), p(t))+ @p @x i i i=1 n X i=1 n X i=1 pi (t) u(t) = (x(t)), x0 (t) = p(t) = @F @ x(t), (x(t)), (x(t)) , @p @x u(t) := (x(t)), 8t 2 I. x(t0 ) = x0 . p(t) := @ (x(t)). @x Veamos que (x(t), u(t), p(t)) es solución del sistema de Lagrange–Charpit. De las definiciones se deduce x0i (t) = @F (x(t), u(t), p(t)), @pi i = 1, . . . , n, En segundo lugar tenemos n u0 (t) = 71 @ (x(t)), @x y sean = 0. La integración a lo largo de las lı́neas caracterı́sticas del sistema de Lagrange–Charpit con condiciones iniciales adecuadas permite determinar soluciones de la ecuación original F (x, u, @u/@x) = 0. Veamos que, si (x), x 2 ⌦ ✓ Rn , es una solución, entonces la variedad n⇣ ⌘ o @ x, (x), (x) | x 2 ⌦ ✓ D ✓ Rn ⇥ R ⇥ Rn @x debe contener a toda curva solución del sistema caracterı́stico que pase por uno de sus puntos (x0 , (x0 ), @@x (x0 ) . @ (x0 ), @x Demostración. Sea x(t) la solución del problema de valor inicial @F @F (x(t), u(t), p(t)) (x(t), u(t), p(t)) @pi @u ⇣ @F ⌘ @F @F (x(t), u(t), p(t)) (x(t), u(t), p(t)) + pi (t) (x(t), u(t), p(t)) @pi @xi @u p(t0 ) = Entonces n X @F d F (x(t), u(t), p(t)) = (x(t), u(t), p(t))x0i (t)+ dt @xi i=1 u(t0 ) = (x0 ), n X@ X d @F (x(t)) = (x(t))x0i (t) = pi (t) (x(t), u(t), p(t)). dt @x @p i i i=1 i=1 Derivando respecto a xj la relación F (x, (x), @@x (x)) = 0, obtenemos n X @2 @F @ (x) x, (x), (x) = @x @x @p @x i j i i=1 @F @ x, (x), (x) @xj @x @ @F @ (x) x, (x), (x) @xj @u @x 72 ası́ que n X @2 d @ p0j (t) = (x(t)) = (x(t))x0i (t) = dt @xj @x @x i j i=1 n X @2 @F (x(t)) (x(t), u(t), p(t)) = @x @x @p i j i i=1 @F (x(t), u(t), p(t)) @xj pj (t) Una ecuación de segundo orden lineal homogénea con coeficientes constantes es una ecuación de la forma n X n X i=1 j=1 @F (x(t), u(t), p(t)). @u u(t0 ) = (x(t0 )) = (x0 ), p(t0 ) = @ @ (x(t0 )) = (x0 )) @x @x n X @2u @u +2 a0i + a00 u = 0, @xi @xj @x i i=1 AT = A, A = (aij )i,j=1,...,n , formada con los coeficientes de segundo orden está asociada al operador diferencial de segundo orden De la unicidad de solución del problema de valor inicial caracterı́stico se deduce el resultado. DA [u](x) := n X n X aij Di Dj [u](x). i=1 j=1 La matriz simétrica 8. Clasificación de las ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes Las ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden surgen en problemas de la fı́sica matemática de diferente naturaleza. Existen varios tipos de ecuaciones de segundo orden. La interpretación fı́sica de la solución y de las variables independientes que intervienen sugieren métodos de análisis que necesariamente deben adaptarse al tipo de problema. De un modo genérico podemos decir que las variables espaciales están asociadas a condiciones de contorno mientras que la variable temporal permite establecer problemas de valor inicial. Determinar qué tipo de problema estamos considerando es una importante cuestión previa al análisis más detallado de las técnicas de resolución. Por ello, es importante clasificar las ecuaciones de segundo orden. Además las técnicas que se utilizan para la clasificación permiten transformar una ecuación más complicada a otra más simple cuyo análisis está bien documentado. (8.1) con aij = aji . La matriz simétrica Además tenemos x(t0 ) = x0 , aij ÃT = Ã. à = (aij )i,j=0,...,n , contiene todos los coeficientes de la ecuación (8.1). Definiendo el vector a = (a10 , . . . , an0 )T , podemos expresar la ecuación (8.11) en la forma abreviada Là [u] = 0, donde Là [u] := DA [u] + 2Da [u] + a00 u. Asociada a la matriz Ã, tenemos una forma cuadrática Aunque existen varios criterios de clasificación, realizaremos una clasificación que se basa en los términos de mayor orden, sin tener en cuenta otras consideraciones sobre el comportamiento global en los que ciertos términos de orden menor podrı́an tener cierta influencia. 0 1 x0 n X n B x1 C X C= q(x0 , x1 , . . . , xn ) = (x0 , x1 . . . , xn )à B aij xi xj , . @ .. A 73 74 xn i=1 j=1 de modo que podemos representar el operador Là en la forma Là = q(D0 , . . . , Dn ) = n X Tomando c00 = 1, c0i = ci0 = 0, i = 1, . . . , n, las fórmulas anteriores se resumen en aij Di Dj , Di Dj [u](x) = i,j=0 n X n X siendo D0 [u] := u, Di [u] := @u/@xi , i = 1, . . . , n. Estudiaremos el efecto de un cambio de variables lineal y = Cx, C 2 Rn⇥n , det C 6= 0, sobre la ecuación Là [u] = 0. La función v(y) := u(C 1 y) verifica la relación u(x) = v(Cx). @u @v @v (x) = (Cx)C = (y)C @x @y @y Là [u](x) = = n X n X aij Di Dj [v](y) = i=0 j=0 n X n ⇣X n X n X k=0 l=0 B̃ = @u @v Di [u](x) = (x)ei = (y)Cei , @x @y para i = 1, . . . , n. Denotemos por ci = Cei el vector formado por la columna i-ésima de C, entonces tenemos ⌘ n X n X k=0 l=0 ⌘ cki clj Dk Dl [v](y) aij cki clj Dk Dl [v](y) = LB̃ [v](y), ✓ 1 0 0 C ◆ à ✓ 1 0 0 CT ◆ . B = CAC T . Para obtener las derivadas de segundo orden, derivamos la relación Di [u](x) = Dci [v](Cx), obteniendo Di Dj [u](x) = Dci Dcj [v](y), fórmula que puede escribirse desarrollada Sabemos que toda matriz simétrica es congruente ortogonal a una matriz de la forma CAC T = diag( 1 , . . . , n ), donde 1 , . . . , n son los valores propios de A. Un cambio de escala permite transformar estos valores en 1, 0 ó 1, luego tenemos CAC T = diag(s1 , . . . , sn ), i, j = 1, . . . , n. k=1 l=1 Utilizando esta idea reiteradamente, podemos expresar cualquier derivada de orden r de la función u en términos de un operador diferencial lineal de orden r formado al componer varias derivadas direccionales Di1 Di2 · · · Dir [u](x) = Dci1 Dci2 · · · Dcir [v](y). 75 aij Sean A y B las submatrices n⇥n formadas por las últimas filas y columnas de à y B̃ respectivamente, correspondientes a la parte principal de los operadores diferenciales. Entonces obtenemos la relación Di [u](x) = Dci [v](y). cki clj Dk Dl [v](y), n X n ⇣ X i=0 j=0 i=0 j=0 donde de donde se obtiene n X n X i, j = 0, 1, . . . , n, y Derivando respecto a todas las variables encontramos Di Dj [u](x) = cki clj Dk Dl [v](y), k=0 l=0 siendo si = sign( i ), i = 1, . . . , n, la signatura de la forma cuadrática asociada a la matriz A. Por tanto, toda ecuación en derivadas parciales de segundo orden puede transformarse en una ecuación del tipo siguiente s1 @2u @2u + · · · + sn 2 + términos de menor orden = 0, 2 @x1 @xn 76 con si 2 { 1, 0, 1}, i = 1, . . . , n. Reordenando las variables si es necesario, la ecuación adopta la forma p X @2u r X @2u + términos de menor orden = 0, @x2i i=p+1 @x2i i=1 donde p es el número de valores propios positivos de A y r el rango de A. Cambiando de signo la ecuación podemos suponer, sin pérdida de generalidad que el número de valores propios positivos de A es mayor o igual que el número de valores propios negativos, luego p r p. Si p = r = n, entonces la matriz A es definida positiva y la ecuación en derivadas parciales se llama elı́ptica y su forma reducida es n X @2u i=1 @x2i = términos de menor orden. La ecuación de Laplace u = 0, la ecuación de Helmholtz u + k 2 u = 0 y la ecuación de Helmholtz modificada u k 2 u = 0 (también llamada ecuación de Yukawa o ecuación de Poisson amortiguada) son ecuaciones de este tipo. Si p = n 1, r = n, entonces la ecuación en derivadas parciales se llama hiperbólica y la ecuación puede reducirse a una del tipo n X1 i=1 @2u @x2i @2u = términos de menor orden. @x2n La ecuación de ondas utt = c2 u es el ejemplo más importante de ecuación hiperbólica. Otro tipo de ecuación hiperbólica es la ecuación de Klein–Gordon utt c2 u + u = 0, donde = (mc2 /h̄)2 . No todas las ecuaciones de segundo orden con r = n son de uno de estos dos tipos. Una clase de ecuaciones de cierto interés son las ecuaciones ultrahiperbólicas correspondientes a n = r = 2p. En dimensión n = 4 son de la forma @2u @2u + @x21 @x22 @2u @x23 @2u + términos de menor orden = 0. @x24 9. Clasificación de las ecuaciones semilineales de segundo orden Una ecuación semilineal de segundo orden es una ecuación de la forma n X n ⇣ X @2u @u @u ⌘ aij (x) = F x, u, ,..., . (9.1) @xi @xj @x1 @xn i=1 j=1 Sin pérdida de generalidad podemos tomar aij (x) = aji (x). Sea A la función matricial simétrica 0 1 a11 (x) · · · a1n (x) B .. C , .. A(x) := @ ... (9.2) . . A a1n (x) ··· a1n (x) cuyos elementos son las funciones coeficientes del sistema lineal. El primer miembro de la ecuación lineal es DA [u], donde DA es el operador de segundo orden n X DA [u](x) = aij (x)Di Dj [u](x). (9.3) i,j=1 Clasificación puntual Atendiendo al rango y signatura de A(x) para cada x podemos asociar a cada punto un tipo de ecuación. Como los coeficientes son variables, el carácter de la ecuación puede variar con el punto. Ejemplo 9.1. Discutamos el carácter de la ecuación lineal con coeficientes variables yuxx 2uxy + xuyy = 0. El discriminante de la ecuación es 1 xy. Por tanto, la ecuación es elı́ptica en el conjunto abierto formado por la unión de las dos regiones conexas {(x, y) 2 R2 | x > 0, y > 0, xy > 1} [ {(x, y) 2 R2 | x < 0, y < 0, xy > 1}. El comportamiento es hiperbólico sobre la región conexa {(x, y) 2 R2 | xy < 1}. La ecuación degenera en una ecuación parabólica sobre los puntos de la curva {(x, y) 2 R2 | xy = 1}, Finalmente, en el caso en que r < n, la ecuación en derivadas parciales se llama parabólica. Un ejemplo de ecuación parabólica es la ecuación del calor ut = k u. pero no mantiene dicho carácter en ningún conjunto abierto. La lı́nea separa la transición entre dos comportamientos distintos elı́ptico e hiperbólico. 77 78 Sea ci el campo vectorial definido por la i-ésima columna de la matriz (9.9) Cambios de variable no lineales Recordemos que la aplicación f : U ! Rn , definida en un abierto U ✓ Rn , es un difeomorfismo de clase C 2 si f 2 C 2 (U ; Rn ) es inyectiva y la matriz jacobiana en cada punto es no singular det ci (y) := C(y)ei = Di f (f n X k=1 Si definimos el campo vectorial ci (y) := Di f (f x 2 U, (9.4) sobre una ecuación semilineal, donde f un difeomorfismo de clase C 2 (U ; Rn ), ésta se transforma en otra ecuación semilineal con coeficientes modificados. Sea v(y) := u(f 1 (y)). (9.5) (9.11) Dk v(y)cki (y) = ci (y) grad v(y) = Dci [v](y) Veamos al aplicar un cambio de variables y = f (x), (y)). Observamos que el miembro de la derecha en (9.8) es @f (x) 6= 0. @x Del Teorema de la función inversa se deduce que la función inversa está bien definida f 1 : V = f (U ) ! Rn y es una función de clase C 2 . 1 1 (y)), obtenemos Di [u](x) = Dci [v](y). (9.12) Esto nos indica que las derivadas de orden superior pueden obtenerse componiendo operadores de primer orden Di Dj [u](x) = Dci Dcj [v](y). Por tanto, tenemos que u(x) = v(f (x)) (9.6) y llamando y = f (x), podemos escribir u(x) = v(y). Derivando en (9.6), obtenemos por la regla de la cadena @u @v @f (x) = (f (x)) (x). @x @y @x En el apéndice se obtiene la expresión de la composición de este tipo de operadores diferenciales. Otra forma de obtener las derivadas de orden superior consiste en derivar de nuevo en la expresión (9.8) (9.7) n X k=1 Dk v(f (x))Di fk (x). (9.8) k=1 Sea C(y) := n n X X @ = Dk v(f (x)) Di fk (x) + Dk v(f (x))Dj Di fk (x) @xj = @f (f @x la matriz jacobiana de f evaluada en f 1 k=1 n X n X k=1 Dk Dl v(f (x))Di fk (x)Dj fl (x) + k=1 l=1 1 (y)), (9.9) Di Dj [u](x) = (9.10) n X Dk v(f (x))Di Dj fk (x). k=1 de donde deducimos la fórmula (y), entonces podemos escribir @u @v (x) = (y)C(y), @x @y 79 ⌘ @ ⇣X Dk v(f (x))Di fk (x) @xj n Di Dj [u](x) = La igualdad (9.7) puede desglosarse elemento a elemento Di [u](x) = (9.13) n X n X Di fk (x)Dj fl (x)Dk Dl v(y) + k=1 l=1 n X Di Dj fk (x)Dk v(y). k=1 80 (9.14) Hk (y) coincide con el elemento (i, j) del producto de la matriz @(C T (y)ek )/@y por C(y), lo que permite deducir la expresión compacta equivalente a (9.18) Para k = 1, . . . , n, sea Hk (y) la función matricial simétrica Hk (y) := @ 2 fk (f @x2 1 (y)) (9.15) Hk (y) = cuyas funciones componentes son hkij (y) = @ 2 fk (f @xi @xj Sustituyendo x = f Di Dj [u](x) = 1 (y)) = n X @cik l=1 1 @xl (y)clj (y) = n X @cjk l=1 @xl (y)cli (y). (9.16) cki (y)clj (y)Dk Dl v(y) + k=1 l=1 Teniendo en cuenta la simetrı́a de la matriz Hk (y) deducimos la expresión alternativa n X @ckj hkij (y) = cli (y) (y) = Dci [ckj ](y). (9.19) @yl l=1 (y) en (9.14) obtenemos n X n X @C T (y)ek C(y) @y n X hkij (y)Dk v(y). (9.17) A veces no disponemos del cambio de variables directo y = f (x), y nos proporcionan el cambio inverso k=1 x = g(y), (9.20) Vamos a obtener una expresión alternativa de los elementos de las matrices Hk (y). Tengamos en cuenta que por (9.9) con g = f 1 . Ello puede deberse a que la función g tenga una inversa difı́cil de expresar explı́citamente. En este caso tenemos @fk (x) = cki (f (x)). @xi v(y) = u(g(y)). (9.21) @v @u @g (y) = (g(y)) (y), @y @x @y (9.23) Derivando en (9.22) Derivando con respecto a xj , @fk (x) = @xi @xj y evaluando en x = f 1 n X l=1 @cki @fl (f (x)) (x), @yl @xj volvemos a obtener la fórmula análoga a (9.10) @u @v (g(y)) = (y)C(y), @x @y (y), hkij (y) = n X @cki l=1 @yl (y) @fl (f @xj 1 con (y)), C(y) := n X l=1 clj (y) @cki (y) = Dcj [cki ](y). @yl @y (y) ⌘ 1 . (9.24) Observamos que ahora para obtener C(y) es necesario calcular la matriz inversa de la matriz jacobiana @g/@y de la transformación. que por (9.9) puede expresarse en la forma hkij (y) = ⇣ @g (9.18) Si queremos aplicar ahora la fórmula (9.16), bastará con calcular hkij (y) mediante la fórmula (9.17) o (9.18). Ahora podemos transformar la ecuación Teniendo en cuenta que @cki /@yl es el elemento (i, l) de la matriz jacobiana del vector (ck1 , . . . , ckn )T = C T ek , deducimos que el elemento (i, j) de la matriz DA [u](x) = F (x, u(x), @u(x)/@x). 81 82 (9.25) Para el primer miembro de (9.25) tenemos n X n X n X n X DA [u](x) = aij (x)Di fk (x)Dj fl (x)Dk Dl v(y) i=1 j=1 k=1 l=1 + n X n X n X aij (x)Di Dj fk (x)Dk v(y), i=1 j=1 k=1 es decir DA [u](x) = + El problema de obtener un cambio de variables que reduzca la ecuación a una forma canónica requiere la resolución de un problema diferencial. Abordaremos un caso particular simple: la reducción de una ecuación en derivadas parciales semilineal hiperbólica en dos variables a11 (x1 , x2 ) n X n ⇣X n X n X aij (f i=1 j=1 k=1 l=1 n ⇣X n X n X 1 aij (f k=1 Reducción a forma canónica i=1 j=1 1 ⌘ (y))cki (y)clj (y) Dk Dl v(y) ⌘ (y))hkij (y) Dk v(y) Para interpretar el cálculo anterior, observemos que el coeficiente del término de segundo orden Dk Dl n X n X aij (f 1 (y))cki (y)clj (y), i=1 j=1 @2u @2u @2u @u @u + 2a12 (x1 , x2 ) + a22 (x1 , x2 ) 2 = F (x, u, , ) 2 @x1 @x1 @x2 @x2 @x1 @x2 con a la forma @2v = términos de menor orden @y1 @y2 que puede transformarse en la forma canónica @2w @⇠22 1 ⇠ 1 = y1 + y2 , (y))C T (y). El coeficiente del término de primer orden que contiene Dk es n X n X bk (y) := aij (f 1 (y))hkij (y) i=1 j=1 @2w = términos de menor orden @⇠12 mediante el cambio de variables es el elemento (k, l) de la matriz B(y) := C(y)A(f y1 = f1 (x1 , x2 ), y2 . y2 = f2 (x1 , x2 ), obteniendo para la ecuación transformada la fórmula DB [v](y1 , y2 ) = 0, DA [u](x) = DB [v](y) + Db [v](y) 83 ⇠2 = y 1 Para obtener la forma reducida utilizamos un cambio de variables ası́ que Por tanto la ecuación diferencial semilineal (9.18) se transforma en ⇣ ⌘ @v(y) DB [v](y) = F f 1 (y), v(y), C(y) Db [v](y), @y que es también una ecuación semilineal cuya parte de segundo orden corresponde a la función matricial B tal que ⇣ @f ⌘T @f B(f (x)) = (x)A(x) (x) . @x @x Luego la matriz A(x) es congruente lineal con la matriz B(y) en el punto correspondiente y = f (x). a12 (x1 , x2 )2 < 0 a11 (x1 , x2 )a22 (x1 , x2 ) siendo B(f (x)) = ✓ @f1 (x)/@x1 @f2 (x)/@x1 @f1 (x)/@x2 @f2 (x)/@x2 ◆ A(x) ✓ @f1 (x)/@x1 @f1 (x)/@x2 @f2 (x)/@x1 @f2 (x)/@x2 ◆ . Para obtener la forma estándar, debemos imponer que las funciones b11 (y) y b22 (y) sean idénticamente nulas, es decir 0 @f (x) 1 1 ⇣ @f ⌘ @f1 B @x1 C 1 (x), (x) A(x) @ = 0, @f1 (x) A @x1 @x2 @x2 84 y Teniendo en cuenta que 0 @f (x) 1 2 ⇣ @f ⌘ @f2 B C 2 (x), (x) A(x) @ @x1 A = 0. @f2 (x) @x1 @x2 @x2 @fi (x) = @x2 Eso quiere decir que ambas funciones componentes f1 (x) y f2 (x) son soluciones de la ecuación en derivadas parciales de primer orden no lineal (x) = @u(x)/@x2 @u(x)/@x2 det @f @f1 @f1 (x) = (x) (x)( @x @x1 @x2 1 (x) 2 (x)) p a212 (x) a11 (x)a22 (x) @f1 @f1 =2 (x) (x) 6= 0, @x1 @x2 a22 (x) por ser f1 (x), f2 (x) integrales primeras no triviales. Apéndice: Composición de operadores diferenciales Entonces tenemos que la función (x) es solución de la ecuación de segundo grado a22 (x) (x)2 2a12 (x) (x) + a11 (x) = 0, En la composición de operadores diferenciales de primer orden aparecen junto a los términos de segundo orden otros términos de primer orden cuyos coeficientes contienen derivadas de los coeficientes de los operadores dados. Sean b y c dos campos vectoriales y sean de donde se obtienen 1,2 (x) = a12 (x) ± p a212 (x) a11 (x)a22 (x) a22 (x) @u @u + = 0, @x1 @x2 n X ci (x)Di i=1 n ⇣X bj (x)Dj j=1 = n X bj (x) j=1 n X n X n ⇣X n ⌘h X i=1 bi (x)cj (x)Di Dj u(x) + ci (x)Di u(x) i=1 Dj ci (x)Di u(x) + ci (x)Dj Di u(x) i=1 j=1 @f1 @f2 (x) (x), @x2 @x1 Dc = entonces = para i = 1, 2. Comprobemos que esta elección proporciona un difeomorfismo. En efecto, el jacobiano del cambio es 85 bi (x)Di , i=1 i = 1, 2. i (x), @f @f1 @f2 det (x) = (x) (x) @x @x1 @x2 n X Db Dc [u](x) = Db [Dc [u]](x) = Por tanto fi es una integral primera no trivial de la ecuación diferencial dx1 = dx2 Db = . Para obtener el cambio de variable, tomaremos f1 , f2 , soluciones independientes de cada una de las ecuaciones en derivadas parciales lineales i (x) @fi (x), @x1 deducimos que ⇣ @u ⌘2 ⇣ @u ⌘2 @u @u a11 (x) + 2a12 (x) + a22 (x) = 0. @x1 @x1 @x2 @x2 Para resolverla, supongamos sin pérdida de generalidad que a22 (x) 6= 0. Sea i (x) n ⇣X n X i=1 j=1 ⌘ ⌘ bj (x)Dj ci (x) Di u(x). Por tanto Db Dc = n X n X bi (x)cj (x)Di Dj + i=1 j=1 n ⇣X n X i=1 86 i j=1 ⌘ bj (x)Dj ci (x) Di , Db Dc = DA + Da , donde T A(x) := b(x)c(x) , Vibraciones longitudinales en una barra @c a(x) = (x)b(x) = Db [c](x). @x Observemos que el producto de operadores diferenciales (con coeficientes variables) no es conmutativo. Al cambiar de orden los factores tenemos Dc Db [u](x) = n n X X bi (x)cj (x)Di Dj + i=1 j=1 n ⇣X n X i=1 j=1 ⌘ cj (x)Dj bi (x) Di . La parte de segundo orden es la misma en ambos operadores pero la parte de primer orden es ligeramente distinta. Una medida de la falta de conmutatividad de los operadores lo da el conmutador o corchete de Lie [Db , Dc ] := Db Dc Dc Db = n ⇣X n X i=1 bj (x)Dj ci (x) j=1 ⌘ cj (x)Dj bi (x) Di . cuyo resultado es un operador diferencial de primer orden que está asociado al campo vectorial [b, c] := Db [c] Dc [b] = @c (x)b(x) @x @b (x)c(x). @x Ahora podemos abordar el problema de calcular la composición de los operadores del segundo miembro de la fórmula (9.13) D ci D cj = n X n X cki (y)clj (y)Dk Dl + k=1 l=1 hkij (y) Pn n X hkij (y)Dk , k=1 donde = l=1 cli (y)Dl ckj (y) = Dci [ckj ](y), obteniéndose directamente la fórmula (9.17). Cuando sobre un sólido rı́gido se ejercen fuerzas cuya resultante es nula de modo que la suma de los momentos de las fuerzas sobre cualquier punto es cero, el cuerpo se halla en equilibrio estático y no se mueve ningún punto del sólido. Sin embargo, las fuerzas en equilibrio estático ejercidas sobre puntos de aplicación diferentes crean un estado de tensión que se distribuye en el medio elástico. Si el sólido es flexible, al ejercer este tipo de fuerzas el sólido no tiene un movimiento perceptible pero el material sufre deformaciones, se estira en algunas zonas, en otras se comprime y también se dobla y retuerce para acomodarse al estado de tensión. Los esfuerzos del material describen el estado de tensión de un sólido elástico y permiten deducir las deformaciones en el sólido mediante la relación entre esfuerzo y deformación unitaria. El estudio de la relación entre fuerzas de tensión y desplazamientos producidos en una barra puede ser complicado ya que hay que tener en cuenta los múltiples factores que pueden intervenir: tipo de materiales, forma de la barra, tipos de fuerzas que actúan. Para describir matemáticamente las ecuaciones que rigen las relaciones entre fuerzas de tensión y desplazamientos utilizaremos un modelo de elasticidad lineal, cuyo rango de aplicación es válido para esfuerzos pequeños y pequeñas deformaciones sobre un estado de tensión inicial del material. Supondremos que tenemos una barra larga y delgada con sección S constante y formada por un material isótropo y homogéneo. Esta hipótesis implica que si no queremos detalles muy precisos podemos describir las deformaciones en la barra a través de la forma de la lı́nea neutra, que es la lı́nea formada por los centros de gravedad de las secciones. Si suponemos que la barra tiene inicialmente una longitud de l y la lı́nea neutra en estado de reposo es un segmento, podemos elegir coordenadas para que la posición inicial de la barra venga descrita por (x, 0, 0), x 2 [0, l]. Consideremos como ejemplo una viga sujeta a una pared, sobre la que ejercemos una fuerza F de dirección normal a la pared con objeto de producir un estiramiento. La viga reacciona a esta fuerza produciendo un desplazamiento d(L) que según la Ley de Hooke es proporcional a la fuerza ejercida. Veamos cómo aparecen algunas ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden al analizar algunos modelos fı́sicos de vibraciones mecánicas, electromagnetismo, termodinámica y dinámica de fluidos. En realidad se desplazan todos los puntos de la viga y no solo el punto final, de manera que tras el estiramiento la posición nueva de cada punto es (x + d(x), 0, 0), x 2 [0, l]. Un análisis más detallado del problema nos revela que el desplazamiento d(x) es directamente proporcional a x. Además para conseguir el mismo desplazamiento para una viga cuya sección tiene mayor 87 88 10. Vibraciones, difusiones y otros fenómenos fı́sicos x l F x+d(x) l+d(l) Figura 12. Desplazamiento causado por una fuerza de tensión área S necesitamos ejercer una fuerza proporcionalmente mayor d(x) = x F. ES La constante E depende del material del que está hecha la viga y recibe el nombre de módulo de Young. Se define esfuerzo tensil como el cociente entre la fuerza ejercida sobre una superficie y el área de dicha superficie T = F/S y la deformación unitaria como el desplazamiento dividido para la longitud total del material que se ha desplazado 0 u(x) := d (x) = d(x)/x. Entonces la ley de Hooke puede expresarse en la forma fuerza puede ser normal a la superficie y provocar una extensión o estiramiento, en cuyo caso se habla de esfuerzo tensil o esfuerzo de tensión. Las fuerzas internas paralelas a la superficie de separación dan lugar a esfuerzos cortantes. Sin embargo, debemos advertir que en algunas ramas de la ingenierı́a y ciencia de los materiales se prefiere llamar tensión al término stress y reservar el nombre de esfuerzo para la fuerza total que actúa sobre una superficie dada. Según esta terminologı́a, en lugar del término esfuerzo tensil, se deberı́a utilizar el término tensión normal, mientras que el término esfuerzo cortante se sustituirı́a por tensión tangencial. Vamos a analizar las ecuaciones del movimiento de las partı́culas de una barra que presenta desplazamientos longitudinales d(x, t). Si hiciéramos un corte de la barra perpendicular a la lı́nea neutra en (x, 0, 0), entonces una parte de la barra se separarı́a de la que se encuentra sujeta a la pared. El hecho de que ambas partes estén unidas puede interpretarse como que en el punto x la parte libre de la barra ejerce una fuerza F (x, t) sobre la parte sujeta a la pared y, debido al principio de acción y reacción, debemos también considerar que la parte sujeta a la pared ejerce una fuerza F (x, t) sobre la otra parte de la barra. Gracias a la ley de Hooke generalizada, podemos establecer una relación entre la fuerza y el desplazamiento F (x, t) = ST (x, t) = SEdx (x, t). Estas relaciones pueden generalizarse al caso en que la barra no sea uniforme y la sección S(x) sea variable F (x, t) = S(x)E(x)dx (x, t). T = Eu. Nota sobre la terminologı́a utilizada. El término tensión para designar el estado de tensión de un sólido es polémico. En inglés tenemos dos palabras diferentes: stress y tension. La palabra tension indica que una cuerda está tirante, se ha estirado debido a una fuerza de tracción longitudinal; sin embargo la palabra stress se refiere a las fuerzas internas que se producen en un sólido generalmente provocadas por fuerzas exteriores aplicadas en puntos distintos produciendo un estado de constricción en el sólido. En estas notas nos adheriremos a la terminologı́a de muchos libros sobre mecánica de sólidos elásticos y utilizaremos la palabra esfuerzo como correspondiente a stress con el significado de una fuerza interna repartida a lo largo de una superficie. Esta 89 Sea F(x, t) = (F (x, t), 0, 0) la fuerza de tensión y ⇢(x) la densidad de la barra. Aplicando la segunda ley de Newton a la parte de la barra que se encuentra en el intervalo [x0 , x1 ] F(x1 , t) F(x0 , t) = m[x0 ,x1 ] ā[x0 ,x1 ] , donde ā[x0 ,x1 ] denota la aceleración media de la parte de la barra en el intervalo [x0 , x1 ]. Suponiendo que la aceleración sea la misma a(x0 , t) para todos los puntos de la sección de la barra en x = x0 , podemos obtener el lı́mite @F 1 (x0 , t) = lı́m m[x0 ,x] ā[x0 ,x] = S(x0 )⇢(x0 )a(x0 , t), x!x0 x @x x0 90 (10.1) donde ⇢(x0 ) denota la densidad de todos los puntos de la barra en x = x0 y a(x, t) denota la aceleración en la dirección del desplazamiento de cada parte de la barra. Definimos la densidad de fuerza como el lı́mite cuando el volumen tiende a cero del producto de la fuerza resultante que actúa sobre un volumen dado multiplicado por el inverso de dicho volumen f= obtenemos, al igualar las primeras componentes en la fórmula (10.1), S(x)⇢(x)dtt (x, t) = En el caso de que la sección S(x) sea constante y la barra homogénea (y por tanto E(x) y ⇢(x) constantes), tenemos 1 F(V ). vol(V )!0 vol(V ) lı́m dtt (x, t) = La definición de densidad de fuerza, permite deducir la siguiente versión local de la segunda ley de Newton f (x0 , t) = ⇢(x0 )a(x0 , t), Observemos que la fórmula (10.1) es un caso particular de la fórmula general (10.2). Para una barra la densidad de fuerza se expresa en términos de la fuerza de tensión 1 @F F(x0 , t)) = (x0 , t). S(x0 ) @x Sustituyendo esta expresión en la fórmula (10.2), obtenemos la fórmula (10.1) deducida anteriormente. Si suponemos que el desplazamiento es longitudinal entonces tendremos que el punto de la barra situado en el punto (x, 0, 0) en el instante inicial, se encuentra en (x + d(x, t), 0, 0) en el instante t, derivando dos veces respecto al tiempo obtenemos 0 1 dtt (x, t) A a(x, t) = @ 0 0 Teniendo en cuenta que y llamando c := (10.2) es decir, la densidad de fuerza es igual a la densidad de masa por la aceleración. 1 f (x0 , t) = lı́m R x (F(x, t) x!x0 S(⇠)d⇠ x0 @ (S(x)E(x)dx (x, t)). @x E dxx (x, t) ⇢ s E , ⇢ se deduce que los desplazamientos longitudinales en una barra isótropa homogéna de sección uniforme verifican la ecuación utt = c2 uxx (Ecuación de ondas) La constante c tiene dimensiones de velocidad y puede interpretarse como una velocidad de transmisión de las vibraciones. Observamos que el módulo de Young es una medida de la rigidez del material, es decir la resistencia del material a las deformaciones espaciales, mientras que la densidad es una medida de la inercia, considerada como resistencia a realizar cambios de velocidad. En la formulación de las vibraciones en una barra elástica vemos ilustrado un principio genérico que rige las pequeñas vibraciones materiales: el cuadrado de la velocidad de transmisión es directamente proporcional a la rigidez e inversamente proporcional a la inercia. Vibraciones transversales: La cuerda vibrante Sea una cuerda larga y estrecha cuya sección S es aproximadamente constante y compuesta de un material homogéneo. Supongamos que la cuerda está contenida inicialmente en un único plano en todo momento, lo que implica que las fuerzas de tensión también se aplican en dicho plano. 1 S(x)E(x)dx (x, t) A, F(x, t) = @ 0 0 Introduzcamos coordenadas para representar el lugar geométrico de todos los centros de gravedad de cada sección, llamado lı́nea neutra. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que el plano que contiene a la cuerda es es plano z = 0 y que la posición de equilibrio de la lı́nea neutra es (x, 0, 0), 91 92 0 T(X 1 ) x 2 (0, l), siendo l la longitud de la cuerda. Supongamos que todas las fuerzas se ejercen en el plano XY y que las velocidades iniciales se encontraban en el plano XY . En cada instante de tiempo t las partı́culas de la sección que definı́an la lı́nea neutra se habrán desplazado obedeciendo a las leyes de la dinámica y podremos representar la nueva posición de la lı́nea neutra T(X 0 ) (x + d(x, t), u(x, t), 0), x 2 [0, l]. La función d(x, t) representa el desplazamiento horizontal mientras que u(x, t) representa el desplazamiento vertical o deflexión. Supongamos que los desplazamientos horizontales y las deflexiones son suficientemente pequeñas |d(x, t)| << 1, @d(x, t) << 1, @x |u(x, t)| << 1, @u(x, t) << 1. @x Si la velocidad inicial de la cuerda no tenı́a componente en la dirección del eje x y las deflexiones son pequeñas en comparación con la tensión de la cuerda podemos despreciar el movimiento longitudinal de la cuerda y utilizar la descripción simplificada del movimiento de la cuerda (x, u(x, t), 0), x 2 [0, l]. u(x,t) Figura 13. Desplazamiento transversal de una cuerda Sea F(x, t) la fuerza de tensión y ⇢(x) la densidad de la cuerda. Si aplicamos la segunda ley de Newton a la parte de la cuerda que se encuentra en el intervalo I = [x0 , x1 ], tenemos Z x1 F(x1 , t) F(x0 , t) = S(x)⇢(x)a(x, t)dx. x0 Tomando lı́mites cuando x1 ! x0 deducimos la siguiente versión local de la segunda ley de Newton (10.2) f (x, t) = ⇢(x)a(x, t), 93 X1 X0 Figura 14. Tensión en una cuerda donde f (x, t) es la densidad de fuerza, dada por f (x, t) = 1 @F (x, t) S(x) @x o equivalentemente @F (x, t) = S(x)⇢(x)a(x, t). @x Supongamos que la cuerda es perfectamente elástica, esto quiere decir que los desequilibrios en el módulo de la fuerza de tensión se reajustan muy rápidamente, de modo que podemos considerar que el módulo de la fuerza de tensión es independiente de la posición de la cuerda kF(x, t)k = F0 (t), 8x 2 (0, l). Como la cuerda es flexible, la fuerza de tensión es siempre tangente a la cuerda y tenemos 0 1 1 F0 (t) @ ux (x, t) A . F(x, t) = p 1 + ux (x, t)2 0 p Teniendo en cuenta que las deflexiones son pequeñas, 1 + ux (x, t)2 ⇡ 1, se obtiene 0 1 1 F(x, t) ⇡ F0 (t) @ ux (x, t) A 0 94 y 0 1 0 1 @F(x, t) F0 (t) @ f (x, t) = ⇡ uxx (x, t) A , S(x) @x S(x) 0 por lo que la densidad de la fuerza es aproximadamente transversal a la posición de equilibrio y contenida en el plano de movimiento de la cuerda. Al introducir coordenadas, hemos utilizado la hipótesis de que el movimiento de la cuerda puede considerarse esencialmente transversal, si la velocidad inicial de la cuerda no tenı́a componente en la dirección del eje x. Ahora podemos justificar nuestra afirmación. La segunda ley de Newton afirma que la densidad de fuerza es proporcional a la aceleración. Como la fuerza es aproximadamente transversal a la posición de equilibrio, también debe serlo la aceleración. Hallando la segunda derivada de la posición de la cuerda respecto al tiempo obtenemos 0 1 0 a(x, t) = @ utt (x, t) A , 0 ası́ que la ecuación (10.2) se transforma en la ecuación aproximada F0 (t)uxx (x, t) = ⇢(x)S(x)utt (x, t). La fuerza de tensión sobre una cuerda se reparte a lo largo de toda la sección. Para un mismo estado de tensión la escala de fuerzas será mayor si la cuerda es más gruesa. Podemos expresar el estado de tensión mediante el esfuerzo tensil, que es la fuerza de tensión dividida para el área de la sección S de la cuerda 1 T(x, t) = F(x, t). S(x) Si la cuerda tiene sección constante S(x) = S, el esfuerzo tensil tiene módulo T0 (t) = F0 (t)/S. Si la cuerda está lo suficientemente tensa, podemos considerar que el esfuerzo tensil de la cuerda es aproximadamente constante a lo largo del tiempo T0 (t) = T0 . En dicho caso la ecuación se reduce a T0 uxx (x, t) = ⇢(x)utt (x, t) 95 Si la cuerda es homogénea, entonces ⇢(x) = ⇢ es constante. Llamando s T0 c := , ⇢ obtenemos la ecuación utt = c2 uxx . La constante c tiene dimensiones de velocidad y corresponede una velocidad de desplazamiento de las perturbaciones transversales. La membrana vibrante Sea una membrana elástica, flexible y homogénea (por ejemplo, la piel de un tambor) de grosor constante h. Elijamos un sistema de coordenadas para que, en la posición de reposo, la membrana se encuentre en el plano XY abarcando un dominio (tı́picamente un cı́rculo o un rectángulo). Como la membrana es elástica y flexible, la tensión es siempre tangente a la superficie y se transmite instantáneamente a todos los puntos de la membrana. Las fuerzas de tensión sobre cada punto interior se compensan. Sobre los puntos de cualquier lı́nea que separe el dominio en dos partes aparece una fuerza de tensión neta repartida a lo largo de toda la lı́nea. El esfuerzo tensil en cada punto es tangente a la superficie y normal a la lı́nea de separación. Si el grosor de la membrana elástica es constante, el módulo del esfuerzo tensil en cada instante de tiempo, no depende de la lı́nea elegida ni del punto donde se ejerce kT(x, t)k2 = T0 (t). Sea u(x, t) el desplazamiento vertical y D una parte del dominio con frontera @D. Sobre los puntos de la frontera de D aparece un esfuerzo tensil tangente a la superficie de la membrana. Sea grad u(x) = (@u(x)/@x1 , @u(x)/@x2 )T . Si suponemos desplazamientos pequeños k grad u(x)k2 << 1, la proyección del esfuerzo tensil sobre el plano XY es aproximadamente ortogonal a la lı́nea frontera y dirigida hacia el exterior ✓ ◆ T0 (t) n(x) T(x, t) ⇡ p 1 + (grad u(x) · n(x))2 grad u(x, t) · n(x) ✓ ◆ n(x) ⇡ T0 (t) , x 2 @D, grad u(x, t) · n(x) 96 Por lo tanto, la fuerza resultante sobre D se ejerce esencialmente en la dirección ortogonal a la del plano de equilibrio. Aplicando el Teorema de la divergencia de Gauss a la última componente, correspondiente a la dirección ortogonal al plano de equilibrio, obtenemos la expresión siguiente (n, n grad u) F3D ⇡ hT0 (t) Z @D grad u(x, t) · n(x)d (x) = hT0 (t) n FD (t) = h Figura 15. Membrana vibrante donde n(x) = (n1 (x), n2 (x))T es el vector normal exterior unitario en el punto x 2 @D. Para obtener la fuerza total que actúa sobre la membrana tenemos que integrar la tensión neta que ejerce el resto de la membrana sobre la parte situada en el dominio D a lo largo de todos los puntos de la frontera obteniendo Z FD (t) = h T(x, t)d (x), FD (t) ⇡ hT0 (t) @D n(x) grad u(x, t) · n(x) d (x). Aplicando el Teorema de la divergencia de Gauss a las primeras componentes de FD , tenemos Z Z FiD ⇡ hT0 (t) ni (x)d (x) = hT0 (t) div ei dx = 0, i = 1, 2, @D D donde e1 = (1, 0)T y e2 = (0, 1)T representan los campos vectoriales coordenados con divergencia nula al ser constantes. Deducimos que la proyección de la fuerza sobre el plano XY puede considerarse despreciable. 97 ⇢(x)a(x, t)dx, D 0 1 0 A. a(x, t) ⇡ @ 0 utt (x, t) Por tanto, podemos escribir de donde se obtiene ◆ Z donde ⇢(x) es la densidad del material que forma la membrana en x, h es el grosor de la membrana y a(x, t) es el vector aceleración. Partiendo de condiciones iniciales adecuadas y teniendo en cuenta la naturaleza de las fuerzas, es natural suponer que el movimiento se efectúa esencialmente en la dirección del desplazamiento, luego @D ✓ div grad u(x, t)dx. D Una vez conocida la fuerza resultante, podemos aplicar la segunda ley de Newton al pequeño parche D para obtener D Z Z hT0 (t) Z div grad u(x, t)dx = h D Z ⇢(x)utt (x, t)dx. D Como el dominio D es arbitrario, se deduce que T0 (t) div grad u(x, t) = ⇢(x)utt (x, t). Si la membrana es homogénea ⇢ no depende de x. Si el módulo del esfuerzo tensil T0 permanece constante a lo largo del tiempo, podemos definir c := s 98 T0 . ⇢ La constante c tiene dimensiones de velocidad y con ella la ecuación adopta la forma utt (x, t) = c2 div grad u(x, t). puede aplicarse para deducir la siguiente propiedad de los campos de clase C 2 en R3 rot rot v(x) = grad div v v, El operador diferencial de segundo orden div grad se llama laplaciano y se denota por n X @2u u(x, t) := div grad u(x, t) = (x, t), @x2i i=1 donde con lo que la ecuación de la membrana vibrante puede escribirse en la forma utt (x, t) = c2 u(x, t). (Ecuación de ondas multidimensional) La ecuación de ondas aparece en multitud de fenómenos fı́sicos como la propagación de terremotos, del sonido y de las perturbaciones electromagnéticas (por ejemplo, luz, infrarrojos, microondas y ondas de radio). Perturbaciones electromagnéticas El producto vectorial permite asignar vectores que representan el área y la orientación de determinadas superficies planas en R3 . Si a, b 2 R3 , el producto vectorial se define como 0 1 a 2 b3 a 3 b2 a ⇥ b = @ a 3 b1 a 1 b 3 A a 1 b2 a 2 b 1 El rotacional de un campo vectorial v(x) = (v1 (x), v2 (x), v3 (x)) de clase C 1 en R3 0 1 @v3 (x) @v2 (x) 0 1 0 1 B @x @x3 C 2 @/@x1 v1 (x) B C @v (x) @v B 1 3 (x) C rot v(x) := @ @/@x2 A ⇥ @ v2 (x) A = B C. B @x3 @x1 C @/@x3 v3 (x) @ @v (x) @v (x) A 2 1 @x1 @x2 mide la tendencia de rotación un campo vectorial alrededor de un punto. La fórmula para un doble producto vectorial a ⇥ (b ⇥ c) = (baT 99 (b · a)I3 )c 0 v := @ 1 v1 (x) v2 (x) A v3 (x) denota el campo vectorial que se obtiene al aplicar el operador Laplaciano a cada componente. Sea E el vector campo eléctrico. El desplazamiento eléctrico D tiene en cuenta las fuerzas correspondientes a la polarización inducida por el campo eléctrico en el material. Bajo condiciones muy generales se puede constatar la proporcionalidad de ambos campos vectoriales D = ✏E a través de la permitividad eléctrica del material ✏. El vector campo magnético H toma en consideración la magnetización del material y en determinadas circunstancias es proporcional a la inducción magnética B = µH a través de la constante µ llamada permeabilidad magnética del material. Denotando mediante ⇢ la densidad de carga y J el flujo de corriente eléctrica la conservación de la carga puede expresarse mediante la relación diferencial ⇢t (x, t) + div J(x, t) = 0. Las ecuaciones de Maxwell describen la evolución espacial y temporal de los campos eléctricos y magnéticos en un medio, incluyendo los efectos de polarización y magnetización de los materiales y el movimiento de corrientes de cargas en los diferentes medios div D(x, t) = ⇢(x, t), rot E(x, t) = Bt (x, t), div B(x, t) = 0, rot H(x, t) = Dt (x, t) + J(x, t). Estas ecuaciones corresponden a la ley de Coulomb expresada en la forma de Gauss, la ley de Gauss del magnetismo que indica que no existen fuentes de carga magnética, la ley de inducción de Faraday y la ley de Ampère, con la modificación propuesta por Maxwell. Estas ecuaciones, junto con la ley de Ohm J(x, t) = E(x, t), 100 donde denota la conductividad del material, permiten describir en situaciones muy generales la evolución de las perturbaciones eléctricas, mágnéticas y movimientos de cargas a lo largo del tiempo. En el espacio vacı́o tenemos ⇢(x, t) = 0 y J(x, t) = 0 y las ecuaciones se transforman en ecuaciones homogéneas. Además D = ✏0 E y B = µ0 H, donde ✏0 es la permitividad eléctrica del vacı́o, µ0 la permeabilidad magnética del vacı́o, lo que permite eliminar D y H en las ecuaciones anteriores div E(x, t) = 0, rot E(x, t) = div B(x, t) = 0, rot B(x, t) = µ0 ✏0 Et (x, t). La constante Bt (x, t), 1 c= p µ0 ✏ 0 tiene dimensiones de velocidad. Vamos a eliminar el campo magnético en las ecuaciones de Maxwell en el vacı́o para escribir una ecuación diferencial que describa las perturbaciones del campo eléctrico en el espacio vacı́o. Derivando respecto a t en la ecuación Et (x, t) = c2 rot B(x, t) obtenemos @2E @ @B (x, t) = (c2 rot B(x, t)) = c2 rot (x, t) = c2 rot( rot E(x, t)) @t2 @t @t = c2 rot rot E(x, t) = c2 ( E(x, t) grad div E(x, t)) = c2 E(x, t), de lo que se deduce que cada componente del campo électrico sufre perturbaciones gobernadas por la ecuación de ondas utt = c2 u. De la misma manera, si eliminamos el campo eléctrico, tenemos @2B @ @E (x, t) = ( rot E(x, t)) = rot (x, t) = rot(c2 rot B(x, t)) @t2 @t @t = c2 rot rot B(x, t) = c2 ( B(x, t) grad div B(x, t)) = c2 B(x, t) La ecuación de Klein–Gordon La leyes de la mecánica cuántica se expresan asociando a cada partı́cula una función compleja (x, t) que verifica la ecuación de ondas de Schrödinger ih̄ @ (x, t) = @t h̄2 2m (x, t) + V (x) (x, t). Para el estudio de una sola partı́cula puede utilizarse una variante de la ecuación de ondas que tiene en cuenta ciertas leyes de la Teorı́a Especial de la Relatividad, llamada ecuación de Klein-Gordon. La hipótesis de cuantización de la energı́a propuesta por Planck fue utilizada por Einstein para describir los fotones como partı́culas que tenı́an asociada una energı́a E proporcional a su frecuencia ⌫. Si expresamos la relación E = h⌫ en términos de la frecuencia angular ! = 2⇡⌫ , tenemos E = h̄! donde h̄ = h 2⇡ . La Teorı́a Especial de la Relatividad establece una relación entre el momento y la energı́a de una partı́cula E2 c2 P2 = (mc2 )2 . Teniendo en cuenta que los fotones viajan a la velocidad de la luz c, deben tener masa en reposo m nula. Por tanto, se establece una relación entre momento y la longitud de onda = c/⌫ asociada P2 = ⇣ h ⌘2 E2 h2 ⌫ 2 = = c2 c2 para los fotones. Esta relación entre momento y longitud de onda kPk = h/ puede ser expresada a través del vector número de onda k cuya dirección corresponde a la dirección de propagación de la onda, siendo su módulo 2⇡ 1 y también las componentes del la inducción magnética verifican la misma ecuación de ondas. P = h̄k. Al coincidir c = (µ0 ✏0 ) 1/2 exactamente con la velocidad de la luz en el vacı́o 299.792.458 m/s, las ecuaciones de Maxwell permitieron establecer la naturaleza electromagnética de las ondas luminosas. De Broglie sugirió que esta relación, no solamente era válida para fotones, sino también para describir fenómenos en los que intervenı́an otras partı́culas, como los electrones, para los que no se habı́an descrito ondas asociadas. La 101 102 ecuación relativista que liga la energı́a y el momento de una partı́cula cualquiera, se traduce en una relación entre frecuencia angular y número de onda para la onda asociada a dicha partı́cula ⇣ mc2 ⌘2 E 2 c 2 P2 ! 2 k 2 c2 = = . 2 h̄ h̄ Apliquemos las relaciones anteriores al caso simple de una función de onda plana (x, t) = A sen(!t k · x + ). siendo L[ ] un cierto operador diferencial lineal. Por tanto podemos asociar a la posición y el momento los siguientes operadores diferenciales de orden 0 y orden 1, respectivamente X[ ](x, t) = x (x, t), P[ ](x, t) = La masa en reposo admite la representación m = tanto, está asociada al operador multiplicación ih̄ grad (x, t). R m (x, t) ¯(x, t)dx. Por lo M [ ](x, t) = m (x, t). Entonces tenemos tt (x, t) = de donde se deduce que ! 2 (x, t), (x, t) = k2 (x, t), verifica la ecuación diferencial ⇣ mc2 ⌘2 utt c2 u = u, h̄ La energı́a cinética esperada se obtiene mediante la integral h̄2 2m Z Para describir el caso general en que la partı́cula no está asociada a una onda plana indicaremos cómo se describe el momento y la energı́a de una partı́cula en mecánica cuántica. La función de onda es una función compleja que verifica la condición de normalización Z | (x, t)|2 dx = 1. La posición y el momento más probables de la partı́cula vienen descritas por las integrales Z Z ¯ x (x, t) (x, t)dx, ih̄ grad (x, t) ¯(x, t)dx, respectivamente. En general, el valor esperado de toda magnitud observable fı́sicamente puede expresarse en la forma Z L[ (x, t)] ¯(x, t)dx, 103 Z (x, t) ¯(x, t)dx. y está asociada al operador llamada ecuación de Klein-Gordon. Una superposición de ondas planas también es posible fı́sicamente, ası́ que la ecuación de Klein-Gordon especifica una propiedad de la función de onda de una partı́cula libre. h̄2 2m | grad (x, t)|2 dx = h̄2 2m K[ ](x, t) = (x, t). Los términos del miembro derecho de la ecuación de Schrödinger pueden identificarse con la energı́a cinética y potencial de la función de onda. Por tanto el miembro de la izquierda representa una descripción de la energı́a total en términos de derivadas temporales de la función de ondas. En virtud de la ecuación de Schrödinger, podemos asociar a la energı́a de la partı́cula el operador @ E[ ](x, t) = ih̄ (x, t). @t Ahora podemos ofrecer una interpretación cuántica de la relación relativista E 2 c2 P2 = (mc2 )2 . Para ello, teniendo en cuenta la ecuación de Schrödinger, asociamos al cuadrado de la energı́a E 2 el operador diferencial de segundo orden h̄2 @ 2 /@t2 . El cuadrado del momento P2 = 2mK corresponderá al operador diferencial de segundo orden h̄2 y el término mc2 corresponderá al operador multiplicación mc2 I. Por tanto, la relación relativista entre energı́a y momento da lugar a la ecuación h̄2 ⇣ @2 @t2 c2 ⌘ + (mc2 )2 I = 0. 104 y las soluciones de la ecuación de Klein–Gordon son precisamente las funciones que anulan el operador diferencial anterior. Puede comprobarse que la integral Z ✓ @ (x, t) @t 2 + c2 | grad (x, t)|2 + ⇣ mc2 ⌘2 h̄ ◆ | (x, t)|2 dx es independiente del tiempo para cualquier solución de la ecuación de Klein– Gordon, hecho que puede interpretarse en términos de la conservación de la energı́a relativista de la partı́cula, obtenida al sumar la energı́a cinética, potencial y la energı́a debida a la masa en reposo. Flexión en una barra Estudiemos ahora la flexión de una barra. Para eliminar en nuestro estudio los efectos de la tensión y de la torsión supondremos que todas las fuerzas de carga que se ejercen sobre la barra son ortogonales a la lı́nea neutra y actúan en un único plano produciendo flexión pura. Fijamos coordenadas para que la posición inicial de la lı́nea neutra sea x 2 [0, l]. (x, 0, 0), Supongamos que las fuerzas de carga vienen dadas por una densidad de fuerza (0, f (x), 0), x 2 [0, l]. aplicada en cada punto (x, 0, 0), x 2 [0, l] de la lı́nea neutra. Debido al carácter del problema, la barra sufrirá desplazamientos cuya componente en el eje OZ será nula, ası́ que la nueva posición de la lı́nea neutra de la barra deformada será (x + d(x), u(x), 0), x 2 [0, l]. Los desplazamientos en la dirección de las fuerzas u(x) reciben el nombre de deflexiones. Con objeto de simplificar el estudio, despreciaremos los desplazamientos horizontales d(x) ⇡ 0, ya que son mucho menores que las deflexiones u(x). Esto es válido si todas las fuerzas ejercidas sobre la barra son suficientemente pequeñas y las deflexiones son relativamente pequeñas |u(x)| << 1, |u0 (x)| << 1, 105 x 2 [0, l]. Figura 17. Fuerzas flectoras sobre una barra biapoyada Queremos determinar la deflexión u(x) en términos de las fuerzas ejercidas. Supongamos que nuestra barra se encuentra apoyada en ambos extremos y que las fuerzas que se ejercen son transversales y vienen dadas por la densidad de fuerzas (0, f (x), 0), x 2 [0, l]. De las condiciones de equilibrio estático Z l Z l (0) + f (⇠)d⇠ + (l) = 0, ⇠f (⇠)d⇠ + l (l) = 0, 0 0 podemos deducir la magnitud de las esfuerzos cortantes de reacción (0, (0), 0) y (0, (l), 0) en ambos extremos (0, 0, 0), (l, 0, 0): Z Z 1 l 1 l (0) = (l ⇠)f (⇠)d⇠, (l) = ⇠f (⇠)d⇠. l 0 l 0 Consideremos una superficie de separación normal a la lı́nea neutra en el punto (x, u(x), 0). La resultante de las fuerzas flectoras que actúan en un punto desde un lado de la barra es igual y de sentido contrario a la resultante de las fuerzas que actúan desde el otro lado en virtud de las condiciones de equilibrio estático, dando lugar a un esfuerzo cortante (0, (x), 0) en cada punto de la barra (x, 0, 0) Z x Z l (x) = (0) + f (⇠)d⇠ = (l) f (⇠)d⇠. 0 x Sustituyendo (0) por su valor obtenemos la expresión explı́cita en términos de la densidad de fuerza f (x) Z Z l ⌘ 1⇣ x (x) = lf (⇠)d⇠ (l ⇠)f (⇠)d⇠ l 0 0 Z Z l ⌘ 1⇣ x = ⇠f (⇠)d⇠ + f (⇠)(l ⇠)d⇠ . l 0 x 106 El momento resultante de las fuerzas flectoras que actúan en un punto desde un lado de la barra es igual y de sentido contrario al momento resultante de las fuerzas flectoras que actúan desde el otro lado dando lugar a M (x) := S ⇣ (0)x + Z x f (⇠)(x 0 ⌘ ⇣Z l ⇠)d⇠ = S f (⇠)(⇠ x)d⇠ x (l)(l ⌘ x) , donde S = área(D) es el área de la sección recta de la barra. El material circundante puede ejercer en ambos extremos momentos de la barra momentos opuestos M (0) + M (l) = 0, por lo que la expresión del momento flector por unidad de área puede contener un término adicional M (x) = M (0) + S (0)x + S Z x f (⇠)(x ⇠)d⇠. 0 Derivando la relación anterior obtenemos Z x ⇣ ⌘ M 0 (x) = S (0) + f (⇠)d⇠ = S (x) 0 y M 00 (x) = Sf (x). La ley de Euler–Bernoulli permite relacionar las fuerzas flectoras y las deflexiones en una barra sometida a esfuerzos de flexión puros (x) = 1 M (x), R siendo (x) la curvatura del eje neutro, M (x) el momento flector de las fuerzas que producen la deflexión y R una constante llamada rigidez flexural que depende de la geometrı́a de la sección D y del material de la barra R = EI, siendo E el módulo de Young e I el llamado momento de inercia de área I= Z y 2 dydz. D 107 La curvatura del eje neutro es (x) = (1 + d0 (x))u00 (x) d00 (x)u0 (x) ((1 + d0 (x))2 + u0 (x)2 )3/2 y teniendo en cuenta que las fuerzas que intervienen no producen deflexiones grandes podemos suponer que d0 (x) ⇡ 0, de donde d00 (x) ⇡ 0, u0 (x) ⇡ 0, (x) ⇡ u00 (x). Por lo tanto, podemos expresar la ley de Euler-Bernoulli por la ecuación aproximada 1 u00 (x) = M (x), x 2 [0, l]. R Ahora vamos a describir las pequeñas vibraciones transversales de una barra de grosor no despreciable en la que las fuerzas flectoras predominan sobre las fuerzas de tensión. La posición de la barra correspondiente a la abscisa x de la lı́nea neutra en el el instante de tiempo t, vendrá determinada por (0, u(x, t), 0). Para una deflexión dada, pueden determinarse a través de la ley de Euler–Bernoulli los momentos flectores que mantendrı́an a la barra en una situación de equilibrio estático M (x, t) = E(x)I(x) @2u (x, t). @x2 Derivando dos veces en la fórmula que proporciona el momento flector obtendrı́amos la densidad de fuerzas cortantes correspondientes f (x, t) = 1 Mxx (x, t). S Si hay que aplicar una fuerza cortante de densidad f (x, t) para mantener la barra en equilibrio para una deflexión dada u(x, t), esto significa que el estado de flexión genera una fuerza recuperadora cuya densidad es f (x, t) = ⌘ 1 @2 ⇣ @2u E(x)I(x) (x, t) . S @x2 @x2 108 Aplicando la segunda ley de Newton deducimos que ⌘ 1 @2 ⇣ @2u ⇢(x)utt (x, t) = E(x)I(x) (x, t) , S @x2 @x2 obteniendo la ecuación diferencial que rige las vibraciones de flexión de una barra ⌘ @2u 1 @2 ⇣ @2u (x, t) = E(x)I(x) 2 (x, t) . 2 2 @t S⇢(x) @x @x Si la barra es homogénea, la ecuación se reduce a la ecuación en derivadas parciales de cuarto orden @2u = @t2 EI @ 4 u . S⇢ @x4 Supongamos que la barra está estirada en los extremos sufriendo un esfuerzo de tensión neto de módulo T0 . El esfuerzo de tensión es siempre tangente a la lı́nea neutra. Si la lı́nea neutra tiene variaciones de dirección aparecerá un término de densidad de fuerza cortante correspondiente a las variaciones de dirección del esfuerzo de tensión ✓ ◆ @ T0 ux (x, t) ⇡ T0 uxx (x, t) @x (1 + u2x (x, t))1/2 como ya se discutió en el análisis de la cuerda vibrante. Las variaciones de curvatura del eje neutro darán lugar a una densidad de fuerza flectora ⌘ ⌘ 1 @2 ⇣ 1 @2 ⇣ @2u E(x)I(x)(x, t) ⇡ E(x)I(x) 2 (x, t) 2 2 S @x S @x @x según la ley de Euler-Bernoulli. Por tanto, la densidad total de las fuerzas cortantes que aparecen debido a la deflexión de la barra bajo tensión será ⌘ 1 @2 ⇣ @2u T0 uxx E(x)I(x) (x, t) , S @x2 @x2 de donde se deduce la siguiente ecuación en derivadas parciales para las vibraciones de la barra ⌘ @2u 1 @2 ⇣ @2u ⇢(x) 2 (x, t) = T0 uxx (x, t) E(x)I(x) (x, t) . @t S @x2 @x2 Si la barra sufre compresión en lugar de tensión, el problema tiene una análisis similar. Bastará con considerar valores negativos para T0 . 109 Vibraciones en un sólido elástico En general, el estado de tensión de un sólido puede determinarse en cada punto del material a través del tensor de esfuerzos S(x). En un entorno de cada punto podemos construir pequeñas superficies de prueba y analizar la cantidad de fuerza que ejerce la parte situada a un lado sobre la parte situada en el otro lado. Dividiendo la fuerza para la superficie y haciendo tender el área de la superficie hacia cero obtenemos un valor lı́mite para todas las superficies con la misma orientación. Si n es la normal a la superficie de prueba, y S es el área de la superfice de prueba, tenemos que existe una aplicación lineal que relaciona el vector Sn con el vector fuerza F. Esta aplicación lineal describe el estado de tensión del solido en dicho punto y recibe el nombre de tensor de esfuerzos. Existen diferentes tipos de esfuerzos dependiendo de la acción de las fuerzas que ejercen los puntos del material en un entorno del punto: esfuerzos de tensión, compresión, expansión, flexión, torsión, etc. Los esfuerzos pueden clasificarse en dos tipos fundamentales: esfuerzos tensiles y esfuerzos cortantes (o de cizalladura) Los esfuerzos tensiles corresponden a la componente de la fuerza normal a la superficie y tienden a expandir o comprimir el material a lo largo de esa dirección. Los esfuerzos cortantes tienden corresponden a la componente de la fuerza tangencial (paralela a la superficie) y tienden a separar capas paralelas del material. La deformación unitaria en un sólido expresa el estado de constricción del material y puede medirse calculando la diferencial del desplazamiento del material. La defomación unitaria en un punto es un tensor y se representa a través de la simetrización de la matriz Jacobiana del desplazamiento. Existen varios tipos de deformaciones: dilataciones o contracciones cuando la variación se mide a lo largo de la dirección de desplazamiento o cizalladuras cuando se mide a lo largo de una dirección perpendicular al desplazamiento. La proporcionalidad entre esfuerzo y deformación unitaria constituye uno de los principios básicos de la teorı́a de la elasticidad y tiene validez en cualquier trozo pequeño del material cuando los esfuerzos y las deformaciones son relativamente pequeñas. Esto nos permite obtener relaciones entre los tensores de esfuerzos y deformaciones en cualquier punto del material considerado. Si el material es isótropo las relaciones se simplifican notablemente. Más aún si solamente se consideran esfuerzos en la dirección normal a la superficie de separación (esfuerzos tensiles). La fuerza total que hace el espacio circundante sobre un dominio D sobre 110 el espacio circundante es Z FD (t) = S(x, t)n(x)d (x) + D Z donde E es el llamado tensor de elasticidad (o más apropiadamente tensor de rigidez). f (x, t)dx, D donde S(x, t)n(x) es el esfuerzo medido en la dirección normal a la superficie y f (x, t) es la densidad de fuerza correspondiente a la resultante de todas las fuerzas exteriores que actúan sobre el dominio D. Por tanto podemos expresar la segunda ley de Newton en la forma Z Z ⇣ ⌘ ⇢(x) dtt (x, t) f (x, t) dx = S(x, t)n(x)d (x), D D siendo d(x, t) es el vector desplazamiento. Extrayendo la componente i-ésima y teniendo en cuenta la simetrı́a del tensor de esfuerzos En un medio isótropo homogéneo, esta relación se expresa en la forma ⇣ ⌘ 1 S(x, t) = 2G U (x, t) Tr U (x, t)In + K Tr U (x, t)In , n donde G es el llamado módulo de elasticidad transversal y K el módulo de compresibilidad. Teniendo en cuenta que Tr U (x, t) = div d(x, t), podemos interpretar el segundo sumando como el término correspondiente a las variaciones de volumen, mientras que el primer sumando, con traza nula, excluye tales variaciones. Utilizando las constantes de Lamé := K (S(x, t)n(x)) · ei = (S(x, t)ei ) · n(x) tenemos Z ⇢(x) D ⇣ @2d i (x, t) @t2 Z ⌘ fi (x, t) dx = (S(x, t)ei )n(x)d (x). D Aplicando el teorema de la divergencia de Gauss, se obtiene la relación Z ⇣ @2d ⌘ i i ⇢(x) (x, t) f (x, t) div(S(x, t)e ) dx = 0, i @t2 D Teniendo en cuenta que el dominio D es arbitrario deducimos la siguiente expresión de la segunda ley de Newton ⇢(x) @ 2 di (x, t) = div(S(x, t)ei ) + fi (x, t). @t2 La proporcionalidad entre en tensor de esfuerzos S(x, t) y la deformación unitaria ⌘ 1 ⇣ @d ⌘T 1 ⇣ @d U (x, t) = (x, t) + (x, t) , 2 @x 2 @x se expresa en general mediante la relación S(x, t) = E U (x, t), 111 2G , n µ := G, obtenemos una expresión más cómoda de manejo ✓ ⇣ @d ⌘T ◆ @d S(x, t) = div d(x, t)In + µ (x, t) + (x, t) . @x @x Considerando ahora S(x, t)ei = div d(x, t)ei + µ ⇣ @d @xi ⌘ (x, t) + grad di (x, t) . La segunda ley de Newton en cada componente adopta la forma ⇣ @d ⌘ @ 2 di @ ⇢(x) 2 (x, t) = div d(x, t) + µ di (x, t) + µ div (x, t) + fi (x, t). @t @xi @xi @ @ Intercambiando el orden de derivación div @x = @x div, y reuniendo la infori i mación para todas las componentes en una sola ecuación vectorial, se obtienen la ecuación elastodinámica que gobierna las vibraciones elásticas en un solido isótropo homogéneo ⇢(x) @2d (x, t) = ( + µ) grad div d(x, t) + µ d(x, t) + f (x, t), @t2 donde d(x, t) denota la función vectorial obtenida al aplicar el operador Lapaciano en cada componente. 112 Difusión y transporte general Las partı́culas de una sustancia en el seno de un fluido se ven impulsadas por el resto de partı́culas que se encuentran en el fluido y tienden a moverse con él. Sin embargo la velocidad que medimos es macroscópica y es en realidad un promedio. En todo fluido existen corrientes microscópicas que no dan lugar a desplazamientos netos y agitación molecular. Aunque un fluido se encuentre en reposo, podemos detectar un movimiento neto de una sustancia dispersa en él. En el fenómeno de difusión, la sustancia tiende a dispersarse en el fluido de modo que la concentración tiende a aumentar en zonas de concentración baja respecto a su entorno y tiende a disminuir en zonas de concentración alta respecto a su entorno. La difusión está gobernada por la ley de Fick. volumen mediante la integral de volumen Z mD (t) = u(x, t)dx. D Por un lado, la tasa de variación de la cantidad de sustancia contenida en un dominio D es Z Z d m0D (t) = u(x, t)dx = ut (x, t)dx, (10.3) dt D D Por otro lado, la variación de la cantidad de sustancia se debe al balance neto de la cantidad de sustancia que entra y sale por la frontera Z m0D (t) = q(x, t) · n(x)d (x). @D Figura 16. Difusión de una sustancia en un fluido El signo negativo se debe a que la normal es exterior. Por el Teorema de la divergencia de Gauss Z Z q(x, t) · n(x)d (x) = div q(x, t)dx, @D D tenemos Ley de Fick. Las sustancias se difunden de las zonas de mayor concentranción a las de menor concentración y lo hacen tanto más rápido cuanto mayor es la diferencia de concentración, siendo la velocidad de flujo de concentración proporcional y de sentido contrario al gradiente de la concentración. Para formular correctamente esta ley utilizaremos velocidad de flujo de concentración q(x, t). La velocidad de flujo de concentración indica la cantidad de sustancia que atraviesa una pequeña superficie por unidad de tiempo y su dirección corresponde a la dirección de transporte neto. La velocidad de flujo de concentración permite expresar la ley de conservación de sustancia. Si no se suministra ni se extrae sustancia del fluido, la variación de cantidad de sustancia en un dominio dado D se debe a la cantidad de sustancia que entra y sale del dominio a través de la frontera. La cantidad de sustancia mD (t) contenida en el dominio D en el instante t puede expresarse en términos de la concentración u(x, t) por unidad de 113 m0D (t) = Z div q(x, t)dx. (10.4) D Comparando (10.3) y (10.4) obtenemos Z (ut (x, t) + div q(x, t))dx = 0. D y como el dominio es arbitrario, el balance de material queda expresado en forma diferencial mediante la ley de conservación ut (x, t) = div q(x, t) (10.5) La ley de Fick puede enunciarse matemáticamente en la forma q(x, t) = k grad u(x, t), 114 (Ley de Fick) donde ⇣ @u ⌘T @u grad u(x, t) = (x, t), . . . , (x, t) @x1 @xn La constante k mide la difusividad y depende del tipo de sustancia y de las caracterı́sticas fı́sicas del medio en el que se difunde (tipo de sustancia, densidad, temperatura, etc). Flujo de calor Consideremos un sólido y sea u(x, t) la temperatura en x en el instante t. Sea una pequeña superficie de área S y sea n su vector normal. Si consideramos la transferencia de energı́a en forma de calor a través de dicha superficie en un pequeño intervalo de tiempo tenemos Q= Combinando el balance de material (10.5) y la ley de Fick ut (x, t) = div q(x, t) = div(k grad u(x, t)) = k u(x, t), de donde se obtiene la ecuación de la difusión o segunda ley de Fick ut (x, t) = k u(x, t). donde k denota la conductividad térmica del material y q es el vector velocidad de flujo de calor entendida como la transferencia de energı́a por unidad de tiempo y de superficie. Esto permite definir el vector de velocidad de flujo de calor (o simplemente flujo de calor) (Ecuación de la difusión) La velocidad de flujo de material en un fenómeno de transporte en un fluido en el que haya que considerar los fenómenos de convección y difusión puede expresarse en la forma q(x, t) = u(x, t)v(x, t) k grad u(x, t), donde u(x, t) es la concentración de sustancia, v(x, t) es el campo de velocidades en el fluido y k es la constante de difusividad de la sustancia en el fluido. El término u(x, t)v(x, t) es la parte de la velocidad de flujo correspondiente a la convección o advección (2.2), mientras que el término k grad u(x, t) corresponde a la difusión según la Ley de Fick. Sustituyendo la expresión de la velocidad de flujo en la ley de conservación (10.5) obtenemos la ecuación general del transporte, ut (x, t) + div(u(x, t)v(x, t)) = k u(x, t) el término div(u(x, t)v(x, t)) corresponde a la advección o convección, mientras que el término de segundo orden k u(x, t) correspondiente a la difusión de la sustancia en el medio. t S q · n, q(x, t) · n = lı́m t!0; S!0 Q . t S La ley de Fourier de conducción de calor afirma que el calor fluye de temperaturas mayores a temperaturas menores y que el flujo de calor es proporcional al gradiente de temperaturas. La ley de Fourier puede formularse matemáticamente de la siguiente forma q(x, t) = (x) grad u(x, t), (Ley de Fourier) donde denota la conductividad térmica del material. Es bien conocido que la aportación de calor corresponde a una variación de la temperatura. El calor especı́fico de un material puede definirse como c(x) := lı́m u!0;vol(D)!0 Q mD u = 1 ⇢(x) Q , u!0;vol(D)!0 vol(D) u lı́m donde ⇢(x) representa la densidad del material. En general, el calor especı́fico depende del tipo de material y las condiciones termodinámicas de presión y temperatura en el que se encuentre. Experimentalmente se constata que si no hay cambios de presión el calor especı́fico puede considerarse aproximadamente constante en amplios rangos de temperatura. Esta hipótesis no resulta válida para temperaturas muy bajas. Si consideramos un dominio D dentro del sólido en el que se está transfiriendo energı́a calorı́fica, podemos realizar un balance energético. Por un 115 116 lado, la energı́a calorı́fica transferida al medio circundante durante el periodo de tiempo entre t0 y t1 puede calcularse a través de la diferencia de temperaturas observada en cada punto del dominio Z QD c(x)⇢(x)(u(x, t0 ) u(x, t1 ))dx. t0 !t1 = Si combinamos el primer principio de la termodinámica con la ley de Fourier, obtenemos 1 ut (x, t) = div q(x, t) = div grad u(x, t), c⇢ c⇢ y, llamando k := (c⇢) 1 , obtenemos D Tomando lı́mites cuando t1 t0 ! 0, obtenemos la siguiente fórmula para la velocidad de transferencia de calor del dominio D al medio circundante Z dQ D = c(x)⇢(x)ut (x, t)dx. dt D La velocidad de transferencia de calor al exterior de D también puede obtenerse integrando el flujo de calor sobre la frontera dQ D = dt Z @D q(x, t) · n(x)d (x). Igualando tenemos Z c(x)⇢(x)ut (x, t)dx = D Z @D q(x, t) · n(x)d (x). Esta relación puede verse como una formulación del primer principio de la termodinámica que establece que el cambio de energı́a interna de un sistema es igual a la energı́a calorı́fica suministrada al sistema. Aplicando el teorema de la divergencia de Gauss, obtenemos Z (c(x)⇢(x)ut (x, t) + div q(x, t))dx = 0. ut (x, t) = k u(x, t). (Ecuación del calor) La naturaleza del calor no fue bien comprendida hasta mitad del siglo XIX. La explicación del calor como un modo de transferencia de energı́a empezó a cobrar fuerza cuando Rumford comprobó que el rozamiento era capaz de transformarse en calor. Más tarde Joule confirmó que el trabajo mecánico se transformaba en calor. Antes de que se impusiera la idea de que el calor era un modo de transferencia de energı́a se consideraba que el calor era era el flujo de una sustancia llamada calórico. Según la teorı́a del calórico, el calórico era un fluido que se desplazaba de las zonas con mayor temperatura a las zonas con menor temperatura. La temperatura en un medio homogéneo, según esta teorı́a, era proporcional a la densidad de calórico. Por tanto, la teorı́a del calórico interpretaba la ley de Fourier como un caso particular de la ley de Fick de difusión de sustancias. De hecho, en la mayorı́a de procesos calorimétricos y termodinámicos la transferencia de calor se comporta idénticamente al transporte de una sustancia en un medio. Desde el punto de las ecuaciones en derivadas parciales, este hecho se traduce en las expresiones coincidentes de la ecuación del calor y la segunda ley de Fick. Los principios de la termodinámica Supongamos que el medio es homogéneo con lo que podemos considerar la conductividad térmica , el calor especı́fico c y la densidad ⇢ constantes. Hemos mencionado que la proporcionalidad entre calor y diferencias de temperatura es solamente aproximada por lo que la ecuación del calor debe modificarse cuando el rango de temperaturas es amplio. La ley de conservación de la energı́a calorı́fica postula la existencia de una energı́a interna especı́fica e(x, t) de forma que las variaciones de dicha energı́a se manifiestan en transferencia de calor al exterior y también en trabajo mecánico. Para ignorar los efectos del trabajo mecánico y obtener una formulación más simple supondremos que no hay fuerzas exteriores realizando un trabajo sobre el sistema y que la presión, volumen y densidad permanecen constantes en el tiempo, hipótesis válidas para sólidos y fluidos en reposo, de manera que las variaciones de temperatura se deben exclusivamente a la difusión de la energı́a calorı́fica. Por consiguiente, podemos expresar la relación 117 118 D y como D es arbitrario, se deduce que c(x)⇢(x)ut (x, t) + div q(x, t) = 0, que puede verse como una formulación diferencial de la conservación de la energı́a termodinámica. entre la transferencia de calor al exterior y el incremento de energı́a interna mediante la fórmula Z dQD + ⇢(x)et (x, t)dx = 0. dt D Si la energı́a se conserva, el flujo de calor detectado en la frontera debe corresponder a la variación de la energı́a interna Z Z dQD = q(x, t) · n(x)d (x) = div q(x, t)dx. dt @D D Tenemos que Z (⇢(x)et (x, t) + div q(x, t))dx que junto con el primer principio de la termodinámica da lugar a ⇢(x)et (x, t) = div((x, u(x, t)) grad u(x, t)). Introduciendo la relación entre energı́a interna y calor especı́fico, obtenemos la ecuación del calor general no lineal ⇢(x)c(x, u(x, t))ut (x, t) = div (x, u(x, t)) grad u(x, t) . Otra cantidad relacionada con la energı́a calorı́fica que puede producir trabajo útil es la entropı́a termodinámica. Para una región D suficientemente pequeña, y una pequeña aportación de calor QD la entropı́a es una magnitud cuya variación puede obtenerse de la expresión D SD = y como el dominio es arbitrario obtenemos la siguiente formulación diferencial del primer principio de la termodinámica ⇢(x)et (x, t) + div q(x, t) = 0. La temperatura u(x, t) está asociada al nivel de energı́a especı́fica en el punto x en el instante de tiempo t. La energı́a interna no sólo depende de la temperatura sino de otras variables que expresan el estado termodinámico (presión, densidad). Bajo las hipótesis de presión y densidad constantes y de material en reposo, la relación entre energı́a y temperatura puede expresarse en cada punto del dominio mediante e = ✏(x, u). A mayor temperatura corresponde mayor energı́a especı́fica, de manera que c(x, u) := @✏ (x, u) @u 0. La función no negativa llamada c(x, u) recibe el nombre de calor especı́fico y permite establecer la relación et (x, t) = c(x, u(x, t))ut (x, t). La conductividad térmica también depende del estado termodinámico del sistema y para un medio en reposo podemos describirla mediante una función (x, u). La ley de Fourier adopta la forma q(x, t) = (x, u(x, t)) grad u(x, t). 119 QD , u donde u denota la temperatura media en la región D. Esta definición termodinámica es válida en dominios materiales donde la variación de densidad de material es despreciable, lo que permite descartar los efectos energéticos atribuibles a trabajo mecánico producido por expansiones y contracciones del material. Se deduce que la variación temporal de la entropı́a en una región relativamente extensa D puede describirse mediante la fórmula Z Z d D et (x, t) div q(x, t) S (t) = ⇢(x) dx = dx. dt u(x, t) u(x, t) D D Z Aplicando el teorema de la divergencia de Gauss tenemos Z Z q(x, t) · n(x) div q(x, t) q(x, t) · grad u(x, t) d (x) = dx dx. u(x, t) u(x, t) u(x, t)2 @D D D Sumando las ecuaciones anteriores obtenemos Z Z d D q(x, t) · n(x) q(x, t) · grad u(x, t) S (t) + d (x) = dx dt u(x, t) u(x, t)2 @D D De la ley de Fourier deducimos Z Z ⇣ grad u(x, t) ⌘2 q(x, t) · grad u(x, t) dx = (x, u(x, t)) dx 2 u(x, t) u(x, t) D D 120 0, de donde se obtiene d D S (t) + dt Z @D q(x, t) · n(x) d (x) u(x, t) 0. La relación anterior puede interpretarse en los siguientes términos: la variación de entropı́a de un sistema más la cantidad de entropı́a cedida al exterior por unidad de tiempo es siempre positiva. De las fórmulas anteriores se deduce Z ⇣ ⇣ 1 ⌘⌘ ⇢(x)et (x, t) + div q(x, t) dx 0. u(x, t) u(x, t) D Como la integral sobre un dominio arbitrario es mayor o igual que cero, el integrando debe ser no negativo. Por tanto, el segundo principio de la termodinámica puede expresarse en forma diferencial mediante la desigualdad ⇣ 1 ⌘ ⇢(x)et (x, t) + div q(x, t) u(x, t) u(x, t) 0. Dinámica de Fluidos La descripción del movimiento de un fluido viene dado por dos magnitudes ⇢(x, t) la densidad del fluido y v(x, t) el vector velocidad en el instante t. Las ecuaciones de Navier-Stokes surgen al plantear la ley de conservación de la masa y la segunda ley de Newton en un fluido. Para deducir la ley de conservación de la masa, necesitamos hacer un balance entre la cantidad de fluido que sale por la frontera de un dominio D y la cantidad de materia encerrada en ese dominio Z MD (t) = ⇢(x, t)dx. D de modo que 0 MD (t) = Z q(x, t)n(x)d (x) = @D Z div q(x, t)dx. D Por tanto tenemos Z (⇢t (x, t) + div q(x, t))dx = 0 D y al considerar un dominio D arbitrario se obtiene la siguiente ecuación diferencial que expresa el balance de material como una ley de conservación análoga a (10.5) ⇢t (x, t) + div(q(x, t)) = 0. La velocidad del flujo de material q(x, t) coincide con la densidad de cantidad de movimiento q(x, t) = ⇢(x, t)v(x, t) Sustituyendo la expresión de la velocidad de flujo en la ecuación de balance de material, obtenemos la llamada ley de conservación de la masa ⇢t (x, t) = div(⇢(x, t)v(x, t)). La segunda ley de Newton relaciona la variación de la densidad de cantidad de movimiento con la densidad de fuerza debida a dos causas principales: fuerzas externas ejercidas por un campo de fuerzas y fuerzas de contacto entre las diversas partes del fluido. Estas fuerzas de contacto son la presión y las fuerzas viscosas que se ejercen a lo largo de la superficie de contacto de una parte del fluido y otra. Para nuestra descripción inicial, omitiremos consideraciones acerca de las fuerzas de viscosidad, obteniendo la ecuación de Euler. El momento lineal contenido en una región D en el instante de tiempo t, viene dado por la integral de la densidad de momento, magnitud fı́sica equivalente a la velocidad de flujo de material q(x, t) = ⇢(x, t)v(x, t) Z PD (t) = ⇢(x, t)v(x, t)dx, D la variación de este momento lineal con respecto al tiempo Z @ (⇢(x, t)v(x, t))dx P0D (t) = D @t tiene tres causas. La primera causa se debe a flujo de partı́culas que entran y salen a través de la superficie del dominio D transportando un momento lineal que contribuye a una variación neta del momento lineal Z ⇢(x, t)v(x, t)(v(x, t) · n(x))d (x). @D 121 (10.6) 122 La segunda causa se debe a fuerzas de contacto que ejerce el resto del fluido sobre el fluido a través de la frontera del dominio D. La presión en un fluido p(x, t) es la causa principal de las fuerzas de contacto. La presión se ejerce en todas las direcciones y sobre el dominio D proporciona una fuerza que se ejerce a lo largo de toda la frontera @D y está dirigida hacia el interior según la normal a la superficie de contacto. La fuerza neta que ejerce la presión sobre el dominio D puede calcularse a través de la integral de superficie Z Podemos aplicar el Teorema de la divergencia de Gauss (o la fórmula de Green) a las integrales de superficie Z Z ⇢(x, t)vi (x, t)v(x, t) · n(x)d (x) = div(⇢(x, t)vi (x, t)v(x, t))dx, D Z@D Z Z @p i p(x, t)ni (x)d (x) = p(x, t)e · n(x)d (x) = (x, t)dx, @x i @D @D D para expresar cada componente de la segunda Ley de Newton en la forma p(x, t)n(x)d (x). Z ⇣ ⌘ @ (⇢(x, t)vi (x, t)) + div(⇢(x, t)vi (x, t)v(x, t)) dx D @t Z ⇣ ⌘ @p = fi (x, t) (x, t) dx. @xi D @D La tercera causa que contribuye a la variación del momento lineal son las fuerzas externas ejercidas en el seno del fluido por un campo de fuerzas Z f (x, t)dx, Como el dominio de integración es arbitrario, deducimos que los integrandos deben coincidir en todos los puntos, obteniendo D siendo el ejemplo más común las fuerzas ejercidas por un campo gravitatorio constante, correspondiente a una densidad de fuerza dada por f (x, t) = ⇢(x, t)g. El primer miembro de la ecuación anterior puede simplificarse teniendo en cuenta la ley de conservación de la masa Si despreciamos el efecto de las fuerzas viscosas, podemos expresar la segunda Ley de Newton en la forma Z D @ (⇢(x, t)v(x, t))dx = @t Z Z ⇢(x, t)v(x, t)(v(x, t) · n(x))d (x) Z p(x, t)n(x)d (x) + f (x, t)dx. @D @D D Para manejar la ecuación vectorial anterior, estudiamos separadamente cada una de sus componentes Z D @ (⇢(x, t)vi (x, t))dx = @t Z Z ⇢(x, t)vi (x, t)v(x, t) · n(x)d (x) Z p(x, t)ni (x)d (x) + fi (x, t)dx. @D @D D 123 @p (x, t). @xi @ (⇢(x, t)vi (x, t)) + div(⇢(x, t)vi (x, t)v(x, t)) = fi (x, t) @t n X @ @⇢ @vi @vi (⇢vi ) + div(⇢vi v) = vi + ⇢ + div(⇢v)vi + ⇢vj @t @t @t @x j j=1 ⇣ @⇢ ⌘ ⇣ @v ⌘ ⇣ @v ⌘ i i = + div(⇢v) vi + ⇢ + D v vi = ⇢ + Dv vi @t @t @t Podemos sustituir en la ecuación anterior para obtener las ecuaciones de Euler, que expresan la segunda ley de Newton en un fluido no viscoso ⇢(x, t) ⇣ @v (x, t) ⌘ i + Dv vi (x, t) = fi (x, t) @t @p (x, t), @xi i = 1, . . . , n. Con ellas podemos escribir la siguiente fórmulación vectorial ⇢(x, t)(vt (x, t) + Dv v(x, t)) = f (x, t) 124 grad p(x, t), donde Dv v(x, t) := por tanto, la presión es un esfuerzo tensil (de compresión), ya que la presión siempre se ejerce en la dirección normal a la superficie de separación @v (x, t)v(x, t). @x En las ecuaciones anteriores término Dv v puede descomponerse como la suma de un campo que deriva de un gradiente y un campo que tiene en cuenta la vorticidad. Teniendo en cuenta que T 1 1 @v(x, t) grad v2 (x, t) = grad kv(x, t)k22 = v(x, t), 2 2 @x deducimos que ⇣ @v(x, t) 1 Dv v = grad v2 (x, t) + 2 @x T @v(x, t) ⌘ v(x, t). @x Si el campo de velocidades es irrotacional, entonces @v(x, t)/@x es una matriz simétrica, lo que permite escribir las ecuaciones en la forma vt (x, t) + grad ⇣ v2 (x, t) ⌘ 2 1 f (x, t) + grad p(x, t) = . ⇢(x, t) ⇢(x, t) Hasta ahora hemos prescindido de las fuerzas viscosas. En general, las fuerzas de contacto se describen a través de los esfuerzos, que tienen magnitud de fuerza por unidad de superficie. El esfuerzo depende linealmente de la orientación de la superficie a través del llamado tensor de esfuerzos S(x, t), de modo que la contribución de las fuerzas de contacto que ejerce el resto del fluido sobre la frontera de D es Z S(x, t)n(x)d (x), @D donde S(x, t) es una matriz simétrica cuyas componentes se denotan por ij (x, t). Si el esfuerzo es normal a la superficie hablamos de esfuerzo tensil y si tiende a separar capas paralelas muy próximas a la normal el esfuerzo se llama cortante o de cizalladura. La presión está asociada a una matriz escalar (múltiplo de la identidad) ij (x, t) = p(x, t) 125 ij , S(x, t)n = p(x, t)n. Las fuerzas viscosas tienen su origen en variaciones espaciales de velocidad en el fluido. Se trata de fuerzas disipativas cuya magnitud está dirigida en sentido contrario a las variaciones de velocidad. Puede demostrarse que si el fluido es isótropo, tensor de esfuerzos puede expresarse en la forma ⇣ @v ⌘ @vj 2 i p(x, t) ij + µ (x, t) + (x, t) div v(x, t) ij ij (x, t) = @xj @xi n + µB div v(x, t) ij , es decir S(x, t) = ⇣ p(x, t) + µB ⌘ ⇣ @v(x, t) @v(x, t) T ⌘ 2 µ div v(x, t) In + µ + . n @x @x Por tanto, el esfuerzo correspondiente a una superficie de prueba con dirección normal n puede expresarse en la forma ⇣ ⌘ 2 S(x, t)n = p(x, t)+ µB div v(x, t) n+µ(Dn v(x, t)+grad(v(x, t)n)). n El coeficiente µ se llama coeficiente de viscosidad y corresponde a esfuerzos cortantes que aparecen en el fluido debido a variaciones de velocidad @v/@x. El coeficiente µB se llama coeficiente de viscosidad de volumen y representa una fuerza que se opone a la expansión o contracción. Aplicando el teorema de la divergencia, estas contribuciones se traducen en la incorporación en la j-esima ecuación de Euler de dos términos adicionales de densidad de fuerza interna debida a la viscosidad ⇣ ⌘ ⇣ @v ⌘ 2 Sej = p + µB µ div v ej + µ + grad vj , n @xj @p 2 @ div v @ div v j div Se = + µB µ +µ + div grad vj , @xj n @xj @xj luego el término de densidad de fuerzas internas es grad p + µB + n 2 n µ grad div v + µ v, 126 de donde obtenemos ⇢(x, t)[vt (x, t) + Dv v(x, t)] = f (x, t) + µB + n grad p(x, t) + µ v(x, t) 2 µ grad(div v(x, t)). n (10.7) Las ecuaciones (10.6) y (10.7) gobiernan la dinámica de los fluidos y reciben el nombre de ecuaciones de Navier-Stokes. En el caso de tener un fluido incompresible, es decir, con densidad constante ⇢(x, t) = ⇢, las ecuaciones de Navier-Stokes se simplifican notablemente div v(x, t) = 0, vt (x, t)+Dv v(x, t) = ⇢ 1 f (x, t) grad p(x, t) +⌫ v(x, t), donde ⌫ := µ/⇢ es la llamada viscosidad cinemática. Propagación del sonido Nuestros oı́dos detectan perturbaciones en la presión del aire debido a variaciones en la densidad. Estas perturbaciones pueden ser descritas por las ecuaciones de la dinámica de un gas. Para expresarlas debemos tener en cuenta algunas relaciones entre los campos de presión p, densidad ⇢ y velocidad v. Para simplificar el modelo, eliminemos el efecto de fuerzas externas como la fuerza gravitatoria. Si el gas en el que se propaga el sonido no está sometido a grandes presiones ni cambios de velocidad, podemos despreciar los efectos viscosos ⇢t (x, t) = div(⇢(x, t)v(x, t)), (10.8) 1 vt (x, t) + Dv v(x, t) = grad p(x, t). ⇢(x, t) La ley de Boyle–Mariotte afirma que la presión y la densidad de un gas son directamente proporcionales cuando el gas se encuentra en un estado termodinámico estable. La ecuación de estado pV = nRT, aplicada a volúmenes cada vez más pequeños en torno a un punto lleva a la ecuación n RT p(x, t) = RT lı́m = ⇢(x, t), V !0 V m 127 R representa la constante de los gases ideales, T la temperatura absoluta y m la masa molecular del gas. Suponiendo que todo el gas se encuentra a temperatura constante durante la transmisión de ondas sonoras, podemos escribir k = RT /m y formular la ley de Boyle-Mariotte en la forma p(x, t) = k⇢(x, t). (10.9) Suponer que el gas se encuentra en equilibrio termodinámico es una hipótesis incompatible con la existencia de ondas sonoras. El trabajo mecánico, correspondiente a variaciones de presión y de densidad, da lugar a cambios de la energı́a interna que se manifiestan en variaciones espaciales y temporales de la temperatura. La proporcionalidad entre la presión y la densidad es una aproximación que no proporciona, en general, una buena estimación de la velocidad de las ondas sonoras. Para tener en cuenta los efectos termodinámicos asociados a las ondas sonoras, se utilizan generalizaciones de la ley de Boyle–Mariotte p = k⇢, llamadas leyes de estado que establecen relaciones entre diversas magnitudes locales que se utilizan para describir el estado termodinámico de un sistema. En el siguiente modelo, se supone que puede establecerse una relación entre presión y densidad p = f (⇢), (10.10) obtenida al eliminar la temperatura entre diversas leyes de estado que ligan, presión, densidad, temperatura y entropı́a y bajo hipótesis adicionales que indican cómo se distribuye la energı́a interna del sistema. Podemos eliminar la presión en (10.8) usando (10.10) para obtener ⇢t (x, t) = div(⇢(x, t)v(x, t)), vt (x, t) + Dv v(x, t) = f 0 (⇢(x, t)) grad ⇢(x, t). ⇢(x, t) Como primera aproximación podemos despreciar los términos no lineales debidos a variaciones espaciales de la velocidad Dv v. Cuando las perturbaciones son pequeñas puede simplificarse el modelo todavı́a más, linealizando las ecuaciones resultantes ⇢t (x, t) = ⇢0 div(v(x, t)), vt (x, t) = 128 f 0 (⇢0 ) grad ⇢(x, t). ⇢0 (10.11) De (10.11) obtenemos ⇢tt = @ ( ⇢0 div v) = @t ⇢0 div vt = f 0 (⇢0 ) div grad ⇢ = f 0 (⇢0 ) ⇢, luego ⇢ verifica la ecuación de ondas ⇢tt = c2 ⇢, c= p f 0 (⇢0 ). sonoras en un fluido puede considerarse en primera aproximación como un fenómeno de este tipo. La ley de estado de un proceso adiabático se puede describir mediante la fórmula ⇣⇢⌘ p = p0 , ⇢0 donde es una constante, llamada exponente adiabático, que depende de ciertas condiciones termodinámicas del fluido. Para un gas ideal tenemos Las componentes de la velocidad verifican la ecuación diferencial @⇣ vtt = @t ⌘ f (⇢0 ) grad ⇢ = ⇢0 0 0 f (⇢0 ) grad ⇢t = f 0 (⇢0 ) grad div v. ⇢0 @vi ⌘ @xj Si no hay turbulencias, entonces @v/@x es una matriz simétrica (en tres variables esto se expresa mediante la ecuación rot v = 0) y tenemos grad div v = v. Linealizando la relación (10.10), p = f (⇢0 ) + f (⇢0 )(⇢ p p0 = k, ⇢0 Hemos deducido que que para pequeñas perturbaciones, el sonido detectado por el oı́do a través de las variaciones de presión del aire tiene aproximadamente las caracterı́sticas de un fenómeno ondulatorio. Para el aire en condiciones normales de presión p0 = 101325 Pa. y temperatura 293.15 K se tiene ⇢0 ⇡ 1.2041 Kg/m3 y ⇡ 7/5, lo que da lugar a la estimación de la velocidad del sonido c ⇡ 343 m/s. 11. Estudio de las ondas unidimensionales Se deduce que todas las componentes de la velocidad también verifican la ecuación de ondas p vtt = c2 v, c = f 0 (⇢0 ). 0 r donde k = RT /m es la constante que aparece en la formulación (10.9) de la ley de Boyle-Mariotte. Observemos que la componente i-esima de grad div v es n n n n X X @ X @vj @ 2 vj @ 2 vj @ X ⇣ @vj = = + @xi j=1 @xj @xi @xj @x2j @xi j=1 @xi j=1 j=1 c= ⇢0 ), deducimos que en el caso de pequeñas variaciones de densidad, la presión p también verifica la ecuación de ondas ptt = c2 p, con c = f 0 (⇢0 ). Queremos resolver la ecuación utt = c2 uxx , (11.1) donde c es una constante positiva. El problema de encontrar todas las soluciones de (11.1) definidas en R2 es un problema lineal. Definiendo L : C 2 (R2 ) ! C(R2 ) el operador diferencial lineal de segundo orden L[u](x) := utt (x, t) c2 uxx (x, t), u 2 C 2 (R2 ), (11.2) Un proceso adiabático (o isentrópico) describe la evolución termodinámica de sistemas en los que hay variaciones conjuntas de presión, densidad y temperatura que no corresponden a transferencia de calor, de modo que se puede despreciar la difusión de la energı́a calorı́fica y no se detecta un aumento significativo de la entropı́a del sistema. La propagación de ondas vemos que la ecuación lineal homogénea puede escribirse en la forma L[u] = 0 y, por tanto, el conjunto de soluciones u 2 C 2 (R2 ) de (11.1) es el espacio vectorial ker L. 129 130 Solución de D’Alembert En primer lugar, observemos que todas las soluciones u 2 C 2 (R2 ) de la ecuación del transporte ut + cux = 0, (11.3) también son soluciones de la ecuación de ondas. En efecto, derivando con respecto a t y con respecto a x en la ecuación anterior tenemos utt = cutx , utx = cuxx y, combinando ambas relaciones, vemos que utt = cutx = c2 uxx . Teniendo en cuenta que las soluciones de clase C 2 (R2 ) de la ecuación (11.3) son de la forma u(x, t) = f (x ct), f 2 C 2 (R), (11.4) deducimos que (11.4) proporciona un conjunto de soluciones de (11.1). cux = 0. Demostración. Sea v := ut cux , entonces la ecuación (11.1) da lugar al sistema de ecuaciones de primer orden vt + cvx = 0, c (11.5) v(x, t) = v(x0 , t0 ), ut (x, t) ct0 . (x, t) 2 R2 , ct), cux (x, t) = h(x 2cf 0 (x ct), g 2 C 2 (R), (11.6) ct) = h(x de donde se deduce que h(x) = función luego (11.6) también proporciona un conjunto de soluciones de (11.1). Teniendo en cuenta que el conjunto de soluciones ker L es un espacio vectorial, vemos que la fórmula f, g 2 C 2 (R), (11.7) proporciona un conjunto de soluciones de la ecuación de clase C 2 (R2 ). El siguiente resultado demuestra que (11.7) es la solución general de la ecuación (11.1). 131 ct = x0 donde h 2 C 1 (R). Sustituyendo la solución de vt +cvx en la segunda ecuación, deducimos que para toda solución de la ecuación de ondas utt = c2 uxx de clase C 2 , existe alguna función h tal que Las soluciones de clase u 2 C 2 (R2 ) de la ecuación (11.5) son de la forma ct) + g(x + ct), x (x, t) 2 R2 . (11.8) Busquemos una solución particular de la ecuación (11.8) de la forma f (x ct), f 2 C 1 (R). Derivando obtenemos utt = cutx = c2 uxx . u(x, t) = f (x cux = v. Se deduce que Vemos que toda solución C 2 (R2 ) de la ecuación (11.5) verifica las relaciones utt = cutx , utx = cuxx , de donde se deduce u(x, t) = g(x + ct), ut La primera ecuación es una ecuación del transporte homogénea y por tanto, la solución permanece constante a lo largo de las lı́neas caracterı́sticas x = x0 + c(t t0 ), es decir v(x, t) = h(x Consideremos ahora la ecuación del transporte con velocidad opuesta ut Teorema 11.1 (Solución de d’Alembert). Sea u 2 C 2 (R2 ) tal que utt = c2 uxx con c > 0. Entonces existen f, g 2 C 2 (R) tales que u(x, t) = f (x ct) + g(x + ct) para todo (x, t) 2 R2 . Tomando f (x) = ct), (x, t) 2 R2 2cf 0 (x), es decir, f es una primitiva de la 1 h. 2c 1 2c Z x h(y)dy, 0 obtenemos una solución particular de la forma f (x ct) de (11.8). Por tanto, vemos que existe una función f 2 C 2 (R) tal que la función w(x, t) = u(x, t) f (x ct) es una solución de clase C 2 de la ecuación del transporte homogénea wt cwx = 0. 132 De nuevo la función w debe ser constante a lo largo de las lı́neas caracterı́sticas x = x0 c(t t0 ), lo que conduce a la relación 2 2 f(x-t) g(x+t) u(x) 1.5 w(x, t) = w(x0 , t0 ), x + ct = x0 + ct0 . 2 Por tanto, existe g 2 C (R) tal que w(x, t) = g(x + ct), de donde se obtiene u(x, t) = f (x ct) + g(x + ct), (x, t) 2 R2 , para ciertas funciones f, g 2 C 2 (R). 1 1 0.5 0.5 0 0 -0.5 -0.5 -1 Observación 11.2. El resultado anterior es válido para cualquier dominio D ✓ R2 tal que, si (x0 , t0 ), (x1 , t1 ) 2 D son puntos del dominio tales que |x1 x0 | = c|t1 t0 |, t1 6= t0 , entonces el segmento que une ambos puntos del dominio está contenido en D. En particular, si D es un conjunto convexo puede afirmarse que toda solución de la ecuación de ondas puede representarse en la forma (11.7). Esto garantiza además que cualquier solución de la ecuación de ondas en un abierto arbitrario puede expresarse localmente en la forma (11.7), ya que todo punto interior siempre admite un entorno convexo. f(x-t) g(x+t) u(x) 1.5 -3 -2 -1 0 1 2 2 -1 3 -3 -2 -1 0 1 2 f(x-t) g(x+t) u(x) 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 0 -0.5 -0.5 2 3 f(x-t) g(x+t) u(x) Descomposición de una onda Del Teorema 11.1, se deduce que toda solución de la ecuación de ondas (11.7) puede interpretarse como suma de dos pulsos viajeros u(x, t) = u+ (x, t) + u (x, t), u (x, t) = g(x + ct). (11.8) El primero u+ (x, t) = f (x ct) es una perturbación que se propaga con velocidad c hacia la derecha y el segundo u (x, t) = g(x + ct) es una perturbación que se propaga con velocidad c hacia la izquierda. Observemos que la descomposición anterior no es única, ya que tomando u+ (x, t) = f (x u+ (x, t) = f (x ct) + a, -1 -3 -2 -1 0 1 2 -1 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 Figura 18. Dos impulsos viajan en direcciones opuestas ct), u (x, t) = g(x + ct) a, con a una constante arbitraria también tenemos u = u+ + u , siendo u+ solución de (11.3) y u solución de (11.5). donde ⇢ es la densidad de masa y T (x, t) la componente del esfuerzo de tensión en la dirección transversal en el punto x y en el instante t. Si la única fuerza sobre cada punto de la cuerda se debe a la tensión podemos escribir T (x, t) = T0 ux (x, t), (11.10) s (11.11) y definiendo c := T0 , ⇢ Para interpretar fı́sicamente la ecuación de ondas, tomaremos como modelo la cuerda vibrante, en la que la segunda ley de Newton puede escribirse en la forma @T ⇢utt (x, t) = (x, t), (11.9) @x se deduce que el desplazamiento transversal u(x, t) en una cuerda vibrante verifica la ecuación de ondas (11.1). 133 134 Según el principio de acción y reacción las tensiones en los puntos interiores de un segmento de cuerda dan lugar a un conjunto de fuerzas internas cuya resultante es nula. La fuerza transversal total que actúa sobre un trozo de segmento se obtiene integrando la densidad de fuerza en la dirección transversal @T (x, t) = T0 uxx (x, t), (11.12) @x sobre el volumen de cuerda en el que actúa Z x1 Z x1 @T S (x, t)dx = T0 S uxx (x, t)dx = T0 S(ux (x1 , t) ux (x0 , t)) x0 @x x0 = S(T (x1 , t) T (x0 , t)), siendo S el área de la sección de la cuerda. La fórmula anterior confirma el hecho de que las únicas fuerzas netas que actúan sobre un segmento de cuerda son las tensiones que ejerce el resto de la cuerda en ambos extremos. Sea v(x, t) := ut (x, t) la velocidad transversal de los puntos de la cuerda. Veamos que la velocidad puede descomponerse de forma única como suma de dos velocidades que corresponden a cada uno de los impulsos viajeros. Sean @u+ v+ (x, t) = (x, t), @t @u @u+ @u (x, t) = (x, t) + (x, t) = v+ (x, t) + v (x, t), @t @t @t @u+ c (x, t), @x @u @u v (x, t) = (x, t) = c (x, t) @t @x v (x, t) = cux (x, t), Combinando (11.13) y (11.14), se deduce que v+ y v rectamente de la solución de la ecuación de ondas cux (x, t) , 2 ut (x, t) + cux (x, t) v (x, t) = . 2 v+ (x, t) = ut (x, t) 135 1 (ut (x, t) 2c (11.14) pueden obtenerse di- g 0 (x + ct) = cux (x, t)), 1 (ut (x, t) + cux (x, t)) 2c y, tomando t = 0, podemos determinar f 0 y g 0 en terminos de los valores iniciales f 0 (x) = 1 (ut (x, 0) c g 0 (x) = cux (x, 0)), 1 (ut (x, 0) + cux (x, 0)). c Esto demuestra que las funciones f y g están determinadas salvo una constante. La fórmula (11.14) muestra que el esfuerzo tensil es proporcional a la diferencia de las velocidades transversales correspondientes a ambos pulsos T0 (v+ (x, t) c v (x, t)). Definiendo la impedancia de la cuerda Z := podemos escribir De donde se deduce que v+ (x, t) ct) = (11.13) Como u+ y u son soluciones de las ecuaciones (11.3) y (11.5) respectivamente, tenemos @u+ v+ (x, t) = (x, t) = @t f 0 (x T (x, t) = T0 ux (x, t) = @u v (x, t) = (x, t) @t siendo u+ , u funciones correspondientes a una descomposición (11.8). Entonces tenemos v(x, t) = La fórmula anterior puede expresarse en términos de las funciones f y g de la fórmula (11.8) T (x, t) = p T0 ⇢ = T0 = c⇢, c Z(v+ (x, t) (11.15) v (x, t)). (11.16) La fórmula (11.16) puede interpretarse de la siguiente manera: el esfuerzo de tensión transmite a ambos lados de la cuerda dos impulsos que viajan en direcciones opuestas. Además la diferencia de velocidades transversales de ambos impulsos es proporcional al valor de la componente transversal de la tensión en ese punto. La constante de proporcionalidad Z depende de la densidad de la cuerda ⇢ y del estado de tensión de la cuerda T0 . La fórmula (11.16) permite expresar la descomposición de velocidades en términos de la impedancia y de la fuerza de tensión cux (x, t) 1 = (v(x, t) Z 2 2 ut (x, t) + cux (x, t) 1 v (x, t) = = (v(x, t) + Z 2 2 v+ (x, t) = ut (x, t) 136 1 T (x, t)), 1 T (x, t)). Una magnitud fı́sica relevante es el momento lineal. El momento lineal de un segmento de cuerda correspondiente a un intervalo I = [x0 , x1 ] es P[x0 ,x1 ] (t) = S Z x!x0 Recordemos que la energı́a cinética de una partı́cula es x1 K= ⇢ut (x, t)dx. x0 Definimos la densidad de momento como p(x, t) := lı́m Energı́a de una onda P[x0 ,x] (t) = ⇢ut (x, t) = ⇢v(x, t). S(x x0 ) (11.17) Observemos que la densidad de momento tiene una descomposición similar a la de la velocidad Para un segmento de cuerda I = [x0 , x1 ] la contribución a la energı́a cinética es Z x1 Z ⇢ S⇢ x1 K[x0 ,x1 ] (t) = S v(x, t)2 dx = ut (x, t)2 dx. 2 2 x0 x0 La energı́a potencial puede definirse como el trabajo que hay que realizar para llevar la cuerda desde la posición actual (x) a la posición de equilibrio 0 W !0 = W0! . Obtendremos la energı́a potencial correspondiente a un segmento de cuerda I = [x0 , x1 ]. Para calcularla hay que elegir un camino de funciones p(x, t) = p+ (x, t) + p (x, t), con p+ (x, t) p (x, t) = ⇢(v+ (x, t) = v (x, t)) = ⇢cux (x, t) = ⇢ T (x, t). Z ⇢c T (x, t) T0 T (x, t) = T+ (x, t) + T (x, t) T+ (x, t) ⇣ @u (x, t) @u (x, t) ⌘ + @x @x T0 (v+ (x, t) + v (x, t)) = c de modo que 0 = 0, 1 s Z v(x, t). ⇢ 2 C 2 (I), = . Una elección particular del camino es = s (x), x 2 [x0 , x1 ], s 2 [0, 1]. Se supone que desplazamos la cuerda lenta y progresivamente (el parámetro s es independiente del tiempo) para que las velocidades y aceleraciones no afecten al cálculo del trabajo). Consideremos un desplazamiento suficientemente pequeño s ! s+ s en un pequeño trozo de cuerda [x, x + x], entonces el trabajo de las fuerzas para llevar la cuerda desde s hasta la posición s+ s será aproximadamente W = F̄ T (x, t) = T0 = s 2 [0, 1] ! s (x) Análogamente, la componente transversal del esfuerzo tensil admite una descomposición con 1 mv 2 . 2 ¯(s) donde F̄ es la fuerza media que actúa sobre el segmento y ¯(s) es el desplazamiento medio. Supondremos que la fuerza sólo depende de la posición actual y del punto en el que se aplica. Integrando las contribuciones del trabajo en todos los trozos de cuerda y sobre el desplazamiento, obtenemos la expresión del trabajo Z 1 Z x1 @ s W0! := S f [ s ](x) (x)dxds, @s 0 x0 137 138 donde f [ s ](x) es la densidad de la fuerza en el punto x cuando la cuerda adopta la posición s y S es la sección de la cuerda. Esto permite dar una fórmula simple del trabajo Si la fuerza depende linealmente de la posición entonces el trabajo realizado para llevar la cuerda desde la posición de equilibrio a otra posición es la mitad del valor medio del producto de la fuerza en la posición de llegada por el desplazamiento. En efecto, como la fuerza no depende del camino elegido, podemos utilizar s = s , s 2 [0, 1], para calcular la energı́a potencial. Entonces podemos escribir escribir Z 1 Z x1 Z S x1 W0! = S sf [ ](x) (x)dxds = f [ ](x) (x)dx. 2 x0 0 x0 W0! = ST0 Z 1 0 @ s @ s (x1 ) (x1 )ds ST0 @x @s En el caso de la cuerda vibrante la densidad de fuerza debida a la tensión @2 f [ ](x) = T0 2 (x), @x luego W0! = ST0 Z 1 0 Z x1 x0 @2 s @ s (x) (x)dxds, @x2 @s Aunque esta integral depende del camino elegido, obtenemos integrando por partes Z 1 Z 1 Z x1 x1 @ s @ s @ s @2 s W0! = ST0 (x) (x)ds ST0 (x) (x)dxds. @s @x @s@x x0 0 @x 0 x0 La integral del segundo término del segundo miembro no depende del camino Z 1 Z x1 Z Z @ s @2 s 1 x 1 1 @ ⇣ @ s ⌘2 (x)dxds = (x)dsdx @x @s@x 2 x0 0 @s @x 0 x0 Z ⌘2 1 x1 ⇣ @ = (x) dx. 2 x0 @x Definimos la energı́a potencial como U[x0 ,x1 ] [ ] := S T0 2 Z 139 x1 x0 ⇣@ @x (x) ⌘2 dx 1 0 @ s @ s (x0 ) (x0 )ds U[x0 ,x1 ] [ ] @x @s El término ST0 Z 1 0 @ s @ s (x1 ) (x1 )ds @x @s ST0 Z 1 @ s @ s (x0 ) (x0 )ds @x @s 0 corresponde al trabajo realizado por las fuerzas de tensión Si el trabajo es independiente del camino elegido, se puede definir una energı́a potencial. es Z ST0 @ s (x1 ) , @x ST0 @ s (x0 ) , @x en cada uno de los extremos de la cuerda. Este trabajo será nulo si, por ejemplo, los extremos de la cuerda se mantienen fijos en la posición de equilibrio. La energı́a total de una cuerda vibrante en el segmento [x0 , x1 ] es la suma de las energı́as cinética y potencial E[x0 ,x1 ] (t) = S⇢ 2 Z x1 ut (x, t)2 dx + x0 ST0 2 Z x1 ux (x, t)2 dx. (11.18) x0 La energı́a total puede considerarse como una integral a lo largo del dominio de la densidad de energı́a, e(x, t) = lı́m x!x0 E[x0 ,x] (t) ⇢ = (ut (x, t)2 + c2 ux (x, t)2 ). S(x x0 ) 2 (11.19) Veamos que la energı́a total de una onda permanece constante si las fuerzas de tensión en los extremos no realizan trabajo. Derivando respecto a t tenemos Z d S⇢ d x1 E[x0 ,x1 ] (t) = (ut (x, t)2 + c2 ux (x, t)2 )dx dt 2 dt x0 Z x1 = S⇢ (ut (x, t)utt (x, t) + c2 ux (x, t)uxt (x, t))dx, x0 140 teniendo en cuenta que utt = c2 uxx , la integral se puede expresar en la forma Z x1 d E[x0 ,x1 ] (t) = S⇢c2 (ut (x, t)uxx (x, t) + ux (x, t)uxt (x, t))dx dt x0 Z x1 @ = ST0 (ut (x, t)ux (x, t))dx @x x0 = ST0 (ut (x1 , t)ux (x1 , t) ut (x0 , t)ux (x0 , t)), ut (x0 , t)ux (x0 , t)) = F (x1 , t)v(x1 , t) F (x0 , t)v(x0 , t) es la potencia transmitida en los extremos de la cuerda. Si en los extremos de la cuerda no se transmite potencia (por ejemplo, si están fijos o si la pendiente en los extremos de la cuerda se mantiene nula) entonces se conserva la energı́a total de la cuerda vibrante. Observemos que si integramos la potencia transmitida por los extremos de la cuerda, obtendremos el trabajo realizado por la fuerzas de tensión en los extremos x0 , x1 W = ST0 Z t1 (ut (x1 , t)ux (x1 , t) también verifican la misma ecuación. Las magnitudes fı́sicas asociadas que se transmiten de acuerdo con la ecuación (11.1) vienen dadas por parejas. Teniendo en cuenta que p(x, t) = ⇢ut (x, t) y que T (x, t) = T0 ux (x, t), podemos deducir que pt (x, t) = ⇢utt (x, t) = ⇢c2 uxx (x, t) = T0 uxx (x, t) = Tx (x, t), Tt (x, t) = T0 uxt (x, t) = ⇢c2 uxt (x, t) = c2 px (x, t). de donde se deduce que el esfuerzo de tensión y el momento también verifican la ecuación de ondas. De la misma manera, las funciones cuadráticas densidad de energı́a e intensidad verifican ut (x0 , t)ux (x0 , t))dt. t0 La potencia transmitida en un punto P (x, t) = ST0 ut (x, t)ux (x, t) = ST (x, t)ut (x, t) Sabemos que el desplazamiento verifica la ecuación de ondas (11.1). También la fuerza y el momento varı́an con el espacio y el tiempo y constituyen fenómenos ondulatorios. En efecto, derivando la ecuación (11.1) respecto las variables x, t, deducimos que @ i+j u (x, t) @xi @tj La expresión ST0 (ut (x1 , t)ux (x1 , t) Fenómenos ondulatorios asociados (11.20) admite la interpretación fı́sica siguiente: si dividiéramos la cuerda en dos partes, serı́a necesario suministrar potencia en ese extremo para que cada parte de la cuerda se comporte como si no se hubiera roto. El trabajo realizado sobre cada trozo es el mismo y de signo contrario. et = ⇢(ut utt + c2 ux uxt ) = ⇢c2 (ut uxx + ux uxt ) = T0 (ut uxx + ux uxt ) = Ix , It = T0 (utt ux + ut utx ) = ⇢c2 (ut uxt + c2 ux uxx ) = c2 ex . Se deduce que la propagación de una onda lleva asociada la propagación de fuerzas, momentos, energı́as y potencias. Una magnitud relacionada con la potencia transmitida es la intensidad de una onda. Se define la intensidad de una onda I(x, t) como el cociente entre la potencia de la onda entre el área sobre la que actúa I(x, t) = P (x, t) = T0 ux (x, t)ut (x, t) = T (x, t)ut (x, t). S De la definición se deduce que la intensidad tiene dimensiones de esfuerzo por velocidad. 141 142 12. El problema de valor inicial para la ecuación de ondas En la mayoria de los problemas procedentes de la fı́sica, la ecuación de ondas tiene sentido sólo en un dominio acotado y es necesario proporcionar condiciones de contorno para obtener soluciones razonables. Eliminaremos las condiciones de contorno, resolviendo un problema de valor inicial en toda la recta real. La considereación de una onda en un dominio ilimitado es una idealización válida para estudiar ondas durante intervalos de tiempo suficientemente breves, siempre que analicemos el comportamiento de la solución en puntos suficientemente alejados de la frontera y, para ello, el dominio debe ser suficientemente extenso. Si queremos estudiar el comportamiento global, especialmente cerca de la frontera o tener encuenta periodos de tiempo largos, es necesario anallizar problemas de contorno, que se abordarán en la sección siguiente. Es bien conocido que la posición y la velocidad inicial de una partı́cula sujeta a la acción de un campo de fuerzas determinan el movimiento de dicha partı́cula. Es posible describir una propiedad análoga para los fenómenos ondulatorios, estudiando cómo condiciones de posición y velocidad inicial, determinan la evolución de una onda. Un problema de Cauchy (o problema de valor inicial) para la ecuación de ondas en la recta es utt (x, t) = c2 uxx (x, t), u(x, 0) = (x), ut (x, 0) = (x), 2 C 2 (R), (12.1) 2 C 1 (R). c( f 0 (x) + g 0 (x)) = ut (x, 0) = (x), f (x) + g(x) = u(x, 0) = (x), es decir f, g son soluciones del sistema de ecuaciones f 0 + g0 = . f +g = , Como f y g son de clase C 2 , las funciones y deben ser necesariamente de clase C 1 . Las funciones f y g no están unı́vocamente determinadas pero sı́ sus derivadas. Derivando la primera relación tenemos f 0 + g0 = 0 f0 + g = c , 1 , de donde se obtienen las derivadas f 0 y g 0 f0 = 1 ( 2 0 c 1 ), g0 = 1 ( 2 0 +c 1 ). Si integramos ambas ecuaciones entre 0 y x obtenemos Z x 1 1 f (x) f (0) = ( (x) (0)) (y)dy, 2 2c 0 Z x 1 1 g(x) g(0) = ( (x) (0)) + (y)dy 2 2c 0 Luego El problema de valor inicial (12.1) fue introducido por Euler para el estudio de la ecuación de ondas y discutió la validez de la solución para condiciones iniciales , con menores condiciones de suavidad. Teorema 12.1 (Fórmula de d’Alembert). El problema de valor inicial (12.1) tiene una única solución que viene dada por la fórmula Z x+ct 1 1 u(x, t) = (x + ct) + (x ct) + (y)dy. (12.2) 2 2c x ct 2 Demostración. Por el Teorema 11.1, existen funciones f, g 2 C (R) tales que u(x, t) = f (x ct) + g(x + ct). 143 Imponiendo las condiciones iniciales tenemos f (x 1 ct) = f (0) + ( (x 2 ct) 1 g(x + ct) = g(0) + ( (x + ct) 2 (0)) + (0)) + 1 2c 1 2c Z Z 0 (y)dy, x ct x+ct (y)dy, 0 y sumando ambas ecuaciones tenemos u(x, t) = f (0) + g(0) (0) + 1 2 (x + ct) + (x ct) + 1 2c Z x+ct (y)dy, x ct y teniendo en cuenta que f (0) + g(0) = u(0, 0) = (0), se deduce (12.2). 144 Ejemplo 12.2. Taylor dedujo las ecuaciones de la oscilación de una cuerda e impuso la condición de que la posición inicial de la cuerda era la posición de equilibrio y que todos los puntos de la cuerda regresan simultáneamente al eje de abscisas. Deduzcamos cómo deben ser las soluciones del problema de Taylor. Con la primera condición tenemos u(x, 0) = (x) = 0, 8x 2 R, luego la solución es de la forma u(x, t) = Z Z (x) = an cos(kn x), la solución adopta la forma u(x, t) = an !n 1 cos(kn x) sen(!n t). También son soluciones del problema de Taylor cualquier combinación lineal de las soluciones anteriores N X x+ct (y)dy. x ct n=1 La segunda condición implica que u(x, T ) = que es la solución obtenida por Taylor. Si partimos de una condición incial x+cT (y)dy = 0, x cT 8x 2 R cT ) = (x + cT ), n⇡t ⇣ n⇡x n⇡x ⌘ An cos + Bn sen . T cT cT Bernoulli prestó atención a las soluciones trigonométricas de la ecuación de ondas obteniendo además de las soluciones de Taylor A cos(kx) sen(!t), B sen(kx) sen(!t), con ! = kc, otras soluciones de carácter trigonométrico. Tomando condiciones iniciales (x) = B sen(kx), Derivando con respecto a x obtenemos (x sen x 2 R, obtenemos u(x, t) = B sen(kx) cos(!t), de donde se deduce que es una función periódica de periodo 2cT tal que la integral de sobre todo intervalo de longitud 2cT es nula. Y si tomamos Un tipo simple de función periódica de periodo 2cT con integral nula en segmentos de longitud 2cT son las funciones trigonométricas de periodo 2cT del tipo n⇡ kn = n (x) = bn sen(kn x), cT obtenemos con n un cierto número entero positivo. Si aplicamos la fórmula (12.2) obtenemos (x) = 0, (x) = A cos(kx), ! = kc. (x) = 0, u(x, t) = a cos(kx) cos(!t), ! = kc. Ejemplo 12.3 (la cuerda pulsada). Con dos dedos de una mano se mantiene fija la cuerda, con la otra mano se tensa la cuerda y después soltamos. Se trata de averiguar la forma de las ondas. (0,b) bn u(x, t) = (cos(kn (x 2kn c ct)) sen(kn ct) cos(kn (x + ct))) = bn sen(kn x) , kn c y llamando !n := kn c = n⇡/T tenemos 1 (-a,0) (a,0) u(x, t) = bn !n sen(kn x) sen(!n t), Figura 19. La cuerda pulsada 145 146 La forma del pulso inicial es Finalmente cuando ct (x) = bN (x/a), donde N es la llamada función sombrero N (x) = máx(0, 1 |x|) = n 1 0 |x| Teniendo en cuenta que la velocidad inicial es a tenemos 8 0, > > > b > (1 + x+ct > a ), > > 2b > < 2 (1 x+ct a ), u(x, t) = 0, > > b(1 + x act ), > > > b > > (1 x act ), > :2 0, si |x| 1, en otro caso. (x) = 0, se deduce de (12.2) si si si si si si si x ct a, ct a x ct, ct x ct + a, ct + a x ct a, ct a x ct, ct x ct + a, x ct + a. La Figura 20 muestra la propagación de la pulsación. u(x, t) = 1 ( (x 2 ct) + (x + ct)) = b N ((x 2 ct)/a) + N ((x + ct)/a) . Observemos que para cada t fijo u(·, t) es una función que está soportada en el conjunto x 2 [ct a, ct + a] [ [ ct a, ct + a]. La expresión varı́a dependiendo de la posición relativa de los puntos ct + a, ct a y ct en la recta. Por ejemplo si 0 ct a/2, tenemos 8 0, > > b (1 + x+ct ), > > 2 a > > x > < b(1 + a ), ct u(x, t) = b(1 a ), > > b(1 xa ), > > > b x ct > > : 2 (1 a ), 0, si si si si si si si x ct a, ct a x ct a, ct a x ct, ct x ct, ct x ct + a, ct + a x ct + a, x ct + a. Ejemplo 12.4 (el golpe de martillo). En el piano, un martillo proporciona un impulso instantáneo a una cuerda inicialmente en la posición de equilibrio (x) = 0. ct, Figura 21. Un golpe de martillo Como primera aproximación podemos suponer que impulso proporcionado se distribuye uniformemente en el intervalo [ a, a] (x) = 1[ En el caso en que a/2 ct a tenemos 8 0, > > > b > (1 + x+ct > a ), > > 2b > < 2 (1 x+ct a ), ), u(x, t) = b(1 ct a > > b(1 + x act ), > > > b > > (1 x act ), > :2 0, si si si si si si si 147 x ct a, ct a x ct, ct x ct a, ct a x ct + a, ct + a x ct, ct x ct + a, x ct + a. ⇢ 1, 0, a,a] (y)dy = a,a] (x) = si |x| a, en otro caso. La solución es este caso es u(x, t) = 1 2c Z x+ct 1[ x ct 1 2c Z dy, [ a,a]\[x ct,x+ct] Luego u(x, t) = 1 m([ a, a] \ [x 2c 148 ct, x + ct]), t=0.00 2 2 f(x-t) f(x+t) u(x) 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 f(x-t) f(x+t) u(x) t=0.50 u(x) 2 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 0 -3 -2 -1 0 1 2 0 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 u(x) 2 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 t=1.00 2 2 f(x-t) f(x+t) u(x) 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 f(x-t) f(x+t) u(x) -3 -2 -1 0 1 2 0 3 -3 -2 -1 0 1 2 2 f(x-t) f(x+t) u(x) 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 f(x-t) f(x+t) u(x) 1.5 1 1 0.5 0.5 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 -3 -2 -1 0 1 2 0 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 Figura 20. Propagación de una pulsación 1 2 3 u(x) 2 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 Figura 22. Extensión del efecto de un impulso donde m denota la medida de Lebesgue (longitud) de un subconjunto medible de R. 149 0 t=2.50 u(x) 2 0 0 3 u(x) t=2.00 2 2 2 1.5 3 1 t=1.50 u(x) 2 0 0 0 150 1 2 3 Si 0 ct a, tenemos 8 0, > > > < x + ct + a, u(x, t) = 2ct, > > > : x + ct + a, 0, y, si ct respectivamente. Entonces tenemos Sean u := u2 a, entonces 8 0, > > > < x + ct + a, u(x, t) = 2a, > > > : x + ct + a, 0, si x ct a, si ct a x ct + a, si ct + a x ct a, si ct a x ct + a, si x ct + a. u1 , La fórmula de D’Alembert proporciona una dependencia explı́cita de las condiciones iniciales. Un examen rápido permite deducir que la ecuación de ondas es un problema bien planteado, ya que ligeras modificaciones en las condiciones iniciales dan lugar a pequeñas modificaciones de la solución. := 2 2 utt = c uxx , 1 y := 1, 2 u(x, 0) = (x), entonces tenemos ut (x, 0) = (x). Aplicando el Teorema 12.1, debe verificarse la fórmula de d’Alembert (12.2), que se traduce en los siguientes términos 1 2 (x + ct) 2 Z x+ct 1 + ( 2 (y) 2c x ct u2 (x, t) u1 (x, t) = Observamos que el impulso inicial crece hasta tomar un tamaño y se expande en ambas direcciones. Dependencia de las condiciones iniciales La posibilidad de hacer experimentos y deducir conclusiones sobre ellos depende de que se puedan realizar y repetir. Para ello, hace falta que ante una serie de condiciones se produzca un fenómeno (existencia), que ese fenómeno sólo dependa de una serie de variables reproducibles en laboratorio (unicidad) y que podamos repetirlos. Como es práctiamente imposible reunir condiciones idénticas, la posibilidad de repetir experimentos implica que bajo condiciones similares se obtengan resultados similares (continuidad respecto a los datos). Informalmente podemos decir que un problema bien planteado consiste en una ecuación (en derivadas parciales) junto con una serie de condiciones auxiliares (iniciales o de contorno) de manera que tengamos existencia de solución, unicidad y estabilidad. La estabilidad quiere decir que la única solución debe depender de modo continuo y estable de los datos del problema. Si los datos cambian poco, la solución también lo hará. 2 @ 2 u2 (x, t) 2 @ u2 (x, t) = c , @t2 @x2 u2 (x, 0) = 2 (x), @u2 (x, 0) = 2 (x). @t 2 @ 2 u1 (x, t) 2 @ u1 (x, t) = c , @t2 @x2 u1 (x, 0) = 1 (x), @u1 (x, 0) = 1 (x), @t si x ct a, si ct a x ct a, si ct a x ct + a, si ct + a x ct + a, si x ct + a. 1 (x + ct) + 2 (x ct) 1 (x ct) 1 (y))dy. Observamos que si 1 = 2 y 1 = 2 entonces u2 u1 = u = 0, lo que puede interpretarse como un resultado de unicidad de solución. 2 Analicemos la estabilidad de la solución del problema. Si las diferencias 1 y 2 1 son funciones acotadas, tenemos |u2 (x, t) u1 (x, t)| k 1 k1 2 +k 2 1 k1 |t|, donde k 2 1 k1 := sup | y2R 2 (y) 1 (y)|, k 1 k1 2 := sup | y2R 2 (y) 1 (y)|. Por tanto sup (x,t)2R⇥[ T,T ] |u2 (x, t) u1 (x, t)| k 2 1 k1 +k 2 1 k1 T. Analicemos esta cuestión con más detalle. Sean u1 , u2 soluciones de la ecuación de ondas correspondientes a condiciones iniciales 1 , 1 y 2 , 2 Si 2 y 2 convergen uniformemente a 1 y 1 , respectivamente, entonces la solución u2 (x, t) converge a la solución u1 (x, t), uniformemente sobre toda banda R ⇥ [ T, T ]. Luego la solución de la ecuación de ondas depende, en cierto sentido, continuamente de las condiciones iniciales y el problema de valor inicial para la ecuación de ondas en toda la recta es un problema bien planteado. 151 152 (x0-ct,t) Causalidad En los ejemplos anteriores hemos visto que el efecto de la posición inicial es un par de ondas gemelas cuya amplitud es la mitad de la inicial y que viajan cada una en direcciones opuestas y con velocidad c. El efecto de la velocidad inicial es el de una perturbación que se extiende con velocidad c en ambas direcciones. Estos ejemplos parecen indicar que ninguna parte de la onda “viaja” a velocidad mayor que c. Para ilustrar la influencia de las condiciones iniciales y su velocidad de propagación, consideremos perturbaciones de soporte compacto. Supongamos que modificamos la condición inicial sólo en un compacto K 6= ; y veamos dónde se modifica la solución. Sea U := R \ K el complementario de dicho compacto, que es un conjunto abierto en el que y son nulas. Si [x ct, x + ct] ⇢ U entonces (x + ct) = (x ct) = Z x+ct (y)dy = 0. 8(x, t) 2 R ⇥ [0, +1), [x ct, x + ct] ⇢ R \ K, Es decir, o bien u(x, t) = 0 o bien existe x0 2 K tal que |x donde se deduce que supp u(·, t) ✓ luego [ x0 2K supp u \ (R ⇥ [0, +1)) ✓ [ [x0 x0 2K ct, x0 + ct], {(x, t) | |x C (x0 ,0) Figura 23. Dominio de influencia llegar a modificar el valor de la solución en los puntos del conjunto {(x, t) | |x x0 | ct, t 0}. Definamos el cono de influencia C(x0 ,0) := {(x, t) | |x x0 | ct, t 0}, entonces la fórmula x ct De la fórmula de D’Alembert (12.2), se deduce que u(x, t) = 0. Luego podemos afirmar que u(x, t) = 0, (x0+ct,t) t t 0. x0 | ct, de 0. x0 | ct, supp u \ (R ⇥ [0, +1)) ✓ 0}. Por tanto si las condiciones iniciales de una ecuación de ondas tienen soporte compacto, entonces para cada t 0, supp u(·, t) es un conjunto compacto. En particular, si , son nulas para |x| > R, entonces u(x, t) es nula en |x| > R + ct. C(x0 ,0) x0 2supp [supp indica que el valor de la solución de un problema de valor inicial en un punto (x, t) 2 C(x0 ,0) depende de las condiciones iniciales en el punto (x0 , 0). El cono de influencia, puede definirse para condiciones iniciales dadas en cualquier instante t0 , C(x0 ,t0 ) := {(x, t) | |x t [ x0 | c(t t0 ), t t0 } y puede interpretarse como el conjunto de sucesos futuros que pueden alcanzarse desde (x0 , t0 ) con una velocidad menor o igual que c. La historia anterior puede llegar a influir sobre un suceso. Definimos el cono de dependencia D(x0 ,t0 ) := {(x, t) | |x x0 | c(t0 t), t t0 }. Si tomamos compactos K cada vez más pequeños que contengan a un punto x0 , deducimos que toda perturbación “concentrada” en un punto puede El cono de dependencia D(x0 ,t0 ) está formado por aquellos puntos (x, t) tales que su cono de influencia C(x,t) contiene al punto (x0 , t0 ). Por tanto, el cono 153 154 (x0 ,t0 ) Si derivamos en (12.2), obtenemos (x0-ct0,0) (x0+ct0,0) Figura 24. Dominio de dependencia de influencia es el conjunto de sucesos pasados desde los que se puede llegar al suceso (x0 , t0 ) viajando con una velocidad menor o igual que c. Si un suceso anterior no tiene influencia, no puede considerarse como parte de la historia de un fenómeno. Si un suceso posterior no se encuentra en el dominio de dependencia, tampoco puede considerarse causado por él. Una de las consecuencias de la Teorı́a de la Relatividad Especial es que ninguna señal puede transmitirse a una velocidad superior a la de las ondas luminosas. Sólo los sucesos en el cono de influencia (resp., de dependencia) de un suceso pueden considerarse propiamente sucesos futuros (resp., pasados). Aquellos sucesos fuera del cono de dependencia y del de influencia de las ondas luminosas de un suceso dado pueden considerarse simultáneos, ya que puede encontrarse un cambio de variables (transformación de Lorentz) que preserve la ecuación de las ondas luminosas de modo que los sucesos compartan la misma coordenada temporal. Método de la energı́a y unicidad de solución Vamos a utilizar la energı́a asociada a una onda para demostrar la unicidad de solución. Por ello, limitaremos nuestro estudio al conjunto de soluciones cuya integral de la energı́a E[u](t) := 1 2 Z +1 (ut (x, t)2 + c2 ux (x, t)2 )dx 1 es finita para cada valor de t 2 R, lo que equivale a afirmar que las funciones ut (·, t), ux (·, t) 2 L2 (R), para todo t 2 R. Con este objetivo, definimos el espacio Observemos que para que la solución del PVI (12.1) tenga energı́a finita es necesario que 0 (x) y (x) sean funciones de C 1 (R) \ L2 (R). Esta condición es también suficiente para que la solución dada por la fórmula de d’Alembert (12.2) se encuentre en el espacio de soluciones con energı́a finita. 155 c 0 ( (x + ct) 2 1 ux (x, t) = ( 0 (x + ct) + 2 ut (x, t) = D 0 (x 0 (x 1 ct)) + ( (x + ct) + (x ct)), 2 1 ct)) + ( (x + ct) (x ct)), 2c que para cada t fijo son una combinación lineal de las funciones 0 (· ± ct), (· ± ct), todas en el espacio C 1 (R) \ L2 (R). Por tanto, u es una solución con energı́a finita. Las condiciones de integrabilidad que permiten definir una energı́a finita asociada a la solución, implican un cierto comportamiento de la solución en el infinito. Para discutir este problema necesitaremos el siguiente Lema. Lema 12.5. Sea f 2 C 1 (R) tal que f 0 2 L1 (R). Entonces f es una función acotada y uniformemente continua. Además existen los lı́mites lı́m f (x), lı́m f (x) x! 1 x!+1 y son finitos. Si f 2 Lp (R), 1 < p < +1, entonces lı́m |x|!+1 f (x) = 0. Demostración. Como f 0 2 L1 (R) tenemos |f (x1 ) f (x0 )| Z x1 x0 |f 0 (x)|dx kf 0 k1 . Lo cual muestra que f es una función acotada con sup |f (x)| M := |f (x0 )| + kf 0 k1 . x2R De la integrabilidad de f 0 deducimos lı́m R!+1 Z R R |f 0 (x)|dx = kf 0 k1 , 156 de donde obtenemos Estudiemos la evolución a lo largo del tiempo de la integral de la energı́a lı́m R!+1 Por tanto, si x0 , x1 Z {x2R:|x|>R} |f 0 (x)|dx = 0. R, |f (x1 ) f (x0 )| Z x1 x0 |f 0 (x)|dx Z +1 R x0 ,x1 !+1 f (x1 ) |f 0 (x)|dx, d E[v](t) = dt = c2 f (x0 ) = 0. Por el criterio de Cauchy, debe existir L = lı́mx!+1 f (x) < +1. Si L 6= 0, entonces existe R > 0 tal que luego Z |L| , 2 |f (x)|p Z +1 R 8x > R, 2R R p |f (x)| |L| R. 2p +1 p R |f (x)| = 1, luego f 2 / Lp (R). Análogamente puede comprobarse que existe lı́mx! 1 f (x) y es finito, lo cual demuestra que f 2 C 1 (R) es una función uniformemente continua. Finalmente, si lı́mx! 1 f (x) 6= 0 entonces se muestra análogamente que f 2 / Lp (R). Veamos ahora cómo puede usarse la conservación de la energı́a para demostrar la unicidad de solución. Si u1 es otra solución del PVI (12.1) de energı́a finita, entonces v = u u1 2 U y verifica 2 vtt = c vxx , v(x, 0) = vt (x, 0) = 0, x 2 R. 157 Z +1 (vt (x, t)2 + c2 vx (x, t)2 )dx. 1 1 (vt (x, t)vtt (x, t) + c2 vx (x, t)vxt (x, t))dx 1 Z Z 1 1 1 1 (vt (x, t)vxx (x, t) + vx (x, t)vxt (x, t))dx @ (vt (x, t)vx (x, t))dx, @x t 2 [0, T ]. Una condición suficiente para que el cálculo anterior sea válido es que las funciones vx (·, t), vt (·, t), vxx (·, t), vxt (·, t), vtt (·, t) puedan dominarse uniformemente por alguna función de cuadrado integrable, es decir y haciendo tender R ! +1 deducimos que Z Z = c2 |f (x)| > 1 2 Inicialmente tenemos E[v](0) = 0. Para poder derivar bajo el signo integral, es necesario que la función v verifique algunas hipótesis adicionales y haciendo tender R ! +1, se deduce que lı́m E[v](t) = sup |vx (·, t)|, sup |vt (·, t)| 2 L2 (R), t2[0,T ] t2[0,T ] sup |vxx (·, t)|, sup |vxt (·, t)|, sup |vtt (·, t)| 2 L2 (R). t2[0,T ] t2[0,T ] t2[0,T ] La integrabilidad de todos términos, puede deducirse de la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Bajo las hipótesis anteriores deducimos que, para todo t 2 [0, T ], la función x 2 R 7! vt (x, t)vx (x, t) es integrable, y su derivada respecto a x también es integrable. Aplicando el Lema 12.5 a esta función obtenemos Z 1 1 @ (vt (x, t)vx (x, t))dx = @x = lı́m vt (x, t)vx (x, t) x!+1 lı́m vt (x, t)vx (x, t) = 0. x! 1 Como la integral de la energı́a permanece constante, tenemos Z +1 (vt (x, t)2 + c2 vx (x, t)2 )dx = 0, 1 158 t 2 [0, T ], de donde se deduce vt (x, t) = vx (x, t) = 0. luego v(x, t) es una función constante. Teniendo en cuenta la condición inicial v(x, 0) = 0, obtenemos v(x, t) = 0 para todo (x, t) 2 R ⇥ [0, T ]. Tomando T arbitrariamente grande se deduce la unicidad. El método de la energı́a puede utilizarse no sólo para demostrar la unicidad sino también la estabilidad de las soluciones de energı́a finita de la ecuación de ondas. Este método resulta muy apropiado para analizar problemas de contorno en intervalos acotados ya que las condiciones de integrabilidad se simplifican considerablemente. 13. Problemas de contorno para la ecuación de ondas En el caso en que el dominio en que estudiemos la ecuación de ondas sea un segmento o una semirrecta aparecen además de las condiciones iniciales condiciones en la frontera del dominio llamadas condiciones de contorno. Problemas de contorno En cada problema fı́sico hay un dominio en el que es válida la ecuación en derivadas parciales. Por ejemplo, en la cuerda vibrante, el dominio natural es [0, l], donde l es la longitud de la cuerda, en el caso de la membrana vibrante el dominio D será bidimensional y en el estudio de vibraciones en un medio sólido, consideraremos dominios tridimensionales. Hay varios tipos de condiciones de contorno. Las más comunes son las condiciones de Dirichlet, que especifican el valor de la solución en la frontera u(x) , x 2 @D. La condición de Neumann consiste en prescribir el valor de la derivada según la dirección normal exterior sobre los puntos de la frontera Dn u(x) = grad u(x)n(x), x 2 @D. Un tercer tipo mixto el la llamada condición de Robin que consiste en especificar cuna combinación de ambas Dn u(x) + au(x), x 2 @D. Para especificar una condición de contorno es preciso usar funciones que sólo estén definidas en la frontera @D del dominio D. Por ejemplo, en el problema de la ecuación de ondas, podemos escribir condiciones de contorno de los tipos siguientes u(x, t) = g(x, t), Dn u(x, t) = g(x, t), x 2 @D, t 2 [0, T ], (Condición de Dirichlet) Figura 25. Condiciones de Dirichlet, Neumann y Robin en todos los casos g es una función definida sólo en el contorno lateral @D ⇥ [0, T ] de la region prismática D ⇥ [0, T ]. En problemas unidimensionales, los problemas de contorno son problemas con condiciones en un punto (origen de la semirrecta) o en dos puntos (extremos del intervalo). Las condiciones de contorno admiten interpretaciones fı́sicas en cada modelo. En el caso de la cuerda vibrante, las condiciones de Dirichlet homogéneas significan que la cuerda vibrante está fijada en ambos extremos (por ejemplo la cuerda de una guitarra). Las condiciones de Neumann en un extremo significan que se permite a la cuerda movimiento transversal sin resistencia a través de una guı́a. Las condiciones de Robin, se interpretan de modo similar, se permite que la cuerda se mueva transversalemente sobre una guı́a pero atada a un muelle con fuerza recuperadora proporcional a la distancia. x 2 @D, t 2 [0, T ], (Condición de Neumann) Dn u(x, t) + au(x, t) = g(x, t), x 2 @D, t 2 [0, T ], 159 (Condición de Robin) 160 Reflexión en la semirrecta Cuando un pulso llega a un extremo fijo de una cuerda vibrante se refleja. Para estudiar la reflexión de un pulso planteamos el problema de Dirichlet utt = c2 uxx , x u(x, 0) = (x), u(0, t) = 0, donde 0, Resolvamos el problema de Dirichlet ut (x, 0) = (x), x 0, (13.1) 2 C 1 [0, +1), (0) = 0. u(0, t) = 0, donde 0 (x) utt = c2 uxx , si x 2 ( 1, 0], si x 2 [0, +1), x u(x, 0) = (x), Para comprender el fenómeno de reflexión, compararemos la solución del problema de Dirichlet (13.1) con la de un problema de valor inicial en la recta completa ũtt = c2 ũxx , (13.2) ũ(x, 0) = ˜(x), ũt (x, 0) = ˜(x), ⇢ Por lo tanto, tendremos un comportamiento diferente de las soluciones de los problemas (13.1) y (13.2). t 2 R, 2 C 2 [0, +1), (0) = 0 y ˜(x) = energı́a que deberı́a transmitirse hacia la izquierda (fenómeno de reflexión total). ˜(x) = ⇢ 0 (x) si x 2 ( 1, 0], si x 2 [0, +1). Para que ˜ 2 C 2 (R), ˜ 2 C 1 (R), es necesario imponer las hipótesis adicionales (0) = 0 (0) = 00 (0) = 0, (0) = 0 (0) = 0. lo que implica que ˜(x) = c ˜0 (x) y, en particular, (13.3) (x) = c 0 (x). El problema (13.2) corresponde al caso en que no hay ningún obstáculo, por lo que la señal puede transportar energı́a y potencia desde la semirrecta positiva hacia la semirrecta negativa. Para el problema (13.1), la condición de Dirichlet implica que la potencia transmitida en el origen de la semirrecta es 0. Como la energı́a debe conservarse, al llegar la perturbación al origen, tiene que devolver a la cuerda toda 161 x 0, (13.4) t 2 R, con 2 C 2 [0, +1), (0) = 0 (0) = 00 (0) = 0, en la semirrecta. Sabemos que la solución general de la ecuación de ondas utt = c2 uxx u(x, t) = f (x ct) + g(x + ct), x 0, t 2 R. (13.5) con f, g 2 C 2 (R), es válida para expresar todas las soluciones en el dominio considerado [0, +1) ⇥ R. Observemos que las condiciones iniciales no determinan completamente la solución. Imponiendo las condiciones iniciales f (x) + g(x) = (x), f 0 (x) + g 0 (x) = 0 x 0, (x), x 0. Como las funciones f y g están determinadas salvo una constante aditiva, podemos imponer la condición adicional f (0) = 0, de donde se deduce que Para simplificar nuestro estudio supongamos que la onda (13.2) es una señal que se transporta hacia la izquierda, en el sentido de que ũ(x, t) verifica la ecuación del transporte ũt (x, t) cũx (x, t) = 0, es decir, ũ(x, t) = ˜(x + ct), 0, ut (x, 0) = c 0 (x), f (x) = 0, x g(x) = (x), 0, x 0. Las funciones f y g sólo están determinadas en la semirrecta positiva. Para expresar la solución (13.5) necesitamos conocerlas en toda la recta. La condición de contorno nos permitirá deducir el valor de f y g en la semirrecta negativa. Imponiendo la condición de Dirichlet obtenemos f ( ct) + g(ct) = 0, Tomando t 0, x = 8t 2 R, ct deducimos que f (x) = g( x) = 162 ( x), x 0, y considerando t 0, x = ct, g(x) = x 0, f ( x) = 0, Por tanto las funciones f y g quedan completamente determinadas ⇢ ⇢ 0, si x 0, ( x), si x 0, f (x) = g(x) = (x), si x 0. 0, si x 0, a := ⇢ a 0 ũ(x, 0) = (x+ ) si a 0, si a 0, podemos escribir (x ), g(x) = (x+ ), y la solución puede expresarse en la forma u(x, t) = f (x ct) + g(x + ct) = ((x + ct)+ ) ((ct x)+ ). La solución adopta formas distintas según el valor de x. Si x c|t|, entonces x + ct, x La solución del problema de Dirichlet (13.4) puede considerarse como la restricción a la semirrecta de un problema de valor inicial en toda la recta ũtt = c2 ũxx , Introduciendo la notación ⇢ 0 si a 0, a+ := a si a 0, f (x) = En este caso estamos retrocediendo en el tiempo y puesto que la onda inicialmente sólo se transportaba hacia la izquierda, el pulso inicial aparece trasladado hacia la derecha. Al disminuir t, el pulso inicial se aleja del origen cada vez más y aparece un intervalo [0, ct], cada vez más amplio, en el que la solución es nula. ct 0y (ct x > 0, u(x, 0) = (x), u(0, t) = 0, ut (x, 0) = (x), x > 0, (13.7) t 2 R, utilizaremos el método de las reflexiones. Se considera un problema de valor inicial asociado (13.2), donde las funciones ˜ 2 C 2 (R), ˜ 2 C 1 (R), son extensiones de las condiciones iniciales (13.7) a toda la recta real, es decir x). El tiempo es positivo, y durante este perı́odo parte de la onda se ha reflejado, la solución que percibimos es una suma de la onda incidente y de la onda reflejada, es decir, las señales incidente y reflejada interfieren. 163 (13.6) Problema de Dirichlet en la semirrecta utt = c2 uxx , Si 0 x ct obtenemos u(x, t) = 0. (x )), Para estudiar el problema de Dirichlet obteniendo la misma solución que la solución (13.3) de (13.2). Esto quiere decir que estamos situados demasiado lejos del origen para notar el efecto de la condición de Dirichlet, es decir, la perturbación reflejada no ha tenido tiempo de llegar. Un tercer caso interesante es 0 < x < 0 suma de dos perturbaciones u(x, t) = i(x, t) + r(x, t) inicialmente separadas. Por un lado, tenemos la onda incidente i(x, t) := ((x + ct)+ ) con valor inicial i(x, 0) = (x+ ), it (x, t) = c 0 (x+ ) en la semirrecta positiva que se transporta hacia la izquierda. Por otro lado la onda reflejada r(x, t) := ((ct x)+ ) es una onda gemela que inicialmente que está soportada en la semirrecta negativa r(x, 0) = (x ), rt (x, t) = c 0 (x ), de amplitud opuesta que interferirá con la onda incidente para t 0. u(x, t) = (x + ct) u(x, t) = (x + ct) ũt (x, 0) = c( 0 (x+ ) + (x ), ˜|(0,+1) = , ˜|(0,+1) = . Las condiciones de Dirichlet implican (0) = de D’Alembert proporciona la solución ct, la solución correspondiente es ũ(x, t) = 1 ˜ (x + ct) + ˜(x 2 ct) + 164 00 1 2c (0) = Z x+ct x ct (0) = 0. La fórmula ˜(y)dy. (13.8) Imponiendo la condición de Dirichlet en (13.8) obtenemos 3 3 2+u(x) f(x+t) -f(t-x) 2.5 2.5 2 2 1.5 2+u(x) f(x+t) -f(t-x) 0 = ũ(0, t) = 1.5 1 1 0.5 0.5 0 0 -0.5 -0.5 -1 Tomando t > 0, x := 0= -1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 1 2 1 ˜ 1 (ct) + ˜( ct) + 2 2c Z +ct ˜(y)dy. ct ct, obtenemos 1⇣ ( x) + ˜(x) + 2c Z x (y)dy + 0 Z 0 x ⌘ ˜(y)dy . Tomando t < 0, x := ct, obtenemos 3 3 2+u(x) f(x+t) -f(t-x) 2.5 2.5 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 0 -0.5 2+u(x) f(x+t) -f(t-x) 0= ˜(x) + ( x) = 0, -1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3 3 2+u(x) f(x+t) -f(t-x) 2.5 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 0 -0.5 -0.5 -1 2+u(x) f(x+t) -f(t-x) -1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x (y)dy + 0 Z 0 x ⌘ ˜(y)dy . 0 0.5 1 1.5 Figura 26. Reflexión total en la semirrecta 2 2.5 3 Z x (y)dy + 0 Z 0 ˜(y)dy = 0, x 8x < 0, de donde se deduce el valor de las extensiones en la zona negativa ˜(x) = 2.5 Z Combinando ambas ecuaciones se deduce que -0.5 -1 1⇣ 2c 1 ˜ (x) + ( x) 2 ( x), ˜(x) = ( x), x < 0. Por tanto, el problema de Dirichlet (13.7) tiene una única solución que corresponde a un problema de valor inicial (13.2), con condiciones iniciales formadas por las extensiones impares de las funciones y , 8 8 ( x), si x < 0, ( x), si x < 0, < < ˜(x) = 0, si x = 0, (x) = 0, si x = 0, (13.9) : : (x), si x > 0, (x), si x > 0. Observemos que la solución ũ dada por (13.8) también debe ser impar, ũ(x, t) + ũ( x, t) = 0. (13.10) En efecto, si llamamos ṽ(x, t) := ũ(x, t) + ũ( x, t), entonces por (13.9) ṽ(x, 0) = ˜(x) + ˜( x) = 0, 165 vt (x, 0) = ˜(x) + ˜( x) = 0, 166 a toda la recta real. Las condiciones de Neumann implican 0 (0) = 0 (0) = 0. Imponiendo la condición de Neumann en la fórmula de D’Alembert (13.8) obtenemos luego v(x, t) debe ser solución del problema de valor inicial ṽtt = c2 ṽxx ṽ(x, 0) = ṽt (x, 0) = 0, de donde se deduce que v(x, t) = 0, lo que demuestra (13.10). Teniendo en cuenta que ˜(y) = 1[0,+1) (y) (y) + 1( 1,0) (y) ( y), se deduce que Z x+ct Z x+ct Z x ct ˜(y)dy = 1[0,+1) (y) (y)dy + 1[0,+1) (y) (y)dy x ct x ct x+ct Una vez sustituidas las funciones (13.9) en la fórmula de D’Alembert (13.8) obtenemos ⌘ 1⇣ u(x, t) = (x + ct)+ + (x ct)+ ( x ct)+ (ct x)+ 2 ✓ Z x+ct ◆ Z x ct 1 + 1[0,+1) (y)dy + 1[0,+1) (y)dy . 2c x ct x+ct Una discusión detallada de los casos posibles da lugar a las siones explı́citas de la solución 81 R x+ct 1 > < 2 (x + ct) + (x ct) + 2c Rx ct (y)dy, ct+x 1 u(x, t) = 12 (ct + x) (ct x) + 2c (y)dy, ct x > R ct+x : 1 1 (x ct) ( x ct) (y)dy, 2 2c ct x siguientes expre- u(x, 0) = (x), ux (0, t) = 0, 0 < x < ct, 0<x< ct. (13.11) 0, ut (x, 0) = (x), x > 0, (13.12) t 2 R, es muy similar al problema de Dirichlet. Se considera un problema de valor inicial asociado (13.2), donde las funciones ˜ 2 C 2 (R), ˜ 2 C 1 (R) son extensiones de las condiciones iniciales (13.7) ˜(x) = (x), ˜(x) = (x), 167 0= 1 2 1 ˜0 1 (ct) + ˜0 ( ct) + ( ˜(ct) 2 2c ˜(ct))dy. ct, obtenemos 0 1 ( x) + ˜0 (x) + ( ( y) 2c ˜(y)). Tomando t < 0, x := ct, obtenemos 0= 1 2 ˜0 (x) + 0 ( x) + 1 ˜ ( (y) 2c Combinando ambas ecuaciones se deduce que Z x Z ˜0 (x) + 0 ( x) = 0, (y)dy + 0 0 ( y)). ˜(y)dy = 0, x 8x < 0, de donde se deduce el valor de las extensiones en la zona negativa 0 ( x), ˜(x) = ( x), x < 0. si x > c|t|, El análisis del problema de Neumann en la semirrecta x Tomando t > 0, x := ˜0 (x) = Problema de Neumann en la semirrecta utt = c2 uxx , 0 = ũ(0, t) = Por tanto, el problema de Neumann (13.12) tiene una única solución que corresponde a un problema de valor inicial (13.2), con condiciones iniciales formadas por las extensiones pares de las funciones y , ⇢ ⇢ ( x), si x 0, ( x), si x 0, ˜(x) = (x) = (x), si x 0, (x), si x 0, Una vez sustituidas las funciones anteriores en (13.8) obtenemos 81 R x+ct 1 (x + ct) + (x ct) + 2c > 2 x ct > > > > 12 (ct + x) + (ct x) < R x+ct R ct x 1 u(x, t) = + 2c (y)dy + 0 0 > > 1 > (x ct) ( x ct) > > R x ct R x ct :2 1 (y)dy + 0 2c 0 168 la fórmula de D’Alembert (y)dy, si x > c|t| (y)dy , si 0 < x < ct, (y)dy , si 0 < x < ct. (13.14) Ondas en un intervalo La descripción de la transmisión de fenómenos ondulatorios en dominios acotados es un problema natural de la fı́sica cuyo análisis matemático conduce al estudio de series de funciones. (3,0) Si tenemos una cuerda (de guitarra) con los extremos fijos, la solución corresponde al problema de Dirichlet sobre el segmento [0, l] utt = c2 uxx , ut (x, 0) = (x), u(0, t) = u(l, t) = 0, t 2 R, x 2 [0, l], ⇢ (2kl x) (x 2kl), (1,1) si x 2 [(2k 1)l, 2kl], k 2 Z, si x 2 [2kl, (2k + 1)l], k 2 Z, Podemos expresar las extensiones periódicas impares mediante las series X ˜(x) = (x 2kl)1[2kl,(2k+1)l] (x) (2kl x)1[(2k 1)l,2kl] (x) , k2Z ˜(x) = X (x 2kl)1[2kl,(2k+1)l] (x) (2kl x)1[(2k 1)l,2kl] (x) . k2Z Es difı́cil dar una fórmula explı́cita de la solución ya que está compuesta de contribuciones de términos diferentes. El número de sumandos que contribuye aumenta en la proporcion c|t|/2l y la expresión completa da lugar a una serie. La Figura 27 representa gráficamente las regiones con fórmulas diferentes. Los números entre paréntesis indican el número de reflexiones en la frontera que hay que tener en cuenta para calcular el valor de la solución en esa zona. La dificultad de expresar la solución es similar cuando se tienen otras condiciones de contorno como las de Neumann o Robin. La existencia de solución y su cálculo puede realizarse en caso con técnicas de separación de variables y series de Fourier. La expresiones de las soluciones 169 (0,2) (13.15) Las ondas se reflejaran en cada extremo una y otra vez acumulando los efectos. El método de reflexión al tener dos espejos paralelos da lugar a extensiones de y impares definida por periodicidad ˜(x + 2l) = ˜(x), ˜(x + 2l) = ˜(x) ⇢ (2kl x) si x 2 [(2k 1)l, 2kl], k 2 Z, ˜(x) = (x 2kl), si x 2 [2kl, (2k + 1)l], k 2 Z, ˜(x) = (2,2) (2,0) x 2 [0, l], u(x, 0) = (x), (0,3) (1,0) (0,1) (0,0) Figura 27. Número de reflexiones en los extremos obtenidas mediante estas técnicas permiten extraer más información acerca de las soluciones. Por un lado, las propiedades de las soluciones pueden deducirse más fácilmente que con otras técnicas. Por otro lado, el método permite obtener aproximaciones muy precisas de las soluciones exactas. Para deducir la unicidad de solución, el método de la energı́a es especialmente adecuado. Recordemos que la integral de la energı́a viene dada por Z 1 l E[u](t) = (ut (x, t)2 + c2 ux (x, t)2 )dx 2 0 Proposición 13.1. El problema de Dirichlet (13.15) admite a lo sumo una solución. Demostración. Sean u1 , u2 dos soluciones del problema de Dirichlet (13.15), entonces v = u2 u1 2 U y verifica vtt = c2 vxx , v(x, 0) = vt (x, 0) = 0, v(0, t) = v(l, t) = 0, 170 x 2 [0, l], t 2 R. 14. Principio del máximo en difusión Derivando bajo el signo integral d E[v](t) = dt Z Considérese la ecuación de la difusión l (vt (x, t)vtt (t, x) + c2 vx (x, t)vxt (x, t))dx 0 = c2 = c2 Z Z ut = k u, l (vt (x, t)vxx (t, x) + vx (x, t)vxt (x, t))dx 0 @ (vt (x, t)vx (x, t))dx = vt (l, t)vx (l, t) @x vt (0, t)vx (0, t). De la condición de contorno de Dirichlet, se obtiene por derivación vt (0, t) = vt (l, t) = 0, luego dE[v](t)/dt = 0 y la integral de la energı́a permanece constante. Por tanto, E[v](t) = E[v](0) = 0 y tenemos que Z l (vt (x, t)2 + c2 vx (x, t)2 )dx = 0, t 2 R, x 2 [0, l], t 2 R. 0 t > 0, (14.1) n 0 l x 2 ⌦, en un dominio abierto acotado ⌦ ✓ R . El problema de Dirichlet para ¯⇥ la ecuación de la difusión consiste en determinar las soluciones u 2 C(⌦ [0, T ]) \ C 2 (⌦ ⇥ (0, T )) que verifican la condición inicial u(x, 0) = (x), 8x 2 ⌦, (14.2) con 2 C(⌦) y cuyos valores en la frontera verifican la condición de contorno de Dirichlet u(x, t) = g(x, t), x 2 @⌦, t 2 [0, T ], (14.3) donde g(x, t) es una cierta función continua definida en la superficie lateral @⌦ ⇥ [0, T ]. Recordemos que la continuidad en un dominio no necesariamente abierto significa que la función admite una extensión continua a un conjunto abierto que contiene al dominio. T de donde se deduce vt (x, t) = vx (x, t) = 0, luego v(x, t) es una función constante. Teniendo en cuenta la condición inicial v(x, 0) = 0, obtenemos v(x, t) = 0 para todo (x, t) 2 [0, l]⇥R. Ası́ que u1 = u2 y la solución debe ser única. Si en lugar de condicion de Dirichlet tenemos la condición de Neumann, entonces v = u2 u1 verifica vx (0, t) = vx (l, t) y teniendo en cuenta que vt (l, t)vx (l, t) vt (0, t)vx (0, t) = 0 podemos demostrar que la energı́a se mantiene constantemente nula, deduciéndose también la unicidad. 171 DT 0 Ω Figura 28. Problema de Dirichlet para la ecuación del calor ¯ ⇥ [0, T ]) \ C 2 (⌦ ⇥ (0, T )), es Para la existencia de solución u 2 C(⌦ necesaria una condición de compatibilidad entre las condiciones iniciales (14.2) y de contorno (14.3): la extensión de a la frontera con los valores g(x, 0) ¯ continua, sea una función ˜ 2 C(⌦) ⇢ (x), si x 2 ⌦, ˜(x) := g(x, 0), si x 2 @⌦. 172 La condición inicial (14.2) está impuesta sobre la base ⌦ ⇥ {0} de la ¯ ⇥ [0, T ], mientras que la condición de contorno de región prismática DT := ⌦ Dirichlet (14.3) se impone sobre la superficie lateral @⌦ ⇥ [0, T ]. Ası́ que las condiciones, iniciales o de contorno, se imponen sobre T := ⌦ ⇥ {0} [ @⌦ ⇥ [0, T ] (14.4) obtenida al unir la base y la superficie lateral de la región prismática DT . Para evitar la discusión de la compatibilidad entre las condiciones (14.2) y (14.3) podemos reemplazar estas condiciones por una única condición que reune a ambas e incorpora la compatibilidad u(x, t) = g̃(x, t), donde g̃ 2 C( contiene a T . T ), (x, t) 2 T, (14.5) es decir, g̃ admite extensión continua a un abierto que Observación. A menudo es necesario analizar problemas en los que no se verifica esta condición de compatibilidad por lo que buscaremos soluciones discontinuas, lo que lleva a un problema de Dirichlet en el que la condición inicial se reemplaza por otra condición más general. lı́m+ u(x, t) = (x), t!0 8x 2 ⌦. Una hipótesis importante en este contexto es que ⌦ sea un conjunto acota¯ ⇥ [0, T ] es compacta. do, de donde se deduce que la región prismática DT = ⌦ El Teorema de Weierstrass, permite asegurar la existencia de puntos en los que se alcanza el valor máximo de cualquer función en C(DT ). El principio del máximo, permite localizar el valor máximo de una función continua que verifica la ecuación (14.1) y puede utilizarse como una herramienta básica en el análisis del problema de Dirichlet (14.1), (14.2), (14.3). y que este valor máximo no se alcanza sobre M := máx u(x, t) = u(x0 , t0 ), (x,t)2DT 173 es decir m := máx u(x, t) < M. (x,t)2 T Entonces existe algún punto (x1 , t1 ) 2 ⌦ ⇥ (0, T ) en el interior de DT para el que se verifican las relaciones ut (x1 , t1 ) u(x1 , t1 ) 0. 0, Demostración. Si en en interior hay un máximo relativo (x1 , t1 ), debe verificarse @u (x1 , t1 ) = 0, @(x, t) y la matriz Hessiana @2u (x1 , t1 ) @(x, t)2 debe ser semidefinida negativa. En particular tenemos @u 1 (x , t1 ) = 0, @t u(x1 , t1 ) = n X @2u i=1 @x2i (x1 , t1 ) 0. En caso contrario, si en el interior no hay máximos relativos, el valor máximo sobre el compacto DT debe alcanzarse en un punto (x0 , t0 ) de la tapa superior de la región prismática, es decir, (x0 , t0 ) 2 ⌦ ⇥ {T }, luego t0 = T . Sea m := máx u(x, t) < M, (x,t)2 T De la continuidad de u, se deduce que para " < (M que si kx x0 k y t 2 [T , T ], entonces M Lema 14.1. Sea el abierto acotado ⌦, la región prismática compacta DT := ¯ ⇥ [0, T ] y sea T dada por (14.4). Supongamos que la función u 2 C(DT ) \ ⌦ C 2 (⌦ ⇥ (0, T )) alcanza su valor máximo en un punto (x0 , t0 ) 2 DT \ T T, m)/2 existe > 0 tal " u(x, t) M. Fijemos un T 0 2 [T , T ). Sabemos que la función continua u debe alcanzar ¯ ⇥ [0, T 0 ] además su valor máximo en un punto (x1 , t1 ) del compacto DT 0 = ⌦ u(x1 , t1 ) = máx (x,t)2DT 0 u(x, t) M 174 " > m = máx u(x, t), (x,t)2 T de donde se deduce que (x1 , t1 ) 2 DT 0 \ T . Como es imposible que (x1 , t1 ) esté en el interior de DT 0 ⇢ DT , debe tenerse que t1 = T 0 . Como v(x0 , t0 ) = M , podemos afirmar que máx v(x, t) Consideremos ahora la función parcial u(x1 , ·) : t 2 [0, T 0 ] ! R. Como u alcanza su máximo en t1 = T 0 , se deduce que ut (x1 , t1 ) Si (x, t) 2 0. ¯ ! R alcanza Ahora tengamos en cuenta que la función parcial u(·, t1 ) : ⌦ su valor máximo en el punto interior x1 2 ⌦. Por la condición de máximo relativo, deducimos que la matriz hessiana M m 2 M +m d = < M, 2d2 2 ası́ que vt (x1 , t1 ) Teorema 14.2 (Principio del máximo). Sea el abierto acotado ⌦, la re¯ ⇥ [0, T ], sea T dada por (14.4) y sea gión prismática compacta DT := ⌦ u 2 C(DT ) \ C 2 (⌦ ⇥ (0, T )) tal que 8(x, t) 2 ⌦ ⇥ (0, T ), T. T k v(x1 , t1 ) 0. máx u(x, t), m := máx u(x, t). (x,t)2DT (x,t)2 T Como T ✓ DT , siempre tendremos que m M . Suponer que m < M y sea (x0 , t0 ) 2 DT el punto en el que u alcanza su valor máximo, ası́ que (x0 , t0 ) 2 DT \ T . Como ⌦ está acotado, d := sup kx x2⌦ 0 x k2 < +1, y podemos definir la función v(x, t) := u(x, t) + M 2d2 175 n mX i=1 (xi x0i )2 . (14.6) Pero por otro lado tenemos ⇣@ ⌘ k [v](x, t) @t ⇣@ ⌘ M m⇣ @ = k [u](x, t) + @t 2d2 @t k M m ( 2kn) < 0. 2d2 Demostración. Sea M := v(x, t) m + Por tanto, la función v satisface las hipótesis del Lema 14.1, luego existe algún punto (x1 , t1 ) en el interior de DT para el que u(x1 , t1 ) 0. entonces u alcanza su valor máximo en entonces tenemos que (x,t)2 debe ser semidefinida negativa, luego k u(x, t) 0, T, M. máx v(x, t) < M. @2u 1 (x , t1 ) @x2 ut (x, t) (x,t)2DT n ⌘h X (xi x0i )2 i=1 i en cualquier punto (x, t) del interior de DT , lo que contradice (14.6). De esta contradicción, se deduce que no puede ser cierto que m < M . Por tanto, el valor máximo debe alcanzarse en T . El principio del máximo puede generalizarse al caso de funciones que no estén definidas sobre el contorno T . Esto es especialmente útil a la hora de tratar problemas de Dirichlet con condiciones discontinuas. ¯ ⇥ [0, T ], Teorema 14.3. Sea ⌦ un abierto acotado, DT = ⌦ (14.4). Sea u 2 C 2 (DT \ T ) tal que ut (x, t) k u(x, t) 0. 176 T dada por Entonces para todo compacto K ✓ DT \ sup T, u(x, t) = (x,t)2DT \ tenemos sup Por el Teorema 14.3, w alcanza su valor máximo y su valor mı́nimo en dada por (14.4), luego u(x, t). (x,t)2DT \( [K) 0= Demostración. (Idea) Se puede adaptar la demostración del Lema 14.1 y del Teorema 14.2, para deducir que u no puede alcanzar su valor máximo en el conjunto DT \ . Por tanto, el supremo sup(x,t)2DT \ T es inaccesible y para todo compacto K ✓ DT \ T , debe tenerse sup u(x, t) < sup Del principio del máximo se deducen algunos resultados de interés Teorema 14.4. Sea el abierto acotado ⌦, la región prismática compacta ¯ ⇥ [0, T ], sea T dada por (14.4) y sea u 2 C(DT ) \ C 2 (⌦ ⇥ (0, T )) DT := ⌦ tal que ut (x, t) = k u(x, t), 8(x, t) 2 ⌦ ⇥ (0, T ), entonces u alcanza su valor máximo y su valor mı́nimo en T. Demostración. Basta con aplicar el principio del máximo a las funciones u y u. Teorema 14.5. Sea ⌦ un abierto acotado y sea la región prismática com¯ ⇥ [0, T ]. El problema de Dirichlet pacta DT := ⌦ ut (x, t) k u(x, t) = f (x, t), u(x, 0) = (x), u(x, t) = g(x, t), x 2 ⌦, x 2 @⌦, t 2 [0, T ], f 2 C(⌦ ⇥ (0, T )), 2 C(⌦), g 2 C(@⌦ ⇥ [0, T ]), tiene a lo sumo una solución u 2 C(DT ) \ C 2 (⌦ ⇥ (0, T )). Demostración. Si u1 , u2 son dos soluciones, entonces su diferencia w = u2 u1 verifica wt (x, t) = k v(x, t), w(x, 0) = 0, w(x, t) = 0, x 2 ⌦, x 2 @⌦, 177 t 2 [0, T ]. w(x, t) w(x, t) máx w(x, t) = 0, (x,t)2DT de donde se deduce que w es idénticamente nula. Dependencia de las condiciones iniciales Recordemos que un problema bien planteado consiste en una ecuación (en derivadas parciales) junto con una serie de condiciones auxiliares (iniciales o de contorno) de manera que la solución existe, es única y depende continuamente de los datos del problema. u(x, t). (x,t)2DT \ (x,t)2K mı́n (x,t)2DT T El principio del máximo equivale a decir que el problema de Dirichlet para la ecuación de difusión está bien planteado para t > 0. El siguiente resultado permite deducir la estabilidad de la solución del problema de Dirichlet respecto a las condiciones iniciales y de contorno. Teorema 14.5. Sea ⌦ un abierto acotado, sea la región prismática compacta ¯ ⇥ [0, T ] y T dado por (14.4). Sean u1 , u2 2 C(DT ) \ C 2 (⌦ ⇥ (0, T )) DT := ⌦ soluciones de los problemas de Dirichlet @u1 (x, t) k u1 (x, t) = f (x, t), @t u1 (x, t) = g̃1 (x, t), (x, t) 2 T , con f 2 C(⌦ ⇥ (0, T )), g̃1 , g̃2 2 C( máx (x,t)2DT 0 |u2 (x, t) @u2 (x, t) k u2 (x, t) = f (x, t), @t u2 (x, t) = g̃2 (x, t), (x, t) 2 T , T ). u1 (x, t)| Entonces para todo T 0 2 (0, T ] máx |g̃2 (x, t) (x,t)2 g̃1 (x, t)|. T0 Demostración. Sea w(x, t) = u2 (x, t) u1 (x, t). Por el principio del máximo tenemos máx w(x, t) = máx (g̃2 (x, t) g̃1 (x, t)) (x,t)2DT 0 (x,t)2 T0 y análogamente para el mı́nimo mı́n (x,t)2DT 0 w(x, t) = mı́n (x,t)2 (g̃2 (x, t) T0 178 g̃1 (x, t)), de donde se deduce el resultado. Para simplificar el enunciado del Teorema 14.5 hemos expresado las condiciones iniciales y de contorno en la forma (14.5). Si queremos expresar las condiciones iniciales y de contorno independientemente mediante (14.2) y (14.3), la estabilidad puede expresarse mediante la siguiente fórmula máx |u2 (x, t) u1 (x, t)| ¯ x2⌦ ⇣ máx sup | 2 (x) 1 (x)|, x2⌦ máx (x,s)2@⌦⇥[0,t] |g2 (x, s) ⌘ g1 (x, s)| , El problema de difusión para t < 0, llamado problema de antidifusión equivale a un problema de difusión con constante k negativa. El problema de antidifusión es un problema inestable. Precisamente los procesos de difusión están involucrados en multitud de fenómenos irreversibles en el tiempo. Asociado al proceso de difusión de una sustancia encontramos una integral de una función cuadrática que juega un papel similar a la energı́a de una onda. En la sección siguiente, relacionamos esta integral con la varianza de la distribución de temperaturas. Z 1 E[u](t) = u(x, t)2 dx. (14.7) 2 ⌦ Derivando la integral anterior respecto al tiempo, obtenemos Z Z d E[u](t) = u(x, t)ut (x, t)dx = u(x, t) u(x, t)dx. dt ⌦ ⌦ @⌦ (grad u(x, t))2 dx. ⌦ de donde se obtiene Z Z u(x, t)Dn u(x, t)d (x) @⌦ (grad u(x, t))2 dx. ⌦ Si en la frontera se verifican condiciones de Dirichlet homogéneas o de Neumann homogéneas podemos escribir Z u(x, t)Dn u(x, t)d (x) = 0 @⌦ y d E[u](t) = dt Z ⌦ (grad u(x, t))2 dx 0. Esta observación nos permite deducir la unicidad de problemas de Dirichlet o de Neumann. Si u1 , u2 son soluciones del mismo problema con las mismas condiciones iniciales y de contorno, entonces tenemos que para w = u2 u1 , se verifica w(x, 0) = 0 y condiciones de contorno homogéneas. Luego tenemos E[w](t) E[w](0) = 0, y Z w(x, t)2 dx = 0 ⌦ de donde se deduce que w es idénticamente nula. La dependencia continua y estable de las condiciones iniciales también puede deducirse usando la integral (14.7). Si u1 y u2 son dos soluciones de la misma ecuación diferencial Aplicando el teorema de la divergencia a la relación @u (x, t) @t div(v grad u) = grad v · grad u + v u, 179 Z u(x, t)Dn u(x, t)d (x) Luego E[u] es una función decreciente del tiempo. Método de la energı́a, unicidad y estabilidad ⌦ ⌦ d E[u](t) = dt donde i (x) = ui (x, 0), x 2 ⌦, gi (x, s) = ui (x, s), x 2 @⌦, s 2 [0, T ] para i = 1, 2. deducimos la primera fórmula de Green Z Z (grad v · grad u + v u)dx = Tomando v = u deducimos Z Z u(x, t) u(x, t)dx = k u(x, t) = f (x, t), que verifican las mismas condiciones de contorno vDn ud (x). @⌦ (14.8) u(x, t) = g(x, t), x 2 @⌦, 180 t 2 [0, T ], entonces w = u2 u1 es solución del problema de Dirichlet wt (x, t) w(x, 0) = k w(x, t) = 0, 2 (x) x 2 ⌦, 1 (x), x 2 @⌦, t 2 [0, T ], w(x, t) = 0, siendo i (x) := ui (x, 0), x2⌦ i = 1, 2. Teniendo en cuenta que E[w] es decreciente, obtendremos Z Z 2 w(x, t)2 dx ( 2 (x) 1 (x)) dx, ⌦ ⌦ es decir ku2 (·, t) u1 (·, t)kL2 (⌦) k 2 1 kL2 (⌦) . La misma conclusión se obtiene para el caso de condiciones de contorno de Neumann. La desigualdad anterior puede interpretarse diciendo que las soluciones en el futuro no distan más de lo que diferı́an inicialmente, lo cual muestra la estabilidad de la ecuación del calor con respecto a las condiciones iniciales en L2 (⌦). Varianza y entropı́a Sea ⌦ un dominio acotado y u una solución de la ecuación ut = k u tal que ¯ ⇥ [0, T ]. En el caso de que u satisfaga condiciones de u 2 C 1 (DT ), DT = ⌦ Neumann homogéneas La condición de Neumann significa que el dominio está aislado del exterior de manera que la frontera no permite que entre sustancia del exterior ni que se escape sustacia a través de ella. Como la cantidad de sustancia es invariante, puede definirse la concentración media R Z u(x, t)dx 1 u0 := ⌦ R = u(x, t)dx, vol(⌦) ⌦ 1dx ⌦ que debe permanecer constante. La varianza Z 1 V [u](t) := (u(x, t) vol(⌦) ⌦ u0 )2 dx admite la expresión V [u](t) = 1 ⇣ vol(⌦) Z u(x, t)2 dx ⌦ ⌘ 2E[u](t) u20 = vol(⌦) u20 , y como E[u](t) es una función decreciente del tiempo, se deduce que la varianza de la concentración tiende a disminuir. En el caso de la ecuación del calor, la varianza se interpreta como una medida de dispersión de la energı́a térmica. Un sistema aislado evoluciona en el tiempo de manera que la energı́a térmica tiende a distribuirse uniformemente, estando cada vez menos dispersa. La diferencia de temperaturas hace posible extraer del sistema trabajo útil, de donde parece deducirse que el trabajo útil que podemos extraer de un sistema aislado tiende a disminuir con el tiempo. permanece constante. En efecto, tomando v = 1 en la primera fórmula de Green (14.8) deducimos Z Z Z d u(x, t)dx = ut (x, t)dx = k u(x, t)dx dt ⌦ ⌦ ⌦ Z =k Dn u(x, t)d (x) = 0. Una magnitud termodinámica relacionada con el trabajo útil que puede realizarse a costa de las variaciones de nivel de energı́a térmica es la entropı́a termodinámica. Para una región D pequeña, y una pequeña aportación de calor QD la entropı́a S D es una magnitud cuya variación corresponde a u S D = QD , donde u denota la temperatura media en la región D. Si el medio es homogéneo, puede considerarse que la variación de energı́a calorı́fica es proporcional a la variación de temperatura en amplios intervalos de temperatura dQD /dt ⇡ c⇢ut vol(D), donde c, ⇢ representan el calor especı́fico y la densidad de material respectivamente. Se deduce que la variación temporal de la entropı́a en una región extensa ⌦ puede describirse mediante la fórmula Z ut (x, t) d S[u](t) = c⇢ dx. dt ⌦ u(x, t) 181 182 x 2 @⌦, Dn u(x, t) = 0, t 2 [0, T ], puede deducirse que la cantidad total de sustancia en el dominio ⌦ Z u(x, t)dx ⌦ @⌦ El aumento de entropı́a de un sistema implica una mayor dificultad para transformar la energı́a térmica en otros tipos de energı́a o extraer trabajo útil. Como la proporcionalidad entre calor aportado y diferencia de temperaturas no es válida para temperaturas muy bajas, parece lógico imponer que u 2 C 1 (DT ) sea una función acotada inferiormente por una cantidad positiva. Teniendo en cuenta que u verifica la ecuación del calor c⇢ut = u obtenemos Z d u(x, t) S[u](t) = dx, dt ⌦ u(x, t) donde es la conductividad térmica del material. Podemos aplicar la primera fórmula de Green (14.8) tomando v = 1/u Z Z d Dn u(x, t) (grad u(x, t))2 S[u](t) = d (x) + dx. dt u(x, t)2 @⌦ u(x, t) ⌦ Podemos interpretar fı́sicamente la relación anterior. El flujo de calor según la ley de Fourier es q(x, t) = grad u(x, t), lo que permite escribir la igualdad anterior en la forma Z Z ⇣ d q(x, t) · n(x) grad u(x, t) ⌘2 S[u](t) + d (x) = dx. dt u(x, t) u(x, t) @⌦ ⌦ Teniendo en cuenta que el integrando del segundo miembro es no negativo tenemos Z d q(x, t) · n(x) S[u](t) + d (x) 0. dt u(x, t) @⌦ La desigualdad anterior significa que la suma de la entropı́a termodinámica y la entropı́a cedida al exterior por un sistema es una función creciente del tiempo, como afirma el segundo principio de la termodinámica. Bajo condiciones de aislamiento q(x, t) · n(x) = 0, x 2 @⌦, correspondientes a la condiciones de Neumann homogéneas, Dn u(x, t) = 0, obtendremos d S[u](t) 0, dt de donde se deduce que la entropı́a termodinámica de un sistema aislado es una función creciente del tiempo. 183 Otra integral relacionada con la reversibilidad de un proceso, el desorden y la cantidad de información contenida en una distribución de valores es la entropı́a de Shannon, utilizada en teorı́a de la información y relacionada con la ideas introducidas por Boltzmann para el estudio termodinámico del estado de un gas Z H[u](t) := u(x, t) log(u(x, t))dx. ⌦ Para nuestra deducción supondremos que u 2 C 1 (D) es una función acotada inferiormente por una cantidad positiva que verifica la ecuación de la difusión ut = k u. Derivando la expresión anterior Z d H[u](t) = (log(u(x, t)) + 1)ut (x, t)dx dt ⌦ Z = k (log(u(x, t)) + 1) u(x, t)dx ⌦ y aplicando la primera fórmula de Green deducimos que Z d H[u](t) = k (log(u(x, t)) + 1)Dn u(x, t)d (x) dt Z @⌦ +k grad log(u(x, t)) grad u(x, t)dx. ⌦ Bajo condiciones de Neumann homogéneas, se deduce que la entropı́a de Shannon es una función creciente del tiempo Z d (grad u(x, t))2 H[u](t) = k dx 0. dt u(x, t) ⌦ Observación. La función u log u admite una extensión continua a [0, +1) ya que lı́mu!0+ u log u = 0. Esto sugiere que la definición de entropı́a puede extenderse para funciones no negativas Z H[u](t) := u(x, t) log(u(x, t))dx. {x2⌦:u(x,t)>0} En este caso más general, la deducción anterior sigue siendo válida, si imponemos que los integrandos que aparecen en las expresiones intermedias puedan dominarse por funciones integrables apropiadas. 184 15. El problema de valor inicial para la difusión en la recta es decir que sea un polinomio de grado menor o igual que 2N solución del problema es En el caso de la recta, podemos plantear el problema de valor inicial u(x, t) = ut = kuxx (2i) (x) i=0 (15.1) u(x, 0) = (x), N X1 1. La (kt)i . i! Si (x) es una función analı́tica podemos escribir la solución en forma de donde 2 C(R). serie Una de las dificultades que surgen en el análisis del problema de valor inicial (15.1) es que la solución no tiene que ser única. La unicidad falla porque el problema con condiciones iniciales nulas además de la solución nula, posee otras soluciones de crecimiento no controlado. Antes de analizar la solución general, consideremos algunas construcciones que permiten encontrar soluciones. El problema (15.1) admite soluciones polinómicas si la función polinomio. Expresemos la solución en la forma N X i=0 (kt)i . i! ci (x) = (x), 1, c00N (x) = 0. i = 0, 1, . . . , N 1 X (kt)i (x) = 0, 185 i! = exp(x) exp(kt) = exp(x + kt), Ya hemos mencionado la importancia de la velocidad de crecimiento de las soluciones. Queremos encontrar soluciones de la ecuación de crecimiento muy rápido cuando |x| ! 1 y para ello buscamos soluciones de la forma u(x, t) = A(t) exp(a(t)x2 ). Derivando respecto a t y respecto a x obtenemos ut (x, t) = exp(a(t)x2 )(a0 (t)A(t)x2 + A0 (t)), ux (x, t) = 2 exp(a(t)x2 )a(t)x, 1. Observemos que para que se verifique c00N (x) = 0, es necesario que (2N ) u(x, t) = exp(x) Soluciones de crecimiento rápido Las funciones ci (x) pueden obtenerse por recurrencia (2i) (kt)i . i! que es la única solución del problema analı́tica en R ⇥ R. comparando con el resultado de derivar dos veces respecto a x, se obtiene i = 0, . . . , N (x) El Teorema de Cauchy-Kovalevskaya implica que la serie anterior define una función analı́tica que es solución del problema de valor inicial (15.1) en un entorno de cada punto (x0 , 0). Esta función es la única solución analı́tica en un entorno de dicho punto. (x) es un La condición inicial implica que c0 (x) = (x). Derivando respecto a t obtenemos N X1 (kt)i ut (x, t) = k ci+1 (x) , i! i=0 ci+1 (x) = c00i (x), (2i) i=0 i=0 ci (x) 1 X Por ejemplo, tomando (x) = exp(x) se obtiene la solución de (15.1) Soluciones polinómicas y soluciones analı́ticas u(x, t) = u(x, t) = uxx (x, t) = exp(a(t)x2 )(4a(t)2 x2 + 2a(t)), Identificando ut = kuxx obtenemos las relaciones A0 (t) = 2ka(t)A(t), 186 a0 (t) = 4ka(t)2 . Resolviendo la ecuación a0 (t) = 4ka(t)2 , obtenemos a(t) = Observemos que las soluciones dominadas por este tipo de funciones pueden acotarse uniformemente en t. En efecto, teniendo en cuenta que t T , podemos escribir a0 , 4a0 kt 1 sustituyendo la solución obtenida en la ecuación A0 (t) = 2ka(t)A(t), tenemos A(t) = p A0 , 4a0 kt 1 M=p ⇣ a x2 ⌘ A0 0 exp , 1 4a0 kt 1 4a0 kt t 2 [0, (4a0 k) 1 y llamando ⌧ = (4a0 k) , tenemos que a0 = (4k⌧ ) solución anterior mediante la fórmula u(x, t) = p A0 1 t/⌧ exp ⇣ ⇣ a x2 ⌘ ⇣ a x2 ⌘ A0 A0 0 0 exp p exp M exp(ax2 ), 1 4a0 kt 1 4a0 kT 1 4a0 kt 1 4akT donde de donde obtenemos una familia de soluciones de crecimiento rápido de la ecuación del calor ut = kuxx u(x, t) = p p 1 ⌘ x2 , 4k(⌧ t) 1 y podemos describir la 187 u(x, 0) 0, x 2 R, tal que t 2 [0, ⌧ ). sup u(x, t) M exp(ax2 ), t2[0,T ] t 2 [0, T ], (15.2) x 2 R. Entonces u(x, t) 0 para todo (x, t) 2 R ⇥ [0, T ]. Demostración. Sin pérdida de generalidad supondremos que T < (4ka) 1 . En efecto, si tenemos unicidad para los intervalos temporales de longitud menor que (4ka) 1 , podemos descomponer cualquier intervalo [0, T ] como una unión de subintervalos [0, T ] ✓ con 0 = ⌧0 < · · · < ⌧N = T , ⌧i+1 el resultado de unicidad. Sea 1 T < . 4a0 k 1 Teorema 15.1. Sea u 2 C(R ⇥ [0, T ]) \ C 2 (R ⇥ (0, T )) una función tal que Vamos a mostrar la unicidad de solución dentro del espacio vectorial de las soluciones dominadas por una solución de crecimiento rápido con a0 . 4a0 kT Por tanto las funciones que verifican (15.2) coinciden con aquellas que verifican la acotación sup |u(x, t)| M exp(ax2 ), x 2 R. (15.3) ut kuxx , El teorema de unicidad de Tychonov ⇣ a x2 ⌘ A0 0 exp , 1 4a0 kt 1 4a0 kt a= t2[0,T ] ), Observemos que si A0 6= 0, entonces lı́mt!⌧ |u(x, t)| = 1. Por tanto, R ⇥ (0, ⌧ ) es el mayor dominio donde puede definirse este tipo de soluciones de crecimiento rápido. La relación 4k⌧ a0 = 1 nos indica que cuanto más rápido es el crecimiento de la solución más pequeño es el intervalo temporal donde podemos definir la solución. |u(x, t)| p A0 , 1 4akT v(x, t) := p N[1 [⌧i , ⌧i+1 ], i=0 ⌧i < (4ka) 1 y aplicar en cada subintervalo ⇣ a x2 ⌘ M 0 exp 1 4a0 kt 1 4a0 kt 188 con a < a0 < (4kT ) 1 , una solución de crecimiento más rápido que u(x, t). Consideremos la diferencia u(x, t) ⇣ a x2 ⌘ ✏M 0 exp 1 4a0 kt 1 4a0 kt " exp(a0 x2 )) = M exp(ax2 )(1 " exp((a0 a)x2 )). "v(x, t) M exp(ax2 ) 2 M (exp(ax ) p w(x, t) := u(x, t) a)r2 )v(x, t) exp( (a0 2 M exp(ax )(1 exp((a0 a)(x2 r2 ))), luego w(x, t) 0, Además w(x, 0) = u(x, 0) función w verifica |x| w(x, 0) 0, w(r, t) 0, x2 ) x 2 ( r, r), w( r, t) 0, a2 ) 0. Por tanto, la a)r2 )v(x, t) = u1 (x, t) u2 (x, t), ⇣ a x2 ⌘ M exp( (a0 a)r2 ) 0 p exp , 1 4a0 kt 1 4a0 kt para x 2 [ r, r], t 2 [0, T ]. Para cada x fijo, podemos tomar r > |x| y hacer tender r ! 1 para deducir la desigualdad u(x, t) 0. Demostración. La función u(x, t) = u2 (x, t) del Teorema 15.1, luego u(x, t) 0. t 2 [0, T ]. u1 (x, t) satisface las hipótesis Consideremos el problema de valor inicial en la recta para la ecuación del calor con constante de difusividad k = 1 ut (x, t) = uxx (x, t), Corolario 15.2. Sea u 2 C(R ⇥ [0, T ]) \ C (R ⇥ (0, T )) una solución del problema de valor inicial lı́m u(x, 0) = (x). t!0+ sup |u(x, t)| M exp(ax2 ), t2[0,T ] x 2 R. Sea ut (x, t) = uxx (x, t), para todo x 2 R, t 2 (0, T ), que verifica (15.3). Entonces u = 0. 189 (16.2) N (R ⇥ [0, T ]) := {u 2 C(R ⇥ [0, T ]) \ C 2 (R ⇥ (0, T )) | u(x, 0) = 0, Demostración. Basta con aplicar el Teorema 15.1 a u y (16.1) pro el Teorema de unicidad de Tychonov, existe a lo sumo una solución del problema tal que se verifica 2 ut = kuxx , x 2 R, 16. Solución fundamental de la ecuación del calor t 2 [0, T ]. Por el principio del máximo, w(x, t) 0 para (x, t) 2 [ r, r] ⇥ [0, T ], de donde se deduce u(x, t) exp( (a0 Teorema 15.4 (Principio de comparación). Si u1 , u2 son soluciones de la ecuación del calor ut = kuxx en R ⇥ [0, T ] que verifican (15.3) y u1 (x, 0) u2 (x, 0), entonces r, t 2 [0, T ]. M exp( a0 (r2 wt kwxx , Demostración. Por el Corolario 15.2, si u1 y u2 son dos soluciones de (15.1), entonces su diferencia w = u2 u1 debe ser idénticamente nula. Observación. En el caso en que el dominio sea R ⇥ (0, T 0 ) o R ⇥ (0, +1), el teorema de Tychonov también es válido. Basta con tomar T < T 0 arbitrario o T arbitrariamente grande. a)r2 ), obtenemos Eligiendo " = exp( (a0 Teorema 15.3 (de unicidad de Tychonov). El problema de valor inicial (15.1) admite a lo sumo una solución en el dominio R ⇥ [0, T ] que verifica la condición (15.3). u. y existen a 2 R, M 0, tales que supt2[0,T ] |u(x, t)| M exp(ax2 ), para todo x 2 R}. 190 (16.3) el conjunto de las soluciones definidas en R ⇥ [0, T ] que verifican la acotación (16.2). Veamos que N (R ⇥ [0, T ]) es un espacio vectorial. En efecto, si u1 , u2 2 N (R ⇥ [0, T ]) con |u1 (x, t)| M1 exp(a1 x2 ), |u2 (x, t)| M2 exp(a2 x2 ), (x, t) 2 R ⇥ [0, T ], entonces v(x, t) = c1 u1 (x, t)+c2 u2 (x, t) es una función C(R⇥[0, T ])\C 2 (R⇥ (0, T )) que verifica vt = vxx y la acotación |u1 (x, t)| |c1 |M1 exp(a1 x2 ) + |c2 |M2 exp(a2 x2 ) M exp(ax2 ) donde a = máx(a1 , a2 ) y M = |c1 |M1 + |c2 |M2 . Del Teorema de unicidad de Tychonov, se deduce que la aplicación evaluación en t = 0 E : u 2 N (R ⇥ [0, T ]) ! u(·, 0) 2 C(R), es una aplicación lineal inyectiva. Por tanto, el problema de encontrar la única solución (16.1) en N (R ⇥ [0, T ]) es equivalente a describir la aplicación inversa E 1 : E(N (R ⇥ [0, T ])) ! N (R ⇥ [0, T ]). La inversa de una aplicación lineal es una aplicación lineal. Por tanto, E 1 es un operador lineal, es decir, una aplicación lineal que transforma funciones en funciones. Los operadores lineales que admiten una representación integral a través de un núcleo aparecen frecuentemente en la resolución de ecuaciones diferenciales. En el caso de la ecuación del calor mostraremos que existe un núcleo resolvente Z +1 E 1 [ ](x) := K(x, y, t) (y)dy, 2 E(N (R ⇥ [0, T ])), 1 Proposición 16.1. El núcleo de Weierstrass es un núcleo de convolución, es decir K(x, y, t) = S(x y, t). Demostración. Para cada función 2 E(N (R ⇥ [0, T ])) definamos Z u(x, t) := K(x, y, t) (y)dy, v(x, t) = u(x + c, t), x 2 R, t 2 [0, T ]. R Sea a0 > a cualquiera, entonces la función cuadrática a(x + c)2 alcanza su valor máximo en ⇠ := ac/(a0 2 exp(a(x + c) ) = exp(a(x + c)2 exp(a0 x2 ) Definiendo a0 x2 a), de donde se deduce que a0 x2 ) exp(a(⇠ + c)2 M 0 := M exp(a(⇠ + c)2 a0 ⇠ 2 ), 8x 2 R. a0 ⇠ 2 ), deducimos que v 2 N (R ⇥ [0, T ]), ya que v 2 C(R ⇥ [0, T ]) \ C 2 (R ⇥ [0, T ]) verifica vt = vxx y además |v(x, t)| |u(x + c, t)| M exp(a(x + c)2 ) M 0 exp(a0 x2 ). Las funciones u, v 2 N (R⇥[0, T ]) verifican u(x, 0) = (x) y v(x, 0) = (x+c). Utilizando la representación de Weierstrass tenemos Z Z u(x + c, t) = v(x, t) = K(x, y, t) (y + c)dy = K(x, y c, t) (y)dy R De donde se deduce que Z (K(x + c, y, t) R K(x, y c, t)) (y)dy = 0. R Tomando una condición inicial cualquiera obtenemos la propiedad de invariancia por traslaciones llamado núcleo de Weierstrass. Como la restricción de una solución es también una solución se puede trabajar sin pérdida de generalidad con la representación de la solución para condiciones iniciales en el espacio E(N (R ⇥ [0, +1)) del que se sabe que contiene a todas las funciones continuas y acotadas. Esto permite deducir que el núcleo de Weierstrass no depende de T . Sea S(x, t) := K(x, 0, t) entonces tenemos Veremos cómo las propiedades del problema de valor inicial (16.1) nos permiten obtener la expresión del núcleo de Weierstrass. La función S(x, t) asociada al núcleo de convolución recibe el nombre de solución fundamental de la ecuación de difusión ut = uxx . 191 192 K(x + c, y, t) = K(x, y S(x y, t) = K(x c, t), x, y, c 2 R, y, 0, t) = K(x, y, t), x, y 2 R, t 2 [0, T ]. t 2 [0, T ]. Proposición 16.2. Para cada r > 0, la solución fundamental de la ecuación ut = uxx verifica S(x, t) = rS(rx, r2 t). 2 E(N (R ⇥ [0, +1))) Demostración. Para cada función u(x, t) := Z S(x y, t) (y)dy, R x 2 R, t R 0, es la solución de la ecuación ut = uxx en N (R⇥[0, +1)) que verifica u(x, 0) = (x). Notemos que v(x, t) = u(x/r, t/r2 ) pertenece a N (R ⇥ [0, +1)), vt = vxx y v(x, 0) = (x/r), ası́ que tenemos v(x, t) = Z S(x y, t) (y/r)dy, R y u(x, t) = v(rx, r2 t) = Z S(rx x 2 R, t 0, y, r2 t) (y/r)dy. R Mediante el cambio de variables y = rz obtenemos u(x, t) = Z rS(r(x Tomando Como S(x, t), St (x, t), Sx (x, t) y Sxx (x, t) son funciones integrables en la variable x para todo t > 0, podemos derivar bajo el signo integral y, teniendo en cuenta que, u es una solución de la ecuación diferencial ut uxx = 0 deducimos Z ⇣@ @2 ⌘ 0= S(x y, t) (y)dy @t @x2 R Z = (St (x y, t) Sxx (x y, t)) (y)dy. R Como es una función arbitraria tenemos que St = Sxx . Bajo las hipótesis de la Proposición 16.3, podemos definir Z x Q(x, t) := S(y, t)dy, x 2 R, t > 0, 1 z), r2 t) (z)dz. R Comparando esta expresión de u(x, t) con la definición, se deduce que Z 2 E(N (R ⇥ [0, +1))), entonces tenemos Z u(x, t) := S(x y, t) (y)dy, x 2 R, t 0. Demostración. Sea llamada función fuente de la ecuación ut = uxx . Como la solución fundamental verifica St = Sxx , también tendremos Z x Qt (x, t) Qxx (x, t) = (St (y, t) Sxx (y, t))dy = 0. 1 (S(x y, t) rS(r(x y), r2 t)) (y)dy = 0. R una función arbitraria deducimos que S(x, t) = rS(rx, r2 t). El nombre de solución fundamental parece indicar que S(x, t) es una solución de la ecuación de la difusión. Veamos que S(x, t) verifica la ecuación ut = uxx . Proposición 16.3. Sea S(x, t) la solución fundamental de la ecuación ut = uxx en R ⇥ (0, +1). Si S(x, t), St (x, t), Sx (x, t) y Sxx (x, t) son funciones integrables en la variable x para todo t > 0 entonces St (x, t) = Sxx (x, t), 193 x 2 R, t > 0. Observemos que la función Q(x, t) verifica Z rx Z x Z Q(rx, r2 t) = S(y, r2 t)dy = rS(rz, r2 t)dz = 1 x 1 S(z, t)dz, 1 de donde se deduce que Q(rx, r2 t) = Q(x, t), para todo r > 0. La función fuente puede interpretarse como una solución del problema de valor inicial con condición inicial discontinua Qt (x, t) = Qxx (x, t), lı́m Q(x, t) = H(x), t!0+ 194 donde H(x) = ( 0, si x < 0, si x = 0, si x > 0. 1/2. 1, es la función escalón unitario de Heaviside. En efecto, aplicando la representación del núcleo de Weierstrass a la condición inicial H(x) obtenemos Z S(x y, t)H(y)dy = R Z S(y, t)H(x y)dy = R Z Proposición 16.3. La función fuente Q(x, t) viene dada por Z x ⇣ x ⌘ 1 1 2 Q(x, t) = + erf p , erf(x) := p exp( y 2 )dy. 2 2 ⇡ 0 2 t y la solución fundamental de la ecuación ut = uxx es S(x, t) = p x S(y, t)dy = Q(x, t). 1 Demostración. Tomando r = Observemos que, como H no es una función continua en 0, Q no puede ser una función continua en un entorno de (0, 0). Por ello expresamos la condición inicial en forma de lı́mite con objeto de precisar cómo debe interpretarse dicha condición. Para hallar la función S(x, t), primero determinaremos la función Q(x, t). p t, en la relación Q(x, t) = Q(x/r, t/r2 ), deducimos que ⇣ x2 ⌘ 1 exp . 4t 4⇡t (x, t) 2 R ⇥ [0, 1), u(x) u0(x) 1 p Q(x, t) = Q(x/ t, 1). p Definiendo la función q(x) := Q(x, 1), tenemos que Q(x, t) = q(x/ t) y el problema se reduce a obtener la función q. Qt (x, t) = x 0⇣ x ⌘ 1 ⇣ x ⌘ 1 ⇣ x ⌘ p q p , Qx (x, t) = p q 0 p , Qxx (x, t) = q 00 p , t 2t t t t t t la relación Qt = Qxx da lugar a la ecuación diferencial ⇣ x ⌘ x ⇣ x ⌘ p q0 p q 00 p = t 2 t t p y llamando ⇠ = x/ t, tenemos 0.8 0.6 0.4 ⇠ 0 q (⇠), 2 q 00 (⇠) = 0.2 cuya solución es 0 q(⇠) = C1 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Por tanto Figura 29. Difusión de un escalón unitario 195 r > 0. Teniendo en cuenta que t=1.00 -4 (16.4) Q(x, t) = C1 Z Z ⇠ exp( y 2 /4)dy + C2 . 0 p x/ t exp( y 2 /4)dy + C2 . 0 196 Vamos a determinar las constantes C1 y C2 para que se verifique la condición inicial. Para x > 0, tenemos Z +1 1 = lı́m+ Q(x, t) = C1 exp( y 2 /4)dy + C2 t!0 de donde se deduce (16.4). Aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo a Q(x, t) = 0 y para x < 0, tenemos 0 = lı́m+ Q(x, t) = C1 t!0 Z 1 obtenemos S(x, t) = 2 exp( y /4)dy + C2 . 0 Teniendo en cuenta la simetrı́a del integrando tenemos Z 0 Z +1 Z 1 +1 exp( y 2 /4)dy = exp( y 2 /4)dy = exp( y 2 /4)dy. 2 1 1 0 Z +1 exp( y 2 /4)dy = 1 Z +1 exp( x2 )dx = p ⇡. S(x, t) = p Como K(x, y, t) = S(x Weierstrass 1 Por tanto, la verificación de la condición inicial equivale a resolver el sistema de ecuaciones p p C1 ⇡ + C2 = 1, C1 ⇡ + C2 = 0, de donde obtenemos 1 C1 = p , 2 ⇡ C2 = 1 . 2 Por la definición de H(x), se tiene lı́m Q(0, t) = t!0+ 1 = H(0). 2 Observemos que, como la función Q(x, t) es creciente en x y lı́m Q(x, t) = 0, x! 1 lı́m Q(x, t) = 1, x!+1 (16.5) Q(x, t) = 1 1 + p 2 2 ⇡ Z p x/ t exp( y 2 /4)dy = 0 197 1 1 +p 2 ⇡ Z p x/ 4t exp( y 2 )dy, 0 S(y, t)dy. 1 @Q (x, t) @x ⇣ x2 ⌘ 1 exp . 4t 4⇡t y, t), obtenemos la expresión del núcleo de K(x, y, t) = p ⇣ (x y)2 ⌘ 1 exp . 4t 4⇡t Por tanto el problema de valor inicial (16.1) con la condición (16.2) puede resolverse mediante la fórmula Z ⇣ (x y)2 ⌘ 1 u(x, t) = p exp (y)dy. 4t 4⇡t R Observemos que la solución de la ecuación del calor se puede expresar como un producto de convolución de la solución fundamental por la condición inicial Z Z u(x, t) = S(x y, t) (y)dy = S(y, t) (x y)dy = S(·, t) ⇤ R los valores de Q(x, t) se encuentran acotados entre 0 y 1 al igual que los valores de la condición inicial H(x). Por tanto x lo que permite expresar la función S(x, t) en términos de la función Q(x, t). Derivando fórmula (16.4) con respecto a x se deduce que Por otro lado 1 2 Z R Aplicando la definición de Q(x, t) deducimos Z +1 S(y, t)dy = lı́m 1 x!+1 Z x S(y, t)dy = lı́m Q(x, t) = x!+1 1 198 1 + erf(+1) = 1. 2 Por tanto, la función S(·, t) es una función de densidad de una variable aleatoria para cada t > 0. Recordemos que una variable aleatoria tiene distribución gaussiana (normal) si su función de densidad es de la forma N (y; µ, ) = ⇣ (y 1 p exp 2 2⇡ 2 µ)2 ⌘ con constante de difusividad k arbitraria, imponiendo la condición inicial en un instante t0 cualquiera. Para ello, basta con notar que v(x, s) := u(x, t0 + s/k) está definida en R ⇥ [0, +1], verifica las condiciones vs (x, s) = vxx (x, s), siendo µpla media y la desviación tı́pica. Teniendo en cuenta que K(x, y, t) = N (y; x, 2t), podemos interpretar el núcleo de Weierstrass K(x, y, t) como la función de densidad depuna variable aleatoria normal (o gaussiana) con media x y desviación tı́pica 2t. En consecuencia, el valor de la solución u(x, t) de la ecuación del calor puede interpretarse como el valor esperado (X), p donde X es una variable aleatoria normal de media x y desviación tı́pica 2t. 1 lı́m v(x, s) = (x). s!0+ La única solución en N (R ⇥ [0, T ]) es Z v(x, s) = K(x, y, s) (y)dy. R Deshaciendo el cambio de variables s = k(t t0 ) deducimos que Z u(x, t) = K(x, y, k(t t0 )) (y)dy R Z ⇣ (x y)2 ⌘ 1 =p exp (y)dy 4k(t t0 ) 4⇡k(t t0 ) R es la única solucion del problema de (16.6) en 0.8 Nk (R ⇥ [t0 , t0 + T ]) :={u 2 C(R ⇥ [t0 , t0 + T ]) \ C 2 (R ⇥ (t0 , t0 + T )) | 0.6 ut = kuxx , y existen a, M 2 R tales que supt2[t0 ,t0 +T ] |u(x, t)| M exp(ax2 ), x 2 R}. 0.4 Teorema 16.4. Sea una función continua tal que 0.2 | (x)| M exp(ax2 ), 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 para ciertos a, M 2 R, y sea 0 < T < (4ak) 4 u(x, t) = p Figura 30. Solución fundamental para t = 0.1, 0.5, 1, 2. El núcleo de Weierstrass permite abordar problemas de valor inicial ut (x, t) = kuxx (x, t), lı́m u(x, t0 ) = (x). t!t+ 0 199 (16.6) 1 4⇡k(t t0 ) Z exp R ⇣ (x 4k(t 1 . Entonces y)2 ⌘ (y)dy, t0 ) t 2 (t0 , t0 + T ], es una función C 1 (R⇥(t0 , t0 +T ]) que verifica la ecuación del calor ut = kuxx y satisface la condición inicial lı́m u(x, t) = (x). t!t+ 0 200 Además u verifica la mayoración |u(x, t)| p M 1 4ak(t t0 ) exp ⇣ ax2 4ak(t 1 t0 ) ⌘ . Demostración. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que t0 = 0 y que k = 1. Para comprobar las propiedades de diferenciabilidad, veamos que podemos dominar uniformemente todas las derivadas sucesivas del integrando S(x exp ⇣ x2 ⌘ x , 4t 2t lı́m exp(2aR|y| |y|!1 Sxx (x, t) = exp Para órdenes de derivacion más altos tenemos ⇣ x2 ⌘ @nS (x, t) = ( 1)n exp (4t) n @x 4t ⇣ x2 ⌘⇣ x2 4t 4t2 n/2 1⌘ . 2t p Hn (x/ 4t), donde Hn es el n-ésimo polinomio de Hermite. Demostremos por inducción la fórmula anterior, teniendo en cuenta la recurrencia 2xHn (x) Hn0 (x) = Hn+1 (x) @ n+1 S (x, t) @xn+1 ⇣ x2 ⌘ ⇣ 1 p p x⌘ (4t) n/2 p Hn0 (x/ 4t) Hn (x/ 4t) = 4t 2t 4t ⇣ x2 ⌘ ⇣ p p ⌘ x = ( 1)n exp (4t) (n+1)/2 2Hn (x/ 4t) p Hn0 (x/ 4t) 4t 4t ⇣ x2 ⌘ p = ( 1)n+1 exp (4t) (n+1)/2 Hn+1 (x/ 4t). 4t = ( 1)n exp Ahora podemos acotar @nS (y, t) (x @xn Teniendo en cuenta que y, t) (y). Teniendo en cuenta que la solución fundamental verifica la ecuación del calor St = Sxx en R ⇥ (0, 1), bastará con controlar las derivadas sucesivas de S(x, t) respecto a x. Observemos que Sx (x, t) = Para obtener una dominación uniforme consideramos 1 x 2 [ R, R], t 2 [⌧, T ], h = a > 0, 4T p @nS (y, t) (y) M exp(a(x y)2 ) exp( (4T ) 1 y 2 )(4⌧ ) n/2 Hn (y/ 4⌧ ) n @x . p M (4⌧ ) n/2 exp(aR2 + 2aR|y| hy 2 ))Hn (y/ 4⌧ ) y) M exp(a(x y)2 ) exp 201 ⇣ y2 ⌘ (4t) 4t n/2 p Hn (y/ 4t). p hy 2 )Hn (y/ 4⌧ ) = 0, deducimos que podemos dominar el integrando uniformemente. Esta dominación nos permite deducir que u(x, t) es indefinidamente diferenciable. Además tenemos Z ut (x, t) uxx (x, t) = (St (x, t) Sxx (x, t)) (x y)dy = 0. R Veamos que lı́mt!0+ u(x, t) = (x). Tenemos que Z (x) u(x, t) = S(y, t)( (x) (x y))dy R Z +1 ⇣ y2 ⌘ 1 =p exp ( (x) (x y))dy, 4t 4⇡t 1 p Si hacemos un cambio de variable en la integral y/ 4t = z, tenemos Z +1 p 1 exp( z 2 )( (x) (x z 4t)dz (x) u(x, t) = p ⇡ 1 Como es continua, sabemos que para todo " > 0, existe un | (x) Entonces 1 p ⇡ Z p (x y)| "/2, exp( z 2 )| (x) |z| / 4t 1 máx | (x) (x y)| p ⇡ y2[ ,+ ] Z " 1 " < p exp( z 2 )dz = . 2 ⇡ R 2 202 > 0 tal que 8|y| . (x Z p z 4t)|dz = p |z| / 4t exp( z 2 )dz p p Queremos dominar exp( z 2 )| (x) (x z 4t)|, para |z| > / 4t. Para ello, tengamos en cuenta que nuestra hipótesis sobre el crecimiento de implica que p p | (x z 4t)| M exp(a(x z 4t)2 ) es una función acotada. Sea t < (8a) 1 | (x) p z 4t)2 p z 4t)2 z 2 /2 = Z ⇣ (x y)2 ⌘ 1 | (y)| exp dy 4t 4⇡t R Z ⇣ M (x y)2 ⌘ p exp(ay 2 ) exp dy 4t 4⇡t R Z ⇣ 1 ⌘ M p exp(ay 2 ) exp ((x y)2 4aty 2 ) dy 4t 4⇡t R z 2 /2). alcanza su valor máximo ax2 (1 tanto, podemos escribir 2 exp( z /2) (x p 4a txz + ax2 , 8at)z 2 /2 (1 1 8at) en z = p 4ax t(1 Teniendo en cuenta que t < T < 1/4a 8at) 1 . Por (x ⇣ ax2 ⌘ z 4t) M exp . 1 8at 2 z 4t)| exp( z )(| (x)| + | (x ⇣ ax2 ⌘ exp( z 2 )M exp(ax2 ) + exp( z 2 /2)M exp 1 8at ⇣ ax2 ⌘ 2M exp exp( z 2 /2). 1 8at exp( z )| (x) (x p z 4t)|) Z 1 ((x 4t y) 2 2 |z| exp( z 2 )| (x) (x 4aty ) = z= p z 2t)|dz / 4t ⇣ ax2 ⌘ Z 2M p exp 1 4at0 |z| ⇡ p / 4t exp( z 2 /2)dz ! 0, t ! 0+ , de donde se deduce la existencia de t1 > 0 tal que si t < t1 , 1 p ⇡ Z |z| p exp( z 2 )| (x) / 4t 203 (x p ⇣ p1 4at p y 4t p 1 4at p y 4t se tiene p 2xy + x2 y haciendo el cambio Por tanto 1 p ⇡ 4aty 2 = (1 4at)y 2 ⇣p = 1 4aty x 1 4at ⌘2 x2 + x2 , 1 4at de donde Entonces tenemos 2 y)2 p p 0 < t t1 . |u(x, t)| p y la función cuadrática a(x u(x, t)| ", Por último, la mayoración se deduce de la representación integral , entonces p z 4t) M exp(a(x exp( z 2 /2) (x Luego p z 2t)|dz "/2. p p x 4t(1 x 4t(1 4at) 4at) ⌘2 + ax2 1 4at , ⇣ ax2 ⌘ Z ⇣ ((1 4at)y x)2 ⌘2 M |u(x, t)| p exp exp dy 1 4at R 4t(1 4at) 4⇡t p ⇣ ax2 ⌘ Z M 4t p =p exp exp( z 2 )dz 1 4at R 4⇡t 1 4at ⇣ ax2 ⌘ M =p exp . 1 4at 1 4at 204 El semigrupo uniparamétrico de transformaciones asociado a la ecuación del calor La única solución del problema de valor inicial para la ecuación del calor en la recta ut = kuxx , u(x, t0 ) = (x), en en Nk (R ⇥ [t0 , t0 + T ]) puede expresarse a través del núcleo de Weierstrass u(x, t) = Z S(x y, k(t Por tanto, la solución del problema de valor inicial ut = kuxx , S(x, t) := p u(x, t) = Sk(t1 Ek,t0 !t1 [u](x) = Z siendo ⇣ x2 ⌘ 1 exp . 4t 4⇡t Para t0 < t1 , sea Ek,t0 !t1 la aplicación que asocia a cada función u(·, t0 ), la función S(x y, k(t1 St [ ](x) = = Como consecuencia del Teorema de unicidad de Tychonov se deduce que Ek,t0 !t1 = Ek,t0 !t2 . Observemos que Ek,t0 !t1 = Ek,0!t1 t0 , lo que permite deducir la siguiente propiedad aditiva Ek,0!T2 = Ek,0!T1 +T2 , que convierte a la familia uniparamétrica de transformaciones lineales Ek,0!T , T 2 [0, +1) en un semigrupo. 205 Z t0 ) [ S(x ](x), y, t) (y)dy. R La fórmula anterior puede interpretarse si consideramos a la ecuación del calor como una ecuación diferencial ordinaria sobre el espacio vectorial de las funciones C 2 (R). Cada solucion u 2 Nk (R ⇥ [0, T ]), puede verse como una función como una función t0 )) (y)dy R correspondiente a los valores en t = t1 de la única solución u del problema de valor inicial (16.6) en Nk (R ⇥ [t0 , t0 + T ]). Ek,t1 !t2 u(·, t0 ) = puede expresarse en la forma t0 )) (y)dy, R donde Ek,0!T1 Un cambio en la escala temporal permite relacionar ecuaciones con distintas constantes de difusividad de modo que la familia uniparamétrica de operadores St := E1,0!t , t 0, es suficiente para describir la solución general de la ecuación del calor Ek,t0 !t1 = Sk(t1 t0 ) U : t 2 [0, T ] 7! u(t, ·) 2 C 2 (R) con valores en el espacio vectorial de dimensión infinita de las funciones C 2 (R) de modo que podemos escribir U 0 (t) = kA[U (t)], U (t0 ) = U0 2 siendo A : C (R) ! C(R) el operador diferencial lineal dado por A[ ](x) := D2 [ ](x) = U000 (x). La solución del problema viene dada por U (t) = Sk(t t0 ) [U0 ]. En el caso finito-dimensional, la solución general de un sistema diferencial lineal y0 (t) = kAy(t), y(t0 ) = y0 , puede expresarse en la forma y(t; t0 , y0 ) = exp(k(t t0 )A)y0 . La analogı́a entre ambos problemas, permite identificar el semigrupo uniparamétrico de operadores St , t 0, con el semigrupo exponencial exp(tD2 ) St = exp(tD2 ), 206 t 0. Apéndice: cálculo de algunas integrales relacionadas R +1 p Nuestro objetivo es justificar la fórmula 1 exp( y 2 )dy = ⇡ y efectuar el cálculo de otras integrales relacionadas con la ecuación del calor. Para ello introducimos la función definida mediante la fórmula integral (x) := Z exp( t)tx 1 dt, x > 0. 0 (1) = Z +1 exp( t)dt = 1. 0 Integrando por partes puede verificarse la siguiente ecuación funcional (x + 1) = +1 x exp( t)t dt = x 0 Z lo que permite deducir que el valor de exp( tx)t dt = x (x), 0 para cualquier entero es 1)! Algunas integrales pueden expresarse en términos de la función , por ejemplo R1 la integral 0 (1 x)p xq dx. Para calcularla utilizamos el Teorema de Fubini = Z Z +1 exp( t)tx 1 dt 0 Z Z +1 exp( s)sy 1 ds 0 s)tx exp( t +1 0 +1 Z 1 y 1 s dtds = s/(t + s) podemos expresar 1 exp( ⌧ )(⌧ 0 ⌧ )x 1 (⌧ )y 1 ⌧ d d⌧ Z ⌧ 1 d⌧ (1 )x 1 y 1 d , exp( ⌧ )⌧ x+y Z ⌧ = (x + y) (1 )x = Z [0,+1)⇥[0,+1) Mediante un cambio de variables ⌧ = t + s, la integral en la forma (x) (y) = 0 0 207 Realizando el cambio x = (1 + sen ✓)/2 en la integral anterior, obtenemos Z 1 Z ⇡/2 dx p = d✓ = ⇡, x x2 0 ⇡/2 de donde se deduce que x 1 0 1 y 1 d (p + 1) (q + 1) . (p + q + 2) 1/2 en la fórmula anterior tenemos Z 1 dx p (1/2)2 = x x2 0 +1 (n) = (n (x) (y) = x)p xq dx = 0 Tomando p = q = +1 Observemos que Z de donde deducimos que Z 1 (1 (1/2) = p ⇡. Utilizando la ecuación funcional (x + 1) = x (x), podemos calcular el valor de para todos los números de la forma n + 1/2, siendo n un entero p Y n ⇡ (n + 1/2) = n (2j 1). 2 j=1 Podemos aplicar ahora nuestros cálculos para obtener el valor de integrales de la forma Z +1 ⇣ y2 ⌘ exp y n dy 4t 0 con t > 0. Realizamos el cambio de variables y = 2t1/2 x1/2 , obteniendo Z +1 Z +1 ⇣ y2 ⌘ dx exp y n dy = 2n tn/2 exp( x)xn/2 2t1/2 1/2 4t 2x 0 0 ⇣n + 1⌘ = 2n t(n+1)/2 . 2 Tomando n = 0 en la fórmula anterior obtenemos Z +1 Z +1 ⇣ y2 ⌘ ⇣ y2 ⌘ p p exp dy = 2 exp dy = 2 (1/2) t = 4⇡t 4t 4t 1 0 y para t = 1/4 Z +1 exp( y 2 )dy = 1 208 p ⇡. 17. La ecuación de Laplace de donde se deduce la ecuación de Poisson La ecuación elı́ptica más simple es la ecuación de Laplace es u = 0. Las soluciones de la ecuación de Laplace se llaman funciones armónicas. La versión no homogénea de la ecuación de Laplace div grad u(x) = ✏ 1 ⇢(x), Si no hay cargas en la región considerada, el potencial eléctrico verifica la ecuación de Laplace u = 0. Las ideas anteriores pueden generalizarse a otros campos conservativos como el campo gravitatorio. Es bien conocido que el campo gravitatorio g(x) generado por una distribución de masas ⇢(x) verifica la ley de Gauss u=f recibe el nombre de ecuación de Poisson. div g(x) = Ecuación de Laplace y fenómenos estacionarios La ecuación de Laplace aparece con frecuencia en fenómenos intependientes del tiempo. Ası́ las ondas estacionarias utt = c2 u, ut = 0, Por tanto, el potencial gravitatorio es la solución de la ecuación de Poisson ut = 0, div grad u(x) = obedecen a la ecuación de Laplace. La ecuación de Laplace también aparece en electrostática. Si no hay desplazamientos de cargas ni variaciones temporales en los campos eléctrico y magnético, las ecuaciónes de Maxwell div E(x, t) = ✏ 1 ⇢(x, t), div B(x, t) = 0, rot E(x, t) = Bt (x, t) rot B(x, t) = µ✏Et (x, t) + µJ(x, t), se reducen a div E(x) = ✏ 1 ⇢(x), rot E(x) = 0, siendo G = 6.67428 ⇥ 10 11 N m2 kg 2 la constante de gravitación universal. Como la fuerza gravitacional es una fuerza conservativa, existe una función potencial u(x), llamado potencial gravitatorio tal que g(x) = grad u(x). y las soluciones estacionarias de la ecuación de difusión ut = k u, 4⇡G⇢(x), div B(x) = 0, rot B(x) = 0 Como rot E = 0, se deduce que el campo eléctrico deriva de un potencial 4⇡G⇢(x). En regiones vacı́as del espacio donde no hay masa, el potencial gravitatorio verificará la ecuación de Laplace u = 0. Otro ejemplo interesante es el flujo estacionario que se produce en un fluido. Generalmente, el estado dinámico de un fluido viene determinado por la velocidad v(x, t) en cada punto x e instante de tiempo t. Recordemos que la ley de conservación de la masa puede formularse en forma diferencial ⇢t (x, t) + div(⇢(x, t)v(x, t)) = 0. Si el fluido es incompresible, entonces ⇢ debe ser constante. Luego tenemos E(x) = grad u(x), div v(x, t) = 0. 209 210 Si el flujo es estacionario, entonces vt = 0, de donde podemos suponer que la velocidad en el seno del fluido sólo depende de las variables espaciales div v(x) = 0. Derivando formalmente en la serie respecto a x obtenemos ux (x, y) + ivx (x, y) = Si el flujo estacionario es irrotacional, es decir la matriz @v(x)/@x es simétrica, tenemos que grad div v(x) = v(x), luego las componentes de la velocidad verifican la ecuación de Laplace v(x) = 0. y la condición de flujo estacionario incompresible div v(x) = 0 equivale a la ecuación de Laplace u(x) = 0 z0 ) n = 1 X nan (x + yi z0 ) n 1 n=1 = f 0 (x + iy), y derivando respecto a y uy (x, y) + ivy (x, y) = Además puede demostrarse que existe una función u(x) llamada potencial de velocidades tal que v(x) = grad u(x), 1 @ X an (x + iy @x n=0 1 @ X an (x + iy @y n=0 z0 ) n = i 1 X nan (x + yi z0 ) n 1 n=1 = if 0 (x + iy). Combinando ambas fórmulas se obtiene uy (x, y) + ivy (x, y) = i(ux (x, y) + ivx (x, y)), para el potencial de velocidades. Ecuaciones de Cauchy-Riemann y funciones armónicas Una función analı́tica puede definirse como aquella que se expresa en torno a cada punto del dominio z0 como una serie de potencias de radio no nulo f (z) = 1 X an (z z0 ) n , n=0 an 2 C. La serie puede derivarse término a término y en el caso de convergencia de la serie de las derivadas, se deduce que la serie de las derivadas es precisamente el desarrollo en serie de potencias de la función derivada f 0 (z) = 1 X nan (z z0 ) n 1 . n=1 de donde se deducen las ecuaciones de Cauchy-Riemann uy (x, y) = vx (x, y), vy (x, y) = ux (x, y). Derivando las ecuaciones de Cauchy-Riemann tenemos uxx = vxy = uyy , vxx = vyy , de donde se deduce que las partes real e imaginaria de una función analı́tica verifican la ecuación de Laplace uxx + uyy = 0, vxx + vyy = 0. La función analı́tica puede verse como una función de dos variables reales y dos componentes reales. Llamando z = x + iy, u(x, y) = Re f (x + iy), v(x, y) = Im f (x + iy), tenemos f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) 211 uxy = 212 Principio del máximo Una función subarmónica es aquella que verifica la desigualdad u 0. Corolario 17.2. Sea D un conjunto abierto conexo con clausura compacta D̄ y sea u 2 C(D̄) una función armónica en D. Entonces u alcanza su máximo y su mı́nimo en la frontera @D. Demostración. Basta con aplicar el principio del máximo a u y Las funciones subarmonicas verifican el prinicipio del máximo, que puede considerarse como una generalización a varias variables de una propiedad de las funciones convexas en una variable. Es bien conocido que si una función convexa tiene un extremo relativo en el interior de un intervalo, este es un mı́nimo. Esta propiedad puede verse bajo el siguiente punto de vista: el máximo de toda función convexa definida en un intervalo debe alcanzarse en los extremos. La correspondiente propiedad de las funciones subarmónicas da lugar al llamado principio del máximo. Teorema 17.1 (Principio del máximo). Sea D un conjunto abierto conexo con clausura compacta D̄ y sea u 2 C(D̄) una función subarmónica en D. Entonces el máximo de u se alcanza en la frontera @D. Pn Demostración. Sea v" (x) = u(x) + " i=1 x2i , entonces v" = 2n" > 0 en D. Se deduce que la matriz hessiana de v✏ no es semidefinida negativa y la función v" no puede alcanzar su máximo valor en el interior. Por tanto, el máximo de v" se alcanza en x" 2 @D, u. Corolario 17.3 (Unicidad del problema de Dirichlet). Sea D un conjunto abierto conexo con clausura compacta D̄. El problema de Dirichlet x 2 D, u(x) = f (x), u(x) = g(x), x 2 @D, para la ecuación de Poisson, tiene a lo sumo una solución u 2 C(D̄). Demostración. Si u1 y u2 son dos soluciones, su diferencia u2 u1 es una función armónica, continua en D̄ y nula en la frontera. Por el principio del máximo, su valor máximo y mı́nimo deben ser nulos, luego u2 u1 = 0. Propiedad del Valor Medio Aplicando el teorema de la divergencia a la relación div(v(x) grad u(x)) = grad v(x) grad u(x) + v(x) u(x), v" (x" ) = máx v" (x). x2D̄ Entonces tenemos que u(x) < v" (x) v" (x" ) = u(x" ) + "kx" k22 máx u(x) + "l2 , x2@D máx u(x) máx u(x) máx u(x) + "l2 , x2@D x2D̄ y haciendo tender " ! 0, obtenemos máx u(x) = máx u(x). x2D̄ D v(x)Dn u(x)d (x). (17.1) @D Tomando v = 1, en (17.1) se tiene siendo l := máxx2@D kxk2 . Luego x2@D se obtiene la primera fórmula de Green Z Z (grad v(x) grad u(x) + v(x) u(x))dx = x2@D Z Dn u(x)d (x) = @D Z u(x)dx. D Si u es una función armónica, se deduce que Z Dn u(x)d (x) = 0. @D Como consecuencia del principio del máximo tenemos 213 La fórmula anterior es útil para mostrar la propiedad del valor medio. 214 (17.2) Teorema 17.4 (Propiedad del valor medio). El promedio del valor de una función armónica en una esfera coincide con su valor en el centro R u(x0 + x)d (x) kxk2 =r 0 R u(x ) = . d (x) kxk2 =r Demostración. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que el centro es el origen, x0 = 0. Sea Sn 1 la hiperesfera unitaria de dimensión n 1 S n 1 cuya medida medida (n n 1)-dimensional denotamos por 1 Vamos a aplicar la fórmula (17.2) a una función armónica en el dominio D = Br (0) := {x 2 R | kxk2 r}, cuya frontera es @D = {ry 2 Rn | kyk2 = 1} = rSn 1 . En cada punto de la esfera x = ry, y 2 S , la dirección normal exterior n(x) es y = r 1 x y el elemento de superficie es d (ry) = rn 1 d✓(y), donde d✓ denota el elemento de superficie de la esfera unitaria (también puede considerarse como un elemento de ángulo solido). De (17.2) se deduce que Z Dn u(x)d (x) = kxk2 =r = rn 1 Z Sn 1 Dy u(ry)rn Sn 1 grad u(ry) · y d✓(y). Sea F (r) := Z u(ry)d✓(y), Sn 1 215 lı́m F (r) = u(0)!n r!0+ Por tanto, R SnR u(ry)d✓(y) = d✓(y) Sn 1 1 R 1. kxk2 =r R u(x)d (x) kxk2 =r d (x) . En esta sección daremos una interpretación fı́sica del funcional Z E[u] := (grad u(x))2 dx D u(x) = h(x), n 1 Z lo que implica que F (r) es una función constante, además en términos de energı́a potencial e introduciremos la idea de que las funciones armónicas minimizan la energı́a entre aquellas que satisfacen las mismas condiciones de contorno. Para ello recordemos que el problema de contorno de Dirichlet u = 0, n 0= 1 Principio de Dirichlet 2⇡ n/2 . (n/2) := Sn u(0) = := {x 2 R | kxk2 = 1} !n entonces derivando respecto a r, obtenemos Z F 0 (r) = grad u(ry)ry d✓(y) = 0, 1 d✓(y) x 2 @D, puede interpretarse como la posición que adopta una membrana elástica forzada a ajustarse a un determinado contorno en la frontera. Podemos definir la energı́a potencial asociada a una membrana como el trabajo necesario para desplazar la membrana desde la posición dada a la posición de equilibrio bajo condiciones adecuadas. Supongamos que la posición actual u se ha obtenido como estado final de estados intermedios us , s 2 [0, 1], donde u0 = 0 y u1 = u Teniendo en cuenta que densidad de fuerza de tensión en la dirección transversal es aproximadamente hT0 u, donde h es el grosor de la membrana y T0 el esfuerzo de tensión, este trabajo puede estimarse como Z 1Z @us Wu!0 = hT0 us (x) (x)dxds @s 0 D 216 Tomando v = @us /@s en la primera fórmula de Green (17.1), tenemos Z 1Z @us Wu!0 = hT0 grad us (x) grad (x)dxds @s 0 D Z 1Z @us hT0 Dn us (x) (x)d (x)ds. @s 0 @D El primer término es independiente del camino recorrido Z 1Z Z Z 1 @us 1 @ grad us (x) grad (x)dxds = (grad u(x))2 dsdx @s 2 @s 0 D D 0 Z 1 = (grad u(x))2 dx. 2 D El segundo término corresponde al trabajo realizado por los esfuerzos de tensión exteriores al dominio sobre su frontera. Eliminando el trabajo realizado correspondiente a las fuerzas exteriores al domino D, vemos que puede definirse la energı́a potencial elástica a través de la integral Z hT0 (grad u(x))2 dx. 2 D Teorema 17.5 (Principio de Dirichlet). De todas las funciones w 2 C(D̄) de energı́a finita que verifican la condición de frontera de Dirichlet w(x) = h(x), x 2 @D, Tomando v = w u en la primera fórmula de Green (17.1) tenemos Z grad u(x) grad(w u)(x)dx D Z Z = (w u)(x)Dn u(x)dx (w u)(x) u(x)dx. @D E[w] = E[u] + E[w Como u es armónica en D, tenemos que u = 0 y el funcional E puede expresarse como una integral sobre la frontera. Z 1 E[u] = u(x)Dn u(x)dx. 2 @D u(x)Dn u(x) = 0, lo que implica que u|@D = h. Entonces tenemos u)] = E[u] + E[w 217 u] + Z grad u(x) grad(w D E[u]. Si u verifica condiciones de Dirichlet o de Neumann homogéneas, entonces Demostración. Como hemos visto, la energı́a potencial es proporcional al funcional cuadrático Z 1 E[u] := (grad u(x))2 dx. 2 D E[w] = E[u + (w u] La unicidad de solución del problema de Dirichlet o de Neumann puede deducirse de un argumento basado en la energı́a elástica almacenada por la función armónica. En efecto, si u 2 C(D̄) es una función armónica cuya energı́a sobre D es finita, entonces por la primera fórmula de Green (17.1) tenemos Z Z Z 1 1 1 E[u] = (grad u(x))2 dx = u(x)Dn u(x)dx u(x) u(x)dx. 2 D 2 @D 2 D la función de menor energı́a potencial es la única función armónica u = 0, D El primer término del segundo miembro es nulo, por ser w u nula en la frontera y el segundo término es nulo por ser u armónica. Por tanto, tenemos u)(x)dx. Z x 2 @D, (grad u(x))2 dx = 0. D Se deduce que grad u = 0 en D y que la función u es constante. Si u1 y u2 son dos funciones armónicas que verifican la misma condición de Dirichlet, entonces u = u2 u1 = 0 y tenemos unicidad de solución. En el caso en que u1 y u2 sean dos funciones armónicas que verifican la misma condición de Neumann, sólo podemos deducir que u2 u1 es constante. Por lo tanto, el problema de Neumann tiene solución única salvo adición de constantes. 218 18. Solución fundamental y función de Green En este capı́tulo, demostraremos que puede expresarse la solución de la ecuación del problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace a través de una fórmula integral. Esta fórmula integral está intimamente ligada a las ideas de solución fundamental y función de Green de una ecuación en derivadas parciales, que mostraremos en el caso de la ecuación de Laplace. Soluciones radiales de la ecuación de Laplace Las soluciones radiales correspondientes a D = 0 y C = 1/!n 1 , donde !n 1 = 2⇡ n/2 / (n/2) es la medida n 1 dimensional de la esfera unitaria, reciben el nombre de soluciones fundamentales de la ecuación de Laplace o potencial Newtoniano N (x) := fn (kxk2 ), Buscamos soluciones radiales u(x) =Pf (kxk2 ) de la ecuación de Laplace en n Rn \ {0}. Llamando r(x) = kxk2 = ( i=1 x2i )1/2 , tenemos @r xi (x) = , @xi r(x) y xi xi 1 ⇣ = 1 2 r(x) r(x) r(x) @2r 1 (x) = @x2i r(x) x2i ⌘ , r(x)2 @ @r xi f (r(x)) = f 0 (r(x)) (x) = f 0 (r(x)) , @xi @xi r(x) ⇣ @r ⌘2 @2 @2r f (r(x)) = f 00 (r(x)) (x) + f 0 (r(x)) 2 (x) 2 @xi @xi @xi ⇣ 2 0 x f (r(x)) x2i ⌘ = f 00 (r(x)) i 2 + 1 , r(x) r(x) r(x)2 de donde obtenemos u(x) = f 00 (r(x)) + (n 1) f 0 (r(x)) . r(x) Por tanto, si la función radial u(x) = f (r(x)) es armónica en x 6= 0, entonces f (r) debe ser solución de la ecuación diferencial f 00 (r) = de donde se deduce que 1 n r f 0 (r), f (r) = Cr 1 n 2 , (18.1) si n > 2. La primera fórmula de Green (17.1) puede escribirse en la forma Z Z (v u + grad v · grad u)dx = vDn ud (x). D @D Intercambiando los papeles de u y v obtenemos Z Z (u v + grad u · grad v)dx = D uDn vd (x). @D Al restar ambas fórmulas, desaparecen los términos grad u · grad v, obteniéndose la llamada segunda fórmula de Green Z Z (u v v u)dx = (uDn v vDn u)d (x). (18.2) D @D y) = fn (kx yk2 ) = N (y x), en el abierto e integrando obtenemos 219 si n = 2, Aplicando la segunda fórmula de Green a la solución fundamental (18.1) , 8 < Cr + D, f (r) = C log(r) + D, : 2 n Cr /(2 n) + D, si n = 1, La fórmula de representación de Green N (x 0 81 > r, > > > 2 > > < 1 log r, fn (r) := 2⇡ > > > > > 1 > : (n 2)!n 1 rn D \ B̄r (y) = {x 2 D | kx si n = 1, si n = 2, si n > 2. yk2 > "} obtenemos la tercera fórmula de Green, también llamada fórmula de representación de Green que permite expresar una función armónica en términos de los valores de la función y de sus derivadas normales en la frontera. 220 Proposición 18.1 (Fórmula de representación de Green). Sea D un abierto acotado con frontera orientable y lipschitziana y sea u 2 C 2 (D̄), entonces Z u(y) = N (x y) u(x)dx+ Z D + grad N (x y)n(x)u(x) N (x y)Dn u(x) d (x). @D En particular, si u es una función armónica en D, entonces Z u(y) = grad N (x y)n(x)u(x) N (x y)Dn u(x) d (x). Demostración. Para demostrar la fórmula de representación de Green, podemos aplicar una traslación, lo que permite suponer sin pérdida de generalidad que y = 0. La fórmula (18.3) se reduce a Z N (x) u(x)dx + D Z N (x) u(x)dx = D\B̄r (0) Z Dn u(x)d (x) = kxk=r lı́m r!0 kxk=r Veamos que (18.4) se obtiene al tomar lı́mites cuando r ! 0 en la expresión anterior. Z Z u(x)dx. Br (0) Dn u(x)d (x) = 0. kxk=r Por otro lado fn0 (r) Z u(x)d (x) u(0) = kxk=r !n 1 n 1r 1 Z máx |u(x) x2B̄r (0) (u(x) kxk=r u(0)| y de la continuidad de u en el origen deducimos lı́m fn0 (r) r!0 Z u(x)d (x) = u(0), kxk=r lo que justifica el paso al lı́mite cuando r ! 0. En primer lugar tengamos en cuenta que N (x) es una función continua en Rn \ {0} e integrable en un entorno del origen porque rn 1 fn (r) es una 221 N (x) u(x)dx. D Sea R > 0 tal que B̄R (0) ⇢ D. Como u es continua en D̄, está acotada y tenemos Z !n 1 r n fn (r) u(x)dx f (r) máx | u|, n x2D̄ Br (0) @D Por lo tanto, tenemos Z Z N (x) u(x)dx + (Dn N (x)u(x) N (x)Dn u(x))d (x) = D\B̄r (0) @D Z Z = fn0 (r) u(x)d (x) fn (r) Dn u(x)d (x). Z De la primera fórmula de Green (17.1), se deduce que N (x)Dn u(x))d (x). (18.4) @(D\B̄r (0)) kxk=r r!0 Z luego (Dn N (x)u(x) Como N es armónica en el abierto D \ B̄r (0), deducimos de la segunda fórmula de Green que Z Z N (x) u(x)dx = (Dn N (x)u(x) N (x)Dn u(x))d (x). D\B̄r (0) lı́m (18.3) @D u(0) = función continua y que u(x) es una función continua en el compacto D̄. Por tanto, podemos pasar al lı́mite en la integral 222 u(0))d (x) Solución del problema de Dirichlet y función de Green La fórmula de representación de Green puede utilizarse para resolver el problema de Dirichlet mediante una fórmula integral. Definición 18.2. La función de Green (o núcleo de Green) para el operador Laplaciano y el dominio D es una función G : (x, y) 2 D̄ ⇥ D ! R tal que G(x, y) N (x y) es una función armónica con G(x, y) = 0 para todo x 2 @D, y 2 D. La función de Green para un dominio dado permite obtener una representación integral de la solución del problema de Dirichlet para la ecuación de Poisson. Tengamos en cuenta que el dominio no puede ser arbitrario ya que las representaciones integrales de las soluciones se basan en el Teorema de representación de Green y es necesario imponer condiciones de orientabilidad y regularidad en la frontera. Aunque la representación integral es muy útil, la función de Green de un cierto dominio puede ser difı́cil de construir. La solución u del problema de Dirichlet para la ecuación de Poisson en el dominio D u = f, u(x) = g(x), x 2 @D, puede expresarse como suma de dos funciones u1 +u2 , donde u1 es una solución del problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace (problema de Laplace) u = 0, u(x) = g(x), x 2 @D, y u2 es una solución del problema de Dirichlet con condiciones homogéneas para la ecuación de Poisson (problema de Poisson) u = f, u(x) = 0, x 2 @D, Teorema 18.3. La solución del problema de Laplace u = 0, u(x) = g(x), x 2 @D, viene dada por la fórmula integral de Poisson u(y) = Z P (x, y)g(x)d (x), @D donde P : (x, y) 2 @D ⇥ D ! R es el llamado núcleo de Poisson, obtenido de la función de Green mediante la fórmula P (·, y) = Dn G(·, y). Demostración. Sin pérdida de generalidad tomemos y = 0. Sea v(x) := G(x, 0) N (x). Por la definición de función de Green, v es armónica. Por la tercera fórmula de Green (18.3), tenemos Z u(0) = (u(x)Dn N (x) N (x)Dn u(x))d (x), @D y por la segunda fórmula de Green (18.2), Z 0= (u(x)Dn v(x) v(x)Dn u(x))d (x). @D Sumando ambas fórmulas Z u(0) = (u(x)Dn G(x, 0) y, por definición de función de Green, G(x, 0) = 0 para todo x 2 @D, ası́ que la fórmula se reduce a Z Z u(0) = u(x)Dn G(x, 0)d (x) = P (x, 0)u(x)d (x). @D @D La función de Green puede utilizarse para expresar la solución del problema de Poisson. Teorema 18.3. La solución del problema de Poisson u = f, u(x) = 0, x 2 @D, viene dada por la fórmula integral Z u(y) = G(x, y)f (x)dx, D 223 G(x, 0)Dn u(x))d (x). @D 224 donde G : (x, y) 2 D̄ ⇥ D ! R es la función de Green G(x, y). Demostración. Sin pérdida de generalidad tomamos y = 0. Apliquemos la fórmula de representación de Green en el abierto D al potencial Newtoniano N (x) y tendremos Z N (x)f (x)dx D Z N (x)Dn u(x)d (x) = u(0). @D Z v(x)f (x)dx D v(x)Dn u(x)d (x) = 0. @D G(x, 0)f (x)dx D Z Sin embargo los polinomios son suma de monomios, que tienen las variables separadas. Por tanto podemos esperar que la familia de funciones que son sumas de funciones de variables separadas sea una familia suficientemente extensa para poder representar un amplio conjunto de soluciones de una ecuación diferencial. Si V y W son dos espacios vectoriales de funciones de una sola variable, se define el producto tensorial de ambos espacios como N X V ⌦W ={ fi (x)gi (y) | fi 2 V, gi 2 W, i = 1, . . . , N, N 2 N} el conjunto de sumas finitas de productos de funciones en cada variable. G(x, 0)Dn u(x)d (x) = u(0). Si V y W son espacios de dimensión finita, entonces @D Como G(x, 0) = 0 para todo x 2 @D, obtenemos u(0) = h(x, y) = X(x)Y (y), i=1 Sumando ambas fórmulas tenemos Z No todas las funciones de 2 variables tienen las variables separadas es decir son expresables como producto de una función de cada variable. Sea v(x) = G(x, 0) N (x). Aplicando la segunda fórmula de Green a la función armónica v en el abierto D, tenemos Z 19. El método de separación de variables Z dim(V ⌦ W ) = dim V · dim W. En efecto si i , i = 0, . . . , n, es una base del espacio V y j , j = 0, . . . , m es una base del espacio W , entonces el conjunto de funciones G(x, 0)f (x)dx. { i (x) D j (y) | i = 0, . . . , n, j = 0, . . . , m} es una base de V ⌦ W . El ejemplo más caracterı́stico de producto tensorial de espacios vectoriales es n X m X Pn,m (R2 ) := aij xi y j | aij 2 R i=0 j=0 el espacio de polinomios cuyo grado en x es menor o igual que n y cuyo grado en y es menor o igual que m. Si denotamos por Pn (R) el conjunto de polinomios en una indeterminada de grado menor o igual que n, tenemos Pn,m (R2 ) = Pn (R) ⌦ Pm (R). 225 226 El conjunto de polinomios en dos indeterminadas es el producto tensorial del espacio de polinomios en una indeterminada por sı́ mismo [ P (R2 ) = Pn (R) ⌦ Pm (R) = P (R) ⌦ P (R). n,m 0 El teorema de aproximación de Weierstrass afirma que los polinomios son densos en el conjunto de las funciones continuas sobre un compacto. Como el espacio C(I) ⌦ C(J) contiene a todos los polinomios, se deduce que es denso en el conjunto de todas las funciones continuas bivariadas C(I ⇥ J), siendo I, J intervalos compactos. Por lo tanto, aunque no toda funcion sea de variables separadas ni suma de funciones de variables separadas, podemos esperar que pueda expresarse como lı́mite de sumas (o series) de funciones de variables separadas. La discusión anterior motiva el siguiente método de búsqueda de soluciones de ecuaciones en derivadas parciales. Primero intentamos conocer las soluciones de variables separadas y obtenemos espacios de soluciones mediante sumas finitas de soluciones con variables separadas. Después estudiamos el proceso de paso al lı́mite. El método de separación de variables es especialmente útil cuando se presentan condiciones de contorno. En el análisis de las soluciones de la ecuación de ondas utt = c2 uxx , Una motivación para el análisis de las ondas mediante funciones trigonométricas es el fenómeno de reflexión de ondas en un intervalo. Supongamos que tenemos una cuerda vibrante sujeta por ambos extremos, lo que corresponde a imponer condiciones de Dirichlet homogéneas. Si tenemos un pulso viajero elemental desplazándose hacia uno de los extremos, este se reflejará y se convertirá en un pulso viajando a la velocidad contraria hasta que se vuelva a reflejar en el otro extremo. Conforme pasa el tiempo las reflexiones en uno y otro extremo se suceden indefinidamente. Como el pulso viaja a la velocidad c, una vez transcurrido el tiempo 2l/c el pulso coincide con el pulso inicial. Esto sugiere que las soluciones de la ecuación de ondas son periódicas en el tiempo con un periodo igual a 2l/c. Las funciones trigonométricas son las funciones periódicas más simples por lo que cabe esperar que existan soluciones de la forma u(x, t) = (x) cos(!t) + (x)! El valor de A corresponde a la amplitud de la onda, k es es llamado número de onda relacionado con la longitud de onda mediante la fórmula k = 2⇡/ , ! es la pulsación o frecuencia angular, relacionada con el periodo T mediante ! = 2⇡/T , y es la fase de la onda. Para que la fórmula anterior corresponda a soluciones de la ecuación de ondas, es preciso que se tenga la relación ! c= = . k T En el análisis tradicional de las ondas, se estudia preferentemente el comportamiento de las soluciones sinusoidales porque se presupone que una solución arbitraria puede descomponerse como suma o serie de tales soluciones. 227 sen(!t), es decir, buscamos soluciones que correspondan para cada x a un movimiento armónico simple, por lo que tales soluciones deben verificar la ecuación diferencial ⇡c utt + ! 2 u = 0, ! 2 Z. l Al imponer la ecuación de ondas obtenemos juegan un papel importante las soluciones sinusoidales de la forma u(x, t) = A sen(kx ± !t + '). 1 ! 2 (x) = c2 00 ! 2 (x) = c2 (x), 00 (x) de donde deducimos que ambas funciones y son soluciones de la ecuación diferencial ! y 00 (x) + k 2 y(x) = 0, k = . c Por tanto, el conjunto de soluciones que verifican utt = c2 uxx , utt + ! 2 u = 0, es un espacio vectorial de dimensión 4, generado por la base de soluciones de variables separadas cos(!t) cos(kx), cos(!t) sen(kx), sen(!t) cos(kx), 228 sen(!t) sen(kx), con k = !/c. Las soluciones trigonométricas obtenidas pueden expresarse como la suma de dos ondas viajeras sinusoidales A1 sen(kx !t + '1 ) + A2 sen(kx + !t + '2 ). Teniendo en cuenta que k = !/c, el hecho que la frecuencia angular sea un múltiplo de la frecuencia fundamental ⇡c/l, !2 ⇡c Z l El método de separación de variables parte de la búsqueda de soluciones de variables separadas de una ecuación diferencial dada. Centraremos nuestro análisis en el estudio de la ecuación de ondas por su importancia histórica, aunque este método también puede aplicarse a la ecuación del calor y a la ecuación de Laplace. Convenientemente adaptado, el método de separación de variables puede utilizarse para determinar series que expresan soluciones de ecuaciones no homogéneas, ecuaciones con coeficientes variables, ecuaciones de orden superior o incluso con más de dos variables. Proposición 19.1. El problema de contorno de Dirichlet implica que ⇡ Z l Observemos que esto da una condición geométrica sobre la longitud de onda = 2⇡/k, 2l l = k 2 Z. ⇡ utt = c2 uxx k2 Las vibraciones sonoras que se producen en un instrumento musical (por ejemplo, una cuerda de guitarra o el tubo de resonancia de una flauta) están gobernadas por ecuaciones en derivadas parciales muy similares a la ecuación de ondas. La geometrı́a de un instrumento musical impone condicones de contorno que limitan el tipo soluciones (su longitud de onda y por tanto su frecuencia) de la ecuación diferencial dada. Las soluciones de estas ecuaciones pueden aproximarse mediante combinaciones lineal de soluciones más simples de modo que los coeficientes de dicha combinación lineal decrecen rápidamente. Este hecho corresponde a la idea de que en un instrumento musical simple se produce un sonido que puede interpretarse como la combinanción de un tono principal al cual le acompañan otros armónicos cuya frecuencia es un múltiplo de la del tono principal. La forma en que se combinan estos tonos es responsable del timbre propio de cada instrumento. (19.1) u(0, t) = 0 = u(l, t) u(x, 0) = (x), ut (x, 0) = (x) admite soluciones de variables separadas no nulas si y sólo si (x) = aX(x), (x) = bX(x), (19.2) siendo a, b 2 R constantes no simultáneamente nulas y X(x) una solución no trivial de problema de contorno X 00 (x) + X(x) = 0, para cierto valor de es de la forma X(0) = X(l) = 0, (19.3) 2 R. En ese caso, la única solución del problema (19.1) u(x, t) = X(x)T (t), (19.4) siendo T (t) la única solución del problema de valor inicial T 00 (t) + c2 T (t) = 0, T (0) = a, T 0 (0) = b. (19.5) Por tanto, podemos afirmar que el sonido que emiten los instrumentos musicales está estrechamente relacionado con la descomposición de la solución de un problema de contorno de la ecuación de ondas como serie de soluciones trigonométricas correspondientes a frecuencias caracterı́sticas. El análisis del problema de Dirichlet homogéneo para la ecuación de ondas mediante el método de separación de variables nos permitirá comprender mejor esta relación entre geometrı́a de los medios elásticos y la frecuencia de sus vibraciones caracterı́sticas. Demostración. En primer lugar veamos qué soluciones del problema pueden ser de variables separadas u(x, t) = X(x)T (t). La solución que buscamos no debe ser nula, lo que implica que X(x) y T (t) no deben ser funciones idénticamente nulas. Por tanto, existe x0 2 [0, l] y t0 2 R tales que X(x0 ) 6= 0 y T (t0 ) 6= 0. Al imponer que u(x, t) sea solución de la ecuación diferencial, obtenemos la relación 229 230 X(x)T 00 (t) = c2 X 00 (x)T (t). (19.6) Al sustituir x = x0 , t = t0 , obtenemos la relación que existen soluciones no triviales se llaman valores propios del problema de Sturm-Liouville. Cada solución no trivial de un problema de Sturm-Liouville recibe el nombre de función propia y está asociada a un valor propio. X 00 (x0 ) T 00 (t0 ) = 2 . X(x0 ) c T (t0 ) Sea := X 00 (x0 ) = X(x0 ) T 00 (t0 ) . c2 T (t0 ) (19.7) Sustituyendo en (19.5), t = t0 , obtenemos T 00 (t0 ) X (x) = 2 X(x) = c T (t0 ) 00 X(x). Ası́ que tenemos que X(x) es solución del problema de contorno (19.3). Supongamos que el problema (19.2) admite soluciones no triviales para algún valor de . Para determinar T (t), tenemos que sustituir en (19.6), x = x0 obteniendo c2 T (t). Finalmente, observamos que si queremos que se verifiquen las condiciones iniciales debemos tener T 0 (0)X(x) = (x), y llamando T (0) = a, T 0 (0) = b, vemos que debe verificarse (19.2) con a y b no simultáneamente nulas. Recı́procamente, si las condiciones iniciales son de la forma (19.2), siendo X(x) solución de (19.3), y si T (t) es solución del problema de valor incial (19.5), entonces T (t)X(x) es solución del problema de Dirichlet. La unicidad de solución de (19.1) se deduce del método de la energı́a expuesto en la última sección del Capı́tulo 13. El problema de contorno dependiente de un parámetro (19.3) es un caso particular de problema de Sturm-Liouville. Los valores del parámetro para los 231 X(x)T (t) Y (x)S(t), X(x)S(t) + Y (x)T (t) no son soluciones de variables separadas propiamente dichas pero son una suma de dos funciones de variables separadas, aunque cada uno de los sumandos no es solución. X(0) = X(l) = 0. T (0)X(x) = (x), (X(x)+iY (x))(T (t)+iS(t)) = X(x)T (t) Y (x)S(t)+i(X(x)S(t)+Y (x)T (t)), la partes reales e imaginarias de estas soluciones Las condiciones de contorno se traducen en X 00 (x0 ) T 00 (t) = c2 T (t) = X(x0 ) Si consideramos la posibilidad de que las funciones propias y los valores propios sean complejos, entonces aparecerán soluciones de variables separadas de la forma Otro motivo para tomar en consideración las soluciones complejas son las las ondas amortiguadas, que aparecen en algunos problemas de contorno, e↵(x ct) cos(kx !t)), ! = kc, y que pueden expresarse de un modo compacto, como la parte real de una onda exponencial compleja e(↵+ki)(x ct) . Nuestro próximo objetivo es resolver el problema de Sturm-Liouville (19.3). Lema 19.2. El problema de Sturm-Liouville (19.3) solamente tiene valores propios reales positivos ⇣ n⇡ ⌘ , n 2 N. n = l A cada valor propio propias n, corresponde un espacio unidimensional de funciones Xn (x) := sen ⇣ n⇡x ⌘ l . Demostración. Consideraremos separadamente los casos en que = 0, > 0 y 2 / R. 232 < 0, Si < 0, podemos escribir = k 2 , con k > 0. La solución general de la ecuación diferencial X 00 (x) = k 2 X(x) es Al imponer las condiciones de contorno obtenemos un sistema de ecuaciones que deben verificar las constantes c0 , c1 2 R c0 exp( kl) + c1 exp(kl) = 0, cuya matriz de coeficientes tiene determinante det ✓ 1 exp( kl) 1 exp(kl) ◆ = exp(kl) exp( kl) > 0, ya que la función exponencial es una función estrictamente creciente. Por lo tanto c0 = c1 = 0, y solamente obtenemos soluciones triviales en este caso. Deducimos que no existen valores propios negativos. Si c0 = 0, c0 cos(kl) + c1 sen(kl) = 0. Si sen(kl) 6= 0, entonces c0 = c1 = 0 y sólo tenemos soluciones triviales. X(x) = c0 exp( kx) + c1 exp(kx). c0 + c1 = 0, Al imponer las condiciones de contorno obtenemos Por lo tanto, si = k 2 es un valor propio del problema (19.3), entonces sen(kl) = 0, k > 0. La ecuación anterior equivale a decir que la constante k debe ser un múltiplo entero de 2⇡/l. Teniendo en cuenta que k > 0, obtenemos una sucesión de creciente de valores de k kn := n⇡ , l n 2 N, para los que se verifica la condición sen(kl) = 0. Correspondiendo a cada kn , obtenemos los valores propios del problema de Sturm-Liouville (19.3) = 0, entonces la solución general de la ecuación diferencial n = kn2 , n 2 N, es X(x) = c0 + c1 x. Xn (x) := sen(kn x) = sen Al imponer las condiciones de contorno obtenemos c0 + c1 l = 0, de donde se deduce inmediatamente que c0 = c1 = 0 y solamente obtenemos soluciones triviales. Luego 0 no es valor propio. Finalmente, si solución general de > 0, entonces podemos escribir X 00 (x) + k 2 X(x) = 0 (19.9) a cada uno de los cuales corresponde un espacio unidimensional de soluciones del problema de contorno engendrado por la función propia X 00 (x) = 0 c0 = 0, (19.8) = k 2 con k > 0 y la ⇣ n⇡x ⌘ l , X(x) = c0 cos(kx) + c1 sen(kx). 233 (19.10) Otro caso posible teóricamente es que existiera un valor propio complejo no real. Para descartar ese caso, sea k es una raı́z cuadrada compleja de , es decir, = k 2 . Como 0 no es valor propio, podemos suponer k 6= 0. Un sistema fundamental de soluciones de X 00 (x) = k 2 X(x) viene dado por las funciones complejas exp( kx) y exp(kx). Por tanto, = k 2 será valor propio si y sólo si ✓ ◆ 1 1 det = 0, exp( kl) exp(kl) lo que equivale a afirmar que puede expresarse en la forma n 2 N. exp( kl)(exp(2kl) 234 1) = 0. Demostración. Las soluciones triviales aparecen al tomar n 2 N arbitrario y an = bn = 0. Si la solución es no trivial debe corresponder a alguna solución no trivial del problema de Sturm-Liouville (19.3), ⇣ n⇡ ⌘2 ⇣ n⇡x ⌘ , Xn (x) = sen . n = l l De la Proposición 19.1, deducimos que las condiciones iniciales deben verificar (19.11), y que la solución del problema es Xn (x)Tn (t), siendo Tn (t) la solución del problema de valor inicial ⇣ n⇡c ⌘2 T 00 (t) + T (t) = 0, T (0) = an , T 0 (0) = bn , l es decir Tn (t) = an cos ⇣ n⇡ct ⌘ l + bn ⇣ n⇡ct ⌘ l sen . n⇡c l Se deduce el siguiente resultado Figura 31. Funciones propias ±X5 del problema de Sturm-Liouville. Como los únicos ceros de la función exponencial compleja son los múltiplos de 2⇡i, se deduce que 2kl 2 2⇡iZ, es decir ⇡i k 2 Z, l de donde se deduce que = k 2 2 R y queda descartada la existencia de valores propios no reales. La discusión completa del problema de Sturm-Liouville nos permite deducir qué condiciones iniciales corresponden a soluciones con variables separadas. Teorema 19.3. El problema de contorno de Dirichlet (19.1) admite soluciones de variables separadas si y sólo si ⇣ n⇡x ⌘ ⇣ n⇡x ⌘ (x) = an sen , (x) = bn sen , (19.11) l l siendo an , bn 2 R. En ese caso, la solución del problema de Dirichlet es de la forma ⇣ n⇡x ⌘h ⇣ n⇡ct ⌘ ⇣ n⇡ct ⌘i bn l u(x, t) = sen an cos + sen . (19.12) l l n⇡c l 235 Teorema 19.4. Si las condiciones iniciales son de la forma (x) = N X an sen n=1 ⇣ n⇡x ⌘ l , (x) = N X n=1 bn sen ⇣ n⇡x ⌘ l , siendo an , bn 2 R, entonces la solución del problema de contorno de Dirichlet (19.1) es suma de soluciones con variables separadas u(x, t) = N X sen n=1 ⇣ n⇡x ⌘h l an cos ⇣ n⇡ct ⌘ l + ⇣ n⇡ct ⌘i bn l sen . n⇡c l Hemos mencionado que el espacio de las combinaciones de funciones de variables separadas C 2 [0, l] ⌦ C 2 (R) es denso en cierto sentido en el conjunto de todas las funciones C 2 ([0, l] ⇥ R). Esto nos hace pensar que tal vez toda solución pueda expresarse como lı́mite de soluciones que son combinaciones lineales de soluciones con variables separadas. En otras palabras, queremos expresar la solución general como una serie u(x, t) = 1 X n=1 sen ⇣ n⇡x ⌘h l an cos ⇣ n⇡ct ⌘ 236 l + ⇣ n⇡ct ⌘i bn l sen . n⇡c l Observemos que para determinar los coeficientes an , bn , debemos expresar las condiciones iniciales como series (x) = 1 X n=1 an sen ⇣ n⇡x ⌘ l , (x) = 1 X bn sen n=1 ⇣ n⇡x ⌘ l En 1751, Euler introdujo el problema de valor inicial para la ecuación de ondas y demostró que conocida la posición inicial y la distribución inicial de velocidades , las solución puede expresarse mediante la fórmula 1 2 (x + ct) + (x ct) + 1 2c Z x+ct (y)dy, x ct discutiendo la validez de la solución para condiciones iniciales no necesariamente continuas. Euler obtuvo soluciones en forma de serie trigonométrica, afirmando que eran un caso particular. En 1753, D. Bernoulli propuso que la solución general podı́a expresarse en forma de serie trigonométrica inspirado en consideraciones fı́sicas. El sonido en una cuerda vibrante es la suma del tono fundamental y de otros tonos (armónicos), deduciendo que toda solución era expresable en forma de serie trigonométrica. Euler afirmó que la solución propuesta por D. Bernoulli no era suficientemente general. En aquel momento los fundamentos del análisis moderno no disponı́an de herramientas que permitieran aclarar algunos conceptos como el concepto de continuidad y se discutı́a hasta qué punto las funciones continuas son funciones expresables analı́ticamente en el sentido de que pueden expresarse como fórmulas (o series). En 1807, Fourier demuestra en un trabajo que fue publicado posteriormente que las funciones periódicas de periodo 2⇡ pueden representarse mediante series 1 a0 X f (x) = + [an cos(nx) + bn sen(nx)], 2 n=1 237 1 ⇡ Z ⇡ f (x) cos(nx)dx, bn = ⇡ 1 ⇡ Z ⇡ f (x) sen(nx)dx, ⇡ abordando con ello la resolución de la ecuación del calor. , Pero no está claro si toda función puede expresarse como una serie trigonométrica. La cuestión de qué funciones podı́an ser expresadas como serie trigonométirca dio lugar a muchas controversias sobre la validez general de método de separación de variables. u(x, t) = an = Esto dio lugar a nuevas discusiones. Se advirtió que no toda función es expresable como serie de Fourier. En efecto, se necesitan ciertas condiciones complementarias como continuidad a trozos, finitud de la derivada, etc., para poder garantizar esta representación. La discusión que surgió en el análisis del método de separación de variables ha sido uno de las incentivos más relevantes para la revisión crı́tica de los conceptos fundamentales del análisis matemático, como continuidad, derivabilidad, analiticidad e integrabilidad, realizada desde comienzos del siglo XIX. La necesidad de conciliar las aparentes contradicciones que surgı́an con el método de separación de variables en el estudio de las Ecuaciones en Derivadas Parciales ha sido una de las causas que ha impulsado el aumento de rigor en el análisis matemático. Para dar una idea de la complejidad de los conceptos que intervienen a la hora de considerar series de soluciones de variables separadas, formularemos a continuación uno de los posibles resultados relativos a las series de soluciones en la resolución de la ecuación de ondas. En general, la convergencia de series de soluciones respecto a una norma, depende de las propiedades de estabilidad de la solución del problema respecto a dicha norma. En el siguiente resultado se muestran las propiedades de convergencia respecto a una seminorma asociada a la energı́a de una cuerda finita kukE := sup t2R hZ l (ut (x, t)2 + c2 ux (x, t)2 )dx 0 i1/2 . Notemos que la restricción de esta seminorma al espacio de funciones que verifican las condiciones de Dirichlet 1 CR ([0, l] ⇥ R) = {u 2 C 1 ([0, l] ⇥ R) | u(0, t) = u(l, t) = 0, 8t 2 R} es una norma. Para la demostración conviene recordar que la integral E[u] := Z l (ut (x, t)2 + c2 ux (x, t)2 )dx 0 238 1 no depende del tiempo, si u 2 CR ([0, l] ⇥ R) \ C 2 ((0, l) ⇥ R) es una solución de la ecuación de ondas, por lo que el cálculo de la norma k · kE se simplifica notablemente kukE = hZ l (ut (x, 0)2 + c2 ux (x, 0)2 )dx 0 i1/2 . Teorema 19.5. Sea el problema de contorno de Dirichlet (19.1), y supóngase que las condiciones iniciales pueden expresarse en serie trigonométrica (x) = 1 X an sen n=1 ⇣ n⇡x ⌘ l , (x) = 1 X bn sen n=1 ⇣ n⇡x ⌘ l lı́m N !1 lı́m N !1 0 0 Z l⇣ (x) 0 N X bn sen n=1 ⇣ n⇡x ⌘⌘2 l lı́m krN kE = 0, lo que implica la convergencia de la serie que expresa la única solución del problema. 20. Sistemas ortogonales y series de Fourier En este capı́tulo estudiaremos desarrollos en serie de funciones de la forma en un espacio normado pre-Hilbert. dx = 0. Entonces, la solución del problema (19.1) puede expresarse en forma de una serie u(x, t) = 1 X sen n=1 ⇣ n⇡x ⌘h l an cos ⇣ n⇡ct ⌘ l ⇣ n⇡ct ⌘i bn l + sen , n⇡c l N !1 u(x, t) N X n=1 sen ⇣ n⇡x ⌘h l rN (x, t) := u(x, t) n=1 sen que proviene de un producto escalar h·, ·i. I an cos ⇣ n⇡ct ⌘ l + ⇣ n⇡ct ⌘i bn l sen n⇡c l E = 0. Demostración. Por la linealidad del problema (19.1), tenemos que N X Recordemos que un espacio prehilbertiano en un espacio vectorial F dotado de una norma 1/2 kuk = hu, ui Ejemplos tı́picos de espacios pre-Hilbert son espacios vectoriales de funciones u tales que Z u(x)2 r(x)dx < +1, convergente en el sentido de que lı́m Las condiciones del enunciado implican que N !1 N ⇣ n⇡x ⌘⌘2 X n⇡an cos dx = 0, l l n=1 (x) Z l h⇣ ⇣ @r (x, 0) ⌘2 i @rN (x, 0) ⌘2 N + c2 dx = @t @x 0 Z l⇣ N N ⇣ n⇡x ⌘⌘2 ⇣ ⇣ n⇡x ⌘⌘2 X X n⇡an 0 (x) cos dx + (x) bn sen dx. l l l 0 n=1 n=1 krN kE = , en el sentido de que Z l⇣ es una solución de (19.1), tal que ⇣ n⇡x ⌘h l an cos 239 ⇣ n⇡ct ⌘ l ⇣ n⇡ct ⌘i bn l + sen n⇡c l siendo I un intervalo de la recta real y r una función positiva. En este caso la norma y el producto escalar son kuk := ⇣Z u(x)2 r(x)dx I ⌘1/2 , hu, vi := Z u(x)v(x)r(x)dx (20.1) I La norma permite definir una distancia d(u, v) = ku vk y una topologı́a. Decimos que la sucesión de funciones un 2 F converge en norma a una función u si d(un , u) = kun uk ! 0 para n ! 1. Si toda sucesión de Cauchy es 240 convergente enel espacio pre-Hilbert F , entonces F es completo, y decimos que F es un espacio de Hilbert. reciben el nombre de desarrollos en serie de Fourier. Dado un sistema ortogonal de funciones (un )n2N , los espacios vectoriales Una sucesión de funciones En := hu1 , u2 , . . . , un i, u1 , . . . , un , . . . forman una sucesión creciente es un sistema ortogonal si hun , um i = 0, para todo n 6= m. Las funciones no nulas de un sistema ortogonal son linealmente independientes. En efecto, si u1 , . . . , uN son funciones ortogonales no nulas tales que Pn m=1 cm um = 0, entonces multiplicando por un tenemos 0= N X m=1 cm hun , um i = cn kun k2 , 0 ✓ E1 ✓ E2 ✓ · · · ✓ En ✓ · · · todos contenidos en el espacio n=1 2 = n X n,m=1 cn cm hun , um i = N X n=1 c2n kun k2 que puede considerarse como una versión general del teorema de Pitágoras N X En . n2N Si F es un espacio completo (llamado espacio de Hilbert), tiene sentido considerar la clausura Ē, de modo que E ✓ Ē ✓ F. Para un sistema ortogonal de funciones u1 , . . . , un , . . ., tenemos c n un [ E= de donde cn = 0, n = 1, . . . , N . N X n 2 N, un 2 = n=1 N X n=1 kun k2 . Los sistemas ortogonales surgen de forma natural al aplicar el método de separación de variables a la resolución de ecuaciones en derivadas parciales. Esto se debe al hecho de que las funciones propias del problema de Sturm-Liouville asociado son ortogonales respecto a cierta función peso r. La cuestión de si las condiciones iniciales son expresables como serie de funciones propias fue analizada por Fourier en su estudio de la ecuación del calor, por lo que los desarrollos en serie de funciones respecto a un sistema ortogonal f (x) = 1 X an un (x) n=1 241 Dada una función f 2 F cualquiera, buscamos la mejor aproximación de f por funciones de EN , es decir, una función 'N 2 EN de modo que k'N f k ku f k, 8 u 2 EN . Teorema 20.1. Sea u1 , . . . , uN un sistema ortogonal de funciones no nulas del espacio prehilbertiano F y sea EN = hu1 , . . . , uN i ✓ F . Sea 'N 2 EN la mejor aproximación de f 2 F en el espacio EN . Entonces 'N = N X hf, un i un hu n , un i n=1 (20.2) y está caracterizada por la propiedad 'N 2 EN , f 'N ? EN (20.3) Demostración. Si se verifica (20.3), entonces tenemos para toda función ' 2 EN kf 'k2 = k(f 'N ) + ('N ')k2 = kf 242 'N k2 + k'N 'k2 kf 'N k2 luego La expresión el el segundo miembro de (20.2) d('N , f ) d(', f ), 8' 2 EN , luego 'N es la mejor aproximación de f en EN . Recı́procamente, sea 'N 2 EN la mejor aproximación de f en EN , y sea g := f 'N . Entonces para todo u 2 EN tenemos kgk2 kg + tuk2 = kgk2 + 2thg, ui + t2 kuk2 , t 2 R. Observemos que para que la función cuadrática t 7! kg + t'k2 alcanze su mı́nimo valor en t = 0, es necesario que hg, ui = 0, luego hf 'N , ui = 0, La mejor aproximación es única porque, si v, w 2 EN fueran mejores aproximaciones, tendrı́amos f v ? EN , u, f de donde u y como u v ? EN , v 2 EN , tendrı́amos hu recibe el nombre de suma de Fourier. Una vez estudiada la mejor aproximación respecto a un espacio de dimensión finita, podemos preguntarnos si la sucesión de funciones 'N converge a f cuando N ! 1. En este caso 1 X hf, un i un hu n , un i n=1 8u 2 EN , 'N ? EN . lo que equivale a afirmar que f N X hf, un i un hu n , un i n=1 recibe el nombre de serie de Fourier. Teorema 20.2. Sea u1 , . . . , un , . . . un sistema ortogonal de funciones no nulas del espacio prehilbertiano F y sea f 2 F , entonces se tiene 1 X hf, un i2 kf k2 hu , u i n n n=1 (Desigualdad de Bessel) y se verifica la igualdad v, u vi = 0, luego u = v. Una vez vista la caracterización y unicidad veamos que la mejor aproximación viene dada por (20.2) y tendremos la existencia 1 X hf, un i2 = kf k2 hu , u i n n n=1 luego 'N , um i = 0, para todo m = 1, . . . , N , de donde se deduce que 'N definida por (20.2) verifica (20.3). 243 (Identidad de Parseval) si y sólo si la serie de Fourier 1 X hf, un i un hun , un i n=1 N X hf, un i hf, um i h'N , um i = hun , um i = hum , um i = hf, um i, hu , u i hu n n m , um i n=1 hf (20.4) converge en norma a f 2 F . Demostración. Sea cn := hf, un i hun , un i 244 y 'N := N X c n un n=1 la suma de Fourier N -ésima. Como 'N ? EN = hu1 , . . . , uN i, tenemos por el Teorema de Pitágoras que kf k2 = kf 'N k2 + k'N k2 . Para calcular k'N k tenemos en cuenta de nuevo el Teorema de Pitágoras 2 k'N k = Se deduce que N X n=1 c2n kun k2 N N X X hf, un i2 hf, un i2 = hu , u i = n n 2 hun , un i hun , un i n=1 n=1 N X hf, un i2 = k'N k2 kf k2 hun , un i n=1 ûn = hun , un i Corolario 20.4. Sea u1 , . . . , un , . . . un sistema ortonormal de funciones del espacio prehilbertiano F y sea f 2 F , entonces se tiene Además tenemos que kf 2 'N k = kf k 2 2 k'N k = kf k La identidad de Parseval es equivalente a 2 0 = kf k N X hf, un i2 . hun , un i n=1 N X hf, un i2 lı́m = lı́m kf N !1 N !1 hu n , un i n=1 2 'N k , lo que equivale a afirmar que lı́m kf N !1 1 1 un = un . kun k hun , un i1/2 En el caso de tener un sistema ortogonal normalizado (llamado sistema ortonormal) las fórmulas anteriores se simplifican notablemente. converge y se verifica la desigualdad de Bessel. 1 X hf, un i2 kf k2 . hu , u i n n n=1 2 n=1 Como la serie es convergente, su término general tiende a cero, de donde se deduce que lı́mn!1 kcn un k = 0, es decir la norma de los términos de la serie tiende a cero. Todo sistema ortogonal de funciones no nulas puede normalizarse dividiendo cada elemento para su norma y haciendo tender N ! 1 vemos que la serie 1 X hf, un i2 n=1 Corolario 20.3. Los términos de la serie de Fourier de cualquier función f 2 F respecto a un sistema ortogonal de funciones no nulas cualquiera tienden a cero. P1 Demostración. Consideramos la serie de Fourier n=1 cn un , cuyos coeficientes son cn := hf, uN i/hun , un i. Por la desigualdad de Bessel (Teorema 20.2) tenemos 1 X kcn un k2 kf k2 < +1. 1 X n=1 hf, un i2 kf k2 . Se verifica la igualdad 1 X n=1 hf, un i2 = kf k2 1 X es decir, 'N converge en norma a f . n=1 245 (Identidad de Parseval) si y solo si la serie de Fourier 'N k = 0, Como consecuencia de la desigualdad de Bessel, obtenemos un resultado de gran utilidad (Desigualdad de Bessel) hf, un iun converge en norma a f 2 F . 246 21. Series de Fourier trigonométricas Aplicando la primera identidad de (21.4) obtenemos Z Las series de trigonométricas más importantes son la serie de Fourier de senos Z 1 ⇣ n⇡x ⌘ ⇣ n⇡x ⌘ X 2 l bn sen , bn = f (x) sen dx, n 1, (21.1) l l 0 l n=1 la serie de Fourier de cosenos Z 1 ⇣ n⇡x ⌘ ⇣ n⇡x ⌘ a0 X 2 l + an cos , an = f (x) cos dx, 2 l l 0 l n=1 ⇣ n⇡x ⌘ ⇣ n⇡x ⌘⌘ a0 + an cos + bn sen 2 l n=1 Z ⇣ n⇡x ⌘ 1 l an = f (x) cos dx, n l l l Z ⇣ n⇡x ⌘ 1 l bn = f (x) sen dx, n l l l l sen 0 = 1 2 Z ⇣ n⇡x ⌘ l l cos 0 ✓ sen (n 0, (21.2) Ck := Si k 6= 0, tenemos , 0, Ck = (21.3) Z l cos 0 0 247 0 dx = Ck = l siendo nm (21.4) Z l cos 0 ⇣ k⇡x ⌘ l ✓ (n + m)⇡x l ◆ dx. dx. ⇣ k⇡x ⌘ l sen k⇡ l x=l x=0 = 0, l dx = l 0 (21.5) := k 2 Z, k0 , ⇢ 0, 1, si n 6= m, si n = m. Cn m Por tanto, Z l sen 0 ⇣ n⇡x ⌘ l sen ⇣ m⇡x ⌘ l dx = Cn+m 2 = l ( 2 n m,0 n+m,0 ) Y si n, m 1, n 6= m, tenemos n m,0 = n+m,0 = 0. Ası́ queda comprobada la ortogonalidad del sistema de funciones (21.5) respecto al producto escalar (21.6). Análogamente podemos comprobar que el sistema de funciones l u(x)v(x)dx. cos Z de donde deducimos que respecto al producto escalar hu, vi := l 1. Comprobemos la ortogonalidad del sistema de funciones ⇣ ⇡x ⌘ ⇣ 2⇡x ⌘ ⇣ n⇡x ⌘ sen , sen , . . . , sen ,... l l l Z ⇣ k⇡x ⌘ 1 2 dx C0 = 1 1 cos(↵ ) cos(↵ + ), 2 2 1 1 = cos(↵ ) + cos(↵ + ), 2 2 1 1 = sen(↵ + ) sen(↵ ). 2 2 sen ↵ cos ◆ Z l dx = mientras que, si k = 0, = cos ↵ cos l m)⇡x l Los tres tipos de series son desarrollos en serie de funciones respecto a un sistema ortogonal. Para comprobar la ortogonalidad de estos sistemas de funciones podemos utilizar las siguientes identidades trigonométricas sen ↵ sen ⇣ m⇡x ⌘ Sea n y la serie de Fourier completa 1 ⇣ X l (21.6) ⇣ ⇡x ⌘ ⇣ 2⇡x ⌘ ⇣ n⇡x ⌘ 1 , cos , cos , . . . , cos ,... 2 l l l 248 (21.7) es ortogonal respecto al producto escalar (21.6). Para ello aplicamos la segunda identidad de (21.4) Z l ⇣ n⇡x ⌘ ⇣ m⇡x ⌘ cos cos dx = l l 0 ✓ ◆ ✓ ◆ Z l Z 1 (n m)⇡x 1 l (n + m)⇡x = cos dx + cos dx = 2 0 l 2 0 l Cn m + Cn+m l = = ( n m,0 + n+m,0 ). 2 2 De nuevo, si n 6= m, n m,0 = n+m,0 = 0. Analicemos la ortogonalidad del sistema de funciones ⇣ ⇡x ⌘ ⇣ ⇡x ⌘ ⇣ n⇡x ⌘ ⇣ n⇡x ⌘ 1 , cos , sen , . . . , cos , sen ,... 2 l l l l respecto al producto escalar Z l hu, vi := u(x)v(x)dx. (21.8) Z = l sen l 1 2 Z ⇣ n⇡x ⌘ l l sen l Z = l( n m,0 n+m,0 ), Z l ⇣ n⇡x ⌘ ⇣ m⇡x ⌘ cos cos dx l l l ✓ ◆ Z Z 1 l (n m)⇡x 1 = cos dx + 2 l l 2 = l( n m,0 + n+m,0 ), 249 (n + m)⇡x l Z l cos l ✓ (n + m)⇡x l (21.9) ◆ dx cos l ✓ (n + m)⇡x l ◆ ◆ 1 2 dx Z l sen l ✓ (n m)⇡x l ◆ dx = 0, l sen2 0 ⇣ n⇡x ⌘ l l , 2 dx = Rl f (x) sen(n⇡x/l)dx 2 = Rl 2 l sen (n⇡x/l)dx 0 0 Z l f (x) sen 0 ⇣ n⇡x ⌘ l dx, lo que confirma (21.1). Para demostrar que (21.2) representa una serie de Fourier, tengamos en cuenta que a0 = Rl 0 Z f (x) 12 dx 2 = Rl 1 l dx 0 4 l cos2 0 de donde obtenemos an = l dx de donde el n-ésimo coeficiente de la suma de Fourier correspondiente es y para n > 0, 1 2 l Veamos que las series de Fourier correspondientes a los sistemas ortogonales anteriores vienen dadas por (21.1), (21.2) y (21.3), respectivamente. Para la serie de senos tenemos l Aplicando las fórmulas (21.4) tenemos Z l ⇣ n⇡x ⌘ ⇣ m⇡x ⌘ sen sen dx l l l ✓ ◆ Z l 1 (n m)⇡x = cos dx 2 l l ⇣ m⇡x ⌘ lo que confirma la ortogonalidad de la base (21.8). bn = Para expresar el resultado debemos calcular algunas integrales intermedias que aparecen en los cálculos Z l Z l ⇣ k⇡x ⌘ ⇣ k⇡x ⌘ sen dx = 0, cos dx = 2l k0 . l l l l ✓ cos ⇣ n⇡x ⌘ l Rl f (x) cos(n⇡x/l)dx 2 = Rl 2 l cos (n⇡x/l)dx 0 0 Z Z l f (x)dx 0 l , 2 dx = l f (x) cos 0 ⇣ n⇡x ⌘ l En el caso de la serie completa tenemos dx a0 = Rl l f (x) 12 dx Rl 1 dx l 4 = 250 1 l Z l f (x)dx l dx, n > 0. y para n > 1 Z l cos2 l ⇣ n⇡x ⌘ l dx = Z l sen2 l ⇣ n⇡x ⌘ l donde los coeficientes de Fourier están dados a través de las integrales Z Z 1 ⇡ 1 ⇡ an = f (x) cos(nx)dx, bn = f (x) sen(nx)dx. ⇡ ⇡ ⇡ ⇡ dx = l, obteniendo an = bn = Rl Z Rl Z f (x) cos(n⇡x/l)dx 1 l = Rl 2 (n⇡x/l)dx l cos l f (x) sen(n⇡x/l)dx 1 l = Rl 2 l sen (n⇡x/l)dx l l f (x) cos l l f (x) sen l ⇣ n⇡x ⌘ l Queremos demostrar que la serie de Fourier converge para todo x 2 [ ⇡, ⇡] a la propia función f , es decir dx, ⇣ n⇡x ⌘ l dx. Observemos que las series de Fourier trigonométricas tienen sentido fuera del intervalo de definición de la función f a la que aproximan. Una serie de Fourier trigonométrica completa convergente en todo el intervalo [ l, l] define una función en toda la recta real que es periódica de periodo 2l. De la misma manera, las series de senos (resp., cosenos) dan lugar a funciones impares (resp., pares) y periódicas de periodo 2l. Por otro lado, cabe establecer una relación entre la serie de Fourier trigonométrica completa y las series de Fourier de senos y de cosenos. Si f es una funcion impar en [ l, l], entonces la serie completa se reduce a una serie de senos y los coeficientes de esta serie coinciden con los coeficientes correspondientes al intervalo [0, l]. Análogamente, si f es una funcion par, entonces la serie completa en [ l, l] se reduce a una serie de cosenos y los coeficientes son los mismos que los correspondientes al intervalo [0, l]. Por tanto, el análisis de la convergencia de la serie trigonométrica completa permite deducir también propiedades sobre la convergencia de las series de Fourier de senos y de cosenos. Convergencia de la serie de Fourier trigonométrica completa Centraremos nuestro estudio en el caso de la serie completa. Para simplificar la notación, supondremos sin pérdida de generalidad que l = ⇡. Sea f 2 C 1 [ ⇡, ⇡] tal que f ( ⇡) = f (⇡) y f 0 ( ⇡) = f 0 (⇡). Sea SN [f ](x) la N -ésima suma de Fourier de f Veamos que la N -ésima suma de Fourier puede expresarse como la convolución de f respecto a un núcleo, llamado núcleo de Dirichlet. En efecto N a0 X + (an cos(nx) + bn cos(nx)) 2 n=1 Z ⇡ h N i X 1 = 1+2 (cos(ny) cos(nx) + sen(ny) sen(nx)) f (y)dy 2⇡ ⇡ n=1 Z ⇡ h N i X 1 = 1+2 cos(n(x y)) f (y)dy 2⇡ ⇡ n=1 SN [f ](x) = Definiendo el núcleo de Dirichlet como KN (✓) := 1 + 2 251 N X cos(n✓), n=1 obtenemos una expresión compacta para la suma de Fourier Z ⇡ 1 SN [f ](x) = KN (x y)f (y)dy. 2⇡ ⇡ (21.10) Podemos obtener una expresión compacta del núcleo de Dirichlet utilizando aritmética compleja KN (✓) = 1 + 2 N X cos(n✓) = n=1 N a0 X SN [f ](x) := + (an cos(nx) + bn sen(nx)), 2 n=1 8x 2 [ ⇡, ⇡]. lı́m SN [f ](x) = f (x), N !1 = e i(N +1/2)✓ ei✓/2 N X k= N exp(ik✓) = ei(N +1)✓ eiN ✓ ei✓ 1 ei(N +1/2)✓ sen[(N + 1/2)✓] = sen(✓/2) e i✓/2 252 C 1 de periodo 2⇡ 1 C2⇡ := {f 2 C 1 (R) | f (x + 2⇡) = f (x)}. Como KN es una función periódica de periodo 2⇡, la integral es invariante por traslaciones y puede expresarse en la forma SN [f ](x) = Z 1 2⇡ ⇡ KN (✓)f (x + ✓)d✓, (21.11) ⇡ en donde tomamos en consideración valores de f en puntos fuera del intervalo [x ⇡, x + ⇡] obtenidos de la extensión periódica. El error de la serie de Fourier puede expresarse en la forma SN [f ](x) Figura 32. Núcleo de Dirichlet K14 . En la Figura 32 se muestra el núcleo de Dirichlet correspondiente a N = 14, podemos ver que tiene una forma similar al núcleo de Weierstrass en algunos aspectos (forma de campana), pero al contrario que el núcleo de Weiestrass, el núcleo de Dirichlet es fuertemente oscilante. Observamos que el núcleo de Dirichlet es una funcion par. Esto permite expresar la fórmula (21.10) como Z ⇡ Z x+⇡ 1 1 SN [f ](x) = KN (y x)f (y)dy = KN (✓)f (x + ✓)d✓, 2⇡ 2⇡ ⇡ x ⇡ donde ✓ = y x. Como la suma de la serie completa de Fourier es periódica, es natural considerar la extensión periódica de la función f a toda la recta real. Si f verifica las condiciones f ( ⇡) = f (⇡), 253 1 2⇡ Z ⇡ KN (✓)(f (x + ✓) f (x))d✓. (21.12) ⇡ Utilizaremos esta expresión del error para deducir la convergencia de la serie de Fourier. 1 Teorema 21.1. Sea f 2 C2⇡ una función de clase C 1 de periodo 2⇡. Entonces la serie de Fourier trigonométrica completa converge puntualmente a la función f lı́m SN [f ](x) = f (x), x 2 R. N !1 Demostración. Sea 1 f 2 C2⇡ = {f 2 C 1 (R) | f (x + 2⇡) = f (x)}. la extensión periódica de f a toda la recta real. Entonces el error puede expresarse por la fórmula (21.12) SN [f ](x) f 0 ( ⇡) = f 0 (⇡), entonces f admite una extensión periódica de periodo 2⇡ de clase C 1 . Para la discusión de la convergencia consideramos el espacio de las funciones de clase f (x) = f (x) = 1 2⇡ Z ⇡ ⇡ Llamando g(✓) := f (x + ✓) f (x) sen((N + 1/2)✓)d✓. sen(✓/2) f (x + ✓) f (x) , sen(✓/2) 254 tenemos que la función sea continua y derivable en el punto en el que se quiere comprobar la convergencia. Estas hipótesis pueden debilitarse aún más exigiendo tan solo que los cocientes incrementales de la función lı́m g(✓) = 2f 0 (x), ✓!0 luego g 2 C[ ⇡, ⇡]. f (x + h) h Observemos que las funciones sen(✓/2), sen(3✓/2), . . . , sen((N + 1/2)✓), . . . forman un sistema ortogonal de funciones en el intervalo ( ⇡, ⇡). Llamando uN (✓) := sen((N + 1/2)✓), tenemos por (21.4) Z 1 ⇡ huN , uM i = cos((N 2 ⇡ Como g 2 C[ ⇡, ⇡], N = 0, 1, 2, . . . f (x) estén acotados en un entorno de h = 0. Considerando separadamente el comportamiento a la derecha y a la izquierda podemos estudiar el comportamiento de la serie incluso en los puntos de discontinuidad. Teorema 21.2. Sea f : R ! R periódica de periodo 2⇡ f (x + 2⇡) = f (x) 1 2 M )✓)d✓ Z Z ⇡ cos((N + M + 1)✓)d✓ = ⇡ N,M . ⇡ ⇡ 2 g(✓) d✓ < +1. ⇡ y podemos aplicar la desigualdad de Bessel Z 1 1 X hg, uN i2 ⇡ N =1 ⇡ g(✓)2 d✓, ⇡ tal que f es lipschtiziana a trozos, es decir, existen x1 < · · · < xk < xk+1 := x1 + 2⇡ tales que |f (x) f (y)| L|x y|, 8 x, y 2 (xi , xi+1 ), para todo i = 1, . . . , k. Entonces la serie de Fourier completa converge puntualmente f (x+ ) + f (x ) lı́m SN [f ](x) = , x 2 R. N !1 2 Demostración. Por la periodicidad, el conjunto de nudos de la partición es infinito y debe repetirse periódicamente. Definiendo de donde se deduce que la serie xi+lk := xi + 2⇡l, 1 X N =1 hg, uN i2 es convergente y que lı́mN !+1 hg, uN i = 0. Por tanto Z ⇡ 1 lı́m SN [f ](x) f (x) = lı́m g(✓)uN (✓)d✓ = 0, N !+1 2⇡ N !+1 ⇡ lo que muestra la convergencia puntual. la sucesión de nudos es (xi )i2Z . En primer lugar, la función periódica es continua en cada subintervalo (xi , xi+1 ) ya que 0 |f (x) f (y)| L|x y|. Lo que permite deducir que lı́my!x f (y) = x. Para cada nudo xi tenemos que lı́m |f (x) x,y!xi f (y)| = 0, lı́m |f (x) x,y!x+ i f (y)| = 0, Observemos que las condiciones para que haya convergencia puntual pueden debilitarse. No es necesaria la continuidad de la derivada, basta con que lo que permite demostrar la existencia de los lı́mites laterales f (xi ) y f (x+ i ). Por tanto, la expresión (f (x+ ) + f (x ))/2 tiene sentido para todo x 2 R. 255 256 Las funciones f (x + ✓) f (x+ ) , sen(✓/2) f (x + ✓) f (x ) g (✓) := , sen(✓/2) de la serie de Fourier para funciones que presentan discontinuidades o están definidas a trozos. La condición de Lipschitz a trozos no es fácil de comprobar en general a través de la definición. Sin embargo, la tarea de calcular y acotar las derivadas es más simple en la práctica. ✓ 2 ( ⇡, 0), g+ (✓) := ✓ 2 (0, ⇡), Puede mostrarse que la serie completa de una función impar en [ ⇡, ⇡] coincide con la serie de senos en [0, ⇡] y que la serie completa de una funcion par en [ ⇡, ⇡] coincide con la serie de cosenos en [0, ⇡]. Por tanto, puede aplicarse el Teorema anterior para deducir la convergencia puntual de las series de senos y de cosenos. son continuas a trozos. Teniendo en cuenta que ✓ , sen(✓/2) ✓ 2 [0, ⇡], Teorema 21.4. Sea f : R ! R periódica de periodo 2⇡ impar (resp., par) es una función continua y creciente obtenemos las acotaciones |g (✓)| ⇡L, ✓ 2 ( ⇡, 0), |g+ (✓)| ⇡L, ✓ 2 (0, ⇡), lo que implica que Z 0 g (✓)2 d✓ < +1, ⇡ Z ⇡ f (x + 2⇡) = f (x) tal que f y f 0 son continuas a trozos. Entonces la serie de Fourier completa en [ ⇡, ⇡] coincide con la serie de Fourier de senos (resp., de cosenos) en [0, ⇡] y converge puntualmente g+ (✓)2 d✓ < +1. 0 lı́m SN (x) = N !1 Llamando uN (✓) := sen((N + 1/2)✓), Convergencia uniforme de la serie de Fourier f (x+ ) + f (x ) 1 = 2 2⇡ Z 0 1 g (✓)uN (✓)d✓ + 2⇡ ⇡ Z ⇡ g+ (✓)uN (✓)d✓. 0 Teniendo en cuenta que uN forma un sistema ortogonal en ( ⇡, 0) y en (0, ⇡), la desigualdad de Bessel implica que lı́m N !+1 Z x 2 R. N = 0, 1, 2, . . . podemos escribir SN [f ](x) f (x+ ) + f (x ) , 2 ⇡ g+ (✓)uN (✓)d✓ = 0, 0 lı́m N !+1 Z 1 Teorema 21.5. Si f 2 C2⇡ , entonces la serie de Fourier converge uniformemente a f . 1 Demostración. Como f 2 C2⇡ , tenemos por el Teorema 21.1 que 0 g (✓)uN (✓)d✓ = 0, f (x) = ⇡ lo que demuestra la convergencia. Observación 21.3. Si f es una función periódica C 1 a trozos tal que para cada x 2 R siempre existen f 0 (x ), f (x+ ) y son finitos, entonces f es lipschitziana a trozos. Esto permite simplificar la comprobación de la convergencia 257 Si la función f es suficientemente suave, tenemos no solamente convergencia puntual sino también uniforme. 1 a0 X + (an cos(nx) + bn sen(nx)). 2 n=1 Como f es derivable, podemos aplicar la fórmula de integración por partes an = 1 ⇡ Z ⇡ f (x) cos(nx)dx = ⇡ 1 n⇡ 258 Z ⇡ ⇡ f 0 (x) sen(nx)dx, n > 0, y 1 bn = ⇡ Z Como f 0 es continua, ⇡ 1 f (x) sen(nx)dx = n⇡ ⇡ Z ⇡ Z ⇡ f 0 (x) cos(nx)dx. ⇡ Demostración. (a) La función g(x) := f (⇡x/l), x 2 [ ⇡, ⇡] puede extenderse por periodicidad a toda la recta real. Puede comprobarse que la serie de Fourier completa de f evaluada en ⇡x/l x 2 [ l, l], coincide término a término con la serie de Fourier de g. Aplicando el Teorema 21.5, se deduce la convergencia uniforme. f 0 (x)2 dx < +1 ⇡ podemos aplicar la desigualdad de Bessel y deducir que la serie 1 h⇣ Z X ⇡ 0 f (x) cos(nx)dx ⇡ n=1 ⌘2 + ⇣Z ⇡ 0 f (x) sen(nx)dx ⇡ ⌘2 i < +1 P1 es convergente. Por tanto n=1 n2 (a2n + b2n ) < +1 y nan , nbn ! 0. Analicemos ahora la sumabilidad absoluta de la serie de Fourier 1 X n=1 |an cos(nx)| + |bn sen(nx)| 1 X n=1 |an | + |bn | . Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz 1 X n=1 (c) Sea f 2 C 1 [0, l] tal que f 0 (0) = f 0 (l) = 0. Entonces la serie de Fourier de cosenos de f converge uniformemente a f . 1 1 ⇣ X ⌘1/2 1 ⌘1/2 ⇣ X 2 2 |an | + |bn | 2 n (an + b2n ) < +1. 2 n n=1 n=1 (b) y (c) La función g(x) := f (⇡x/l), x 2 [0, ⇡] puede extenderse a una función periódica impar de periodo 2⇡ si se verifican las hipótesis (b) y a una función periódica par de periodo 2⇡ si se verifican las hipótesis (c). En cualquier caso, la serie de Fourier completa de f evaluada en los puntos ⇡x/l x 2 [0, l] coincide término a término con la serie de Fourier de g. Aplicando el Teorema 21.5, se deduce de nuevo la convergencia uniforme. El resultado anterior permite demostrar la convergencia en media cuadrática de la serie de Fourier de funciones de clase C 1 . Teorema 21.7. Sea f 2 C 1 [ l, l], tal que f (l) = f ( l) y f 0 (l) = f 0 ( l), entonces la serie de Fourier converge en media cuadrática a f . Demostración. Sea SN [f ] la suma N -ésima de Fourier en el intervalo [ l, l]. Aplicando el Teorema 21.6 (a), deducimos que SN [f ] converge a f uniformemente. Dado " > 0, existe un N0 tal que si N N0 , entonces Por el criterio M de Weierstrass, la serie de Fourier converge absoluta y uniformemente a una función. Como las hipótesis implican que SN [f ] converge a f puntualmente, la convergencia uniforme será a la misma función. El resultado anterior puede aplicarse directamente al estudio la convergencia de la serie de Fourier de funciones C 1 [ l, l] que verifican condiciones de contorno periódicas y de las funciones C 1 [0, l] que verifican condiciones de Dirichlet o de Neumann. máx |f (x) x2[ l,l] 1 (b) Sea f 2 C [0, l] tal que f (0) = f (l) = 0. Entonces la serie de Fourier de senos de f converge uniformemente a f . 259 r " , 2l N N0 , de donde obtenemos Z Teorema 21.6. (a) Sea f 2 C 1 [ l, l] tal que f (l) = f ( l) y f 0 (l) = f 0 ( l). Entonces la serie de Fourier completa de f converge uniformemente a f . SN (x)| l SN (x))2 dx ", (f (x) l Se deduce que lı́m N !+1 Z N N0 . l (f (x) SN (x))2 dx = 0. l 260 Teniendo en cuenta la densidad de las funciones de clase C 1 en las funciones de cuadrado integrable, el resultado anterior permite establecer la convergencia en media cuadrática de la serie de Fourier de cualquier función de cuadrado integrable. Según el Teorema 20.2, la convergencia en media cuadrática de las series de Fourier (21.1), (21.2) y (21.3) a la función f es equivalente a la identidad de Parseval. Esta identidad permite comprobar y deducir diversas propiedades de las series de Fourier trigonométricas. Para la serie de senos (21.1), la identidad de Parseval equivale a Z 1 X l f (x)2 dx = 0 b2n n=1 Z l sen2 0 ⇣ n⇡x ⌘ l dx = 1 l X 2 b . 2 n=1 n En la serie de cosenos (21.2), la identidad de Parseval adopta la forma Z l f (x)2 dx = 0 a20 4 Z l dx + 0 1 X a2n n=1 Z l cos2 0 ⇣ n⇡x ⌘ l dx = l ⇣ a20 X 2 ⌘ + an . 2 2 n=1 1 Finalmente, para la serie de Fourier completa (21.3), la identidad de Parseval es Z l f (x)2 dx = l + a20 4 1 X Z n=1 l b2n dx + l Z 1 X a2n n=1 l sen2 l Z l cos2 l ⇣ n⇡x ⌘ l ⇣ n⇡x ⌘ dx = l l ⇣ a2 0 2 + n=1 Cuando se resuelven ecuaciones en derivadas parciales aparecen asociados problemas de contorno unidimensionales llamados problemas de Sturm. Un caso muy importante de estos problemas surge al aplicar el método de separación de variables. Las soluciones de variables separadas se determinan encontrando soluciones no triviales de un problema de Sturm dependiente de un parámetro. Este tipo de problemas, llamados problemas de SturmLiouville, tienen cierta similitud con el problema de determinar los valores propios de una aplicación lineal, aunque hay una notable diferencia: los espacios vectoriales involucrados tienen dimensión infinita. En los problemas de Sturm-Liouville más comunes aparece una sucesión de parámetros, llamados valores propios del problema a los que están asociadas soluciones no triviales, llamadas funciones propias del problema. Bajo ciertas condiciones de simetrı́a, las funciones propias forman un sistema ortogonal de funciones. La solución de los problemas de contorno se simplifica notablemente cuando se expresan las soluciones como series de Fourier generales de funciones propias, de las que las series trigonométricas son un caso particular. Estas series incluyen importantes desarrollos en serie de polinomios ortogonales y de funciones de Bessel. Dedicamos este tema al estudio de los problemas de contorno unidimensionales y los problemas de Sturm-Liouville debido a las notables implicaciones de esta teorı́a en la resolución de ecuaciones en derivadas parciales mediante series de funciones especiales. Problemas de Sturm dx+ 1 X 22. Problemas de Sturm-Liouville ⌘ (a2n + b2n ) . Un problema de Sturm es un problema de contorno lineal de segundo orden L[u] = f, R0 [u] = ⌘0 , R1 [u] = ⌘1 , donde L es un operador diferencial lineal de segundo orden L[u] = a2 (x)u00 (x) + a1 (x)u0 (x) + a0 (x)u(x), x 2 [x0 , x1 ], y Ri [u], i = 0, 1 son las llamadas condiciones de contorno obtenidas como combinanción lineal de los valores de u y su derivada en los extremos Ri [u] = 1 X 1 X ijk u (k) j=0 k=0 261 262 (xj ), i = 0, 1. Las condiciones de contorno más habituales son las condiciones de Dirichlet Ri [u] = u(xi ), i = 0, 1, las condiciones de Neumann Ri [u] = u0 (xi ), y las de Robin i = 0, 1, 0 Ri [u] = u (xi ) + ↵i u(xi ), Como el problema homogéneo sólo tiene la solución trivivial, el sistema de ecuaciones (22.2) sólo admite la solución c0 = c1 = 0, de donde se deduce (22.1). i = 0, 1. Las condiciones de los tipos anteriores son condiciones separadas, en el sentido de que cada condición de contorno hace referencia a cada uno de los extremos por separado. Un tipo de condiciones no separadas importantes por las aplicaciones que tienen son las condiciones de contorno periódicas R0 [u] = u(x1 ) 0 u(x0 ), R1 [u] = u (x1 ) 0 u (x0 ). Si u, v son soluciones de un problema de Sturm, entonces u v es solución del problema de Sturmo homogéneo (f = 0, ⌘0 = ⌘1 = 0). La solución de un problema de Sturm homogéneo es el espacio vectorial ker L \ ker R0 \ ker R1 , subespacio del espacio bidimensional de las soluciones de la ecuación diferencial lineal L[u] = 0 ker L := {u 2 C 2 [x0 , x1 ] | L[u] = 0} ⇢ C 2 [x0 , x1 ], dim ker L = 2. Todas las soluciones de un problema de Sturm se obtienen sumando a una solución particular la solución general del problema homogéneo. La existencia de solución está ı́ntimamente ligada con la unicidad Proposición 22.1. Sea u0 , u1 un sistema fundamental de soluciones de la ecuación L[u] = 0. Entonces son equivalentes (a) El problema de Sturm siempre tiene solución única. det ✓ R0 u0 R1 u0 263 R0 u1 R1 u1 ◆ 6= 0. Para ver que (c) implica (a), partimos de la siguiente expresión de la solución general de la ecuación u(x) = up (x) + c0 u0 (x) + c1 u1 (x), donde up denota una solución particular de la ecuación y u0 , u1 son dos soluciones independientes de la ecuación homogénea. Al imponer las condiciones de contorno, tenemos ✓ ◆✓ ◆ ✓ ◆ R0 u0 R0 u1 c0 ⌘ 0 R0 u p = . R1 u0 R1 u1 c1 ⌘ 1 R1 u p Como se verifica (22.1), el sistema anterior admite una única solución, lo que muestra la existencia y unicidad de solución del problema de contorno. El problema de Sturm suele formularse en forma autoadjunta. Para transformar la ecuación a2 (x)u00 + a1 (x)u0 + a0 (x)u = f (x) a una ecuación autoadjunta es preciso multiplicar ambos miembros por el factor 1 r(x) = exp A(x), a2 (x) donde A(x) es una primitiva cualquiera de a1 (x)/a2 (x), es decir A0 (x) = a1 (x)/a2 (x). Llamando p(x) = r(x)a2 (x), q(x) = r(x)a0 (x) y g(x) = r(x)f (x) la ecuación diferencial adopta la forma (b) El problema de Sturm homogéneo sólo admite la solución trivial. (c) Demostración. Tomando f = 0, ⌘0 = ⌘1 = 0, vemos que (a) implica (b). Veamos ahora que (b) implica (c). Notemos que las soluciones del problema homogéneo son de la forma u = c0 u0 + c1 u1 con c0 , c1 soluciones del sistema ✓ ◆✓ ◆ ✓ ◆ R0 u0 R0 u1 c0 0 = . (22.2) R1 u0 R1 u1 c1 0 (22.1) p(x)u00 (x) + p0 (x)u0 (x) + q(x)u(x) = g(x) 264 y teniendo en cuenta que p(x)u00 (x) + p0 (x)u0 (x) = (p(x)u0 (x))0 obtenemos la llamada forma autoadjunta de la ecuación diferencial anterior 0 0 (p(x)u (x)) + q(x)u(x) = g(x), donde p 2 C 1 [x0 , x1 ], q, g 2 C[x0 , x1 ]. L[u](x) = (p(x)u0 (x))0 + q(x)u(x) 0 0 0 R1 [u] := p(x1 )u0 (x1 ) u(x0 ), p(x0 )u0 (x0 ). Si las condiciones de contorno son simétricas, la fórmula de Green se redu2 ce a la siguiente propiedad de simetria del operador L en el espacio CR [x0 , x1 ] recibe el nombre de operador autoadjunto. Restando las ecuaciones 0 Las condiciones de contorno de Dirichlet, de Neumann y las de Robin son condiciones de contorno simétricas. También pertenecen a esta clase las condiciones no separadas del tipo R0 [u] := u(x1 ) El operador diferencial asociado a una ecuación autoadjunta 0 2 para cualquier u, v 2 CR [x0 , x1 ], Z 0 (p(x)v (x)u(x)) = p(x)u (x)v (x) + (p(x)v (x)) v(x), (p(x)u0 (x)v(x))0 = p(x)u0 (x)v 0 (x) + (p(x)u0 (x))0 v(x), obtenemos x1 u(x)L[v](x)dx = x0 Z x1 v(x)L[u](x)dx, x0 2 u, v 2 CR [x0 , x1 ]. Problemas de Sturm-Liouville 0 (p(x)v (x)u(x) 0 0 0 0 0 p(x)u (x)v(x)) = (p(x)v (x)) u(x) 0 (p(x)u (x)) v(x) De donde se deduce que los operadores autoadjuntos verifican la identidad de Lagrange u(x)L[v](x) 0 0 v(x)L[u](x) = (p(x)(u(x)v (x) 0 v(x)u (x))) . La simetrı́a de un operador autoadjunto se manifiesta en el hecho de que uL[v] vL[u] es una derivada exacta de una expresión que depende de derivadas de u y v de orden inferior a 2. Integrando entre x0 y x1 obtenemos la (segunda) fórmula de Green Z x1 (u(x)L[v](x) v(x)L[u](x))dx = p(x1 )(u(x1 )v 0 (x1 ) v(x1 )u0 (x1 )) x0 0 p(x0 )(u(x0 )v (x0 ) 0 v(x0 )u (x0 )). Sea 2 CR [x0 , x1 ] := {u 2 C 2 [x0 , x1 ] | R0 [u] = R1 [u] = 0}. el espacio de las funciones de clase C 2 que verifican las condiciones de contorno homogéneas. Se llaman condiciones de contorno simétricas a las condiciones de contorno tales que podemos garantizar la igualdad p(x1 )(u(x1 )v 0 (x1 ) v(x1 )u0 (x1 )) = p(x0 )(u(x0 )v 0 (x0 ) 265 v(x0 )u0 (x0 )), Un problema de Sturm-Liouville es un problema de contorno lineal de segundo orden dependiente de un parámetro L[u](x) + r(x)u(x) = 0, R0 u = R1 u = 0 al que asociamos condiciones de contorno homogéneas. Multiplicando por un factor adecuado, el problema de Sturm-Liouville puede expresarse en forma autoadjunta, por lo que podemos suponer que L[u](x) = (p(x)u0 (x))0 + q(x)u(x), con p 2 C 1 [x0 , x1 ], q, r 2 C[x0 , x1 ], p > 0. Los escalares 2 C tales que existen soluciones (complejas) no triviales del problema se llaman valores propios y dichas soluciones no triviales reciben el nombre de funciones propias. Podemos asociar a un problema de Sturm-Liouville la forma bilineal hu, vi = Z x1 u(x)v(x)r(x)dx. x0 Notemos que para que sea un producto escalar definido positivo es necesario que la función r sea estrictamente positiva en el interior del intervalo. En 266 el caso de considerar funciones complejas se utiliza el producto sesquilineal definido positivo Z x1 hu, vi = u(x)v̄(x)r(x)dx. x0 Supondremos además que las condiciones de contorno son simétricas de modo que Z x1 Z x1 2 u(x)L[v](x)dx = L[u](x)v(x)dx, u, v 2 CR [x0 , x1 ]. x0 deducimos que + iµ = iµ, es decir µ = 0, luego todos los valores propios son reales. Sean un , um funciones propias correspondientes a los valores propios distintos n 6= m . Entonces tenemos n hun , um i = = 2 Demostración. Supongamos que u, v 2 CR [x0 , x1 ] son tales que u + iv es función propia correspondiente al valor propio + iµ, es decir L[u + iv] = ( + iµ)r(u + iv) y teniendo en cuenta que p, q, r son funciones reales obtenemos las relaciones L[u] = r( u µv), L[v] = x1 L[un ](x)um (x)dx = x Z x0 1 un (x)L[um ](x)dx = x0 x0 Teorema 22.2. Los valores propios de un problema de Sturm-Liouville autoadjunto con condiciones simétricas son reales y las funciones propias correspondientes a valores propios distintos son ortogonales. Z m hun , um i, de donde deducimos que hun , um i = 0. Enunciamos a continuación el resultado sobre existencia valores y funciones propias de un problema de Sturm-Liouville autoadjunto y sobre la convergencia de los desarrollos en serie de Fourier. La demostración excede los propósitos de estas notas y no se incluye. Teorema 22.3. Sea p 2 C 1 [x0 , x1 ], p > 0, q, r 2 C[x0 , x1 ], r > 0, L[u] := (pu0 )0 + qu, R0 , R1 condiciones de contorno separadas. Considérese el problema de Sturm-Liouville autoadjunto L[u] + ru = 0, r(µu + v) R0 u = R1 u = 0. Entonces tenemos y también L[u iv] = ( iµ)r(u iv). Utilizamos la simetrı́a para deducir Z x1 ( + iµ)hu + iv, u + ivi = L[u + iv](x)(u(x) iv(x))dx = x0 Z x1 = (L[u](x)u(x) + L[v](x)v(x))dx x Z x0 1 = L[u iv](x)(u(x) + iv(x))dx = ( iµ)hu + iv, u + ivi x0 y teniendo en cuenta que hu + iv, u + ivi = Z x1 r(x)(u(x)2 + v(x)2 )dx > 0 x0 267 (a) El problema de Sturm-Liouville tiene infinitos valores propios reales 0 < 1 < ··· < n < ··· tales que 0 < lı́mı́nf y a cada valor propio funciones propias. n n n2 lı́m sup n n2 < +1 corresponde un subespacio unidimensional de (b) Sea un la función propia asociada a n normalizada hun , un i = 1. Entonces un tiene n ceros simples en (x0 , x1 ) y entre cada dos ceros de un hay uno de un+1 . (c) Funciones propias correspondientes a valores propios distintos son ortogonales. 268 1 (d) Toda función f 2 CR := {u 2 C 1 [x0 , x1 ] | R0 u = R1 u = 0} puede desarrollarse en serie de funciones propias (serie de Fourier) f (x) = 1 X n=0 hun , f iun (x), que converge uniformemente a f en [x0 , x1 ]. Las series de Fourier trigonométricas son casos particulares del teorema anterior. Las series de Fourier de senos corresponden al problema de SturmLiouville con condiciones de Dirichlet u00 + u = 0, u(0) = u(l) = 0. Las series de Fourier de cosenos aparecen al considerar problemas de Neumann u00 + u = 0, u0 (0) = u0 (l) = 0. Las series de Fourier completas corresponden a problemas con condiciones periódicas u00 + u = 0, u(l) u( l) = u0 (l) u0 ( l) = 0. Como las condiciones periódicas no son condiciones separadas, el Teorema 22.3 no es aplicable directamente. De hecho, el espacio de funciones propias correspondiente a cada valor propio no nulo es bidimensional aunque el desarrollo en serie (de Fourier) de funciones propias sigue siendo válido en este caso. Otros casos de interés en los que el Teorema anterior no es aplicable directamente son los llamados casos singulares, en los que o bien el intervalo de definición no está acotado o bien las funciones p o r presentan singularidades (se anulan o tienden a infinito tı́picamente en algún extremo del intervalo). En el caso de los problemas de Sturm-Liouville singulares puede generalizarse el Teorema 22.3, manteniéndose la mayor parte de las afirmaciones, aunque matizadas. El análisis de los problemas de Sturm-Liouville más generales abre la posibilidad de expresar las soluciones de diversos problemas de contorno que aparecen en ecuaciones en derivadas parciales como series de funciones propias. 269