dinámica

7
dinámica
Visión histórica
La fuerza como interacción
Primera ley de Newton: ley de inercia
Segunda ley de Newton: ley fundamental
de la dinámica
Tercera ley de Newton: ley de acción y reacción
Fuerza de rozamiento
Fuerza gravitatoria
Fuerzas elásticas
Fuerza centrípeta
Cantidad de movimiento
Impulso mecánico y momento lineal
La Dinámica es la parte de la Física que estudia los
movimientos y sus causas, y los relaciona con las
fuerzas que actúan en cada caso. En esta unidad estudiaremos el concepto de fuerza y las leyes enunciadas por Newton, que constituyen el fundamento de
la Física clásica. Veremos una fuerza fundamental, la
gravitatoria; las demás fuerzas básicas son objeto de
estudio en otras ramas de la Física.
La mayor parte de las fuerzas que observamos en la
naturaleza son gravitatorias o electromagnéticas. Por
ejemplo, las fuerzas de rozamiento y las fuerzas elásticas, que también estudiamos en esta unidad, son interacciones de origen electromagnético.
Las leyes de Newton ya no son las que rigen el universo.
Han surgido otras leyes más generales, más universales.
Sin embargo, siguen siendo válidas en las dimensiones
ordinarias que contemplamos en esta unidad.
208
7
dinámica
Para repasar
De
Fuerza
Es la magnitud física que utilizamos para medir las acciones que los cuerpos ejercen entre sí
(interacciones). Las fuerzas modifican el estado de reposo o movimiento de los cuerpos o alteran su
forma. La unidad de fuerza en el SI es el newton (N).
Las fuerzas son magnitudes vectoriales; por eso, una fuerza queda definida si conocemos su
intensidad o módulo, su dirección, su sentido y su punto de aplicación.
El peso es la fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo: P = m g.
POR EJEMPLO...
¿Cuánto pesa una pelota de 122 g?
Composición de fuerzas
Cuando dos o más fuerzas actúan a la vez sobre un cuerpo, la acción de todas ellas se puede
reemplazar por una única, que se llama fuerza resultante FR ó R. Se pueden presentar tres casos:
F2
a) Fuerzas en la misma dirección y sentido. La
resultante tiene la misma dirección y sentido que las
fuerzas componentes, y su módulo es la suma de
F1
FR
F2
α
en donde α representa el ángulo que forman las fuerzas
concurrentes.
Si las fuerzas son perpendiculares (α = 90°), la fuerza
2
FR
F2
2
F1 + F2 + 2F1 F2 cos α
F1 + F2
F1
2
POR EJEMPLO...
Halla la resultante de dos fuerzas F1 = 8 N y F2 = 6 N cuando:
a) Se ejercen en la misma dirección y sentido.
b) Se ejercen en la misma dirección pero sentidos opuestos.
c) Se ejercen formando un ángulo de 90º.
La fuerz
un moto
FR
c) Fuerzas angulares o concurrentes. La resultante coincide
con la diagonal del paralelogramo que forman dichas fuerzas
y sus paralelas. El módulo de la resultante puede calcularse así:
resultante queda así: FR =
Es la qu
el fin d
cuerpo.
F1
y su módulo la diferencia de los de ellas: FR = F1 - F2
2
Fue
mot
POR E
los de ellas: FR = F1 + F2
FR =
Fx =
FY =
siend
desc
P = m g = 0,122 kg·9,8 m/s2 = 1,2 N
b) Fuerzas en la misma dirección y distinto sentido.
La resultante tiene la misma dirección que las
fuerzas componentes, su sentido es el de la mayor
Es l
fuer
resu
conc
com
FR = F1 + F2 = 8 N + 6 N = 14 N
F R = F1 - F2 = 8 N - 6 N = 2 N
FR =
2
2
F1 + F2 =
(8 N)2 - (6 N)2 = 10 N
Ten
Es la f
tracció
un cab
etc. cu
unidos
y tenso
sobre
y tiene
cable.
Descomposición de fuerzas
su
Es la operación inversa a la composición de
fuerzas. Cada fuerza puede considerarse como el
resultado de la suma de dos fuerzas
concurrentes perpendiculares, que para mayor
comodidad se sitúan sobre unos ejes cartesianos:
POR EJEMPLO...
Fx = F cos α
FY = F sen α
Solución:
Se tiene una fuerza de 12 N que forma un
ángulo de 30º con la horizontal. Calcula las
componentes cartesianas de dicha fuerza.
Fx = F cosα = 12 N·cos 30º = 10,4 N
FY = F senα= 12 N·sen 30º = 6 N
siendo α el ángulo que forma la fuerza a
descomponer, con el eje Ox.
Fuerza
motriz F
Es la que se ejerce con
el fin de mover un
cuerpo.
POR EJEMPLO...
FR
2
7
dinámica
Normal N
Fuerza de
rozamiento Fr
Peso P
Es la fuerza con que la
Tierra atrae a los
cuerpos. Es vertical
y de sentido hacia el
centro de la Tierra.
Es la fuerza
(resistencia) que ejerce
una superficie sobre el
cuerpo que está
apoyado en ella. Es
perpendicular a la
superficie, se opone al
peso.
Siempre se opone al
movimiento de
deslizamiento entre dos
superficies. Es paralela
a la superficie y opuesta
al deslizamiento.
La fuerza ejercida por
un motor.
movimiento
N
F
P
Fr
Tensión T
Es la fuerza de
tracción ejercida por
un cable, una cuerda,
etc. cuando están
unidos al cuerpo
y tensos. Se aplica
sobre el cuerpo
y tiene la dirección del
cable.
T
= 10 N
Ejemplo de todas las fuerzas
Dibuja el diagrama de las fuerzas que actúan sobre un bloque en cada uno de los
siguientes casos:
a) En reposo sobre
una mesa.
b) Que lanzas a lo
largo de una mesa
horizontal
N
c) Que empujas
por la mesa
horizontalmente.
N
d) Que empujas
hacia abajo contra
la mesa.
N
F
Fr
P
Actúan el peso del
bloque y la normal.
Como el cuerpo
está en reposo, se
anulan.
N
Fr
P
El bloque se desplaza horizontalmente;
por tanto, el peso
y la normal se
anulan. La fuerza
de rozamiento hace
que el cuerpo se
detenga.
P
El peso y la
normal se anulan.
La fuerza aplicada
y la fuerza de
rozamiento tienen
sentidos
opuestos.
P
F
La resistencia que
ofrece el plano
(normal) es la suma
de la fuerza aplicada
más el peso.
209
7
210
dinámica
1 Visión histórica
Fig. 7.1. Aristóteles.
Las primeras ideas sobre la Dinámica surgieron en la antigua Grecia, alrededor del 400 a. de C.
Aristóteles (384-322 a. de C.) (Fig. 7.1), considerado el filósofo más importante de la
Antigüedad, sostenía que un cuerpo solo se mantiene en movimiento mientras actúe una
fuerza sobre él. Cuando cesa la fuerza, el cuerpo se detiene. Sostenía también que «si
un peso es doble que otro, invertirá la mitad de tiempo en caer desde una cierta altura»; es decir, para Aristóteles, la velocidad de caída de los cuerpos depende de su peso.
Galileo Galilei (1564-1642) fue el primer científico que estableció los fundamentos
de la Dinámica moderna. Obtuvo sus conclusiones mediante la observación y la experimentación, midiendo espacios y tiempos, en lugar de basarse en principios filosóficos
o creencias religiosas.
Galileo estableció los fundamentos de la Dinámica al comprobar que todos los cuerpos
caen libremente con igual aceleración. También comprobó que el comportamiento de
toda la materia se rige por las mismas leyes.
Mediante experimentos con bolas que rodaban por planos inclinados (Fig. 7.2), observó
que la bola recuperaba aproximadamente la misma altura inicial con cualquier inclinación del plano. Cuanto menor era la inclinación, mayor distancia recorría la bola; por
tanto, si el plano fuera horizontal y perfectamente liso, sin rozamiento, la bola no se
pararía, rodaría indefinidamente.
En la Figura 7.3 se describe otro experimento de Galileo: si la pendiente del plano es
descendente, la bola aumenta su velocidad, se acelera; mientras que si la pendiente
es ascendente, el movimiento se frena, la bola disminuye su velocidad. En los planos
horizontales no debe haber ni aceleración ni frenado: el movimiento debe realizarse con
velocidad constante y debe ser permanente.
Pendiente negativa,
la velocidad crece
Posición
inicial
Fig. 7.2. Plano inclinado. Cuanto menor es la pendiente del plano,
mayor es la distancia recorrida por la bola. ¿Qué ocurriría si el
plano fuera horizontal, sin rozamiento?
Pendiente positiva,
la velocidad decrece
Fig. 7.3. Plano horizontal. Si la pendiente del plano es nula, la
velocidad no aumenta ni disminuye, es constante.
Galileo imaginó también lo que ocurriría si no hubiese rozamientos, y llegó a la conclusión de que los cuerpos que no estuvieran sometidos a ataduras se moverían con
velocidad constante, en movimiento perpetuo. Los cuerpos se moverán sin que fuera
necesario que sobre ellos actuara fuerza alguna.
Posteriormente, Descartes (1596-1650) mejoró la descripción del comportamiento de
los cuerpos en movimiento al redactar su principio de inercia: en ausencia de fuerzas,
el movimiento de los cuerpos es rectilíneo y uniforme.
Por fin, Newton (1642-1727) desarrolló el concepto de fuerza y enunció los principios
fundamentales de la Dinámica.
Ac t i v i d a d e s
1>¿Qué diferencias encuentras entre las ideas de Aristóteles y las de Galileo sobre el movimiento de los
cuerpos?
2>¿Qué novedades introduce Galileo en el estudio del
movimiento de los cuerpos? ¿Por qué se dice que fue
él quien estableció los fundamentos de la Dinámica?
7
dinámica
211
2 La fuerza como interacción
En la unidad anterior hemos estudiado el movimiento. Ahora vamos a estudiar las causas del movimiento mediante el análisis de la relación que existe entre el cambio en el
movimiento y las fuerzas que intervienen. Pero, ¿a qué llamamos fuerza?
Cuando un tenista golpea la pelota con la raqueta o cae una piedra al suelo o un imán
atrae a un clavo de hierro o la Luna gira alrededor de la Tierra, se está produciendo una
interacción entre dos cuerpos.
En efecto, cuando el tenista golpea la pelota, su acción modifica el movimiento de esta.
El movimiento de la piedra es el resultado de su interacción con la Tierra. Lo mismo
podríamos afirmar del movimiento de la Luna. La atracción entre el imán y el clavo de
hierro se debe a la acción mutua entre ambos cuerpos.
La interacción entre dos cuerpos recibe el nombre de fuerza. La fuerza mide la
intensidad de la interacción que se produce entre los dos cuerpos.
El movimiento de un cuerpo es el resultado de las interacciones que se producen entre
él y los cuerpos que le rodean.
Tipos de interacciones
Algunas interacciones se producen por contacto entre los cuerpos; por ejemplo, la
raqueta y la pelota. Pero en otras ocasiones existen interacciones a distancia, ya que
los cuerpos no están en contacto; por ejemplo, la Luna y la Tierra o el imán y el clavo.
Importante
Las interacciones entre
los cuerpos se denominan
fuerzas.
Recuerda
Las fuerzas son magnitudes vectoriales. Sus efectos
dependen de su intensidad o
módulo, dirección, sentido
y punto de aplicación. Las
fuerzas, además, son vectores deslizantes, es decir, su
punto de aplicación puede
estar situado en cualquier
punto de la recta que lo contiene, sin que el efecto de la
fuerza varíe.
La unidad de fuerza en el SI
es el newton (N).
Ejemplo 1
El hombre de la Figura 7.4 realiza una fuerza de 400 N que forma un
ángulo de 30° con la horizontal.
a)¿Cuál es el valor numérico y la expresión vectorial de las
componentes de la fuerza en las direcciones x e y?
b)¿Cuál es la expresión vectorial de la fuerza?
Solución
De acuerdo con la definición de seno →y coseno
de
→
un ángulo, los valores numéricos de Fx y Fy son:
Fx = F cos 30° = 400 N · cos 30° = 346 N
→
Fx = 346 i N
Fy = F sen 30° = 400 N · sen 30° = 200 N
→
Fy = 200 j N
→
→
→
Fx = Fx + Fy = 346 i N + 200 j N
y
Fy
Importante
F
α
Fx
x
Fig. 7.4.
Ac t i v i d a d e s
3>Determina
la expresión vectorial y el módulo de la resultante de las fuerzas
→
→
F1 (2, 3) y F2 (−3, 0) expresadas en newtons.
Los vectores unitarios situados en los ejes de coordenadas los designamos como
i , j y k.
212
7
dinámica
3 Primera ley de Newton: ley de inercia
Los tres principios fundamentales de la Dinámica fueron enunciados por Newton en su
obra Principios matemáticos de la filosofía natural, publicada en Londres por la Royal
Society en 1687.
La influencia de Galileo y Descartes en su obra fue tan importante que el mismo Newton
declaró: «Si he podido ver más allá que algunos es porque me he apoyado sobre los
hombros de gigantes».
El enunciado actual de la primera ley de Newton es:
Fig. 7.5. Cuerpo libre. Una nave
espacial, suficientemente alejada
de la Tierra, puede considerarse un
cuerpo libre o aislado, porque no está
sometido a ninguna interacción.
Importante
•La masa es una magnitud
escalar, y siempre es positiva. La unidad de masa en
el SI es el kilogramo (kg).
•La masa de un cuerpo es
una medida de su inercia.
Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo y
uniforme si no actúan fuerzas sobre él, o si la resultante de las fuerzas que
actúan es nula.
La primera parte de la ley parece evidente: si un cuerpo está en reposo y no actúan
fuerzas sobre él, permanece en reposo. En cambio, la segunda parte parece no cumplirse, pues todo cuerpo que se mueve en las proximidades de la Tierra termina parándose.
La causa es la existencia de fuerzas de rozamiento. Una nave espacial suficientemente
alejada de la Tierra o de otros planetas, por estar libre de interacciones, se mueve indefinidamente con movimiento rectilíneo y uniforme (Fig. 7.5).
La tendencia de los cuerpos a mantener su estado de reposo o de movimiento se llama
inercia. La inercia es una propiedad de la materia y la masa de un cuerpo, también
llamada masa inerte, es la expresión cuantitativa de su inercia: cuanto mayor es la
masa de un objeto, mayor es la resistencia que ofrece a cambiar su estado de reposo o
de movimiento.
Cuando un coche arranca, sus ocupantes tienden a permanecer en reposo, por eso parece que una fuerza les empujara hacia atrás. Si el coche frena, los ocupantes tienden
a continuar hacia delante sin variar su velocidad, parece que una fuerza les empujara
en ese sentido.
A. Sistemas de referencia
y
x
Fig. 7.6. Sistema inercial. Si el coche
está parado o se mueve en línea recta
con velocidad constante
respecto al
y
suelo, el sistema de referencia Oxy es
inercial.
x
Para determinar el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo siempre se elige un
sistema de referencia.
Un sistema de referencia es inercial cuando está en reposo o tiene movimiento rectilíneo y uniforme. Si tiene aceleración, es un sistema de referencia
no inercial. En los sistemas inerciales se cumple la ley de inercia (Fig. 7.6).
Como la Tierra gira sobre su eje y alrededor del Sol, no es un sistema inercial. Sin embargo, en muchas ocasiones puede considerarse como tal porque su movimiento nos
pasa inadvertido.
Ac t i v i d a d e s
4>Responde a las siguientes preguntas:
a)¿Qué entiendes por sistema de referencia inercial? Pon algún ejemplo de sistemas de referencia
inerciales y no inerciales.
b)¿Cuándo un sistema de referencia es no inercial?
5>Responde a las siguientes preguntas:
a)¿Qué entiendes por masa inerte?
b)¿Por qué cuando un coche frena sus ocupantes
se van hacia adelante? ¿Realmente actúa alguna
fuerza sobre ellos?
7
dinámica
4 Segunda ley de Newton:
ley fundamental de la dinámica
Según la primera ley de Newton, si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza, su velocidad permanece constante y no tiene aceleración. Por tanto, si sobre el cuerpo actúa
una fuerza, se moverá con aceleración y modificará su velocidad. Esta reflexión llevó a
Newton en 1665 a idear su segunda ley:
La fuerza aplicada sobre un cuerpo es directamente proporcional a la aceleración que produce.
→
→
F=ma
Como la masa es una magnitud escalar positiva, la aceleración tiene la misma dirección
y sentido que la fuerza (Fig. 7.7).
En general, si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas simultáneamente, la segunda ley
de Newton toma la siguiente forma:
→
→
→
∑F=ma
→
Fresultante = m a
La ecuación fundamental de la Dinámica permite definir la unidad de fuerza. En el SI la
unidad de fuerza es el newton (N). Un newton es la fuerza necesaria para que una masa
de 1 kg adquiera una aceleración de 1 m s–2, es decir: 1 N = 1 kg · 1 m s–2.
Otras unidades de fuerza son el kilopondio (kp) o kilogramo fuerza y la dina (din). La
equivalencia entre estas unidades es la siguiente:
1 kp = 9,81 N;
1 N = 105 din
A. Masa y peso
213
F
m
a
F
F
m
m
a
a
F
m
m
a/2
F
F
m
m
m
m
a/2
a/2
m
2F
2a
m
2F
2a
m
2F 7.7. Aceleración. Es directamente
2a
Fig.
proporcional a la fuerza aplicada e
inversamente proporcional a la masa.
Física y Química cotidianas
En cualquier lugar de la Tierra
donde g valga 9,81 m s–2, y
por aproximación, en cualquier punto de la superficie
terrestre, un cuerpo de masa
n kilogramos tiene un peso
de n kilopondios.
Cuando en un comercio nos
pesan 1 kg de algo, en realidad nos están pesando 1 kp.
Más datos
En las proximidades de la superficie terrestre todos los cuerpos caen con la misma ace→
leración, la aceleración de la gravedad, g . Por tanto, de acuerdo con la segunda ley de
Newton, sobre ellos debe actuar una fuerza.
La fuerza que actúa sobre un cuerpo en su caída es la fuerza que la Tierra ejerce sobre
él, es decir, su peso. El peso de un cuerpo es la fuerza con que la Tierra lo atrae. Es,
por tanto, una magnitud vectorial de dirección vertical y sentido hacia el centro de la
Tierra:
→
→
P=mg
Esta fórmula relaciona la masa y el peso de un cuerpo; sin embargo, masa y peso son
magnitudes distintas.
La masa es una magnitud escalar de valor constante. Se mide mediante una
balanza por comparación con otras masas patrón. La masa de un cuerpo es la
misma en todas partes y no varía aunque cambie su temperatura o su estado
de agregación.
El peso es una magnitud vectorial cuyo valor, que no es constante, depende
→
de g . Se mide con un dinamómetro.
Según la teoría de la relatividad de Einstein, la masa de
los cuerpos no es constante,
depende de la velocidad con
que se mueven:
m0
m=
v2
1– 2
c
Î
Donde m es la masa en movimiento, m0 es la masa en
reposo, v la velocidad del
cuerpo y c, la velocidad de la
luz. Solo cuando la velocidad
del cuerpo es muy grande,
próxima a la de la luz, el cambio en el valor de la masa es
significativo. Para velocidades ordinarias, muy inferiores
a las de la luz, la masa puede
considerarse constante.
214
7
dinámica
Ejemplo 2
Un camión de 20,2 t se desplaza por una carretera horizontal con una velocidad de 24,5 m s–1.
Frena y se detiene en 15,4 s.
a)¿Cuánto vale la aceleración de frenado supuesta constante?
b)¿Qué fuerza ejercen los frenos?
c)¿Qué distancia recorre durante la frenada?
d)¿Cuál es su velocidad 10,0 s después de iniciada la frenada?
Solución
y
a)Situamos el origen de un sistema de coordenadas cartesianas en el
punto donde el camión comienza a frenar (Fig. 7.8) y suponemos que
el camión se desplaza en el sentido del semieje positivo Ox. La aceleración de frenado es la correspondiente a un movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado:
v>0
a<0
x
O
v – v0
0 – 24,5 m s–1
Fig. 7.8. Sistema de referencia.
=
= –1,59 m s–2
t
15,4 s
El signo negativo de la aceleración indica que tiene el sentido del semieje negativo Ox; es decir,
tiene sentido contrario a la velocidad.
a=
→
→
b)La ley →fundamental de la Dinámica permite obtener la fuerza ejercida por los frenos: F = m a, y
→
como F y a tienen la misma dirección, la del eje Ox, podemos utilizar sus módulos.
F = m a = 2,02 · 104 kg · (–1,59 m s–2) = –3,21 · 104 N = –32,1 kN
c)Por tratarse de un movimiento rectilíneo y uniformemente variado, la posición final del camión es:
En Internet
x = x0 + v0 t + 1/2 a t2
x = 0 + 24,5 m s–1 · 15,4 s + 1/2 · (–1,59 m s–2) · (15,4 s)2 = 189 m
Durante los 15,4 s que dura la frenada, el camión recorre 189 m.
d)La velocidad del camión es:
v = v0 + a t
La página www.acienciasgalilei.com contiene videos
sobre las leyes de Newton,
pertenecientes a una excelente colección llamada El
universo mecánico.
v = 24,5 m s + (–1,59 m s–2) · 10,0 s = 8,60 m s–1
–1
Ac t i v i d a d e s
6>Sobre una partícula de masa m = 500 g, →
obligada
a
→
→
=
i
–
2 j
moverse
en
el
plano
Oxy,
actúan
las
fuerzas
F
1
→
→
→
y F2 = 2 i + 4 j expresadas en N.
a)¿Cuál es la expresión vectorial de la fuerza resultante?
b)¿Cuál es el módulo de la fuerza resultante?
c)¿Cuál es el vector aceleración de la partícula?
d)¿Cuál es el módulo de la aceleración?
S:b) F = 3,6 N; c) a = 7,2 m s–2.
7>Calcula el peso en kp y en N de los siguientes cuerpos:
a)Un libro de masa m = 850 g.
b)Una mesa de 12,1 kg de masa.
S:a) P = 8,34 N = 0,85 kp; b) P = 119 N = 12,1 kp.
8>Un coche de 1,4 t, que está parado, arranca y alcanza
la velocidad de 81 km h–1 después de recorrer 150 m.
a)¿Cuánto vale su aceleración supuesta constante?
b)¿Qué fuerza ha ejercido su motor?
S:a) a = 1,69 m s–2; b) F = 2,36 · 103 N.
dinámica
7
215
5 Tercera ley de Newton:
ley de acción y reacción
Importante
Newton, en su obra Principios matemáticos de la filosofía natural, afirma: «Siempre que
tiramos de algo o presionamos algo, somos tirados o presionados por aquello. Si presionamos una piedra con nuestro dedo, el dedo también es presionado por la piedra...».
Esta afirmación es el fundamento del enunciado actual de la tercera ley de Newton o
principio de acción y reacción:
Los conceptos de acción y
reacción son intercambiables.
Se puede considerar que el
coche amarillo realiza una
acción y el azul una reacción
o viceversa.
→
Cuando un cuerpo ejerce una fuerza F sobre →
otro, este ejerce otra fuerza
igual y de sentido contrario sobre el primero, –F .
Las acciones mutuas entre dos cuerpos son siempre iguales y dirigidas en sentidos contrarios. A cada acción se opone una reacción. Las fuerzas nunca actúan solas (Figs. 7.9
y 7.10).
Otro enunciado equivalente de esta ley es:
Cuando dos cuerpos interaccionan, se ejercen mutuamente fuerzas iguales y de
sentidos opuestos.
N
N
N
P
N
P
P
P
Fig. 7.9. Acción y reacción.
La mesa ejerce sobre
→
el piso una fuerza →
P (acción). El piso empuja a la
mesa hacia arriba N (reacción).
–F
F
Fig. 7.10. Fuerzas de acción y reacción. Son
iguales y opuestas.
Las fuerzas de acción y reacción se producen simultáneamente y son intercambiables:
una cualquiera de las fuerzas es la acción y la otra, la reacción.
Una manzana cae libremente hacia abajo atraída por la Tierra, y esta es atraída hacia arriba por la manzana exactamente con la misma fuerza. Un imán atrae a un clavo de hierro
con la misma fuerza que el clavo atrae al imán, aunque en sentido contrario. Cuando una
persona camina, empuja hacia atrás el suelo con el pie y el suelo le empuja hacia delante. El movimiento de un avión a reacción o de un cohete se fundamenta en las fuerzas
de acción y reacción que se producen entre el avión o el cohete y los gases de escape.
Cuando la diferencia de masa entre los cuerpos que interactúan es muy grande, la interacción puede pasar inadvertida. Por ejemplo, un lápiz cae atraído por la Tierra, pero no
se observa ningún efecto de la fuerza que ejerce el lápiz sobre la Tierra.
Las fuerzas de acción y reacción (Fig. 7.11) nunca se anulan entre sí porque ejercen su acción sobre cuerpos distintos, en los cuales producen las aceleraciones correspondientes.
Fig. 7.11. Fuerzas de acción y
reacción. Estas fuerzas actúan sobre
cuerpos diferentes: si uno empuja al
otro sobre la pista de patinaje, ambos
se moverán en sentido contrario.
Ac t i v i d a d e s
9>Piensa y responde a las
siguientes preguntas:
a)¿Por qué los corredores de atletismo
apoyan con fuerza
sus pies en los tacos
de salida?
b)¿Por qué al golpear
en una pared te haces daño en la mano?
216
7
dinámica
Ejemplo 3
Una grúa traslada un paquete de ladrillos de 350 kg. Determina la tensión del cable de la grúa en los siguientes
casos:
a)Sube el paquete con una aceleración constante de 0,80 m s–2.
b)Lo baja con la misma aceleración.
y
c)Baja el paquete con velocidad constante de 1,50 m s–1.
T
d)El paquete se mantiene colgado del cable, pero en reposo.
Solución
→
→
de la grúa, y de
Sobre el paquete actúan su peso P y la tensión T del cable
→
→
acuerdo con el principio fundamental de la Dinámica: ∑ F = m a .
La tensión es positiva porque tiene el mismo sentido que el semieje positivo Oy,
mientras que el peso es negativo (Fig. 7.12); por tanto, se cumple: T – P = m a.
Según nuestro criterio de signos, la aceleración es positiva si tiene el sentido
del semieje positivo Oy, y es negativa si tiene el sentido contrario.
a)En este caso la aceleración es positiva:
T – P = m a; T = P + m a; T = m g + m a; T = m (g + a)
T = 350 kg · (9,81 m s–2 + 0,80 m s–2) = 3,71 · 103 N
b)Ahora la aceleración es negativa, se dirige hacia el semieje negativo Oy:
T = m (g + a) = 350 kg · (9,81 – 0,80) m s–2 = 3,15 · 103 N
c) y d) En ambos casos la aceleración es nula; por tanto, la tensión es igual al
peso: T – P = 0; T = P = m g = 350 kg · 9,81 m s–2 = 3,43 · 103 N
a) a > 0
b) a < 0
c) a = 0
d) a = 0
P
O
x
Fig. 7.12. Esquema de los diferentes
casos.
Claves y consejos
Un error frecuente es no
dibujar todas las fuerzas que
intervienen.
Ejemplo 4
La fuerza F = 15,2 N arrastra los bloques de masas m1 = 1,05 kg y m2 = 2,14 kg, que se hallan unidos
mediante una cuerda. Ambos bloques se desplazan sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Calcula:
a)La aceleración con que se mueven.
b)La tensión de la cuerda que une ambos bloques.
y
N1
N
Solución
En
la→Figura 7.13 se representan todas las fuerzas que intervienen. Las fuerzas
T
-T
→
m
m
P1 y P2 son los pesos de los bloques; son fuerzas verticales→que→se dirigen hacia
y
N
,
que
represenel centro de la Tierra. Están equilibradas
por
las
fuerzas
N
1
2
→
O
tan la reacción del plano. La fuerza T , llamada tensión, es la acción que el
P
bloque m1 ejerce sobre el m2 y que transmite la cuerda. Según el →principio de
P
acción y reacción, el bloque m2 ejerce sobre el m1 una reacción –T . Por tanto,
Fig. 7.13. Fuerzas que intervienen.
el valor numérico de la tensión es idéntico en ambos extremos de la cuerda.
→
a)Si suponemos que la fuerza F arrastra todo el conjunto en el sentido del semieje positivo Ox, las fuerzas que tengan ese sentido, el del movimiento, serán positivas, y negativas las que tengan el sentido
contrario. Según la ley fundamental de la Dinámica, la aceleración del conjunto es la siguiente:
∑F
→
15,2 N
→
∑ F = ∑ m a ; ∑ F = F – T + T = F; a =
=
= 4,76 m s–2
∑m
1,05 kg + 2,14 kg
2
2
2
1
b)Para calcular la tensión de la cuerda se aíslan ambos bloques y se aplica a cada uno de ellos la ecuación fundamental de la Dinámica.
Para el bloque m1: F – T = m1 a; T = F – m1 a = 15,2 N – 2,14 kg · 4,76 m s–2 = 5,00 N
Para el bloque m2: T = m2 a = 1,05 kg · 4,76 m s–2 = 5,00 N
F
1
x
7
dinámica
En el ejemplo anterior, el valor numérico de la tensión es el mismo en ambos extremos
de la cuerda, de acuerdo con la ley de acción y reacción. La aceleración del conjunto y la
tensión de la cuerda pueden obtenerse también en un solo paso, resolviendo el sistema
formado por las dos últimas ecuaciones, correspondientes a los bloques m1 y m2.
Ejemplo 5
Un bloque de masa m = 8,25 kg se encuentra en reposo sobre una superficie
horizontal lisa, sin rozamiento. Al actuar sobre él una fuerza constante le
comunica una aceleración de 6,52 m s–2. Calcula el valor de la fuerza:
a)Si es paralela a la superficie.
b)Si forma un ángulo de 45° con la horizontal.
Solución
a)Tanto la aceleración como la fuerza coinciden con la dirección del movimiento; por
tanto ambas son positivas (Fig. 7.14a).
La segunda ley de Newton nos permite
calcular el valor de la fuerza:
F = m a = 8,25 kg · 6,52 m s–2 = 53,8 N
b)Cuando la fuerza forma un ángulo con
la horizontal (Fig. 7.14b), solo su componente en esa dirección (Fx) produce
aceleración: Fx = m a.
Fx = F · cos a = m a
F=
a)
y
N
O
x
F
217
Más datos
Las leyes de Newton siguen
siendo válidas en las dimensiones ordinarias, pero han
surgido leyes más generales,
más universales.
Cuando la velocidad de una
partícula es próxima a la de
la luz, la mecánica de Newton
debe sustituirse por la teoría
especial de la relatividad de
Einstein.
Además, las leyes de la Física
clásica no son válidas cuando
se aplican a sistemas microscópicos, como el átomo, y
hay que sustituirlas por la
mecánica cuántica.
P
b)
ma
53,8 N
=
= 76,1 N
cos a
cos 45°
y
F
Fy
O
N
α
x
Fx
→
Fig. 7.14.
a) F es paralela a la superficie; b) la
→
fuerza F forma un ángulo a con la horizontal.
P
Ac t i v i d a d e s
10>Un ascensor que transporta un pasajero de 70 kg de
masa se mueve con una velocidad de régimen constante, y al arrancar o detenerse lo hace con una aceleración de 1,4 m s–2. Calcula la fuerza que ejerce el
pasajero sobre el piso del ascensor en los siguientes
casos:
a)El ascensor arranca para subir.
b)El ascensor frena y se detiene en la subida.
c)El ascensor desciende a velocidad constante.
S:a) F = 7,8 · 102 N; b) F = 5,9 · 102 N;
c) F = 6,9 · 102 N.
11>Dos imanes de masas una doble que la otra se repelen mutuamente.
a)¿Qué puedes decir acerca de la fuerza que actúa
sobre cada uno de los imanes?
b)Enuncia el principio en que te basas para responder la pregunta anterior.
c)Al dejarlos en libertad, ¿cuál se moverá con mayor
aceleración?
12>Un cuerpo de 10 kg de masa se encuentra apoyado
sobre un plano horizontal. En el sentido del semieje
positivo Ox actúa una fuerza horizontal de 80 N y en
sentido opuesto otra fuerza horizontal de 40 N.
a)Haz un esquema con todas las fuerzas que actúan
sobre el cuerpo.
b)Calcula el peso del cuerpo y la reacción normal del
plano.
c)¿Cuál es el valor de la aceleración?
S:b) P = 981 N; c) a = 4,0 m s–2.
7
218
dinámica
6 Fuerza de rozamiento
Física y Química cotidianas
Cuando se necesita reducir el
rozamiento entre superficies
sólidas se aplica un fluido,
como en el caso del aceite
lubricante en el motor de los
automóviles o el líquido sinovial que lubrica los huesos de
nuestras articulaciones.
Fr
N
Las fuerzas de rozamiento siempre se oponen al deslizamiento de un cuerpo sobre otro.
Dificultan el inicio del movimiento y lo frenan una vez que se produce. Sin embargo,
resultan imprescindibles en nuestros movimientos: sin el rozamiento no podríamos caminar y los coches no avanzarían ni podrían frenar o tomar una curva. La fuerza de
rozamiento por deslizamiento es paralela a las superficies en contacto y de sentido
opuesto al movimiento.
La fuerza de rozamiento es mayor en los sólidos que en los fluidos. En adelante nos
referiremos casi exclusivamente al rozamiento por deslizamiento, es decir, por contacto
entre superficies sólidas.
6.1Fuerza de rozamiento y planos horizontales
F
Sobre un cuerpo →
en reposo apoyado sobre una mesa horizontal (Fig. 7.15) actúan
dos
→
fuerzas: su peso P y la fuerza de reacción normal de la mesa sobre el cuerpo N . Ambas
fuerzas son de igual valor, pero de sentido contrario, por eso se equilibran.
P
→
→
Fig. 7.15. La fuerza de rozamiento F r
se opone al movimiento.
Si se aplica una fuerza horizontal pequeña F sobre el cuerpo, este debería moverse
de acuerdo con la ley fundamental de la Dinámica. Sin embargo, no se mueve porque
existe una fuerza,
llamada rozamiento, que contrarresta la fuerza aplicada. Si la fuer→
za aplicada F es suficientemente grande, el cuerpo empieza a moverse porque esta
fuerza es mayor que la fuerza máxima de rozamiento. Se comprueba experimentalmente
que la fuerza máxima de rozamiento tiene las siguientes propiedades:
→
1. Es directamente proporcional a la fuerza normal N :
Más datos
Las propiedades de las fuerzas de rozamiento se han
obtenido experimentalmente;
son empíricas, y presentan
excepciones con frecuencia.
→
→
Fr = m N
donde m, llamado coeficiente de rozamiento, depende de la naturaleza de los materiales en contacto, del grado de pulido de sus superficies, de su limpieza, etcétera.
→
→
En un plano horizontal, como el módulo de N es igual al del peso P del cuerpo, la
fuerza de rozamiento es:
Fr = m P = m m g
2.La fuerza necesaria para iniciar el movimiento de un cuerpo es mayor que la necesaria para mantenerlo deslizándose a velocidad constante. Es decir, la fuerza máxima
de rozamiento estático es mayor que la de rozamiento cinético: el coeficiente de
rozamiento estático, me, es generalmente mayor que el coeficiente de rozamiento
cinético, mc.
3.La fuerza de rozamiento no depende del área de contacto aparente entre dos superficies (Fig. 7.16), porque realmente solo una pequeña fracción de la superficie entra
en contacto real.
4.La fuerza de rozamiento es independiente de la
velocidad de deslizamiento de las superficies de
contacto, siempre que esta sea pequeña.
Fig. 7.16. La fuerza de rozamiento no depende
del área aparente de la superficie de contacto.
Su valor es el mismo en ambos casos.
7
dinámica
219
Ejemplo 6
Un bloque de madera de 50,2 kg se apoya sobre una superficie horizontal.
a)¿Cuál es la fuerza mínima horizontal necesaria para iniciar el movimiento?
b)¿Cuál es el valor de la fuerza de rozamiento si se aplica una fuerza
horizontal de 250 N?
c)¿Con qué aceleración se desplaza el cuerpo si se aplica una fuerza
horizontal de 350 N?
Datos: me = 0,620; mc = 0,450.
Materiales
Acero-acero
Acero-madera
Cobre-hierro
Aluminio-aluminio
Madera-madera
Vidrio-vidrio
mc
0,7
0,5
1,1
1,1
0,6
1,9
0,4
0,3
0,3
1,0
0,4
0,4
Tabla 7.1. Coeficientes de rozamiento.
Solución
a)En la Figura 7.17 aparecen dibujadas todas las fuerzas que intervienen.
→
me
y
→
El peso del cuerpo P y la reacción del plano N tienen el mismo valor numérico, pero sentido opuesto. Por ese motivo se equilibran y se anulan.
N
→
Para que el bloque inicie el movimiento, la fuerza aplicada F debe equilibrar la fuerza máxima de rozamiento estático. El módulo de la fuerza
máxima de rozamiento estático es igual al producto del coeficiente de
rozamiento estático μe por el módulo de la reacción normal N, que al ser
una superficie horizontal es igual al peso:
F = Fr = me m g = 0,620 · 50,2 kg · 9,81 m s–2 = 305 N
b)Como la fuerza aplicada tiene un valor inferior al necesario para iniciar
el movimiento, el bloque permanece en reposo y la fuerza de rozamiento
tiene igual módulo (250 N), la misma dirección y sentido opuesto a la
fuerza aplicada.
c)Como la fuerza aplicada es mayor que la fuerza máxima de rozamiento estático, el bloque se desplaza con movimiento uniformemente acelerado,
y la fuerza de rozamiento depende ahora del coeficiente de rozamiento
cinético.
Cuando el bloque se mueve, la fuerza de rozamiento cinético sigue oponiéndose al movimiento del bloque, pero ahora su valor es menor porque
el coeficiente de rozamiento cinético es menor que el coeficiente de rozamiento estático.
Fr = mc m g = 0,450 · 50,2 kg · 9,81 m s–2 = 222 N
El valor de la fuerza resultante es: FT = F – Fr = 350 − 222 N = 128 N.
La aceleración se obtiene a partir de la ecuación fundamental de la
Dinámica:
F
128 N
= 2,55 m s–2
FT = m a; a = T =
m
50,2 kg
Fr
F
O P
x
Fig. 7.17. Fuerzas que intervienen.
Importante
El valor máximo de la fuerza
de rozamiento es igual a
mN, pero nunca puede ser
mayor que las fuerzas que
originan el movimiento.
Física y Química cotidianas
Los dibujos que llevan los
neumáticos de las ruedas sirven para aumentar, con sus
irregularidades, el coeficiente
de rozamiento, y disminuir
así la posibilidad de que las
ruedas patinen.
Ac t i v i d a d e s
13>Contesta a las siguientes preguntas:
a)¿Cuáles son las unidades del coeficiente de rozamiento?
b)¿Puede ser mayor que la unidad?
14>Determina el valor de todas las fuerzas que actúan
sobre un bloque de 12 kg de masa apoyado sobre una
superficie horizontal. Si se le empuja con una fuerza
horizontal de 75 N, ¿qué distancia recorre el bloque
en 4,0 s partiendo del reposo? Dato: mc = 0,42.
220
7
dinámica
6.2 Fuerza de rozamiento y planos inclinados
Más datos
A nivel microscópico, las
fuerzas de rozamiento se
deben a las interacciones
electromagnéticas que se
producen entre los átomos,
moléculas e iones de las
superficies en contacto.
Al colocar un cuerpo sobre una rampa, unas veces desciende y otras no. A continuación
estudiaremos los motivos de esto.
En el plano →
inclinado
de la Figura 7.18, que forma un ángulo a con la horizontal, el peso
→
= m g , aparece descompuesto
en dos componentes a lo largo de los ejes de
del cuerpo, P →
→
coordenadas: Px es paralela al plano y P y, perpendicular a él. Sus módulos son:
y
N
Fr
Px = P sen a = m g sen a
Px
Py = P cos a = m g cos a
α
Py
α
x
α
P
Fig. 7.18. Plano inclinado.
→
→
La fuerza N es la reacción del plano y tiene el mismo módulo que Py, pero sentido
contrario:
N = m g cos a
La fuerza de rozamiento
entre el plano y el cuerpo se opone al movimiento, tiene sen→
tido opuesto a P x y su valor es:
Fr = m N = m m g cos a
A. Determinación experimental del coeficiente estático
de rozamiento
Mediante un plano inclinado se puede determinar experimentalmente el coeficiente
estático de rozamiento entre dos superficies. Para ello se coloca el objeto sobre una
superficie horizontal y a continuación se eleva uno de sus extremos, aumentando lentamente el ángulo del plano. Para un valor determinado del ángulo, el cuerpo comienza
a deslizarse hacia abajo. En ese instante (Fig. 7.19), Px = Fr , lo que permite calcular el
coeficiente estático de rozamiento:
y
N
Fr
m g sen a = me m g cos a
Px
Importante
Para resolver los problemas
es necesario elegir un sistema de referencia y aplicar el
criterio de signos que hemos
utilizado en Cinemática y en
Dinámica.
me = tg a
Py
x
P
Fig. 7.19. Determinación del coeficiente
estático de rozamiento.
Por tanto, se puede determinar me midiendo el ángulo mínimo necesario para iniciar
el deslizamiento. Cuando el cuerpo no desciende por el plano es porque me > tg a, por
tanto, no hay deslizamiento.
7
dinámica
221
Ejemplo 7
Determina el valor de todas las fuerzas que actúan sobre un bloque de masa m = 10,2 kg
apoyado sobre un plano inclinado 26,2° sobre la horizontal. El coeficiente de rozamiento entre
el bloque y el plano es mc = 0,308. ¿Cuánto tiempo tarda el bloque en recorrer 8,25 m en el
plano partiendo del reposo?
Solución
y
En la Figura 7.20 aparecen dibujadas todas las fuerzas que intervienen.
→
El peso del cuerpo P es una fuerza vertical, cuyo valor es:
N
P = m g = 10,2 kg · 9,81 m s–2 = 100 N
→
→
F
El peso aparece descompuesto en las componentes Px y Py , cuyos módulos son:
P
Px = P sen 26,2° = 100 N · sen 26,2° = 44,1 N
P
Py = P cos 26,2° = 100 N · cos 26,2° = 89,7 N
→
→
La fuerza N es la reacción del plano y tiene el mismo módulo que Py , pero
P
sentido contrario.
→
La fuerza de rozamiento Fr se opone al deslizamiento, y su valor es:
Fig. 7.20. Fuerzas que intervienen.
Fr = m N = m Py = m m g cos 26,2° = 0,308 · 89,7 N = 27,6 N
La aceleración del bloque se obtiene a partir de la segunda ley de Newton de la Dinámica:
→
∑F
P – Fr 44,1 N – 27,6 N
→
;
a= x
=
= 1,62 m s–2
a =
m
m
10,2 kg
El bloque desciende a lo largo del plano con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, sin velocidad
inicial, y recorre los 8,25 m en el siguiente tiempo:
r
x
y
x=
1
a t2
2
;
t=
x
Î2 x = Î 2 · 8,25 m = 3,19 s
a
1,62 m s–2
Ejemplo 8
Sobre el cuerpo de la Figura 7.21 de 12,1 kg de masa actúa la fuerza F = 38,2 N
que forma un ángulo u = 30,1º con la dirección del plano. Si el coeficiente de
rozamiento cinético es 0,420 y el ángulo del plano 40,2º, calcula:
a) El valor de la fuerza de rozamiento.
b) La aceleración del bloque.
y
F
N
Fx
Fy
Px
O
θ
θ = 30,1º
α = 40,2º
Solución
a) Se ejerce sobre el cuerpo una fuerza oblicua, que
forma un ángulo de 30,1º
→
P
con la dirección del plano. Su componente Fy (perpendicular al plano) x
α
P
influye en el valor de la fuerza normal N y en el valor de la fuerza de
rozamiento:
Fig. 7.21. Fuerzas que intervienen.
N = Py – Fy = m g cos a – m g sen u = m g (cos a – sen u)
N = 12,1 kg · 9,81 m s–2 · (cos 40,2º – sen 30,1º) = 31,1 N
Fr = m N = 0,420 · 31,1 N = 13,1 N
→
En este caso, la componente Fy tiene el sentido positivo del semieje Oy y disminuye la fuerza de rozamiento, pero cuando su sentido coincide con el semieje negativo Oy aumenta la fuerza de rozamiento.
b) La segunda ley de Newton de la Dinámica permite calcular la aceleración:
P – Fr – Fx P sen a – Fr – F cos u
76,6 N – 13,1 N – 33,0 N
=
=
= 2,52 m s–2
a= x
m
m
12,1 kg
y
222
7
dinámica
Ejemplo 9
A lo largo de un plano inclinado 30° sobre la horizontal se lanza hacia arriba un bloque
de 5,25 kg con una velocidad de 10,4 m s–1. El coeficiente de rozamiento cinético del bloque con
el plano es mc = 0,481. Calcula:
a)La aceleración del bloque.
b)El tiempo que tarda en detenerse.
c)La distancia que recorre hasta pararse.
y
Solución
a)En la Figura→7.22→ se han dibujado todas las fuerzas que intervienen.
Las fuerzas F r y Px son negativas, tienen sentido contrario a la velocidad y, en consecuencia, la aceleración del bloque también es negativa.
Los valores de la componente tangencial del peso y de la fuerza de
rozamiento son:
Px = P sen a = m g sen a = 5,25 kg · 9,81 m s–2 · sen 30° = 25,8 N
Fr = m m g cos a = 0,481 · 5,25 kg · 9,81 m s–2 · cos 30° = 21,5 N
N
v0
Px
Fr
x
α
α
P
Py
La segunda ley de Newton de la Dinámica permite calcular la aceleraα
ción del bloque:
→
–F – Px
→
∑F=ma
;
–Fr – Px = m a
;
a= r
Fig. 7.22. Fuerzas que intervienen.
m
–21,5 N – 25,8 N
= –9,01 m s–2
a=
5,25 kg
b) Se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente variado con velocidad final nula porque el
bloque se detiene. El tiempo se obtiene a partir de la correspondiente ecuación de este tipo de
movimientos:
0 – (10,4 m s–1)
v – v0
= 1,15 s
=
t=
–9,01 m s–2
a
c) La distancia que recorre el bloque hasta detenerse se obtiene de la ecuación correspondiente del
movimiento rectilíneo uniformemente variado:
1
1
a t2 = 10,4 m s–1 · 1,15 s +
· (–9,01 m s–2) · (1,15 s)2 = 6,00 m
x = v0 t +
2
2
El bloque se desplaza 6 m a lo largo del semieje positivo Ox; es decir, asciende 6 m a lo largo del
plano.
Ac t i v i d a d e s
15>Calcula la aceleración con que desciende un cuerpo
al deslizarse por un plano inclinado 25° sobre la
horizontal si el coeficiente de rozamiento cinético
entre ambos es mc = 0,350.
S:a = 1,03 m s–2.
16>Responde a las siguientes cuestiones:
a)Describe cómo determinarías experimentalmente
el coeficiente estático de rozamiento entre dos
superficies.
b)¿Depende la fuerza de rozamiento de la superficie
aparente de contacto?
17>Un cuerpo de 5,40 kg está situado sobre un plano
inclinado 20° sobre la horizontal. El coeficiente
de rozamiento estático entre el bloque y el plano es
me = 0,400.
a)¿Desciende el bloque por el plano?
b)¿Cuál es el ángulo mínimo a partir del cual se inicia el movimiento?
S:b) a = 21,8°.
7
dinámica
7 Fuerza gravitatoria
Es un hecho cotidiano observar que a veces algunas cosas caen o se precipitan al suelo
atraídas por la Tierra. También lo es que la Luna da vueltas indefinidamente alrededor
de nuestro planeta. Sin embargo, no se percibe, a pesar de que ocurre, cómo un vaso
y un plato se atraen o cómo un rayo de luz se desvía hacia la Tierra. Esto es debido a
que la fuerza gravitatoria es muy débil y solo percibimos sus efectos cuando actúa entre
cuerpos con grandes masas.
La fuerza gravitatoria o gravedad es la más débil de las cuatro interacciones fundamentales de la naturaleza. Sin embargo, es la responsable de la estructura del universo.
Las características de esta fuerza son:
1. Se produce únicamente entre partículas con masa.
2. Siempre es atractiva.
3. Tiene alcance ilimitado.
Aunque las leyes relativas a esta fuerza se han obtenido mediante experiencias realizadas en la Tierra y mediante el estudio del movimiento de los planetas del sistema
solar, todo parece indicar que tienen carácter universal; hasta ahora, nada contradice su
aplicación en todo el universo. Las ondas que llegan a la Tierra desde el espacio indican
que la materia del resto del universo es del mismo tipo que la terrestre, y, por tanto,
todo el cosmos debe regirse por las mismas leyes.
7.1Ley de Newton: la gravitación universal
El estudio del movimiento de la Luna en su órbita alrededor de la Tierra y el de los planetas alrededor del Sol, junto a las observaciones de T. Brahe y J. Kepler, condujeron a
Newton a enunciar la ley de la gravitación universal:
Dos cuerpos cualesquiera del universo se atraen mutuamente con una fuerza
que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que existe entre sus centros.
Tras muchos estudios y experimentos, Newton llegó a esta conclusión al observar la
caída de una manzana en su granja natal de Woolsthorpe. Pensó que si la fuerza responsable de esta caída era la gravedad, capaz de atraer a la manzana hacia la Tierra, del
mismo modo también debería atraer a la Luna. Esta fuerza atractiva es la responsable
del movimiento de la Luna alrededor de nuestro planeta.
Si dos masas puntuales cualesquiera, m1 y m2, están separadas una distancia d (Fig. 7.23),
la fuerza de atracción mutua entre ellas es:
F=G
223
Más datos
Todos los fenómenos del universo pueden describirse con
solo cuatro tipos de fuerzas,
las interacciones fundamentales:
Interacción nuclear fuerte
Es la más intensa, pero de muy
corto alcance, solo se aprecia
en el interior del núcleo de
los átomos. Mantiene unidos
a los protones y neutrones
que componen el núcleo.
Interacción electromagnética
Es la segunda en intensidad.
Puede ser de atracción o de
repulsión porque actúa sobre
partículas cargadas eléctricamente. Es la responsable de
que las moléculas, los átomos
–la materia en general– permanezcan unidos.
Interacción nuclear débil
Solo se aprecia en el interior
de los núcleos de los átomos.
Es muy débil. Es la responsable de algunos fenómenos
radiactivos.
Interacción gravitatoria
Es de alcance ilimitado, siempre atractiva y la más débil
de todas las interacciones. Es
la responsable de la estructura general del universo.
En Internet
En la página www.acienciasgalilei.com puedes encontrar ejemplos de física recreativa sobre gravitación y otros
temas de interés.
m1 m2
d2
donde la constante G, llamada constante de gravitación universal, vale:
G = 6,67 · 10–11 N m2 kg–2
El pequeño valor de la constante G hace que la fuerza gravitatoria entre dos objetos de
uso cotidiano sea muy pequeña. Solo alcanza un valor apreciable cuando alguno de los
cuerpos tiene una masa muy grande.
Fig. 7.23. Ley de Newton de la gravitación universal.
224
7
Más datos
De manera generalizada, se
acepta que una gran explosión (Big Bang) originó el
universo hace unos 13 500 millones de años.
La luz que nos llega desde las
estrellas permite deducir que
las estrellas y las galaxias se
alejan, es decir, que el universo se expande.
Como la fuerza gravitatoria es
atractiva, esta podría frenar
la expansión. Sin embargo,
observaciones realizadas por
el telescopio espacial Hubble
permiten afirmar todo lo
contrario: la expansión se
está acelerando desde hace
unos 8 000 millones de años.
Este hecho parece respaldar la
teoría de la gravedad negativa enunciada por Albert
Einstein en 1917.
Según Einstein, en el espacio
existe una energía invisible o
energía oscura que crea una
fuerza repulsiva opuesta a la
fuerza gravitatoria.
En Internet
Inserta en un buscador los términos «La constante G de la
gravitación universal», entra
en la página web www.iac.es
del Instituto de Astrofísica de
Canarias y lee el texto acerca
de dicha constante.
Física y Química cotidianas
Los satélites geoestacionarios
tienen un periodo de revolución igual al periodo de rotación de la Tierra y además
su órbita está situada en el
plano del ecuador terrestre.
Por eso siempre parecen estar
quietos en el mismo punto.
dinámica
7.2Aceleración de la gravedad en la Tierra
Si MT es la masa de la Tierra, RT su radio y m la masa de un cuerpo situado sobre la superficie terrestre, la fuerza con que es atraído por la Tierra se corresponde con su peso,
M m
que está dirigido hacia el centro de nuestro planeta, y vale: F = G T 2
RT
Ahora bien, el peso del cuerpo puede calcularse también mediante la ley fundamental
de la Dinámica: P = m g. Al igualar las dos formas de expresar la fuerza-peso, se deduce
el valor de la aceleración de la gravedad:
g=G
MT
R2T
Este resultado explica por qué la aceleración de la gravedad es la misma para todos los
objetos, ya que es independiente de la masa del objeto y depende de G, MT y RT, que
son constantes.
Para una altura h sobre la superficie terrestre, el valor de la aceleración de la gravedad es:
g=G
MT
(RT + h)2
A medida que aumenta la altura sobre la superficie terrestre, disminuye el valor de la
aceleración de la gravedad; en consecuencia, también disminuye el peso de los cuerpos.
A. Satélites artificiales
Los satélites artificiales son dispositivos mecánicos que describen órbitas alrededor de
la Tierra. Se utilizan para realizar observaciones meteorológicas, en comunicaciones,
investigación, cartografía, con fines militares, etcétera.
Como hemos visto en la Unidad 6, en todo movimiento circular existe aceleración centrípeta; por tanto, según la segunda ley de Newton, existe una fuerza centrípeta cuyo valor es:
Fc = m ac =
m v2
R
La fuerza gravitatoria que la Tierra ejerce sobre el satélite es la responsable del movimiento circular de este:
Fuerza gravitatoria = Fuerza centrípeta
MT m
m v2
=
G
(RT + h)2 RT + h
siendo m la masa del satélite, v su velocidad, MT la masa de la Tierra, RT el radio de la
Tierra y h la altura a la que se encuentra el satélite sobre la superficie terrestre.
Despejando v se obtiene la velocidad del satélite:
v=
Î
G MT
RT + h
Cuanto menor sea el radio de la órbita, mayor debe ser la velocidad del satélite.
El tiempo que tarda el satélite en describir una órbita alrededor de la Tierra (periodo de
revolución T) es el cociente entre la longitud de la órbita y su velocidad:
T=
2p (RT + h)
v
dinámica
7
225
Ejemplo 10
Calcula la masa de la Tierra sabiendo que su radio es de 6 380 km y la aceleración de la gravedad
en su superficie vale 9,81 m s–2.
Solución
La aceleración de la gravedad en la superficie terrestre en función de la masa de la Tierra MT y de su
radio RT nos permite despejar MT:
M
g R2T
9,81 m s–2 · (6,38 · 106 m)2
= 5,99 · 1024 kg
g = G 2T
; MT =
=
RT
G
6,67 · 10–11 N m2 kg–2
Ejemplo 11 (PAU)
La nave espacial Lunar Prospector permanece en órbita circular alrededor de la Luna a una altura
de 100 km sobre su superficie. Determina la velocidad lineal de la nave y el periodo del movimiento.
Datos: G = 6,67 · 10–11 N m2 kg–2; masa de la Luna ML = 7,36 · 1022 kg; radio lunar RL = 1 740 km.
Solución
Como la fuerza centrípeta coincide con la fuerza gravitatoria, podemos calcular la velocidad lineal v de
la nave:
M m m v2
; v = G ML
G L2 =
R
R
R
El radio de la órbita R es: R = RL + h = 1 740 km + 100 km = 1 840 km = 1,84 · 106 m
Sustituyendo los datos en la ecuación anterior, se obtiene la velocidad de la nave lunar:
Î
Î
–11
2
–2
22
v = 6,67 · 10 N m kg 6 · 7,36 · 10 kg = 1 630 m s–1 = 1,63 km s–1
1,84 · 10 m
El periodo del movimiento es el tiempo que tarda la nave en recorrer la longitud de su órbita circular
(2p R) con esta velocidad:
2p R 2p · 1,84 · 106 m
= 7 090 s = 1,97 horas
=
T=
v
1 630 m s–1
Ac t i v i d a d e s
18>Calcula la fuerza gravitatoria con la que se atraen
dos neutrones situados en el núcleo de un átomo a
una distancia de 1,10 · 10–15 m. La masa del neutrón
es mn = 1,67 · 10–24 g.
S:F = 1,54 · 10–34 N.
19>Sabiendo que el periodo de revolución lunar
es de 27,32 días y que el radio de la órbita es
rL = 3,84 · 108 m, calcula:
a)La constante de gravitación universal, G.
b)La fuerza que la Luna ejerce sobre la Tierra y la de
la Tierra sobre la Luna.
c)Si un satélite se sitúa entre la Tierra y la Luna
a una distancia de la Tierra de RL/4. ¿Cuál es la
relación de fuerzas debidas a la Tierra y a la Luna.
Datos: M
T = 5,98 · 1024 kg; ML = 7,35 · 1022 kg.
S:a) G = 6,69 · 10–11 N m2 kg–2; b) F = 1,99 · 1020 J;
c) FT = 732 FL.
20>Calcula el peso que tendrá una persona de 68,0 kg
situada a una altura de 400 km sobre la superficie
terrestre.
Datos: R T = 6 380 km, g = 9,81 m s–2.
S:P = 591 N.
21>La distancia media Tierra-Sol es 1,50 · 108 km. Calcula la masa del Sol.
Datos: G = 6,67 · 10–11 N m2 kg–2; MT = 5,98 · 1024 kg.
S:MS = 2,00 · 1030 kg.
7
226
dinámica
8 Fuerzas elásticas
Existen numerosos ejemplos de materiales elásticos que utilizamos habitualmente: una pelota de goma o cualquier otro objeto fabricado con
este material, la rama fina de un árbol, la pértiga de un saltador, los
amortiguadores de muchos vehículos, las camas elásticas, las cuerdas
de una raqueta de tenis, una chapa metálica, un tablón de madera,
etc. Sin embargo, el ejemplo más característico es un muelle o resorte.
y
F
F
x2
x1
→
→
Por acción de la fuerza F (Fig. 7.24) el muelle de acero experimenta
un alargamiento Dx = x2 – x1. Cuando cesa la fuerza deformadora, el
muelle recupera su forma inicial.
x
Fig. 7.24. Fuerza deformadora F . El alargamiento experimentado por el muelle
es directamente proporcional a la
→
fuerza deformadora F .
Los cuerpos elásticos se comportan como el muelle, es decir, recuperan su forma original cuando cesa la acción deformadora;
aunque hay
→
que tener en cuenta que existe un límite de F por encima del cual el
muelle pierde sus propiedades elásticas, que se denomina límite de
elasticidad.
Otros materiales, como el plomo, el barro o la plastilina, se denominan
plásticos porque no recuperan su forma original cuando cesa la acción
deformadora.
Por último, los cuerpos frágiles se rompen cuando experimentan pequeñas
deformaciones.
Para alargar o comprimir más un muelle es necesario aplicar una fuerza cada vez mayor,
es decir, la fuerza debe aumentar cuando aumenta la deformación del muelle. Por tanto,
la fuerza elástica es una fuerza variable y produce sobre los cuerpos aceleraciones también variables: en los movimientos producidos por fuerzas elásticas no son aplicables
las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
En Internet
Inserta en un buscador los
términos «ley de Hooke».
Entra en la página www.educaplus.org y observa la simulación que describe la ley
de Hooke en un muelle.
Para pequeñas deformaciones, producidas por fuerzas que actúan durante intervalos
cortos de tiempo, se cumple la ley de Hooke:
La deformación de un muelle elástico es proporcional a la fuerza
deformadora:
→
→
F = k Dx
Donde k es la constante elástica del muelle y Dx la deformación experimentada tanto
en el alargamiento del muelle (tracción) como en su acortamiento (compresión).
El valor de la constante elástica depende del material y de la forma del muelle. Su unidad en el SI es el N m–1. Si el valor de k es elevado, indica que es necesaria una fuerza
grande para deformar el muelle (suspensión de un camión o de un tren); si su valor es
pequeño, indica lo contrario (el muelle de una pinza de la ropa, por ejemplo).
La fuerza ejercida por el muelle cuando se estira o se comprime es de igual valor y sentido contrario, de acuerdo con la ley de acción y reacción:
→
→
F = –k Dx
La fuerza ejercida por el muelle se debe a interacciones electromagnéticas entre las
partículas que lo forman. Si el resorte es metálico, al deformarse varían las distancias
entre los cationes de la red, y la atracción eléctrica de los electrones los devuelve a su
posición original.
7
dinámica
227
Ejemplo 12
Sobre un muelle de constante elástica k = 2,12·103 N m–1 se coloca un cuerpo de masa m = 15,5 kg.
a)¿Qué longitud se acorta el muelle?
b)¿Cuánto se alargaría si el cuerpo colgase de él?
Solución
a)El muelle cumple la ley de Hooke: F = k Dx. Donde k es la constante elástica del muelle y Dx, la
deformación que experimenta.
La fuerza que actúa sobre el muelle es el peso colocado sobre él:
F = P = m g = 15,5 kg · 9,81 m s–2 = 152 N
Y sufre una compresión que acorta su longitud:
F
152 N
= 0,0717 m = 7,17 cm
=
k
2,12·103 N m–1
b)Si el cuerpo colgase del muelle se alargaría la misma longitud, puesto que F y k tendrían el mismo valor.
Dx =
Ejemplo 13
Un bloque de 2,54 kg de masa se encuentra en reposo apoyado sobre un plano inclinado 40º
sobre la horizontal (Fig. 7.25). El muelle que sujeta el bloque ha experimentado un
alargamiento de 22,1 cm. ¿Cuál es la fuerza de rozamiento entre el bloque y el plano?
Dato: constante elástica del muelle k = 34,5 N m–1.
y
Solución
Si llamamos Fr a la fuerza de rozamiento y Fe a la fuerza elástica que ejerce el
muelle, según el esquema de fuerzas de la Figura 7.27, se cumple:
Fr + Fe = Px
N
Fe = k Dx = 34,5 N m · 0,221 m = 7,62 N
–1
Fr = 16,0 N – 7,62 N = 8,38 N
Fr
O
Px
Fr = Px – Fe = m g sen a – k Dx
Px = m g sen a = 2,54 kg · 9,81 m s–2 · sen 40º = 16,0 N
Fe
x
α
Py
P
α = 40º
Fig. 7.25. Esquema de las fuerzas
que intervienen.
Ac t i v i d a d e s
22>Al colgar un cuerpo de masa m = 1,40 kg de sendos
muelles se observa que los alargamientos que se producen son 4,20 cm y 19,0 cm, respectivamente. ¿Cuál
es el valor de la constante elástica de cada muelle?
S:k = 327 N m ; k = 72,3 N m .
–1
–1
23>Un muelle de acero se alarga 2,40 cm al colgarle un
bloque de 5,00 kg.
a)¿Cuál es el valor de la fuerza deformadora?
b)¿Cuál es su constante elástica?
c)¿Cuánto se alargaría al colgarle un cuerpo
de 12,0 kg?
S:a) F = 49,2 N; b) K = 2,05 · 103 N m–1; c) Dx = 5,76 cm.
24>Responde a las siguientes cuestiones.
a)Describe la constitución de un dinamómetro.
b)
Basándote en la ley de Hooke, explica su
funcionamiento.
228
7
dinámica
9 Fuerza centrípeta
Más datos
Cuando viajamos dentro de
un vehículo que describe una
curva nos desplazamos hacia
el exterior de la curva y
parece como si una fuerza,
llamada fuerza centrífuga,
nos empujara hacia fuera. En
realidad, no existe ninguna
fuerza, lo que sucede es que
por inercia tendemos a continuar en línea recta.
La fuerza centrífuga solo se
utiliza por observadores en
rotación (sistemas no inerciales). Nosotros siempre operamos en sistemas inerciales;
por tanto, nunca debemos
utilizar fuerzas centrífugas.
Si en cualquier tipo de movimiento varía el módulo, la dirección o el sentido del vector
velocidad, se produce una aceleración. En el movimiento circular uniforme, el módulo de
la velocidad es constante, pero su dirección, que es tangente a la trayectoria, cambia
en cada punto; por tanto, existe una aceleración perpendicular a la trayectoria, que como
se dirige hacia el centro de la circunferencia,
se denomina aceleración centrípeta o normal
(Fig. 7.26). Su valor es, como ya vimos en la
Unidad 6:
ac =
v2
= v2 R
R
Si existe una aceleración centrípeta, existirá
también una fuerza centrípeta en su misma
dirección y sentido, cuyo valor, de acuerdo
con la segunda ley de Newton de la Dinámica, es:
Fc = m ac =
Fig. 7.26. Fuerza centrípeta. Es perpendicular a la trayectoria y se dirige
hacia el centro de la circunferencia.
m v2
= m v2 R
R
donde R es el radio de la circunferencia descrita y v, la velocidad angular.
La resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo que describe un movimiento circular uniforme es la fuerza centrípeta. Puede ser producida por una fuerza
gravitatoria, una cuerda al girar, una fuerza de rozamiento, eléctrica o de otro tipo
(Fig. 7.27).
Si el movimiento circular no es uniforme, varía el módulo de la velocidad, y además
de la aceleración centrípeta, existe aceleración tangencial. En el movimiento circular
uniformemente variado, el módulo de la fuerza centrípeta no es constante, puesto que
varía el módulo de la velocidad.
Fig. 7.27. Fuerza centrípeta. La fuerza
centrípeta es la que impide que las
personas salgan despedidas de la noria.
A. Aplicaciones de la fuerza centrípeta
En el caso de un vehículo que describe
una curva circular en una carretera horizontal
→
(Fig. 7.28), el peso del vehículo P está equilibrado por la reacción normal de la carretera
→
N . La fuerza que produce la aceleración centrípeta es la fuerza de rozamiento de los
neumáticos con la carretera:
Fc = Fr;
N
Fc
P
R
Fig. 7.28. Fuerza centrípeta. La fuerza
centrípeta es la fuerza de rozamiento
de los neumáticos.
m v2
=mmg
R
v = Îm g R
De acuerdo con la última fórmula, la velocidad máxima que el vehículo puede desarrollar
en la curva sin derrapar no depende de la masa del vehículo, sino del coeficiente de
rozamiento de los neumáticos con el suelo y del radio de la curva.
Por eso los coches de Fórmula 1 y las motos de carreras utilizan neumáticos hechos
con un caucho muy blando y un coeficiente de rozamiento con el asfalto muy grande.
Esto hace que se degraden muy rápidamente debido a la intensa fuerza de rozamiento.
7
dinámica
Si la carretera no es horizontal,
sino que forma un ángulo a con la horizontal (peral→
te), la fuerza normal N ejercida→por→ la carretera (Fig. 7.29) tiene que tener el módulo
suficiente para que la suma de N y P dé un vector horizontal (fuerza centrípeta). De no
ser así, el móvil subiría o bajaría en la curva. Para mayor sencillez, suponemos que
no hay rozamientos. El valor de la fuerza centrípeta es:
m v2
= N sen a
R
El peso y la componente vertical de N se equilibran: N cos a = m g. Al dividir las dos
ecuaciones anteriores se obtiene la velocidad:
N sen a
m v2
v2
tg a =
=
v = ÎR g tg a
mgR
gR
N cos a
Esta última ecuación permite calcular la velocidad con la que un vehículo puede tomar
una curva peraltada sin considerar el rozamiento. Si la velocidad es mayor o menor,
el vehículo se desplazará hacia fuera de la curva o hacia dentro, respectivamente. Las
fuerzas de rozamiento ayudan a impedirlo.
229
N
Fc
P
Fig. 7.29. Curva con peralte.
Ejemplo 14
Un automóvil de 1 200 kg de masa inicia una curva, con el trazado horizontal, cuyo radio de
curvatura es de 60 m y mantiene siempre una velocidad de 90 km h–1. ¿Cuál es la dirección y el
valor de la fuerza que el asfalto ejerce sobre el automóvil en la curva?
Solución
Como el módulo de la velocidad se mantiene constante cuando el automóvil toma la curva, su movimiento es circular uniforme. La fuerza responsable del movimiento es la fuerza centrípeta, que es la
fuerza de rozamiento ejercida por el asfalto sobre las ruedas del automóvil. Su valor es:
m v2
1 200 kg · (25 m s–1)2
=
= 1,25 · 104 N = 12,5 kN
Fc = Fr =
R
60 m
La fuerza centrípeta es perpendicular a la trayectoria.
Ejemplo 15
Una bola de masa m = 180 g colgada de un hilo (Fig. 7.30) describe círculos en el aire con el
módulo de la velocidad constante (péndulo cónico). La longitud del hilo es ℓ = 94,2 cm y forma un
ángulo de 30º con la vertical. Calcula la tensión del hilo y la velocidad de giro.
Solución
→
→
→
Las fuerzas que actúan (Fig. 7.30) son el peso P = mg y la tensión del hilo T .
Los valores de las componentes de la tensión Tx y Ty son:
Ty = T cos a
Tx = T sen a
→
→
Las fuerzas Ty y P son iguales y de sentidos opuestos y se anulan entre sí y la
componente de la tensión dirigida hacia el centro Tx es la fuerza centrípeta:
m v2
T cos a = m g
T sen a =
R
La primera ecuación permite calcular la tensión del hilo y la segunda, la velocidad:
mg
0,180 kg · 9,81 m s–2
T=
= 2,04 N
=
cos 30°
cos a
v=
Î
R T sen a
=
m
Î
R mg sen a Î
= R g tan a = Î 0,471 m · 9,81 m s–2 · 0,577
m cos a
α
ℓ
y
T
α
x
Ty
Tx = Fc
P = mg
Fig. 7.30. Esquema de las fuerzas
que intervienen.
v = 1,63 m s–1
230
7
dinámica
Ejemplo 16
Se hace girar en un plano vertical una piedra de masa m = 30 g con una cuerda de 50 cm de
longitud, dando 60 vueltas por minuto. ¿Qué tensión soporta la cuerda cuando la piedra está en
el punto más alto y en el más bajo de su trayectoria?
Solución
Este es otro ejemplo de aplicación de la fuerza centrípeta. En este caso, se trata
del movimiento de un cuerpo en una circunferencia vertical.
P
La velocidad angular y la velocidad lineal de la piedra son las siguientes:
T1
60 · 2p rad
= 2p rad/s
v = v R = 2p rad/s · 0,5 m = 3,14 m s–1
60 s
Cuando la piedra pasa por el punto más alto de la trayectoria (Fig. 7.31), su peso
y la tensión de la cuerda tienen el mismo sentido.
v=
La fuerza centrípeta, responsable del movimiento circular de la piedra, es la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre ella en cada posición; por tanto, en
este caso es la suma del peso y la tensión de la cuerda:
→
→
→
Fc = P + T1
T2
P
Fig. 7.31. Esquema de las fuerzas
que intervienen.
Como las tres fuerzas tienen la misma dirección y sentido, se cumple:
Fc = P + T1
T1 = Fc – P =
m v2
–mg
R
0,03 kg · (3,14 m s–1)2
– 0,03 kg · 9,8 m s–2 = 0,30 N
0,50 m
→
→
En el punto más bajo de la trayectoria, la tensión de la cuerda T2 y el peso de la piedra P tienen
sentido contrario; por tanto, la fuerza centrípeta, que es la resultante de ambas fuerzas, vale:
T1 =
Fc = T2 – P
T2 = Fc + P =
m v2
+mg
R
0,03 kg · (3,14 m s–1)2
+ 0,03 kg · 9,8 m s–2 = 0,89 N
0,50 m
Comprobamos que la tensión de la cuerda en el punto más bajo (T2 = 0,89 N) es mayor que en el
punto más alto (T1 = 0,30 N); por eso, la mayor probabilidad de que se rompa la cuerda se produce
en el punto más bajo de la trayectoria.
T2 =
Ac t i v i d a d e s
25>¿De qué factores depende la velocidad máxima con
que un vehículo puede tomar una curva horizontal
sin patinar?
27>Se hace girar en un plano vertical una piedra de
masa m = 50 g mediante una cuerda de 50 cm
de longitud, dando 120 vueltas por minuto. Calcula:
26>Una bola de masa m = 180 g describe una circunferencia sobre una mesa horizontal, sin rozamiento,
atada a una cuerda de 1,20 m de longitud y mantiene
siempre una velocidad de 6,40 m s–1. Calcula la tensión de la cuerda y la fuerza centrípeta.
S:T = 6,14 N.
a)La tensión de la cuerda cuando la piedra está en el
punto más alto de la trayectoria.
b)La tensión de la cuerda cuando la piedra está en el
punto más bajo.
S:a) T1 = 3,46 N; b) T2 = 4,44 N.
dinámica
7
231
10Cantidad de movimiento
o momento lineal
Si una pelota golpeara una farola con una velocidad de 20 km h–1 no notaríamos ningún
efecto apreciable en la farola. Sin embargo, si lo que impacta en la farola es un camión,
aunque fuera a la misma velocidad, el efecto sería mucho mayor.
Se produce un fenómeno semejante cuando cambia la velocidad. El efecto producido
sobre la farola no es el mismo si el camión se desplaza a 20 km h–1 que si lo hace
a 50 km h–1.
Está claro que al hablar de interacciones no solo importa la velocidad de las partículas,
sino también su masa. Por eso necesitamos hablar de otra magnitud física: la cantidad
de movimiento.
→
La cantidad de movimiento de un cuerpo o momento lineal, p , se define
→
como el producto de su masa, m, por su velocidad, v :
→
→
p =mv
Importante
El momento lineal p es una
magnitud vectorial.
La cantidad de movimiento es una magnitud vectorial. Tiene la misma dirección y sentido que el vector velocidad, pues resulta de multiplicar una magnitud escalar, la masa,
que siempre es positiva, por otra vectorial, la velocidad.
Su módulo es el producto de la masa por el módulo de la velocidad.
Según la primera ley de Newton, un cuerpo sobre el que no actúa fuerza alguna (cuerpo
libre) está en reposo o se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme, es decir, tiene
velocidad constante; por tanto, su momento lineal también permanece constante:
→
v = cte
→
→
p = m v = cte
En consecuencia, la primera ley de Newton puede enunciarse de la siguiente forma:
El momento lineal de un cuerpo libre se mantiene constante.
Como la unidad de masa en el SI es el kg y la de velocidad el m s–1, la unidad de cantidad
de movimiento en el SI es kg m s–1, que no recibe ningún nombre concreto.
Ejemplo 17
Calcula el valor de la cantidad de movimiento de un automóvil de 950 kg
que se desplaza a velocidad constante de 20,4 m s–1. ¿Cómo se puede
variar el momento lineal del coche?
Solución
El valor numérico de la cantidad de movimiento es:
p = m v = 950 kg · 20,4 m s–1 = 1,94 · 104 kg m s–1
Para variar el momento lineal del coche es necesario que actúe una fuerza
sobre él. Si no es así, su velocidad se mantiene constante, y como su masa
también es constante, el momento lineal no varía.
Física y Química cotidianas
Cuando aterriza un avión de
gran tamaño, como su masa
y su velocidad son elevadas,
tiene una cantidad de movimiento muy grande, y necesita muchos metros de pista
para detenerse
232
7
dinámica
11Impulso mecánico y momento lineal.
Conservación del momento lineal
Al empujar una caja con la misma fuerza durante un tiempo determinado, esta aumenta
su velocidad. Si esto se hace el doble de tiempo, está claro que la velocidad de la caja
será mayor. Es necesaria entonces otra magnitud que relacione fuerza y tiempo para
estudiar el efecto que producimos en los cuerpos.
La segunda ley de Newton nos permite definir esa nueva magnitud: el impulso mecánico.
En efecto, de acuerdo con la ecuación fundamental de la Dinámica, se puede escribir:
→
→
Dv
→
F=ma=m
Dt
Como la masa de las partículas que interaccionan en nuestro entorno suele ser constante,
→
→
→
m Dv = D(m v ) = Dp , la ecuación anterior puede escribirse así:
→
→
Dp
F=
Dt
Esta ecuación fue propuesta por Newton en 1665 como expresión matemática de su
segunda ley de la Dinámica. Probablemente se trate de la ecuación más importante de
la Física:
La rapidez con que varía el momento lineal de un cuerpo es una medida de la
fuerza que actúa sobre él.
También está implícita en esta expresión la
primera ley de Newton de la Dinámica: si
→
→
→
sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza (F = 0), entonces Dp = 0, p = cte, y como m
es constante, también es constante la velocidad: el cuerpo está en reposo o se mueve con
movimiento rectilíneo y uniforme.
y
De la última ecuación se deduce:
-v
→
v
→
F Dt = Dp
→
→
→
F Dt = m v2 – m v1
El primer→ miembro, el producto
de la fuerza por el tiempo que actúa, es el impulso me→ → →
F Dt). Es una magnitud vectorial que tiene la misma direccánico, I , de la fuerza F (I = →
ción y sentido que la fuerza F , puesto que el tiempo es una magnitud escalar positiva.
O
x
Fig. 7.32. Impulso mecánico. La pelota
rebota en la pared y su velocidad cambia de sentido,
tiene
signo
contrario.
→
→
→
→
Por tanto: I = m v – (–m v ) = 2 m v.
De acuerdo con la misma ecuación:
El impulso mecánico es igual a la variación del momento lineal (Fig. 7.32).
El impulso mecánico producido por la fuerza cambia el momento lineal del cuerpo.
La variación de la velocidad no solo depende de la fuerza, sino también del tiempo que
actúa.
Las unidades de impulso mecánico son las mismas que las de momento lineal. En el SI,
la unidad de impulso mecánico es N s ó kg m s–1, y no recibe ningún nombre concreto.
→
Cuando la fuerza F aplicada al cuerpo se anula, el momento lineal del cuerpo se mantiene constante. Este es el principio de conservación del momento lineal.
dinámica
Sin embargo, cuando realmente es útil este principio de conservación es al aplicarlo a
un sistema formado por dos o más cuerpos:
→
→
p1 + p2 + … + pn = cte
Otro enunciado de este principio de conservación es el siguiente:
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
m1v1 + m2v2 + … = m1v 1‘ + m2v 2‘ + …
→
En Internet
Física y Química cotidianas
El momento lineal inicial es igual al momento lineal final:
p1 + p2 + … = p ‘1 + p 2‘ + … ;
233
En la página www.educaplus.org, pulsando «Física»,
después «Dinámica» y, por
último, «Conservación del
momento lineal» se encuentra una simulación que permite ilustrar la conservación
en una explosión.
El momento lineal total de un sistema aislado, es decir, no sometido a fuerzas exteriores, permanece constante:
→
7
→
donde p1 y p2 son los momentos lineales iniciales y p 1‘ y p 2‘ los momentos
lineales finales.
El retroceso de las armas de fuego, los motores a reacción o la explosión de una granada
son ejemplos de esta ley de conservación:
• Inicialmente, el cañón y el proyectil se encuentran en reposo (Fig. 7.33), y el momento lineal inicial es cero. Cuando se dispara, el cañón retrocede para compensar el
momento lineal ganado por el proyectil.
• En un avión a reacción, el momento lineal hacia delante del avión
es igual al momento lineal hacia atrás de los gases de escape.
Algunos aviones despegan
verticalmente en la cubierta
de los portaaviones lanzando
los gases de la combustión
hacia abajo; por ello, según
el principio de conservación
del momento lineal, el avión
es impulsado hacia arriba.
p
–p
• Cuando explosiona una granada, los fragmentos se proyectan en todas direcciones y el momento total de los fragmentos después de
la explosión debe ser igual al momento de la granada antes de la
explosión (nulo si estaba en reposo).
Ejemplo 18
Un automóvil que se desplaza a 25,2 m s–1 frena bruscamente y se detiene
en 4,28 s. ¿Cuál es la fuerza media que ejerce el cinturón de seguridad
sobre el conductor cuya masa es de 74,5 kg?
Solución
Tomamos como referencia el punto donde empieza la frenada y situamos en
ese punto el origen de coordenadas. Si el automóvil se desplaza en el sentido
del semieje positivo Ox, la velocidad inicial es positiva. La velocidad final es
cero porque el automóvil se detiene.
→
→
El impulso mecánico es igual a la variación del momento lineal: F Dt = Dp
Como los vectores tienen igual dirección, podemos emplear sus módulos:
m (v – v0)
F Dt = m (v – v0); F =
Dt
74,5 kg · (0 – 25,2 m s–1)
= –439 N
F=
4,28 s
El signo negativo indica que la fuerza y la aceleración tienen sentido contrario
a la velocidad: se dirigen hacia el semieje negativo Ox.
Fig. 7.33. Retroceso. Antes del disparo
el momento lineal total es cero. Después del disparo también. Por eso el
cañón retrocede.
234
7
dinámica
Ejemplo 19
Dos cuerpos A y B (Fig. 7.34) tienen masas de 0,80 kg y 0,60 kg y se
mueven acercándose el uno al otro con velocidades de 1,4 m s–1 y 2,2 m s–1,
respectivamente. Tras el choque quedan unidos y se mueven al unísono.
¿Cuál es su velocidad después del choque? ¿En qué sentido se mueven?
y
vA = 1,4 m s–1
vB = –2,2 m s
–1
Solución
Tomando los ejes de coordenadas como referencia, la velocidad del cuerpo A
tiene el sentido del semieje positivo Ox; por tanto, es una velocidad positiva.
La velocidad del cuerpo B es negativa porque tiene el sentido contrario.
O
x
Fig. 7.34.
De acuerdo con la conservación del momento lineal, el momento lineal antes
del choque debe ser igual al momento lineal después del choque.
Claves y consejos
Momento lineal antes del choque o momento lineal inicial:
pO = mA vA + mB vB = 0,80 kg · 1,40 m s–1 + 0,60 kg · (–2,2 m s–1) =
= –0,20 kg m s
–1
Momento lineal final (después del choque):
pf = (mA + mB) vf = (0,80 + 0,60) kg · vf = 1,4 kg · vf
La igualdad entre ambos momentos lineales nos permite obtener la velocidad
después del choque:
pO = p f ;
–0,20 kg m s–1 = 1,4 kg · v f ;
Un error habitual es confundir el signo de la velocidad
que, como es una magnitud
vectorial, es positiva en un
sentido y negativa en sentido contrario.
vf = –0,14 m s–1
El signo negativo de la velocidad indica que después del choque los cuerpos unidos se mueven hacia
la izquierda en el sentido del semieje negativo Ox. Es el mismo sentido en el que se movía inicialmente el cuerpo B.
Ejemplo 20
Un astronauta sale de su nave en el espacio y cuando se encuentra en reposo lanza un pequeño objeto de masa
m1 = 450 g con una velocidad de 12,4 m s–1. Si la masa del astronauta y su traje es m2 = 108 kg, ¿con qué
velocidad se mueve? ¿Qué distancia recorre en 2 minutos exactos?
Solución
Supongamos que el astronauta se encuentra inicialmente en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas que
tomamos como referencia y que el objeto se mueve en el sentido positivo del eje Ox. En estas circunstancias, la velocidad del objeto es positiva.
En ausencia de fuerzas exteriores, el momento lineal del conjunto astronauta-objeto se mantiene constante e igual a
cero, porque inicialmente tanto el astronauta como el objeto están en reposo:
–m1 v’1
–0,450 kg · 12,4 m s–1
= –0,0517 m s–1
=
108 kg
m2
El signo negativo de la velocidad nos indica que el astronauta se desplaza en sentido contrario al del objeto, hacia
atrás; es decir, en el sentido del semieje negativo Ox.
p0 = m1 v1 + m2 v2 = 0; pf = m1 v’1 + m2 v’2 = p0 = 0; v’2 =
El movimiento del astronauta es rectilíneo y uniforme, y su posición, cuando han transcurrido 120 s, es la siguiente:
x2 = v2 t = –0,0517 m s–1 · 120 s = –6,20 m
El astronauta retrocede 6,20 m.
7
dinámica
235
Ejemplo 21
Un proyectil de 17,5 g de masa se mueve con una velocidad de 225 m s–1
cuando choca contra un bloque de madera de 2,34 kg y se incrusta en él
(Fig. 7.35).
a)¿Cuál es la velocidad del conjunto bloque-proyectil después del choque?
y
vp > 0
b)¿Qué distancia recorre el conjunto bloque-proyectil en 2,80 s?
x
O
4,68 m
Fig. 7.35.
Solución
a)Consideremos que en el momento del impacto el bloque se encuentra en el origen de un sistema de
coordenadas que tomamos como referencia, y que el proyectil se mueve en el sentido del semieje
positivo Ox, es decir, que su velocidad es positiva.
En el choque se conserva el momento lineal (no actúan fuerzas exteriores a la bala y al bloque);
por tanto, el momento lineal se mantiene constante: antes y después del choque.
Momento lineal antes de la colisión:
pO = mb vb + mp vp
pO = 2,34 kg · 0 + 1,75 · 10–2 kg · 225 m s–1 = 3,94 kg m s–1
Momento lineal después de la colisión:
pf = (mb + mp) vf
pf = (2,34 + 1,75 · 10–2) kg · vf = 2,36 kg · vf
Como p0 = pf, obtenemos el valor de vf :
3,94 kg m s–1 = 2,36 kg · vf ; vf = 1,67 m s–1
b)De acuerdo con la primera ley de Newton, el conjunto bloque-proyectil se mueve con movimiento
rectilíneo y uniforme, con velocidad constante de 1,67 m s–1.
La posición del conjunto bloque-proyectil después de 2,80 s es:
x = x0 + vf t
x = 1,67 m s–1 · 2,80 s = 4,68 m
Por tanto, el conjunto bloque-proyectil recorre 4,68 m en el sentido de la bala.
Ac t i v i d a d e s
28>Un rifle de masa 4,5 kg dispara una bala de 20 g
con una velocidad de 220 m s–1. ¿Con qué velocidad
retrocede el rifle?
S:v = –0,98 m s–1.
29>Dos vagones de ferrocarril de masas 4 · 10 y
3 · 104 kg ruedan en la misma dirección y sentido.
El vagón menos pesado rueda delante, moviéndose
con una velocidad de 0,5 m/s, mientras que el más
pesado se mueve a 1 m/s. Llega un momento que
chocan y se acoplan. Calcula:
a)La cantidad de movimiento o momento lineal total
del sistema antes y después del choque.
4
b)La velocidad con que se mueven los vagones después del choque.
S:a) p = 5,5 · 104 kg m s–1; b) v = 0,79 m s–1.
30>Una bola de 20 g de masa rueda a 10 m s–1 hacia una
bola de 120 g de masa que se encuentra parada.
Después del choque, la primera bola rebota con una
velocidad de 1,5 m s–1.
a)¿Qué velocidad adquiere la segunda bola?
b)¿En qué dirección y sentido se mueve la segunda
bola después del choque?
S:a) v = 1,9 m s–1.
236
7
dinámica
Ciencia, tecnología y sociedad
Cohetes espaciales
L
os cohetes son vehículos a reacción en los que la propulsión se consigue expulsando gases. Esta propulsión
se basa en la tercera ley de Newton y en la conservación del momento lineal. Antes del lanzamiento, el momento
lineal del cohete es cero. Cuando se lanza en ausencia de fuerzas exteriores, el momento total del sistema, cohete y gases,
→
sigue siendo cero: el momento lineal del cohete (m1 v1) es igual
en módulo, pero de sentido opuesto, al momento lineal de los
→
gases (– m2 v2) (Fig. 7.36).
Normalmente, su objetivo es enviar al espacio satélites artificiales, sondas espaciales y naves tripuladas con astronautas.
Los combustibles para cohetes se denominan propergoles. Los
propergoles producen, por combustión, gases a altas temperaturas y presiones elevadas en un recinto del que escapan por
una boquilla. Este escape origina un empuje debido a la diferencia de presión entre el interior y el exterior del cohete. Si p1
es la presión interior, p2 la presión exterior y S la sección de la
boquilla, la fuerza producida por la diferencia de presión es:
F = S ( p1 – p2)
La fuerza es máxima cuando p2 es igual a cero; es decir, cuando
la presión exterior es nula. Esto ocurre en los viajes espaciales,
cuando el cohete está suficientemente alejado de la Tierra.
Como fuera de la atmósfera no existe oxígeno, el cohete debe
llevar almacenado en tanques no solo el combustible, sino también el comburente, que no siempre es oxígeno.
Los cohetes utilizados en el lanzamiento de naves para explorar
el espacio operan en varias etapas. La parte más grande del
cohete se utiliza en la primera etapa, en los instantes iniciales;
cuando todo su combustible se ha quemado se elimina, y se
enciende la segunda etapa, etc. La disminución rápida de la
masa del cohete le permite alcanzar velocidades muy altas, que
no serían posibles en una sola fase.
Los cohetes que transportan naves destinadas a explorar nuestro sistema solar o el espacio exterior tienen que dotar a la nave
de una velocidad que le permita escapar de la atracción gravitatoria terrestre. Esta velocidad, denominada velocidad de escape, es en nuestro planeta de 11,2 km/s.
Los propulsores sólidos más utilizados son los percloratos y
nitratos de amonio y el aluminio. Como propulsores líquidos
se usan: hidrógeno y queroseno como combustibles, con oxígeno como comburente, e hidracina (combustible) con tetraóxido
de dinitrógeno (comburente). En el futuro quizás se utilice la
propulsión mediante reactores nucleares y también se especula
con el uso de la presión de la radiación solar mediante «velas
solares» para impulsar el cohete.
Los cohetes pueden utilizarse también con fines bélicos. Los
que transportan cargas explosivas se denominan misiles. En la
Fig. 7.36. Antes y después del lanzamiento, el momento lineal
total del sistema cohete-gas es cero.
actualidad, los ejércitos de algunos países disponen de misiles
de largo alcance (intercontinentales), de gran poder destructor
y de enorme precisión, dotados de cabezas nucleares múltiples.
CUESTIONES
1>¿En qué leyes fundamentales se basa la propulsión de
los cohetes?
2>¿Por qué los cohetes que operan fuera de la atmósfera
deben transportar el combustible y el comburente?
3>Consultando la bibliografía adecuada e Internet, responde a las siguientes preguntas:
a)¿Qué pasa si un cohete no alcanza la velocidad de
escape?
b)¿Cuál es la velocidad de escape en la Luna y en otros
planetas?
c)¿Existe alguna relación entre la velocidad de escape
y la existencia de atmósfera en los planetas?
dinámica
7
Experiencia de laboratorio
Ley de inercia de Newton
Objetivo
Comprobar experimentalmente de manera sencilla alguna de las leyes de Newton.
Material
•Nivel de burbuja de aire (se utiliza en bricolaje, albañilería, etc.), vaso, tarjeta resistente (carta de
baraja, un DNI, una tarjeta bancaria, etc.), moneda de 0,20 euros, folio de cartulina, ladrillo, hilo de lana.
Procedimiento
a)Sitúa el nivel de carpintero en una mesa horizontal.
Desplaza el nivel con rapidez hacia adelante, con movimientos cortos, y observa la situación de la burbuja de
aire (Fig. 7.37). ¿El primer movimiento de la burbuja es
hacia adelante o hacia atrás?
Fig. 7.37.
c)Coloca sobre el folio de cartulina un vaso con agua, próximo a un borde. Tira con fuerza de la cartulina, con un
movimiento seco (Fig. 7.39). Si todo va bien, el vaso
permanecerá en su posición sin que el agua se derrame.
Fig. 7.39.
b)Coloca sobre el vaso la tarjeta y encima, coincidiendo
con el centro de la boca del vaso, la moneda (Fig. 7.38).
Golpea la tarjeta con fuerza utilizando el dedo corazón,
con un movimiento semejante al que utilizabas para jugar a las canicas. La moneda caerá al vaso y la tarjeta se
desplazará.
Fig. 7.38.
d)Ata un ladrillo con un hilo de lana de poca resistencia.
Tira lentamente del hilo hasta elevar el ladrillo (Fig. 7.40).
Baja el ladrillo y tira bruscamente para elevarlo de nuevo,
ahora el hilo se romperá.
Fig. 7.40.
Analiza y responde
1>¿Por qué el líquido del nivel se queda atrás y la burbuja de aire, por tanto, se mueve en el sentido del desplazamiento? ¿El movimiento de la burbuja indica el sentido de la aceleración del nivel? ¿Qué sucedería si
empujaras un recipiente inmóvil con agua?
2>¿Por qué se desplaza la tarjeta? ¿Por qué la moneda no se desplaza horizontalmente y cae al vaso?
3>¿Por qué el vaso del apartado c) no se desplaza y permanece en su posición?
4>¿Por qué se rompe la cuerda? ¿Por qué no se rompe en el primer caso? ¿Influye el impulso mecánico en las
experiencias realizadas?
5>Enuncia las leyes de Newton que intervienen en estas experiencias.
237
238
7
dinámica
Problemas propuestos
Leyes de Newton
1>¿Por qué te desplazas hacia delante cuando el autobús
en el que viajas frena bruscamente?
2>¿Por qué no se anulan entre sí las fuerzas de acción y
reacción si siempre son iguales y de sentido contrario?
3>Dos imanes se repelen mutuamente. Si la masa de uno
es menor que la del otro, ¿cuál experimenta una fuerza
mayor? ¿Cuál de los tendrá mayor aceleración?
4>Calcula la fuerza que ejerce sobre el piso del ascensor
un hombre de 70 kg de masa:
a)Cuando está en reposo.
b)Cuando asciende a 1,0 m s–2.
c)Cuando asciende a 5,0 m s–1.
d)Cuando desciende a 2,0 m s–2.
S:a) F = 6,9 · 102 N; b) F = 7,6 · 102 N;
c) F = 6,9 · 102 N; d) F = 5,5 · 102 N.
5>Sobre el cuerpo de la Figura 7.41, cuya masa es
m = 5,0 kg, actúan las fuerzas que se indican. Calcula:
a)El peso del cuerpo.
b)La reacción normal N.
c)La aceleración del cuerpo.
N
F2 = 20 N
F1 = 40 N
P
Fig. 7.41.
S:a) P = 49 N; b) N = 49 N; c) a = 4,0 m s–2.
6>Un avión de 90 t que está parado arranca y alcanza
la velocidad de despegue, 144 km h–1, tras recorrer
1,6 km por la pista. ¿Qué fuerza, supuesta constante,
han ejercido sus motores?
S:F = 45 kN.
a)La aceleración del movimiento.
b)La tensión de la cuerda.
c)La velocidad del conjunto cuando, habiendo partido
del reposo, haya recorrido 20 m.
S:a) a = 0,65 m s–2; b) T = 650 N; c) v = 5,1 m s–1.
9>Un carpintero clava un clavo con un martillo
de 3,00 kg de masa. La velocidad del martillo en el
momento del impacto con el clavo es de 5,00 m/s. Si
el clavo se hunde 6,00 mm en la madera, ¿qué fuerza
(suponiendo que es constante) opone la madera al
movimiento del clavo?
S:F = −6,25 · 103 N.
10>Un bloque de masa m = 6,0 kg se encuentra en reposo
sobre una superficie horizontal lisa. Al actuar sobre
él una fuerza constante le comunica una aceleración
de 8,5 m s–2. Calcula el valor de la fuerza:
a)Si es paralela a la superficie.
b)Si forma un ángulo de 30º con la horizontal.
S:a) F = 51 N; b) F = 59 N.
11>Dos cuerpos de 400 y 500 g, respectivamente, cuelgan
de los extremos de una cuerda inextensible y de masa
despreciable que pasa por una polea que suponemos
no influye en el problema (máquina de Atwood). ¿Con
qué aceleración se moverán? ¿Cuál es la tensión de la
cuerda?
S:a = 1,09 m s–2; T = 4,36 N.
12>Las masas de los cuerpos A y B de la Figura 7.42
son 0,30 kg y 0,20 kg, respectivamente. Considerando
que no existen rozamientos, que la cuerda es inextensible y de masa despreciable y que la polea no influye
en el movimiento, calcula:
a)La aceleración del sistema.
b)La tensión de la cuerda.
7>Una misma fuerza F se aplica a dos cuerpos diferentes
de masas m1 y m2. El primero adquiere una aceleración de 8,0 m s–2 y el segundo de 12 m s–2. ¿Qué relación existe entre las masas m1 y m2?
S:m1 = 1,5 m2.
8>Un automóvil ejerce una fuerza de tracción de 120 kp y
arrastra un remolque con un cable. El automóvil tiene
una masa de 800 kg y el remolque 1 000 kg. Si se desprecian los rozamientos, calcula:
Fig. 7.42.
S:a) a = 3,9 m s–2; b) T = 1,2 N.
7
dinámica
13>Los bloques m1 = 2,0 kg y m2 = 3,0 kg de la Figura 7.43
se apoyan sobre una superficie horizontal sin rozamiento.
La fuerza F = 20 N empuja al conjunto de los bloques que
están en contacto. Calcula la aceleración del conjunto y
las fuerzas de acción y reacción entre los bloques.
239
20>Un cuerpo de 50 kg está en reposo sobre una superficie horizontal. El coeficiente cinético de rozamiento
vale 0,20 y el estático 0,50. Calcula:
a)La fuerza de rozamiento entre el cuerpo y la superficie.
b)La fuerza mínima necesaria para iniciar el movimiento.
c)¿Cuánto vale la fuerza de rozamiento si la fuerza horizontal aplicada es de 40 kp? En este caso, ¿cuánto
vale la aceleración?
S:a) Fr = 0; b) F = 2,4 · 102 N; c) Fr = 98 N; a = 5,9 m s–2.
Fig. 7.43.
S:a = 4,0 m s–2; F = 12 N.
14>Un cuerpo de masa m = 3,0 kg está situado sobre un
plano inclinado 30º sobre la horizontal sin rozamientos.
a)Dibuja un diagrama con todas las fuerzas que actúan
sobre el cuerpo.
b)¿Con qué aceleración desciende por el plano?
S:b) a = 4,9 m s–2.
Fuerza de rozamiento
15>Tenemos un niño sentado en un trineo en una pendiente
cubierta de nieve. No se desliza, pero empujando con
los pies consigue poner en movimiento el trineo, y a
partir de ese momento, y sin ayuda por parte del niño,
desciende, aumentando continuamente su velocidad.
¿Podrías dar una explicación de lo sucedido?
21>Por un plano inclinado 30º sobre la horizontal se lanza
hacia arriba un cuerpo de 5,0 kg con una velocidad
de 10 m s–1, siendo el coeficiente de rozamiento cinético
entre el cuerpo y el plano 0,20.
a)¿Cuál será la aceleración de su movimiento.
b)¿Qué espacio recorre hasta que se detiene?
c)¿Qué tiempo tarda en detenerse?
S:a) a = –6,6 m s–2; b) x = 7,6 m; c) t = 1,5 s.
22>Dos cuerpos m1 = 2,0 kg y m2 = 3,0 kg están unidos por
una cuerda de masa despreciable, según se representa en
la Figura 7.44. Si los respectivos coeficientes de rozamiento son 0,20 y 0,40, calcula:
a)La aceleración del sistema.
b)La tensión de la cuerda.
16>¿Puede existir fuerza de rozamiento sobre un objeto en
el que la suma de todas las demás fuerzas sea nula? Pon
un ejemplo.
m2
17>Para arrastrar con velocidad constante un piano de 140 kg
de masa sobre un suelo horizontal hay que realizar una
fuerza de 650 N. Calcula el coeficiente de rozamiento.
S:m = 0,473.
18>Un plano inclinado forma un ángulo de 40º sobre la horizontal. En la parte más alta se abandona un cuerpo para
que baje deslizándose. Sabiendo que el coeficiente de
rozamiento estático es 0,50, averigua si se deslizará.
S:Sí, se deslizará.
19>Una atracción de feria consiste en lanzar un trineo
de 2,0 kg por una rampa ascendente que forma un
ángulo de 30º con la horizontal. Si el coeficiente de
rozamiento es 0,15, ¿con qué velocidad se debe lanzar
para que ascienda una altura de 4 m?
S:v = 7 m s–1.
m1
30°
Fig. 7.44.
S:a) a = 2,2 m s–2; b) T = 2,0 N.
23>Un bloque de madera de 3,0 kg está situado sobre un
plano inclinado 5º sobre la horizontal. El coeficiente
de rozamiento entre el bloque y el plano es 0,50. ¿Con
qué velocidad descenderá el bloque por el plano a los
5,0 s de iniciado el movimiento? ¿Te da una velocidad
negativa?
S:no desciende. El valor de la fuerza de rozamiento es
igual al de Px, no puede ser mayor.
240
7
dinámica
Problemas propuestos
Fuerza gravitatoria
Fuerza elástica
24>Calcula la fuerza de atracción existente entre dos
camiones de 30 t y 24 t que se encuentran aparcados uno al lado del otro a una distancia de 4,0 m. ¿Es
mayor o menor que el peso de un filete de ternera
de 0,12 kg?
30>El muelle de un dinamómetro se alarga 3,00 cm al colgarle una masa de 100 g. ¿Cuál es su constante elástica?
S:k = 32,7 N m–1.
S:F = 3,0 · 10–3 N.
25>Si tu masa es de 60 kg y te encuentras en la superficie
terrestre:
a)¿Con qué fuerza te atrae la Tierra? ¿Con qué fuerza
atraes tú a la Tierra?
b)¿Qué aceleración te comunica a ti dicha fuerza?
¿Qué aceleración le comunica esa misma fuerza a la
Tierra?
c)¿Te resulta familiar alguno de los valores obtenidos?
Datos: MT = 6 · 1024 kg; RT = 6 370 km.
S:a) F = 5,9 · 102 N; b) a = 9,8 m s–2; a = 9,8 · 10–23 m s–2.
26>¿A qué altura sobre la Tierra debe encontrarse una nave
espacial para que el valor de la aceleración de la gravedad sea 9,00 m s–2?
31>La longitud de un muelle aumenta 1,00 cm cuando se
cuelga de él un objeto A de 1,50 kg de masa.
a)¿Cuál es la constante elástica del muelle?
b)Cuando se cuelga otro objeto B del muelle, este se
alarga 3,00 cm, ¿cuál es la masa de B?
S:a) k = 1 ,47 · 103 N m–1; b) m = 4,50 kg.
32>El sistema de suspensión de un coche incluye cuatro
muelles iguales entre los que se distribuye, de manera
uniforme, el peso total del vehículo. La deformación
máxima proyectada es de 10 cm, y la masa total del
coche a plena carga es de 1,5 t. Si el fabricante introduce un margen de seguridad del 20%, ¿cuál debe ser
la constante elástica de los muelles?
S:k = 4,4 · 104 N m–1.
33>El bloque de la Figura 7.45 de 7,0 kg de masa está
apoyado sobre un plano inclinado 60º sobre la horizontal y sujeto por un resorte que sufre un alargamiento
de 16,4 cm. ¿Cuál es la constante elástica del muelle?
Datos: MT = 5,98 · 1024 kg; RT = 6 380 km.
S:h = 277 km.
27>Calcula la fuerza de atracción gravitatoria entre la Tierra y un astronauta, que con el traje espacial tiene
una masa de 120 kg, que se encuentre a 20 000 km de
la superficie de la Tierra. ¿Cuál es el valor de g a esa
altura?
Datos: MT = 5,98 · 1024 kg; RT = 6 380 km.
S:F = 68,8 N; g = 0,573 m s–2.
28>¿Cuál es la masa y el peso de un cuerpo de 40,0 kg en
la Tierra y en la Luna?
Datos: MT = 5,98 · 1024 kg; ML = 7,35 · 1022 kg;
RT = 6 380 km; RL = 1 740 km.
S:MT = ML = 40,0 kg; PT = 392 N; PL = 64,8 N.
29>Un planeta esférico tiene un radio de 3 000 km y la aceleración de la gravedad en su superficie es 6,00 m/s2.
¿Cuál es su densidad media?
Datos: G = 6,67 · 10–11 N m2 kg–2.
S:r = 7,16 · 103 kg/m3.
Fig. 7.45.
S:k = 3,6 · 102 N m–1.
Fuerza centrípeta
34>Un automóvil de 1 500 kg de masa se mueve en un
tramo recto con una velocidad de 90,0 km/h e inicia una
curva, permaneciendo el trazado horizontal, cuyo radio
de curvatura es R = 60,0 m, y manteniendo siempre la
misma velocidad tangencial v. Determina la dirección, el
sentido y el valor de la fuerza que el asfalto ejerce sobre
el automóvil durante el recorrido por la curva.
S:Fr = 1,56 · 104 N.
dinámica
35>Un ciclista toma la curva de un velódromo de 40 m de
diámetro con una velocidad de 40 km h–1. Suponiendo
que el rozamiento entre las ruedas y el suelo es despreciable, calcula el ángulo de peralte para que el ciclista
no se salga de la pista.
S:a = 32º.
36>Un vehículo de 100 kg describe una curva de 20 m de
radio. El coeficiente de rozamiento del vehículo con el
suelo es 0,20. Determina:
a)Si el suelo fuese horizontal, ¿cuál sería la velocidad
máxima que podría llevar el vehículo para que no se
deslizase lateralmente?
b)Si no hubiese rozamiento, ¿cuál habría de ser el
peralte de la curva para que a esa velocidad no se deslizase lateralmente?
S:a) v = 6,3 m s–1; b) a = 11,5º.
37>Un cuerpo de 2,0 kg de masa se encuentra sujeto al
extremo de una cuerda de 100 cm de longitud, y al girar
verticalmente describiendo una circunferencia cuando
pasa por el punto más bajo, la tensión vale 100 N. Si en
ese momento se rompe la cuerda:
a)¿Con qué velocidad saldrá despedido el cuerpo?
b)¿Cuál es la tensión de la cuerda en el punto más alto?
S:a) v = 6,3 m s–1; b) T = 0.
38>La Tierra describe una órbita, que puede considerarse circular, alrededor del Sol y tarda un año en dar una vuelta.
Suponiendo que el movimiento es circular uniforme,
¿qué fuerza origina el movimiento de la Tierra?
Datos: MT = 5,98 · 1024 kg; distancia de la Tierra al Sol =
= 149,6 · 106 km.
S:F = 3,54 · 1022 N.
Impulso mecánico, momento lineal, conservación
del momento lineal
39>Sobre una masa m actúa una fuerza constante de
250 N durante 15,0 s, transmitiéndole una velocidad
de 37,5 m s–1. Calcula la masa m y la cantidad de movimiento de la misma al cabo de ese tiempo.
S:m = 100 kg; p = 3,75 · 103 kg m s–1.
40>Un futbolista golpea durante 0,5 s un balón de 1 kg
de masa, que se encuentra en reposo, de forma que le
imprime una velocidad de 5 m/s. ¿Cuál es el módulo
del momento lineal de la pelota antes y después de la
patada? ¿Cuál es el impulso sobre la pelota?
S:p = 5 kg m/s; I = 5 N s.
7
241
41>Algunos tenistas logran en sus servicios comunicar a la
pelota velocidades de 200 km/h. Si la masa de la pelota
es de 100 g y el impacto dura 0,15 s, ¿qué fuerza media
ha actuado sobre la pelota?
S:F = 37 N.
42>Una pelota de 75 g de masa llega a la pared de un frontón con una velocidad de 16 m s–1 y rebota con una velocidad de 12 m s–1. El tiempo de contacto con la pared es
de 0,030 s. Calcula:
a)La variación que experimenta el momento lineal de la
pelota.
b)La fuerza media que actúa sobre la pelota.
S:a) p = 2,1 kg m s–1; b) F = 70 N.
43>Un astronauta sale de la cápsula espacial y arroja
hacia delante un objeto de 0,80 kg con una velocidad de 1,2 m s–1. Si la masa total del astronauta es
de 100 kg, ¿a qué distancia de la cápsula espacial se
encontrará el astronauta al cabo de una hora?
S:x = 35 m.
44>Una madre y su hija, con masas de 60 kg y 45 kg, respectivamente, están paradas en una pista de hielo. La
hija empuja a su madre horizontalmente con una fuerza
de 40 N durante 0,50 s. Calcula:
a)La aceleración y la velocidad de la madre.
b)La fuerza que actúa sobre la hija, su aceleración y su
velocidad.
S:a) a = 0,67 m s–2; v = 0,33 m s–1; b) F = –40 N;
a = –0,89 m s–2; v = –0,44 m s–1.
45>Dos bolas de masas m1 = 30,0 g y m2 = 75,0 g se mueven sobre una superficie horizontal lisa de forma que se
pueden considerar como partículas libres sin rozamiento.
Se dirigen en línea recta una hacia la otra con velocidades de 5,00 y 7,00 m s–1, respectivamente. Después
del choque, la primera bola rebota con una velocidad
de 12,1 m s–1. ¿Qué velocidad adquiere la segunda bola
después del choque?
S:v = –0,160 m s–1.
46>Una técnica utilizada para determinar la velocidad de
una bala consiste en disparar sobre un blanco de modo
que la bala se incruste en él, observando el movimiento
del blanco tras el choque. Supón que una bala de 17 g de
masa, tras incrustarse en un blanco de 1 500 g, hace que
el conjunto se mueva con una velocidad de 0,64 m s–1.
En ausencia de rozamientos, determina la velocidad de la
bala antes del impacto.
S:v = 57 m s–1.
242
7
dinámica
Problemas propuestos
47>Un soldado dispara una ametralladora. Las balas, de
masa 100 g, salen con una velocidad de 400 m/s.
La máxima fuerza que puede ejercer el soldado sujetando la ametralladora es de 200 N. ¿Cuál es el máximo
número de balas que puede disparar en un minuto?
S:n = 300 balas.
a)La fuerza que ejercerá el cuerpo sobre el piso del montacargas en el instante del arranque para ascender.
48>Una explosión rompe una roca en tres trozos. Dos de
ellos, de 1,0 kg y 2,0 kg, salen despedidos en ángulo
recto con una velocidad de 12 m s–1 y 8,0 m s–1, respectivamente. El tercero sale con una velocidad de 40 m s–1.
a)Dibuja un diagrama que muestre la dirección y sentido de este tercer fragmento.
b)¿Cuál es la masa de la roca?
S:b) m = 3,5 kg.
d)La tensión del cable en los tres casos anteriores.
b)La misma fuerza cuando se mueve entre pisos a
velocidad constante.
c)La misma fuerza en el momento de detenerse
durante la subida.
S:a) F = 11,0 kN; b) F = 7,84 kN; c) F = 4,64 kN;
d) T = 24,8 kN; T = 17,6 kN; T = 10,4 kN.
53>Halla la fuerza constante que hay que aplicar a un
cuerpo de 20 kg de masa para:
a)Transmitirle una aceleración de 1,2 m s–2.
b)Transmitirle una velocidad de 12 m s–1 a los 4,0 s de
iniciado el movimiento.
Para profundizar
c)Recorrer 450 m en los primeros 15 s.
49>Un bloque de 5,0 kg está sostenido por una cuerda y se
eleva con una aceleración de 2,0 m s–2.
a)¿Cuál es la tensión de la cuerda?
b)Si después de iniciado el movimiento, la tensión
de la cuerda se reduce a 49 N, ¿qué clase de movimiento tendrá lugar?
c)Si se afloja la cuerda por completo, se observa que
el bloque continúa moviéndose, recorriendo 2,0 m
antes de detenerse. ¿Qué velocidad tenía?
S:a) T = 59 N; b) Movimiento uniforme;
c) v = 6,3 m s–1.
d)Lo mismo del c) si existe además una fuerza contraria de 35 N.
50>Una grúa eleva un peso de 2 000 kp con un cable cuya
resistencia a la ruptura es 3 000 kp. ¿Cuál es la máxima
aceleración con que puede subir el peso?
S:a = 4,90 m s–2.
51>Una barca situada en medio de un canal, con las aguas
en reposo, es arrastrada mediante dos cuerdas con
las que se ejercen fuerzas de 250 N y 320 N, respectivamente. La primera cuerda forma un ángulo de 60º
con la dirección del canal. ¿Qué ángulo debe formar la
segunda cuerda con la dirección del canal si la barca se
mueve paralelamente a las orillas? ¿Qué fuerza arrastra
a la barca?
S:a = 43º; F = 360 N.
52>Un montacargas posee una velocidad de régimen, tanto
en el ascenso como en el descenso, de 4,00 m s–1, tardando 1,00 s en adquirirla al arrancar o en detenerse
por completo en las paradas. Si en el montacargas
hay un peso de 800 kp y la masa del montacargas es
de 1 000 kg, calcula:
S:a) F = 24 N; b) F = 60 N; c) F = 80 N; d) F = 115 N.
54>Un ascensor, cuya masa total es 729 kg, sube a una altura de 25 m. A los 2,0 s de arrancar adquiere una velocidad de 1,0 m s–1. Cuando faltan 2,5 m para llegar a
su destino frena, apareciendo una aceleración negativa
de 0,20 m s–2.
Calcula la tensión del cable:
a)En el primer segundo del movimiento.
b)Cuando el ascensor recorre el último metro de la
subida.
S:a) T = 7,5 kN; b) T = 7,0 kN.
55>Responde a las siguientes cuestiones.
a)Indica en qué sentido se mueve el sistema de la
Figura 7.46 y calcula con qué aceleración.
b)¿Qué valor tiene la tensión de la cuerda?
m1
m2
α
Fig. 7.46.
Datos: m1 = 2,0 kg; m2 = 700 g; a = 30º.
S:a) a = 1,1 m s–2; b) T = 7,6 N.
7
dinámica
56>Dados los cuerpos representados en la Figura 7.47, calcula la aceleración con que se mueven y la tensión de la
cuerda. El coeficiente de rozamiento es el mismo para
ambos cuerpos y vale 0,200.
243
60>Un cuerpo de 12,5 kg de masa asciende por el plano inclinado de la Figura 7.48 al aplicarle la fuerza F = 122 N. El
coeficiente de rozamiento cinético vale 0,480. Calcula:
a)La aceleración del cuerpo.
b)El tiempo que tarda en recorrer 18,2 m.
2 kg
F
5 kg
20°
30°
30°
Fig. 7.48.
Fig. 7.47.
S:a = 1,73 m s–2; T = 7,38 N.
57>Un bloque de 5,0 kg se lanza hacia arriba a lo largo de un
plano inclinado 37º con una velocidad inicial de 9,8 m s–1.
Se observa que recorre una distancia de 6,0 m y después
desliza hacia abajo hasta el punto de partida.
Calcula:
a)La fuerza de rozamiento que actúa sobre el bloque.
b)La velocidad de este cuando vuelve a su posición inicial.
S:a) Fr = 10,5 N; b) v = 6,8 m s–1.
58>Dos bloques de masas m1 = 4,00 kg y m2 = 2,00 kg están
unidos por una cuerda inextensible y de masa despreciable y situados sobre un plano inclinado 30,0º sobre la
horizontal. Si el coeficiente de rozamiento con el plano
inclinado para ambos bloques vale 0,300, calcula:
a)La fuerza F paralela al plano necesaria para que el sistema ascienda con velocidad constante por el plano
inclinado.
S:a) a = 0,180 m s–2; b) t = 14,2 s.
61>Se desea subir un cuerpo de m = 4,0 kg por un plano
inclinado 15º sobre la horizontal, siendo el coeficiente de
rozamiento cinético entre el plano y el cuerpo m = 0,65.
¿Qué fuerza horizontal mínima se debe aplicar?
a)El cuerpo sube con velocidad constante.
b)El cuerpo sube con una aceleración de 2,0 m s–2.
S:a) F = 44 N; b) F = 54 N.
62>Para medir la masa de un cierto objeto B, se mantiene
junto a un cuerpo A, de 1,2 kg de masa, como indica
la Figura 7.49, en reposo sobre una superficie horizontal sin rozamiento, con un muelle entre ellos que permanece comprimido mediante una cuerda. Se quema la
cuerda, de modo que, al alargarse el muelle, el objeto
A se mueve con una velocidad de 2,1 ms–1 y el objeto B
se desplaza con una velocidad de 3,3 ms–1, en sentido
opuesto. ¿Cuál es la masa de B?
y
b)La tensión de la cuerda que une ambos bloques
durante el ascenso.
S:a) F = 44,7 N; b) T = 29,8 N.
59>Si un cuerpo se desliza sobre un plano horizontal con
rozamiento, tras ser lanzado con una determinada velocidad inicial, ¿cuáles de los siguientes factores influyen
en el tiempo que tarda en pararse?
a)Velocidad inicial de lanzamiento.
b)Masa del cuerpo.
c)Naturaleza de los materiales que forman el cuerpo y la
superficie del plano.
VB
VA
B
A
x
O
Fig. 7.49.
S:m = 0,76 kg.
63>En el interior de un cohete meteorológico que va a despegar viaja un dispositivo inercial muy delicado que
tiene una masa de 200 g y está suspendido de un hilo
vertical muy fino cuya resistencia es de 6,4 N. Calcula la
máxima aceleración con que puede despegar el cohete
sin dañar el dispositivo.
S:a = 22 m s–2
244
7
dinámica
Cuestiones básicas
• Fuerza: mide la intensidad de la interacción entre los cuerpos.
• La masa de un cuerpo es una medida de su inercia.
→
→
• El peso de un cuerpo es la fuerza con que la Tierra lo atrae: P = m g .
→
→
• Cantidad de movimiento o momento lineal: p = m v .
→
→
• Impulso mecánico: I = F Dt = variación del momento lineal.
Leyes de la Dinámica
• Primera ley de Newton. Cuando un cuerpo está en reposo o se mueve con movimiento rectilíneo
y uniforme es porque ninguna fuerza actúa sobre él o la suma de las que actúan vale cero. Como
consecuencia su momento lineal permanece constante:
→
F = 0
→
→
→
Dp = 0
p = cte
v = cte
• Segunda ley de Newton. La fuerza aplicada sobre un cuerpo es directamente proporcional a la
aceleración que produce. Mide la rapidez con que varía el momento lineal:
→
→
F = m a =
→
Dp
Dt
• Tercera ley de Newton. Cuando dos cuerpos interaccionan, se ejercen mutuamente fuerzas iguales
y de sentido opuesto:
→
→
F 12 = –F 21
• Conservación del momento lineal. El momento lineal total de un sistema aislado, es decir, no
sometido a fuerzas exteriores, permanece constante: el momento lineal inicial es igual al momento
lineal final:
→
→
→
→
p 1 + p 2 + … + p n = cte
→
→
→
p 1 + p 2 + … = p1' + p2' + …
Fuerzas en Dinámica
Fuerza de rozamiento
Aparece siempre que un
cuerpo intenta desplazarse
sobre una superficie. Se
opone al movimiento.
→
→
Fr = m N
Plano horizontal:
Fr = m P = m m g
Plano inclinado:
Fr = m m g cos a
Fuerza gravitatoria
Siempre es atractiva y tiene
alcance ilimitado.
F=G
m1 m2
d2
Fuerza elástica
La deformación es proporcional a la fuerza deformadora
(ley de Hooke).
→
→
F = k Dx
Fuerza centrípeta
Es la resultante de todas las
fuerzas que actúan sobre
un cuerpo que describe un
movimiento circular
uniforme.
2
Fc = m v = mv2 R
R
Curva horizontal:
Aceleración de la gravedad:
M
g = G 2r
RT
v = Îm g R
Peralte:
2
tg a = v
Rg