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Física
Dinámica Movimiento Vertical de Una Esfera en un Fluido
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La fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad
La fuerza de rozamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad
Rangos de validez
La fórmula general de la fuerza de rozamiento es
Donde Cd se denomina coeficiente de arrastre, f es la densidad del medio, A es el
área de la sección transversal al movimiento (en el caso de una esfera es
R2), y
v es la velocidad.
El coeficiente de arrastre es una función del número de Reynolds, Re. Este número
es importante para definir el comportamiento de un fluido y en particular, la
transición del flujo laminar al turbulento. El número Re se define como
donde l representa la longitud del objeto medida a lo largo de su sección
es la viscosidad dinámica del
transversal (en el caso de una esfera es 2R), y
fluido.
Para un amplio intervalo de números Re, la forma funcional del coeficiente de
arrastre Cd se puede escribir.
Para pequeños números Re<1, el primer término domina. La fuerza de rozamiento
sobre un cuerpo de forma esférica de radio R la podemos escribir
Que es la conocida fórmula de Stokes. La fuerza de rozamiento sobre una esfera
que se mueve despacio en un medio es proporcional a la velocidad.
El rango de validez de la fórmula de Stokes (Re<1) limita el radio R de la esfera
que empleamos en la experiencia de la medida de la viscosidad de un fluido, para
un fluido (aceite) y para un material (plomo) determinado. Conocidos los datos de
la densidad del fluido f , su viscosidad η (medida por otros procedimientos
alternativos) y la velocidad v de la esfera en dicho medio, el radio R de la esfera
debe cumplir que
Para grandes números Re, en el intervalo 1000<Re<200000, el coeficiente de
arrastre Cd es aproximadamente constante Cd 0.4. La fuerza de rozamiento para
una esfera de radio R vale
La fuerza de rozamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad.
Vamos a resolver el problema del lanzamiento de un cuerpo de forma esférica
verticalmente hacia arriba con velocidad inicial v0. Supondremos que el cuerpo
tiene forma esférica de radio R, de masa m (o densidad del sólido
e), y que se
mueve en un medio de densidad f . Tomaremos como medida de la aceleración de
la gravedad g=9.81 m/s2
Movimiento en el vacío.
La única fuerza que actúa es el peso. El movimiento del cuerpo es uniformemente
acelerado.
Fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad. Fórmula de Stokes
Sobre el cuerpo actúan tres fuerzas, el
peso, el empuje y la fuerza de
rozamiento.
La ecuación del movimiento en su
movimiento ascendente es
Esta ecuación la podemos escribir de forma más sencilla
Hemos denominado a G la aceleración efectiva de la gravedad
Integrando esta ecuación con la condición inicial de que en el instante t=0, la
velocidad v=v0.
Integrando nuevamente, obtenemos la posición del móvil (altura) en función del
tiempo. En el instante inicial t=0, el cuerpo parte del origen x=0.
Cuando el cuerpo desciende no tenemos que volver a plantear la ecuación del
movimiento ya que la velocidad cambia de signo.
Ejemplo
Un grano de arena de radio R=0.02 mm=0.00002 m se lanza verticalmente en el
agua con una velocidad inicial de v0=0.01 m/s.
3
Datos: densidad de la arena
e=2670 kg/m , densidad del agua
3
=0.001 kg/(m·s).
kg/m , viscosidad
El valor de G=6.14 m/s2 y el de
f
= 1000
=4213 s-1.
El número Re se mantiene inferior a 1, (en el instante inicial) por lo que se puede
aplicar la fórmula de Stokes.
En el siguiente applet se compara el movimiento de una partícula lanzada
verticalmente hacia arriba en el vacío con la velocidad inicial v0=0.01 m/s (en azul)
, y el movimiento vertical hacia arriba y hacia abajo del grano de arena en el agua
(en rojo).
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Seleccionado el botón de radio titulado Posición, se representa la posición x
en función del tiempo t.
Seleccionado el botón de radio titulado Velocidad, se representa la velocidad
v en función del tiempo t.
Podemos observar como el grano de arena adquiere rápidamente una velocidad
constante.
Fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad
Como la fuerza de rozamiento es proporcional al cuadrado de la
velocidad, no cambia de signo cuando el cuerpo pasa de moverse hacia
arriba a moverse hacia abajo. Por tanto, tenemos que plantear las
ecuaciones del movimiento en dos etapas, cuando el cuerpo asciende y
cuando el cuerpo desciende.
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Movimiento vertical hacia arriba
Se puede escribir de una forma más simple, de la forma
Integrando esta ecuación con la condición inicial de que en el instante
t=0, la velocidad v=v0.
Integrando nuevamente, obtenemos la posición del móvil (altura) en
función del tiempo. En el instante inicial t=0, el cuerpo parte del origen
x=0.
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Movimiento vertical hacia abajo
La ecuación del movimiento es ahora
Integrando esta ecuación con la condición inicial de que en el instante
t=t0, la velocidad inicial v=0.
donde t0 es el tiempo que tarda el cuerpo en ascender hasta la máxima
altura v=0.
Integrando nuevamente obtenemos la posición del móvil (altura) en
función del tiempo. En el instante t=t0, el cuerpo parte de la altura
máxima xmáx
Ejemplo:
Consideremos una pelota de plástico que se lanza hacia arriba con una
velocidad inicial v0=5 m/s. Supongamos que su masa es de m=78.3 g y
su radio de R=15 cm. Sabiendo que la densidad del aire es f =1.293
kg/m3 y su viscosidad es =17.1 10-6 kg/(m·s).
=0.176 s/m. El número de Reynolds
El valor de G=7.53 m/s2 y el de
es en el momento del lanzamiento de la pelota vale
El número Re está en el intervalo de validez de la fórmula de la fuerza de
rozamiento, salvo cuando se aproxima a la máxima altura, la velocidad es
próxima a cero. Ahora bien, en la mayor parte de la trayectoria la
velocidad de la pelota es suficientemente alta para que se el número de
Reynolds esté dentro del intervalo 1000<Re<200000.
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