1 Ley de Newton de cambio de temperaturas. E: Un recipiente con

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Ley de Newton de cambio de temperaturas.
E: Un recipiente con agua a una temperatura de 100 ı C se coloca en una habitación que se mantiene
a una temperatura constante de 25 ı C. Después de 3 min la temperatura del agua es de 90 ı C.
Determinar la temperatura del agua después de 15 min. ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir
para que la temperatura del agua sea de 40 ı C?
D: H La temperatura T .t/ del agua, en ı C, después de t minutos, está dada por la solución del
PVI:
T 0 .t/ D kŒT .t/ 25; con T .0/ D 100 y además T .3/ D 90:
Resolvemos el problema:
dT
D k.T
dt
Z
Z
dT
dT
25/ )
D k dt )
Dk
dt )
T 25
T 25
) ln.T 25/ D k t C C ) T 25 D e ktCC D e kt e C D e kt C )
) T
25 D C e kt )
) T .t/ D 25 C C e kt :
Hemos obtenido la solución general de la ED. Considerando las condiciones dadas:
T .0/ D 100 ) 25 C C e 0 D 100 ) C D 75 ) T .t/ D 25 C 75e kt I
65
13
90 25
T .3/ D 90 ) 25 C 75e 3k D 90 ) e 3k D
D
D
)
75
75
15
1
13
13
) 3k D ln
) k D ln
D 0:0477 )
3
15
15
) T .t/ D 25 C 75e .0:0477/t :
Ésta es la solución al PVI. La temperatura del agua después de 15 min es:
T .15/ D 25 C 75e
.0:0477/.15/
D 61:67 ) T .15/ 62 ı C:
Para que la temperatura del agua baje a 40 ı C:
40 25
1
D 40 ) e .0:0477/ D
D )
75
5
ln.5/
1
.0:0477/t D ln
) tD
D 33:74
0:0477
5
T .t/ D 40 ) 25 C 75e
)
.0:0477/t
deben transcurrir: t D 33:74 min 33 min, 44 s.
10. canek.azc.uam.mx: 29/ 11/ 2010