27 La carga eléctrica y la ley de Coulomb 27.1. Una revisión del

Capítulo 27
27 La carga eléctrica y la ley de Coulomb
Muchas de las propiedades de los materiales residen en sus propiedades electromagnéticas. Aquí
se inicia con el estudio de la cargá eléctrica, algunas propiedades de los cuerpos cargados y la
fuerza eléctrica fundamental de interacción entre dos cuerpos.
27.1.
Una revisión del electromagnetismo
Desde el año 600 A. C. hasta 1820 lo que se sabía de la electricidad y el magnetismo sólo eran
observaciones de los fenómenos naturales.
Hans Christian Oersted encontró una conexión entre ambas ciencias: una corriente eléctrica
a través de un alambre puede desviar al compás magnético de una brújula.
El desarrollo experimental del electromagnetismo fue desarrollado por Michael Faraday
(1791–1867) y la matemática por James Clerk Maxwell (1831–1879).
Maxwell concluyó que la luz es de naturaleza elecromagnética y que su velocidad se puede
deducir sólo de mediciones eléctricas y magnéticas. Por lo que la óptica está íntimamente ligada
con el electromagnetismo.
Más adelante el electromagnetismo fue desarrollado más ampliamente por: Oliver Heaviside (1850–1925), H. A. Lorentz (1853–1928) y Heinrich Hertz (1857–1894) entre otros. En
1979 Glashow, Weinberg y Salam obtuvieron el Premio Nobel por el desarrollo de la teoría
electrodébil
Halliday, Resnick, Krane
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27.2.
La carga eléctrica
Los rayos en una tormenta, como en la figura 27.1, son bien conocidos por todos, y son una
manifestación de la existencia de la cargas eléctricas.
Figura 27.1
La neutralidad eléctrica de los objetos visibles se debe al equilibrio entre el número de cargas
eléctricas positivas y negativas.
La naturaleza revela los efectos de desequilibrio de cargas con diferentes fenómenos.
Cuando hay un desbalance de cargas se dice que un cuerpo está “cargado”.
Los cuerpos cargados ejercen fuerzas mutuas de interacción, ver la figura 27.2.
El tipo de carga (positiva o negativa) se asigna de manera convencional, de mod que a partir
de la figura se puede decir que:
Las cargas del mismo signo se repelen y las
de distinto signo se atraen.
Por ahora sólo se estudiará a la electrostática, es decir a las cargas en reposo. A pesar de que
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Figura 27.2
las fuerzas de interacción entre las cargas pudieran dar lugar al movimiento, se considera que
las cargas se encontrarán fijas en todo momento.
27.3.
Los conductores y los aislantes
Cualquier carga depositada en un conductor fluye con facilidad mas no sucede así en los materiales aislantes.
Con el efecto Hall, se demuestra que las cargas que se pueden mover a través de metales son
electrones (cargas negativas).
Existe un tipo de materiales entre los conductores y los aislantes, conocidos como semiconductores, entre cuyas propiedades se encuentra una de mucha utilidad que consiste en el hecho
de que la densidad de los electrones de conducción cambia drásticamente mediante pequeños
cambios en las condiciones del material.
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27.4.
La ley de Coulomb
Charles Augustin Coulomb (1736–1806) encontró experimentalmente que si se tienen dos cargas,
q1 q2
F∝ 2 .
r
donde q 1 y q 2 son las magnitudes de las cargas y r es la distancia que separa sus centros y F es
la magnitud de la fuerza de interacción mutua. Así, puede preguntarse: ¿cuál es la fuerza que
ejerce q 1 sobre q 2 ?, o bien, ¿cuál es la fuerza que ejerce q 2 sobre q 1 ? Aunque también puede
plantearse: ¿cuál es la fuerza que experimenta q 1 debida a la presencia de q 2 ? ¿cuál es la fuerza
que experimenta q 2 debida a la presencia de q 1 ?
Y para que se cumpla la igualdad
q1 q2
F=k 2 .
(27.1)
r
conocida como la ley de Coulomb, que sólo se cumple para objetos puntuales.
En el SI la unidad de carga es el coulomb (C), que se define como la cantidad de carga que
fluye en 1 segundo cuando se establece una corriente de 1 ampere. Esto es,
dq = i dt,
(27.2)
1
.
4π²0
(27.3)
Por lo que en el SI k se expresa como:
k=
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donde ²0 es la constante de permitividad, con
²0 = 8.85418781 × 10−12 C2 /N · m2 .
Así que
k=
1
= 8.89 × 109 N · m2 /C2 .
4π²0
Por lo tanto
1 q1 q2
.
(27.4)
4π²0 r 2
La forma vectorial de la ley de Coulomb
Dado que se trata de una fuerza, la ley de Coulomb debe ser de carácter vectorial, ver la figura
27.3.
q
F=
2
q1
F21
r12
r12
q1
F12
q2
F21
r12
r12
F12
(a)
(b)
Figura 27.3
Si las dos cargas tuviesen el mismo signo la fuerza sería repulsiva, como se muestra en la
figura 27.3a. Y si las cargas fuesen de diferente signo la fuerza de interacción sería atractiva,
como se ve en la figura 27.3b. Así que
F12 =
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1 q1 q2
r̂ 12 .
4π²0 r 212
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(27.5)
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Aquí r 12 representa a la magnitud del vector r12 , y r̂ 12 se refiere al vector unitario en la
dirección de r 12 . Esto es
r̂ 12 =
r12
.
r 12
(27.6)
De la tercera ley de Newton, la fuerza, F21 , que experimenta la carga q 2 debida a la presencia
de la carga q 1 , depe ser de dirección opuesta a F12 , así que
F21 =
1 q2 q1
r̂ 21 .
4π²0 r 221
(27.7)
En vista de que la fuerza de Coulomb es de carácter vectorial, debe cumplir con el principio
de superposición cuando q 1 interactúa con q 2 , con q 3 , etcétera:
F1 = F12 + F13 + F14 + . . . .
(27.8)
El significado de la fuerza de Coulomb va más allá de de la simple descripción de las fuerzas
de interacción entre las cargas. Esta ley, cuando se incorpora en la estructura de la física cuántica, describe correctamente a (1) las fuerzas eléctricas que unen a los electrones de un átomo
con el núcleo, (2) las fuerzas que unen a los átomos para formar a las moléculas y (3) las fuerzas
que unen a los átomos y moléculas juntos para formar a los sólidos y líquidos.
Ejercicio 1. La figura 27.4 muestra a tres partículas cargadas, que se mantienen en su sitio
mediante fuerzas que no se muestran. ¿Cuál es la fuerza electostática sobre q 1 debida a la
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presencia de las otras dos cargas? Considere que q 1 = −1.2 µC, q 2 = +3.7 µC, q 3 = −2.3 µC,
r 12 = 15 cm, r 13 = 10 cm y θ =32°.
y
q3
r13
q
F12
3p+q
2
r12
q1
F13
x
q2
Figura 27.4
Solución. Usando el principio de superposición
F12 =
1 q1 q2
= 1.77 N
4π²0 r 212
y
F13 =
1 q1 q3
= 2.48 N.
4π²0 r 213
Así que
F1 = F12 cos 0 î + F12 sin 0 ĵ + F13 cos
³3
´
³3
´
π + θ î + F13 sin π + θ ĵ
2
2
F1 = (F12 + F13 sin θ ) î − F13 cos θ ĵ
ya que
cos(A ± B) = cos(A) cos(B) ∓ sin(A) sin(B)
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y
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sin(A ± B) = sin(A) cos(B) ± cos(A) sin(B).
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Por lo tanto F1 = 3.08 N î − 2.10 N ĵ, de donde F =3.73 N y θ =326° con respecto al eje x.
27.5.
La carga está cuantizada
En tiempos de Franklin se creía que la carga era un fluido continuo. Más tarde se encontró que
la carga está cuantizada
q = ne n = 0, ±1, ±2, ±3, ...,
(27.9)
donde e es la carga elemental, cuyo valro experimental es
e = 1.60217733 × 10−19 C.
Tabla 1 Propiedades de las partículas
Partícula Símbolo Carga
Masa
Momento angular
electrón
protón
neutrón
e−
p
n
−1
+1
0
1
1836.15
1838.68
1/2
1/2
1/2
Ejercicio 2. Un penique, que es eléctricamente neutra, contiene cantidades iguales de carga
positiva y negativa. ¿Cuál es la magnitud de estas cargas iguales?
Solución. La carga q está dada por NZe, donde N es el número de átomos en un penique y
Ze es la magnitud de las cargas positiva y negativa que porta el átomo.
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Por simplicidad, se supone un penique está hecho de cobre, y que el número N de átomos en
un penique es N A m/M, donde N A es la constante de Avogadro. La masa m de la moneda es 3.11
g, y la masa M de 1 mol de cobre (llamada masa molar) es de 63.5 g. Se encuentra que
N=
N A m (6.02 × 10−23 átomos/mol)(3.11 g)
=
= 2.95 × 1022 átomos.
M
63.5 g/mol
Todo átomo neutro tiene una carga negativa de magnitud Ze asociada con sus electrones y
una carga positiva de la misma magnitud asociada con su núcleo. Aquí e es la magnitud de la
carga del electrón (1.60 ×10−19 C, y Z es el número atómico del elemento en cuestión. Para el
cobre, Z es 29. La magnitud de la carga total positiva o negativa en un penique es
q = N Z e = (2.95 × 1022 )(29)(1.60 × 10−19 C) = 1.37 × 105 C.
Ejercicio 3. En el ejercicio 2 se vió que un penique de cobre contiene cargas tanto positivas como
negativas, cada una de magnitud 1.37 ×105 C. Suponga que estas cargas pueden estar concentradas en dos bultos separados por un adistancia de 100 m. ¿Cuál será l afuerza de atracción de
un bulto sobre el otro?
Solución. De la ecuación (27.4) se tiene
F=
1 q2 (8.99 × 109 N · m2 /C2 )(1.37 × 105 C)2
=
= 1.69 × 106 N.
4π²0 r 2
(100m)2
Ejercicio 4. La distancia promedio r entre el electrón y el protón en el átomo de hidrógeno es
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5.3 ×10−11 m. (a) ¿Cuál es la mangitufd de la fuerza electrostática promedio que actúa entre
estas dos partículas? (b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza gravitacional promedio que actúa
entre entre estas dos partículas?
Solución. (a) De (27.4) se tiene
F=
1 q2 (8.99 × 109 N · m2 /C2 )(1.60 × 10−19 C)2
=
= 8.2 × 10−8 N.
4π²0 r 2
(5.11 × 10−11 m)2
(b) La fuerza gravitacional
Fg = G
me mp
r2
=
(6.67 × 10−11 N · m2 /kg2 )(9.11 × 10−31 kg)(1.67 × 10−27 kg)
= 3.6 × 10−47 N.
(5.3 × 10−11 m)2
La fuerza gravitacional es unas 1039 veces más débil que la electrostática.
Ejercicio 5. EL núcleo de un átomo de hierro tiene un radio aproximado de 4 × 10−15 m y
contiene 26 protones. ¿Cuál es la fuerza repulsiva electrostática que actúa entre dos protones de
dicho núcleo si están separados por una distancia de un radio?
Solución. De la ecuación (27.4) se tiene
F=
27.6.
1 q p q p (8.99 × 109 N · m2 /C2 )(1.60 × 10−19 C)2
=
= 14N.
4π²0 r 2
(4 × 10−15 m)2
La carga se conserva
Hasta ahora se ha observado que en todo fenómeno la carga se conserva.
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