Clase 16 - Capítulo 6: Controlabilidad y Observabilidad Parte 2/4

Clase 16 - Capítulo 6: Controlabilidad y Observabilidad Parte 2/4
Clase 16 - Capítulo 6: Controlabilidad y Observabilidad
Parte 2/4
1. Observabilidad
2. Definiciones y tests
3. Gramiano de observabilidad
4. Tests PBH de observabilidad
5. Ejemplo
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Observabilidad: definiciones y tests
El concepto de observabilidad es dual al de controlabilidad, e investiga la
posibilidad de estimar el estado del sistema a partir del conocimiento de la
entrada y la salida.
Consideramos el sistema lineal estacionario
ẋ = Ax + Bu
y = Cx + Du
A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×p , C ∈ Rq×n , D ∈ Rq×p .
(1)
Definición (Observabilidad)
La ecuación de estado (1) es observable si para cualquier estado inicial x(0)
(desconocido), existe un tiempo finito t1 tal que el conocimiento de la entrada
u y la salida y sobre el intervalo [0, t1 ] es suficiente para determinar en forma
única el estado inicial x(0). En caso contrario el sistema no observable.
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Ejemplos de sistemas no observables
En el circuito de la izquierda, si la entrada es nula, la salida es idénticamente
nula para cualquier tensión en el capacitor, debido a la simetría de las
resistencias. Este sistema es no observable.
1
+
1
1F
u
1H
+
+
2R
1F
y
-
x1
u
1
1R
y
1
-
-
En el circuito de la derecha (segundo orden) si u = 0 y la tensión inicial en el
capacitor es nula, la salida x2 (0) = 0 es nula independientemente de la
corriente en la inductancia, que no necesariamente es nula. El estado inicial
x1 (0) no puede ser determinado del conocimiento de u e y , y el sistema es
no observable.
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El problema de observación de x(0)
Dado un estado inicial x(0) y una entrada u(t), la salida del sistema está
dada por la fórmula
Z t
At
y (t) = Ce x(0) + C
eA(t−τ ) Bu(τ )dτ + Du(t).
(2)
0
Para estudiar observabilidad, la salida del sistema y (t) y la entrada u(t) se
suponen conocidas, siendo el estado inicial x(0) la única incógnita. Así, de
(2) podemos escribir
CeAt x(0) = ȳ (t)
Z
, y (t) − C
t
eA(t−τ ) Bu(τ )dτ + Du(t),
0
donde la variable ȳ (t) es una función conocida.
¿Cómo resolvemos (3) para obtener x(0) de ȳ (t)?
(3)
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Observación para un tiempo fijo
Para un tiempo t fijo, CeAt es una matrix q × n real y constante, e ȳ (t) un
vector q × 1 constante.
Por su definición, ȳ (t) está siempre en la imagen de CeAt , por lo que siempre
existe una solución x(0). La cuestión es si existe una solución única.
En general q < n (menos salidas que estados), así que CeAt tiene rango a lo
sumo q, ⇒ kernel no trivial ⇒ no podemos hallar un único valor x(0) de
CeAt x(0) = ȳ (t)
para un t fijo dado.
Para poder determinar x(0) en forma única de CeAt x(0) = ȳ (t) es necesario
utilizar el conocimiento de y (t) y u(t) sobre un intervalo de tiempo de
longitud no nula, como mostramos en el siguiente teorema.
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Primer test de observabilidad
Teorema (Test Wo de observabilidad)
La ecuación de estados (1) es observable si y sólo si la matriz Wo (t) ∈ Rn×n
Z t
T
eA τ C T CeAτ dτ
(4)
Wo (t) =
0
es no singular para todo t > 0.
Demostración
T
Multiplicamos por izquierda ambos lados de CeAt x(0) = ȳ (t) por eA t C T y
luego integramos sobre [0, t1 ], lo que da
„Z t1
«
Z t1
T
AT t T
At
eA t C T ȳ (t)dt.
e C Ce dt x(0) =
0
0
Rt
T
Si Wo (t1 ) es no singular, entonces x(0) = Wo−1 (t1 ) 01 eA t C T ȳ (t)dt da una
única solución x(0). Así hemos mostrado que si Wo (t) es no singular
entonces el sistema es observable.
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Demostración (continuación)
Para mostrar la reversa supongamos que Wo (t1 ) es singular. Notar que
entonces Wo (t1 ) es semi-definida positiva: existe v ∈ Rn×1 tal que
Z t1
T
T
v T eA t C T CeAt vdt
v Wo (t1 )v =
0
Z
t1
=
kCeAt v k2 dt = 0.
0
Pero, por la propiedad de la norma, esto implica que
CeAt v ≡ 0,
para todo t ∈ [0, t1 ].
(5)
Si u(t) ≡ 0 entonces las condiciones iniciales x(0) = v 6= 0 y x(0) = 0 dan
ambas la misma salida y (t) = CeAt x(0) ≡ 0 y por lo tanto no pueden
diferenciarse. Así Wo (t) singular ⇒ el sistema es inobservable.
De la definición de la matriz Wo (t) la observabilidad sólo depende de A y C:
la observabilidad es una propiedad del par (A, C), e independiente de las
matrices B y D.
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Dualidad Controlabilidad/Observabilidad
Teorema (Dualidad entre controlabilidad y observabilidad)
El par (A, C) es observable si y sólo si el par (AT , C T ) es controlable.
El teorema de dualidad hace inmediata la demostración de tests de
observabilidad análogos a los de controlabilidad.
Teorema (Tests de Observabilidad)
La siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. El par (A, C), A ∈ Rn×n , C ∈ Rq×n , es observable.
2
3
2. La matriz de observabilidad, O =
C
CA
4 CA2
···
CAn−1
5 , O ∈ Rnq×n , es de rango n
(rango columna pleno).
Rt T
Rt T
3. La matriz n × n Wo (t) = 0 eA τ C T CeAτ dτ = 0 eA (t−τ ) C T CeA(t−τ ) dτ
es no singular para todo t > 0.
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Observación a través de diferenciación
Una forma alternativa de resolver CeAt x(0) = ȳ (t) es a través de la
diferenciación repetida de ȳ (t) en t = 0
Como ȳ (0) = Cx(0), ȳ˙ (0) = CAx(0), . . . , ȳ (n−1) (0) = CAn−1 x(0), tenemos
" ȳ (0) #
»
–
C
CA
···
CAn−1
x(0) =
ȳ˙ (0)
···
ȳ (n−1) (0)
,
es decir, Ox(0) = ỹ (0).
Por construcción, ỹ (0) está en la imagen de O, y si el sistema es observable,
el rango columna de O es pleno, rango O = n. Entonces existe una solución
única de Ox(0) = ỹ (0), dada por
x(0) = [OT O]−1 OT ỹ (0).
Notar que aún seguimos necesitando conocimiento de ȳ (t) en un entorno de
t = 0 para poder determinar ȳ˙ (0), . . . , ȳ (n−1) (0).
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¿Es práctico implementar observación diferenciando?
Si bien se puede implementar observación via diferenciación, en la práctica
no es recomendable, ya que
I
la medición de y (t) incluiye casi siempre ruido de alta frecuencia,
I
La diferenciación de ȳ (t) “amplifica” el ruido de alta frecuencia,
aumentando los errores en el cálculo de x(0)
I
la integración “filtra” ruido de alta frecuencia, disminuyendo los errores
en el cálculo de x(0)
Es mucho mejor implementar un observador a través de integración, por
ejemplo usando la fórmula
Z t1
T
−1
x(0) = Wo (t1 )
eA t C T ȳ (t)dt.
0
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Gramiano de observabilidad
Si A es Hurwitz, Wo (t) converge para t = ∞. En ese caso notamos
simplemente Wo (t) = Wo , y se llama gramiano de observabilidad. Si el par
(A, C) es observable, entonces la matriz de observabilidad
3
2
C
6 CA 7
7
O=6
4 . . . 5 es de rango n.
CAn−1
Como vimos en el Capítulo 4, esta condición, junto a que A es Hurwitz,
garantiza que Wo es la única solución, y positiva definida, de la ecuación
Wo A + AT Wo = −C T C.
Las funciones M ATLAB Ob=obsv(A,C) y Wo=gram(A’,C’)’ calculan
respectivamente la matriz de observabilidad O y el gramiano de
observabilidad Wo . Chequeando el rango de O o Wo determinamos si un
sistema es observable.
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Tests PBH de observabilidad e invariancia con cambio de coordenadas
La dualidad nos permite también extender los tests PBH al caso de
observabilidad.
Lema (Test PBH de autovectores)
El par (A, C) es no observable si y sólo si existe un autovector derecho
v ∈ Rn×1 de A, tal que
Cv = 0.
Lema (Test PBH de rango)
El par (A, C) es observable si y sólo si
»
–
sI − A
rango
=n
C
para todo s.
Teorema (Invariancia respecto a cambio de coordenadas)
La observabilidad es una propiedad invariante con respecto a
transformaciones de equivalencia (cambios de coordenadas).
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Ejemplo: Controlabilidad y observabilidad de un circuito RLC
Analizamos controlabilidad y observabilidad del circuito RLC de la figura.
R
C
iL
+
Vs
-
+
Vc
L
+
Vx
-
Las ecuaciones de estado son
#
» – " 2
– " 1 #
1 »
−
v̇C
vC
RC
C
=
+ RC
vs
1
1
iL
i̇L
−L
0
L
» –
ˆ
˜ vC
vx = −1 0
+ vs .
iL
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Controlabilidad: Construimos la matriz de controlabilidad C,
" 1
#
2
1
−
+
ˆ
˜
2
2
LC
R C
C = B AB = RC
.
1
1
−
L
RLC
El rango de C puede chequearse mediante el determinante
#
" 1
2
1
−
+
1
2
1
LC
R2 C2
det C = det RC
=− 2 2 + 2 2 − 2
1
1
R LC
R LC
L C
−
L
RLC
=
1
1
−
·
R 2 LC 2
L2 C
La condición para que este determinante sea cero es
1
R 2 LC 2
que da R =
p
L/C.
−
1
L2 C
= 0,
(6)
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Observabilidad: Por otro lado, la matriz de observabilidad O es
#
» – "
−1
0
C
C=
,
= 2
1
CA
−
RC
C
que es siempre de rango completo. En conclusión, el sistema
p es siempre
observable, pero puede llegar a ser no controlable si R = L/C.
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Veamos cómo aparece la posibilidad de pérdida de controlabilidad desde el
punto de vista externo; analizamos la función transferencia. La calculamos
de (6) con la fórmula conocida,
Ĝ(s) = C(sI − A)−1 B + D
"
#−1 " 1 #
2
− C1
ˆ
˜ s + RC
RC
= −1 0
+1
1
1
s
L
L
"
#" 1 #
1
ˆ
˜ s
1
C
RC
−1 0
=
+1
2
1
s(s + 2/RC) + 1/LC
− 1L s + RC
L
" 1 #
ˆ
˜ RC
1
+1
= 2
−s − C1
2
1
1
s + RC s + LC
L
` 1
´
1
−
s + LC
= 2 RC2
+1
1
s + RC s + LC
`
´
1
s s + RC
= 2
·
2
1
s + RC
s + LC
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Calculamos la raíces del polinomio denominador (el polinomio característico
de la matriz A) resolviendo la forma cuadrática, obteniendo
r
1
1
1
s1,2 = −
±
−
·
2
2
RC
R C
LC
Vemos que ambas raíces tienen parte real
p negativa ⇒ estabilidad asintótica
y BIBO ∀ R, L y C. En particular, si R = L/C (valor de R para el cual el
sistema deviene no controlable) tenemos
r
1
1
1
1
s1,2 = −
±
−
=−
RC
LC
LC
RC
es decir, dos raíces iguales. Para este valor de R,
´
`
1
s s + RC
s
´,
= `
Ĝ(s) = `
´
2
1
s + RC
s+ 1
RC
que es ahora un sistema de primer orden.
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En resumen. . .
I
Para este particular valor de R los elementos almacenadores de energía
combinan efectos de manera que el sistema se comporta,
externamente, como de primer orden.
I
La pérdida
de controlabilidad y la cancelación de un par polo-cero para
p
R = L/C no es una coincidencia; como veremos.
I
La observabilidad es una propiedad fundamental del sistema que
determina si es posible determinar el estado del sistema a partir del
conocimiento de la entrada y la salida.
I
Si un sistema es observable, es posible determinar x(0) a partir del
conocimiento de u(t) y y (t) en un intervalo t ∈ [0, t1 ], t1 > 0.
I
La observabilidad depende de las matrices A y C del sistema. El par
(A, C) es controlable sii
» C –
CA
rango O = rango
= n.
···
CAn−1
I
La observabilidad es invariante respecto de cambios de coordenadas.