clase 11 teoria de control

Universidad de Valparaíso
Ingeniería Biomédica
Teoría de Control
Capítulo 11: CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD
Se dice que un sistema es controlable en el instante t0 si es posible llevarlo de cualquier
estado inicial x(t0) a cualquier otro estado, empleando un vector de control no acotado, en
un lapso finito.
Se dice que un sistema es observable en el tiempo t si, con el sistema en el estado x(t ), es
posible determinar dicho estado a partir de las mediciones de la salida con un retaso finito
de tiempo.
El trabajo pionero de R. Kalman en el año de 1960 introdujo los conceptos de
controlabilidad y de observabilidad, que juegan un papel fundamental en el diseño de los
sistemas de control usando las técnicas de estado espacio. En efecto, las condiciones de
controlabilidad y de observabilidad determinan la existencia de una solución completa para
el problema del diseño de un sistema de control. Tal vez no exista una solución a este
problema si el sistema estudiado es no controlable. Aunque la mayoría de los sistemas
físicos son controlables y observables, los modelos matemáticos correspondientes pueden
no tener la propiedad de controlabilidad o de observabilidad. En tal caso, es esencial
conocer las condiciones bajo las cuales un sistema controlable y observable. Veremos
primero la controlabilidad y dejaremos el análisis de la observabilidad para el final.
A continuación, se obtendrá primero la condición para la controlabilidad completa del
estado y enseguida se determinará la condición para la controlabilidad de la salida.
Controlabilidad completa del estado para sistemas en tiempo continuo
Consideremos al sistema en tiempo continuo:
Se dice que el sistema dado por la ecuación anterior es de estado controlable en t = t0 si es
posible construir r señales de control sin restricción alguna que transfieran un estado inicial
a cualquier otro estado finito en un intervalo de tiempo finito t0 ≤ t ≤ t1 Si todos los estados
son controlables, se dice que el sistema es de estado completamente controlable.
Se puede comprobar que para cumplir con los requisitos anteriores se debe satisfacer la
ecuación:
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Si el sistema es de estado completamente controlable, entonces dado cualquier estado
inicial x(0), la ecuación debe satisfacerse. Esto requiere que el rango de la matriz de n filas
y nr columnas.
sea de rango n, o que contenga n vectores columna linealmente independientes. La matriz,
recibe el nombre de matriz de controlabilidad.
Ejemplo:
Dado:
Entonces:
Es singular el sistema, no es controlable de estado completo.
Ejemplo:
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Con
Existe una forma distinta de obtener la matriz de controlabilidad a través de la técnica de
Jordan, sin embargo esta no será vista.
Los siguientes sistemas son de estado completamente controlable:
Los siguientes no lo son:
La condición para una controlabilidad completa del estado se plantea en términos de las
funciones de transferencia o las matrices de transferencia. Una condición necesaria y
suficiente para una controlabilidad completa de estado es que no ocurra una cancelación en
la función de transferencia o en la matriz de transferencia. Si ocurre dicha cancelación el
sistema no puede ser controlado en la dirección del modo cancelado.
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Consideremos:
Es obvio que ocurre una cancelación del factor (s + 3) en el numerador y en el denominador
de esta función de transferencia (Por tanto se debería representar mediante una matriz A de
orden 2). Debido a dicha cancelación el sistema de tercer orden no es de estado
completamente controlable.
La misma condición se obtiene si se escribe esta función de transferencia en la forma de
una ecuación de estado. La representación en la forma canónica normal viene dada por:
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En nuestro Caso:
La matriz de controlabilidad es singular y por ende el sistema no es completamente
controlable.
Controlabilidad de la salida de sistemas de tiempo continuo
En el diseño práctico de un sistema de control se pretende normalmente controlar la salida
en lugar del estado del sistema. Una controlabilidad completa de estado no es necesaria ni
suficiente para controlar la salida del sistema. Por dicha razón es útil definir una
controlabilidad completa de la salida por separado.
Se dice que el sistema dado por (11) y (12) es de salida completamente controlable si es
posible construir un vector de control u(t) no acotado, tal que transfiera cualquier salida
inicial determinada y(t0) a cualquier salida final y(t1) en un intervalo de tiempo finito t0 ≤ t
≤ t1 Es factible demostrar que la condición para una controlabilidad completa de la salida
es la siguiente: el sistema descrito mediante las ecuaciones (11) y (12) es de salida
completamente controlable si y sólo si la matriz de orden m x (n + 1)r
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Es de Rango m
OBSERVABILIDAD
Analizaremos ahora la observabilidad de los sistemas lineales. Consideremos el sistema sin
excitación descrito por las ecuaciones siguientes:
Se dice que el sistema es completamente observable si el estado x(t ) se determina a partir
de la medición de y(t) durante un intervalo de tiempo finito t0 ≤ t ≤ t1. Por tanto el sistema
es completamente observable si todas las transiciones de estado afectan eventualmente a
todos los elementos del vector de salida. El concepto de observabilidad es útil al resolver el
problema de reconstruir señales o variables de estado no medibles a partir de variables que
si son medibles en un tiempo lo menor posible. En estas notas trataremos con sistemas
lineales e invariantes en el tiempo; por lo que sin perder generalidad supondremos que t0 es
0.
El concepto de observabilidad es muy importante porque, en el terreno práctico, la
dificultad que se encuentra con el control mediante retroalimentación del estado es que
algunas variables de estado no son asequibles para una medición directa , por lo que se hace
necesario estimar las variables de estado no medibles para formar las señales de control.
Asi, si el sistema es completamente observable, dada la salida y(t) durante un intervalo de
tiempo 0 ≤ t ≤ t1, x(0) se determina únicamente a partir de la ecuación (17). Se demuestra
que esto requiere que el rango de la matriz de nm filas y n columnas
sea n. La matriz N recibe el nombre de matriz de observabilidad.
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Ejemplo:
de rango 3, el sistema es controlable de manera completa
=
de rango 1, eso quiere decir que el sistema es controlable a la salida
es de rango 3, el sistema es completamente observable.
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