Determinar el volumen del sólido generado al hacer girar alrededor

Volúmenes de sólidos de revolución
Método de los discos
Determinar el volumen del sólido generado al hacer girar alrededor de la
√
recta y = 1 la región acotada por y = x y las rectas y = 1, x = 4.
M. en C. Ricardo Romero (CBI)
Volúmenes de Sólidos
Grupo CTG87 Trimestre 11-P
16 /
29
Volúmenes de sólidos de revolución
M. en C. Ricardo Romero (CBI)
Método de los discos
Volúmenes de Sólidos
Grupo CTG87 Trimestre 11-P
17 /
29
Volúmenes de sólidos de revolución
Método de los discos
V =π
Z 4
R 2 (x)dx = π
Z 4
√
1
Z 4
=π
x −1
2
dx
1
√
x − 2 x + 1 dx
1
x 2 4 3/2
=π
− x +x
2
3
4
1
1 4 √ 3
= π 8− −
4 −1 +3
2 3
=π
M. en C. Ricardo Romero (CBI)
Volúmenes de Sólidos
21 28
−
2
3
=π
63 − 56 7π
=
6
6
Grupo CTG87 Trimestre 11-P
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29
Volúmenes de sólidos de revolución
Método de los discos
Volumen por medio de discos al girar alrededor del eje y
V=
Z d
c
A(y ) dy =
Z d
π [R(y )]2 dy
c
Determinar el volumen generado al hacer girar con respecto al eje y la
2
región comprendida entre la curva x = , 1 ≤ y ≤ 4 y el eje y
y
M. en C. Ricardo Romero (CBI)
Volúmenes de Sólidos
Grupo CTG87 Trimestre 11-P
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29
Volúmenes de sólidos de revolución
M. en C. Ricardo Romero (CBI)
Método de los discos
Volúmenes de Sólidos
Grupo CTG87 Trimestre 11-P
20 /
29
Volúmenes de sólidos de revolución
Método de los discos
V =π
Z 4
[R(y )]2 dy
1
=π
Z 4 2
2
1
y
dy = 4π
Z 4
y −2 dy
1
4
1
1
= −4π
= −4π
− 1 = 3π
y 1
4
M. en C. Ricardo Romero (CBI)
Volúmenes de Sólidos
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29
Volúmenes de sólidos de revolución
Método de los discos
Determinar el volumen del sólido generado al hacer girar con respecto a la
recta x = 3 la región comprendida entre la parábola x = y 2 + 1 y la recta
x =3
M. en C. Ricardo Romero (CBI)
Volúmenes de Sólidos
Grupo CTG87 Trimestre 11-P
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Volúmenes de sólidos de revolución
Método de los discos
V =π
Z √2
2
√ [R(y )] dy
− 2
Z √2
=π
√
− 2
Z √2
=π
√
− 2
2−y2
2
dy
4 − 4y 2 + y 4 dy
√2
4 3 y5
= π 4y − y +
3
5 −√2
√
64π 2
=
15
M. en C. Ricardo Romero (CBI)
Volúmenes de Sólidos
Grupo CTG87 Trimestre 11-P
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Volúmenes de sólidos de revolución
Método de las rondanas
Si la región que se hace girar para generar un sólido no cruza o no colinda
con el eje de revolución, el sólido resultante tendrá un agujero. Las
secciones perpendiculares al eje de revolución son rondanas en lugar de
discos como antes
M. en C. Ricardo Romero (CBI)
Volúmenes de Sólidos
Grupo CTG87 Trimestre 11-P
24 /
29
Volúmenes de sólidos de revolución
M. en C. Ricardo Romero (CBI)
Método de las rondanas
Volúmenes de Sólidos
Grupo CTG87 Trimestre 11-P
25 /
29
Volúmenes de sólidos de revolución
Método de las rondanas
Radio exterior:R(x)
Radio interior:r (x)
Área de la rondana:
A(x) = π [R(x)]2 − π [r (x)]2
= π [R(x)]2 − [r (x)]2
M. en C. Ricardo Romero (CBI)
Volúmenes de Sólidos
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29
Volúmenes de sólidos de revolución
Método de las rondanas
Volumen por medio de rondanas al girar alrededor del eje x
V=
Z b
a
A(x) dx =
Z b π [R(x)]2 − [r (x)]2 dx
a
Determinar el volumen del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje x
la región acotada por la curva y = x 2 + 1 y la recta y = −x + 3
M. en C. Ricardo Romero (CBI)
Volúmenes de Sólidos
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Volúmenes de sólidos de revolución
M. en C. Ricardo Romero (CBI)
Método de las rondanas
1
Dibujar la región y un
segmento de recta que la
cruce y sea perpendicular al
eje de revolución
2
Determinar los radios
exterior e interior de la
rondana que se generan al
hacer girar el segmento de
recta
3
Obtener los límites de
integración determinando los
puntos de intersección de las
curvas
4
Evaluar la integral de
volumen
Volúmenes de Sólidos
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Volúmenes de sólidos de revolución
Método de las rondanas
Radio exterior:R(x) = −x + 3
Radio interior:r (x) = x 2 + 1
Límites de integración:
x 2 + 1 = −x + 3
x2 + x − 2 = 0
(x + 2)(x − 1) = 0
x = −2, x = 1
M. en C. Ricardo Romero (CBI)
Volúmenes de Sólidos
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