7aeeSolucion Ejercicios de Practica 1

Solución de los Ejercicios de Práctica # 1
Econometría 1
Prof. R. Bernal
1. La tabla de frecuencias está dada por:
<30
30+
Marca A
50
20
Marca B
48
32
1. Por tanto, la función de probabilidad conjunta es:
Marca A
0.333
0.133
<30
30+
Marca B
0.320
0.213
2. Cuál es la probabilidad de que un individuo prefiera la marca B y sea menor de 30?
Pr(Marca B y edad < 30) = 0.320
3. Las funciones de probabilidad marginal son:
<30
30+
f(Preferencia por marca)
Marca A
0.333
0.133
0.467
Marca B
0.320
0.213
0.533
f(edad)
0.653
0.347
1
4. Cuál es la probabilidad de que un individuo sea mayor de 30 si usted sabe que prefiere
la marca B?
Pr(edad>30 |Marca B) =
=
Pr(edad>30 and Marca B)
Pr(Marca B)
0.213
= 0.4
0.533
5. Son preferencia por una marca y edad del individuo independientes?
f (edad<30, Marca A) = 0.333
f (edad<30) · f (Marca A) = 0.653 × 0.467 = 0.304
0.333 6= 0.304
Como 0.333 6= 0.304 entonces preferencia por una marca y edad no son independientes.
2. Primero que todo recuerde que los estimadores de MCO de una regresión de Y sobre X están
dados por:
PN
i=1 (Xi − X)(Yi − Y )
b1 =
PN
2
i=1 (Xi − X)
bo = Y − b1 X
1. La primera transformación que necesitamos es Yi∗ = 2Yi . Es decir, estamos corriendo
una regresión de Yi∗ sobre Xi donde Yi∗ =2Yi , y los estimadores de MCO asociados
los denominamos b∗o y b∗1 . Entonces, las fórmulas de estos estimadores de MCO son
(reemplazamos Y por Y ∗ y X sigue siendo el mismo X):
b∗1
=
b∗o =
PN
∗
∗
i=1 (Xi − X)(Yi − Y )
PN
2
i=1 (Xi − X)
∗
Y ∗ − b1 X
Note que
Y∗ =
=
N
1 X ∗
Yi
N
1
N
= 2
2
2Yi
i=1
N
X
1
N
= 2Y
Por consiguiente:
i=1
N
X
i=1
Yi
b∗1
=
=
=
PN
∗
∗
i=1 (Xi − X)(Yi − Y )
PN
2
i=1 (Xi − X)
PN
i=1 (Xi − X)(2Yi − 2Y )
PN
2
i=1 (Xi − X)
PN
2 i=1 (Xi − X)(Yi − Y )
PN
2
i=1 (Xi − X)
= 2
ÃP
N
i=1 (Xi − X)(Yi − Y )
PN
2
i=1 (Xi − X)
= 2b1
!
b∗o = Y ∗ − b∗1 X
= 2Y − 2b1 X
= 2(Y − b1 X)
= 2bo
ei = 2Xi . Es decir, ésto es una regresión de Y sobre X
e
2. La segunda transformación es X
e = 2X. A los estimadores de MCO de la nueva regresión los denominamos ebo
donde X
y eb1 . De nuevo, utilizando las fórmulas de los estimadores de MCO (Y sigue siendo el
e dado que ésto es una regresión de Y sobre X)
e :
mismo Y pero X se reemplaza por X
PN e
e
eb1 = i=1 (Xi − X)(Yi − Y )
PN e
e 2
i=1 (Xi − X)
eb1 =
=
=
PN
i=1 (2Xi − 2X)(Yi − Y )
PN
2
i=1 (2Xi − 2X)
PN
2 i=1 (Xi − X)(Yi − Y )
P
2
4 N
i=1 (Xi − X)
1
b1
2
y
ebo = Y − eb1 X
e
1
= Y − b1 2X
2
= Y − b1 X
= bo
3
3. si b1 ∼ N (B1 , σ 2 ) entonces
b∗1 ∼ N (2B1 , 4σ 2 )
µ
¶
2
eb1 ∼ N 1 B1 , σ
2
4
3. Sabemos que
b1 =
=
=
Recuerde que
PN
i=1 (Xi − X)(Yi − Y )
PN
2
i=1 (Xi − X)
P
P
P
Xi Yi − XYi − Y Xi + XY
P 2 P
P 2
Xi − 2Xi X + X
P
P
P
Xi + N XY
Xi Yi − X Yi − Y
P 2
P
2
Xi − 2X Xi + NX
P
X
N
1 X
Xi
N
=
i=1
⇒ NX =
N
X
Xi
i=1
De manera similar para Y . Podemos utilizar este resultado en nuestra ecuación anterior:
P
Xi Yi − XN Y − Y N X + N XY
b1 =
P 2
2
Xi − 2XN X + N X
P
Xi Yi − N X Y
=
P 2
2
Xi − N X
Sabemos que los estimadores de Bo y B1 : bo y b1 están dados por:
bo = Y − b1 X
P
(Xi − X)(Yi − Y )
b1 =
P
(Xi − X)2
Acabamos de mostrar que la ecuación anterior también se puede escribir como:
P
Xi Yi − N XY
b1 = P
2
Xi2 − N X
4
Ahora necesitamos calcular los promedios:
500
X =
Y
=
1X
1
3000 = 6
Xi =
N
500
1
N
i=1
500
X
Yi =
i=1
1
1400 = 2.8
500
Ya podemos calcullar b1 utilizando la ecuación de arriba:
P
Xi Yi − N XY
b1 =
P 2
2
Xi − N X
9, 600
18, 000 − (500 × 6 × 2.8)
=
= 0.2
=
2
66, 000 − (500 × 6 )
48, 000
y bo se puede calcular de la primera condición de primer orden:
bo = Y − b1 X
= 2.8 − (0.2 × 6) = 1.6
4. Sabemos que
d
log(q
NT ) = 2.5 − 2.0 log(pT ) − 1.5 log(pN T )
(0.5) (1.5)
1
y cov(b1 , b2 ) =
2
(0.7)
1. Si tiene sentido, porque siempre y cuando los bienes no transables sean bienes normales,
entonces si el precio de los no transables se incrementa, la demanda por bienes no
transables disminuye. El estimador implica que la elasticidad-precio de la demanda por
bienes no transables es 1.5%, es decir, si el precio de lo no transables se incrementa en
1% entonces la demanda por no transables cae en 1.5%.
El hecho de que el coeficiente estimado de log(pT ) es negativo, implica que si los precios de
los bienes transables se incrementan entonces la demanda por bienes no transables caerá,
es decir, tiene el mismo efecto que un incremento del propio precio tendría. Esto significa
que en esta economía los bienes transables y los bienes no transables son complementos
porque si la demanda por uno de los bienes se incrementa entonces la demanda del otro
también aumenta.
5
2. Tenemos que calcular el R2
R2 = 1 −
RSS
T SS
= 1 − PN
PN
2
i=1 εi
i=1 (log(qN T )i
2900
4900
= 0.408
− log(qNT ))2
= 1−
Entonces log(pT ) y log(pNT ) explican 40% de la variación en la demanda por bienes no
transables.
3. No, esto no se puede interpretar como un efecto causal. La demanda por bienes no
transables puede estar afectada por otros factores como el nivel de desempleo, el ingreso
promedio de los hogares, etc.
4. Entonces
B1 = 0
−2.0 − 0
t =
= −1.33
1.5
Como los bienes transables y los bienes no transables podrían resultar ser complementos
o sustitutos, entonces estoy buscando una hipótesis alterna que me permita evaluar
cualquier de las dos posibilidades, por tanto defino:
Ho
:
Ha : B1 6= 0
Note que entre 2000 y 1960 hay 41 observaciones en total. Entonces los grados de libertad
de este modelo son: 41 − 2 − 1 = 38. Los valores críticos al 10% de significancia son 1.684
y -1.684. Dado que −1.33 > −1.684 entonces no podemos rechazar la hipótesis nula (lo
mismo habría sucedido al 5% de significancia dado que el valor crítico sería -2.02), lo
que significa que log(pT ) no es estadísticamente significativo en explicar log(qNT ).
5. Primero que todo, dado que la elasticidad de precio cruzada es -2.0 (es decir, el coeficiente
estimado de los precios de los bienes transables), sabemos que los bienes transables y
los bienes no transables son complementos: si los precios de los transables aumentan
entonces la demanda de los no transables disminuye.
5. Tenemos el siguiente modelo en mente:
ingresosi = Bo + B1 × (tamañoi ) + ui
Con nuestras N observaciones estimamos el modelo por MCO:
d i = 80 + 40 × (tamañoi )
ingresos
6
1. Si incrementamos el tamaño de la firma en un empleado, los ingresos se incrementan en
US$40,000. También podríamos interpretar el intercepto diciendo que si despidieramos
a todos nuestros empleados, la empresa haría US$80,000 (pero es difícil hacer sentido
económico de esta interpretación).
2.
E(revenues|firm size = 20) = 80 + (40 × 20) = 880
Los ingresos predichos son $880,000.
3. Dado que el coeficiente estimado en tamañoi es positive podemos establecer que hay
una asociación positiva entre el tamaño de la firma y sus ingresos pero esta correlación
no es necesariamente indicativa de un efecto causal. Una posible explicación es que las
empresas exitosas también contratan un mayor número de empleados.
6. Estimador del valor esperado de Y:
min
μY
N
X
(Yi − μY )2
i=1
Muestre que el estimador de μY que resulta de minimizar esta función esta dado por
N
1 X
Yi
μc
Y =
N
i=1
Para minimizar esta función con respecto a μY necesitamos sacar la derivada con respecto a
μY e igualar a 0:
N
X
i=1
2(Yi − μc
Y )(−1) = 0
N
X
(Yi − μc
Y) = 0
i=1
N
X
Yi −
i=1
N
X
i=1
N
X
i=1
μc
Y
Yi − N μc
Y
μc
Y
7
= 0
= 0
=
N
1 X
Yi
N
i=1
7. 1. Cuando cigs=0 el valor predicho de peso al nacer es 119.7. Para cigs=20 el valor es109.49
lo cual equivale a una reducción de aproximadamente 8%
2. No necesariamente Hay muchas otras variables que determinan el peso al nacer y que
hemos excluido del analisis. Por ejemplo, el estado general de salud de la madre, el nivel de
estrés, etc.
3.cigs necesitaría ser una cantidad negativa=-10, lo cual no tiene sentido.
4. Básicamente cualquier peso al nacer mayor de 119.77 onzas está asociado con una madre
no fumadora. En la pregunta c), como 125 onzas es mayor que 119.77 entonces ésto implica
que la madre es no fumadora en vez de que fuma una cantidad negativa de cigarrillos. Con
la información disponible no se puede calcular con exactitud esa fracción pero está dada por
: P (P eso ≥ 119.77)
5.
Ho
:
Ha
:
B1 = 0
B1 6= 0
0.514 − 0
= 1.946
t =
0.264
Al 5% de significancia los valores críticos serían −1.96 y 1.96 por lo cual NO podemos rechazar
la hipótesis nula. Eso significa que cig no es estadísticamente significativo. Sin embargo, si
escogemos el 10% de significancia, el valor crítico sería 1.645 en cuyo caso si rechazaríamos
la hipótesis nula. Eso significa que cig es o no estadísticamente significativo dependiendo del
nivel de significancia que decidamos usar.
6. Sabemos que cig explica el 40% de la variación en P eso (see R2 ). Es difícil decir si ésto es
mucho o no, pero dado que este es un modelo con UNA sola variable explicativa y hay tantos
otros factores que pueden afectar el peso al nacer, entonces 0.4 es probablemente muy bueno.
8. Sabemos que:
b = (X 0 X)−1 X 0 Y
8
En un modelo en que K = 1, es decir, sólo hay una variable explicativa esto es:
⎞⎤−1
⎞
⎡
⎛
⎛
Ã
! 1 X
Ã
!
µ ¶
Y1
1
bo
1 ... 1
1 ... 1
⎟⎥
⎟
⎢
⎜
⎜
= ⎣
: ⎠⎦
⎝ :
⎝ : ⎠
b1
X1 ... XN
X1 ... XN
1 XN
YN
⎞
⎛
!−1 Ã
!
Ã
P
Y1
1
...
1
X
N
⎟
⎜
i
i
P
P
=
⎝ : ⎠
2
X
X
X
...
X
1
N
i i
i i
YN
à P
!µ P
¶
P
Yi
1
Xi2
− i Xi
i
i
P
P
=
P
P
− i Xi
N
N i Xi2 − ( i Xi )2
i Xi Yi
à P
!
P
P
P
1
Xi2 i Yi − i Xi i Xi Yi
i
P
P
P
=
P
P
− i Xi i Yi + N i Xi Yi
N i Xi2 − ( i Xi )2
entonces si miramos sólo al segundo componente de este vector:
P
P
P
N i Xi Yi − i Xi i Yi
b1 =
P
P
N i Xi2 − ( i Xi )2
dividiendo tanto el numerador como el denominador por N :
N
b1 =
=
=
S
S
S
Xi Yi − i Xi i Yi
N
S
S
2
N i Xi2 −( i Xi )
N
i
P
i Xi Yi − XY
P 2
2
i Xi − X
1 P
i (Xi − X)(Yi − Y )
N
1 P
2
i (Xi − X)
N
[Asegúrese que sabe probar la última igualdad].
9