Procesos Estocásticos Procesos Estocásticos Procesos

Procesos Estocásticos
Procesos Estocásticos
Referencias:
1 IIntroducción
t d
ió y conceptos
t bá
básicos
i
Capítulo 8 de Introducción a los Sistemas de Comunicación. Stremler, C.G. (1993)
Apuntes de la Universidad de Vigo (página Web)
Capítulo 6 de Principios de Probabilidad, variables aleatorias y señales aleatorias
2 Estadísticos de un proceso estocástico
Al final del tema el alumno será capaz de:
™Entender el concepto de proceso estocástico
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
™Interpretar y calcular los estadísticos de los procesos estocásticos:
esperanza, autocovarianza
t
i
y autocorrelación
t
l ió
4 Ergodicidad de un proceso estocástico
™Interpretar y comprobar la estacionariedad de los procesos
estocásticos
5 Ejemplos
™Interpretar y determinar si un proceso es ergódico
1
Estadística. Profesora María Durbán
™Saber calcular probabilidades en procesos estocásticos formados a
través de distribuciones estudiadas en los temas anteriores
Procesos Estocásticos
1 Introducción y conceptos básicos
1 IIntroducción
t d
ió y conceptos
t bá
básicos
i
En los temas anteriores hemos estudiado p
procesos q
que no varían con el
tiempo o sólo dependen de una variable.
2 Estadísticos de un proceso estocástico
Por ejemplo,
ejemplo estudiamos el número de llamadas que se producen en una
central telefónica.
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
Si definimos X como el número de llamadas que se reciben en una hora
hora,
podemos decir que X sigue una distribución de Poisson de media λ.
¿Pero, qué pasa si queremos definir ahora otra variable
que corresponda al número de llamadas recibidas en la misma centralita
durante todo el día de trabajo
j ((8 horas)?
)
4 Ergodicidad de un proceso estocástico
5 Ejemplos
Podríamos definir una nueva X’, variable que seguiría una distribución de
Poisson definida como número de llamadas recibidas en la centralita
Poisson,
durante 8 horas, con una nueva λ’ que sería igual a 8·λ.
3
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2
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4
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1 Introducción y conceptos básicos
1 Introducción y conceptos básicos
Las representaciones serían (si λ=2, por ejemplo):
Definición
Así, para cada tiempo que fijemos, tendríamos una variable aleatoria.
Se define entonces una familia de variables aleatorias que dependen
de una variable determinista, (en este caso el tiempo).
λ=2
λ’=16
PROCESO ESTOCÁSTICO
Se define el proceso estocástico X(t) como el número de llamadas
que se producen
d
en lla centralita
t lit en ell ti
tiempo (0
(0,t).
t)
Así, para cada valor de t que se elija, tendremos una variable aleatoria
distinta, con forma similar pero distinto valor
distinta
valor.
5
En los temas anteriores definimos X(x), en este caso X(λ).
Ahora debemos representar X(x
X(x,t),
t) en este caso
caso, X(λ
X(λ,t).
t)
En general, diremos X(t) igual que antes llamábamos X y no X(λ).
6
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Estadística. Profesora María Durbán
1 Introducción y conceptos básicos
1 Introducción y conceptos básicos
Ejemplos
Proceso Estocástico
En los sistemas de comunicaciones aparecen señales aleatorias como:
Es una función de dos variables, t y x, una determinista y otra aleatoria
™ La señal de información,
información tiene pulsos de voz de duración
aleatoria y posición aleatoria.
™Una interferencia en el canal que es debida a la presencia
cercana de otros sistemas de comunicaciones.
comunicaciones
™ El ruido en un receptor es debido al ruido térmico en
resistencias y componentes del receptor.
a) X(x
X(x,t)
t) es una familia de funciones temporales
temporales.
b) Si se fija x, tenemos una función temporal X(t) llamada realización
del proceso.
proceso
c) Si se fija t, tenemos una Variable Aleatoria.
Así, la señal recibida va ser una señal con varias componentes aleatorias.
Aunque no es posible describir este tipo de señales con una expresión
matemática se pueden utilizar sus propiedades estadísticas
matemática,
d) Si se fijan t y x, tenemos un número real o complejo (muy normal
en teoría de la señal).
Son señales aleatorias en el sentido de que antes de realizar el
experimento
i
t no es posible
ibl describir
d
ibi su forma
f
exacta
t
7
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8
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1 Introducción y conceptos básicos
1 Introducción y conceptos básicos
Espacio de tiempos, T
Ejemplo 1
Distintas realizaciones del proceso X(t) = N·cos((2π/24)t+φ) siendo N y
φ VA con distribuciones P(10) y U(0,2π), respectivamente.
Conjunto de los posibles valores de tiempo que puede tomar el proceso
estocástico.
Espacio de estados, S
Conjunto de los posibles valores del proceso estocástico (resultado
numérico, real o complejo).
T
S
Discreto
Proceso discreto en el tiempo.
Continuo
Proceso continuo en el tiempo.
Discreto
Proceso discreto en el espacio de estados.
Continuo
Proceso continuo en el espacio de estados.
9
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10
Estadística. Profesora María Durbán
1 Introducción y conceptos básicos
1 Introducción y conceptos básicos
Ejemplo 2
En general:
Caracterice la continuidad del número de llamadas que llegan a la
centralita.
p p
porque
q p
puede tomar cualquier
q
valor real:
Es continuo en el tiempo,
t =1 hora
t =1,67 horas
t = 8 horas
t = 35 horas, etc.
Es discreto en el espacio de estados
X(λ t=t
X(λ,
t t0) es siempre
i
un número
ú
entero
t
Ejemplo 3
El tiempo que un ordenador tarda en ejecutar una tarea es una VA Y~
Exp(λ). Para hacer un estudio de la evolución temporal del sistema se
construye el proceso estocástico X(t) definido como el tiempo que resta
para
pa
a completar
co p eta la
a ta
tarea
ea sab
sabiendo
e do que ya ha
a co
consumido
su do t minutos.
utos
11
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Dibuje una realización del proceso y especifique los espacios T y S.
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12
1 Introducción y conceptos básicos
1 Introducción y conceptos básicos
Función de distribución
6
Dado un proceso estocástico cualquiera, si fijamos un tiempo t=t0
tendremos una V.A. X(t0) que tendrá una función de distribución
asociada.
asociada
Si, para el mismo proceso, fijamos otro instante t=t1 tendremos
otra VA, en principio, distinta a la anterior, con una función de
distribución diferente.
x
4
λ=1/36
2
Se define la función de distribución de primer orden del
proceso X(t) como
0
FX ( x, t ) = P( X (t ) ≤ x)
0
20
40
60
tiempo
13
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Y, por tanto, se tiene también la
función de densidad de primer
orden derivando la función de
distribución respecto a x
f ( x, t ) =
dFX ( x, t )
dx
14
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1 Introducción y conceptos básicos
1 Introducción y conceptos básicos
Función de distribución de segundo orden
Aplicación de la función de distribución y función de densidad
Realización de un proceso continuo en el tiempo con función de
densidad de primer orden gaussiana.
De igual modo:
Se de
define
e la
a función
u c ó de d
distribución
st buc ó de segu
segundo
do o
orden
de
del proceso X(t) como
F ( x1 , x 2 , t1 , t 2 ) = P ( X (t1 ) ≤ x1 ∩ X (t 2 ) ≤ x 2 )
Se puede obtener la función de densidad de segundo
orden derivando la función de distribución parcialmente
respecto a x1 y a x2
∂ 2 F ( x1 , x2 , t1 , t 2 )
f ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) =
∂x1∂x2
15
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16
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Procesos Estocásticos
2 Estadísticos de un proceso estocástico
Media
1 Introducción y conceptos básicos
La media de un proceso estocástico corresponde a:
™ En el caso real: E [ X (t )] = μ x (t ) =
2 Estadísticos de un proceso estocástico
+∞
∫ x ⋅ f ( x, t ) dx
−∞
™ En el caso complejo:
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
E[Z (t )] = E[ X (t )] + j ⋅ E[Y (t )]
Se puede entender gráficamente como el centro de gravedad de la
función densidad de probabilidad
4 Ergodicidad de un proceso estocástico
Característica:
™ Para cada t, se tiene una VA distinta → una media distinta
5 Ejemplos
La media es,
es en general
general, una función dependiente del tiempo
17
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18
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2 Estadísticos de un proceso estocástico
2 Estadísticos de un proceso estocástico
Ejemplo 4
Ejercicio 1
Un transmisor envía pulsos rectangulares de altura y posición
aleatorias. Cada pulso transmitido corresponde a una realización del
proceso estocástico
p
Considere la oscilación aleatoria X(t) = cos (2Π·f·t + B·Φ), donde f es una
constante real, Φ es una variable aleatoria uniforme en [− Π/2, Π/2], y B es una
variable aleatoria discreta, independiente de Φ, tal que P(B=0)=p y P(B=1)=q.
Defina y calcule la esperanza de la variable aleatoria X(t).
X(t) = V·h(t − T), t > 0,
E [ X (t ) ] = E [ cos(2
( π fft + Bφ ) ]
Donde la altura V del pulso es una variable aleatoria uniforme en [0,v0],
y T es una variable aleatoria exponencial de parámetro λ,
independiente de V, y la función determinista h(t) es
= E [ cos(2π ft + Bφ ) | B = 0] Pr( B = 0) + E [ cos(2π ft + Bφ ) | B = 1] Pr( B = 1)
= p cos(2
(2π ft) + qE
E [ cos(2
(2π ft + φ ) ]
h(t)=
Para cada t, cos (2Π·f·t+Φ) es una variable aleatoria función de φ. Podemos
escribir:
E [ cos(2π ft + φ ) ] = ∫
π /2
−π / 2
⎛
1
2
cos(2π ft + φ ) ∂φ = cos(2π ft )
π
0, en el resto.
Calcule la función valor medio del proceso estocástico X(t)
π
2⎞
μ x (t ) = ⎜ p + q ⎟ ⋅ cos ( 2π ⋅ f ⋅ t )
π⎠
⎝
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1, 0<t<1,
19
20
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2 Estadísticos de un proceso estocástico
2 Estadísticos de un proceso estocástico
Varianza
Correlación
O esperanza del producto de Variables Aleatorias como función de dos
variables temporales tk y ti dada por:
La media de un proceso estocástico corresponde a:
™ En el caso real: Var
Var[[XX((tt))]]==σσxx((tt))==
22
Recordamos:
+∞
+∞
∫∫((xx−−μμ ((tt)))) ⋅ ⋅ff((xx,,tt))dxdx
22
R X (t1 , t 2 ) = E[X (t1 )X (t 2 )] = ∫
xx
−−∞
∞
V [ X ] = E ⎡⎣ X 2 ⎤⎦ − ( E [ X ])
Var
∞
∫
∞
−∞ −∞
x1 x 2 f ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 ) d x1 d x 2
2
En el caso de que t1 = t2 se tiene el valor cuadrático medio del
proceso estocástico que es una función de una variable temporal:
σ x2 (t ) = E [X (t ) 2 ]− E[X (t )]2 = E [X (t ) 2 ]− [μ x (t )]2
[
]
∞
R X (t , t ) = E ( X (t )) = ∫ x 2 f ( x; t ) d x
2
−∞
En el caso de que la media del proceso estocástico sea siempre cero, la
varianza y el valor cuadrático medio coincidirían.
Potencia del proceso
21
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2 Estadísticos de un proceso estocástico
2 Estadísticos de un proceso estocástico
Covarianza
Matriz de Correlación de dos procesos
Dados dos procesos X(t) e Y(t). Todas las propiedades de correlación se
pueden colocar de forma matricial según una matriz de funciones de dos
dimensiones temporales.
temporales
Covarianza del proceso X(t) como una función de dos variables
temporales tk y ti dada por:
C X (t1 , t 2 ) = E [( X (t1 ) − μ x (t1 ) ) ⋅ ( X (t 2 ) − μ x (t 2 ) )] =
⎡ R (t , u ) RXY (t , u ) ⎤
R (t , u ) = ⎢ X
⎥
⎣ RYX (t , u ) RY (t , u ) ⎦
+∞ +∞
=
∫ ∫ (x − μ X (t1 ))⋅ ( y − μ X (t2 )) f X (t1 ), X (t2 ) ( x, y) dxdy
−∞ −∞
E ell caso d
En
de que tk = ti se tiene
ti
lla varianza
i
d l proceso estocástico.
del
t á ti
⎡ E ⎡ X (t ) 2 ⎤ E [ X (t )Y (t ) ]⎤
⎣
⎦
⎥
R (t , t ) = ⎢
⎢ E [Y (t ) X (t ) ]
⎡⎣Y (t ) 2 ⎤⎦ ⎥
E
⎣
⎦
C x (t1 , t 2 ) = RX (t1 , t 2 ) − μ x (t1 ) ⋅ μ x (t 2 )
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RXY (t , u ) = E [ X (t )Y (u ) ]
En el caso de que t=u la matriz de correlación tiene la expresión siguiente,
siendo una matriz de funciones de una variable temporal y simétrica.
De las definiciones de correlación y covarianza, se puede obtener:
En el caso de que la media del proceso estocástico sea siempre cero,
la función de correlación y la de covarianza coincidirían.
22
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23
24
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2 Estadísticos de un proceso estocástico
2 Estadísticos de un proceso estocástico
Ejemplo 4
Independencia
Si X(t) representa un proceso estocástico de media μx(t) = 3 y función de
correlación RX(t1, t2) = 9 + 4exp{−0,2·|t1−t2|}. Calcule la esperanza, la
varianza y la covarianza de las variables aleatorias Z = X(5) y T = X(8).
X(8)
1) Esperanzas
E(Z) = E(X(5)) = μx(5) = 3
E(T ) = E(X(8)) = μx(8) = 3
2) Varianzas
E(Z2) = E(X(5)·X(5)) = RX(5,5) = 13
E(T2) = E(X(8)
E(X(8)·X(8))
X(8)) = RX(8,8)
(8 8) = 13
2
2
Var(Z) = E(Z ) − (E(Z)) = 4
Var(T) = E(T2) − (E(T))2 = 4
3) Covarianzas
Dos procesos X(t) e Y(t) son independientes si su función de densidad
conjunta de cualquier orden se puede descomponer como el producto de
dos funciones de densidad marginales,
marginales una conteniendo términos sólo
dependientes del proceso X(t) y la otra dependientes de Y(t).
E[X (t ) ⋅ Y (t )] = E[X (t )]⋅ E[Y (t )]
Incorrelación
Dos procesos X(t) e Y(t) son incorrelados si CXY(t1, t2) = 0 para cualquier
valor de t1 y t2.
RXY (t1 , t 2 ) = μ X (t1 ) ⋅ μY (t 2 )
Ortogonalidad
E(ZT) = E(X(5)X(8)) = RX(5, 8) = 9+4e−0.6
Cov(Z,T)
( , ) = E(ZT)
( ) − E(Z)E(T
( ) ( ) = 4·e−0.6
O también como, Cov (Z,T) = CX(5, 8) = RX(5, 8) −μx(5)·μx(8) = 4·e−0.6
Dos procesos X(t) e Y(t) son ortogonales si RXY(t1, t2)=0 para cualquier valor
de t1 y t2.
C XY (t1 , t 2 ) = − μ X (t1 ) ⋅ μY (t 2 )
25
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26
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Procesos Estocásticos
2 Estadísticos de un proceso estocástico
Ejercicio
1 Introducción y conceptos básicos
Calcule la función de correlación del proceso X(t) = A·cos (2Π·f·t+Φ),
donde A y Φ son variables aleatorias independientes, siendo Φ una
variable aleatoria uniforme en [−
[ Π,
Π Π],
Π] y A exponencial de parámetro λ.
λ
2 Estadísticos de un proceso estocástico
Ejercicio
El tiempo que un ordenador tarda en ejecutar una tarea es una v.a. Y ~
Exp(λ). Para hacer un estudio de la evolución temporal del sistema se
construye el proceso estocástico X(t) definido como el tiempo que resta
para completar la tarea sabiendo que ya ha consumido t minutos.
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
4 Ergodicidad de un proceso estocástico
a) Determine E[X(t)],
E[X(t)] Var[X(t)],
Var[X(t)] E[X(t)2].
]
b) Indique si cada una de las funciones del aparatado anterior
depende del tiempo o no e interprete el resultado.
5 Ejemplos
27
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28
Estadística. Profesora María Durbán
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
Ejemplo 5
Cuando utilizamos un modelo estocástico,, generalmente
g
vamos a estar
interesados en predecir el comportamiento del proceso en el futuro y para
ello nos basamos en la historia del proceso. Estas predicciones no serán
correctas a menos que las condiciones futuras sean análogas a las
pasadas
El número de llamadas que llegan a una centralita hasta el instante t
25
Un proceso estocástico es estacionario si sus propiedades estadísticas
son invariantes ante una traslación del tiempo
x2
x1
20
El número medio de
llamadas no es
constante, depende
d t
de
15
10
El mecanismo físico que genera el experimento no cambia con el tiempo
5
No estacionario
0
1
29
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2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
tiempo
30
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3 Estacionariedad de un proceso estocástico
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
Ejemplo 6
Estacionariedad (en sentido estricto o fuerte)
Distintas realizaciones del proceso X(t) = N·cos((2π/24)t+φ) siendo N y
φ VA con distribuciones P(10) y U(0,2π) respectivamente.
Un proceso X(t) es estacionario en sentido estricto si la función
de densidad de densidad conjunta, de cualesquiera de sus n v.a.
medidas en instantes t1,…,ttn, permanece constante cuando
transcurre cualquier intervalo de tiempo ε
f ( x1 ,....xn ; t1 ,..., tn ) = f ( x1 ,....xn ; t1 + ε ,..., tn + ε )
Esta es una condición muy fuerte ya que implicaría estudiar
infinitas funciones de densidad conjunta
La media del proceso se mantiene constante
Estadística. Profesora María Durbán
puede ser
estacionario
Estacionariedad en sentido débil o amplio
p
31
32
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3 Estacionariedad de un proceso estocástico
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
Estacionariedad (en sentido débil)
Estacionariedad (en sentido débil)
Un proceso X(t) es débilmente estacionario si:
Un proceso X(t) es débilmente estacionario si:
E [ X (t ) ] = μ
E [ X (t ) ] = μ
((independiente
p
del tiempo)
p )
RX (t1 , t2 ) = RX (τ ) τ = t2 − t1 (depende solo de la distancia
((independiente
p
del tiempo)
p )
RX (t1 , t2 ) = RX (τ ) τ = t2 − t1 (depende solo de la distancia
entre los tiempos considerados)
entre los tiempos considerados)
Propiedades:
Propiedades:
La potencia E ⎡⎣ X (t ) ⎤⎦ no depende de t
ya que E ⎡ X (t ) 2 ⎤ = RX (0)
2
⎣
RX (τ ) = RX (−τ )
Estacionario en sentido estricto
débil
⎦
Si el proceso es gaussiano: estricto = débil
ya
aq
que
e
RX (τ ) = E [ X (t − τ ) X (t ) ] = E [ X (t ) X (t − τ ) ] = RX (−τ ) 33
34
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Estadística. Profesora María Durbán
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
Ejemplo 7
Ejemplo 7
Distintas realizaciones del proceso X(t) = A·cos((2π/24)t+φ) siendo A
constante y φ una VA con distribución U(-π, π).
¿Es X(t) débilmente estacionario?
10
Distintas realizaciones del proceso X(t) = A·cos((2π/24)t+φ) siendo A
constante y φ una VA con distribución U(-π, π).
¿Es X(t) débilmente estacionario?
π
E [ X (t ) ] = AE [ cos((2π / 24)t + φ ) ] = A ∫ cos((2π / 24)t + φ )
5
−π
1
dφ = 0
2π
R X (t , t + τ ) = E [X (t )X (t + τ )] = A E [cos((2π / 24 )t + φ ) cos((2π / 24 )(t + τ ) + φ )]
0
2
-5
Utilizando:
cos((α ± β ) = cos((α ) cos(( β ) m sen((α ))sen(( β )
-10
⇓
2 cos((α ) cos(( β ) = cos((α + β ) + cos((α − β )
0
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20
40
tiempo
60
35
36
Estadística. Profesora María Durbán
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
Ejemplo 7
Ejercicio
Distintas realizaciones del proceso X(t) = A·cos((2π/24)t+φ) siendo A
constante y φ una VA con distribución U(-π, π).
¿Es X(t) débilmente estacionario?
2 cos(α ) cos( β ) = cos(α + β ) + cos(α − β )
π
E [ X (t ) ] = AE [ cos((2π / 24)t + φ ) ] = A ∫ cos((2π / 24)t + φ )
−π
1
dφ = 0
2π
R X (t , t + τ ) = E [X (t )X (t + τ )] = A E [cos((2π / 24)t + φ ) cos((2π / 24)(t + τ ) + φ )]
2
A2
E [cos((2π / 24)(2t + τ ) + 2φ ) + cos((2π / 24 )τ )]
2
A2
=
cos((2π / 24)τ )
2
=
Es débilmente estacionario
Sea U una VA uniforme en [0,1], a partir de ella se construye el proceso
X(t)=exp(-Ut)
a) Para cada valor de t, determine el rango de X(t)
b) Calcule E[X(t)] y Rx(t1,t2)
c) Estudie la estacionariedad en sentido amplio (es decir
decir, en sentido
débil)
Ejercicio
Si X e Y son VA normales,
l
iindependientes,
d
di t
con media
di 0 y varianza
i
1
1, se
define el proceso Z(t)=Xcos(2πt)+Ysin(2πt)
a) Determine la función de probabilidad conjunta de Z(t1) y Z(t2)
b) Calcule la media y la autocovarianza del proceso Z(t)
c) Estudie la estacionariedad en sentido débil y estricto
37
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38
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Procesos Estocásticos
3 Ergodicidad de un proceso estocástico
1 Introducción y conceptos básicos
En muchas ocasiones, sólo disponemos de una realización del proceso
(es decir, disponemos de una función temporal), en este caso, para
conocer el proceso calculamos sus promedios temporales.
temporales
2 Estadísticos de un proceso estocástico
Sea X(t) un proceso estocástico
La media temporal o valor medio en el tiempo se define como:
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
M X =T lim
uuur ∞
4 Ergodicidad de un proceso estocástico
1
2T
∫
T
−T
X (t )dt =T lim
uuur ∞ μT
La autocorrelación temporal se define como:
AX =T lim
uuur ∞
5 Ejemplos
1
2T
∫
T
−T
X (t ) X (t + τ )dt
Ambas son VA yya que
q toman valores distintos p
para cada realización del
proceso.
39
Estadística. Profesora María Durbán
40
Estadística. Profesora María Durbán
3 Ergodicidad de un proceso estocástico
3 Ergodicidad de un proceso estocástico
Diremos que un proceso es ergódico si sus promedios estadísticos
coinciden con los temporales
sólo necesitamos una realización
del proceso para conocer los promedios estadísticos
Ergodicidad en autocorrelación : Sea RX (τ ) = E [ X (t ) X (t + τ )]. Si
construimos el proceso Zτ (t ) = X (t ) X (t + τ ), entonces E [ Zτ (t )] = RX (τ ) , por lo
tanto X (t ) es ergódico en autocorrelación si Zτ (t ) es ergódico en media
Ergodicidad en media : Dado que la media temporal μT no depende del
tiempo para que un proceso sea ergódico en media
tiempo,
media, es necesario que la
media del proceso μX sea constante, esto se cumple si el proceso es
estacionario
Ejemplo 7
Se considera el proceso X(t)=a cos(wt)+b sin(wt)
sin(wt), donde a y b son dos VA
independientes uniformemente distribuidas en [-1,1], estudie la
ergodicidad en media y autocorrelación.
Ejemplo 8
Sea A una VA N(0,1), definimos el proceso X(t)=A. ¿Es ergódico en
media?
μ X = E [ A] = 0
No es ergódico
g
en media
1 T
μT =
A∂t = A ≠ 0
∫
2T −T
μ X = E [a ]cos(wt ) + E [b]sin (wt ) = 0 + 0 = 0
μT =
41
Estadística. Profesora María Durbán
a sin (wT )
∫ (a cos(wt ) + b sin(wt ))dt = wT → lim
T
−T
1
RX (τ ) = E [ X (t ) X (t + τ ) ] = cos( wτ )
3
1 T
X (t ) X (t + τ )∂t
T
2T ∫−Estadística.
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T →∞
μT = 0
Es ergódico en media
sin
i (α ± β ) = sin
i (α ) cos(β ) ± cos(α )sin
i (β )
42
Procesos Estocásticos
3 Ergodicidad de un proceso estocástico
1 IIntroducción
t d
ió y conceptos
t bá
básicos
i
Ergodicidad en autocorrelación : Sea RX (τ ) = E [ X (t ) X (t + τ )]. Si
construimos el proceso Zτ (t ) = X (t ) X (t + τ ), entonces E [ Zτ (t )] = RX (τ ) , por lo
tanto X (t ) es ergódico en autocorrelación si Zτ (t ) es ergódico en media
2 Estadísticos de un proceso estocástico
Ejemplo 7
Sea considera el proceso X(t)=a cos(wt)+b sin(wt), donde a y b son dos
VA independientes uniformemente distribuidas en [-1,1], estudiar la
ergodicidad
di id d en media
di y autocorrelación.
t
l ió
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
4 Ergodicidad de un proceso estocástico
μ X = E [a ]cos(wt ) + E [b]sin (wt ) = 0 + 0 = 0
1 T
(a cos(wt ) + b sin (wt ))dt = a sin (wT ) → limT →∞ μT = 0
∫
−
T
2T
wT
1
RX (τ ) = E [ X (t ) X (t + τ ) ] = cos(( wτ )
3
N es ergódico
No
ódi en
1 T
1 2
autocorrelación
2
X (t ) X (t + τ )∂t = (a + b ) cos( wτ )
uuur ∞
T lim
2T ∫−T Profesora María Durbán
2
Estadística.
1
2T
μT =
5 Ejemplos
43
44
Estadística. Profesora María Durbán
5 Ejemplos
5 Ejemplos
Proceso de Poisson
Procesos Gaussianos
Es un proceso de tiempo continuo y estado discreto.
X(t)= número de sucesos en [0,t]
X(t) P(λt)
X(t)~P(λt)
μX=λt
CX(t1,t2)=λmin{t1,t2}
Diremos que un proceso es gaussiano, si cualquier colección de VA del
proceso tiene distribución conjunta gaussiana
El proceso está totalmente descrito si conocemos su función media y su
autocovarianza (o auticorrelación)
Ruido
Estacionariedad en sentido débil = estacionariedad en sentido estricto
Un proceso es independiente
C(ti,tj)=0
Ej
Ejercicio.
i i Febrero
F b
2003
Sean X e Y dos VA independientes y normales con media 0 y varianza
1, se define el proceso gaussiano:
Z(t)=Xcos(2πt)+Ysin(2πt)
0
-1
x1
1
2
“Ruido”= señales indeseables que constituyen una interferencia en un
sistema
i t
de
d comunicaciones.
i
i
H
Hay d
dos ti
tipos d
de ruido:
id ruido
id externo
t
all
sistema (atmosférico), ruido interno al sistema (fluctuaciones aleatorias
debidas a dispositivos). Generalmente se representan las interferencias
mediante un ruido blanco.
Ruido blanco: Un proceso es un ruido blanco si las variables X(t1), X(t2)
están incorreladas p
para todo t.
Si las variables son gaussianas, incorreladas = independientes
46
-2
45
Estadística. Profesora María Durbán
Estadística. Profesora María Durbán
5 Ejemplos
-3
-2
-1
0
1
2
3
tiempo
5 Ejemplos
Procesos Gaussianos
Procesos Autorregresivos
Diremos que un proceso es gaussiano, si cualquier colección de VA del
proceso tiene distribución conjunta gaussiana
El proceso está totalmente descrito si conocemos sufunción media y su
autocovarianza (o auticorrelación)
Un proceso autorregresivo de orden 1, AR(1), tiene la siguiente forma:
X (t ) = c + α X (t − 1) + ε t ε t ~ N (0, σ 2 )
E [X (t )] =
σ2
1−α 2
C X (τ ) =
α τσ 2
1−α 2
α = 0 .7
-4
-2
0
2
Estacionariedad en sentido débil = estacionariedad en sentido estricto
Un proceso es independiente
C(ti,tj)=0
Ej
Ejercicio.
i i Febrero
F b
2003
Sean X e Y dos VA independientes y normales con media 0 y varianza
1, se define el proceso gaussiano:
Z(t)=Xcos(2πt)+Ysin(2πt)
Var[X (t )] =
c
1−α
0
2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0
2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0
1
2
3
α − 0 .5
-3
-2
-1
0
a)) Determine la función de p
probabilidad conjunta
j
de Z(t
( 1) y Z(t
( 2)).
b) Estudie la estacionariedad en sentido débil y estricto.
0
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Estadística. Profesora María Durbán
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Estadística. Profesora María Durbán