2ε σ ε σ 2ε σ ε σ 2ε σ

FONAMENTS DE FÍSICA II
16 de Gener de 2004
PROBLEMES
P1. Dues superfícies planes paral·leles infinites, separades una distància D, estan
carregades amb densitats superficials de càrrega -σ
σ i +2σ
σ (on σ és positiva).
a) Calculeu el camp elèctric creat per cadascuna de les superfícies.
b) Calculeu el camp elèctric total a tots els punts de l'espai.
c) Calculeu la diferència de potencial entre la superfície de densitat +2σ
σi
la superfície de densitat -σ
σ.
d) Si omplim completament l'espai entre les dues superfícies amb una
làmina carregada uniformement amb densitat volúmica ρ, quin ha de
ser el valor de ρ per tal que el camp a la zona exterior a les superfícies
sigui nul?.
a) Campo creado por una superficie cargada con una densidad de carga -σ. Aplicamos
el Teorema de Gauss a una superficie tal como la indicada en la figura.
Qi
σ
− σS
E
∫S ⋅ dS = ε 0 ⇒ −2 ES = ε 0 ⇒ E = 2ε 0
σ z E=−
az
2ε 0 z
Para la superficie de densidad 2σ, siguiendo el mismo procedimiento tendremos:
σ z az
E=
ε0 z
b) Aplicando el principio de superposición tendremos:
-
-
-
z<0
σ E=−
az
2ε 0
0<z<D
z>D
3σ E=
az
2ε 0
σ E=
az
2ε 0
c) La diferencia de potencial entre las dos superficies será:
D 3σ
3σD
V1 − V2 = ∫ E ⋅ dl = ∫
dl =
2ε 0
2ε 0
1
0
2
d) Si el campo en el exterior es nulo el flujo del campo también lo será. Aplicando
el Teorema de Gauss, la carga interior
para cualquier superficie cerrada debe ser
nula
Qi = 0 ⇒ - σ S + 2 σ S + ρ S D = 0
de donde
ρ =-
σ
D
P2. Al llarg d'un fil rectilini conductor i molt llarg (a efectes de càlcul es pot
considerar infinit) circula un corrent estacionari d'intensitat I1. Al mateix pla
del fil i a una distància b se situa una espira conductora quadrada de costat a.
a) Determineu la força que exerceix el fil sobre l'espira quan per aquesta hi
circula un corrent d'intensitat I2.
b) Determineu el coeficient d'inducció mútua entre el fil i l'espira.
c) Si l'espira s'allunya del fil amb velocitat constant v, determineu la força
electromotriu induïda a l'espira.
a) La fuerza sobre un elemento de corriente es
dF = I d l × B .
Teniendo en cuenta la dirección y sentido del
campo creado por el hilo, las fuerzas sobre
cada uno de los lados de la espira son tales
como se indican en la figura. Se observa que
las fuerzas sobre los lados horizontales (2 y 4)
son iguales y opuestas y por lo tanto se
cancelarán. Sobre los lados verticales las
fuerzas son en la misma dirección y en sentido
opuesto pero son distintas (lo es el campo para
cada lado).
Debemos calcular en primer lugar el campo
creado por un hilo indefinido.
Aplicando el Teorema de Ampère a un camino
tal como el indicado en la figura se tiene.
µ 0 I1 2
B
⋅
d
l
=
µ
I
⇒
B
π
r
=
µ
I
⇒
B
=
aϕ
0 i
O 1
∫C
2πr
La fuerza sobre los lados 1 y 3 será:
µ II a
F1 = I 2 ∫ dl1 × B =I 2 ∫ dla z × Baϕ = − 0 1 2 a r
2πb
1
1
y
µII a F3 = I 2 ∫ dl3 × B =I 2 ∫ − dla z × Baϕ = 0 1 2 ar
2π (b + a )
3
3
La fuerza total será:
µ 0 I1 I 2 a 2 F =−
ar
2π (a + b)b
Fuerza atractiva para los sentidos de las corrientes indicados. En caso de cambiar uno de
los sentidos de las corrientes, la fuerza sería repulsiva pero del mismo módulo.
b) Coeficiente de inducción mutua.
Φ
M = 12
I1
Se debe calcular el flujo del campo creado por el hilo a través de la espira. El campo es
el determinado en el apartado anterior.
µ I B = 0 1 aϕ
2πr
El flujo será:
µ 0 I1
µ 0 I 1 a b + a dr µ 0 I 1 a a + b
∫S B ⋅ dS = ∫S 2πr adr = 2π ∫b r = 2π ln b
y el coeficiente de inducción mutua:
M =
µ0 a a + b µ0 a  a 
=
ln
ln1 + 
b
2π
2π  b 
c) La intensidad inducida en la espira será
dΦ 12
d ( MI 1 )
dM
=−
= − I1
.
i=−
dt
dt
dt
Al alejarse la espira el coefiente de inducción mutua variará ya que lo hace la distancia
b. Podremos escribir:
dM
dM db
dM
i = − I1
= − I1
= −I1
v
dt
db dt
db
La variación del coeficiente de inducción mutua con la distancia b será:
µ0a 2
dM
=−
db
2π (b + a)b
Y, por lo tanto, la intensidad inducida en la espira:
µ 0 I1a 2 v
i=
2π (b + a )b
P3. Un sistema òptic està format per un mirall còncau esfèric de radi 15 cm i una
lent convergent de focal 50 cm, separats una distància de 100 cm. A 20 cm del
mirall se situa una làmpada d'1 cm d'altura de la qual es formen dues imatges
través de la lent. La primera correspon a la llum que va directament de la
làmpada a la lent, mentre que la segona es forma a partir de la llum procedent de
la làmpada que es reflecteix al mirall.
a) Determineu la separació entre les dues imatges.
b) Determineu la mida de cadascuna de las imatges.
c) Dibuixeu el diagrama de raigs corresponent.
a) R = 15 cm, f = 50 cm, d = 100 cm
Imagen directa:
s = d-20 = 80 cm
1 1 1
1 1
1
+ = ⇒
+ =
⇒ s ' = 133.3cm
80 s ' 50
s s' f
Segunda imagen:
Imagen debida al espejo: s = 20 cm
1 1 2
1 1 2
+ = ⇒
+ =
⇒ s ' = 12cm
20 s ' 15
s s' R
Imagen a través de la lente: s= 100-12 cm = 88 cm
1 1 1
1 1
1
+ = ⇒
+ =
⇒ s ' = 115.8cm
88 s ' 50
s s' f
Distancia entre las dos imágenes 133.3 – 115.8 = 17.5 cm
b) Tamaño de la imágenes
Imagen directa:
y'
s'
s'
133.3
m = = − ⇒ y' = − y = −
1cm = −1.67cm Imagen invertida
80
y
s
s
Segunda imagen:
y'
s'
s'
12
Aumento del espejo: m = = − ⇒ y ' = − y = − 1cm = −0.6cm
20
y
s
s
Aumento de la lente (=aumento final):
y'
s'
s'
115.8
m = = − ⇒ y' = − y = −
(−0.6cm) = 0.79cm Imagen derecha
88
y
s
s
a) Diagrama de rayos
Imagen directa:
Segunda imagen:
Diagrama completo: