8πh c3 ν −1 /2m+ mω mω a)k ⃗L2 2I

Mecánica Cuántica
2016
Instituto de Física
Facultad de Ciencias
Práctico 1
1. Considere la forma de la densidad de energía para un cuerpo negro en función de la
frecuencia obtenida por Planck,
u( ν ,T )=
3
8π h
ν
, calcule la densidad de energía en
3
h ν/ kT
c e
−1
un intervalo de longitud de onda ∆λ. Use su expresión para calcular el valor de λ = λmax, para el
cual la densidad es máxima. Muestre que λmax es de la forma b/T, calcule el valor de b, y utilice
el valor de T=6000 K como estimación de la temperatura de la superficie solar para calcular el
valor de λmax para la radiación solar. (Nota: Para calcular b necesitará resolver la ecuación
trascendente 5-x = 5 e-x por métodos numéricos, por ejemplo, Excel, Matlab o similar).
2. Un fotón de 100 MeV colisiona con un protón en reposo: calcule la máxima energía perdida
posible para el fotón.
3. Un electrón de 100 MeV colisiona con un fotón de longitud de onda de 3 x 10 6 nm (que
corresponde a la radiación de fondo). Calcule la máxima energía que puede perder el electrón
en este choque. Si no sabe qué es la radiación de fondo: infórmese.
4. Usar las reglas de cuantización de Bohr para calcular los niveles de energía del oscilador
2
2 2
armónico, para el cual la energía es de la forma p /2m+ m ω r /2 es decir que la fuerza es
m ω2 r . Considere únicamente órbitas circulares. ¿Cuál la formula análoga a la de Rydberg?
Mostrar que el principio de correspondencia es satisfecho para todos los valores del número
cuántico n usado para cuantizar el momento angular.
5. Use las reglas de cuantización de Bohr para calcular los niveles de energía correspondientes
a un potencial de la forma
V =V 0
r
a
()
k
, con k>>1. Haga un diagrama cualitativo de la forma
del potencial y muestre que los niveles de energía se aproximan a
6. La energía clásica de un rotor plano esta dada por
E=
E n≃C n 2 .
2
⃗
L
, donde I es el momento de
2I
inercia y L es el momento angular. Aplique las reglas de cuantización de Bohr para obtener los
niveles de energía de un rotor. Si se supone que se verifica la condición en la frecuencia de
Bohr para la radiación en las transiciones de estados etiquetados como n 1 a estados
etiquetados como n2, demostrar que:
(a) el principio de correspondencia se cumple, y que
(b) esto implica que solo pueden ocurrir transiciones con ∆n = ±1.
(c) Las moléculas se comportan como rotores en determinados rangos de energías. Suponga
que el espectro rotacional de la molécula de H 2 es caracterizado por radiación de longitud de
onda del orden de 106 nm, y se desea usar dicho dato para estimar la distancia entre los
átomos de hidrogeno de la misma. ¿De qué orden de magnitud serán las longitudes calculadas?
7. Considere la función de onda
positivas.
ψ( x ,t )= Ae−λ ∣x∣ e−i ω t donde A, λ, y ω son constantes reales
a) Normalice la función de onda.
b) Determine el valor esperado de x y x2.
2
c) Encuentre la desviación estándar σ de |x|. Esboce el gráfico de |ψ| como función de x y
marque los puntos <x>+σ , y <x>-σ , para indicar el sentido en el cual σ representa la
dispersión de x. ¿Cuál es la probabilidad de que la partícula sea encontrada fuera de ese
rango?
8. Considere una partícula cuántica cuya función de ondas forma un paquete de ondas planas,
de la forma:
+∞
ψ( x , t )= ∫ d κ A( κ) e i( κ x−ω t) con A(κ)= N para −K ≤κ≤ K y A(κ)=0 para
κ> K .
∣ ∣
−∞
Verifique que para la condición inicial
condición ∆x ∆k > 1/2.
ψ( x , t=0)=0 de este paquete cuadrado se verifica la
9. Considere una partícula cuántica cuya función de ondas forma un paquete de ondas planas,
+∞
de la forma:
ψ( x , t)= ∫ d κ A( κ)e
i (κ x−ωt )
con
A(κ)=
−∞
N
2 .
κ +α
Bosqueje
A(κ ) y
ψ( x , t) y demuestre que
independientemente del valor de α , ∆x ∆k > 1/2.
2
ψ( x , t=0)=0
para
se
verifica,
10. Considere un paquete de ondas planas Gaussiano, con un A(k) tal que el pico en k=k 0 esta
muy acentuado. En ese caso se puede hacer la siguiente aproximación:
ω( k )≃ω( k 0 )+ ( k−k 0 ) ∂ ω
∂k
( )
+
k =k 0
2
1
( k−k 0 )2 ∂ ω2
2
∂k
( )
[
( k x−ω t )≃(k 0 x−ω (k 0) t )+ (k −k 0 ) x− ∂ ω
∂k
( )
k =k 0
Por lo tanto podemos escribir:
k=k 0
2
1
t − (k −k 0 )2 ∂ ω2
2
∂k
( )
]
t
k =k 0
Utilice esta expresión en el paquete de onda, y poniendo k - k0 = q, obtenga:
ψ( x , t) ≃ e
i (k 0 x−ω (k 0)t )
+∞
2
2
2
∫ dq A(q+ k 0) e i q (x−v t ) e −i q (∂ ω /∂ k ) / 2
−∞
g
k0
v g =(∂ ω /∂ k )k . Utilice esta
expresión para calcular ψ( x , t ) y compare la forma de ∣ψ ( x ,t=0) ψ( x ,t =0)∣ con la de
∣ψ∗( x , t ) ψ( x , t )∣ .
donde se ha utilizado que la velocidad de grupo se calcula como
∗
0