Momentos y centros de masa

MOMENTOS Y CENTROS DE MASA
El objetivo de estas lı́neas es explicar brevemente otra de las numerosas aplicaciones que
posee el Cálculo Integral. En este caso, consideramos una placa plana y delgada con forma
cualquiera, y nos proponemos hallar su centro de masa. Informalmente, entendemos por centro
de masa de una placa, el punto donde la misma se equilibra horizontalmente.
Primero analicemos el caso simple en el que dos partı́culas de masas m1 y m2 están sujetas
a los extremos de una varilla que supondremos tener masa nula y apoyada en un fulcro (apoyo)
(Figura ). Las masas se encuentran a distancias d1 y d2 respectivamente del apoyo. La varilla
quedará en equilibrio, según lo estableció Arquı́mides a través de la “Ley de la Palanca”, cuando
m1 d1 = m2 d2 .
Pensemos que ubicamos la varilla en el eje x, m1 en x1 y m2 en x2 (0 < x1 < x2 ) y el centro
de masa en xM . Es decir, se verifica que d1 = xM − x1 y d2 = x2 − xM (ayúdese con un
dibujo). Según la mencionada ley de Arquı́mides tenemos que m1 (xM − x1 ) = m2 (x2 − xM ),
de donde se desprende que
m1 x1 + m2 x2
.
m1 + m2
Generalizando la situación anterior, si consideramos n partı́culas con masas m1 , m2 , · · · , mn
colocadas en los puntos de coordenadas x1 , x2 , · · · , xn del eje x, se puede demostrar que el
centro de masa del sistema está ubicado en
Pn
j=1 mj xj
xM = Pn
.
(1)
j=1 mj
xM =
PnCada término mj xj se lo llama momento de la masa mj con respecto al origen, y a
j=1 mj xj , momento del sistema con respecto al origen. La ecuación en (1) indica entonces que el centro de masa xM se determina sumando los momentos de las masas y dividiendo
esta cantidad por la masa total.
P
Observemos
que si reescribimos la ecuación en (1) como mxM = M , donde m = nj=1 mj
Pn
y M = j=1 mj xj , la misma nos dice que si la masa total m se considerara concentrada en el
centro de masa, su momento es igual al momento M del sistema.
1
Consideremos ahora n partı́culas con masas m1 , m2 , · · · , mn colocadas en los puntos de
coordenadas (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), · · · , (xn , yn ) del plano xy. Por analogı́a al caso unidimensional, el
momento del sistema respecto al eje x se define como
Mx =
n
X
mj xj ,
j=1
y el momento del sistema respecto al eje y como
My =
n
X
mj yj .
j=1
También por analogı́a al caso unidimensional, las coordenadas del centro de masa, (xM , yM ),
se expresan en términos de los momentos de la siguiente manera
xM =
donde nuevamente m =
Pn
j=1
My
,
m
yM =
Mx
,
m
mj representa la masa total.
Consideremos ahora una varilla delgada de metal, colocada en el eje x desde x = a hasta
x = b, con a < b. Cortamos la varilla en pequeños trozos de masa ∆mk a través de una partición
P = {x0 , x1 , · · · , xn } del intervalo [a, b]. Para cada k = 0, 1, · · · , n, sea ck un punto cualquiera
en el k-ésimo subintervalo [xk−1 , xk ]. El k-ésimo trozo tiene longitud xk − xk−1 = ∆xk . Se
aconseja que realice un esbozo de la varilla indicando todos estos elementos, para
mejor comprensión de lo que sigue.
Observemos en primer lugar que el centro de masa de la varilla es aproximadamente el
mismo que el del sistema de puntos de masa que obtendrı́amos colocando cada trozo de masa
∆mk en ck . Entonces, por lo visto más arriba, el momento de cada trozo con respecto al origen
es aproximadamente igual a ckP
∆mk , por lo que el momento del sistema con respecto al origen
n
es aproximadamente igual a
k=1 ck ∆mk . Por último, si la densidad (masa por unidad de
longitud) de la varilla en ck es δ(ck ), ∆mk es aproximadamente igual a δ(ck )∆xk . Obtenemos
que el centro de masa de la varilla es:
Pn
ck δ(ck )∆xk
.
xM ≈ Pk=1
n
k=1 δ(ck )∆xk
Conforme la norma de la partición considerada tienda a cero, si la densidad de la varilla es
una función integrable de x, obtenemos que
Rb
xδ(x)dx
xM = Ra b
.
δ(x)dx
a
Ejercicio 1: Una varilla de 5 m de longitud no tiene grosor uniforme, sino que su grosor
disminuye de izquierda a derecha según la ley δ(x) = 10 − x5 . Compruebe que el centro de masa
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de la varilla se encuentra resolviendo las siguientes dos integrales; resuélvalas y concluya cuál
es el centro de masa.
Z 5
Z 5
x
x
x(10 − )dx ;
(10 − )dx.
5
5
0
0
Ejercicio 2: Considere una varilla de metal delgada con densidad constante. Según su intuición,
dónde se encuentra ubicado su centro de masa? Compruébelo.
Por último, como anticipamos en el comienzo de estas lı́neas, consideremos una placa plana
y delgada, por ejemplo un disco de metal. En muchas aplicaciones se necesita hallar el centro
de masa de una tal placa.
Consideremos que la placa ocupa una cierta región del plano xy. Sea la densidad de la
placa (masa por unidad de área) dada a través de una función δ (función de x). A esta
altura del cursado de Análisis Matemático II estamos imposibilitados de estudiar
una situación más general, pero aclaramos que más adelante vamos a considerar
densidades que sean funciones de ambas variables, es decir, de x e y.
El principio de simetrı́a en fı́sica establece que si una región es simétrica respecto de una
lı́nea, su centro de masa está sobre la misma. Si tiene dos ejes de simetrı́a, éste estará en la
intersección de los ejes. Los momentos se deben definir entonces de modo que si toda la masa
se concentra en su centro de masa, sus momentos permanezcan inalterados. Además, debe
verificarse que el momento de la unión de dos regiones que no se solapan es igual a la suma de
los momentos de cada región.
Primero supongamos que la región R que ocupa la placa queda comprendida entre las rectas
de ecuaciones x = a, x = b, por encima del eje x y por debajo de la gráfica de cierta función
integrable f . Consideremos una partición P = {x0 , x1 , · · · , xn } del intervalo [a, b] y elijamos ck
en cada subintervalo [xk−1 , xk ] como el punto medio, esto es ck = xk−12+xk (ayúdese con un
dibujo para visualizar la situación).
El centro de masa del k-ésimo rectángulo Rk está en su centro (ck , 12 f (ck )) (lo idealizamos
con una varilla delgada y consideramos que la densidad no varı́a demasiado en cada punto de
Rk para poder utilizar el resultado del ejercicio 2). Su área es f (ck )∆xk ; luego su masa es igual
a δ(ck )f (ck )∆xk .
El momento de Rk respecto del eje x es igual al producto de su masa por la distancia de su
centro de masa al eje x (notar que esta distancia es igual a 21 f (ck )); es decir:
1
Mx (Rk ) = δ(ck )[f (ck )]2 ∆xk .
2
Sumando sobre k en la expresión anterior, obtenemos el momento respecto al eje x de una
aproximación de la región R. Conforme la norma de la partición P tienda a cero, obtenemos
que el momento de R respecto al eje x es
Z b
1
Mx =
δ(x)[f (x)]2 dx.
a 2
3
Análogamente, el momento de Rk respecto del eje y es igual al producto de su masa por la
distancia de su centro de masa al eje y (notar que esta distancia es igual a ck ); es decir:
My (Rk ) = δ(ck )ck f (ck )∆xk .
Sumando sobre k en esta última expresión, obtenemos el momento respecto al eje y de una
aproximación de la región R. Conforme la norma de la partición P tienda a cero, obtenemos
que el momento de R respecto al eje y es
Z b
My =
δ(x)xf (x)dx.
a
De manera análoga que para sistemas de partı́culas, las coordenadas del centro de masa,
(xM , yM ), se expresan en términos de los momentos de la siguiente manera
Rb
Rb 1
δ(x)xf
(x)dx
δ(x)[f (x)]2 dx
My
M
x
xM =
= Ra b
, yM =
= aR 2b
,
m
m
δ(x)f
(x)dx
δ(x)f
(x)dx
a
a
Rb
donde en este caso m = a δ(x)f (x)dx representa la masa de la placa.
Ejercicio 3: Considere una placa de metal delgada con densidad constante igual a δ, que ocupa
la región encerrada por el eje x y la parábola de ecuación y = 2 − x2 . Halle las coordenadas de
su centro de masa.
Como podrá observar una vez finalizado el ejercicio 3, cuando la densidad es una cantidad
constante, las coordenadas del centro de masa son independientes de la densidad (notar que el factor
δ aparece multiplicando y dividiendo en cada uno de los miembros de la derecha).
Además, seguramente sus cálculos le permitieron concluir que la coordenada en x del centro
de masa de la placa es 0 (revise sus cuentas si no es éste el caso!). ¿Por qué cree que esto
ocurrió?
Antes de realizar el ejercicio que sigue, analice si la coordenada en x del centro de masa
volverá a ser igual a 0 o no.
Ejercicio 4: Considere la misma placa del ejercicio 3. Determine su centro de masa, si la
densidad en un punto (x, y) de la misma es igual al cuadrado de la distancia entre (x, y) y el
eje y.
Ejercicio 5: Considere una placa delgada con densidad constante igual a δ, con forma de
semicı́rculo de radio 2. Halle las coordenadas de su centro de masa.
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Referencias
[1] James Stewart, Cálculo de una variable. Transcendentes tempranas. International Thomson Editores. 4ta edición.
[2] George B. Thomas, Jr. , Cálculo. Una variable. Pearson. Addison Wesley. Undécima edición.
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