¾¼½¾º ½½ º Á º

àéîííûé òóð 2012. 11 êëàññ. I âàðèàíò.
Çàäà÷à 1.
 âåðõíåé òî÷êå ãîðêè (íà ðåáðå) ñêîðîñòü øàéáû äîëæíà áûòü íàïðàâëåíà ñòðîãî âäîëü
âåðõíåãî ðåáðà, èíà÷å øàéáà ïîäñêî÷èò. Ýòî, â îáùåì, î÷åâèäíîå óòâåðæäåíèå ëåãêî äîêàçàòü.
Äåéñòâèòåëüíî, ïåðåâàëèâàÿ ÷åðåç ìàëîå çàêðóãëåíèå ñ íåíóëåâîé ñîñòàâëÿþùåé ñêîðîñòè Vy
2
âäîëü îñè Y (ñì. ðèñ. 1), øàéáà áóäåò èìåòü öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå aö = Vy /r, ãäå
r ðàäèóñ çàêðãëåíèÿ. Òàê êàê ïî óñëîâèþ çàêðóãëåíèå íåçíà÷èòåëüíî, r ìàëî, çíà÷èò aö
âåëèêî. Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà â ïðîåêöèè íà âåðòèêàëüíóþ îñü â âåðõíåé òî÷êå òðàåêòîðèè
èìååò ñëåäóþùèé âèä â ïðîåêöèè íà âåðòèêàëüíóþ îñü:
ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ
aö
âåëè÷èíà
N
mg − N = maö ,
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
îáðàòèòñÿ â íîëü, ò.å. øàéáà îòîðâåòñÿ.
Èòàê, â âåðõíåé òî÷êå òðàåêòîðèè ñêîðîñòü øàéáû â ïðîåêöèè íà îñü
Y
äîëæíà áûòü
ðàâíà íóëþ. Íî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â êîíöå ïîäúåìà ïî ñêëîíó äîëæíà îáðàòèòüñÿ â íîëü è
ñêîðîñòü øàéáû â ïðîåêöèè íà îñü
Z,
íàïðàâëåííóþ ââåðõ
âäîëü ñêàòà
(ñì. ðèñ. 2), âåäü,
ïðîõîäÿ çàêðóãëåíèå, øàéáà ïðàêòè÷åñêè íå ìåíÿåò ìîäóëü ñâîåé ñêîðîñòè. Òà êîìïîíåíòà
ñêîðîñòè, êîòîðàÿ ïåðåä ñàìûì çàêðóãëåíèåì (â êîíöå ïîäúåìà) áûëà íàïðàâëåíà âäîëü îñè
Z,
íàâåðõó çàêðóãëåíèÿ îêàçæåòñÿ íàïðàâëåíà óæå âäîëü îñè
Y.
Çíà÷èò, â êîíöå ïîäúåìà ïî
íàêëîííîé ïëîñêîñòè ñêîðîñòü øàéáû íàïðàâëåíà èìåííî âäîëü îñè
 õîäå äàëüíåéøåãî ðåøåíèÿ âåëè÷èíîé
r
X.
ìû áóäåì ïðåíåáðåãàòü.
àññìîòðèì äâèæåíèå øàéáû â ïëîñêîñòè ëåâîãî ñêàòà ãîðêè (ñì. ðèñ. 2, îòìåòèì, ÷òî
ñèëû, ïåðïåíäèêóÿðíûå ýòîé ïëîñêîñòè ñêîìïåíñèðîâàíû íà ïðîòÿæåíèè âñåãî âðåìåíè äâèæåíèÿ â äàííîé ïëîñêîñòè). Êàê îáñóæäàëîñü, â âåðõíåé òî÷êå òðàåêòîðèè Ê ñêîðîñòü øàéáû
íàïðàâëåíà âäîëü ÎÎ'. Òîãäà ïîíÿòíî, ÷òî äâèæåíèå øàéáû ïî ëåâîìó è ïðàâîìó ñêàòàì ñèììåòðè÷íî, à òðàåêòîðèè ÀÊ è Ê èìåþò îäíó îðìó. Õîòÿ îíè è ëåæàò â ðàçíûõ ïëîñêîñòÿõ,
ÀÊ è Ê ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé âåòâè îäèíàêîâûõ ïàðàáîë, ïðè÷åì Ê âåðøèíà îáåèõ ýòèõ
ïàðàáîë è äåëèò ðåáðî ÎÎ' ïîïîëàì.
 ïðîåêöèè íà îñè
X
è
Z,
ëåæàùèå â ïëîñêîñòè ëåâîãî ñêàòà, óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäå-
íèÿ èìååò ïðîåêöèþ ëèøü íà îñü
Z , ýòà ïðîåêöèÿ îòðèöàòåëüíà è ðàâíà ïî ìîäóëþ g̃ = g sin γ .
V0 è α ñîîòâåòñòâåííî. Óðàâíåíèÿ ðàâíîóñêî-
Íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü è èñêîìûé óãîë îáîçíà÷èì
ðåííîãî äâèæåíèÿ äëÿ êîîðäèíàò
X(t) = V0 t sin α,
Z(t) = V0 t cos α − g̃t2 /2,
(1)
Vz (t) = V0 cos α − g̃t.
(2)
à äëÿ ñêîðîñòåé
Vx (t) = V0 sin α,
tk , êîãäà øàéáà ïðîåçæàåò òî÷êó Ê, ïðîåêöèÿ
VZ (tk ) = 0, çíà÷èò âòîðîå óðàâíåíèå (2) äàåò
 ìîìåíò âðåìåíè
ðàâíîé íóëþ,
V0 cos α − g̃tk = 0
Êîîðäèíàòû øàéáû â ýòîò ìîìåíò
⇒
tk =
X(tk ) = a/2, Z(tk ) = 2a
ñêîðîñòè íà
Z
ñòàíîâèñÿ
V0 cos α
.
g̃
(ñì. ðèñ 2), çíà÷èò óðàâíåíèÿ (1)
ïðèíèìàþò â ýòîé òî÷êå âèä
V0 tk cos α − g̃t2k /2 = 2a.
V0 tk sin α = a/2
Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà
tk ,
ïîëó÷èì ñèñòåìó
V02 cos2 α
= 2a.
2g̃
a
V02 sin α cos α
= ,
g̃
2
1
(3)
èñ. 1:
èñ. 2:
Îòñþäà ëåãêî âûðàçèòü
V0
è
α.
Íàïðèìåð, ðàçäåëèì ïî÷ëåííî óðàâíåíèÿ (3) äðóã íà äðóãà:
2 tg α =
1
4
⇒
tg α =
p V0 .
65ag sin γ/16,
1
.
8
È, íàêîíåö, èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ (3) âûðàçèì
Îòâåò: Íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü øàéáû
V0 =
α = arctg (1/8).
óãîë ýòîé ñêîðîñòè ñ ðåáðîì ÀÎ
Çàäà÷à 2.
∆t îáìåíèâàåòñÿ ñ âíåøíèì òåëîì
Cp = 5νR/2 òåïëîåìêîñòü ãàçà ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè (ν
∆T èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû ãàçà çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè ∆t.
Íà èçîáàðå ãàç çà íåáîëüøîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè
òåïëîòîé
∆Q12 = Cp ∆T ,
ãäå
êîëè÷åñòâî âåùåñòâà ãàçà),
Îòìåòèì, ÷òî â äàííîì ïðîöåññå òåìïåðàòóðà ãàçà óáûâàåò, òàê ÷òî òåïëî äîëæíî óõîäèòü
îò ãàçà ê âíåøíåìó òåëó.
Ïðè ïîìîùè óðàâíåíèÿ Êëàéïåðîíà - Ìåíäåëååâà ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî â èçîáàðè÷åñêîì
ïðîöåññå
νR∆T = p0 ∆V ,
ãäå
∆V
èçìåíåíèå îáúåìà ãàçà çà ðàññìîòðåííûé ïðîìåæóòîê
âðåìåíè. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ èñêîìîé ìîùíîñòè â äàííîì ïðîöåññå
W (t) =
5p0 ∆V
∆Q12
=
.
∆t
2∆t
(4)
Ïî óñëîâèþ íà èçîáàðå îáúåì ìåíÿåòñÿ ðàâíîóñêîðåííî, òî
V (t) = 4V0 − at2 /2. Çíà÷èò, ñêîðîñòü èçìåíå-
åñòü ïî çàêîíó
∆V /∆t = −at.
W (t) = −5atp0/2.
íèÿ îáúåìà âåäåò ñåáÿ ëèíåéíî:
âåëè÷èíó â (4), íàéäåì
Ïîäñòàâèâ ýòó
Ýòîò çàêîí äëÿ ìîùíîñòè òåïëîîáìåíà âûïîëíÿåòñÿ, ïîêà
V0 , òî åñòü â òå÷åíèå ïðîìåæóòêà âðåìå2
V (t1 ) = 4V0 − atp
1 /2 = V0 . Íåñëîæíî âûðàçèòü t1 èç
6V0 /a.
ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà, t1 =
Íà èçîõîðå ãàç çà íåáîëüøîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè ∆t ïîëó÷àåò îò âíåøíåãî òåëà òåïëîòó ∆Q23 = Cv ∆T , ãäå Cv = 3νR/2
òåïëîåìêîñòü ãàçà ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå, ∆T èçìåíåíèå
òåìïåðàòóðû ãàçà çà äàííûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè ∆t. Îòìåîáúåì íå ñðàâíÿåòñÿ ñ
íè
t1 ,
êîãäà
èñ. 3:
òèì, ÷òî â äàííîì ïðîöåññå òåìïåðàòóðà ãàçà ðàñòåò. Ïðè ïîìîùè óðàâíåíèÿ Êëàéïåðîíà - Ìåíäåëååâà ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî â èçîõîðè÷åñêîì ïðîöåññå
νR∆T = V0 ∆p,
ãäå
∆p
èçìåíåíèå äàâëåíèÿ ãàçà çà ðàññìîòðåííûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè.
2
èñ. 4:
èñ. 5:
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ èñêîìîé ìîùíîñòè â äàííîì ïðîöåññå
W (t) =
∆Q23
3V0 ∆p
3wV0
=
=
.
∆t
2∆t
2
Çäåñü ìû èñïîëüçîâàëè, ÷òî ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ äàâëåíèÿ
∆p/∆t = w
(5)
äàíà ïî óñëîâèþ.
Ýòîò çàêîí äëÿ ìîùíîñòè òåïëîîáìåíà âûïîëíÿåòñÿ, ïîêà äàâëåíèå íå ñðàâíÿåòñÿ ñ
òî åñòü åùå â òå÷åíèå ïðîìåæóòêà âðåìåíè
3p0 ,
t2 = 2p0 /w.
p
0 ≤ t ≤ t1 = 6V0 /a ìîùíîñòü, ïîëó÷àåìîãî òåïëà îòðèöàòåëüíà è ëèíåéíî
ðàñòåò ïî çàêîíó W (t) = −5atp0 /2; çàòåì ïðè t1 ≤ t ≤ t1 + t2 (ãäå t2 = 2p0 /w) ìîùíîñòü
ïîñòîÿííà, ïîëîæèòåëüíà è ðàâíà 3wV0 /2. Òðåáóåìûé ãðàèê ïðåäñòàâëåí íà ðèñóíêå 3.
Îòâåò: Ïðè
Çàäà÷à 3.
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ êàæäîãî èçîáðàæåíèÿ íàì äîñòàòî÷íî ïðîâåñòè äâà ïåðåñåêàþùèõñÿ ëó÷à.
Îäèí íåñëîæíî ïðîâåñòè äëÿ ëþáîãî èçîáðàæåíèÿ ýòî ëó÷ ÏÎ, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç öåíòð
ñèñòåìû è íåïðåëîìëÿþùèéñÿ ëèíçàìè (ñì. ðèñ. 4).
Ëó÷, ïàðàëëåëüíûé äëèííîîêóñíîé ëèíçå, ëó÷ ÏÀ, ïîñëå ïðåëîìëåíèÿ â êîðîòêîîêóñíîé íàïðàâëÿåòñÿ â îêóñ
f2 .
Äàëüíåéøóþ åãî òðàåêòîðèþ ñëåäóåò ñòðîèòü, âîñïîëüçîâàâ-
øèñü òåì, ÷òî âñå ïàðàëëåëüíûå äðóã äðóãó ëó÷è ëèíçà ñîáèðàåò â îäíîé òî÷êå îêàëüíîé
ïëîñêîñòè. Ïîñòðîèì âñïîìîãàòåëüíûé ëó÷ ÑÎ, ïàðàëëåëüíûé Àf2 . Ôîêàëüíóþ ïëîñêîñòü
äëèííîîêóñíîé ëèíçû DB îí ïåðåñåêàåò â òî÷êå D. Çíà÷èò è ëó÷ Àf2 ïîñëå äëèííîîêóñíîé ëèíçû ïðîéäåò ÷åðåç D.
Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷åé ÏÎ è ÏÀf2 D äàåò ïîëîæåíèå ïåðâîãî èçîáðàæåíèÿ. Èçîáðàæåíèå
ýòî äåéñòâèòåëüíîå.
Ïðîâåäåì òåïåðü òàêèå æå ïîñòðîåíèÿ äëÿ ëó÷à, êîòîðûé ñíà÷àëà ïðîõîäèò ÷åðåç äëèííîîêóñíóþ ëèíçó, à çàòåì ÷åðåç êîðîòêîîêóñíóþ (ñì. òåïåðü ðèñóíîê 5).
Ëó÷, ïàðàëëåëüíûé êîðîòêîîêóñíîé ëèíçå, ÏÀ íà ðèñ. 5, ïîñëå ïðåëîìëåíèÿ â äëèííîîêóñíîé ëèíçå íàïðàâëÿåòñÿ â îêóñ
f1 .
Äàëüíåéøàÿ åãî òðàåêòîðèÿ ñòðîèòñÿ òàêæå,
êàê â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå. Ñòðîèì âñïîìîãàòåëüíûé ëó÷ ÑÎ, ïàðàëëåëüíûé Àf1 . Ôîêàëüíóþ ïëîñêîñòü êîðîòêîîêóñíîé ëèíçû DB îí ïåðåñåêàåò â òî÷êå D. Çíà÷èò è ëó÷ Àf1 ïîñëå
êîðîòêîîêóñíîé ëèíçû ïðîéäåò ÷åðåç D.
3
Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷åé ÏÎ è ÏÀf1 D äàåò ñíîâà òî æå ñàìîå èçîáðàæåíèå, ÷òî è óæå
ðàññìîòðåííîå.
Òåì íå ìåíåå, ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî â ñèñòåìå ñóùåñòâóåò åùå îäíî èçîáðàæåíèå. Îíî ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ ïðîäîëæåíèé ëó÷åé ÎÏ è Àf1 (ñì. òåïåðü ðèñóíîê 5). Èçîáðàæåíèå
ýòî ìíèìîå è åãî ìîæíî íàáëþäàòü íàõîäÿñü â îáëàñòè, ãäå ëó÷è ïðåëîìëåíû äëèííîîêóñíîé ëèíçîé, íî åùå íå ïðåëîìëåíû êîðîòêîîêóñíîé, òî åñòü â ÷åòâåðòè ïðîñòðàíñòâà,
ðàñïîëîæåííîé íèæå è ïðàâåå òî÷êè Î.
Îòâåò: Èìååòñÿ äâà èçîáðàæåíèÿ, ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñ. 5). Âåðõíåå èç äâóõ ýòèõ èçîáðàæåíèé ìíèìîå, à íèæíåå äåéñòâèòåëüíîå.
Çàäà÷à 4.
Îáîçíà÷èì äàâëåíèå â êðàéíèõ îòñåêàõ
P1 ,
à â ñðåäíåì
P2 .
àññìîòðèì âíåøíèå ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ñèñòåìó êóáèê-ñòåðæåíü-ïîðøåíü.
Íàëåâî ñèñòåìó òîëêàåò, âî-ïåðâûõ, ïðàâàÿ ñæàòàÿ ïðóæèíà (ñ ñèëîé kï ∆x), âî-âòîðûõ,
P2 s′ ), â òðåòüèõ, ñèëà äàâëå-
ñèëà äàâëåíèå æèäêîñòè ñðåäíåãî îòñåêà íà êóáèê (âåëè÷èíîé
íèÿ æèäêîñòè ïðàâîãî îòñåêà íà ïîðøåíü (âåëè÷èíîé
P1 S ).
Êðîìå òîãî, åñëè êóáèê êàñàåòñÿ
ïåðåãîðîäêè, íà íåãî ìîæåò äåéñòâîâàòü ñèëà ðåàêöèè ïåðåãîðîäêè, òàêæå íàïðàâëåííàÿ íàëåâî.
Íàïðàâî íà íàøó ñèñòåìó äåéñòâóþò: ëåâàÿ ñæàòàÿ ïðóæèíà (ñ ñèëîé kë ∆x); ñèëà äàâP1 s′ ); ñèëà äàâëåíèÿ æèäêîñòè ñðåäíåãî
ëåíèå æèäêîñòè ëåâîãî îòñåêà íà êóáèê (âåëè÷èíîé
îòñåêà íà ïîðøåíü (âåëè÷èíîé
P2 S ).
Òàêèì îáðàçîì, ñèëû ñêîìïåíñèðîâàíû, êîãäà
N + kï ∆x + P2 s′ + P1 S = kë ∆x + P1 s′ + P2 S.
Âûðàçèì îòñþäà
N
N = (kë − kï )∆x − (P1 − P2 )(S − s′ ).
Çàìåòèì, ÷òî åñëè ñèëà
ðàâíû,
P1 6= P2 .
N > 0,
(6)
êóáèê ïðèæàò ê ïåðåãîðîäêå, è äàâëåíèÿ ìîãóò áûòü íå
Åñëè æå â êàêîé-òî ìîìåíò
N
îáðàùàåòñÿ â íîëü, êóáèê íå âçàèìîäåéñòâóåò
ñ ïåðåãîðîäêîé; ïðè ýòîì âîäà ìîæåò ïðîáóëüêèâàòü ìåæäó êóáèêîì è ïåðåãîðîäêîé, à
äàâëåíèÿ
Êîãäà
P1 è P2 âûðàâíÿþòñÿ.
P1 = P2 , ñîãëàñíî âûðàæåíèþ
(6),
N > 0,
îòâåðñòèå â ïåðåãîðîäêå çàêðûòî. Êîãäà
ýêñïåðèìåíòàòîðû ñòàëè óâåëè÷èâàòü äàâëåíèå â êðàéíèõ îòñåêàõ (P1 ), äàâëåíèå
ëà íå ìåíÿåòñÿ. Ïðè ýòîì âû÷èòàåìîå â ðàçíîñòè (6), ïðîïîðöèîíàëüíîå
(P1 − P2 )
P2
ñíà÷à-
íà÷èíàåò
óâåëè÷èâàòüñÿ, à ñèëà ðåàêöèè êóáèêà î ïåðåãîðîäêó óìåíüøàòüñÿ.  òîò ìîìåíò, êîãäà N
P1 − P2 = (kï − kë )∆x/(S − s′ ), êóáèê îòðûâàåòñÿ, âîäà ïðîáóëü-
îáðàùàåòñÿ â íîëü, ò.å. ïðè
êèâàåò è äàâëåíèÿ â îòñåêàõ âûðàâíèâàþòñÿ.
Òàêèì îáðàçîì, ðàçíîñòü äàâëåíèé
P1 − P2
â îïèñàííîé ñèñòåìå íå ìîæåò ïðåâçîéòè
∆P = (kë − kï )∆x/(S − s′ ).
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âñåãäà ìîæíî äîáèòüñÿ (â äîñòàòî÷íîé ñòåïåíè óâåëè÷èâ äàâëåíèå â êðàéíèõ îòñåêàõ è ïðåêðàòèâ åãî óâåëè÷èâàòü êàê ðàç ïåðåä òåì, êàê íà÷íåòñÿ ïðîáóëüêèâàíèå),
÷òîáû ðàçíîñòü äàâëåíèé îêàçàëàñü ðàâíà èìåííî
Âûðàæàÿ èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà
kï ,
∆P .
ïîëó÷èì îòâåò.
kï = k − ∆P (S − s′ )/∆x. Ïðè
á0ëüøèõ çíà÷åíèÿõ æåñòêîñòè ïðàâîé ïðóæèíêè ðàçíîñòü äàâëåíèé ∆P áóäåò òàêæå âîçìîæÎòâåò: Æåñòêîñòü ïðàâîé ïðóæèíêè äîëæíà áûòü ðàâíà
íà. Ïðè ìåíüøèõ æå çíà÷åíèÿõ æèäêîñòü áóäåò ïðîáóëüêèâàòü ìåæäó êóáèêîì è ïåðåãîðîäêîé òàê, ÷òî òðåáóåìàÿ ðàçíîñòü äàâëåíèé íå óñòàíîâèòñÿ íèêîãäà.
Çàäà÷à 5.
àññìîòðèì ñèëû, äåéñòâóþùèå íà øàðèêè â ïëîñêîñòè âðàùåíèÿ êàðóñåëè (ñèëû, äåéñòâóþùèå â ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñêîñòè ñêîìïåíñèðîâàíû ñèëîé ðåàêöèè îïîðû). Ïðîåêöèÿ
4
èñ. 6:
èñ. 7:
óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ è íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íà äàííóþ ïëîñêîñòü
ïðåäñòàâëåíû íà ðèñóíêå 6 è ðàâíû
g̃ = g sin α,
Ẽ = E sin α.
Ñîîòâåòñòâåííî, íà øàðèêè â ýòîé ïëîñêîñòè äåéñòâóþò ñèëû
mg̃
è
q Ẽ .
Íàïðàâëåíèÿ ýòèõ
ñèë äëÿ äëÿ îäíîãî èç ïîëîæåíèé ñì. íà ðèñóíêå 6. Ïóñòü ñíà÷àëà, äëÿ îïðåäåëåííîñòè,
q Ẽ − mg̃ > 0.
Èññëåäóåì, â êàêîì ïîëîæåíèè êàðóñåëü ìîãëà áû ïîêîèòüñÿ. Ïîíÿòíî, ÷òî ïîëîæåíèå êà-
ðóñåëè íà ðèñóíêå 6 íå ìîæåò áûòü ðàâíîâåñíûì: íåñêîìïåíñèðîâàííûé ìîìåíò ñèë ñòðåìèòñÿ
ïîâåðíóòü êàðóñåëü èç ýòîãî ïîëîæåíèÿ ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. Íåñëîæíî íàðèñîâàòü ïîëîæåíèÿ
êàðóñåëè, ïðè êîòîðîì ìîìåíòû ïîâîðà÷èâàþùèõ åå ñèë îêàæóòñÿ ñêîìïåíñèðîâàííûìè,
(q Ẽ − mg̃)R cos β = (q Ẽ + mg̃)R sin β
⇒ β = arctg
Çäåñü ìû õàðàêòåðèçîâàëè ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ óãëîì
q Ẽ − mg̃
qE − mg
= arctg
.
qE
+ mg
q Ẽ + mg̃
β
(ñì. ðèñ. 7). Òàêèõ ïîëîæåíèé
äâà, îäíî ìû èçîáðàçèëè ñåðûìè øàðèêàìè, äðóãîå ÷åðíûìè. Îäíî ïîëîæåíèå èç äðóãîãî
o
ïîëó÷àåòñÿ ïîâîðîòîì êàðóñåëè íà óãîë 180 . Î÷åâèäíî, åñëè ìîìåíòû ñèë ñêîìïåíñèðîâàíû
â îäíîì èç ýòèõ ïîëîæåíèé, òî è â äðóãîì îíè òîæå ñêîìïåíñèðîâàíû.
Ïîëîæåíèå, èçîáðàæåííîå íà ðèñóíêå 7 ñåðûìè øàðèêàìè, ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì, à ÷åðíûìè íåóñòîé÷èâûì. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè êàðóñåëü ÷óòü ñäâèíóòü èç ýòèõ ïîëîæåíèé, òî
âîçíèêàþùèé ìîìåíò ñèë áóäåò âîçâðàùàòü ñåðûå øàðèêè îáðàòíî, íî åùå áîëüøå óâîäèòü
èç ðàâíîâåñèÿ ÷åðíûå. Çíà÷èò, ïîëîæåíèå ñåðûõ øàðèêîâ õàðàêòåðèçóåòñÿ ìèíèìóìîì ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ñèñòåìû
Πmin ,
à ïîëîæåíèå ÷åðíûõ ìàêñèìóìîì
Πmin .
Áóäåì îòñ÷èòûâàòü ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ îò óðîâíÿ ÎÎ'. Ïðè ýòîì ëåãêî çàìåòèòü,
÷òî
Πmax = −Πmin ,
âåäü è ýëåêòðè÷åñêàÿ è ãðàâèòàöèîííàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ êàæäîãî
øàðèêà ïðîñòî ìåíÿåò çíàê, åñëè êàðóñåëü ïåðåìåñòèòü èç ñåðîãî ïîëîæåíèÿ â ÷åðíîå.
Ââåäåì
z+
è
z−
êîîðäèíàòû âäîëü îñè Z ïîëîæèòåëüíîãî è îòðèöàòåëüíîãî çàðÿäîâ ñî-
îòâåòñòâåííî, îòñ÷èòàííûå îò ëèíèè ÎÎ'.  ïîëîæåíèè óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ
z+ = R cos β ,
z− = −R sin β .
Âûðàçèì òåïåðü ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ øàðèêîâ â ïîëîæåíèè óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ
(îíà æå ìèíèìàëüíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ êàðóñåëè).
Πmin = −mg̃(z+ + z− ) − q Ẽ(z+ − z− ) = −mg̃R(cos β − sin β) − q ẼR(cos β + sin β).
5
Ýòî âûðàæåíèå ìîæíî ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè îðìóëàìè
√
√
2
2
cos β −
sin β) = cos(β + 45o ),
2
2
√
√
2
2
(
cos β +
sin β) = sin(β + 45o ),
2
2
√
√
= −mg̃R 2 cos(β + 45o ) − q ẼR 2 sin(β + 45o ).
(
ïîëó÷èòñÿ
Πmin
Åñëè æå ââåñòè åùå è âñïîìîãàòåëüíûé óãîë
tg γ = (q Ẽ)/(mg̃) = (qE)/(mg),
îðìóëà (7) ñòàíåò åùå êîðî÷å, âåäü ðàçäåëèâ è óìíîæèâ âûðàæåíèå (7) íà
sin γ
äëÿ êîòîðîãî
mg̃
cos γ = q
,
(q Ẽ)2 + (mg̃)2
q Ẽ
,
sin γ = q
(q Ẽ)2 + (mg̃)2
ïðè êàæäîì ñëàãàåìîì îáíàðóæèòñÿ
(7)
èëè
q
(q Ẽ)2 + (mg̃)2 ,
cos γ , äëÿ êîòîðûõ ñíîâà ìîæíî âîñïîëüçîâàòüΠmin = −ǫ, ãäå
ñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêîé îðìóëîé êîñèíóñà ñóììû. Ïîëó÷èòñÿ
√ q
ǫ = R 2 (q Ẽ)2 + (mg̃)2 cos(β + 45o − γ).
Íàïîìíèì, ÷òî
Πmax = −Πmin = ǫ.
Ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ñîõðàíÿåòñÿ. Êîãäà ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòå2
ìû ìèíèìàëüíà, êèíåòè÷åñêàÿ ìàêñèìàëüíà (è èçâåñòíà ïî óñëîâèþ, Kmax = mV ). Àíàëîãè÷íî, êîãäà ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ìàêñèìàëüíà, êèíåòè÷åñêàÿ ìèíèìàëüíà
(îáîçíà÷èì åå
Kmin ).
Èòàê,
Πmax + Kmin = Πmin + Kmax
⇒
2
Kmin = Kmax − (Πmax − Πmin ) = mVmax
− 2ǫ.
Òåïåðü ëåãêî íàéòè ñêîðîñòü øàðèêîâ, ñîîòâåòñòâóþùóþ ýòîé ìèíèìàëüíîé êèíåòè÷åñêîé
ýíåðãèè.
Çàìåòüòå, ÷òî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ íå ìîæåò ñòàòü îòðèöàòåëüíîé. Åñëè
0,
mV 2 − 2ǫ <
êàðóñåëü ïðîñòî íå äîåäåò äî íåóñòîé÷èâîãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ; âìåñòî òîãî, ÷òîáû
ñîâåðøàòü êðóãîîáðàçíîå äâèæåíèå, øàðèêè áóäóò êîëåáàòüñÿ âîêðóã ïîëîæåíèÿ óñòîé÷èâîãî
ðàâíîâåñèÿ, à ìèíèìàëüíàÿ ñêîðîñòü èõ áóäåò íóëåâîé.
Îñòàëîñü ñîîáðàçèòü, ÷òî âñå ïðèâåäåííûå îðìóëû îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè è â ñëó÷àå
q Ẽ − mg̃ < 0.
p
V 2 − 2ǫ/m, ãäå
Îòâåò: Vmin =
p
√
ǫ = R 2 sin α (qE)2 + (mg)2 cos(β + 45o − γ),
Åñëè âûðàæåíèå ïîä êîðíåì â
Vmin
γ = arctg
qE
,
mg
β = arctg
qE − mg
.
qE + mg
ñòàíîâèòñÿ îòðèöàòåëüíûì, ìèíèìàëüíàÿ ñêîðîñòü øà-
ðèêîâ îáðàùàåòñÿ â íîëü.
Çàäà÷à 6.
×åðåç âðåìÿ
t òðåóãîëüíèê âúåäåò â îáëàñòü ñ ìàãíèòíûì ïîëåì íà ðàññòîÿíèå x = ut (ñì.
L = 2x/ cos 30o (âûäåëåíà ñåðûì íà ðèñóíêå);
ðèñ. 8).  ïîëå îêàæåòñÿ ÷àñòü öåïî÷êè äëèíîé
çàðÿä öåïî÷êè, îêàçàâøèéñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå
Q = Lσ = 2xσ/ cos 30o = 2utσ/ cos 30o .
Ñèëû Ëîðåíöà, äåéñòâóþùèå ñî ñòîðîíû ìàãíèòíîãî ïîëÿíà êàæäûé èç äâóõ îòðåçêîâ
öåïî÷êè,
F = (Q/2)Bu
íàïðàâëåíû ïî ïðàâèëó ëåâîé ðóêè, â äàííîì ñëó÷àå íàëåâî îòíî-
ñèòåëüíî ðèñóíêà. Êîìïîíåíòû (ïðîåêöèè) ýòîé ñèëû, ïåðïåíäèêóëÿðíûå îòðåçêàì öåïî÷êè,
êîìïåíñèðóþòñÿ ñèëîé ðåàêöèè òðóáêè, ïîýòìó èõ ìîæíî íå ðàññìàòðèâàòü.
6
Êîìïîíåíòû
F1 è F2 , íàïðàâëåííûå âäîëü öåïî÷êè, ðàçãîíÿ-
þò öåïî÷êó îòíîñèòåëüíî òðóáêè. Ëåãêî íàéòè ýòè êîìïîíåíòû
F1 = F2 = (QBu cos 60o )/2 è ïðè ïîìîùè âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà íàéòè óñêîðåíèå öåïî÷êè âäîëü òðóáêè:
ma = F1 + F2 ,
îòñþäà
√
a = (F1 + F2 )/m = QBu cos 60o /m = 2σBu2 t/( 3m).
Èòàê, óñêîðåíèå öåïî÷êè â òðóáêå ëèíåéíî ðàñòåò ñî âðåìåíåì.
Ñîîòâåòñòâåííî, ñêîðîñòü öåïî÷êè ðàñòåò êâàäðàòè÷íî,
√
2 2
Îòâåò: V (t) = σBu t /( 3m).
7
èñ. 8:
√
V (t) = σBu2 t2 /( 3m).
àéîííûé òóð 2012. 11 êëàññ. II âàðèàíò
Çàäà÷à 1.
 âåðõíåé òî÷êå ãîðêè (íà ðåáðå) ñêîðîñòü øàéáû äîëæíà áûòü íàïðàâëåíà ñòðîãî âäîëü
âåðõíåãî ðåáðà, èíà÷å øàéáà ïîäñêî÷èò. Ýòî, â îáùåì, î÷åâèäíîå óòâåðæäåíèå ëåãêî äîêàçàòü.
Äåéñòâèòåëüíî, ïåðåâàëèâàÿ ÷åðåç ìàëîå çàêðóãëåíèå ñ íåíóëåâîé ñîñòàâëÿþùåé ñêîðîñòè Vy
2
âäîëü îñè Y (ñì. ðèñ. 1), øàéáà áóäåò èìåòü öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå aö = Vy /r, ãäå
r ðàäèóñ çàêðãëåíèÿ. Òàê êàê ïî óñëîâèþ çàêðóãëåíèå íåçíà÷èòåëüíî, r ìàëî, çíà÷èò aö
âåëèêî. Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà â ïðîåêöèè íà âåðòèêàëüíóþ îñü â âåðõíåé òî÷êå òðàåêòîðèè
èìååò ñëåäóþùèé âèä â ïðîåêöèè íà âåðòèêàëüíóþ îñü:
ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ
aö
âåëè÷èíà
N
mg − N = maö ,
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
îáðàòèòñÿ â íîëü, ò.å. øàéáà îòîðâåòñÿ.
Èòàê, â âåðõíåé òî÷êå òðàåêòîðèè ñêîðîñòü øàéáû â ïðîåêöèè íà îñü
Y
äîëæíà áûòü
ðàâíà íóëþ. Íî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â êîíöå ïîäúåìà ïî ñêëîíó äîëæíà îáðàòèòüñÿ â íîëü è
ñêîðîñòü øàéáû â ïðîåêöèè íà îñü
Z,
íàïðàâëåííóþ ââåðõ
âäîëü ñêàòà
(ñì. ðèñ. 2), âåäü,
ïðîõîäÿ çàêðóãëåíèå, øàéáà ïðàêòè÷åñêè íå ìåíÿåò ìîäóëü ñâîåé ñêîðîñòè. Òà êîìïîíåíòà
ñêîðîñòè, êîòîðàÿ ïåðåä ñàìûì çàêðóãëåíèåì (â êîíöå ïîäúåìà) áûëà íàïðàâëåíà âäîëü îñè
Z,
íàâåðõó çàêðóãëåíèÿ îêàçæåòñÿ íàïðàâëåíà óæå âäîëü îñè
Y.
Çíà÷èò, â êîíöå ïîäúåìà ïî
íàêëîííîé ïëîñêîñòè ñêîðîñòü øàéáû íàïðàâëåíà èìåííî âäîëü îñè
 õîäå äàëüíåéøåãî ðåøåíèÿ âåëè÷èíîé
r
X.
ìû áóäåì ïðåíåáðåãàòü.
àññìîòðèì äâèæåíèå øàéáû â ïëîñêîñòè ëåâîãî ñêàòà ãîðêè (ñì. ðèñ. 2, îòìåòèì, ÷òî
ñèëû, ïåðïåíäèêóÿðíûå ýòîé ïëîñêîñòè ñêîìïåíñèðîâàíû íà ïðîòÿæåíèè âñåãî âðåìåíè äâèæåíèÿ â äàííîé ïëîñêîñòè). Êàê îáñóæäàëîñü, â âåðõíåé òî÷êå òðàåêòîðèè Ê ñêîðîñòü øàéáû
íàïðàâëåíà âäîëü ÎÎ'. Òîãäà ïîíÿòíî, ÷òî äâèæåíèå øàéáû ïî ëåâîìó è ïðàâîìó ñêàòàì ñèììåòðè÷íî, à òðàåêòîðèè ÀÊ è Ê èìåþò îäíó îðìó. Õîòÿ îíè è ëåæàò â ðàçíûõ ïëîñêîñòÿõ,
ÀÊ è Ê ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé âåòâè îäèíàêîâûõ ïàðàáîë, ïðè÷åì Ê âåðøèíà îáåèõ ýòèõ
ïàðàáîë è äåëèò ðåáðî ÎÎ' ïîïîëàì.
 ïðîåêöèè íà îñè
X
è
Z,
ëåæàùèå â ïëîñêîñòè ëåâîãî ñêàòà, óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäå-
íèÿ èìååò ïðîåêöèþ ëèøü íà îñü
Z , ýòà ïðîåêöèÿ îòðèöàòåëüíà è ðàâíà ïî ìîäóëþ g̃ = g sin γ .
V0 è α ñîîòâåòñòâåííî. Óðàâíåíèÿ ðàâíîóñêî-
Íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü è èñêîìûé óãîë îáîçíà÷èì
ðåííîãî äâèæåíèÿ äëÿ êîîðäèíàò
X(t) = V0 t sin α,
Z(t) = V0 t cos α − g̃t2 /2,
(1)
Vz (t) = V0 cos α − g̃t.
(2)
à äëÿ ñêîðîñòåé
Vx (t) = V0 sin α,
tk , êîãäà øàéáà ïðîåçæàåò òî÷êó Ê, ïðîåêöèÿ
VZ (tk ) = 0, çíà÷èò âòîðîå óðàâíåíèå (2) äàåò
 ìîìåíò âðåìåíè
ðàâíîé íóëþ,
V0 cos α − g̃tk = 0
Êîîðäèíàòû øàéáû â ýòîò ìîìåíò
⇒
tk =
X(tk ) = a/2, Z(tk ) = 3a
ñêîðîñòè íà
Z
ñòàíîâèñÿ
V0 cos α
.
g̃
(ñì. ðèñ 2), çíà÷èò óðàâíåíèÿ (1)
ïðèíèìàþò â ýòîé òî÷êå âèä
V0 tk cos α − g̃t2k /2 = 3a.
V0 tk sin α = a/2
Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà
tk ,
ïîëó÷èì ñèñòåìó
V02 cos2 α
= 3a.
2g̃
a
V02 sin α cos α
= ,
g̃
2
8
(3)
èñ. 1:
èñ. 2:
Îòñþäà ëåãêî âûðàçèòü
V0
α.
è
Íàïðèìåð, ðàçäåëèì ïî÷ëåííî óðàâíåíèÿ (3) äðóã íà äðóãà:
2 tg α =
1
6
⇒
tg α =
1
.
12
p V0 .
145ag sin γ/24,
È, íàêîíåö, èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ (3) âûðàçèì
Îòâåò: Íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü øàéáû
V0 =
α = arctg (1/12).
óãîë ýòîé ñêîðîñòè ñ ðåáðîì ÀÎ
Çàäà÷à 2.
∆t îáìåíèâàåòñÿ ñ âíåøíèì òåëîì
Cp = 5νR/2 òåïëîåìêîñòü ãàçà ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè (ν êîëè÷åñòâî âåùåñòâà ãàçà), ∆T èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû ãàçà çà äàííûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè
∆t. Îòìåòèì, ÷òî â äàííîì ïðîöåññå òåìïåðàòóðà ãàçà óáûâàåò, òàê ÷òî òåïëî äîëæíî óõîäèòü
Íà èçîáàðå ãàç çà íåáîëüøîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè
òåïëîòîé
∆Q12 = Cp ∆T ,
ãäå
îò ãàçà ê âíåøíåìó òåëó.
Ïðè ïîìîùè óðàâíåíèÿ Êëàéïåðîíà - Ìåíäåëååâà ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî â èçîáàðè÷åñêîì ïðîöåññå
νR∆T = p0 ∆V , ãäå ∆V
èçìåíåíèå îáúåìà ãàçà çà ðàññìîòðåííûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè.
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ èñêîìîé ìîùíîñòè â äàííîì ïðîöåññå
W (t) =
5p0 ∆V
5wp0
∆Q12
=
=−
.
∆t
2∆t
2
(4)
Çäåñü ìû èñïîëüçîâàëè, ÷òî ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ îáúåìà îòðèöàòåëüíà è ðàâíà ïî óñëîâèþ
∆V /∆t = −w.
Ýòîò çàêîí äëÿ ìîùíîñòè òåïëîîáìåíà âûïîëíÿåòñÿ, ïîêà
îáúåì ãàçà íå ñðàâíÿåòñÿ ñ
æóòêà âðåìåíè
V0 ,
òî åñòü åùå â òå÷åíèå ïðîìåèñ. 3:
t1 = 3V0 /w.
∆t ïîCv = 3νR/2
Íà èçîõîðå ãàç çà íåáîëüøîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè
ëó÷àåò îò âíåøíåãî òåëà òåïëîòó
ïîñòîÿííîì îáúåìå,
∆T
∆Q23 = Cv ∆T ,
ãäå
òåïëîåìêîñòü ãàçà ïðè
èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû ãàçà çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè
∆t. Îòìåòèì,
÷òî â äàííîì ïðîöåññå òåìïåðàòóðà ãàçà ðàñòåò.
Ïðè ïîìîùè óðàâíåíèÿ Êëàéïåðîíà - Ìåíäåëååâà ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî â èçîõîðè÷åñêîì
ïðîöåññå
νR∆T = V0 ∆p,
ãäå
∆p
èçìåíåíèå äàâëåíèÿ ãàçà çà ðàññìîòðåííûé ïðîìåæóòîê
âðåìåíè. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ èñêîìîé ìîùíîñòè â äàííîì ïðîöåññå
W (t) =
∆Q23
3V0 ∆p
=
.
∆t
2∆t
9
(5)
èñ. 4:
èñ. 5:
p(t) = p0 +
∆p/∆t = a(t − t1 ).
Ïî óñëîâèþ íà èçîõîðå äàâëåíèå ìåíÿåòñÿ ðàâíîóñêîðåííî, òî åñòü ïî çàêîíó
a(t − t1 )2 /2.
Çíà÷èò, ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ äàâëåíèÿ âåäåò ñåáÿ ëèíåéíî:
Ïîäñòàâèâ ýòó âåëè÷èíó â (5), íàéäåì
W (t) = 3a(t − t1 )V0 /2.
Ýòîò çàêîí äëÿ ìîùíîñòè òåïëîîáìåíà âûïîëíÿåòñÿ, ïîêà äàâëåíèå íå ñðàâíÿåòñÿ ñ 3p0 ,
2
òî åñòü â òå÷åíèå ïðîìåæóòêà âðåìåíè t2 , êîãäà p(t1 + t2 ) = p0 + at2 /2 = 3p0 . Íåñëîæíî
p
âûðàçèòü t2 èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà, t2 = 2 p0 /a.
0 ≤ t ≤ t1 = 3V0 /w ìîùíîñòü ïîëó÷àåìîãî òåïëà
îòðèöàòåëüíà, ïîñòîÿííà è
p
W (t) = −5wp0 /2; çàòåì ïðè t1 ≤ t ≤ t1 + t2 (ãäå t2 = 2 p0 /a) ìîùíîñòü ïîëîæèòåëüíà
ëèíåéíî ðàñòåò ïî çàêîíó 3a(t − t1 )V0 /2. Òðåáóåìûé ãðàèê ïðåäñòàâëåí íà ðèñóíêå 3.
Îòâåò: Ïðè
ðàâíà
è
Çàäà÷à 3.
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ êàæäîãî èçîáðàæåíèÿ íàì äîñòàòî÷íî ïðîâåñòè äâà ïåðåñåêàþùèõñÿ ëó÷à.
Îäèí íåñëîæíî ïðîâåñòè äëÿ ëþáîãî èçîáðàæåíèÿ ýòî ëó÷ ÏÎ, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç öåíòð
ñèñòåìû è íåïðåëîìëÿþùèéñÿ ëèíçàìè (ñì. ðèñ. 4).
Ëó÷, ïàðàëëåëüíûé äëèííîîêóñíîé ëèíçå, ëó÷ ÏÀ, ïîñëå ïðåëîìëåíèÿ â êîðîòêîîêóñíîé íàïðàâëÿåòñÿ â îêóñ
f2 .
Äàëüíåéøóþ åãî òðàåêòîðèþ ñëåäóåò ñòðîèòü, âîñïîëüçîâàâ-
øèñü òåì, ÷òî âñå ïàðàëëåëüíûå äðóã äðóãó ëó÷è ëèíçà ñîáèðàåò â îäíîé òî÷êå îêàëüíîé
ïëîñêîñòè. Ïîñòðîèì âñïîìîãàòåëüíûé ëó÷ ÑÎ, ïàðàëëåëüíûé Àf2 . Ôîêàëüíóþ ïëîñêîñòü
äëèííîîêóñíîé ëèíçû DB îí ïåðåñåêàåò â òî÷êå D. Çíà÷èò è ëó÷ Àf2 ïîñëå äëèííîîêóñíîé ëèíçû ïðîéäåò ÷åðåç D.
Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷åé ÏÎ è ÏÀf2 D äàåò ïîëîæåíèå ïåðâîãî èçîáðàæåíèÿ. Èçîáðàæåíèå
ýòî äåéñòâèòåëüíîå.
Ïðîâåäåì òåïåðü òàêèå æå ïîñòðîåíèÿ äëÿ ëó÷à, êîòîðûé ñíà÷àëà ïðîõîäèò ÷åðåç äëèííîîêóñíóþ ëèíçó, à çàòåì ÷åðåç êîðîòêîîêóñíóþ (ñì. òåïåðü ðèñóíîê 5).
Ëó÷, ïàðàëëåëüíûé êîðîòêîîêóñíîé ëèíçå, ÏÀ íà ðèñ. 5, ïîñëå ïðåëîìëåíèÿ â äëèííîîêóñíîé ëèíçå íàïðàâëÿåòñÿ â îêóñ
f1 .
Äàëüíåéøàÿ åãî òðàåêòîðèÿ ñòðîèòñÿ òàêæå,
êàê â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå. Ñòðîèì âñïîìîãàòåëüíûé ëó÷ ÑÎ, ïàðàëëåëüíûé Àf1 . Ôîêàëü-
10
íóþ ïëîñêîñòü êîðîòêîîêóñíîé ëèíçû DB îí ïåðåñåêàåò â òî÷êå D. Çíà÷èò è ëó÷ Àf1 ïîñëå
êîðîòêîîêóñíîé ëèíçû ïðîéäåò ÷åðåç D.
Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷åé ÏÎ è ÏÀf1 D äàåò ñíîâà òî æå ñàìîå èçîáðàæåíèå, ÷òî è óæå
ðàññìîòðåííîå.
Òåì íå ìåíåå, ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî â ñèñòåìå ñóùåñòâóåò åùå îäíî èçîáðàæåíèå. Îíî ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ ïðîäîëæåíèé ëó÷åé ÎÏ è Àf1 (ñì. òåïåðü ðèñóíîê 5). Èçîáðàæåíèå
ýòî ìíèìîå è åãî ìîæíî íàáëþäàòü íàõîäÿñü â îáëàñòè, ãäå ëó÷è ïðåëîìëåíû äëèííîîêóñíîé ëèíçîé, íî åùå íå ïðåëîìëåíû êîðîòêîîêóñíîé, òî åñòü â ÷åòâåðòè ïðîñòðàíñòâà,
ðàñïîëîæåííîé íèæå è ïðàâåå òî÷êè Î.
Îòâåò: Èìååòñÿ äâà èçîáðàæåíèÿ, ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñ. 5). Âåðõíåå èç äâóõ ýòèõ èçîáðàæåíèé ìíèìîå, à íèæíåå äåéñòâèòåëüíîå.
Çàäà÷à 4.
Îáîçíà÷èì äàâëåíèå â êðàéíèõ îòñåêàõ
P1 ,
à â ñðåäíåì
P2 .
àññìîòðèì âíåøíèå ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ñèñòåìó êóáèê-ñòåðæåíü-ïîðøåíü.
Íàëåâî ñèñòåìó òîëêàåò, âî-ïåðâûõ, ïðàâàÿ ñæàòàÿ ïðóæèíà (ñ ñèëîé kï ∆x), âî-âòîðûõ,
P2 s′ ), â òðåòüèõ, ñèëà äàâëå-
ñèëà äàâëåíèå æèäêîñòè ñðåäíåãî îòñåêà íà êóáèê (âåëè÷èíîé
íèÿ æèäêîñòè ïðàâîãî îòñåêà íà ïîðøåíü (âåëè÷èíîé
P1 S ).
Êðîìå òîãî, åñëè êóáèê êàñàåòñÿ
ïåðåãîðîäêè, íà íåãî ìîæåò äåéñòâîâàòü ñèëà ðåàêöèè ïåðåãîðîäêè, òàêæå íàïðàâëåííàÿ íàëåâî.
Íàïðàâî íà íàøó ñèñòåìó äåéñòâóþò: ëåâàÿ ñæàòàÿ ïðóæèíà (ñ ñèëîé kë ∆x); ñèëà äàâP1 s′ ); ñèëà äàâëåíèÿ æèäêîñòè ñðåäíåãî
ëåíèå æèäêîñòè ëåâîãî îòñåêà íà êóáèê (âåëè÷èíîé
îòñåêà íà ïîðøåíü (âåëè÷èíîé
P2 S ).
Òàêèì îáðàçîì, ñèëû ñêîìïåíñèðîâàíû, êîãäà
N + kï ∆x + P2 s′ + P1 S = kë ∆x + P1 s′ + P2 S.
Âûðàçèì îòñþäà
N
N = (kë − kï )∆x − (P1 − P2 )(S − s′ ).
Çàìåòèì, ÷òî åñëè ñèëà
ðàâíû,
P1 6= P2 .
N > 0,
(6)
êóáèê ïðèæàò ê ïåðåãîðîäêå, è äàâëåíèÿ ìîãóò áûòü íå
Åñëè æå â êàêîé-òî ìîìåíò
N
îáðàùàåòñÿ â íîëü, êóáèê íå âçàèìîäåéñòâóåò
ñ ïåðåãîðîäêîé; ïðè ýòîì âîäà ìîæåò ïðîáóëüêèâàòü ìåæäó êóáèêîì è ïåðåãîðîäêîé, à
äàâëåíèÿ
Êîãäà
P1 è P2 âûðàâíÿþòñÿ.
P1 = P2 , ñîãëàñíî âûðàæåíèþ
(6),
N > 0,
îòâåðñòèå â ïåðåãîðîäêå çàêðûòî. Êîãäà
ýêñïåðèìåíòàòîðû ñòàëè óâåëè÷èâàòü äàâëåíèå â êðàéíèõ îòñåêàõ (P1 ), äàâëåíèå
ëà íå ìåíÿåòñÿ. Ïðè ýòîì âû÷èòàåìîå â ðàçíîñòè (6), ïðîïîðöèîíàëüíîå
(P1 − P2 )
P2
ñíà÷à-
íà÷èíàåò
óâåëè÷èâàòüñÿ, à ñèëà ðåàêöèè êóáèêà î ïåðåãîðîäêó óìåíüøàòüñÿ.  òîò ìîìåíò, êîãäà N
P1 − P2 = (kï − kë )∆x/(S − s′ ), êóáèê îòðûâàåòñÿ, âîäà ïðîáóëü-
îáðàùàåòñÿ â íîëü, ò.å. ïðè
êèâàåò è äàâëåíèÿ â îòñåêàõ âûðàâíèâàþòñÿ.
Òàêèì îáðàçîì, ðàçíîñòü äàâëåíèé
P1 − P2
â îïèñàííîé ñèñòåìå íå ìîæåò ïðåâçîéòè
∆P = (kë − kï )∆x/(S − s′ ).
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âñåãäà ìîæíî äîáèòüñÿ (â äîñòàòî÷íîé ñòåïåíè óâåëè÷èâ äàâëåíèå â êðàéíèõ îòñåêàõ è ïðåêðàòèâ åãî óâåëè÷èâàòü êàê ðàç ïåðåä òåì, êàê íà÷íåòñÿ ïðîáóëüêèâàíèå),
÷òîáû ðàçíîñòü äàâëåíèé îêàçàëàñü ðàâíà èìåííî
Âûðàæàÿ èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà
kë ,
∆P .
ïîëó÷èì îòâåò.
kë = k + ∆P (S − s′ )/∆x. Ïðè
á0ëüøèõ çíà÷åíèÿõ æåñòêîñòè ëåâîé ïðóæèíêè ðàçíîñòü äàâëåíèé ∆P áóäåò òàêæå âîçìîæíà.
Îòâåò: Æåñòêîñòü ëåâîé ïðóæèíêè äîëæíà áûòü ðàâíà
Ïðè ìåíüøèõ æå çíà÷åíèÿõ æèäêîñòü áóäåò ïðîáóëüêèâàòü ìåæäó êóáèêîì è ïåðåãîðîäêîé
òàê, ÷òî òðåáóåìàÿ ðàçíîñòü äàâëåíèé íå óñòàíîâèòñÿ íèêîãäà.
11
èñ. 6:
èñ. 7:
Çàäà÷à 5.
àññìîòðèì ñèëû, äåéñòâóþùèå íà øàðèêè â ïëîñêîñòè âðàùåíèÿ êàðóñåëè (ñèëû, äåéñòâóþùèå â ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñêîñòè ñêîìïåíñèðîâàíû ñèëîé ðåàêöèè îïîðû). Ïðîåêöèÿ
óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ è íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íà äàííóþ ïëîñêîñòü
ïðåäñòàâëåíû íà ðèñóíêå 6 è ðàâíû ïî ìîäóëþ
g̃ = g sin α,
Ẽ = E sin α.
Ñîîòâåòñòâåííî, íà øàðèêè â ýòîé ïëîñêîñòè äåéñòâóþò ñèëû
mg̃
è
q Ẽ .
Íàïðàâëåíèÿ ýòèõ
ñèë äëÿ äëÿ îäíîãî èç ïîëîæåíèé ñì. íà ðèñóíêå 6. Ïóñòü ñíà÷àëà, äëÿ îïðåäåëåííîñòè,
q Ẽ − mg̃ > 0.
Èññëåäóåì, â êàêîì ïîëîæåíèè êàðóñåëü ìîãëà áû ïîêîèòüñÿ. Ïîíÿòíî, ÷òî ïîëîæåíèå
êàðóñåëè íà ðèñóíêå 6 íå ìîæåò áûòü ðàâíîâåñíûì: íåñêîìïåíñèðîâàííûé ìîìåíò ñèë ñòðåìèòñÿ ïîâåðíóòü êàðóñåëü èç ýòîãî ïîëîæåíèÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Íåñëîæíî íàðèñîâàòü
ïîëîæåíèÿ êàðóñåëè, ïðè êîòîðîì ìîìåíòû ïîâîðà÷èâàþùèõ åå ñèë îêàæóòñÿ ñêîìïåíñèðîâàííûìè,
(q Ẽ − mg̃)R cos β = (q Ẽ + mg̃)R sin β
⇒ β = arctg
Çäåñü ìû õàðàêòåðèçîâàëè ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ óãëîì
q Ẽ − mg̃
qE − mg
.
= arctg
qE + mg
q Ẽ + mg̃
β
(ñì. ðèñ. 7). Òàêèõ ïîëîæåíèé
äâà, îäíî ìû èçîáðàçèëè ñåðûìè øàðèêàìè, äðóãîå ÷åðíûìè. Îäíî ïîëîæåíèå èç äðóãîãî
o
ïîëó÷àåòñÿ ïîâîðîòîì êàðóñåëè íà óãîë 180 . Î÷åâèäíî, åñëè ìîìåíòû ñèë ñêîìïåíñèðîâàíû
â îäíîì èç ýòèõ ïîëîæåíèé, òî è â äðóãîì îíè òîæå ñêîìïåíñèðîâàíû.
Ïîëîæåíèå, èçîáðàæåííîå íà ðèñóíêå 7 ñåðûìè øàðèêàìè, ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì, à ÷åðíûìè íåóñòîé÷èâûì. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè êàðóñåëü ÷óòü ñäâèíóòü èç ýòèõ ïîëîæåíèé, òî
âîçíèêàþùèé ìîìåíò ñèë áóäåò âîçâðàùàòü ñåðûå øàðèêè îáðàòíî, íî åùå áîëüøå óâîäèòü
èç ðàâíîâåñèÿ ÷åðíûå. Çíà÷èò, ïîëîæåíèå ñåðûõ øàðèêîâ õàðàêòåðèçóåòñÿ ìèíèìóìîì ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ñèñòåìû
Πmin ,
à ïîëîæåíèå ÷åðíûõ ìàêñèìóìîì
Πmin .
Áóäåì îòñ÷èòûâàòü ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ îò óðîâíÿ ÎÎ'. Ïðè ýòîì ëåãêî çàìåòèòü,
12
÷òî
Πmax = −Πmin ,
âåäü è ýëåêòðè÷åñêàÿ è ãðàâèòàöèîííàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ êàæäîãî
øàðèêà ïðîñòî ìåíÿåò çíàê, åñëè êàðóñåëü ïåðåìåñòèòü èç ñåðîãî ïîëîæåíèÿ â ÷åðíîå.
Ââåäåì
z+
è
z−
êîîðäèíàòû âäîëü îñè Z ïîëîæèòåëüíîãî è îòðèöàòåëüíîãî çàðÿäîâ ñîîò-
âåòñòâåííî, îòñ÷èòàííûå îò ëèíèè ÎÎ'.  ïîëîæåíèè óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ
z− = R cos β .
z+ = −R sin β ,
Âûðàçèì òåïåðü ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ øàðèêîâ â ïîëîæåíèè óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ
(îíà æå ìèíèìàëüíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ êàðóñåëè).
Πmin = −mg̃(z+ + z− ) + q Ẽ(z+ − z− ) = −mg̃R(cos β − sin β) − q ẼR(cos β + sin β).
Ýòî âûðàæåíèå ìîæíî ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè îðìóëàìè
ïîëó÷èòñÿ
Πmin
√
√
2
2
cos β −
sin β) = cos(β + 45o ),
(
2
2
√
√
2
2
(
cos β +
sin β) = sin(β + 45o ),
2
2
√
√
= −mg̃R 2 cos(β + 45o ) − q ẼR 2 sin(β + 45o ).
Åñëè æå ââåñòè åùå è âñïîìîãàòåëüíûé óãîë
q Ẽ
sin γ = q
,
(q Ẽ)2 + (mg̃)2
tg γ = (q Ẽ)/(mg̃) = (qE)/(mg),
sin γ
äëÿ êîòîðîãî
mg̃
cos γ = q
,
(q Ẽ)2 + (mg̃)2
îðìóëà (7) ñòàíåò åùå êîðî÷å, âåäü ðàçäåëèâ è óìíîæèâ âûðàæåíèå (7) íà
ïðè êàæäîì ñëàãàåìîì îáíàðóæèòñÿ
(7)
èëè
q
(q Ẽ)2 + (mg̃)2 ,
cos γ , äëÿ êîòîðûõ ñíîâà ìîæíî âîñïîëüçîâàòüΠmin = −ǫ, ãäå
ñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêîé îðìóëîé êîñèíóñà ñóììû. Ïîëó÷èòñÿ
√ q
ǫ = R 2 (q Ẽ)2 + (mg̃)2 cos(β + 45o − γ).
Íàïîìíèì, ÷òî
Πmax = −Πmin = ǫ.
Ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ñîõðàíÿåòñÿ. Êîãäà ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòå2
ìû ìèíèìàëüíà, êèíåòè÷åñêàÿ ìàêñèìàëüíà (è èçâåñòíà ïî óñëîâèþ, Kmax = mV ). Àíàëîãè÷íî, êîãäà ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ìàêñèìàëüíà, êèíåòè÷åñêàÿ ìèíèìàëüíà
(îáîçíà÷èì åå
Kmin ).
Èòàê,
Πmax + Kmin = Πmin + Kmax
⇒
2
Kmin = Kmax − (Πmax − Πmin ) = mVmax
− 2ǫ.
Òåïåðü ëåãêî íàéòè ñêîðîñòü øàðèêîâ, ñîîòâåòñòâóþùóþ ýòîé ìèíèìàëüíîé êèíåòè÷åñêîé
ýíåðãèè.
Çàìåòüòå, ÷òî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ íå ìîæåò ñòàòü îòðèöàòåëüíîé. Åñëè
0,
mV 2 − 2ǫ <
êàðóñåëü ïðîñòî íå äîåäåò äî íåóñòîé÷èâîãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ; âìåñòî òîãî, ÷òîáû
ñîâåðøàòü êðóãîîáðàçíîå äâèæåíèå, øàðèêè áóäóò êîëåáàòüñÿ âîêðóã ïîëîæåíèÿ óñòîé÷èâîãî
ðàâíîâåñèÿ, à ìèíèìàëüíàÿ ñêîðîñòü èõ áóäåò íóëåâîé.
Îñòàëîñü ñîîáðàçèòü, ÷òî âñå ïðèâåäåííûå îðìóëû îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè è â ñëó÷àå
q Ẽ − mg̃ < 0.
p
Îòâåò: Vmin =
V 2 − 2ǫ/m,
ãäå
p
√
ǫ = R 2 sin α (qE)2 + (mg)2 cos(β + 45o − γ),
13
γ = arctg
qE
,
mg
β = arctg
qE − mg
.
qE + mg
Åñëè âûðàæåíèå ïîä êîðíåì â
Vmin
ñòàíîâèòñÿ îòðèöàòåëüíûì, ìèíèìàëüíàÿ ñêîðîñòü øà-
ðèêîâ îáðàùàåòñÿ â íîëü.
Çàäà÷à 6.
×åðåç âðåìÿ
t òðåóãîëüíèê âúåäåò â îáëàñòü ñ ìàãíèòíûì ïîëåì íà ðàññòîÿíèå x = ut (ñì.
L = 2x/ cos 45o (âûäåëåíà ñåðûì íà ðèñóíêå);
ðèñ. 8).  ïîëå îêàæåòñÿ ÷àñòü öåïî÷êè äëèíîé
çàðÿä öåïî÷êè, îêàçàâøèéñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå
Q = Lσ = 2xσ/ cos 45o = 2utσ/ cos 45o .
Ñèëû Ëîðåíöà, äåéñòâóþùèå ñî ñòîðîíû ìàãíèòíîãî ïîëÿíà
êàæäûé èç äâóõ îòðåçêîâ öåïî÷êè,
F = (Q/2)Bu
íàïðàâëåíû
ïî ïðàâèëó ëåâîé ðóêè, â äàííîì ñëó÷àå íàëåâî îòíîñèòåëüíî
ðèñóíêà. Êîìïîíåíòû (ïðîåêöèè) ýòîé ñèëû, ïåðïåíäèêóëÿðíûå îòðåçêàì öåïî÷êè, êîìïåíñèðóþòñÿ ñèëîé ðåàêöèè òðóáêè,
ïîýòìó èõ ìîæíî íå ðàññìàòðèâàòü.
Êîìïîíåíòû
F1 è F2 , íàïðàâëåííûå âäîëü öåïî÷êè, ðàçãîíÿ-
þò öåïî÷êó îòíîñèòåëüíî òðóáêè. Ëåãêî íàéòè ýòè êîìïîíåíòû
F1 = F2 = (QBu cos 45o )/2 è ïðè ïîìîùè âòîðîãî çàêîíà Íüþèñ. 8:
òîíà íàéòè óñêîðåíèå öåïî÷êè âäîëü òðóáêè:
ma = F1 + F2 ,
îòñþäà
a = (F1 + F2 )/m = QBu cos 45o /m = 2σBu2 t/m.
Èòàê, óñêîðåíèå öåïî÷êè â òðóáêå ëèíåéíî ðàñòåò ñî âðåìåíåì.
Ñîîòâåòñòâåííî, ñêîðîñòü öåïî÷êè ðàñòåò êâàäðàòè÷íî,
2 2
Îòâåò: V (t) = σBu t /m.
14
V (t) = σBu2 t2 /m.