Tema 1.3: Concepto de derivada. Ecuaciones de Cauchy%Riemann

Tema 1.3: Concepto de derivada. Ecuaciones de
Cauchy-Riemann. De…nición y primeras
propiedades de las funciones holomorfas
Facultad de Ciencias Experimentales, Curso 2008-09
E. de Amo
La estructura de cuerpo para C tiene la agradable consecuencia de poder
de…nir la derivada de forma totalmente análoga a la conocida en el caso real.
(Recordemos, por un momento, cómo fué preciso introducir la de…nición de
Stone en el caso de la diferenciabilidad para C
R2 , donde desechábamos el
producto interno y sólo disponíamos de su estructura vectorial.)
De…nición. Sean ; 6= A
función
C, f : A ! C y a 2 A \ A0 . Consideremos la
fa
: Anfag ! C;
f (z) f (a)
; 8z 2 Anfag:
fa (z) : =
z a
Se dice que la función f es derivable en el punto a si fa tiene límite en
a; en cuyo caso, dicho límite será la llamada derivada de f en a, y que
notaremos por
f 0 (a) := lim fa (z) = lim
z!a
z!a
f (z)
z
f (a)
2 C:
a
Cuando una función es derivable en cada punto de un conjunto B A \ A0 ,
se dice que f es derivable en B, y se de…ne f 0 ; la función derivada de f en B;
como
f 0 : B ! C; z ! f 0 (z); 8z 2 B:
Observamos que si A
R y f : A ! R, con a 2 A \ A0 , tenemos ni más
ni menos que esta de…nición extiende a la que ya conocemos del curso de una
variable real. Ahora bien, si A R, pero f : A ! C, tenemos:
Proposición.
i.
ii.
Sean ; =
6 A
R, f : A ! C y a 2 A \ A0 . Son equivalentes:
f es derivable en a:
Re f e Im f son derivables en a:
1
Además, si se veri…ca alguna (y por tanto ambas) de las proposiciones i.
y ii., se tiene la fórmula:
0
0
f 0 (a) = (Re f (a)) + i (Im f (a)) :
La demostración consiste en tomar límites, cuando x ! a; x 2 Anfag, en la
expresión
fa (x) =
f (x)
x
f (a)
Re f (x)
=
a
x
Re f (a)
Im f (x)
+i
a
x
Im f (a)
;
a
y, por la unicidad del límite, se llega a lo deseado.
También se tiene la deseada continuidad de las funciones derivables:
Proposición. Sean ; 6= A C, f : A ! C y a 2 A \ A0 . Si f es derivable en
a; entonces también f será continua en a:
Demostración. Basta con tomar límites, cuando z ! a; z 2 Anfag, en la
expresión
f (z) = f (a) + (z a)fa (z)
para concluir que limz!a f (z) = f (a):
Las primeras propiedades de cálculo relativas a la derivada compleja también
nos resultarán familiares:
Proposición. Sean 2 C, ; =
6 A C, f; g : A ! C y a 2 A\A0 . Supongamos
que f y g son derivables en a. Entonces:
i.
Las constantes son funciones derivables en todo punto con derivada
nula; esto es:
: C ! C; (z) := ; 8z 2 C =) 9
ii.
0
(z) = 0; 8z 2 C:
La función identidad es derivable en todo C con derivada idénticamente 1; es decir:
id : C ! C; id (z) := z; 8z 2 C =) 9id0 (z) = 1; 8z 2 C:
iii.
La suma de funciones derivables es otra función derivable con derivada
dada por la suma de las derivadas correspondientes:
0
(f + g) (a) = f 0 (a) + g 0 (a) :
iv.
El producto de dos funciones derivables es también una función derivable, con derivada dada por la fórmula:
0
(f g) (a) = f 0 (a) g (a) + f (a) g 0 (a) :
2
v.
Para el cociente, si en el denominador es g (a) 6= 0 (luego no se anula
en todo un entorno suyo), entonces se tiene también derivabilidad y,
ahora, la derivada viene dada por:
0
(f =g) (a) =
vi.
f 0 (a) g (a) f (a) g 0 (a)
:
g 2 (a)
Los polinomios y las funciones racionales complejas de variable compleja son dervables en todo su dominio de de…nición.
Demostración. Tal vez merezca la pena entrar en los detalles de v.; las
otras a…rmaciones no reportan mayor complejidad. Sea, por tanto, z 2 Anfag.
Unos cálculos nos dan:
f
g
(z)
=
a
=
f
g
(z)
f
g
(a)
f (z)g(a) f (a)g(a) + f (a)g(a)
=
z a
(z a)g(z)g(a)
f (z) f (a) g(a)
f (a) g(a) g(z)
+
;
z a
g(z)g(a) g(z)g(a)
z a
g(z)f (a)
=
lo que nos permite concluir lo deseado haciendo z ! a. (¿Dónde y cómo hemos
usado aquí, sin decirlo, el carácter local de la derivabilidad?)
Regla de la Cadena. Sean ; =
6 A C, f : A ! C, a 2 A \ A0 , f (A) B
C, g : B ! C, b := f (a) 2 B \ B 0 . Si f es derivable en a y g lo es en b,
entonces también la función g f será derivable en a, con derivada
0
(g f ) (a) = g 0 (b) f 0 (a) :
Demostración. Sean z 2 Anfag y h := g f . Calculamos:
h(z)
z
h(a)
g (f (z))
=
a
z
donde
'(w) :=
g (f (a))
f (z)
=: ' (f (z))
a
z
g(w) g(b)
:::;
w b
0
g (b):::;
f (a)
;
a
[ ]
w 2 Bnfbg
w = b:
Gracias a g, la función ' es continua. Por tanto, si hacemos z ! a en [ ]:
9h0 (a)
=
lim ha (z)
z!a
f (z) f (a)
z a
0
0
= '(b)f (a) = g (b)f (a):
=
lim ' (f (z)) lim
z!a
z!a
0
A continuación profundizaremos en lo esencial de la aportación del concepto
de cuerpo a esta de…nición. Concretamente, vamos a ver cuán restrictiva es la
derivabilidad en C respecto de la diferenciabilidad en R2 . El siguiente resultado,
de prueba obvia (y que, por tanto, omitiremos), nos recuerda cómo se introducía
la diferenciabilidad en los euclídeos:
3
Lema. Sean f : A ! C una función compleja de variable compleja y a 2
A \ A0 . Las a…rmaciones que siguen, son equivalentes:
i.
ii.
f es derivable en a:
9w 2 C : 8" > 0; 9 > 0 : 0 < jz
jf (z)
f (a)
aj < ; z 2 A =)
w(z
a)j
" jz
aj :
El papel que jugaba la diferencial Df (a) en R2 , lo juega ahora w = f 0 (a) en
C; es decir, el papel de la aplicación lineal allí lo juega aquí una muy concreta
(recordemos la identi…cación de C con una parte del conjunto de las matrices
2 2):
Df (a) =
;w =
R-lineal y C-lineal, respectivamente.
Pues bien, esta restricción que, como cabe sospechar, es muy fuerte, da lugar
a las importantísimas ecuaciones de Cauchy-Riemann (o de Euler-D’Alembert,
según quien cuente la historia):
Teorema. Sean A
se de…nen
C, f : A ! C y a 2 A , a = +i . Para cada x+iy 2 A,
u(x; y)
v(x; y)
:
:
= Re f (x + iy)
= Im f (x + iy):
Son equivalentes:
i.
ii.
f es derivable en a:
u y v son diferenciables en ( ; ) y veri…can las ecuaciones
(
@v
@u
@x ( ; ) = @y ( ; )
:
[ ]
@u
@v
@y ( ; ) =
@x ( ; )
Además, caso de ser cierta alguna de las proposiciones anteriores (luego
las dos), se tiene que
f 0 (a)
=
=
@u
@v
( ; )+i
( ; )=
@x
@x
@v
@u
( ; ) i
( ; ):
@y
@y
Las ecuaciones dadas en [ ] son las llamadas ecuaciones de CauchyRiemann.
4
Demostración. Llamemos fb(x; y) := f (z) = f (x + iy); para cada (x; y) 2
R2 .
i. =) ii. Para ver la diferenciabilidad de u y v bastará con probar la de fb.
La derivabilidad de f , según el lema anterior, la podemos expresar así:
A
8" > 0; 9 > 0 : 0 < jz aj < ; z 2 A =)
=) jf (z) f (a) f 0 (a)(z a)j " jz aj :
[ ]
Ahora consideramos la aplicación lineal
T : R2 ! R2 ; T (r; s) :=
c
d
d
c
r
s
donde c := Re f 0 (a) y d := Im f 0 (a). Si reescribimos ahora la condición [ ] con
lenguaje de R2 ,
)
8" > 0; 9 > 0 : 0 < j(x; y) ( ; )j < ; (x; y) 2 A =)
[ 0]
=) fb(x; y) fb( ; ) T [(x; y) ( ; )]
" k(x; y) ( ; )k ;
de donde se sigue que fb es diferenciable en ( ; ), con diferencial dada por
Dfb( ; ) = T . Y, en consecuencia, la condición
@u
@x
@u
@y
@v
@x
@v
@y
( ; )
( ; )
( ; )
( ; )
=
c
d
d
c
establece las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
ii. =) i. La diferenciabilidad de fb es consecuencia de la de u y v. Su
diferencial la construimos del siguiente modo:
Dfb( ; ) (r; s) :=
c
d
d
c
r
s
= (cr
ds; dr + cs) :
Si caminamos en el recorrido inverso a la primera parte ya demostrada, tendremos que [ 0 ] conlleva la derivabilidad de f en a; vía la identi…cación f 0 (a) =
c
d
c + id (c; d)
: Q.E.D.
d c
Con el lenguaje y notación ya introducidos en el enunciado y en la demostración
del teorema anterior, tenemos que:
Corolario. f es derivable en a =
( ; ) y Dfb( ; ) es C-lineal.
+i
si, y sólo si, fb es diferenciable en
A continuación mostramos diversos ejemplos que visualizan lo enormemente
restrictivo de esta de…nición de derivación compleja.
Ejemplo 1. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann no son condición su…ciente
para la derivabilidad.
5
Consideremos la función:
f (z) :=
(
z5
:::;
jzj4
0:::;
z=
6 0
z=0
Sea z = a + ib 6= 0, tendremos
f (x + iy)
x5
=
=
10x3 y 2 + 5xy 4 + i 5x4
10x2 y 3 + y 5
2
(x2 + y 2 )
10x3 y 2 + 5xy 4
5x4 10x2 y 3 + y 5
+i
=: u(x; y) + iv(x; y):
2
2
(x2 + y 2 )
(x2 + y 2 )
x5
Así:
@u
@x
@u
@y
@v
@x
@v
@y
(0; 0) := limh!0 u(h;0) h u(0;0) = limh!0 h = 0
(0; 0) := limk!0 u(0;k) k u(0;0) = 0
(0; 0) := limh!0 v(h;0) h v(0;0) = 0
(0; 0) := limk!0 v(0;k) k v(0;0) = limk!0 k = 0
nos dice que se veri…can las ecuaciones de Cauchy-Riemann para f ; pero, con
h 6= 0:
h4
f (h) f (0)
h5
i
=
=
4
4 =e ;
h
h jhj
jhj
se mani…esta cómo su derivabilidad depende del ángulo en el que nos aproximamos al origen; y, por tanto, f no admite derivada en el origen.
Ejemplo 2.
punto.
Valor absoluto y conjugación no se pueden derivar en ningún
i. Para la conjugación: z = x + iy ! z = x
modo que:
@v
@u
1; @u
0; @x
0;
@x
@y
iy =: u(x; y) + iv(x; y), de
@v
@y
1;
lo que conllevaría a contradicción ( 1 = 1).
p
ii. Para el valor absoluto: z = x + iy ! jzj = x2 + y 2 =: u(x; y) + iv(x; y),
de modo que:
@u
@x
(a; b) =
p a
;
a2 +b2
@u
@y
(a; b) =
p b
;
a2 +b2
@v
@x
0;
luego sólo podría ser derivable en el origen; y, sin embargo,
jhj
Ejemplo 3.
h
j0j
=
jhj
=
h
Derivadas formales
1:::;
1:::;
@
@z
y
h ! 0; h 2 R
:
h ! 0; h 2 R+
@
@z .
6
@v
@y
0;
A veces, la derivabilidad se podrá probar de forma un tanto heterodoxa; por
ejemplo, si consideramos la función
f : C ! C; f (x + iy) := 2xy + i y 2
x2 ;
en vez de razonar sobre su diferenciabilidad (la de fb(x; y) := f (x + iy), propiamente dicha) y ver si veri…ca las ecuaciones de Cauchy-Riemann, podemos hacer
cálculos:
f (x + iy)
=
2xy + i y 2
= i
x2 = i( i)2xy + i y 2
i2xy + y 2
x2
=
x2
2
i (x + iy) ;
de modo que se tiene
f (z) =
iz 2 ; 8z 2 C;
claramente derivable, al ser polinómica.
Ciertamente, dar al azar con una función derivable... ¡es muy complicado!
En efecto, como
z+z z z
f (z) = fb(x; y) = fb
;
2
i2
= g(z; z);
hemos de concluir que las "genuinas" funciones complejas son las que no dependen de z. La trascendencia de este hecho es mucho mayor de lo que, a priori,
podríamos imaginarnos. Si escribimos
f (z) = u(x; y) + iv(x; y) = u
z+z z z
;
2
i2
+ iv
z+z z z
;
2
i2
;
podemos hacer la siguiente derivación formal (siguiendo la regla de la cadena
para la derivación parcial en dos variables):
@f
@z
=
=
=
@u @x
@x @z
1 @u
2 @x
1 @u
2 @x
@u @y
@v @x @v @y
+
+i
@y @z
@x @z
@y @z
1 @u
1 @v
1 @v
+i
i2 @y
2 @x i2 @y
@v
i @v
@u
+
+
;
@y
2 @x @y
+
luego
@f
= 0 , u; v veri…can las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
@z
Observemos que podemos incorporar la derivada formal
natural, al anterior razonamiento: dada
f (x; y) = u(x; y) + iv(x; y);
7
@
@z ;
de una manera
si introducimos el cambio de variable
x=a +b
y =c +d
tenemos
@f
@
@f
@
ad 6= cd
@f
= a @f
@x + c @y
@f
@f
= b @x + d @y
Como para los parámetros no hay más restricciones que ad 6= cd, podemos
hacer
a = b = 1=2; c = d = i=2;
de modo que
= z; = z
y, por tanto,
@f
@
@f
@
=
1
2
=
1
2
@f
@x
@f
@x
i @f
@y
=
1
2
@u
@x
+ i @f
@y
=
1
2
@u
@x
+
@v
@y
+
i
2
@v
@x
@v
@y
+
i
2
@v
@x
En resumen: la derivabilidad de f equivale a que
y en este caso
@u
@v
@f
=
+i ;
f 0 (z) =
@z
@x
@x
de modo que, caso de derivabilidad, se tiene que
f 0 (z) =
@f
@z
@u
@y
+
@u
@y
= 0 (o bien i @f
@x =
@f
@y );
@f
@f
=
:
@z
@x
(Puede volverse a este ejemplo cuando estudiemos los polinomios analíticos al
…nal del tema siguiente.)
Como debemos recordar, en el plano euclídeo no teníamos teoremas de valor
medio (en el sentido estricto que nos ofreció el cálculo en una variable real). Eso
lo mani…esta el siguiente ejemplo:
La función
f : [0; 2 ] ! C; f (t) := cos (t) + i sin (t)
es diferenciable y f (0) = f (2 ). Sin embargo,
f 0 (t) =
sin (t) + i cos (t) 6= 0; 8t 2 [0; 2 ] :
No obstante, sí que dispondremos de resultados que nos permiten augurar
buenas perspectivas:
Teorema. Sea
un dominio de C. Sea f :
! C una función derivable
en : Supongamos que f 0 (z) = 0 en todo punto z de . Entonces f es
constante en :
8
Este resultado es el que va a motivar que estudiemos derivabilidad compleja
sobre abiertos del plano. Algo que, a la postre, nos da el concepto (central en la
variable compleja) de holomorfía de una función compleja de variable compleja.
Por tanto, la hipótesis a 2 A \ A0 , nos resulta insu…ciente, y es preciso la
consideración de entornos de a.
Demostración (del teorema). Sea a 2 y de…namos el conjunto
A := fz 2
: f (z) = f (a)g :
(¡Razona que es no vacío!) Sea b 2 y D(b; r)
: Veamos que D(b; r)
y así, el lema de conexión nos dará que, de hecho, es = A.
Para w 2 D(b; r), sea
' : [0; 1] ! C; ' (t) := f [(1
A,
t) b + tw] ; 8t 2 [0; 1] ;
que está bien de…nida, pues (1 t) b + tw 2 D(b; r)
; para todo t 2 [0; 1].
Aplicando la regla de la cadena, obtenemos la derivabilidad de ' en [0; 1]:
'0 (t) = (w
b) f 0 [(1
t) b + tw] ; 8t 2 [0; 1] ;
pero, entonces se tiene que '0 es idénticamente nula en [0; 1], y podemos aplicarle
el teorema de valor medio a las funciones Re ' e Im ' de modo que concluimos
que son constantes; luego ' es constante.
Por tanto,
f (b) = '(0) = '(1) = f (w)
de donde se sigue que w 2 A. Dada la arbitrariedad de w en D(b; r), será
D(b; r) A. Q.E.D.
De…nición de Holomorfía. Sea f : ! C una función compleja de variable
compleja. Sea a 2 . Se dice que la función f es holomorfa en el punto a
si es derivable en un disco D(a; r), para algún r > 0. Cuando el conjunto
sea abierto, diremos que es holomorfa en
cuando sea derivable (u
holomorfa) en todo punto del abierto . Dado un abierto , notaremos
por H ( ) a la clase de todas las funciones holomorfas en . Cuando
:= C, a los elementos de H (C) se les llama funciones enteras.
Proposición.
La clase H ( ) es un álgebra.
Se observa que si f 2 H ( ) con 0 2
= f ( ), entonces
cuencia, las funciones racionales en son holomorfas en
R( )
1
f
2 H ( ) : En conse; esto es,
H( ):
Caigamos en la cuenta de que no conocemos funciones holomorfas en un abierto
más que las racionales en . Y que no conocemos funciones enteras más allá
de los polinomios. El siguiente tema nos resarcirá de estos dé…cits.
El teorema enunciado y probado más arriba tiene esta lectura en términos
de holomorfía:
9
Teorema. Toda función holomorfa sobre un dominio cuya derivada sea la
función constantemente nula habrá de ser, necesariamente, constante.
Corolario. Sean un dominio de C y f 2 H ( ) : Supongamos que f veri…ca
alguna de las siguientes tres condiciones:
a. Re f es constante.
b. Im f es constante.
c. jf j es constante.
Entonces, f es constante.
Demostración. Pongamos
f (z) = f (x + iy) = u(x; y) + iv(x; y); 8z = x + iy 2 ;
y recordemos que
f 0 (a)
=
=
=
a. Sea a =
@v
@u
( ; )+i
( ; )=
@x
@x
@u
@u
( ; ) i
( ; )=
@x
@y
@v
@v
( ; )+i
( ; ) ; 8a =
@y
@x
+i 2
+ i 2 ; …jo, pero arbitrario. Como u es constante:
f 0 (a) =
@u
( ; )
@x
i
@u
( ; ) = 0;
@y
y el teorema nos da lo deseado.
b. Análogo al anterior.
c. Sea c 2 R tal que
u2 (x; y) + v 2 (x; y) = c:
Podemos suponer c > 0 (pues c = 0 conlleva, trivialmente, a que f
0).
Derivando en la expresión anterior respecto de cada una de las dos variables,
tendremos:
@u
@v
@u
@v
u
+v
= 0;
u
+v
= 0:
@x
@x
@y
@y
Usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, aparece el sistema 2 2 :
)
u ( ; ) @u
v ( ; ) @u
@x ( ; )
@y ( ; ) = 0
@u
u ( ; ) @u
@y ( ; ) + v ( ; ) @x ( ; ) = 0
con determinante c 6= 0. Por tanto, para cada
+i 2 :
@u
@u
( ; )=
( ; ) = 0;
@x
@y
de donde se concluye la prueba.
10
EJERCICIOS PROPUESTOS.
1. Estúdiense la derivabilidad y la holomorfía de la función f compleja de
variable compleja dada en cada uno de los siguientes casos:
(a) f (z) := z(Re z)2 ; para todo complejo z
(b) f (x + iy) := x3 y + i(y 3 + x2 =2); para cualesquiera reales x e y
(c) f (x + iy) :=
x3 +iy 3
x2 +y 2 ;
si x + iy 6= 0; y f (0) := 0
2. Pruébese que existe una función entera f tal que
Re f (x + iy) = x4
6x2 y 2 + y 4
para cualesquiera reales x e y. Pruébese que si se exige la condición
f (0) = 0, entonces la función f es única.
3. Encuéntrese una condición necesaria y su…ciente que deben cumplir las
constantes reales a; b; c, para que exista una función entera f tal que
Re f (x + iy) = ax2 + bxy + cy 2
( )
para cualesquiera reales x e y. Para tales valores de a; b; c, determínense
todas las funciones enteras que veri…quen ( ) :
4. Sea
un dominio del plano complejo y f 2 H ( ). Supongamos que
existen tres constantes reales a; b; c, (bajo la restricción a2 + b2 > 0) tales
que
a Re f (z) + b Im f (z) = c; 8z 2 :
Pruébese que la tal función f es constante.
5. Sea
un abierto del plano complejo y f 2 H ( ). Consideremos el abierto
b := fz 2 C : z 2 g
y sea la función fb(z) := f (z) de…nida sobre b . Pruébese que fb 2 H b .
6. Sea f 2 H ( ) una función holomorfa sobre un dominio del plano complejo. Pruébese que si su imagen está contenida en una recta, entonces f
es constante.
7. Busca una función real v en dos variables reales que sea la parte imaginaria
de una función entera f tal que Re f (x + iy) = ex sin (y) xy; para todo
x + iy del plano. (A v = Im f se le llama conjugada armónica de u = Re f .
¿Es simétrica esta relación?)
8. Búsquese una función real v en dos variables reales que sea la conjugada
armónica de la función u dada por
y
u(x; y) := 3 + x2 y 2
2(x2 + y 2 )
para todo x + iy no nulo del plano.
11
9. No siempre existe la conjugada armónica: ¿Existe alguna elección para
Im f de modo que f 2 H (C), cuando
2
Re f (z) = jzj ; 8z 2 C?
10. Calcúlense las derivadas parciales formales
siguientes casos:
a.
c.
e.
g.
f (z) := z;
2
f (z) := jzj ;
f (z) := jzj ; z 6= 0;
f (z) := Log jzj ; z 6= 0;
@f
@z
y
@f
@z ,
en cada uno de los
b. f (z) := z;
d. f (z) := Re z;
z
f. f (z) := jzj
; z 6= 0;
h. f (z) := Log jzj + iarctg xy ;
Re z > 0:
11. ¿Existe alguna función entera f cuya parte real sea de la forma
u(x; y) := sin x sinh y ?
En caso a…rmativo para la respuesta, calcúlese y exprésese la tal función
en términos de la variable z.
12. Determina las condiciones a veri…car por los parámetros a; b; c 2 C para
la que la función dada por
f (z) = az 2 + bzz + cz 2 ; 8z 2 C
sea entera.
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