ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

Tema nº 10
Acciones Básicas
de Control
Vicente Gómez Garay
Dpto. de Ingeniería de Sistemas y Automática
Este tema forma parte de los apuntes de teoría de la asignatura Automatización de Procesos Industriales,
asignatura de 2º ciclo impartida en la titulación de Ingeniería de Organización en la Escuela Superior de
Ingenieros de Bilbao.
Su objetivo es facilitar las tareas de estudio y aprendizaje a los alumnos, recogiendo en ellos los contenidos
que se encuentran dispersos en la bibliografía sobre los temas tratados y adecuándolos al nivel requerido.
Para confeccionarlos he recurrido a libros y publicaciones electrónicas en Internet, no siendo mi intención
apropiarme de las ideas y contenidos reflejados en ellas, sino únicamente facilitar al estudiante el material que
considero más apropiado y de mayor calidad. Por ello pueden encontrarse fotografías, ejemplos, problemas,
transparencias y textos, que corresponden a otros autores, a los cuales agradezco sinceramente haber puesto su
valioso material a disposición de la comunidad de usuarios de Internet en formato electrónico, o bien haberlo
publicado en forma de libro.
A continuación cito las fuentes más representativas, sin ánimo de ser exhaustivo, no por no desearlo, sino
porque la confección de los apuntes nació como material de estudio de carácter personal y han sido
reconvertidos para su aprovechamiento por parte de los alumnos, no siéndome ahora posible detallar con rigor
todas las fuentes.
Libros:
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Ingeniería Moderna de Control (K. Ogata. Ed Prentice Hall)
Sistemas de Control Automático (B. Kuo. Ed. Prentice-Hall)
Sistemas de Control en Ingeniería (P. H. Lewis y C. Yang. Ed. Prentice Hall)
Modern Control Systems (R. C. Dorf. Ed. Addison-Wesley)
Comportamiento Dinámico de Sistemas (A. Sala; J. Bondía. Ed. UPV)
Instrumentación Industrial (A. Creus. Ed. Marcombo)
Teoría de Control. Diseño Electrónico (S. Gomáriz; D. Biel; J. Matas; M. Reyes. Edicions UPC)
Fundamentals of Industrial Control (Editores C.L.Albert; D.A. Coogan)
Ingeniería de Control (Fraile Mora, Ed. UPM)
Autómatas Programables (J. Ballcells; J.L. Romeral. Ed. Marcombo)
Control de Sistemas Continuos. Problemas Resueltos (A. Barrientos; R. Sanz; F. Matía; E. Gambao.
Ed McGraw-Hill)
Transductores y Acondicionadores de Señal (Fraile Mora. Ed. UPM)
Sensores y Acondicionadores de Señal (R. Payas. Ed. Marcombo)
Ingeniería de Control (W. Bolton, Ed. Marcombo)
Internet
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Empresas, Universidades y Centros de Investigación con departamentos relacionados con el Control
Automático y la Automatización de Procesos
Páginas personales
Diversas Editoriales de Libros Técnicos
Diversos materiales facilitados por los profesores del Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática
de la Escuela Superior de Ingenieros de Bilbao.
TEMA 10
ACCIONES BÁSICAS DE CONTROL
Índice
1.-INTRODUCCIÓN
2.-ACCIONES DE CONTROL
2.1.-CONTROL TODO-NADA (ON-OFF)
2.2.-CONTROL PROPORCIONAL (P)
2.3.-CONTROL PROPORCIONAL INTEGRAL (PI)
2.3.1.-Acción de control integral (I)
2.3.2.-Acción de control proporcional-integral (PI)
2.3.3.-Sintonización de controladores PI
2.4.-CONTROL PROPORCIONAL DERIVATIVO (PD)
2.4.1.-Acción de control derivativa
2.4.2.-Acción de control proporcional-derivativa (PD)
2.4.3.-Sintonización de controladores PD
2.5.-CONTROL PROPORCIONAL INTEGRAL DERIVATIVO (PID)
2.5.1.-Acción de control proporcional integral derivativa (PID)
2.5.2.-Sintonización de controladores PID
2.5.2.1. Estimación en bucle abierto. Método de la pendiente
(Ziegler-Nichols)
3.-CRITERIOS PARA LA SELECCIÓN DE UN CONTROLADOR
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1.-INTRODUCCIÓN
En los inicios de la era industrial, el control de los procesos se llevó a cabo mediante
tanteos basados en la intuición y en la experiencia acumulada. Un caso típico es el
control de acabado de un producto en el horno donde el operario era realmente el
“instrumento de control” que juzgaba la marcha del proceso por el color de la llama, por
el tipo de humo, el tiempo transcurrido y el aspecto del producto y decidía así el
momento de retirar la pieza; en esta decisión influía muchas veces la suerte, de tal modo
que no siempre la pieza se retiraba en las mejores condiciones de fabricación. Más tarde
el mercado empezó a exigir mayor calidad en las piezas fabricadas lo que condujo al
desarrollo de teorías para explicar el funcionamiento del proceso, de las que derivaron
estudios analíticos que a su vez permitieron realizar el control de la mayor parte de las
variables de interés en los procesos.
En la figura se muestra un esquema general del bucle de control realimentado, la
función de transferencia del proceso normalmente incluye, además de su propia
dinámica, los bloques correspondientes a actuadores y/o bloques de amplificación
necesarios para accionarlos.
La mayoría de los controladores automáticos industriales son de tipo electrónico,
hidráulico, neumático o alguna combinación de éstos.
Diagrama de bloques detallado de un sistema de control industrial
Para introducir el tema de los controladores resulta conveniente apoyarse en un ejemplo.
Supongamos una aplicación típica como el calentamiento de agua en un tanque por
medio de una resistencia eléctrica sumergida.
Un sistema de regulación en lazo abierto carece de detector de señal de error e incluso a
veces de controlador. Dada una tensión de alimentación, una temperatura de entrada de
agua, unas condiciones externas y una demanda de agua constante, la temperatura de
salida del agua permanecerá constante. Si cambia cualquiera de estas condiciones, la
temperatura del agua variará.
Vamos a progresar un poco introduciendo un elemento de control manual. El operario
nota la temperatura de salida del agua con la mano y acciona la válvula de vapor para
mantener el agua a la temperatura deseada. Supongamos que en esas condiciones,
3
existiendo una temperatura constante en la salida, se produce un aumento en el caudal
de entrada de agua. Como la válvula de vapor sigue estando en la misma posición, el
equipo no llegará a calentar el mayor caudal de agua fría de entrada, por lo cual la
temperatura de salida disminuirá. Ahora bien, debido a la inercia del proceso, pasará
cierto tiempo hasta que el operario empiece a detectar que el agua está más fría. Cuando
éste note la disminución de temperatura deberá compararla con la temperatura que desea
y calcular mentalmente cuantas vueltas debe darle a la válvula de vapor y en que
sentido, y a continuación realizar la corrección, necesitando para toda esta operación, un
cierto tiempo. También pasa un cierto tiempo hasta que los efectos de la corrección de
la posición de la válvula se notan en la temperatura de salida y son sentidos por el
operador. Sólo entonces es capaz de saber si su primera corrección ha sido escasa o
excesiva. En este punto efectuará una segunda corrección, que al cabo de un tiempo
dará lugar a otro cambio de temperatura. El operador observará los resultados de esta
segunda corrección y realizará otra tercera, y así sucesivamente, constituyendo el lazo
cerrado de control manual.
Es evidente que si el tanque contiene una gran cantidad de agua de tal modo que esa
masa considerable de líquido estabiliza y resiste los cambios que puedan causarse a la
temperatura por variaciones en el caudal de entrada o de salida, en la presión del vapor,
o en la temperatura ambiente, el operario debería estar muy atento y le sería casi
imposible mantener la temperatura de salida del agua en un valor constante.
Se llega así a la necesidad de introducir un dispositivo dentro del lazo con objeto de
automatizar el control. El controlador es el elemento encargado de procesar la señal
de error y generar otra capaz de disminuir su valor para conseguir la máxima
precisión.
Pero el controlador aún tiene más tareas. Cuando se plantea un problema de control, por
lo general se especifican un conjunto de restricciones que debe cumplir el sistema para
considerar que está operando adecuadamente. Estas restricciones están dadas en
términos de estabilidad, velocidad de respuesta y precisión, las tres premisas básicas
del control. Se dice que un sistema está controlado cuando todas ellas se cumplen
satisfactoriamente.
Desafortunadamente suele suceder que cuando se mejora alguna de ellas, una de las dos
restantes o ambas se degradan, por lo que se hace necesario establecer un compromiso
que satisfaga, en la medida de lo posible, las especificaciones funcionales del sistema;
así el controlador debe también garantizar una determinada estabilidad relativa y
una velocidad de respuesta dentro de los márgenes especificados.
El procedimiento mediante el cual el controlador genera la señal de control se denomina
acción de control.
En general, el controlador debe mejorar las prestaciones del sistema, lo que supone:
•
•
•
•
Reducir los efectos de variaciones en los parámetros del sistema.
Reducir los efectos de las perturbaciones.
Reducir el error en estado estacionario.
Mejorar la respuesta transitoria, por ejemplo:
4
→
→
→
Haciendo que el sistema responda más rápido a cambios en la
señal de referencia r(t).
Haciendo que la respuesta del sistema sea menos oscilante.
Haciendo que la respuesta transitoria presente un menor
sobreimpulso.
Dado que la planta Gp(s) así como los elementos de medición de un sistema H(s) son
fijos, es decir, no los podemos alterar para ejecutar nuestra acción de control, sólo nos
queda modificar la manera en que manipulamos las señales dentro del lazo. El estudio
de los controladores (al nivel requerido aquí), se aplica suponiendo una configuración
de sistema de un único lazo (o un sistema que se pueda reducir a esta configuración).
2.-ACCIONES DE CONTROL
La acción de control se refiere a como se emplea la señal de actuación u(t) en los
elementos de control (controlador o regulador) para lograr la corrección de la salida.
En el control manual descrito en el ejemplo, el operador puede hacer las correcciones en
la válvula de vapor de diversas formas:
•
Puede abrir o cerrar instantáneamente la válvula
•
Puede abrir o cerrar la válvula lentamente, a una velocidad constante, mientras
se mantenga la desviación
•
Puede abrir la válvula en mayor grado cuando la desviación es más rápida
•
Puede abrir la válvula un número constante de vueltas, por cada unidad de
desviación
•
Puede combinar varios de los métodos anteriores
De igual forma, en los sistemas industriales se emplea uno o una combinación de los
siguientes tipos de controladores:
1. - Acción de Control todo-nada (ON/OFF)
2. - Acción de Control proporcional (P)
3. - Acción de Control proporcional-integral (PI)
4. - Acción de Control proporcional-derivativo (PD)
5. - Acción de Control proporcional-integral-derivativo (PID)
A continuación se analiza cada uno de ellos.
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2.1.-CONTROL TODO-NADA (ON-OFF)
Este modo de control se caracteriza por tener dos posiciones fijas. Si u(t) es la salida de
control y e(t) la señal de error, su funcionamiento queda descrito tanto por la figura
como por su expresión matemática:
u(t)
u1
+ u1
u (t ) = 
− u1
para e(t ) > 0
e(t)
para e(t ) < 0
-u1
Control todo-nada puro
NOTA: La acción de control todo-nada es de naturaleza no lineal, por lo que los
sistemas a los cuales se aplica esta estrategia no pueden ser analizados mediante el uso
de funciones de transferencia. No obstante su ámbito de utilización está tan extendido
en las aplicaciones industriales que se incluye aquí para su estudio.
El control todo-nada puede ser útil en sistemas donde la oscilación inherente de estos
controladores alrededor de señales de error cero no ocasione problemas ni al elemento
final de control ni al sistema en sí mismo. Supóngase, por ejemplo, que se requiere
posicionar un servosistema mediante el cambio de giro en la rotación de un motor. Si el
error es positivo digamos que el motor debe corregir y girar a toda velocidad en sentido
horario, mientras que para errores negativos corrige y gira de igual manera pero en
sentido antihorario. Las consecuencias para el motor cuando alrededor de e(t) = 0tuviera que girar en un sentido y rápidamente en el contrario porque el error cambió de
signo e(t) = 0+ pueden ser, cuando menos, extremas. Es claro que para una aplicación
como ésta, un control encendido-apagado resulta inadecuado.
En muchas ocasiones es posible minimizar esta oscilación mediante estrategias
adicionales como puede ser el uso de banda muerta o la inclusión de lazos de
histéresis. Para controles encendido-apagado con banda muerta, la acción de control
queda definida según se ve en la figura.
Obsérvese que el control encendido-apagado con banda muerta no actúa cuando la señal
de error se encuentra dentro del rango |e(t) | ≤ bm donde bm es el valor de umbral de la
banda muerta, la cual a su vez determina la exactitud del control. Si la banda muerta es
demasiado estrecha podemos caer nuevamente en el caso de un control todo-nada puro,
lo que provocaría nuevamente la presencia de oscilaciones alrededor de errores cero. Si
la banda muerta es muy amplia entonces se pierde exactitud.
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u(t)
u1
+ u1 para e(t ) > bm

u (t ) =  0
para e(t ) ≤ bm
− u para e(t ) < −b
m
 1
bm
e(t)
-u1
Control todo-nada con banda muerta
Otra variación del control todo-nada es la que introduce un lazo de histéresis en la toma
de decisión. En la figura se ilustra su funcionamiento.
Nótese que sí el error se desplaza de valores positivos a negativos, el lazo de histéresis
conserva la acción de control u(t) aún cuando el error esté por debajo de bm, y sólo
conmuta a cero cuando esté por debajo de -bm. Por otro lado, cuando el error se mueva
de valores negativos a positivos la acción de control seguirá siendo cero cuando el error
se incremente por encima de -bm y sólo conmutará de nuevo cuando alcance y supere
bm.
u1
u (t ) = 
0
para e(t ) > bm
u1
para e(t ) < −bm
e(t)
Control todo-nada con lazo de histéresis
La selección de este tipo de controles depende por lo general de la aplicación a la cual
está destinado. Casi siempre el control por banda muerta se usa en aplicaciones donde
es posible ejecutar acción de control tanto positiva como negativa. Tal sería el caso de
un posicionador por cambio en el sentido de giro de un motor, o un sistema térmico que
cuente con la posibilidad de calentamiento y enfriamiento.
Un caso típico de control todo-nada con un lazo de histéresis es el control automático de
nivel de líquido en sistemas de almacenamiento de agua caseros donde se acciona la
bomba cuando el nivel en el recipiente cae al 50% y se apaga cuando se alcanza cerca
del 100%.
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2.2.-CONTROL PROPORCIONAL (P)
En este tipo de control la relación entre la salida del controlador u(t) y la señal de error
e(t) es:
u (t ) = K p e(t )
o dicho con palabras "la acción de control es proporcional a la señal de error" y la
función de transferencia es por consiguiente, una constante:
U ( s)
= Kp
E (s)
donde Kp se denomina ganancia proporcional.
Cualquiera que sea el mecanismo real y la forma de aplicar la potencia a los
accionamientos, el controlador proporcional es en esencia un amplificador de ganancia
ajustable, ya que existe una relación lineal continua entre el valor de la variable
controlada y la posición del elemento final de control.
Veamos cómo reacciona un sistema al ser excitado por un escalón de amplitud A.
Analizaremos la respuesta en régimen estacionario a entrada escalón, tanto para el
sistema en bucle abierto, como para el sistema en bucle cerrado.
En bucle abierto, a una señal de entrada en escalón de amplitud A, el proceso responde
con una salida:
Y ( s ) = R( s )G ( s ) = A
G ( s)
s
y aplicando el teorema del valor final, la salida en régimen permanente será
yss = lim sY ( s ) = lim sA
s →0
s →0
G ( s)
= A ⋅ G (0)
s
En bucle cerrado, con realimentación unitaria y añadiendo el controlador proporcional,
la respuesta en estado estacionario yss a un escalón es:
yss ( s ) = lim sY ( s ) = lim s
s →0
s →0
K pG ( s )
1 + K pG ( s )
⋅ R( s ) = lim s
s →0
K pG (0)
A K pG ( s )
=
⋅A
s 1 + K pG ( s ) 1 + K pG (0)
Se observa que para valores altos de Kp la salida del sistema prácticamente seguirá a la
señal de referencia, en efecto:
si K pG (0) >> 1 → yss ≈ A
Luego un aumento de la ganancia del controlador permite REDUCIR el error en
estado estacionario. Sin embargo, para poder eliminar el error en estado estacionario es
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necesario que la función de transferencia en lazo abierto contenga algún elemento
integrador (polo en s = 0) y el sistema sea estable, y el controlador proporcional no
añade al sistema ningún elemento integrador, luego el control proporcional NO
PERMITE ELIMINAR el error en régimen estacionario.
Además, la utilización de valores altos de la ganancia para Kp puede provocar:
•
La aparición de saturación en algunos elementos, haciendo que el sistema entre
en régimen no lineal.
•
La inestabilidad del sistema en algunos casos.
En conclusión, si el sistema, debido a su naturaleza, requiere la eliminación de estos
inconvenientes resulta necesario combinar la acción de control proporcional con otras
alternativas.
2.3.-CONTROL PROPORCIONAL-INTEGRAL (PI)
2.3.1.- Acción de control integral (I)
La característica más importante de este tipo de control es que la acción correctora se
efectúa mediante la integral del error: el control integral proporciona una señal que es
función de “la propia historia de la señal de error” (la integral es una operación
acumulativa en el tiempo), permitiendo obtener una señal de control diferente de cero
aunque la señal de error sea cero (cosa que no ocurre en el controlador proporcional,
donde si la señal de error es cero, la acción de control es cero).
En un controlador integral el valor de la salida u(t) resulta:
t
u (t ) = K i ∫ e(t )dt y la función de transferencia correspondiente,
0
U (s) Ki
=
E ( s)
s
Obsérvese como el control integral introduce un polo en el origen en la función de
transferencia en lazo abierto, lo cual ocasiona un incremento de la exactitud del sistema,
permitiendo eliminar el error en estado estacionario ante entrada escalón. En efecto:
1
, donde el valor que toma el coeficiente estático de error de posición es:
ess =
1+ Kp
Ki
G p ( s ) → ∞ y entonces ess → 0
s →0 s
K p = lim GcG p = lim
s →0
Sin embargo, la acción de control integral puede empeorar de un modo substancial la
estabilidad relativa del sistema, aumentando el sobreimpulso de la respuesta transitoria,
y pudiendo llegar a hacer que se vuelva inestable, debido al desplazamiento de los polos
de lazo cerrado hacia la derecha. Por ello puede resultar conveniente que la acción
integral se acompañe de otras acciones de control.
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2.3.2.-Acción de control proporcional-integral (PI)
La acción de control proporcional-integral (PI) genera una señal resultante de la
combinación de la acción proporcional y la integral conjuntamente:
t
t




t
K
1
u (t ) = K p e(t ) + K i ∫ e(t )dt = K p e(t ) + i ∫ e(t )dt  = K p e(t ) + ∫ e(t )dt 
0
Kp 0
Ti 0




donde la constante Ti se denomina tiempo integral y se corresponde con el tiempo
requerido para que la acción integral iguale a la proporcional a error constante.
Normalmente se expresa en minutos y son valores típicos admisibles en un regulador
industrial de 1 a 30 minutos.
La función de transferencia adoptará la forma:
s + ( Ki K p )
 K K 
U ( s)
s + 1 Ti
= K p 1 + i p  = K p
= Kp
E ( s)
s 
s
s

Vemos que la acción PI introduce un par polo-cero ubicados en el origen s = 0 y en s =
-Ki/Kp respectivamente. Si Kp >> Ki, entonces el cero estará muy próximo al origen y la
ganancia del controlador vendrá dada por Kp, por lo que al ser grande, aumenta
considerablemente la ganancia en lazo abierto del sistema, mejorando por consiguiente
la exactitud del sistema, sin modificar de manera importante la velocidad de respuesta
transitoria y la estabilidad del mismo porque el cero y polo están muy cerca y su efecto
tenderá a cancelarse.
2.3.3.-Sintonización de controladores PI
Es evidente que no sirven unos parámetros Kp y Ti cualesquiera para obtener una
respuesta satisfactoria del sistema. Se deben obtener los valores más adecuados para los
parámetros, y estos valores dependerán de las características de la planta. El proceso
mediante el cual se calculan los valores de los parámetros del controlador recibe el
nombre de sintonía.
El método más rudimentario de sintonía es prueba y error, consistente en:
•
•
•
Dar un valor elevado a Ti (por ejemplo 100 minutos) de forma que a efectos
prácticos, el controlador PI se comporte como P.
Ajustar Kp hasta obtener la forma de respuesta deseada, sin tener en cuenta el
ess.
Disminuir poco a poco Ti hasta el mínimo posible, de forma que se anule el ess
pero manteniendo la forma de respuesta deseada. Es decir, debe buscarse el
mínimo valor de Ti que no afecte de forma significativa al coeficiente de
amortiguamiento.
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2.4.-CONTROL PROPORCIONAL DERIVATIVO (PD)
2.4.1.-Acción de control derivativa
La acción de control derivativa genera una señal de control proporcional a la derivada
de la señal de error:
u (t ) = K d
de(t )
dt
Una de las características mas importantes y a la vez peligrosa de la acción derivativa es
su efecto de anticipación:
•
En el lado positivo aparece la acción anticipativa, consistente en producir una
corrección antes de que la señal de error sea excesiva. La derivada del error
permite conocer la tendencia (crecimiento o decrecimiento).
•
En el lado negativo, supongamos que un sistema se encuentra en estado
estacionario, de modo que la entrada r(t) y la salida y(t) son iguales, y que el
error en un determinado instante sea cero. Si repentinamente se presenta una
señal de error que varía rápidamente aunque con amplitud moderada (por
ejemplo ruido), la acción derivativa actuará tan severamente como rápido fuera
el cambio en la señal de error, tratando de eliminar al mismo. Si la constante de
acción derivativa Kd no se calcula adecuadamente, la magnitud de la señal de
control será de tal amplitud que puede llevar a la saturación a alguno de los
elementos integrantes del control e incluso dañarlo. Además y por otra parte, en
la ecuación se hace evidente que si la señal de error tiene un valor constante (por
tanto la derivada del error será cero), el control adoptará una actitud pasiva aún
cuando el error sea diferente de cero, y en esta situación el sistema nunca
alcanzaría el estado estacionario.
Por estas razones, cuando se usa, la acción derivativa siempre se acompaña por la
acción de control proporcional, integral o ambas.
2.4.2.-Acción de control proporcional-derivativa (PD)
Si se combina el efecto de la acción de control proporcional con la derivativa se dice
que se tiene una acción control proporcional derivativa (PD) cuyo comportamiento está
gobernado por la siguiente ecuación:
u (t ) = K p e(t ) + K d

de(t )
K de(t ) 
de(t ) 

= K p e(t ) + d
 = K p e(t ) + Td
dt
K p dt 
dt 


la función de transferencia del controlador será:
U ( s)
= K p (1 + sTd )
E ( s)
11
donde Td es el tiempo derivativo, habitualmente medido en minutos.
Si analizamos la función de transferencia del control PD vemos que introduce un cero
en s = -1/Kd. El cero del control PD por lo general se diseña para ubicarlo sobre un polo
indeseado de lazo abierto y su efecto tiende a modificar considerablemente el
comportamiento del sistema hablando en términos de la estabilidad (reduce el
sobreimpulso), velocidad (la aumenta) y precisión (la aumenta). Sin embargo, cuando la
influencia del controlador es muy grande tiende a ofrecer una respuesta excesivamente
lenta.
A la hora de efectuar un diseño con un control PD hay que decantarse entre dos
prioridades: el cumplimiento de las especificaciones en régimen estacionario o el
cumplimiento de las especificaciones en régimen transitorio.
2.4.3.-Sintonización de controladores PD
La sintonización del un controlador PD es dificultosa y su uso no está muy extendido en
el ámbito industrial, principalmente por que está desaconsejada cuando los procesos se
asemejan a sistemas de primer orden (la mayoría), en presencia de grandes retardos y
cuando la salida está afectada por ruido (situación muy común porque en el entorno
industrial las señales suelen ser de carácter eléctrico). No obstante, el procedimiento
más simple (prueba y error) es el siguiente:
•
Eliminar la acción derivativa (Td=0) y ajustar Kp hasta conseguir la forma de
onda deseada.
•
Aumentar la Kp conseguida e intentar restaurar la respuesta ajustando Td. Repetir
hasta conseguir un valor de Kp tan grande como sea posible.
2.5.-CONTROL PROPORCIONAL INTEGRAL DERIVATIVO (PID)
2.5.1.-Acción de control proporcional integral derivativa (PID)
La acción de control proporcional-integral-derivativa (PID) genera una señal resultado
de la combinación de las tres acciones ya estudiadas.
t


t
de(t )
de(t ) 1
u (t ) = K p e(t ) + K d
+ K i ∫ e(t )dt = K p e(t ) + Td
+ ∫ e(t )dt 
0
dt
dt
Ti 0


y la función de transferencia correspondiente es:

1 
U (s)
= K p 1 + sTd +
E (s)
sTi 

El hecho de que el control PID introduzca dos ceros en la función de transferencia de
lazo abierto tiene como consecuencia que se alteren totalmente las trayectorias que
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siguen las soluciones de la ecuación característica respecto a las que seguían en la
ecuación característica del sistema original. Como por lo general el valor de las
constantes de acción integral Ki y derivativa Kd son pequeñas en comparación con la
constante de acción proporcional Kp, la ubicación de los ceros del control PID se
encuentra sobre el eje real.
La acción de control PID permite eliminar el error en estado estacionario, logrando una
buena estabilidad relativa del sistema de control.
2.5.2.-Sintonización de controladores PID
La sintonía de un algoritmo de control consiste en seleccionar valores adecuados para
sus parámetros. Por tanto, para el caso del controlador PID se trata de calcular los
valores idóneos de sus parámetros (Kp, Ti, Td) de forma que se asegure que el sistema
completo se comporta siguiendo unas especificaciones previamente definidas.
En las primeras aplicaciones de control PID el ajuste se basaba únicamente en la propia
experiencia del operario o simplemente se utilizaban los ajustes del fabricante. En 1942,
Ziegler y Nichols propusieron técnicas empíricas que tuvieron una buena aceptación y
que han servido de base a métodos más recientes.
Los métodos empíricos o experimentales de ajuste de parámetros están especialmente
orientados al mundo industrial, donde existen grandes dificultades para obtener una
descripción analítica de los procesos. Constan fundamentalmente de tres pasos:
•
Paso 1: Estimación de ciertas características de la dinámica del proceso a controlar.
La estimación se puede efectuar en bucle abierto o en bucle cerrado.
•
Paso 2: Cálculo de los parámetros del controlador. Para ello se aplican las fórmulas
de sintonía, que son relaciones empíricas entre los parámetros del controlador
elegido, las características del proceso estimadas en el paso anterior y la respuesta
deseada del sistema.
•
Paso 3: Dado que estos métodos permiten estimar valores aproximados para los
parámetros del controlador, normalmente será necesario un tercer paso (ajuste fino
de los parámetros), mediante observación de la respuesta del sistema en bucle
cerrado.
2.5.2.1. Estimación en bucle abierto. Método de la pendiente (Ziegler-Nichols)
La estimación en bucle abierto se basa en que la mayoría de los procesos industriales
tienen respuesta monótona creciente estable a una entrada escalón. La similitud entre las
respuestas escalón de la mayoría de procesos y la respuesta de un proceso de primer
orden es un argumento válido para aceptar que un modelo de este tipo, aunque simple,
es una buena aproximación a los procesos industriales, generalmente de órdenes muy
superiores. Por tanto, si la respuesta en lazo abierto del sistema es similar a la respuesta
de un sistema de primer orden más un retardo (equivalente a decir que no tiene
13
integradores ni polos complejos conjugados), puede usarse el siguiente método de
sintonización:
•
Aproximar la planta real por otra de primer orden más un retardo. El modelo
elegido tiene tres parámetros (la ganancia en el estado estacionario K, la
constante de tiempo T y el retardo puro L).
Ke − sL
Geq =
sT + 1
siendo L el retardo y T la constante de tiempo del sistema de primer orden
equivalente.
a) Hacer las lecturas correspondientes al 28,3% de la salida (t1) y al 63,2% (t2).
b) Calcular los parámetros del sistema equivalente de primer orden más retardo
aplicando las expresiones empíricas:
K= valor final para entrada escalón unitario
T=1.5(t2-t1)
L=t2-T
•
Aplicar las fórmulas del primer método de Ziegler-Nichols para calcular los
coeficientes del controlador PID:
K p = 1,2
T
L
Ti = 2 L
Td = 0,5 L
•
Realizar un ajuste fino de los parámetros.
3.-CRITERIOS PARA LA SELECCIÓN DE UN CONTROLADOR
La utilización de un controlador en serie con la planta ofrece la capacidad de modificar
la función de transferencia en lazo abierto de manera que puede mejorarse
significativamente el comportamiento del sistema en lazo cerrado. Si el comportamiento
deseado no puede obtenerse utilizando control proporcional, hay diversas alternativas.
La utilización de un controlador PI proporciona un aumento del número de tipo con la
correspondiente mejora de la capacidad de seguimiento en estado estacionario. El
controlador introduce un polo y un cero con el polo localizado en el origen del plano s y
el cero sobre el eje real negativo. La inserción del polo añade una integración en lazo
abierto y la presencia del cero suele ser útil con respecto a formular un comportamiento
transitorio satisfactorio.
Si se introduce un cero dominante en el camino directo, se puede utilizar un controlador
PD para mejorar el comportamiento de un sistema en el sentido de reducir notablemente
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el tiempo de respuesta mientras se mantiene un grado satisfactorio de estabilidad
relativa. Aunque no introduce integradores en el origen, su capacidad para aumentar la
ganancia de lazo puede también permitir un incremento en el valor de un coeficiente
estático de error.
El modelo de función de transferencia de un controlador PD ideal es una función no
causal y los resultados obtenidos mediante simulación utilizando un modelo idealizado
no son realistas porque entran en juego consideraciones de ruido que enturbian el
comportamiento. La utilización de un controlador real exige la adición de al menos un
polo y su colocación debe ser considerada con cuidado para minimizar la amplificación
de señales extrañas.
Un controlador PID tiende a combinar las características del control PI y PD. La parte
integral del controlador incrementa el número de tipo del sistema. Un controlador PID
es a menudo efectivo en una situación en la cual el control PI es suficiente para producir
el comportamiento deseado en estado estacionario pero se busca la mejora adicional de
la respuesta transitoria.
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