Algunos ejercicios resueltos de´Algebra

Algunos ejercicios resueltos de Álgebra
Beatriz Graña Otero
10 de Noviembre de 2008
2
B.G.O.
104.- Sean V y W dos espacios vectoriales, con dim V = 3, dim W = 4. Sean B = {v1 , v2 , v3 } y
B 0 = {w1 , w2 , w3 , w4 } bases de V y W respectivamente. Se define f : V → W por:
f (v1 ) = 2w1 − w2 + w3 + w4 ,
f (v2 ) = w2 − 2w3 + w4 ,
f (v3 ) = 4w1 − w2 + 3w4 .
Hallar las ecuaciones de f , su matriz, y determinar su núcleo e imagen.

2
0
4


 −1 1 −1 

Solución. La matriz de f respecto de las bases B de V y B 0 de W es 
 1 −2 0 


1
1
3
pues las coordenadas de las imágenes de los vectores de B respecto de la base B 0 de W son
f (v1 ) = (2, −1, 1, 1)B 0 , f (v2 ) = (0, 1, −2, 1)B 0 , f (v3 ) = (4, −1, 0, 3)B 0 . Para calcular el núcleo
de f se puede usar la matriz que se acaba de hallar. Ası́
 




0
2
0
4
 
x



 −1 1 −1  
  0 


Ker(f ) = {v ∈ V | f (v) = e} = {(x, y, z)B ∈ V | 
 1 −2 0   y  =  0 } =
 


z
0
1
1
3

2x + 4z =
0
−x + y − z = 0
}=
x − 2y =
0
x + y + 3z = 0
= {(x, y, x)B ∈ V |
2x + 4z =
0
} = h(−2, −1, 1)i
−x + y − z = 0
= {(x, y, x)B ∈ V |
De la imagen se sabe que ha de tener dimensión 2 porque 3 = dim(V ) = dim(ker(f ) +
dim(Im(f )) = 1 + dim(Im(f ), luego Im(f ) = h(2, −1, 1, 1), (0, 1, −2, 1)i que es el mayor
número de columnas de la matriz linealmente independientes.


2 −1 4


111.- Sea T el endomorfismo de R3 cuya matriz en la base B = {e1 , e2 , e3 } es  1
0 3.
−1
2
2
Halla la matriz de T en la base B 0 = {e01 , e02 , e03 }, siendo:
e1 = e01 ,
e2 =
1 0
e ,
2 2
1
e3 = e03 + e01 − e03 .
2
Solución. La matriz dada es la matriz de T respecto de la base canónica C = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
y se trata de calcular la matriz de T respecto de otras bases.
Forma 1.- Se procede como siempre calculando las imágenes de los vectores de la primera
base y buscando sus coordenadas respecto de la base del segundo espacio vectorial. Es decir,
como e01 = (1, 0, 0)C , e02 = (0, 2, 0)C y e03 = (−2, 0, 2)C , las imágenes de estos son



 
2
2 −1 4
1
 



f (e01 ) =  1
0 3  0  =  1  ,
−1 2 2
0 C
−1 C

 


2 −1 4
0
−2

 


f (e02 ) =  1
0 3  2  =  0 
−1 2 2
0 C
4
C
y



 
2 −1 4
−2
4



 
0
f (e2 ) =  1
0 3  0  =  4  .
−1
2
2
2
C
6
C
I.T.I.S. 08-09 USAL
3
Ahora falta calcular las coordenadas de estas imágenes respecto de la nueva base B 0 . Por
tanto, f (e01 ) = (2, 1, −1)C = x0 (1, 0, 0)C + y 0 (0, 2, 0)C + z 0 (2, 0, 2)C = (1, 1/2, −1/2)B 0 y ésta
serı́a la primera columna de la matriz de T respecto de la base B 0 . Haciendo las cuentas
resulta que


1
2 10


MatB 0 ,B 0 (T ) =  1/2 0 2  .
−1/2 2 3
Forma 2.− Se calculan las ecuaciones de cambio de base. Para la matriz de cambio de base,
se necesitan las coordenadas de unos vectores respecto de los otros. Calculemos primero las
de C respecto de B 0 , que son las que da el enunciado. Como e1 = (1, 0, 0)B 0 , e2 = (0, 1/2, 0)B 0


1 0
1


y e3 = (1, 0, 1/2)B 0 , entonces P =  0 1/2
0  y las ecuaciones son
0 0
1/2

1

 0
0
0
1/2
0


 0 
x1
1
x1


 0 
=
0   x2 
 x2  .
1/2
x03 B 0
x3 C
Si se buscan la ecuaciones de B 0 respecto de C, o bien se calcula la inversa de P o bien se
procede de igual modo. Es decir, se hallan las coordenadas de B 0 respecto
de C. Que

 son,
1 0 −2


e01 = (1, 0, 0)C , e02 = (0, 2, 0)C y e03 = (−1, 0, 1), por tanto P −1 =  0 2 0  y las
0 0 2
ecuaciones son


 0 

x1
x1
1 0 −2





 0 2 0   x02  =  x2  .
0
0
Por otro lado, si ahora se quiere

2

1
−1
entonces

2 −1

0
1
−1 2
2
x03
B0
x3
C
calcular la matriz de T respecto de B 0 , como




−1 4
x1
y1




0 3  x2  =  y2  ,
2 2
x3
y3



4
x1
2 −1



3  x2  =  1
0
2
x3 C
−1 2
C

4
1

3  0
2
0
C
 0 

0 −2
x1
1
 0 

2 0   x2  =  0
0 2
x03 B 0
0
 0 
0 −2
y1
 0 
2 0   y2  ,
0 2
y30
B0




x1
y1




sustituyendo  x2  e  y2  . Por tanto
x3 C
y3 C

1

 0
0
0
1/2
0


1
2 −1 4
1


0  1
0 3  0
−1 2 2
0
1/2
 0 
 0 
y1
0 −2
x1
 0 
 0 
2 0   x2  =  y2 
0 2
x03 B 0
y30
B0
. Que quiere decir que M = P M P −1 es la matriz de T respecto de la base B 0 .