Tema 4 : Continuidad y Límite de Funciones

CONTINUIDAD Y LÍMITE
DE FUNCIONES
En el presente tema abordamos el estudio detallado de dos familias importantísimas de funciones reales de variable real. Pretenderemos poner de mani…esto las propiedades clásicas de estas funciones (estructura algebraica del
conjunto de las funciones continuas y del conjunto de las funciones con límite), así como romper ciertos mitos sobre estas funciones (como, por ejemplo,
el de que ”las funciones continuas son aquellas que se pueden dibujar sin
levantar el lápiz del papel”) que, entendemos, poco contribuyen a la correcta
asimilación de dichos conceptos.
Una vez más habrá que hacer especial mención sobre el concepto de límite (ahora para funciones, antes fue para sucesiones) que nos ayudará en el
futuro, sobre todo a la hora de de…nir el concepto de derivada en el próximo
Capítulo.
El presente Capítulo terminará con un estudio de la bondad del concepto
de continuidad sobre las funciones para el cálculo explícito de su imagen
(teoremas del valor intermedio). Ahí sera importante manejar con habilidad
ciertos conjuntos de números reales; a saber: los intervalos. Es por ello que
se caracterizarán como los únicos conjuntos de R que contienen cualquier
segmento que tenga como extremos a puntos del conjunto.
También el concepto de límite para funciones nos exigirá un conocimiento
de ciertas propiedades (llamadas topológicas) del conjunto R. Nos referimos
al concepto de punto de acumulación: él nos permitirá, hablando grosso
modo, conocer el comportamiento de una función en un determinado lugar
... aunque no nos sea posible acceder directamente a él.
Funciones reales de variable real
Clásicamente se ha entendido una ley que relaciona elementos de dos
1
2
conjuntos.
Esta de…nición con la que trabajaron los matemáticos hasta no hace mucho tiempo, nos parece poco concreta y procederemos a establecerla con
mayor rigor.
De…nición.Sean A y B dos conjuntos no vacíos cualesquiera.
El conjunto producto cartesiano de A por B, que se denotará por A £ B,
es
A £ B := f(a; b) tal que a 2 A y b 2 Bg
Se llama correspondencia de A en B a todo subconjunto C de A £ B:
Se llama aplicación de A en B a toda correspondencia C de A en B que
veri…que la siguiente condición:
8a 2 A 9 ! b 2 B = (a; b) 2 C
Se acostumbra a notar las aplicaciones por letras minúsculas f; g; h; ...de
modo que resultan más manejables.
Así, si (a; b) 2 C , con C aplicación de A en B, escribiremos f(a) = b.
Notaremos por F (A; B) al conjunto de todas las aplicaciones de A en B:
Si f es una aplicación de A en B; acostumbraremos a escribir:
f : A ¡! B
=
a ¡! f (a)
8a 2 A
Si f es una aplicación de A en B, al conjunto A lo llamamos dominio
de f .
Llamaremos imagen de A por f, o simplemente imagen de f al conjunto:
fb 2 B = 9 a 2 A : f(a) = bg
De modo abreviado lo notaremos por Dom f e I m f , respectivamente.
A veces también notaremos por f (A) al conjunto imagen.
Tipos de aplicaciones
Inyectivas :,
Con x; y 2 A, x = y ) f (x) = f (y)
Sobreyectivas :, 8y 2 B , 9 x 2 A tal que f (x) = y
Biyectivas :,
8y 2 B , 9 ! x 2 A tal que f (x) = y
3
Funciones.Llamamos función real, ó simplemente función, en A a toda aplicación
f del conjunto A en el conjunto R de los números reales. Si A µ R y f es
una función de…nida en A, hablaremos de f como función real de variable
real. En este caso, el subconjunto de R £R dado por
f(a; f(a)) : a 2 Ag
se llama grafo ó grá…ca de f.
Ejemplos de funciones.1.- La función identidad, que transforma cada número real en sí mismo:
f : R ¡! R
f (x) := x
8x 2 R
2:¡ La función valor absoluto, que será de…nida del siguiente modo:
f (: R ¡! R
x
si x ¸ 0
f (x) :=
¡x si x < 0
Es de observar que la imagen de f es el conjunto de los números reales
no negativos.
Operaciones con funciones.Dadas f; g 2 F (A; B), A y B subconjuntos de números reales, podemos
de…nir las siguientes nuevas funciones mediante operaciones (puntuales):
i) suma de funciones: (f + g) (a) := f (a) + g (a) 8a 2 A
ii) producto de funciones: (fg) (a) := f (a) g (a) 8a 2 A
iii) producto por escalares : (¸f) (a) := ¸f (a) 8a 2 A (con ¸ 2 R ):
iv) composición de aplicaciones : si f 2 F (A; B) y g 2 F (B; C) con
f(A) µ B, llamamos composición de f y g a la nueva función g ± f de A en
C dada por
(g ± f)(a) := g(f (a)); 8a 2 A:
v) función inversa : si f 2 F (A; B) es inyectiva se de…ne por f ¡1 a la
única (ésto se debe probar) función de f (a) en A tal que : f ¡1 ± f (a) = a;
8a 2 A y f ± f ¡1(b) = b; 8b 2 f (A)
4
vi) inversa puntual : si f (a)
à 6=! 0; 8a 2 A; podemos de…nir la nueva
1
1
1
función 2 F (A; B), dada por
(a) :=
; 8a 2 A:
f
f
f(a)
De…nición.Sea f : X ¡! Y es una función real de variable real. Se dice que
está acotada si su imagen f(X) es un conjunto acotado. Además, se llama
supremo, ín…mo, máximo y mínimo de f a los respectivos del conjunto
f (X), si es que existen.
De…nición.Se dice que es creciente si
(¤1 )
x1 < x2 ) f (x1) · f (x2) ; 8x1; x2 2 X:
Si la desigualdad (¤1) es estricta se dice que f es estrictamente creciente.
Análogamente, se dice que es decreciente si
(¤2 )
x1 < x2 ) f (x1) ¸ f (x2) ; 8x1; x2 2 X:
Si la desigualdad (¤2 ) es estricta se dice que f es estrictamente decreciente. Por último, se dice que f es monótona cuando es creciente o
decreciente, y es estrictamente monótona cuando es estrictamente creciente o esctrictamente decreciente.
En temas posteriores dedicaremos algún apartado al estudio de representaciones grá…cas de funciones, para lo que es interesante conocer si presentan
algún tipo de simetrías:
De…nición.- Una función real f de variable real se dice que es par si
f(x) = f (¡x); 8x 2 Domf:
Estas funciones son simétricas respecto del eje Y: Sea la función f(x) = x2
un ejemplo de función par.
Analogamente, una función real f de variable real se dice que es impar si
f(x) = ¡f (¡x); 8x 2 Domf:
Estas funciones son simétricas respecto del origen. Sea la función f (x) =
x3 un ejemplo de función impar.
Funciones conocidas
5
1.- Polinómicas. Se de…nen como sigue:
f : R ! R : f (x) = a0 + a1 x + a2x2 + ¢ ¢ ¢ + anxn ; 8x 2 R :
Son interesantes los casos, n = 0, n = 1 y n = 2, en los que obtenemos
funciones constantes, lineales, y parabólicas, respectivamente.
i) Constantes. Tienen la forma f(x) = k: Grá…camente, son rectas horizontales que cortan el eje Y en el punto (0; k) :
ii) Lineales. Son de la forma f(x) = mx + n, donde m es la pendiente
y n la ordenada en el origen. Son rectas que son crecientes si m > 0 y
decrecientes si m < 0.
iii) Cuadráticas o parabólicas. Se expresan f(x) = ax2 + bx + c. Si a > 0
la función es cóncava, mientras que si a < 0 es convexa.
Simétrica
Ã
! respecto
2
¡b
¡b 4ac ¡ b
de la recta x =
y tiene como vértice el punto
;
:
2a
2a
4a
El dominio de las funciones polinómicas es todo R.
Racionales. Son funciones de la forma
f(x) =
p(x)
; 8x 2 Dom f;
q(x)
donde p y q son funciones polinómicas. El dominio de este tipo de funciones
son todos los reales, excepto aquellos que anulan el denominador, es decir,
Domf = R ¡ fx 2 R : q(x) = 0g :
Irracionales. Estas funciones se de…nen como
f (x) =
q
n
g(x); 8x 2 Domf;
donde g(x) es una función arbitraria. El dominio de las funciones irracionales
coincide con el radicando, si el índice es impar, o con la intersección del
dominio del radicando y R+
0 , si el índice es par.
Exponenciales. Se de…nen:
f : R ! R + : f(x) = a x; 8x 2 R ; con a > 0 y a 6= 1:
El único punto de corte que tienen con los ejes es (0; 1). Son crecientes si
a > 1, en cuyo caso tienen una asíntota horizontal y = 0 por la izquierda, y
decrecientes si a 2 ]0; 1[, caso en el que tienen una asíntota horizontal y = 0
por la derecha. Cabe destacar el caso en el que a = e.
6
Logarítmicas. Se de…nen:
f : R + ! R : f(x) = loga x; 8x 2 R + ; con a > 0 y a 6= 1:
El único punto de corte que tienen con los ejes es (1; 0). Son crecientes si
a > 1 y decrecientes si a 2 ]0; 1[. En ambos casos tienen una asíntota vertical
x = 0. Recordemos que
loga x = y , ay = x;
por de…nición. Como en el caso anterior, cabe destacar el caso en el que
a = e, obteniendo así, el logaritmo neperiano. Además, si a = 10, obtenemos
el logaritmo decimal.
Las funciones exponenciales y logarítmicas de la misma base son simétricas
respecto de la recta y = x, es decir, son funciones inversas respecto de la
composición.
Trigonométricas. Dada una circunferencia de radio unidad centrada
en el origen de coordenadas, sean (x; y) las coordenadas de un punto P de
dicha circunferencia y ® el ángulo formado por el vector de posición de P
y la parte positiva del eje X, medido en sentido contrario a las agujas del
reloj. De…nimos las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y
cosecante, como sigue:
sen® = y
cos ® = x
tg® = yx
cosec ® = 1y
sec ® = x1
cotg ® = xy
El dominio de las funciones seno y coseno son todos los reales. El de las
funciones tangente y secante, todos los reales, excepto en aquellos para los
que el coseno se anula. El de las funciones cotangente y cosecante, todos los
reales, excepto en aquellos para los que el seno se hace cero.
0.1
CONCEPTO DE FUNCIÓN CONTINUA
Partamos de la siguiente situación: sea dada la sucesión
xn := (¡1)n =n; 8n 2 N
0.1. CONCEPTO DE FUNCIÓN CONTINUA
7
(de números reales no nulos y convergente a cero); y sean las siguientes
funciones:
² f : R ! R tal que f(x) := x; 8x 2 R;
² g : R ! R tal que g(x) := 1=x; 8x 2 R+;
² h : R ! R tal que h(x) := x + 1; si x 6= 0 y h(0) := 0;
² j : R ! R tal que j(x) := 1; si x ¸ 0; y j(x) := ¡1; si x < 0:
Estudiando las sucesiones obtenidas a partir de (xn ) al serle aplicadas las
funciones f; g; h y j, observamos que
² Observamos que f(xn ) ! 0; pues f (xn ) = xn , 8n 2 N. Es decir, la
sucesión (f (xn)) es convergente a cero (siendo 0 = f (0))
² El estudio de (g(xn )) no es mucho más complicado: g(xn ) = (¡1)n n,
8n 2 N. Así tenemos dos parciales veri…cando g(x2n ) = 2n ! +1
y g(x2n¡1) = ¡(2n ¡ 1) ! ¡1; es decir, la sucesión (g(xn)) no es
convergente al contener parciales divergentes.
² La sucesión (h(xn )) = (1 + (¡1)n =n) ! 1 (siendo 1 6=h(0)); y
² Finalmente, la sucesión (j (xn )) veri…ca: j(x2n ) ! 1 = j(0) y j(x2n¡1 ) !
1 6= j(0).
Resumiendo lo anterior, tenemos que se dan los siguientes comportamientos:
(a) sucesiones convergentes se transforman en sucesiones convergentes, pudiendo ocurrir que la convergencia sea a la imagen del límite
de la sucesión de partida (como ocurre con la función f ) u otro
punto distinto (como ocurre con la función h).
(b) algunas funciones no llevan sucesiones convergentes en sucesiones
del mismo tipo (casos de g y f); si bien pueden observarse comportamientos que merecen estudiarse. Por ejemplo: si (un) es una
sucesión creciente de términos negativos convergente a 0 y (vn )
una sucesión decreciente de números positivos convergente a 0, se
veri…can los siguientes hechos:
8
² g(un ) = 1=un ! ¡1
² g(vn ) = 1=vn ! +1
² f (un) = ¡1 ! ¡1
² f (vn ) = 1 ! 1:
Es decir, se sospecha un cierto ”buen comportamiento lateral” de algunas
funciones en las proximidades de algunos puntos en los cuales no precisan,
ni tan siquiera, estar de…nidas (caso de g en 0).
Pues, bien, este tema se va a centrar en estudiar todos estos detalles que
hemos destacado. Comenzamos dando el enunciado del concepto central:
De…nición. Sea A un conjunto no vacío de números reales, en símbolos,
y de ahora en adelante, lo notaremos por ; 6= A µ R. Y sean a 2 A
y f una función de…nida en A. Se dice que la función f es continua
en a si para toda sucesión de puntos de A convergente a a se tiene que
la sucesión imagen es convergente a la imagen por f de a. Diremos
que f es continua en A si es continua en a; 8a 2 A. Notaremos
por C(A; R), o C(A) de manera abreviada, al conjunto de todas las
aplicaciones continuas en todo punto de A. En notación usual:
‹‹f es continua en a , 8 (an) 2 A = an ¡! a ) f (an) ¡! f (a)››.
EJEMPLOS:
i) La función identidad i : R ¡! R = i(x) = x, para todo x en R, es
continua en todo R:
ii) Las funciones continuas son continuas en todo R:
Más ejemplos nos los proporciona la siguiente
Proposición.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
El conjunto C(A) es un espacio vectorial.
Si f; g 2 C(A) ) f g (producto de f por g) 2 C(A).
Si f 2 C(A) y f (x) 6= 0; 8x 2 A ) 1=f 2 C(A).
Si f 2 C(A) y g 2 C(B), con f(A) µ B ) g ± f 2 C(A).
El valor absoluto es función continua en todo R .
0.2. LOS INTERVALOS DE NÚMEROS REALES
9
(f) Si f 2 C(A) ) jfj 2 C(A).
(g) Si f 2 C(A) y B µ A ) fjB 2 C(B):
Este resultado nos permite concluir añadiendo algunos ejemplos de funciones continuas, ya conocidas por nosotros en cuanto funciones; concretamente:
a) los polinomios son funciones continuas en todo R; en símbolos: P(R) µ
C(R); y
b) las funciones racionales son continuas en todo su dominio de de…nición;
en símbolos: R(A; R) µ C(A; R):
Vamos a presentar un resultado que nos va a permitir reconocer las funciones continuas con mayor facilidad. Se trata de dar un nuevo criterio
equivalente a la de…nición, que nos facilitará otra herramienta que nos ayude
en nuestro estudio.
Caracterización " ¡ ± de la continuidad. Sean ; 6= A µR , a 2 A y
f 2 F (A;R ): Son equivalentes las siguientes a…rmaciones:
(a) f es continua en a:
(b) 8" > 0 9 ± > 0 / jx ¡ aj < ±; x 2 A ) jf(x) ¡ f(a)j < ":
A continuación nos vamos a detener en analizar la relación existente entre
la continuidad de una función en un punto y la continuidad en dicho punto
de cualquiera de sus extensiones. (Ya hemos visto que si una función es
continua en un punto, cualquier restricción suya de…nida sobre tal punto
seguirá siendo continua).
Carácter local de la continuidad. Sean ; 6= A µ R, a 2 A y f 2
F(A;R ). Dado ± > 0; se de…ne el conjunto B := fx 2 A; jx ¡ aj < ±g.
Equivalen:
(a) f es continua en a.
(b) fjB es continua en a.
0.2
LOS INTERVALOS DE NÚMEROS REALES
Antes de pasar al próximo Tema, puede ser oportuno hacer unos comentarios
sobre intervalos y el concepto de punto de acumulación.
10
(a) Los intervalos de números reales. Serán de crucial importancia para
estudiar ciertas propiedades de las funciones continuas los conjuntos
convexos de R: Un conjunto A de números reales se dice convexo si
8x; y 2 A; x < y;se veri…ca que fz 2 R; x · z · yg µ A:
Por otro lado, sean ® y ¯; ® · ¯; dos números reales. Llamamos intervalo
de números reales a los bien conocidos conjuntos que usualmente escribimos
en las formas [®; ¯]; [®; ¯[; ]®; ¯]; ]®; ¯[; [®; +1[; ]®; +1[, ] ¡1; ¯]; ] ¡1; ¯[
y ] ¡ 1; +1[:= R. Pues bien, se prueba la
Proposición. Si ; 6= A µR , son equivalentes:
(a) A es un conjunto convexo.
(b) A es un intervalo.
0.3
ACUMULACIÓN DE UN CONJUNTO
Los puntos del dominio de de…nición de una función los clasi…caremos
en un primer momento, como dominio de continuidad y puntos de no
continuidad. Desde luego, esta clasi…cación no es satisfactoria desde
el punto de vista del Análisis Matemático. Por lo tanto será necesaria
alguna
De…nición. Sea ; 6= A µ R y sea x 2 R. (Obsérvese que x no tiene por
qué ser un elemento de A). Se dice que x es punto de acumulación de
A, y notaremos x 2 A0 ; si existe una sucesión de elementos de A-fxg
convergente a x. En símbolos:
x 2 A0 :, 9(xn) µ A ¡ fxg ; xn ! x;
y que queda caracterizado por el
Teorema. Sean ; 6= A µR y x 2R . Son equivalentes:
(a) x es un punto de la acumulación de A; y
(b) 8" > 0 es fy 2 R; jx ¡ yj < ") \ (A ¡ fxg)g 6= ;:
Estudiar el conjunto de acumulación para algunos conjuntos de números
reales ayudará a la correcta asimilación de este importante concepto, clave
de la de…nición que está al llegar en el próximo Tema.
0.4. EL LÍMITE FUNCIONAL
0.4
11
EL LÍMITE FUNCIONAL
Comenzamos ya con el concepto, su…cientemente motivado creemos, central
en todo el curso:
De…nición. Sea f una función de…nida en el conjunto A; ; 6= A µ R, y
sea ® 2 A0. Se dice que f tiene límite l en ® si para toda sucesión (xn )
en A ¡ f®g convergente a ® se tiene que la sucesión imagen (f(xn))
converge a l. En símbolos
9 lim f(xn ) = l :, 8(xn ) µ A ¡ f®g ; xn ! ® ) f(xn ) ! l:
Esta de…nición sugiere que podemos presentar una caracterización análoga a la de continuidad:
Caracterización del límite funcional. Sean ; 6= A µR , ® 2 A0 ; l 2R
y f de A en R . Equivalen:
(a) f tiene límite l en ®.
(b) 8" > 0; 9± > 0 tal que 0 < jx ¡ ®j < ±; x 2 A ) jf(x) ¡ lj <
":
A continuación pretendemos estudiar la relación existente entre los conceptos de continuidad y límite funcional, y lo recogemos en la siguiente
Proposición. Sean ; 6= A µR , ® 2 A \ A0 ; l 2R y f de A en R . Son
equivalentes:
(a) f es continua en ®.
(b) f tiene límite l en ® y l = f (®).
Será precisamente esta proposición la que nos motivará las de…niciones
que clasi…can los puntos de no continuidad de A.
Discontinuidades.
(a) Discontinuidades evitables. Sean ; 6= A µ R, ® 2 A \ A0 ; l 2 R y
f de A en R. Se dice que presenta una discontinuidad evitable en ® si
f tiene límite l en ® pero l 6= f(®):
12
Dados ; 6= A µ R y ® 2 A0; se de…nen los conjuntos A® + y A0®¡ como:
A® + := (x 2 A : x > ®);
A®¡ := (x 2 A : x < ®):
El punto ® se dice de la acumulación a la derecha (resp. izquierda), si existe
una sucesión (xn ) en A®+ (resp. en A®¡ ) convergente a ®. (Se observa que
si ® 2 A0 ; ® no tiene por qué ser simultáneamente, de la acumulación a la
derecha y a la izquierda de A.)
(b) Límites laterales y salto …nito. Dada una función f de…nida sobre
un conjunto A no vacío de números reales y dado ® 2 A00+ (resp.
2 A0®+ ) se dice que f tiene límite por la izquierda (resp. derecha) si
existe l¡ 2 R (resp. l+) tal que si (xn) es una sucesión en A® ¡ (resp. en
A®+ ) convergente a ® se veri…ca que f(xn ) ! l¡ (resp. f(xn ) ! l¡):
Sean ; 6= A µ R, ® 2 A \ (A0®+ \ A0®¡ ) y f de A en R una función. Se
dice que f tiene salto …nito en ® si f tiene límites laterales l+ y l¡ en
® pero l+ 6= l¡ :
En la siguiente proposición vamos a estudiar la relación existente entre
los conceptos de límites laterales y límite (en el sentido ordinario).
Proposición. Sean ; 6= A µR , ® 2 A0 ; y f de A en R . Sean l; l+ y
l¡ 2R . Entonces:
(a) Si ® 2
= A0®+ () ® 2 A0®¡ ) se tiene que f tiene límite l¡ por
la izquierda en ® si, y sólo si, f tiene límite l en ®; en cuyo
caso es l¡ = l.
(b) Si ® 2
= A0®¡ () ® 2 A0®+ ) se tiene que f tiene límite l+ por
la derecha en ® si, y sólo si, f tiene límite l en ®; en cuyo
caso es l+ = l.
(c) Si ® 2 A0®+ \ A0®¡ ; se tiene que f tiene límite l en ® si, y
sólo si, f tiene límite l¡ por la izquierda en ® y límite l+ por
la derecha en ® y l¡ = l+; en cuyo caso es l = l¡ = l+.
(c) Discontinuidad de salto in…nito. Sean f una función de…nida en
A, ; 6= A µ R y ® 2 A0 : Se dice que f diverge en ® si para cada
(®n ) µ A ¡ f®g convergente a ®, se tiene que la sucesión (f (®n))
es divergente. Sea S un conjunto no mayorado en R. Y sea f una
función de…nida en S. Se dice que f converge cuando la variable crece
0.5. TEOREMAS DEL VALOR INTERMEDIO PARA FUNCIONES CONTINUAS13
inde…nidamente si para cada (xn ) µ S divergente positivamente, la
sucesión (f(xn )) es convergente. Análogamente, se dice que f diverge
cuando la variable crece inde…nidamente si para cada sucesión (xn ) en
S divergente positivamente se tenga que (f(xn )) diverge. Sean ; 6=
A µ R, ® 2 A0 ; y f de A en R. Se dice que f presenta un salto in…nito
en ® si f diverge a la derecha o la izquierda, cuando tenga sentido, de
®.
0.5
Teoremas del Valor Intermedio para funciones continuas
A continuación entramos en el último Tema de este tercer Capítulo, que
estará dedicado a estudiar las propiedades que le reporta a una función el
hecho de ser continua sobre un buen conjunto de números reales. Son cuatro
los resultados fundamentales que presentaremos:
i) el lema de conservación del signo (si una función es continua en
un punto en el que su imagen es positiva podremos encontrar un entorno de
dicho punto en el que se veri…ca que la imagen de cada punto del entorno es
otro número positivo);
ii) El teorema de los ceros de Bolzano (si una función es continua en
un intervalo en el que en los extremos toma valores de signo opuesto entonces
en el intervalo la función tiene algún cero);
iii) el teorema del valor intermedio (si una función es continua en un
intervalo su imagen será otro intervalo); y
iv) el teorema de compacidad (si una función es continua sobre un
intervalo cerrado y acotado su imagen será otro intervalo cerrado y acotado).
Presentamos sus enunciados precisos junto a unas demostraciones esquemáticas que rápidamente nos hagan saber qué ideas son las que subyacen.
Lema de Conservación del Signo. Sea f una función de…nida sobre un
conjunto A no vacío de números reales. Supongamos que f es continua
en un cierto a 2 A con f (a) 6= 0. Entonces existe ± > 0 tal que si
jx ¡ aj < ±; x 2 A, se tiene: f (x)f(a) > 0.
Su demostración se basa en la idea de garantizar (porque existe) un entorno de f (a), es decir un intervalo abierto que lo contenga, (ahí se motivará
14
tomar " < jf(a)j) de modo que, la continuidad de f en a obligue la tesis del
lema.
Su utilidad fundamental la encontramos para demostrar el
Teorema de los Ceros de Bolzano. Sea f una función continua sobre un
intervalo cerrado y acotado. Supongamos que f toma valores de signo
opuestoen los extremos del intervalo. Entonces f tiene, al menos, un
cero en dicho intervalo;
donde habrá de conjugarse con el Axioma del Supremo, que se aplicará al
conjunto fx 2 [a; b] ; f (x) < 0g (supuesto f (a) < 0 < f (b)) para obtener un
c como supremo de tal conjunto, donde se anule f. Como consecuencia clásica
siempre se enuncia que, todo polinomio de grado impar tiene, al menos, una
raíz real. Pero la aplicación más fuerte que podemos hacer del teorema de
los ceros de Bolzano es el siguiente
Teorema del Valor Intermedio. Si f es una función continua sobre un
intervalo I , entonces f(I) es otro intervalo.
Su demostración es una sencilla aplicación del teorema de los ceros de
Bolzano tras una reducción al absurdo. Es de especial interés hacer hincapié
en destacar que si bien las funciones continuas llevan intervalos en intervalos,
no conservan, en general, las cualidades de estos: por ejemplo, la imagen del
intervalo acotado ]0; 1] por la función f dada por f(x) := 1=x; 8x 2]0; 1] es
la semirrecta (no acotada) [1; +1[. Sólo podemos a…rmar lo que nos dice el
Teorema de Compacidad. Si f es una función continua sobre un intervalo cerrado y acotado, entonces la imagen de f es otro intervalo
cerrado y acotado.
Sólo precisamos la prueba de que la imagen es cerrada y acotada, pues
es intervalo por el teorema anterior, y la clave nos la dará la propiedad de
Bolzano-Weierstrass que nos proporcionará convenientes sucesiones convergentes gracias al ambiente de acotación; la condición de cerrado del conjunto
garantizará que el límite siga estando en el conjunto. Será de destacar cómo
es fundamental que el intervalo de partida sea, simultáneamente, cerrado y
acotado para lograr que también lo sea la imagen. Concretando: las funciones
continuas, en general, no llevan intervalos acotados en intervalos acotados,
ni intervalos cerrados en intervalos cerrados.
0.6. FUNCIONES CONTINUAS E INYECTIVAS
15
En el mismo orden de ideas, vamos a dedicar el resto del Tema al estudio
de los extremos (absolutos) de una función, que muchas veces queda relegado
(injustamente creemos) por la potencia (todo hay que reconocerlo) de los
teoremas del valor medio de las derivadas para el estudio del comportamiento
de funciones.
De…nición. Sean f una función de…nida sobre un conjunto A no vacío de
números reales y a 2 A. Se dice que f alcanza un máximo (absoluto)
en a, con valor f (a), si f(a) ¸ f(x); 8x 2 A. Dualmente, se dice que f
alcanza un mínimo (absoluto) en a, con valor f(a), si f (a) · f (x); 8x 2
A. Diremos que f alcanza extremo (absoluto) en a si f alcanza máximo
o mínimo (absolutos) en a.
Observemos que con esta nueva de…nición podemos reformular el teorema
de compacidad de modo que diga:
² Toda función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza sus
extremos absolutos (máximo y mínimo) en dicho intervalo.
Así, si f 2 C([a; b]), por el teorema de compacidad existirán ® y ¯ reales
tales que f([a; b]) = [®; ¯]. Pero, por la versión de extremos absolutos, existen
x e y en [a; b] tales que ® = f (x) y ¯ = f(y). Es decir: [®; ¯] = [f(x); f (y)].
0.6
Funciones continuas e inyectivas
El Tema lo concluimos con el estudio de las propiedades de las funciones
continuas e inyectivas, y que se pueden resumir en el siguiente enunciado
que será de vital importancia a la hora de deducir propiedades de funciones elemetales y de…nir sus inversas (deduciendo, a su vez, las propiedades
de dichas funciones). El concepto de función (estrictamente) monótona es
adecuado ahora.
Teorema. i. Las funciones continuas e inyectivas son estrictamente monótonas sobre intervalos.
ii. Las funciones monótonas que transforman intervalos en intervalos
son continuas.
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iii. La función inversa (respecto a la composición) de una función estrictamente monótona (que siempre existirá), es monótona en el mismo
sentido.
iv. Las funciones estrictamente monótonas (por ejemplo, continuas e
inyectivas) sobre intervalos tienen inversa continua.