Convergencia uniforme

Capı́tulo 3
Convergencia uniforme
3.1.
Teorema de Stone-Weierstrass
En 1885, el matemático alemán Karl Weierstrass publica en la revista Sitzungsberichte der
Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin el artı́culo Über die analytische Darstellbarkeit sogennanter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen donde
demuestra que toda función continua definida en un intervalo cerrado y acotado de los reales
puede aproximarse uniformemente por polinomios. Posteriormente, en 1937 Marshall Stone extiende este teorema a espacios topológicos compactos Hausdorff y a familias de funciones más
generales que los polinomios.
Comenzaremos enunciando el resultado de Weierstrass demostrándolo por un método constructivo que ocupa los llamados polinomios de Bernstein. Asumiremos familiaridad con los
conceptod más elementales de probabilidad.
Teorema 3.1 (Weierstrass, 1885). Sea f : [0, 1] → R una función continua. Luego existe
una sucesión de polinomios pn : [0, 1] → R tal que
lı́m kpn − f k∞ = 0
n→∞
Demostración. Sea x ∈ [0, 1]. Definamos la variable aleatoria X i por
1 con probabilidad x
Xi =
0 con probabilidad 1 − x.
luego, para cada i ∈ N, si llamamos E[Y ] a la esparanza de una variable alatoria Y , tenemos
E[Xi ] = x
(3.1)
E[(Xi − x)2 ] = E[Xi2 ] − E[Xi ]2 = x − x2 .
(3.2)
y
Definamos
Sn := X1 + X2 + . . . + Xn .
Luego para 0 ≤ q ≤ n tendremos que
n q
P[Sn = q] =
x (1 − x)n−q .
q
57
(3.3)
58
CAPÍTULO 3. CONVERGENCIA UNIFORME
Entonces
E f
Sn
n
n
q n
X
xq (1 − x)n−q .
=
f
q
n
q=0
Por otra parte, como f es uniformemente continua, dado ε > 0 sabemos que existe un δ > 0
tal que |f (x) − f (y)| ≤ ε si |x − y| ≤ δ. Luego
S E f n − f (x) = E f Sn − f (x) n
n
≤ E f Snn − f (x)
S S n
n
˛
˛
˛
˛
≤ E f n − f (x) |˛ Sn ˛
+ E f n − f (x) |˛ Sn ˛
˛ n −x˛<δ
˛ n −x˛≥δ
Sn
< ε + 2M P n − x ≥ δ ,
donde M es una cota para f . Ahora, por la desigualdad de Tchebyschev tenemos que
2
x − x2 1
1 1 1
P Snn − x ≥ δ ≤ 2 E[ Snn − x ] = 2 2 nE[(X1 − x)2 ] =
,
δ
δ n
δ2 n
donde en la última igualdad hemos ocupado (3.1) y (3.2).Tomando el lı́mite cuando n tiende a
∞ concluı́mos que
E f
Sn
n
Como ε es arbitrario, esto concluye la prueba.
− f (x) ≤ ε.
Los polinomios definidos por la expresión (3.3) se llaman polinomios de Bernstein.
Ejercicio. Sea f ∈ C[0, 1] una funcion que es k veces continuamente diferenciable. Imitando
la demostración del teorema de Weierstrass encuentre el mayor valor posible de α tal que
para alguna constante C.
E f
Sn
n
1
− f (x) ≤ C α ,
n
Ahora introduciremos el concepto de álgebra de funciones, necesario para enunciar el teorema de Stone-Weierstrass.
Definición 3.2. Sea X en espacio métrico. Recordemos que C(X) es el conjunto de funciones
reales continuas y acotadas, con la norma del supremo. Además, denotamos C c (X) el conjunto de funciones complejas, continuas y acotadas, con la norma del supremos. Diremos
que A ⊂ C(X) (o Cc (X)) es un álgebras de funciones reales (o complejas) si,
(i) Para todo par de funciones f, g de A, f + g también se encuentra en A.
(ii) Para todo par de funciones f, g de A, f g también se encuentra en A.
(iii) Para toda función f de A y todo α ∈ R (o C), αf también está en A.
Además, ocuparemos las siguientes notaciones
(f ∨ g)(x) := máx{f (x), g(x)}
y
(f ∨ g)(x) := mı́n{f (x), g(x)}
y
f ∨ g :=
que puede ser reescrito por
f ∨ g :=
f + g + |f − g|
2
f + g − |f − g|
.
2
3.1. TEOREMA DE STONE-WEIERSTRASS
59
Ejemplo. Los siguientes son ejemplos de álgebras de funciones definidas en espacios métricos
compactos. Se deja al lector probar las condiciones de álgebra para cada uno de los conjuntos
que se definirán.
(a) Sea X = [0, 1] con la métrica usual, y consideremos el espacio de las funciones reales
continuas C[0, 1]. En ella podemos considerar el álgebra de funciones
A = {p(x) ∈ C[0, 1] : p(x) es un polinomio}
(b) Si X = S1 , el cı́rculo unitario en R2 , y el espacio de las funciones complejas continuas
sobre S1 , Cc (S1 ). El siguiente subconjunto de Cc (S1 ) es un álgebra
A = {f (x) ∈ Cc (S1 ) : f (x) combinaciones lineales de las funciones e 2πikx , k ∈ Z}
Lema 3.3. Sea X un espacio métrico. Sea A ⊂ C(X) un álgebra de funciones reales. Luego A
es un álgebra real.
Demostración. Sean f, g ∈ A, luego existen {fn }, {gn } ⊂ A que convergen uniformemente a
f y g, respectivamente. Probemos en tres pasos que A es un álgebra: sea ε > 0
(i) Para probar que f + g ∈ A consideremos
k(fn + gn ) − (f + g)k∞ ≤ kfn − f k∞ + kgn − gk∞ < ε
si n es suficientemente grande, por lo tanto f + g ∈ A.
(ii) Sea λ ∈ R, luego
kλf − λfn k∞ = |λ|kf − fn k∞ < ε
para n muy grande, luego λf ∈ A.
(iii) Finalmente,
kfn gn − f gk∞ = kfn gn + f gn − f gn − f gk∞
≤ k(fn − f )gn k∞ + kf (gn − g)k∞
≤ kfn − f k∞ kgn k∞ + kf k∞ kgn − gk∞
pero kgn k∞ ≤ kg − gn k∞ + kgk∞ , luego
kfn gn − f gk∞ ≤ kfn − f k∞ kgn − gk∞ + kfn − f k∞ kgk∞ + kf k∞ kgn − gk∞
que tiende a cero cuando n → ∞. Por lo tanto, f · g ∈ A.
Luego podemos concluir que A es un álgebra.
Lema 3.4. Sea A un álgebra de funciones reales continuas, sobre un espacio métrico X. Si
f ∈ A, luego |f | ∈ A.
60
CAPÍTULO 3. CONVERGENCIA UNIFORME
Demostración. Sea M una cota dde la función f . Notemos que por un simple cambio dde
variable, el teorema de Weierstrass sigue siendo válido para funciones continuas en el intervalo
[−M, M ]. Luego existe una sucesión de polinómios {p n },
pn (x) =
mn
X
ak,n xk
k=0
pra x ∈ [−M, M ], que converge uniformemente al valor absoluto |x|. Entonces necesariamente
lı́mn→∞ a0,n = 0. Si definimos qn = pn − a0,n tenemos que
sup |qn (x) − |x|| ≤ sup |pn (x) − |x|| + |a0,n |
x∈X
x∈X
y que por lo tanto tiende a cero cuando n tiende al infinito. Luego, {q n } es una sucesión de
polinómios sin término libre que converge uniformemente al valor absoluto. Podemos concluı́r
que si f ∈ A entonces la sucesión {qn (f )} en A converge uniformemente a |f | ∈ C(X).
Definición 3.5. Sea X un espacio métrico y A ⊂ C(X) (o C c (X)) un álgebra de funciones
continua. Diremos que A es un álgebra que separa puntos en X, si para todo x, y ∈ X,
x 6= y, existe una función f ∈ A tal que f (x) 6= f (y). Diremos que A es un álgebra nunca
nula si para todo x ∈ X, existe una función f ∈ A tal que f (x) 6= 0.
Lema 3.6. Sea X un espacio métrico y A ⊂ C(X) un álgebra que separa puntos y nunca
se anula. Luego si x, y ∈ X, x 6= y, y a, b ∈ R entonces existe una función h xy ∈ A tal que
hxy (x) = a y hxy (y) = b.
Demostración. Sean x, y ∈ X, x 6= y, luego existe f1 ∈ A tal que f1 (x) 6= f1 (y). Además
existen f2 , f3 ∈ A tales que f2 (x) 6= 0 y f3 (y) 6= 0. Luego tenemos los siguientes casos:
Caso 1. Si f1 (x) = 0, luego existen α, β ∈ R tales que el sistema
αf1 (x) + βf2 (x) = a
αf1 (y) + βf2 (y) = b
es consistente ya que f1 (y)f2 (x) 6= 0. Luego elegimos hxy = αf1 + βf2 .
Caso 2. Si f1 (y) = 0, luego existen α, β ∈ R tales que el sistema
αf1 (x) + βf3 (x) = a
αf1 (y) + βf3 (y) = b
es consistente ya que f1 (x)f3 (y) 6= 0. Luego elegimos hxy = αf1 + βf3 .
Caso 3. Finalmente, si f1 (x) 6= 0 y f1 (y) 6= 0, entonces existen α, β ∈ R tales que el sistema
αf1 (x) + βf1 (x)2 = a
αf1 (y) + βf1 (y)2 = b
es consistente ya que
f1 (x)f1 (y)2 − f1 (y)f1 (x)2 = f1 (x)f1 (y)(f1 (y) − f1 (x)) 6= 0
y elegimos hxy = αf1 + βf12 .
61
3.1. TEOREMA DE STONE-WEIERSTRASS
Teorema 3.7 (Stone-Weierstrass caso real). Sea X un espacio métrico compacto. Sea
A ⊂ C(X) un álgebra de funciones. Supongamos que A es un álgebra que separa puntos. Luego
alguna de las siguientes situaciones ocurre.
(i) Si A es nunca nula entonces
A = C(X).
(ii) Si A no es nunca nula, entonces existe un punto p ∈ X que es único tal que
A = {f ∈ C(X) : f (p) = 0}.
Demostración. Primero comenzaremos suponiendo que A es un álgebra nunca nula. Sea
f ∈ C(X) y ε > 0, bastará probar la existencia de g ∈ A tal que
kf − gk∞ < ε
Sean u, v ∈ X. Si u 6= v, por el Lema 3.6 existe h uv ∈ A con
huv (u) = f (u)
y
huv (v) = f (v)
En el caso que u = v podemos definir
huu (x) =
f (u)
· h(x)
h(u)
f (u)
donde h ∈ A, con h(u) 6= 0. Es importante hacer notar que para cada u ∈ X, fijo, h(u)
∈ R.
Luego huu como función de x es un elemento de A. Sea ε > 0. Definamos los siguientes conjuntos
de X
Vuv = {x ∈ X : huv (x) < f (x) + ε}
que son abiertos dada la continuidad de h uv y f . Luego, para cada u fijo, la familia de conjuntos
{Vuv : v ∈ X} resulta ser un cubrimiento por abiertos de X. Por la compacidad de X existen
v1 , v2 , . . . , vn tales que
X = Vuv1 ∪ Vuv2 ∪ · · · ∪ Vuvn
Entonces, para cada u ∈ X existe
gu (x) = (huv1 ∧ huv2 ∧ . . . ∧ huvn ) (x)
que es una función en A satisfaciendo g u (x) < f (x) + ε, para todo x ∈ X. Ahora, para cada
u ∈ X, definamos los conjuntos
Wu = {x ∈ X : gu (x) > f (x) − ε}
y nuevamente tendremos que los Wu son abiertos y forman un cubrimiento por abiertos de X.
Entonces existen u1 , u2 , . . . , um tales que
X = W u1 ∪ W u2 ∪ · · · ∪ W um
y definamos, finalmente,
g(x) = (gu1 ∨ gu1 ∨ . . . ∨ gum ) (x)
62
CAPÍTULO 3. CONVERGENCIA UNIFORME
que está en A y cumple
f (x) − ε < g(x) < f (x) + ε, para todo x ∈ X
=⇒
kf − gk ∞ < ε
Por lo tanto, si A es un álgebra nunca nula tendremos que A = C(X).
Si suponemos que A no es un álgebra nunca nula, luego existe p ∈ X tal que h(p) = 0 para
todo h ∈ A. Como A separa puntos p es único. Definamos la coleción de funciones de C(X)
B = {f ∈ C(X) : f = h + c, h ∈ A, c ∈ R}.
Claramente B es un álgebra de funciones reales en C(X) que separa puntos y nunca nula.
Luego, por la parte (i) del teorema tendremos que B = C(X). Sean f ∈ C(X), con f (p) = 0,
y ε > 0, luego existe un elemento en B, sea éste h + c, tal que
kf − (h + c)k∞ <
ε
2
=⇒
|c| = |f (p) − (h(p) + c)| <
ε
2
entonces
kf − hk∞ ≤ kf − (h + c)k∞ + kck∞ < ε
de donde se concluye la parte (ii) del teorema.
Ejemplo. El siguiente ejemplo muestra que no es suficiente tener un álgebra A nunca nula y
que separa puntos en un espacio de funciones complejas continuas C c (X), para poder aproximar
toda f de Cc (X) por un elemento de A. Consideremos el espacio métrico
X = {z ∈ C : |z| = 1}
con la métrica de subespacio inducida por C. Además, sea el álgebra de funciones
A = {p(z) ∈ Cc (X) : p(z) es un polinomio en z}.
Luego A es un álgebra que separa puntos y es nunca nula ya que contiene a las funciones
h1 (z) = z y h2 (z) = 1. Consideremos la función compleja f (z) = z (el conjugado de z) que
está en Cc (X).
Sea h ∈ A, entonces
|f (z) − h(z)| = |z − h(z)| = |z||z − h(z)| = |1 − zh(z)|
luego, por el principio del módulo máximo tendremos que
kf (z) − h(z)k∞ = sup |1 − zh(z)| ≥ |1 − 0 · h(0)| = 0
z∈X
lo que muestra la insuficiencia del álgebra A en el caso complejo.
Esto nos lleva a la siguiente definición.
Definición 3.8. Sea X un espacio métrico y A un algebra de funciones complejas en C c (X).
Decimos que A es autoadjunta si para toda f ∈ A se tiene que f ∈ A.
Teorema 3.9 (Stone-Weierstrass caso complejo). Sea X un espacio métrico compacto y
sea A ⊂ Cc (X) un álgebra de funciones complejas, que separa puntos y es autoadjunta. Luego
alguna de las siguientes situaciones ocurre.
63
3.1. TEOREMA DE STONE-WEIERSTRASS
(i) Si A es nunca nula entonce
A = Cc (X).
(ii) Si A no es nunca nula existe un punto p ∈ X que es único tal que
A = {f ∈ Cc (X) : f (p) = 0}.
Demostración. Definamos
Ar = {h ∈ A : h(X) ⊂ R}
Este conjunto es claramente no vacı́o ya que A es un álgebra autoadjunta, luego, para toda
h ∈ A, tendremos
h−h
h+h
∈ Ar
y
Im h =
∈ Ar
Re h =
2
2i
Sean x 6= y, entonces existe h ∈ Ar tal que h(x) 6= h(y) luego,
Re h(x) 6= Re h(y)
o
Im h(x) 6= Im h(y)
de donde se tiene que Ar es un álgebra real que separa puntos.
Primero supondremos que A es nunca nula, luego A r es un álgebra real nunca nula, y
tendremos por el Teorema de Stone-Weierstrass (para el caso real compacto) que A r = C(X).
Ahora, sea f ∈ Cc (X) y ε > 0, entonces existen h1 , h2 ∈ Ar tales que
ε
ε
y
kIm f − h2 k∞ <
kRe f − h1 k∞ <
2
2
Luego, considerando h = h1 + ih2 , una función en el álgebra de funciones complejas A, que
satisface
kf − hk∞ < ε
se tiene que A = Cc (X).
Finalmente, si A no es un álgebra nunca nula, luego existe p ∈ X tal que h(p) = 0, para
toda h ∈ A.
Sea f ∈ Cc (X) que se anula en p. Entonces Re f, Im f ∈ A r . Como A es un álgebra compleja
y Ar ⊂ A luego tendremos que
Re f, Im f ∈ A
=⇒
f ∈A
con lo que se concluye la demostración del teorema.
Ejercicio. Lo que hemos probado en los dos teoremas de Stone-Weierstrass es que cuando A
no es nunca nula, la clausura de A en C(X) (resp. C c (X)) contiene a todas las funciones reales
(resp. complejas) continuas que se anulan en p. Pruebe que si f ∈ C(X) (resp. C c (X)) no se
anula en p, entonces f ∈
/ A.
Ejemplo. Claramente si un álgebra contiene una constante, entonces es nunca nula. Ahora
presentaremos un ejemplo de un álgebra nunca nula, que separa puntos y que no contiene a las
constantes.
Sea X un subconjunto compacto de R que no contiene al cero, y definamos el álgebra
A = {xp(x) : p es un polinomio}
no es difı́cil de probar que A es un álgebra de funciones continua sobre X, que es nunca nula
y separa puntos. Estas dos últimas afirmaciones se deben a que x ∈ A y 0 ∈
/ X. Por lo tanto,
A = C(X).
64
CAPÍTULO 3. CONVERGENCIA UNIFORME
Finalizamos esta sección con un interesante resultado de Szász y Münst que da una condición
necesaria y suficiente para que un subconjunto de las potencias de la funcion x en [0, 1] genere
un espacio vectorial cuya clausura es C[0, 1].
Teorema 3.10 (Szász-Münst). Considere las funciones x nk con
1 = n 1 < n2 < · · · < n k < . . . , n k ∈ N
Luego, la clausura de el conjunto de combinaciones lineales de estas potencias es C[0, 1] si y
sólo si
∞
X
1
=∞
nk
k=1