Interpolación

Interpolación
Javier Segura
February 12, 2012
Javier Segura
Interpolación
Interpolación
Interpolación polinómica
Para cualquier conjunto de n + 1 (n ≥ 0) números distintos
x0 , x1 , ..., xn y cualquier conjunto de números arbitrarios
y0 , y1 , ..., yn , existe un único polinomio Pn (x) de grado menor o
igual que n tal que Pn (xk ) = yk para i = 0, 1, 2, ..., n.
Al polinomio Pn (x) mencionado se le llamará polinomio de
interpolación, que interpola n + 1 puntos (xi , yi ),
i = 0, 1, 2, ..., n. Nuestro problema será encontrar tal polinomio,
para lo cual estudiaremos dos métodos: Fórmula de
Lagrange y diferencias divididas de Newton.
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Interpolación
Interpolación
Forma de Lagrange
Forma de Lagrange
Dados n + 1 puntos (xi , yi ), i = 0, 1, ..., n (xi 6= xj ⇐⇒ i 6= j), el único
polinomio Pn (x) de grado menor o igual n que pasa por estos n + 1
puntos, es decir, tal que Pn (xi ) = yi , i = 0, 1, 2, ..., n. es
Pn (x) = y0 L0 (x) + y1 L1 (x) + ... + yn Ln (x),
donde
n
Y
Li (x) =
(x − xj )
j=0,j6=i
n
Y
(xi − xj )
≡
(x − x0 )...(x − xi−1 )(x − xi+1 )...(x − xn )
(xi − x0 )...(xi − xi−1 )(xi − xi+1 )...(xi − xn )
j=0,j6=i
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Interpolación
Interpolación
Teorema del resto
Sea f (x) una función continua en [a, b] y derivable n + 1 veces
en (a, b). Si Pn (x) es el polinomio de grado menor o igual que n
que interpola f (x) entre los n + 1 nodos distintos x0 ...xn ∈ [a, b]
entonces ∀x ∈ [a, b] ∃ζx ∈ (a, b), dependiente de x, tal que
n
f (x) = Pn (x) +
f (n+1) (ζx ) Y
(x − xj ) ≡ Pn (x) + Rn (x)
(n + 1)!
j=0
donde se dice que Rn (x) es el resto y denotamos
n
Y
(x − xj ) = (x − x0 )...(x − xn ).
j=0
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Interpolación
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Forma de Newton
Forma de Newton
Si x0 , x1 , ..., xn son puntos distintos y f (x) está definida en [a, b],
xi ∈ [a, b] i = 0, 1, ..., n, entonces el polinomio interpolador de f (x)
entre estos puntos se puede escribir como
Pn (x)
= f (x0 ) + (x − x0 )f [x0 , x1 ] + (x − x0 )(x − x1 )f [x0 , x1 , x2 ] + ...
+(x − x0 )(x − x1 )...(x − xn−1 )f [x0 , x1 , ..., xn ] =
n
i−1
X
Y
=
f [x0 ...xi ] (x − xj )
i=0
j=0
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Interpolación
Interpolación
Forma de Newton
La interpolación con las diferencias divididas de Newton es, en general, más
fácil de computar que la utilización de la fórmula de Lagrange, y puede ser
evaluada de forma recursiva.
Por ejemplo, en el caso de interpolar una función f (x) en tres puntos distintos
x0 , ..., x2 , , se puede plantear la siguiente tabla de diferencias divididas:
xi
f []
x0
f [x0 ] = f (x0 )
f [, ]
f [x0 , x1 ] =
x1
f [x1 ] − f [x0 ]
x1 − x0
f [x1 ] = f (x1 )
f [x0 , x1 , x2 ] =
f [x1 , x2 ] =
x2
f [, , ]
f [x2 ] − f [x1 ]
x2 − x1
f [x1 , x2 ] − f [x0 , x1 ]
x2 − x0
f [x2 ] = f (x2 )
Observemos que cada diferencia dividida se forma tomando la diferencia de
las diferencias divididas vecinas (a la derecha) y dividiendo por la diferencia
de abscisas; los valores de las abscisas se encuentran trazando las
diagonales desde la posición que se está evaluando hasta la columna de las
diferencias divididas de orden 0.
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Interpolación
Interpolación
Forma de Newton
Datos igualmente espaciados: forma de Newton
P(x0 + sh)
∆2 f (x0 )
= f (x0 ) + s∆f (x0 ) + s(s − 1)
+ ...
2!
n
∆ f (x0 )
.
+s(s − 1)...(s − n + 1)
n!
donde
∆0 fi = fi , ∆fi = fi+1 −fi , ∆n fi = ∆∆n−1 fi = ∆n−1 ∆fi = ∆n−1 fi+1 −∆n−1 fi
y utilizamos la notación fi = f (xi ) = f (x0 + ih).
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Interpolación
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Interpolación de Hermite
El problema de interpolación
(n )
. . . Pn 0 (x0 ) = f (n0 ) (x0 )
...
(n )
Pn (xk ) = f (xk ), . . . Pn k (xk ) = f (nk ) (xk )
Pn (x0 ) = f (x0 ),
mediante un polinomio de grado ≤ n = n0 + .. + nk + k , siendo f (x)
n + 1 veces derivable en [a, b], tiene solución única, que se puede
construir mediante el esquema de diferencias divididas. Denotando
(x̃0 x̃1 ...x̃n ) = ([x0 ]n0 +1 , ..., [xk ]nk +1 ), tenemos:
Pn (x) =
n
X
f [x̃0 ...x̃i ]
i=0
i−1
Y
(x − x̃j ) .
j=0
n
Además f (x) − Pn (x) =
f (n+1) (ζx ) Y
(x − x̃j ) para algún ζx ∈ (a, b).
(n + 1)!
j=0
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Interpolación
Comportamiento del error
Volvamos a la interpolación de Lagrange (todos los nodos distintos).
Definamos
S(x) ≡
n
Y
(x − xj )
j=0
y, por comodidad, consideraremos x0 < x1 < ... < xn−1 < xn .
Para xi igualmente espaciados, los mayores valores de |S(x)| se
encuentran para los mayores o menores valores de x en el
intervalo [x0 , xn ] (sin coincidir con los xi ) mientras que |S(x)| alcanza
menores valores para valores intermedios de x.
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Interpolación
Comportamiento del error
Ejemplo: interpolación de una función para los valores de
xi = i − 4, i = 0..8.
S(x) = x(x 2 − 1)(x 2 − 4)(x 2 − 9)(x 2 − 16):
6000
4000
2000
S(X)
0
−2000
−4000
−6000
−5
−3
−1
1
X
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Interpolación
3
5
Comportamiento del error
Ejemplo: comparación la interpolación
en 9 puntos xi = 4 − i,
√
i = 0, .., 8 de la función f (x) = x 2 / x 2 + 1 (línea continua) con
la propia función (línea discontinua).
4
3
2
1
0
−4
−3
−2
−1
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0
X
1
2
Interpolación
3
4
Interpolación de Chebyshev
Dada una función f (x) definida en un intervalo [a, b], la mejor
aproximación polinómica de grado n será aquella que minimice
E[q(x)] ≡ max |f (x) − q(x)|,
x∈[a,b]
Si un determinado polinomio Qn (X ) hace que E[Qn (x)] sea el de
valor mínimo entre todos los polinomios de grado n entonces se dice
Qn (x) es la aproximación minimax de grado n de la función f (x)
en [a, b] .
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Interpolación
Interpolación Chebyshev
Polinomios de Chebyshev: definición
El polinomio de Chebyshev de orden n-ésimo se define como
h
i
Tn (x) = cos n cos−1 (x) , x ∈ [−1, 1] , n = 0, 1, 2, 3, ...
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Interpolación
Polinomios de Chebyshev: propiedades
1
Relación de recurrencia de tres términos para los polinomios de
Chebyshev:
Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x) , n = 1, 2, 3, ...
siendo los valores iniciales de la recurrencia T0 (x) = 1,
T1 (x) = x.
2
El coeficiente del término x n en Tn (x) es 2n−1 y se cumple que
Tn (−x) = (−1)n Tn (x).
3
Los n ceros de Tn (x) están en el intervalo [−1, 1] y están dados
por
2k + 1
xk = cos
π , k = 0, 1, ..., n − 1.
2n
Tn (x) tiene n + 1 extremos en el intervalo [−1, 1] que vienen
dados por xk0 = cos knπ , k = 0, ..., n, donde los polinomios valen:
T (xk0 ) = (−1)k
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Interpolación
Interpolación de Chebyshev
Teorema
Para cualquier n ≥ 1, entre todos los polinomios mónicos (es
decir, con coeficiente 1 en el término de mayor grado) el
1 T (x) es el
polinomio de Chebyshev modificado T̃n (x) ≡ n−1
n
2
de mínimo máximo valor absoluto en [-1,1], siendo este valor
1/2n−1 . Es decir, que
1
n−1
2
= max |T̃n (x)| ≤ max |Pn (x)|
x∈[−1,1]
x∈[−1,1]
para cualquier polinomio Pn (x) de tipo mónico:
Pn (x) = x n + an−1 x n−1 + an−2 x n−2 + ... + a1 x + a0 ,
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Interpolación de Chebyshev
Teorema
Sea f (x) n + 1 veces diferenciable con continuidad en [a, b] Sea
Pn (x) el polinomio de interpolación de Lagrange grado n basado en
los n + 1 nodos (de Chebyshev)
b+a b−a
2k + 1
xk =
+
cos
π , k = 0, ..., n
2
2
2n + 2
entonces el error viene acotado por:
max |f (x) − Pn (x)| ≤
a≤x≤b
b−a
2
n+1
1
max |f (n+1) (x)|
(n + 1)!2n a≤x≤b
donde hemos considerado el cambio de variable
b+a b−a
+
t
2
2
que transforma el intervalo [−1, 1] en [a, b].
x(t) =
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Interpolación
Interpolación de Chebyshev
√
Ejemplo: f (x) = x 2 / x 2 + 1. Se representa f (x) − P(x) con P(x) el
polinomio de interpolación que interpola en 9 nodos distintos. La
línea continua corresponde a los nodos equiespaciados y la línea
discontinua corresponde a la aproximación cuasi-minimax para 9
nodos en el intervalo [−4, 4]
0.45
0.35
0.25
0.15
0.05
−0.05
−0.15
−4
−2
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0
X
2
Interpolación
4
Interpolación de Chebyshev
Propiedad de ortogonalidad discreta
n
X
n+1
1, i = j
la
Ti (xk )Tj (xk ) =
(1 + δi0 ) δij , siendo δij =
0 , i 6= j
2
k =0
delta de Kronecker. Las xk son los n + 1 ceros del polinomio Tn+1 (x).
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Interpolación de Chebyshev
Evaluación de la interpolación Chebyshev
El polinomio interpolador de grado n basado en los nodos de
Chebyshev (ceros de Tn+1 (x)), que interpola f (x) en estos n + 1
puntos de [−1, 1], se puede escribir como:
Pn (x) =
n
X
cj Tj (x)
j=0
donde
cj =
n
2 − δj0 X
f (xk )Tj (xk )
n+1
k =0
y xk = cos 2k + 1 π , k = 0, ..., n.
2n + 2
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Interpolación
Construcción de splines
Sean n + 1 puntos (xi , yi ), i = 0, 1, ..., n verificando
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b ,
una spline cúbica de estos puntos es una función s(x) en [a, b] que
satisface:
1
Polinomio de tercer grado. s(x) es un polinomio , Pi (x), de
grado tres sobre cada intervalo [xi−1 , xi ] para i = 1, 2, ..., n.
2
Condiciones de interpolación. s(xi ) = yi para i = 0, 1, ..., n.
3
Suavidad. s00 (x) es continua en [a, b] (≡ [x0 , xn ]), luego también
lo son s(x) y s0 (x).
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