series de potencias - Jos Luis Quintero D vila

Cálculo II (0252)
Semestre 1-2011
TEMA 6
SERIES DE
POTENCIAS
Semestre
1-2011
José Luis Quintero
Julio 2011
Departamento de
Matemática Aplicada
U.C.V.
F.I.U.C.V.
CÁLCULO II (0252)
Prof.
José Luis Quintero
Las notas presentadas a continuación tienen como único fin, el de prestar apoyo al
estudiante y facilitar su entendimiento en el tema de series de potencias.
La guía contempla un pequeño resumen de la teoría correspondiente que sirve de
repaso a los contenidos teóricos que componen el tema. Se presentan ejercicios resueltos y
propuestos, algunos son originales, otros se han tomado de guías redactadas por profesores,
también hay ejercicios tomados de exámenes y de algunos textos. Se ha tratado de ser lo
más didáctico posible y se espera prestar un apoyo a la enseñanza del Cálculo II en
Ingeniería.
Agradezco las observaciones y sugerencias que me puedan hacer llegar en la mejora
del presente material, las mismas pueden ser enviadas a la siguiente dirección de correo:
[email protected].
INDICE GENERAL
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Departamento de
Matemática Aplicada
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José Luis Quintero
TEMA 6. SERIES DE POTENCIAS
6.1.
Series de potencias
251
6.2.
Aproximación de una función por una serie de potencias
256
6.3.
Serie de Taylor para una función f
257
6.4.
Fórmula de Taylor con residuo
260
6.5.
Obtención de series de potencias a partir de otras conocidas
262
6.6.
Derivación de series de potencias
262
6.7.
Integración de series de potencias
263
6.8.
Tablas de MacLaurin
265
6.9.
Aplicaciones de las series de Taylor
266
6.10. Cálculo de límites indeterminados
266
6.11. Aproximación del cálculo de derivadas
268
6.12. Aproximación del cálculo de integrales
269
6.13. Cálculo de suma de series numéricas
270
6.14. Problemas propuestos
271
G
SERIES DE POTENCIAS
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Series de Potencias
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6.1. SERIES DE POTENCIAS
Definición 1. Una serie de la forma
∞
∑
an (x − x0 )n = a0 + a1(x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + ... ,
n=0
se llama serie de potencias centrada en x0 . En ella x es variable y an es una sucesión
cualquiera.
Ejemplo 1.
∞
∑
n=0
xn
x2 x3
=1+ x +
+
+ ... ,
n!
2! 3!
es una serie centrada en x0 = 0 .
∞
∑
n=0
(−1)n +1
1
1
(x + 1)n +1 = −(x + 1) + (x + 1)2 − (x + 1)3 + ... ,
n+1
2
3
es una serie centrada en x0 = −1 .
Si se tiene una serie infinita y x es una variable, la pregunta que surge de inmediato
es:
Dada una serie de potencias, ¿para qué valores de x converge la serie?
Si se tiene en cuenta, por ejemplo, la segunda serie dada anteriormente:
Para x = 0 se obtiene la serie numérica
∞
∑
n=0
(−1)n +1
n+1
que converge, luego la serie de potencias
∞
∑
n=0
converge para x = 0 .
(−1)n +1
(x + 1)n +1
n+1
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Para x = 1 se obtiene la serie numérica
∞
∑
n=0
(−1)n +1 n
2
n+1
que diverge, pues
(−1)n +1 n +1
2
n → +∞ n + 1
lím
no existe. Así la anterior serie de potencias diverge si x = 1 . No obstante, la búsqueda de la
respuesta a la pregunta debe ser en base a algún procedimiento general y no la comprobación
número a número.
Con toda serie de potencias está asociado un intervalo de la forma (−R + x0 , x0 + R)
que se llama intervalo de convergencia, x0 es el “centro” del intervalo y R su radio. El
siguiente teorema establece que la serie converge absolutamente para cada x en el intervalo
y suministra una forma de calcular el radio de convergencia R.
TEOREMA 1. Dada una serie de potencias
∞
∑
an (x − x0 )n ,
n=0
entonces ocurrirá solamente uno de los siguientes casos:
a. La serie converge únicamente para x = x0 .
b. La serie converge absolutamente para todos los valores de x.
c.
Existe un número R > 0 tal que la serie converge absolutamente en el intervalo
x − x0 < R .
En el primer caso se dice que el radio de convergencia es cero, en el segundo
infinito y en el tercero R.
El teorema no da información del comportamiento de la serie de potencias para
x = ±R , extremos del intervalo de convergencia.
Ejemplo 2. Dada la serie de potencias
∞
∑
n =1
sea
(−1)n
xn +1
,
n+1
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an = (−1)n
lím
n → +∞
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xn +1
.
n+1
un +1
x(n + 1)
n+1
= lím
= x lím
= x .
n → +∞ n + 2
n → +∞ n + 2
un
El criterio de la razón dice que:
a. La serie converge absolutamente si x < 1 , inecuación cuya solución es el intervalo (−1,1) .
b. La serie diverge si x > 1 .
c.
x = 1 , o sea x = ±1 ; lo cual corresponde a los extremos del
No es concluyente si
intervalo (−1,1) .
Estudio en los extremos:
Se sustituye x = 1 en la serie de potencias para obtener la serie
∞
∑
(−1)n
n =1
1
,
n+1
la cual converge por el criterio de series alternas.
Se sustituye x = −1 para obtener la serie
∞
∑
n=0
(−1)2n +1
=−
n+1
∞
∑
n=0
1
,
n+1
la cual diverge por el criterio de la integral. Se concluye que la serie de potencias converge en
el intervalo (−1,1] y su radio de convergencia R es 1.
Ejemplo 3. Halle el intervalo de convergencia de la serie de potencias
∞
∑
n=2
(x − 2)n
.
n.ln(n)
Solución.
Aplicando criterio del cociente:
(x − 2)n +1
(n +1).ln(n + 1)
lím
n →∞
(x − 2)n
n.ln(n)
= lím
n →∞
(x − 2)n.(x − 2).n.ln(n)
(x − 2)n.(n + 1).ln(n + 1)
= x − 2 lím
n →∞
= lím
n →∞
(x − 2)n.(x − 2).n.ln(n)
(x − 2)n.(n + 1).ln(n + 1)
n.ln(n)
n
ln(n)
= x − 2 . lím
. lím
= x − 2 .1.1
n →∞ (n + 1) n →∞ ln(n + 1)
(n + 1).ln(n + 1)
= x − 2 < 1 ⇒ 1 < x < 3.
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Estudio en los extremos:
x = 1:
∞
∑
n=2
(−1)n
1
(serie alterna).
n.ln(n)
Sea
∞
 1 


n.ln(n) n = 2
una sucesión. Se probará que esta sucesión es decreciente.
Sea
f(x) =
1
x.ln(x)
su función asociada. Se tiene
f '(x) = −
1 + ln(x)
x2.(ln(x))2
<0
al menos para todo x ≥ 2 .
Por otro lado,
lím
n → +∞
1
= 0.
n.ln(n)
De acuerdo al criterio de convergencia para series alternas, esta serie converge.
x = 3:
∞
∑
n=2
1
.
n.ln(n)
El término general de la serie es positivo. Sea
1
x.ln(x)
su función real asociada. Ella es continua y decreciente en el intervalo [2, ∞) . Se aplicará el
f(x) =
criterio de la integral.
∫
∞
2
1
dx = lím
c→∞
x.ln(x)
∫
c
2
1
c
dx = lím ln(ln(x)) 2 = lím ln(ln(c)) − ln(ln(2)) = +∞ .
c →∞
c →∞
x.ln(x)
Por lo tanto la serie diverge. El intervalo de convergencia de la serie de potencias es [1,3).
Series de Potencias
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Ejemplo 4. Demuestre que
+∞
J0 (x) =
∑
n =0
(−1)n x2n
22n (n!)2
satisface la ecuación
x2 J''0 (x) + xJ'0 (x) + x2 J0 (x) = 0
e indique en qué intervalo es válida.
Solución.
+∞
J'0 (x)
=
∑
n=0
(−1)n 2nx2n −1
22n (n!)2
+∞
,
J''0 (x)
=
∑
(−1)n 2n(2n − 1)x2n − 2
22n (n!)2
n=0
Se tiene que:
+∞
x2 J''0 (x)
+
xJ'0 (x)
+ x J0 (x) =
2
∑
∑
∑
n =1
+∞
=
n =1
+∞
=
n =1
 (−1)n 2n(2n − 1)x2n (−1)n 2nx2n

(−1)n x2n
+
−


2n
2
2n
2
2(n −1)
2 
2 (n!)
2 (n!)
2
((n − 1)!) 

 2n(2n − 1) 2n
 (−1)n x2n
+
−
4


n2
n2

 22n ((n − 1)!)2
 4n2
 (−1)n x2n
=
 2 − 4  2n
2
 n
 2 ((n − 1)!)
+∞
∑
n =1
0.
(−1)n x2n
22n ((n − 1)!)2
=0
Intervalo de validez de la ecuación:
lím
n → +∞
an +1
= lím
n → +∞
an
( −1)n + 1 x2n + 2
22n + 2 ((n +1)!)2
(−1)n x2n
22n (n!)2
= lím
n → +∞
x2n.x2.22n (n!)2
x .2 .2 (n + 1) .(n!)
2n
2n
2
2
2
= x2 lím
n → +∞
1
4(n + 1)2
= 0.
El radio de convergencia es r = +∞ . El intervalo de convergencia es R. Dado que el radio de
convergencia se preserva en los desarrollos de J'0 (x) y J''0 (x) , se tiene que la ecuación es
válida para cada x ∈ R .
APROXIMACIÓN DE UNA FUNCIÓN
POR UNA SERIE DE POTENCIAS
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6.2. APROXIMACIÓN DE UNA FUNCIÓN POR UNA
SERIE DE POTENCIAS
En cursos anteriores se vió como aproximar los valores de una función por los valores
de la recta tangente:
f(x) ≈ y = f(x0 ) + f '(x0 )(x − x0 ) ,
si x es “cercano” a x0 . Lo anterior se llama aproximación lineal de f.
Suponga ahora que se quiere algo más general; para ello se pedirá que en el punto
x0 , sean iguales las derivadas del polinomio y de la función, incluyendo la derivada de orden
cero.
TEOREMA 2. Suponga que f(x) es una función n veces derivable en x = x0 y sea
f ''(x0 )
f(n)(x0 )
Pn (x) = f(x0 ) + f '(x0 )(x − x0 ) +
(x − x0 )2 + ... +
(x − x0 )n =
2!
n!
entonces
Pn(k)(x0 )
=f
(k)
n
∑
k =0
f(k)(x0 )
(x − x0 )k
k!
(x0 ) con k = 0,1,...,n .
Pn (x) se llama polinomio de Taylor de orden n de la función f(x) en x = x0 , y es tal que
todas las derivadas coinciden con las de f(x) en x = x0 .
Ejemplo 5. Dada la función f(x) = ex , calcule su polinomio de Taylor de orden n en x0 = 0 .
Solución.
f (k)(x) = ex y f (k)(0) = 1 .
Por lo tanto
n
Pn (x) =
∑
k =0
f (k)(0)
(x − 0)k =
k!
∑
P0 (x) = 1
P1(x) = 1 + x
P2 (x) = 1 + x +
x2
2
P3 (x) = 1 + x +
x2 x3
+
2! 3!
⋮
n
k =0
xk
,
k!
APROXIMACIÓN DE UNA FUNCIÓN
POR UNA SERIE DE POTENCIAS
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Se puede observar, en la figura anexa, que si x se aleja del origen las gráficas de los
polinomios de Taylor y de la función se separan. Sin embargo, a medida que n crece la
aproximación entre Pn (x) y f(x) mejora. Surge de forma natural la pregunta:
¿Si f es infinitamente derivable en x0 , para cualquier x ∈ D(f) convergen los polinomios de
Taylor a f(x) cuando n → +∞ ?
6.3. SERIE DE TAYLOR PARA UNA FUNCIÓN F
Lo anterior sugiere definir una representación para la función f en x0 , de la siguiente
forma, si f tiene derivadas de todos los órdenes en x0 :
∞
f(x) ≈
∑
k =0
f (k)(x0 )
f ''(x0 )
(x − x0 )k = f(x0 ) + f '(x0 )(x − x0 ) +
(x − x0 )2 + ...
k!
2!
conocida como serie o desarrollo de Taylor de f en x0 .
Si x0 = 0 la serie de Taylor recibe el nombre, muy particular, de serie de MacLaurin.
Así, la serie de Taylor de una función f en un punto x0 de su dominio se obtiene
calculando todas sus derivadas en x0 y sustituyéndolas en la fórmula. Como es lógico
suponer, calcular todas las derivadas de f en x0 es una tarea imposible; sin embargo para
algunas funciones se logra describirlas a través de un término general.
SERIE DE TAYLOR
PARA UNA FUNCIÓN F
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Series de Potencias
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Observe que se habla de representación de f en
x0
y se usa el símbolo
≈ (equivalente), ello es debido a:
a. El dominio de f y el intervalo de convergencia de la serie de Taylor no siempre
coinciden.
b. Aunque x esté en el intervalo de convergencia de la serie, no necesariamente ésta
converge a f(x).
Más adelante se verá cuando tiene sentido la igualdad:
Ejemplo 6. Calcule la serie de MacLaurin de f(x) = sen(x) .
Solución.
En la siguiente tabla se ven las derivadas de f y sus valores en x0 :
Derivadas de f
f(x) = sen(x)
Evaluación en x0 = 0
f '(x) = cos(x)
f ''(x) = −sen(x)
f '(0) = 1
f ''(0) = 0
f '''(x) = − cos(x)
f '''(0) = −1
f (x) = sen(x)
f IV (0) = 0
⋮
⋮
f(0) = 0
IV
La derivadas se repiten a partir de la cuarta. Se puede para esta función, escribir una fórmula
general para sus derivadas:
f k (x) = sen(x + kπ / 2) con k = 0,1, 2, 3,...
 1 si k = 1,5, 9,...
 π 
f (0) = sen  k  =  0 si
k es par
 2 
−
1
si
k
=
3,7,11,...

Sustituyendo se tiene el desarrollo del seno en x0 = 0 :
(k)
∞
sen(x) ≈
∑
(−1)k
k =0
x2k +1
x3 x5 x7
=x−
+
−
+ ...
(2k + 1)!
3! 5! 7!
Calculando el intervalo de convergencia de la serie obtenida:
x2k +1
,
ak = (−1)k
(2k + 1)!
luego
lím
k → +∞
x
ak +1
= lím
= 0,
k → +∞ 2k + 2
ak
cualquiera que sea el valor de x. Por lo tanto el intervalo de convergencia es (−∞, ∞) .
SERIE DE TAYLOR
PARA UNA FUNCIÓN F
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Ejemplo 7. Siendo f(x) = ln(1 + x) cuyo dominio es el intervalo (−1, +∞) . Se deduce la serie de
Taylor asociada a la función en x0 = 0 en forma similar al ejemplo anterior:
Evaluación en x0 = 0
Derivadas de f
f(0) = 0
f '(0) = 1
f(x) = ln(1 + x)
f '(x) =
1
1+ x
f ''(x) = −
f '''(x) =
f ''(0) = −1
f '''(0) = 2
1
(1 + x)
2
f IV (0) = −2.3
2
⋮
(1 + x)3
f IV (x) = −
2.3
(1 + x)4
⋮
También para esta función se puede escribir una fórmula general para las derivadas:
(k − 1)!
y f (k)(−1)k +1(k − 1)! , k > 1 .
f (k)(x) = (−1)k +1
k
(1 + x)
Luego la serie asociada será:
∞
ln(x + 1) ≈
∑
(−1)k
k =0
xk +1
x2 x3 x4
=x−
+
−
+ ...
k +1
2
3
4
cuyo intervalo de convergencia es (−1,1] , calculado anteriormente. La respuesta a la pregunta
planteada, al menos para la función ln(x + 1) , es negativa. Por ejemplo para x = 2 , en el
dominio de la función, la serie no converge.
Surge otra pregunta:
¿Si x está en el intervalo de convergencia de la serie, la serie de Taylor converge a f(x)?
Ejemplo 8. Deduzca la serie de Taylor de
 −1/ x2
f(x) = e
 0
en x0 = 0 y su intervalo de convergencia.
si x ≠ 0 ,
si x = 0
Solución.
Se puede probar con algo de trabajo que f (k)(0) = 0 para todo k; se efectuará este cálculo
para las dos primeras derivadas:
2
f(0 + h) − f(0)
e−1/h
f '(0) = lím
= lím
h→ 0
h→ 0
h
h
= 0,
SERIE DE TAYLOR
PARA UNA FUNCIÓN F
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por lo tanto
 2e−1/x2

f '(x) =  x3

0

si x ≠ 0 .
si x = 0
2
f '(0 + h) − f '(0)
e−1/h
f ''(0) = lím
= lím
h→ 0
h→ 0
h
h4
= 0,
así
 −1/x2 (2 − 3x2 ) si x ≠ 0
f ''(x) = 2e
.
0
si x = 0

Luego la serie de Taylor de f en x0 = 0 es
f(x) ≈ f(0) + f '(0)x +
f ''(0) 2 f '''(0) 3
x +
x + ... = 0
2!
3!
La suma de la serie es cero, es decir que la serie de Taylor de f converge a cero para cualquier
x ∈ R , sin embargo la función f solamente se anula en x = 0 . Resumiendo, la serie de Taylor
de f converge a f(x) sólo para x = 0 .
6.4. FÓRMULA DE TAYLOR CON RESIDUO
El polinomio de Taylor de grado n de f(x) en x0 , se puede obtener tomando los n + 1
primeros términos de la serie de Taylor:
∞
Pn (x) =
∑
k =0
f (k)(x0 )
(x − x0 )k .
k!
Este es una aproximación de f en cada punto x del intervalo de convergencia de la
serie. La diferencia
Rn (x) = f(x) − Pn (x)
se llama residuo de grado n para f(x) en x = x0 , y se tiene el siguiente teorema que permite
estimar el error cometido al aproximar f(x) por el polinomio de Taylor de grado n, en términos
de la derivada n + 1 .
FÓRMULA DE TAYLOR
CON RESIDUO
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TEOREMA 3. Si f es una función derivable hasta el orden n + 1 en un intervalo I que contiene
a x0 entonces existe un número z comprendido entre x0 y x tal que
∞
f(x) =
∑
k =0
f (k) (x0 )
(x − x0 )k + Rn (x) ,
k!
donde
Rn(x) =
f (n +1)(z)
(x − x0 )n +1 .
(n + 1)!
El término anterior es por lo tanto el residuo de orden n, también llamado residuo de
Lagrange, y la penúltima ecuación recibe el nombre de fórmula de Taylor con residuo.
Algunas veces se puede usar la ecuación del residuo para probar que lím R n(x) = 0 ,
n → +∞
para algún valor fijo de x.
Si lo anterior ocurre, y se hace n → ∞ en la fórmula de Taylor con residuo se obtiene:
f(x) = lím [Pn (x) + Rn (x)] = lím Pn(x)
n →+∞
n →+∞
o sea
∞
f(x) =
∑
k =0
f (k) (x0 )
(x − x0 )k
k!
la serie de Taylor de f en x0 .
Por lo tanto se puede enunciar el siguiente teorema que es la respuesta a la pregunta
formulada anteriormente.
TEOREMA 4. La igualdad
∞
f(x) =
∑
k =0
f (k) (x0 )
k!
(x − x0 )k
es válida si y sólo si
lím R n(x) = 0
n → +∞
para cada x ∈ (x0 − r, x0 + r) con r > 0 .
OBTENCIÓN DE SERIES DE POTENCIAS
A PARTIR DE OTRAS CONOCIDAS
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6.5. OBTENCIÓN DE SERIES DE POTENCIAS A PARTIR
DE OTRAS CONOCIDAS
La obtención de una serie de Taylor o MacLaurin por la vía del cálculo de sus derivadas
en x0 puede resultar tedioso y difícil. Resulta más práctico, de ser posible, partir de una serie
ya conocida y usar operaciones algebraicas, composición, derivación e integración término a
término para obtener la serie en cuestión.
6.6. DERIVACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS
TEOREMA 5. Si
∞
f(x) =
∑
ak (x − x0 )k
k =0
con intervalo de convergencia x − x0 < R entonces f tiene derivadas de todos los órdenes en
el intervalo de convergencia, y
∞
f '(x) =
∑
∑
k =0
∞
d
[a (x − x0 )k ] =
dx k
∞
f ''(x) =
k =1
∑
∑
kak (x − x0 )k −1 ,
k =1
∞
d
[kak (x − x0 )k −1 ] =
dx
k(k − 1)ak (x − x0 )k − 2 ,
k =2
...
para cada x que satisfaga x − x0 < R .
Se tiene, en cuanto a integración se refiere, un teorema similar al anterior para una
serie de potencias.
INTEGRACIÓN DE
SERIES DE POTENCIAS
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6.7. INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS
TEOREMA 6. Si
∞
f(x) =
∑
ak (x − x0 )k
k =0
con intervalo de convergencia x − x0 < R entonces
a.
∫
∞
f(x)dx =
∑∫
k =0




ak (x − x0 )k dx  + C

b. Dados a,b ∈ (−R + x0 , x0 + R) entonces
∫
∞
b
f(x)dx =
a
∑∫
k =0
b
ak (x − x0 )k dx,
a
y las series resultantes son convergentes en x − x0 < R .
Observación 1. Las series que se obtienen derivando e integrando tienen el mismo radio de
convergencia de la serie original, sin embargo:
a. Al derivar término a término la convergencia puede perderse en un extremo.
b. Al integrar término a término la convergencia puede ganarse en los extremos.
Ejemplo 9. Se dedujo anteriormente la representación del seno en serie de potencias:
x3 x5
sen(x) = x −
+
− ... =
3! 5!
∞
∑
(−1)k
k =0
x2k +1
,
(2k + 1)!
−∞<x<∞
Por el teorema anterior
∞
cos(x) =
∑
k =0
d
dx

x2k +1 
k
(−1)
=
(2k + 1)!

∞
∑
(−1)k
k =0
x2k
x2 x4 x6
=1−
+
−
+ ...,
(2k)!
2! 4! 6!
−∞<x<∞
Ejemplo 10. A partir de la serie geométrica y por cambios de variable construya la serie de
MacLaurin de
f(x) =
indicando su intervalo de convergencia.
Solución.
La serie geométrica es
1
1 + x2
INTEGRACIÓN DE
SERIES DE POTENCIAS
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∞
1
=
1−x
Efectuando el cambio x por −x
2
∑
xn ,
x < 1.
n=0
se tiene:
∞
1
1 − (−x2 )
∑
∑
=
(−x2 )n ,
x2 < 1
(−1)n x2n ,
x < 1.
n =0
∞
1
1+x
2
=
n =0
Ejemplo 11. En el ejemplo anterior se dedujo que
∞
1
1+x
2
=
∑
(−1)n x2n ,
x < 1.
n =0
Solución.
Integrando se obtiene la serie de arctg(x) :
arctg(x) =
∫
x
0
∞
1
1 + t2
dt =
∑∫
k =0
∞
x
(−1) t dt =
k 2k
0
∑
(−1)k
k =0
x2k +1
x3 x5 x7
=x−
+
−
+ ...,
2k + 1
3
5
7
manteniendo el mismo radio de convergencia, se debe estudiar la convergencia en los
extremos:
Para x = 1 resulta la serie numérica
∞
∑
k =0
(−1)k
;
2k + 1
y para x = −1 resulta la serie numérica
∞
∑
k =0
(−1)3k +1
,
2k + 1
que convergen ambas por el criterio para series alternas.
Luego
∞
arctg(x) =
∑
k =0
(−1)k
x2k +1
,
2k + 1
−1 ≤ x ≤ 1
TABLAS DE MACLAURIN
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6.8. TABLAS DE MACLAURIN
Intervalo
Función
Serie
de
Convergencia
∞
e
∑
x
k =0
∞
sen(x)
∑
∑
xk
x2 x3
=1+x+
+
+ ...
k!
2! 3!
x2k +1
x3 x5 x7
=x−
+
−
+ ...
(2k + 1)!
3! 5! 7!
−∞ < x < ∞
x2k
x2 x4 x6
=1−
+
−
+ ...
(2k)!
2! 4! 6!
−∞ < x < ∞
∑
xk = 1 + x + x2 + x3 + ...
−1 < x < 1
(−1)k
xk +1
x2 x3 x4
=x−
+
−
+ ...
k +1
2
3
4
−1 < x ≤ 1
x2k +1
x3 x5 x7
=x−
+
−
+ ...
(2k + 1)
3
5
7
−1 ≤ x ≤ 1
(−1)k
k =0
∞
cos(x)
−∞ < x < ∞
(−1)k
k =0
∞
1
1−x
k =0
∞
ln(1 + x)
∑
∑
k =0
∞
arctg(x)
(−1)k
k =0
APLICACIONES DE LAS
SERIES DE TAYLOR
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6.9. APLICACIONES DE LAS SERIES DE TAYLOR
Se verá ahora como usar el desarrollo en serie de Taylor de una función para el cálculo
de límites indeterminados, aproximación del cálculo de derivadas, evaluación de integrales
definidas de las cuales no se conoce una primitiva así como la suma de series numéricas.
6.10. CÁLCULO DE LÍMITES INDETERMINADOS
Ejemplo 12. Calcule
ln 3 1 + x − sen(2x)
.
x →0
x
lím
Solución.
Se sabe que
∞
sen(x) =
∑
(−1)n
x2n +1
(2n + 1)!
(−1)n
22n +1 x2n +1
(2n + 1)!
n=0
−∞ < x < ∞.
Reemplazando x por 2x se tiene:
∞
sen(2x) =
∑
n=0
−∞ < x < ∞.
Por otro lado
∞
ln(1 + x) =
∑
(−1)n
n=0
xn +1
n+1
−1 < x ≤ 1,
luego
∞
1
ln 1 + x = ln(1 + x) =
3
3
∑
n=0
(−1)n
xn +1
3(n + 1)
− 1 < x ≤ 1.
Por lo tanto, restando las dos series y dividiendo por x resulta
ln 3 1 + x − sen(2x)
=
x
con x ∈ (−1, 0) ∪ (0,1] .
Tomando límites a ambos lados:
∞
∑
n =0
 xn
22n +1 x2n 
(−1)n 
−

 3(n + 1) (2n + 1)! 
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INDETERMINADOS
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ln 3 1 + x − sen(2x)
lím
= lím
x →0
x →0
x
∞
∑
n =0
 xn
22n +1 x2n  1
5
(−1)n 
−
 = −2 = − .
3
 3(n + 1) (2n + 1)!  3
Ejemplo 13. Sea la función
f(x) =
arctg(x) − x
x3
.
a. Encuentre su serie de MacLaurin.
Solución.
Sea la serie geométrica
∞
∑
1
=
1−x
xk ,
x < 1.
k =0
Efectuando el cambio x por −x se tiene
2
∞
1
=
1+x
2
∑
(−1)k x2k ,
x < 1.
k =0
Sea
arctg(x) =
∫
∞
x
0
dt
1 + t2
=
∑∫
k =0
∞
x
(−1) t dt =
k 2k
0
∑
k =0
(−1)k x2k +1
,
2k + 1
x < 1.
En consecuencia
arctg(x) − x
x3
∞
=
∑
k =0
(−1)k x2k − 2
1
1
1 1 x2
− 2 =− 2 + 2 − +
− ...,
2k + 1
3 5
x
x
x
x < 1, x ≠ 0
b. A partir de (a) calcule lím f(x) .
x →0
Solución.
lím
x →0
arctg(x) − x
x3
∞
1
1
1
=− 2 + 2 − +
3
x
x
∑
k =2
(−1)k x2k − 2
1
=− .
2k + 1
3
Ejemplo 14. Represente sen(3x) por medio de una serie y encuentre los valores de r y s para
los cuales
r
 sen(3x)

lím 
+ 2 + s = 0 .
x3
x

x →0 
Solución.
Se sabe que
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INDETERMINADOS
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+∞
∑
sen(x) =
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x2n +1
, − ∞ < x < +∞ .
(2n + 1)!
(−1)n
n=0
De modo que
+∞
sen(3x) =
∑
(−1)n
k =0
(3x)2n +1
, − ∞ < x < +∞ .
(2n + 1)!
Se tiene:

lím 
x →0


+∞
∑
n=0


32n +1 x2n − 2
r
3 27
(−1)
+ 2 + s  = lím  2 −
+
(2n + 1)!
6
x
 x →0  x


n
r
 3 27

lím  2 −
+ 2 + s  + lím
x →0  x
6
x
 x →0
+∞
∑
n =2
(−1)n
+∞
∑
(−1)n
n=2

32n +1 x2n − 2
r
+ 2 + s  = 0
(2n + 1)!
x


32n +1 x2n − 2
r
 3 27

= lím  2 −
+ 2 + s = 0
x →0  x
(2n + 1)!
6
x

 3 + r 6s − 27 
lím  2 +
 = 0 ⇒ r = −3 , s =
x →0  x
6

9
.
2
6.11. APROXIMACIÓN DEL CÁLCULO DE DERIVADAS
Ejemplo 15. Sea f(x) = x2e−x .
a. Halle el desarrollo en serie de MacLaurin de f '(x).
Solución.
Se sabe que
∞
e =
x
∑
n=0
xn
,
n!
luego a partir de este desarrollo se obtiene el desarrollo de
∞
2 −x
f(x) = x e
=
∑
(−1)n
n=0
xn + 2
.
n!
Derivando término a término del desarrollo en serie de f, se obtiene
∞
f '(x) = x(2 − x)e
−x
=
∑
n =0
(−1)n
(n + 2)xn +1
.
n!
b. Indique cuántos primeros términos, como mínimo, se requieren del desarrollo de f '(x)
para obtener un valor aproximado de f '(1) con dos cifras decimales exactas.
APROXIMACIÓN DEL
CÁLCULO DE DERIVADAS
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Solución.
En el apartado anterior si se sustituye en x = 1 se tiene
∞
f '(1) = e
−1
=
∑
(−1)n
n=0
(n + 2)
.
n!
Para obtener un valor aproximado de e −1 con dos cifras decimales exactas, el resto debe
satisfacer la desigualdad
Rn < bn +1 =
n+3
< 0.5 × 10−2 .
(n + 1)!
Dado que el primer n que satisface esta desigualdad es n = 6 , se necesitarán, como
mínimo, de los 7 primeros términos de la serie cuya suma permite la aproximación
deseada.
6.12. APROXIMACIÓN DEL CÁLCULO DE INTEGRALES
Ejemplo 16. Usando los cuatro primeros términos de la serie de MacLaurin de cos(x2 ) ,
calcule
∫
1
cos(x2 )dx .
0
Solución.
El desarrollo de MacLaurin de cos(x) es
∞
cos(x) =
∑
(−1)n
n=0
x2n
(2n)!
−∞ < x< ∞
2
Reemplazando x por x :
∞
cos(x ) =
2
∑
n=0
(−1)n
x4n
.
(2n)!
Usando los cuatro primeros términos:
∫
1
cos(x2 )dx ≈
0
∫
1
0
≈ 1−
1


x4 x8 x12 
x5
x9
x13 
+
−
+
−
1 −
 dx = x −

2! 4! 6! 
5.2! 9.4! 13.6!


0
1
1
1
+
−
≅ 0.9045227
5.2! 9.4! 13.6!
CÁLCULO DE SUMA DE
SERIES NUMÉRICAS
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6.13. CÁLCULO DE SUMA DE SERIES NUMÉRICAS
Ejemplo 17. Sea la función
1− x
.
1+x
f(x) = ln 3
a. Halle la serie de MacLaurin de f(x).
Solución.
1− x 1
= (ln(1 − x) − ln(1 + x)) .
1+x 3
f(x) = ln 3
Se sabe que
+∞
ln(1 + x) =
∑
(−1)n
n=0
xn +1
,
n+1
−1 < x ≤ 1.
En consecuencia:

1
f(x) = 
3

+∞
∑
n=0
+∞
f(x) =
+∞
1
f(x) = −
3
∑
n=0
1
3
∑
n =0
+∞
∑
(−x)n +1
(−1)
−
n+1
n
(−1)n
n=0

xn +1 
,
n + 1

n +1

xn +1 
2n +1 x
− (−1)n
 (−1)
 ,
n+1
n + 1 

 xn +1
xn +1 
+ (−1)n

=
n + 1 
n + 1
−1 < x ≤ 1.
−1 < x ≤ 1.
+∞
1
−
3
∑
(1 + (−1)n )
n=0
xn +1
,
n+1
−1 < x ≤ 1.
b. Usando el resultado obtenido en a, obtenga la suma de la serie
+∞
∑
n =1
1 + (−1)n −1
(−1)2n −1.2n.3n
.
Solución.
+∞
∑
n =1
1 + (−1)n −1
(−1)2n −1.2n.3n
+∞
=
∑
∑
n=0
1 + (−1)n
+∞
1
=−
2n + 1 n + 1
3
(−1)
.2 .3(n + 1)
+∞
1
=−
3
n=0
(1 + (−1)n )
( 12 )n +1
n+1
∑
n=0
1 + (−1)n
2n +1(n + 1)
= f(12 ) = ln 3 13 = −
ln(3)
.
3
PROBLEMAS PROPUESTOS
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6.14. PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Halle el radio y el intervalo de convergencia para cada serie de potencias:
∞
a.
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
n =1
∞
b.
n=0
∞
c.
n=0
∞
d.
n=0
∞
e.
n=0
∞
f.
n =2
∞
g.
n =1
∞
h.
n=0
∞
i.
n=0
∞
j.
n =1
xn
n
Rta. [−1,1)
(−1)n n2 xn
(x − 3)n
3n
n3
3n
(x + 1)n
(2x − 1)n
n4 + 16
Rta. (−1,1)
Rta. (0, 6)
Rta. (−4, 2)
Rta. [0,1]
∞
∑
(x − 5)n
n.ln(n)
Rta. [4, 6)
2n + 1 n
x
nn
Rta. Converge para toda x
(−1)n
5n
n =1
(x − 2)n
2n + 1
3n4n +1 xn
7n +1
8n(x − 1)n
nn
2n + 1 n
x
nn
Rta. ( 85 , 12
)
5
7
7
Rta. (− 12
, 12
)
Rta. Converge para toda x
2. Halle el desarrollo de MacLaurin de
convergencia de la serie obtenida.
f(x) = ln(1 + 2x2 )
y encuentre el intervalo de
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3. A partir de la serie geométrica y por cambios de variable construya la serie de MacLaurin
de las siguientes funciones indicando su dominio de convergencia.
x
a. f(x) =
1 − x2
1
b. f(x) =
2
4x + 1
4. A partir de las series de ex y de sen(x) construya las series de
a.
f(x) =
b.
f(x) =
1 − e− x
.
x
sen(x2 )
x2
.
5. A partir de la serie geométrica y por derivación o integración, halle las series de:
1
a. f(x) =
(1 − x)2
b.
f(x) = arctg(x2 )
6. Hallar el desarrollo en serie de potencias de x de la función f(x) = x2sen(x2 ) y determine
su intervalo de convergencia.
∞
Rta.
∑
n=0
(−1)n x4(n +1)
converge para toda x
(2n + 1)!
7. Usando el desarrollo obtenido en el apartado anterior, calcule
∫
con un error menor que 10−5 .
1
f(x)dx
0
Rta. 0.1821114
2
8. Determine la serie de MacLaurin para e −x
∫
hasta tres cifras decimales exactas.
y utilicela para estimar
1
2
e− x dx
0
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3
9. Halle el desarrollo de la serie de MacLaurin de f(x) = e− x
y utilicela para estimar la
integral
∫
con un error menor que 10
−2
1
3
e− x dx
0
.
∞
Rta.
∑
n=0
(−1)n x3n
n!
0.805
10. Obtenga el desarrollo de MacLaurin de la función
ex − e − x
f(x) =
2
y determine su intervalo de convergencia.
11. Halle el desarrollo en serie de potencias de x de la función
1
,
f(x) =
(1 + x3 )2
determinando su intervalo de convergencia.
∞
Rta.
∑
(−1)n +1nx3(n −1) ,
n =1
12. Usando el resultado anterior calcule
∫
con un error menor que 10−4 .
1/2
f(x)dx ,
0
Rta. 0.4717
13. Calcule con tres decimales exactos:
∫
Rta 0.239
1
0
1 − cos(x)
dx
x
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−1 < x < 1.
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14. Calcule con un error menor que 0.03:
∫
1
0
ln(1 + x)
dx .
x
Rta.0.83861
15. Encuentre una representación en serie de potencias de la función
1 − cos( x)
f(x) =
.
x
∞
Rta.
∑
(−1)n +1
n =1
xn −1
(2n)!
16. Tomando en cuenta el ejercicio anterior, aproxime con una exactitud de dos cifras
decimales:
∫
Rta. 23 .
48
1
f(x)dx .
0