Tema 3. Muestreo Aleatorio Estratificado

Tema 3. Muestreo Aleatorio Estratificado
Contenido
1) Definición, ventajas, como formar los estratos,
selección y notación.
2) Estimadores de la media y el total.
3) Varianza. Límites de confianza.
4) Asignación de la muestra (tamaño de la
muestra)
5) Muestreo Estratificado para proporciones
6) Tamaño de la muestra para la proporción.
7) Comparación de la precisión.
Muestreo I
69
Muestreo Aleatorio Estratificado
Definición:
El muestreo estratificado consiste en los siguientes pasos:
a) La población de N elementos se divide en L subpoblaciones
distintas llamadas estratos de tamaños N1, N2, ... , NL
L
(donde
∑
i=1
N
i
=
N
)
b) Dentro de cada estrato se selecciona una muestra aleatoria
L
simple de tamaño nh (donde ∑
h =1
nh = n
)
c) De la muestra de cada estrato se calcula un estimador, que
se ponderan para formar un estimador combinado de la
población.
d) De igual modo, en cada muestra por estrato se calcula la
varianza, que se ponderan para obtener una estimación
combinada de la dispersión en la población.
Muestreo I
70
Muestreo Aleatorio Estratificado
Ventajas sobre el muestreo simple
1. Permite considerar los estratos como Dominios de Estudio,
obtener estimaciones de los parámetros y precisión conocida
por estrato.
2. La Estratificación se utiliza para disminuir las varianzas de la
estimación en comparación con el muestreo aleatorio simple.
Esto es particularmente cierto si las mediciones dentro de los
estratos son homogéneas y heterogéneas entre los estratos.
3. El costo por observación puede reducirse por una
conveniente estratificación.
4. Se puede estratificar para utilizar diferentes métodos de
observación o medida dentro de ellos.
Muestreo I
71
Muestreo Aleatorio Estratificado
¿Cómo
formar los estratos?
¿Cómo seleccionar la muestra estratificada?
Notación.
El subíndice h indica el estrato, h=1,2,...,L
El subíndice i denota la unidad dentro del estrato
Nh número de elementos en el estrato h de la población
nh número de elementos del estrato h en la muestra
N tamaño de la población ∑ N h = N
n tamaño de la muestra ∑ n h = n
yhi valor obtenido en la i-ésima unidad del h-ésimo estrato.
W h=Nh/N peso del estrato h-ésimo
fh=nh/Nh fracción de muestreo en el estrato h-ésimo
Muestreo I
72
Muestreo Aleatorio Estratificado
Estimación de la media.
En el muestreo estratificado el estimador usual de Y
∑
=
y st
L
Nh yh
N
( ) ∑
V y st =
Si
nh
Nh
L
donde y h es la media muestral
del h-ésimo estrato.
= ∑ Wh y h
L
( ) ∑
W V yh =
2
h
es:
y st es insesgada de Y
L
W
S h2
(1 − f h )
nh
2
h
( )
Nh
=
n
n
V y st
es despreciable y si h
N proporcionales, determine
Estimación del total
∧
Y
st
= N y st
⎛∧ ⎞
V ⎜ Y st ⎟ ==
⎠
⎝
∑
L
S h2
N h (N h − n h )
nh
Muestreo I
73
Muestreo Aleatorio Estratificado
Varianza estimada
Bajo el supuesto de selección aleatoria independiente en los
estratos una estimación insesgada de V (y st ) es:
∧
( )
V y st
1
=
N2
∑
L
s h2
N h (N h − n h )
=
nh
∑
L
s h2
Wh
−
nh
∑
L
s h2
Wh
N
El último término representa la reducción debida al f.c.p.f.
es la varianza estimada (insesgada)
2
1
n
h
2
en el estrato h-ésimo
sh =
yhi − yh
Esta estimación requiere al menos
nh −1
dos observaciones por estrato.
∑(
)
Límites de confianza
( )
Media y st m tα s y st
Total
Ny
st
( )
m tα Ns y st
t α es la abscisa en la normal(0,1)
Muestreo I
74
Asignación de la muestra.
Se denomina asignación o afijación de la muestra al reparto del
tamaño de la muestra, n, entre los L estratos (esto es la
determinación de los valores n 1, n 2, ..., n L).
• El objetivo de la asignación es incrementar la precisión de los
estimadores y minimizar costos.
• En la asignación debe tomarse en cuenta los siguientes
factores:
a) Tamaño de los estratos (Nh )
b) Dispersión dentro de los estratos (s h )
c) Costos por observación en cada estrato.
2
Tipos de asignación:
1. Asignación optima
2. Asignación de Neyman
3. Asignación proporcional
Muestreo I
75
Asignación optima.
En el muestreo estratificado con una función de costos lineal
(C
= Co +
∑C
h
n h ) la varianza de la media estimada y st es un
mínimo para un costo especifíco . Y el costo es un mínimo
para una varianza especifíca V (y st ) cuando nh es proprocional
a W h sh / C h
Minimizando V (y st ) sujeto a la restrimción C − C o =
usando multiplicadores de Lagrange se obtiene:
⎛
nh = n⎜
⎜
⎝
N h sh /
∑
N h sh /
∑C
h
nh
⎞
⎛
⎞
⎟ = n⎜ W h sh / C h ⎟
⎜∑W s / C ⎟
C h ⎟⎠
h h
h ⎠
⎝
Ch
Luego el tamaño de la muestra en el estrato h será grande si:
1. El tamaño del estrato Nh es grande
2. La dispersión en el estrato, sh , es grande
3. Si el costo en el estrato, ch , es bajo
Muestreo I
76
Asignación optima (continuación)
Para completar la asignación se requiere conocer el valor de n.
La solución depende de que valor se específica: el costo o la
varianza.
1. Si se específica el costo
n =
(C
− C o )∑ N h s h /
∑N
h
sh
Ch
Ch
2. Si la varianza V (y ) es fija
st
n =
∑W
h
s h2
∑W s /
N )∑ W s
Ch
V + (1
Muestreo I
h
h
h
Ch
2
h
77
Asignación de Neyman
Si el costo por unidad es el mismo en cada estrato (C h ≡ C ) la
función de costos es C = C o + Cn y la asignación optima para un
costo fijo se convierte en asignación optima para un n fijo. Este
tipo de asignación se conoce como asignación de Neyman.
Y V (y st ) se minimiza para un tamaño de muestra n fijo si:
nh = n
N h sh
∑ N h sh
La varianza mínima con n fija se obtiene con el anterior valor
de nh en V (y st )
(y ) = (∑ Wn s )
2
V min
h
st
h
−
∑W
N
h
s h2
(el último término es f.c.p.f.)
Muestreo I
78
Tamaño de la muestra (sin función de costos)
Suponemos que se ha especificado la varianza V, si lo que se
especifica es el error e entonces (e/t)2=V, donde t es el desvío
correspondiente a la probabilidad (1 − α / 2 )
n =
∑
W h2 s h2
wh
1
V +
N
∑W
h
s
2
h
1
no =
V
si se ignora f.c.p.f.
Si no no es despreciable
∑
W h2 s h2
wh
no
n=
1+
1
VN
∑W
h
s h2
En casos particulares las siguientes formulas pueden ser
convenientes para el calculo
Muestreo I
79
Asignación optima supuesta
(n fijo) w h ∝ W h s h
(∑ W s )
1
+
W s
∑
N
2
n=
h
V
h
h
Tamaño de la muestra para
el total Y
⎛∧
Sea ahora V = V ⎜⎝ Y
2
h
Asignación proporcional
wh = W h = N h / N
En general
st
⎞
⎟
⎠
N h2 s h2
∑ w
h
n =
V + ∑ N h s h2
Optimo supuesto (n fijo)
(
N s )
∑
n=
V +∑ N s
2
no =
n=
∑W
h
V
no
n
1+ o
N
s
h
2
h
h
h
2
h
Proporcional
N
no =
V
Muestreo I
∑
N h s h2
n=
no
n
1+ o
N
80
Muestreo estratificado para proporciones
La estratificación ideal al estimar la proporción en un estrato es
todas las u i ∈ C y en el otro todas las u j ∉ C . Si no es posible los
estratos deben ser tales que ph varie tanto como sea posible de
estrato a estrato.
Sea
Ph =
Ah
Nh
ph =
ah
nh
proporción por estrato
La estimación apropiada de P es:
p st =
∑N
h
ph
(caso particular de y st )
N
La varianza
1
V ( p st ) =
N2
∧
ya que
∑
N h2 ( N h − n h ) Ph Q h
Nh −1
nh
( )
V y st
1
=
N2
∑
L
s h2
N h (N h − n h )
nh
Muestreo I
y
s h2 =
Ph Q h
Nh −1
81
Muestreo estratificado para proporciones
Si en V ( p st ) :
1. Los términos 1/Nhson despreciables
1
V ( p st ) =
N2
∑
N h ( N h − n h )Ph Q h
W h2 Ph Q h (1 − f h )
=∑
nh
nh
2. Puede ignorarse el f.c.p.f.
V ( p st ) =
3. Asignación proporcional
(1 − f )
V ( p st ) =
∑
n
∑
W h2 Ph Q h
nh
n h = n (N h / N
)
(1 − f
N h2 Ph Q h
=≈
N (N h − 1)
n
)
∑W
h
Ph Q h
Estimación de V ( p st ) . Se sustituye p h q h / (n h − 1) por Ph Q h / n h
Muestreo I
82
Muestreo estratificado para proporciones
La mejor elección de nh - asignación optima para minimizar
V ( p st
) se desprende de la teoría ya vista.
Varianza mínima para un tamaño de muestra total fijo n h ∝ N h s h
N h / ( N h − 1 ) Ph Q h ≅ N h
nh ∝ N h
por lo que
nh ≅
nN
∑
h
Nh
Ph Q h
Ph Q h
Ph Q h
Varianza mínima para un costo total fijo C = C o + ∑ C h n h
nh ≅
nN
∑
h
Nh
Ph Q h / C h
Ph Q h / C h
Muestreo I
83
Tamaño de muestras para proporciones
Las formulas dadas a continuación son casos particulares de las
vistas para datos continuos
Sea V la varianza de p deseada
Asignación proporcional n o =
∑W
h
phqh
n =
V
no
n
1+ o
N
Asignación optimo supuesto
no =
(∑ W
phqh
h
)
2
no
n =
1+
V
no
N
∑W
h
phqh
Se ha considerado N h / ( N h − 1 ) ≅ 1
En la extensión a porcentaje ph, q h y V se expresan en
porcentajes
Para el total A las varianzas se multiplican por N 2
Muestreo I
84
Comparación de la precisión en el
muestreo estratificado y el simple
Si la estratificación está bien diseñada la varianza del estimador
es menor que la del aleatorio simple. Cumpliéndose la siguiente
relación:
V opt ≤ V prop ≤ V mas
(probar)
donde ignoramos los términos 1/Nh y la asignación optima es
para n fijo, es decir, nh ∝ N h sh
Ayuda: identifique Vmas , V prop y Vopt
Vmas ≥ V prop
del desarrollo (N-1)S2
V prop ≥ Vopt
de V prop − Vopt ≥ 0
Muestreo I
( )
(de Vmin y st )
1/N y 1/Nh --> 0
85
Cuándo la estratificación beneficia la
precisión?
Lo ideal es utilizar como variable de estratificación la variable de la
encuesta.
1. La población consta de unidades que varian en tamaño
2. Las principales variables se relacionan con los tamaños
3. Se cuenta con una buena medida de tamaño para establecer los
estratos.
La información de censos sobre tamaño es buena para estratificar
Dos casos donde la estratificación optima mejora la proporcional
2
S
1. La estratificación se hace en función del tamaño de ui y h es
mayor en las grandes que en las pequeñas
2. Cuando el costo de muestrear es mayor en unos que en otros.
Muestreo I
86