Segundo control de ´Algebra I.

Santiago, Abril 27 de 2010.
Segundo control de Álgebra I.
Nombre:
1† Determine una fórmula en términos de n para
2n+1
X
(k + 1)(k + 3) y utilice esta fórmula pada calcular:
k=n+1
15
X
(k + 1)(k + 3).
k=8
2† Utilice el principio de inducción matemática para determinar si la siguiente afirmación es válida.
∀n ∈ N,
n
X
k=1
1 1
k
= +
(k + 1)(k + 2)(k + 3)
4 2
1
3
−
n+2 n+2
3† Demuestre usando el principio de inducción matemática que para todo natural n se tiene que x − y divide a
xn+1 − y n+1 .
Observaciones
# Solo se aceptarán consultas de redacción dentro de los primeros 10 minutos.
# No se admiten consultas relacionadas con la materia.
# No se permite el uso de apuntes ni libros.
# Duración 60 minutos.
# Preguntas incompletas o sin justificación serán evaluadas con menor puntaje.
# Todas las preguntas tienen una ponderación de 20 puntos.
Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una
oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber.(Albert Einstein)
Profesor
email
: Miguel Ángel Muñoz Jara.
: [email protected]
1
PAUTA.
(k + 1)(k + 3) y utilice esta fórmula pada calcular:
k=n+1
(k + 1)(k + 3).
LC
C.
15
X
k=8
Solución. Observe que:
=
k=n+1
n+1
X
(k + n + 1)(k + n + 3)
I.
(k + 1)(k + 3)
k=1
=
lge
br
a
2n+1
X
n+1
X
(k 2 + k(2n + 4) + (n + 1)(n + 3))
k=1
(n + 1)(n + 2)(2n + 3) (n + 1)(n + 2)(2n + 4)
+
+ (n + 1)(n + 1)(n + 3))
6
2
=
(n + 1)(14n2 + 55n + 48)
6
(k + 1)(k + 3) =
k=n+1
(n + 1)(14n2 + 55n + 48)
.
6
Ası́ de lo anterior podemos deducir que:
(k + 1)(k + 3)
=
14+1
X
(k + 1)(k + 3)
Co
15
X
ld
e Á
=
nt
ro
Por lo tanto
2n+1
X
10
2n+1
X
20
1† Determine una fórmula en términos de n para
.
Observación. La solución de los siguientes problemas puede no ser única.
Si encuentra algún ((Herror)) favor comuniquelo vı́a email.
k=7+1
k=8
(7 + 1)(14(7)2 + 55(7) + 48)
= 1492
6
nd
o
=
2† Utilice el principio de inducción matemática para determinar si la siguiente afirmación es válida.
n
X
k
1 1
= +
(k + 1)(k + 2)(k + 3)
4 2
gu
∀n ∈ N,
1
3
−
n+2 n+2
Se
k=1
Solución. Observe que la afirmación dada es falsa ya que para n = 1 la igualdad no es válida.
Pa
u
ta
3† Demuestre usando el principio de inducción matemática que para todo natural n se tiene que x − y divide a
xn+1 − y n+1 .
Solución. Usaremos el principio de inducción matemática para demostrar la afirmación dada.
a) Primer paso. Análisis para n = 1.
xn+1 − y n+1
= 1x2 − y 2
= (x − y)(x + y)
Por lo tanto la afirmación es válida para n = 1, ya que x − y divide a x2 − y 2 .
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2
b) Segundo paso. Hipótesis de Inducción. Supongamos que para n = kse tiene que:
10
.
xk+1 − y k+1 = (x − y)P (x, y)
Donde P (x, y) es un polinomio en las varaibles x, y.
xk+2 − y k+2
LC
C.
20
c) Step ((Dark side of the Math)). Determinemos si para n = k+1 se cumple que x−y divide a xk+2 −y k+2 .
En efecto:
= xk+2 − xy k+1 + xy k+1 − y k+2
= x(xk+1 − y k+1 ) + y k+1 (x − y)
Por lo tanto si n = k + 1 entonces x − y divide a xk+2 − y k+2 .
lge
br
a
= (x − y)(xP (x, y) + y k+1 )
I.
= x(x − y)P (x, y) + y k+1 (x − y)
Pa
u
ta
Se
gu
nd
o
Co
nt
ro
ld
e Á
Ası́ de lo anterior se tiene que para todo natural n se tiene que x − y divide a xn+1 − y n+1 .
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3