3. Área en coordenadas polares. [ ]→ r(θ)∈, donde θ α θ β θ θ β θ α

GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2010–11.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 3. Curvas.
3. Área en coordenadas polares.
En la lección anterior vimos cómo se calculaban áreas en coordenadas cartesianas mediante una
integral. Ahora estableceremos una fórmula similar en coordenadas polares.
[
]
Consideremos la curva en coordenadas polares dada por la función r : θ ∈ α , β → r (θ ) ∈ , donde
r = r (θ ) es una función continua. La región A := {( r ,θ ) : α ≤ θ ≤ β , 0 ≤ r ≤ r (θ )} cuya área queremos calcular es la que se muestra sombreada en la siguiente figura, está limitada por la curva y las
semirrectas de ecuaciones θ = α y θ = β .
Para obtener una expresión de esta área tomemos una partición θ 0 = α < θ1 < θ 2 <
< θ n = β del
intervalo [α , β ] y en cada subintervalo genérico [θ k −1 ,θ k ] elegimos un punto arbitrario tk . Entonces
el área encerrada por la curva y los rayos θ = α y θ = β se puede aproximar por la suma
área(S1 ) + área(S2 ) +
+ área(Sn ),
donde Sk es el sector circular de radio r (tk ) y ángulo θ k − θ k −1. Observa la siguiente figura
donde hemos dibujado la curva y uno de estos sectores circulares. De forma que al aumentar el
número de puntos de la partición, esta suma tiende al área de la región limitada por la curva
1
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Lección 3. Curvas.
r = r (θ ) y los rayos θ = α y θ = β . Cada subintervalo genérico [θ k −1 ,θ k ] determina un sector circular Sk . El área de este sector circular1 está dada por
área( Sk ) =
1
1
1
sk r (tk ) = r (tk )(θ k − θ k −1 )r (tk ) = r (tk ) 2 (θ k − θ k −1 ).
2
2
2
n
Entonces
n
1
1
área(S
)
=
∑
∑ 2 r (tk )2 (θ k − θ k−1 ) = 2
k
k=1
k=1
n
∑ r (tk )2 (θ k − θ k−1 ) →
k=1
Suma de Riemann de la función r (θ )
1
2
∫
β
α
r (θ ) 2 dθ .
2
DEFINICIÓN. Sea r = r (θ ) la ecuación en coordenadas polares de una curva y supongamos que r (θ )
es continua en el intervalo cerrado [α , β ] . Se define el área de la región limitada por la curva y las
semirrectas de ecuaciones θ = α y θ = β como la integral
1
2
∫
β
α
r (θ ) 2 dθ .
EJEMPLO. Calculemos ahora el área que encierra la cardioide de ecuación r = 1 − cos θ . Sabemos
que la fórmula para el cálculo del área es
1
2
∫
β
α
r (θ ) 2 dθ =
1
2
∫
2π
0
1
2
(1 − cos θ ) dθ = ∫
2
2π
0
(1 − 2 cos θ + cos θ ) dθ = ⎡⎢⎣cos θ = 12 (1 + cos(2θ ) )⎤⎥⎦
2
2
2π
1
1⎛
1⎛
1
⎛
⎞
⎤
θ
θ
θ
π
θ
θ
−
+
+
=
+
+
1
2
cos
1
cos(2
)
2
sen(2
)
d
(
)⎟
⎜
⎜
⎜
⎥⎦
2
2 ⎝⎜
2⎝
2
0 ⎝
⎠
0
1⎛
1 ⎞ 3π
= ⎜ 2π + 2π ⎟ =
.
2⎝
2 ⎠ 2
=
1
2
∫
2π
⎞
⎟⎟
⎠
Para calcular el área de una región como la de la siguiente figura,
1
sr , o equi2
1
valentemente, si θ es el ángulo del sector circular, con lo que s = rθ , entonces el área del sector circular es r 2θ .
2
1
NOTA. Como en el caso de un triángulo, el área de una sector circular de longitud de arco s y radio r es
2
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comprendida entre dos curvas de ecuaciones polares r = r1 (θ ) y r = r2 (θ ) entre los rayos de ecuaciones θ = α y θ = β , simplemente restamos las áreas que encierran cada una de ellas en este sector. Entonces obtenemos la siguiente definición.
DEFINICIÓN. El área de la región limitada por la curvas de ecuaciones polares r = r1 (θ ) y r = r2 (θ )
y los rayos de ecuaciones θ = α y θ = β se define como la integral
1
2
∫
β
α
( r (θ )
2
2
− r1 (θ ) 2 ) dθ .
EJEMPLO. Vamos a calcular el área encerrada por la circunferencia de ecuación polar r = 1 que se
encuentra fuera de la cardioide de ecuación polar r = 1 − cos θ . En primer lugar dibujamos la región
para determinar los límites de integración.
Observa que la curva exterior es r = 1 mientras que la curva interior es r = 1 − cos θ . La variable θ
⎡ π π⎤
recorre el intervalo ⎢ − , ⎥ . Entonces el área es
⎣ 2 2⎦
1
2
∫
β
α
( r1 (θ ) − r2 (θ ) ) dθ = 12
2
2
π
∫ (1 − (1 − cosθ ) )
2
−
π
2
2
1
dθ =
2
1
⎡
⎤
= ⎢cos 2 θ = (1 + cos(2θ ) ) ⎥ =
2
⎣
⎦
∫
π
2
−
∫
π
0
2
π
( 2 cos θ − cos θ ) dθ
2
2
1
⎛
⎞
⎜ 2 cos θ − (1 + cos(2θ ) ) ⎟ dθ
2
⎝
⎠
π
θ sen(2θ ) ⎤ 2
π
⎛
= ⎜ 2senθ − −
= 2− .
⎥
2
4 ⎦0
4
⎝
EJERCICIO 1. Calcula el área que encierra la curva de ecuación polar r = 1 + senθ .
EJERCICIO 2. Calcula el área que encierra la curva de ecuación polar r = 4 cos(2θ ) .
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EJERCICIO 3. Calcula el área de la región limitada por la cardioide r = 2 − 2 cos θ y la circunferencia r = −6 cos θ .
EJERCICIO 4. Calcula el área de la región comprendida entre las circunferencias
a) r = 2 cos θ y r = 2sen θ ,
b) r = 1 y r = 2sen θ .
EJERCICIO 5. Calcula el área de la región comprendida entre las curvas
a) r = 2 y r = 2(1 − cos θ ),
b) r = 2 (1 + cos θ ) y r = 2 (1 − cos θ ) .
EJERCICIO 6. Calcula el área de la región que es interior a la lemniscata r 2 = 6 cos(2θ ) y exterior a
la circunferencia r = 3.
EJERCICIO 7. Calcula el área de la región que es interior a la circunferencia r = 3a cos θ y exterior
a la cardioide r = a (1 + cos θ ) , siendo a > 0.
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