a ac bb x 2 4 ± - = - MatematicaTuya.com

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Teorema.- Sea ax2+bx+c=0, si a=0 entonces
 b  b 2  4ac
x
2a
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DEMOSTRACIÓN
ax 2  bx  c
 2 b 
a  x  x   c
a 

b
c
2
x  x
a
a
1) Dejar los términos con x
solos de un lado de la
ecuación
2)Sacar a de factor común
3)Se pasa dividiendo a.
Se identifica con los
dos primeros términos
del desarrollo de
x  k 2
2
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DEMOSTRACIÓN
ax  bx  c
2
 2 b 
a  x  x   c
a 

b
c
2
x  x
a
a
Toma en cuenta
x  2kx  k  x  k 
2
2
2
b
x  x?
a
2
Identificar k
b
b
a
k 
2 2a
3
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DEMOSTRACIÓN
Toma en cuenta
x  2kx  k  x  k 
ax  bx  c
2
2
2
2
b
x  x?
a
2
 2 b 
a  x  x   c
a 

b
b
c
2
b
a
x  x
k 
a
a
2 2a
2
2
Se completa el cuadrado. Se
b
b




b
c

suma en ambos lados la
x 2  2 x      
2a  2 a   2 a  a
misma cantidad para no
2
2
b   b  c

x    
2a   2a  b

alterar la igualdad
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DEMOSTRACIÓN
2
ax 2  bx  c
 2 b 
a  x  x   c
a 

b
c
2
x  x
a
a
2
2
b
 b   b  c
2
x 2 x    
2a
a
 2a   2a 
2
2
b
b
 4ac


x  
2
a
2
4a


b
b 2  4ac
x

2a
4a 2
 b  b 2  4ac
x
2a
2
b   b  c

x    
2a   2a  b

2
b 
b2
c

x   2 
a
2a 
4a

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Tipos de solución
DEMOSTRACIÓN
2
ax 2  bx  c
 2 b 
a  x  x   c
a 

b
c
2
x  x
a
a
2
2
b
 b   b  c
2
x 2 x    
2a
a
 2a   2a 
2
2
b   b  c

x    
2a   2a  b

2
b 
b2
c

x   2 
a
2a 
4a

2
b
b
 4ac


x  
2
a
2
4a


b
b 2  4ac
x

2a
4a 2
 b  b 2  4ac
x
2a
Si b 2  4ac  0
Dos raíces reales
distintas
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Tipos de solución
DEMOSTRACIÓN
ax 2  bx  c
 2 b 
a  x  x   c
a 

b
c
2
x  x
a
a
2
2
b
 b   b  c
2
x 2 x    
2a
a
 2a   2a 
2
2
b   b  c

x    
2a   2a 
b

2
b 
b2  c

x   2 
a
2a 
4a

2
2
b
b
 4ac


x  
2
a
2
4a


Si b 2  4ac  0
b
x
0
2a
b
x
2a
Una raíz de
multiplicidad 2
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Tipos de solución
DEMOSTRACIÓN
ax 2  bx  c
 2 b 
a  x  x   c
a 

b
c
2
x  x
a
a
2
2
b
 b   b  c
2
x 2 x    
2a
a
 2a   2a 
2
2
b   b  c

x    
2a   2a 
b

2
b 
b2  c

x   2 
a
2a 
4a

2
2
b
b
 4ac


x  
2
a
2
a
4


Si b 2  4ac  0
No hay soluciones
reales
2
2
b
b
 4ac


x  
2
2
a
4
a


positivo
negativo
Imposible
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Tipos de solución
DEMOSTRACIÓN
ax 2  bx  c
 2 b 
a  x  x   c
a 

b
c
2
x  x
a
a
2
2
b
 b   b  c
2
x 2 x    
2a
a
 2a   2a 
2
2
b   b  c

x    
2a   2a 
b

2
b 
b2  c

x   2 
a
2a 
4a

2
2
b
b
 4ac


x  
2
a
2
a
4


Si b 2  4ac  0
Las raíces son
números complejos,
conjugados entre sí
 b  b 2  4ac
x
2a
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