Clase 2_Frege

Seminario LU
Primer Cuatrimestre 2008
Departamento de Filosofía – FFyL – UBA
Horacio Banega
Clase 2
George, Alexander y Heck, Richard, “Gottlob Frege”, en Routledge Enciclopedia of
Philosophy, 1.0, London / New York, Routledge, 1998
PRESENTACIÓN
0.-Filósofo y matemático alemán interesado en primer lugar en comprender la naturaleza
de las verdades matemáticas y los medios por los cuales se justifican. En general sostuvo
que la razón es la única que justifica enunciados matemáticos, y su justificación procede
sin ayuda de información perceptiva o datos aportados por alguna facultad de intuición.
Para lograr esto tenía que articular una concepción de la razón independiente de la
experiencia y de la intuición. En 1879, con “claridad extrema, rigor y técnica brillantes”,
presentó su concepción de justificación racional. Por primera vez fue posible un análisis de
las inferencias deductivas que involucraban oraciones que contenían expresiones
generales múltiplemente incrustadas (por ejemplo, “Todos aman a alguien”). Presentó un
sistema lógico en el cual tales argumentos se podían representar con sutileza: “este fue el
desarrollo mas significativo en nuestra comprensión de los sistemas axiomáticos desde
Euclides”.
1.-El objetivo de Frege era mostrar que la mayoría de las matemáticas se podían reducir a
la lógica en el sentido en que el contenido completo de todas las verdades matemáticas se
podían expresar usando sólo nociones lógicas y que esas verdades se podían deducir de
los primeros principios de la lógica utilizando solo medios lógicos de inferencia. Frege no
logró cumplir con su objetivo, pero consiguió mostrar que los axiomas de la aritmética se
podían derivar con medios lógicos de un principio singular, que, según algunos, por mas
que no sea un principio completamente lógico, sigue siendo fundamental. Frege
contribuyó con su crítica al empirismo y a Kant a implantar un punto de vista nuevo en
filosofía de las matemáticas y, en general, sobre los objetos abstractos.
2.-En el desarrollo del análisis del argumento deductivo Frege indagó, detrás de la forma
superficial de oraciones, por una estructura subyacente en virtud de la cual la consistencia
de las inferencias se obtiene. Como una consecuencia de estas indagaciones, Frege
ofreció la primera consideración no trivial y plausible del funcionamiento del lenguaje.
Muchas de sus tesis específicas sobre el lenguaje –por ejemplo, que la comprensión de
una expresión lingüística no consiste meramente en saber a qué objeto se refiere- son
reconocidas como importantes incluso por quienes las rechazan.
3.-Importancia para la implementación de la tradición analítica: a.-tradujo problemas
centrales de la filosofía en problemas de lenguaje, por ejemplo, enfrentado a la cuestión
epistemológica de cómo somos capaces de tener conocimiento de objetos que ni
observamos ni intuimos, los números, Frege la reemplaza por la cuestión de cómo somos
capaces de hablar de esos objetos usando el lenguaje. b.-El foco sobre el lenguaje se
gobierna por el principio de que es la operación sobre oraciones la que es
explicativamente primaria: la explicación del funcionamiento de todas las partes del
1
discurso tiene que ser en términos de su contribución a los significados de oraciones
completas en las que aparecen. c.-Insistió en que no se confunda lo psicológico con lo
lógico: investigación en la naturaleza del lazo entre lenguaje y mundo, por un lado, y
entre lenguaje y pensamiento, por el otro, no deben comprometerse con aspectos no
compartibles de experiencia individual.
1.-OBRAS PRINCIPALES
Begriffsschrift, 1879
Die Grundlagen der Arithmetik, 1884
Grundgesetze der Arithmetik, Vol 1, 1893, Vol II 1903. Russell se comunica en 1902 y el
Vol III nunca se edita
Ensayos:
Funktion und Begriff, 1891
Über Sinn und Bedeutung, 1892a
Über Begriff und Gegenstand, 1892b
Der Gedanke: eine logische Untersuchung, 1918
2.-LENGUAJE Y ONTOLOGÍA
4.-Reconoció que las categorías gramaticales tradicionales no tienen significado lógico y
propulsó las categorías de `términos singulares´ (él los llamaba `nombres propios´) y
`predicados´ (él los llamaba `palabras – conceptos´). Un término singular es una
expresión completa que no contiene un vacío en el cual otra expresión pueda ser
colocada; por ejemplo `Virginia Wolf´, `el tercer planeta a partir del Sol´ y `el número
primo más grande´ son todos términos singulares para Frege.
5.-Un predicado tal como `( ) fue escrita por Virginia Woolf´ es algo incompleto; es una
expresión lingüística que contiene un vacío y que se transforma en una oración una vez
que se llena el vacío con un término singular (los paréntesis no son parte del predicado,
sólo indican la locación del vacío). Si llenamos el vacío con `el tercer planeta a partir del
Sol´, obtenemos una oración completa. Esto nos sirve para mostrar que la misma puede
ser falsa o absurda. Otros predicados: `Leonard Wolf se casó con ( )´ `( ) gira alrededor
de Júpiter´ y `( ) es un número primo par más grande que dos´.
6.-La distinción entre predicados es más sutil teniendo en cuenta cuantos vacíos contienen
y los tipos de expresiones lingüísticas que pueden llenarlos. Hasta acá se consideraron
predicados monádicos: cada uno tenía un vacío. `( ) es la madre de ( )´ es un ejemplo de
predicado diádico, contiene dos vacíos cada uno a ser llenado por un término singular.
Estos predicados que se llenan con uno o más términos singulares son llamados `de
primer nivel´. Predicados que se llenan con predicados de primer nivel se dicen que son
`de segundo nivel´ y así sucesivamente. Por ejemplo, cuando se analiza adecuadamente
`Todos [ ] son mamíferos´, se ve que es un predicado de segundo nivel: su estructura
efectiva es `Todo es tal que si [ ], entonces es un mamífero´, que muestra más
fácilmente que su vacío debe ser llenado por predicados de primer nivel (Paréntesis indica
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que los vacíos se llenan por términos singulares, corchetes que se llenan por predicados
de primer nivel) (Otro ejemplo: `algunas rosas [ ] ´ es un predicado de segundo nivel que
se completa con el predicado de primer nivel `( ) son rojas´) . Además: `Hay al menos
una cosa que [ ]´ es un predicado de segundo nivel, porque consideraba que la existencia
no es un concepto que se aplique a objetos sino a conceptos1.
7.-Frege distingue en las categorías ontológicas contrapartes de las categorías lingüísticas
de término singular y predicado: `objeto´ y `concepto´. Comprende a los conceptos bajo
el modelo de las funciones matemáticas. Un término singular refiere a un objeto, un
predicado a un concepto. En correlación al hecho de que un predicado de primer nivel
produce una oración completa cuando su vacío se llena por un término singular, contamos
con que un concepto de primer nivel es verdadero o falso de un objeto –o, que un objeto
cae bajo un concepto o falla en hacerlo. Por esto, Frege denomina a los conceptos `no
saturados´: a diferencia de los objetos, esperan complemento, con lo cual producen uno
de los dos valores veritativos, que Frege consideraba que eran objetos: la Verdad y la
Falsedad. El concepto designado por `( ) es un oxoniense´ produce el valor Falso cuando
se completa con el objeto designado por `Gottlob Frege´ y Verdadero cuando se completa
con el objeto designado por `John Locke´.
8.- Los conceptos son incompletos en el modo en que lo son las funciones matemáticas.
Por ejemplo, la función designada por `2 + ( )´ produce el valor 8 cuando se completa
con el objeto 6, o mas simplemente, produce ese valor para el argumento 6. La función `2
+ ( )´ no es un objeto pero da uno cuando es completada por un argumento. Para Frege
los conceptos son un tipo de función, en particular, aquellas que toman como sus únicos
valores lo Verdadero y lo Falso.
9.-Describiendo la congruencia entre categorías lingüísticas y ontológicas Frege no
confunde uso y mención. Frege fue consciente de esta diferencia mucho antes de que se
haga famosa en el Siglo XX. Se plantea una conexión estrecha entre ambos tipos de
esquemas categoriales. Si Frege considera que el esquema lingüístico o el ontológico es el
fundamental sigue siendo objeto de debate y se liga con la cuestión de si y hasta donde
consideraba que la reflexión sobre el lenguaje es la fundamentación de la filosofía.
10.-Las categorías fundamentales ontológicamente son la de concepto y la de objeto, no
susceptibles de ulterior análisis. Además, los aspectos estructurales básicos del lenguaje
producen obstáculos insuperables para expresar ciertas verdades sobre estas categorías.
Esto se muestra por el reclamo obvio que (1) intenta articular:
(1) El concepto designado por `( ) es un caballo´ es un concepto.
Esto parece evidentemente correcto. Pero Frege reconoce en Über Begriff und
Gegenstand, 1892b que demos juzgarlo como falso. Esto porque la expresión `El concepto
designado por “( ) es un caballo” ´ es un término singular y por lo tanto refiere a un
objeto, no a un concepto. (La expresión no tiene un vacío sino que menciona uno). De
modo que (1) no es exitosa expresando lo que se pretende. Para hacer esto se necesita
completar el vacío en `( ) es un caballo´ por una expresión que refiera a un concepto.
Pero el modo sencillo de hacerlo produce (2):
1
http://plato.stanford.edu/entries/existence
3
(2) ( ) es un caballo es un concepto
que ni siquiera es una oración. Si intentamos articular nuestro pensamiento, somos
conducidos a lo Falso o al sinsentido. Esto es tema de controversia, pero parecería que los
conceptos son inexpresables. [Cfr. Tractatus Logico Philosophicus]
3.-Sentido y Referencia
11.-¿Cómo se relaciona la referencia de las palabras (conceptos y objetos) con nuestra
comprensión del lenguaje? Über Sinn und Bedeutung, 1892a acá consideró si el `sentido´
de una expresión –lo que conocemos cuando entendemos la expresión- es idéntico con lo
que designa (`referencia´) . Frege ofrece el siguiente argumento para mostrar que
nuestra comprensión de los términos singulares no puede consistir sólo en conocer sus
referencias:
3.-(a) Si dos términos singulares t y t´ tienen el mismo sentido y C es cualquier
predicado (de primer nivel), entonces C (t) tiene el mismo sentido que C (t´)
(b) `La estrella vespertina = la estrella matutina´ no tiene el mismo sentido que
`La estrella vespertina = la estrella vespertina´.
( c) `La estrella vespertina´ no tiene el mismo sentido que `la estrella matutina´.
[esto se sigue de (a) y (b): sea C en (a) `La estrella vespertina = ( ) ´]
(d) `La estrella vespertina´ refiere al mismo objeto que `la estrella matutina´
( e ) La referencia de `la estrella vespertina´ no es idéntica a su sentido.
[esto se sigue de (c) y (d) ]
12.-Problemas con la traducción de `Sinn´ y `Bedeutung´. Problemas de su relación con
la noción de lenguaje ordinario de significado.
13.-La justificación de Frege de la premisa (a) radica en la tesis de la composicionalidad:
el sentido de una oración se determina por el sentido de sus partes componentes (y por el
modo en que se construye la oración a partir de ellos). La premisa (b) se justifica notando
que un hablante despierto se daría cuenta de que una es obvia mientras la otra no, una es
informativa mientras que otra es trivialmente verdadera. Esta diferencia en valor cognitivo
es suficiente para detectar sentidos diferentes (1892ª). Finalmente la premisa (d) se sigue
de la observación de que ambos términos singulares designan al planeta Venus.
14.-Si el sentido no es la referencia, ¿qué es? Frege no nos da una respuesta clara.
Escribe que el sentido de una expresión es `el modo de presentación de lo que es
designado´ (1892ª) pero no ofrece ninguna elaboración sobre la naturaleza de tales
modos de presentación. Pero sí ofrece algunas otras tesis sobre la relación sentido y
referencia. En primer lugar, el sentido determina la identidad de la referencia, pero no
viceversa. Así, la expresión `el autor del Begriffsschrift´designa un individuo particular,
Frege, y cualquier expresión con el mismo sentido designa el mismo individuo; además la
expresión `el autor de GA´, que también refiere a Frege, tiene un sentido distinto. Por
otra parte, mientras `George Orwell´ y `Eric Blair´ designan la misma persona (tienen la
misma referencia), los dos términos singulares tienen distintos sentidos.
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15.-En segundo lugar se pueden formar expresiones que poseen un sentido pero les
falta referencia. `Sherlock Holmes´ es un término singular que tiene un sentido pero no
tiene referencia, ya que Holmes no existe. Esto no entra en conflicto con decir que el
sentido determina la referencia, ya que esto quiere decir que si dos expresiones tienen el
mismo sentido, entonces tienen la misma referencia. Se podría preguntar si esta tesis
entra en conflicto con la descripción del sentido como `el modo de presentación de lo que
se designa´: ¿cómo puede haber tal modo cuando lo que se designa no existe? (CFr.
Evans 1981)
16.-Muchos han considerado que la distinción entre sentido y referencia nos proporciona
alivio de la angustia filosófica que sigue de asumir que: a.-comprendemos una expresión
asociándole directamente una referencia, y b.-comprendemos expresiones que no
refieren. Sostener ambas suposiciones ha conducido a tesis extravagantes sobre la
realidad de lo que se designa efectivamente con tales expresiones, por ejemplo que
Holmes debe existir de alguna manera para hablar de él de manera inteligible. Frege,
rechazando la primera premisa, disuelve el problema.
17.-El argumento (3) involucra términos singulares, pero otras expresiones también
tienen sentido y referencia. La distinción se diseña también para los predicados:
(4) Algo es una botella de clarete sii es una botella de clarete
(5) Algo es una botella de clarete sii es una botella del vino favorito de Hume
(4) no tiene el mismo sentido que (5). Y aun cuando `( ) es una botella de clarete´ y
`( ) es una botella del vino favorito de Hume´ son predicados que refieren al mismo
concepto, tienen diferentes sentidos. (Frege identifica dos conceptos si un objeto cae
bajo uno sii cae bajo el otro)
18.-¿Cuál es la referencia de una oración completa? Frege utiliza el procedimiento de
observar lo que permanece en una oración cuando substituye expresiones correferenciales
en ella. Asumiendo la tesis de la composicionalidad para la referencia, entonces tenemos
algunas razones para considerar lo que sea que quede sin cambios como siendo la
referencia de la oración. Consideremos
(6) George Orwell escribió 1984.
(7) Eric Blair escribió 1984.
¿Qué queda sin cambios? No el `pensamiento´ expresado por cada oración: alguien
podría pensar que una es V, pero no la otra. Lo que es constante es el valor veritativo de
las oraciones: (6) y (7) son ambas o V o F. Esto conduce a identificar la referencia de una
oración con su valor veritativo. Frege consideraba que los dos valores veritativos eran
objetos y bajo su punto de vista todas las oraciones verdaderas (falsas) son realmente
términos singulares que refieren al mismo objeto, lo Verdadero (lo Falso).
19.-Puesto que la ciencia se ocupa de lo que es verdadero, entendemos porqué Frege
insistía en que la referencia es lo esencial para la ciencia. El lenguaje natural permite la
formación de expresiones que no refieren, lo que lo vuelve una herramienta inútil para la
investigación racional. Es inferior a la Escritura Conceptual, un lenguaje formal diseñado
para formar expresiones referenciales, y sólo éstas.
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20.-Frege notó que si su tesis de que la referencia de una oración es su valor veritativo
era correcta, entonces predeciríamos (tesis de la composicionalidad) que si una oración
subordinada se reemplaza por una correferencial (con el mismo valor veritativo) la
referencia de la oración entera (su valor veritativo) seguiría siendo el mismo. Ejemplo:
(8) Ronald Reagan fue elegido Presidente en 1984 y George Orwell escribió 1984.
(9) Ronald Reagan fue elegido Presidente en 1984 y Eric Blair escribió 1984.
(8) y (9) tiene el mismo valor veritativo, como se predijo si la referencia de una oración es
su valor veritativo. Ahora veamos
(10) Stimpson cree que George Orwell escribió 1984.
(11) Stimpson cree que Eric Blair escribió 1984.
Si Simpson no se da cuenta que GO y EB son una y la misma persona, (10) y (11) pueden
tener valores veritativos distintos, esto es, pueden diferir en sus referencias. Y una se
obtiene de la otra meramente sustituyendo expresiones correferenciales (6) y (7). Frege
defendió su hipótesis afirmando que en ciertos contextos las expresiones refieren no a sus
referencias ordinarias sino a una `indirecta´. La referencia indirecta de una expresión es
solo su sentido ordinario. Puesto que `Stimpson cree que ( ) escribió 1984´ es tal
contexto y porque `George Orwell´ tiene un sentido diferente al de `Eric Blair´ (y, en este
contexto, una referencia diferente), la tesis de la composicionalidad para la referencia no
nos obliga mas a la conclusión de (10) y (11) tienen el mismo valor veritativo.
21.-¿Y cuál es el sentido de una oración completa? Dada la tesis de la composicionalidad
para sentidos, será preservado por sustitución de una expresión en una oración por otra
con sentido idéntico. Frege afirma que la misma preserva el pensamiento expresado por la
oración e identifica este pensamiento con el sentido de la oración. Así porque `mentir´
tiene el mismo sentido que `expresar algo que uno cree falso con la intención de
engañar´, se prediciría que las siguientes oraciones expresan el mismo pensamiento:
(12) Todos han mentido.
(13) Todos han expresado algo que creen falso con la intención de engañar.
Pero ¿qué es un pensamiento?
4.-Pensamiento y pensar
22.-Hay que distinguir el evento psicológico del pensamiento aprehendido en tal evento.
El psicologismo consiste en confundir eventos privados que acompañan nuestra
aprehensión de un pensamiento con el pensamiento que es aprehendido. Los
pensamientos son completamente compartibles. Cuando uds. y yo aprehendemos el
sentido de `los limones están agrios´ llegamos al mismo pensamiento: no hay dos
pensamientos diferentes, relacionados (como dos imágenes mentales diferentes), sino
solo uno. La comunicación es posible a partir de esta concepción.
23.-Aprehender un pensamiento no significa sostener que es verdadero. Múltiples actos
lingüísticos y psicológicos lo aprehenden: afirmando su verdad, deseando que sea
verdadero, asumiendo que es verdadero, ordenando que lo sea. Estos actos corresponden
a diferentes tipos de `fuerza´ que se puede añadir al pensamiento. Divide el proyecto de
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investigación lingüística en dos proyectos: una teoría del sentido y una teoría de la fuerza.
Una semántica y una pragmática del lenguaje.
5.-Objetividad y privacidad
24.-En la sección anterior vimos la insistencia de Frege en mostrar que los pensamientos
son objetivos, pretendiendo que diferentes hablantes pueden añadir los mismos
pensamientos a sus oraciones. Hay una segunda manera en que Frege considera que los
pensamientos son objetivos: decir que son compartibles es compatible con decir que su
existencia y propiedades son dependientes de la actividad humana. Sin embargo Frege
parece creer que los pensamientos son también objetivos en que existen
independientemente de la actividad humana. No son creados o formateados por el
proceso de pensar: existen más allá de este proceso, sin importar si los hemos
aprehendido o si alguna vez lo haremos.
25.-Estos dos tipos de objetividad, compartibilidad e independencia, también se aplican a
la verdad, que Frege considera como una propiedad de los pensamientos. No hay
diferentes propiedades que sean privadas e individuales - `verdad para uds.´, `verdad
para mí´. Hay una sola propiedad, `ser verdadero´, que algunos pensamientos tienen,
mientras a otros les falta. Además, el que un pensamiento posea o no esta propiedad no
depende de nuestra capacidad de reconocerlo. El ser verdadero de un pensamiento debe
distinguirse estrictamente de nuestro creerlo verdadero o de nuestro estar justificado en
considerarlo verdadero. Según Frege, la verdad de un pensamiento no depende de
nuestras creencias ni siquiera en una situación epistémica ideal. La verdad es una cosa,
nuestro reconocimiento de la verdad es otra completamente diferente. Esto constituye un
motivo realista fuerte en el pensamiento de Frege.
26.-Puesto que Frege consideraba que una oración es verdadera sii refiere al valor
veritativo Verdadero, su realismo implica afirmar que una oración refiere
independientemente de nuestro reconocimiento de este hecho. Pero una oración refiere a
un objeto solo via su sentido (el pensamiento que expresa), que es lo que determina su
referencia. Y este sentido no es algo que la oración tenga independientemente de los
hablantes (así, una expresión como `chat´ puede tener un sentido en una lengua y otro
en otra), sino que se le asocia por una actividad humana. Considerando todo esto al
mismo tiempo, observamos que, según Frege, los humanos asociamos sentidos con
expresiones lingüísticas –en esto consiste la comprensión del lenguaje- a causa de que
estas expresiones toman referencias cuya identidad puede quedar para siempre
desconocida.
27.-Esta consideración nos fuerza a indagar por la noción de sentido y a su concepción de
lo que sea aprehender un sentido y asociarlo con una expresión. El antipsicologismo no se
extiende hasta la aprehensión del sentido, y parece permitirlo en este tema (1897ª). Dado
su punto de vista sobre la privacidad de los eventos mentales, parecería que para Frege
no se puede siempre determinar qué pensamiento asoció otra persona con una oración:
no si uno puede aprehender el mismo pensamiento que otra persona (esto se garantiza
por la compartibilidad de los pensamientos, que es un aspecto de su objetividad), sino que
uno no puede siempre averiguar que lo haya hecho. Que esta parte de la comprensión del
lenguaje pueda permanecer privada ha problematizado a generaciones subsiguientes.
Dummett propone considerar a los sentidos como compartibles, pero también considerar
su aprehensión y anexión a las oraciones como eventos públicos.
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6.- Contribuciones a la lógica
28.-La Escritura Conceptual de Frege contiene dos innovaciones de importancia
fundamental para la lógica contemporánea: un tratamiento lógicamente satisfactorio de la
generalidad y el desarrollo del primer sistema formal. También contiene tablas veritativas,
la definición de Frege de ancestro y las bases de su filosofía del lenguaje. La generalidad:
el análisis lógico de oraciones que contienen palabras como `todo´, `algo´, `ninguno´,
etc. El fundamento del análisis descansa en la distinción término singular – predicado
aplicado a oraciones simples. Así `Tony está vivo´ contiene un término singular `Tony´ y
un predicado `( ) está vivo´. Se puede extender este análisis a oraciones como `Todo
está vivo´ utilizando como base `el lenguaje de las fórmulas de la aritmética´. En
aritmética una oración que contiene una variable `x´, se considera verdadera sii, no
importa lo que pueda ser x, x + 2 = 2 + x. De modo que si dejamos que el argumento de
`( ) está vivo´ sea una variable, la oración resultante `x está vivo´expresa la
generalización de `Tony está vivo´: será verdadera sii, no importa lo que sea x, x está
vivo.
De manera similar, `Todo no está vivo´ se puede representar como `x no está
vivo´. Dada la anterior convención, esto será verdadero sii, no importa lo que sea x, x no
está vivo. Ahora bien, es imposible representar estas oraciones como `No todo está vivo´,
usando variables solo de esta manera. Ni tampoco se puede expresar `Si todo está vivo,
entonces la nieve es negra´. Se podría intentar representarla como `Si x está vivo,
entonces la nieve es negra´. Pero esto representa, en verdad, `Todo es tal que, si está
vivo, entonces la nieve es negra´ (1879, # 11)
29.-Lo que se requiere es un modo de confinar la generalidad expresada por la variable a
una parte de la oración. En discusiones informales, Frege usaba la frase `no importa lo
que sea x´ para hacer esto (1879, # 12). Así se puede representar `No todo está vivo´
como `No es el caso de que, no importa lo que sea x, x está vivo´, y, `Si todo está vivo,
entonces la nieve es negra´, como `Si, no importa lo que x sea, x está vivo, entonces la
nieve es negra´. La frase `no importa lo que x sea´ y su lugar en la oración delimitan el
`alcance´ de la variable. El descubrimiento mas importante de Frege no es que las
variables se pueden usar para expresar generalidad, sino que tienen alcance; su
innovación mas significativa, el desarrollo de la notación en la que se representa el
alcance, esto es, los cuantificadores.
30.-La segunda contribución fundamental fue la construcción del primer sistema formal.
Como Frege los concebía, un sistema formal consta de tres partes: a.-un `lenguaje´
altamente estructurado en el que se puedan expresar los pensamientos; b.-`axiomas´
especificados precisamente, o verdades básicas, sobre el tema en cuestión, y c.- `reglas
de inferencia´ que gobiernan el modo en que una oración se puede inferir de otras ya
establecidas. Frege consideraba que había muchas ventajas en llevar a cabo pruebas en
estos sistemas, ya que se comprenderían mejor al poderse explicitar más fácilmente los
principios que se usaron.
7.-Die Grundlagen der Arithmetik: tres principios fundamentales
31.-En el Prefacio a Begriffsschrift Frege mencionó su interés en determinar si las
verdades básicas de la aritmética se podían demostrar `por medios de lógica pura´. Kant
había respondido negativamente. Uno de los objetivos principales de GA era dar pruebas
puramente lógicas de las leyes básicas de la aritmética, mostrando de ese modo que las
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verdades aritméticas se pueden conocer independientemente de cualquier intuición. Frege
considera que el sistema formal del Bgr. era un requisito importante para esto: sin él,
sería imposible determinar si las pruebas complejas requeridas dependen solo de axiomas
de `lógica pura´. Esto se conoce también como el logicismo de Frege. ¿Tenía solo
motivos matemáticos o también filosóficos en mente?
32.-GA es importante por múltiples razones. Su filosofía de la aritmética sigue
despertando interés. Muchas tesis propuestas en este libro han influenciado a
Wittgenstein, Quine y Dummett, para nombrar solo tres. GA es el primer libro de filosofía
analítica. En un punto crucial, Frege lleva a cabo el `giro lingüístico´: reelabora una
cuestión ontológica o epistemológica como una cuestión sobre el lenguaje. Pero a
diferencia de otros filósofos analíticos, su propósito no es disolver el problema filosófico –
como `pseudoproblema´- sino reformularlo que modo que se pueda resolver.
33.-Los tres principios fundamentales de GA:
a.-separar estrictamente lo psicológico de lo lógico, lo subjetivo de lo objetivo;
b.-nunca indagar por el significado de una palabra aislada, sino solo en el contexto
de una proposición
c.-nunca perder de vista la distinción entre concepto y objeto.
En relación con a) usará el término representación [Vorstellung] en sentido psicológico y
distinguirá siempre representaciones de conceptos y objetos. Si el principio b) no se
respeta, se tenderá a considerar como significado de las palabras a las imágenes mentales
o actos de la mente individual, y de ese modo atentará contra a). Respecto del principio
c), “es una mera ilusión suponer que se puede hacer de un concepto un objeto sin
alterarlo. De esto se sigue que una teoría extendida formalista de los números
fraccionarios, racionales, etc. es insostenible.” (X).
34.-El primer principio se discutió en los puntos 4-5. El segundo se discute abajo en el
punto 8. El segundo ya se discutió algo también en el punto 2. Ahora veamos qué hace
Frege con esto en GA en los # 45-54. Hasta esos parágrafos había indagado por la
naturaleza de los números, y sus resultados habían sido negativos: los números ni son
objetos físicos ni colecciones o propiedades de ellos, ni ideas subjetivas. Ahora Frege
sugiere que se puede progresar si preguntamos por aquello a que se adscribe el número.
La observación crucial es que números diferentes parecen ser asignables a la misma cosa:
de un mazo de cartas se podría decir que era un mazo o cincuenta y dos cartas. Frege se
da cuenta que esto podría recaer en considerar que la adscripción del número es subjetiva
ya que parece depender del modo de pensar sobre el objeto (1884, # 25-26). Pero lo que
es diferente en nuestro modo de considerar el mazo es, en concreto, el `concepto´ que
decidimos utilizar: eso denotado por `( ) es un mazo´ en un caso, o por `( ) es una carta´
en el otro. Si acordamos con Frege en que conceptos y hechos sobre ellos, son tan
objetivos como objetos y hechos sobre ellos (1884, # 48; 1891), no hay necesidad de
considerar al número como subjetivo. Mas bien debemos reconocer que el número se
adscribe, no a objetos, ni a colecciones, sino a conceptos:
# 46 GA Mientras que miro al mismo y único fenómeno externo, puedo decir con
verdad “Es un grupo de árboles / es un bosquecillo” y “Hay cinco árboles”, o “Aquí hay
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cuatro compañías” y “Aquí hay 500 hombres”. Lo que cambia de un juicio a otro no es ni
el objeto individual, ni el todo, la aglomeración de ellos, sino la denominación
[Benennung]. Pero eso es solo el signo de un cambio de un concepto por otro. […] El
contenido de un enunciado numérico es una afirmación sobre un concepto (dass die
Zahlangabe eine Aussage von einem Begriffe enthalte, 59) Quizás esto sea mas claro con
el número cero. Si digo “Venus tiene cero lunas”, simplemente no hay luna o aglomeración
de lunas como para que yo pueda afirmar algo de ellas, pero lo que sucede es que una
propiedad es asignada al concepto “luna de Venus”, la de no incluir nada bajo ella. Si digo
“La carroza del rey es tirada por cuatro caballos”, asigno el número 4 al concepto “caballo
que tira la carroza del rey”.Y en el # 55 afirmará : Ahora sabemos que el enunciado numérico contiene una
afirmación sobre un concepto
35.-Obsérvese que el interés de Frege en lo que son los números lo condujo a una
preocupación por la naturaleza de la adscripción de números, y en particular a una
investigación de la `forma lógica´ de tales enunciados. Así el modo fundamental de
referirse a un número es por medio de una expresión de la forma `el número que
corresponde/ pertenece al concepto F´; por ejemplo, `el número que corresponde al
concepto “luna de la Tierra”´ refiere al número uno, ya que hay un solo objeto que es una
luna de la tierra. Esta aparentemente inocua pretensión lingüística juega un rol crucial en
la consideración fregeana de lo que son los números.
8.- GA: el principio del contexto
36.- En el # 62, Frege dice: ¿Cómo se nos dan los números si no podemos tener ni
representación ni intuición de ellos? La pregunta es epistemológica. Lo que es asombroso
es cómo se prepara Frege para responderla: “Puesto que solo en el contexto de la
proposición las palabras tienen significado, tenemos que definir el sentido de una
proposición en la que ocurra una palabra número.” Como enfatizó Dummett, Frege aquí
hace el `giro lingüístico´ de una manera profunda: lo que era un problema epistemológico
se transforma en un problema sobre el lenguaje: ya no como tenemos conocimiento de
los números, sino cómo nos referimos a ellos en el lenguaje
.
37.- La sugerencia es examinar oraciones completas en las que aparezcan nombres de
números. Acá funciona el principio del contexto. Frege rechaza cualquier necesidad de que
él deba indicar o señalar números para su audiencia. Ya había afirmado que sería
imposible puesto que los números no se pueden encontrar en la percepción ni en la
intuición. Frege creía que la habilidad para referirnos a números se debería explicar en
términos de la propia comprensión de oraciones completas en las que se emplean
nombres de números. Frege se niega a decir a qué refiere `cero´, excepto que tales
oraciones como `Cero es el número que corresponde al concepto “luna de Venus” ´ tienen
significado. Explicar el significado de estas oraciones es decir a qué refiere `cero´.
38.-Frege pretende que este punto de vista sea generalizado, su discusión no se dirige
directamente a números, sino al caso análogo de las direcciones. Los objetos abstractos
imponen serios problemas filosóficos, ontológicos y epistemológicos. La estrategia de
Frege para defender su existencia y debilitar inquietudes sobre nuestro acceso cognitivo a
ellos es atractiva y quizás sea la única opción factible. Su idea general de que nuestra
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capacidad para referirnos a objetos de un tipo dado se puede explicar solo en términos de
nuestra comprensión de oraciones que contienen nombres de ellos sigue siendo
influyente. Así, el objetivo es explicar el significado de las oraciones en las que se hace
referencia a números.
39.-Frege considera que cuando nos vemos con nombres de objetos, las oraciones mas
importantes son las que afirman una identidad. Porque Frege considera que los números
son objetos, se concentra sobre oraciones como `El número que corresponde al concepto
“plato sobre la mesa” es el mismo que corresponde al concepto “invitado a la cena”´. Esta
oración será verdadera sii hay un modo de asignar platos a invitados tal que cada invitado
obtenga exactamente un plato y cada plato exactamente un invitado: esto es, sii hay una
correlación biunívoca entre los platos y los invitados. Mas generalmente, el concepto F es
equinumeroso con el concepto G sii hay una correlación biunívoca entre los objetos que
caen bajo F y los que caen bajo G. El pensamiento es: el número que corresponde al
concepto F = el número que corresponde al concepto G sii el concepto F es equinumeroso
con el concepto G. Esto se conoce como el principio de Hume (1884, # 55-63). Cantor fue
quien mostró lo potente de tal principio.
40.- Si el Principio de Hume tiene que jugar algún rol en el intento de Frege de demostrar
los axiomas de la aritmética a partir de principios lógicos solamente, entonces la noción de
equinumerosidad debe definirse en términos puramente lógicos. Frege muestra que lo es,
si se acepta que la teoría de las relaciones es parte de la lógica (1884, # 70-72). Por
razones no enteramente claras, Frege rechaza la idea de que el Principio de Hume sea
suficiente para explicar las identidades numéricas. Su razón indicada (1884, # 66;
comparar con # 56) es que no sirve para decidir si Julio César es el número cero (!). Hay
poco acuerdo sobre el sentido de esta afirmación. El Principio sigue siendo importante
para Frege, ya que afirma que cualquier explicación correcta de los números debe tenerlo
como una consecuencia (relativamente inmediata).
Él mismo establece una definición explícita de los nombres de números: el número
que corresponde al concepto F tiene que ser la extensión del concepto de segundo nivel
`[ ] es un concepto equinumeroso con el concepto F´ (aproximadamente la extensión de
un concepto es la colección de cosas que caen bajo ese concepto). Frege muestra que el
Principio de Hume se puede derivar de esta definición (1884, # 73). Sin embargo para
hacer la definición y prueba precisa, tiene que apelar a algún axioma que involucre
extensiones. La idea de Frege, desarrollada en los Grundgesetze, era que las extensiones
se podían caracterizar por medio de un principio análogo al Principio de Hume, en
particular, la Ley Básica V: la extensión del concepto F es la misma que la del concepto G
sii los mismos objetos caen bajo los conceptos F y G (1893, # 3, 20). Russell mostró a
Frege en 1902 que la teoría de las extensiones era inconsistente, puesto que la paradoja
de Russell se derivaba de la Ley Básica V en lógica de segundo orden.
9.- La teoría formal de la aritmética de Frege
41.-En GA FRege diseñó algunas pruebas de los axiomas de la aritmética (1884, #70-83),
y en Grundgesetze ofrece versiones formales de ellas (1893, # 78-119). Se prestó poca
atención a estas pruebas durante casi un siglo, bajo la idea de que eran pruebas en una
teoría inconsistente, y cualquier cosa se puede demostrar en una teoría así. Frege en 1906
decidió que no se podía reformular la Ley Básica V, su esposa murió en 1904 y él pareció
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haberse deprimido fuertemente. No publicó nada entre 1908 y 1917 y luego solo tres
artículos.
42.-Un examen mas atento a la estructura de las pruebas de Frege revela algo bastante
interesante. Como ya se indicó Frege exigía que su definición explícita de los nombres de
números implicara el Principio de Hume, y mostró que sí lo hacía (dada la Ley Básica V).
Pero ni la definición explícita ni la LB V se usaban esencialmente en la prueba de ningún
otro teorema aritmético; solo se prueban usando lógica de segundo orden y el Principio de
Hume. De esta manera, Frege sí demuestra que los axiomas de la aritmética se pueden
derivar en lógica de segundo orden a partir del Principio de Hume solo. Frege no se dio
cuenta de esto, que hoy se conoce como el Teorema de Frege
43.-Puntos que vale la pena mencionar: a.-no se puede demostrar cada una de las
infinitas verdades de la aritmética a partir de principios lógicos, o de alguna otra cosa. De
modo que cualquier intento de demostrarlo, dependerá de la identificación de algún
número finito de leyes básicas o axiomas de la aritmética a partir de las que se pueden
inferir todas las otras verdades. Los axiomas más famosos son los de Dedekind / Peano.
Frege emplea su propia axiomatización, que es similar, pero diferente en aspectos
importantes y mas intuitivos (1893, # 128-157)
b.-El trabajo más difícil para Frege era demostrar que hay infinitos números y su
método es extremadamente elegante. La idea básica es comenzar notando que 0 es el
número que corresponde al concepto `objeto que no es idéntico a sí mismo´ y luego que
1 es el número que corresponde al concepto `idéntico a 0´. Luego, 2 es el número que
corresponde al concepto `idéntico con 0 o 1´, y así sucesivamente. Mas generalmente, si
n es finito, entonces el número del concepto `número natural mayor o igual que n´
siempre es uno más que n, lo que implica que todo número finito tiene un sucesor y (con
otros axiomas), que hay infinitos números. (1884, # 82-83; 1893, # 114-119)
c.-Por diversas razones, Frege necesita definir la noción de número natural o finito.
También necesita probar la validez de la prueba por inducción, puesto que uno de sus
axiomas es que tales pruebas son legítimas. La inducción es un modo de demostrar que
todos los números naturales caen bajo un concepto F, de modo que una prueba por
inducción procede mostrando que (1) 0 cae bajo F y (2) si un número n cae bajo F, n + 1
también debe caer bajo F. Frege define a los números naturales como esos objetos para
los cuales la inducción se aplica exitosamente. Según la definición de Frege, un número es
un número natural sii cae bajo todo concepto F que es un concepto (1´) bajo el que 0 cae
y (2´) que es `hereditario en la serie de los números´, esto es, bajo el que n + 1 cae
siempre que n lo hace. Se sigue que esta prueba por inducción es válida: si F es un
concepto que satisface (1) y (2), entonces, puesto que F es un concepto que satisface
(1´) y (2´), todo número natural debe caer bajo él, por definición.
44.-Se puede observar que esta es una buena definición, esto es, que lo que Frege llama
`los números naturales´, las cosas que caen bajo todo concepto que satisface (1´) y (2´),
realmente son los números naturales. Si x es un número natural, entonces cae bajo todo
concepto que satisface (1´) y (2´). Conversamente, supongamos que x cae bajo todo
concepto que satisface (1´) y (2´). El concepto `número natural´ es un concepto tal: ya
que (1´´) 0 cae bajo él, y (2´´) siempre que un número n cae bajo él, n + 1 también cae
bajo él. De modo que, puesto que x cae bajo todo concepto que satisface (1´) y (2´),
debe caer bajo este, esto es, debe ser un número natural. Así, caer bajo todo concepto
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que satisface (1´) y (2´) es al mismo condición necesaria y condición suficiente para ser
un número natural.
45.-Este método de definición se puede generalizar para proporcionar una definición del
`ancestro´de cualquier relación dada. La definición del ancestro, introducida en el Bgr., (y
descubierta independientemente por Dedekind) es muy importante en matemáticas.-
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