Problemas de métodos de mínimos cuadrados
Se desea determinar la densidad lineal de masa μ de una cuerda de largo L
conocido. Para ello se la sujeta firmemente de ambos extremos y hace vibrar en su tercer
armónico (n=3). Se repite el experimento variando la tensión (
) a la cual se somete la
cuerda y se registra para cada valor de la misma la frecuencia (
) correspondiente a dicha
resonancia. Se sabe que la expresión que vincula los parámetros del sistema es:
Problema 1)
(
)
a) ¿Qué cambios de variable haría para ajustar los datos a una recta de la forma
?
b) ¿Qué significado físico tiene la pendiente de la misma y el punto de corte con el eje y?
c) ¿Cómo calcularía dicha pendiente y la ordenada en el origen a partir de los datos
obtenidos?
d) Imagínese que hemos determinado y , ¿cómo calcularía explícitamente la densidad lineal
de masa μ?
Problema 2)
Los biólogos han determinado que la larga vida de un mamífero salvaje es
proporcional a su masa elevada a un cuarto:
. Utilizando los datos de la tabla y el
método de los mínimos cuadrados, determinar el valor del constante k.
Animal
Larga Vida (±0.5años)
Masa (kg)
Musaraña
1.5
0.1±0.07
Ardilla
9.0
1.0±0.4
Gato
15.2
2.7±0.8
Problema 3)
A un dispositivo electrónico (diodo) se le somete a una diferencia de potencial , y
se mide una corriente . Se quiere saber si el siguiente modelo teórico es verificado por el
dispositivo:
( )+ donde
es una constante (desconocida) que depende del
*
dispositivo,
una constante física conocida (Boltzman) y
la temperatura ambiente. Se
realiza una serie de medidas de e .
a) Se desea ajustar el modelo a una recta del tipo
¿cuales serán sus nuevas
variables dependiente e independiente? Identifique las constantes A y B de la recta con las
del modelo teórico.
b) Si el error relativo porcentual en la variable independiente es de 1,5% ¿cuánto vale el error
relativo porcentual correspondiente a la nueva variable X
c) Si se realiza el ajuste de los datos experimentales obteniéndose los parámetros
y
, como determinaría la temperatura ambienta y su error (asuma que
tiene un
error despreciable).
Problema 4)
Se tiene un tanque con agua sobre una torre, el cual presenta una perforación muy
pequeña (despreciable al compararse las secciones del orificio con la del recipiente). Se quiere
determinar la altura
del orificio respecto al suelo.
Para ello se realizan una serie de medidas de altura del
nivel de agua , y del alcance
del chorro del agua
h
H
(medido en el suelo). Se sabe que ambas magnitudes se
relacionan a través de la siguiente relación teórica:
√
H
a) En una sola medida se determina los valores de
cuando
u
i) Determine el valor de la altura del orificio
respecto al suelo ( ) con su respectivo error.
ii) Halle el error relativo porcentual en .
b) En otra experiencia se realizan una serie de medidas de y (variable independiente). Se
supone un modelo experimental de la forma
con y constante.
i) identifique las constantes y con las constantes de la relación teórica.
ii) realice él o los cambios de variable necesarios para obtener una relación lineal de la
forma
entre las nuevas variables, ¿cómo se relacionan las constantes del
modelo experimental con la pendiente de la misma y el punto de corte con el eje ?
Problemas de métodos de mínimos cuadrados
iii) Explique brevemente el método para calcular la mejor recta de ajuste (la pendiente a, y
el corte b).
iv) Obtenga una expresión para H en función de la o las constantes y .
v) si la constante
, ¿cuál es el error porcentual del modelo experimental
empleado?
(
⁄ )
Problema 5)
La demanda (Q) de un producto sigue la siguiente ecuación:
con el
precio (P) del mismo. Si se tienen los datos de la tabla, determine la demanda para un precio 6
Año
Demanda
Precio
1990
10
1
1991
11
2
1992
13
3
1993
14
4
1994
17
5
Si una población tiene un crecimiento logístico y no puede superar la cantidad de
1000 individuos, entonces el número de individuos en un instante viene dado por la
expresión ( )
Problema 7)
Determinar, mediante el método de mínimos cuadrados, y para los siguientes
datos:
0
1
2
3
4
t
Problema 6)
P
Problema 8)
200
400
650
850
950
Dados los puntos {(1,0.5),(2,1.7), (3,3.4), (4,5.7), (5,8.4)} obtener la función
( )
que aproxima tales puntos utilizando el método de ajuste mínimo-cuadrático con
linealización.
En un mapa de carreteras tenemos cuatro pueblos situados en las coordenadas
{(1,0.3), (2,1.9), (3,4.3), (4,7.6)}. Encontrar la ecuación de la carretera de la forma
Problema 9)
( )
que aproxima dichos pueblos utilizando el método de ajuste mínimo cuadrático con
linealización de los datos.
0
