M´AS SOBRE SERIES DE N´UMEROS REALES Sumación

MÁS SOBRE SERIES DE NÚMEROS REALES
Objetivos: Aprender métodos para acelerar la convergencia de series númericas y aplicarlos en diversos problemas.
Sumación aproximada de series numéricas
El estudio de las series de números reales no termina con el análisis de la convergencia y la sumación de algunas series sencillas, como la geométrica o las telescópicas. En la práctica, cuando aparece
una serie y se requiere la suma, ésta no siempre puede hacerse de forma exacta, por lo que hay que
recurrir al procedimiento de aproximar el valor de la serie por el de su suma parcial para un ı́ndice
suficientemente grande. Lamentablemente, este procedimiento “ingenuo” no siempre da resultado porque, en muchos casos, la sucesión de las sumas parciales converge muy lentamente. Para solventar este
inconveniente existen métodos que transforman la serie en otra de la misma suma, pero cuyas sumas
parciales convergen “más rápidamente”; estos métodos se conocen como métodos de aceleración de la
convergencia.
Para fijar ideas consideremos el ejemplo de la serie armónica
∞
X
1
;
S=
n2
n=1
Vamos a calcular aproximadamente su suma utilizando la suma parcial n-ésima S n , cometiendo un
error menor que 10−3 . El problema es, pues, determinar el valor de n. Para ello vamos a acotar el resto
Rn =
1
1
+
+ ···.
(n + 1)2 (n + 2)2
Es evidente que
1
1
≤
,
(n + k)2
(n + k − 1)(n + k)
luego
Rn ≤
1
1
1
+
+ ··· = .
n(n + 1) (n + 1)(n + 2)
n
Demuestra la última igualdad. De acuerdo con esta acotación, ¿cuánto tendrá que valer n para que el
error sea como queremos?
Método de Kummer
Una posible forma de “acelerar” la convergencia de esta serie es utilizar el siguiente truco: supon∞
X
gamos que queremos calcular la suma de la serie S =
an , y que conocemos la suma de otra serie
n=1
B=
∞
X
bn , cuyo término general está relacionado con el de la primera por la condición
n=1
lı́m
n→∞
an
= l 6= 0.
bn
Comprueba que
S=
∞
X
n=1
an = lB +
∞ X
n=1
6
bn
1−l
an
an .
bn
→ 0 cuando n → ∞, los términos de la nueva serie son menores que los de la original.
an
Hemos transformado entonces la serie de partida en otra cuyas sumas parciales convergen más rápidamente.
Como 1 − l
Para aplicar este método a la serie armónica vamos a considerar la serie
∞
X
n=1
es 1 (demuéstralo). Entonces, aplicando la fórmula anterior
S=
∞
∞
X
X
1
1
=
1
+
.
2
2
n
n (n + 1)
n=1
También podrı́amos considerar la serie
tendrı́a la relación
1
, cuya suma
n(n + 1)
n=1
∞
X
1
1
= ; prueba que, en este caso se obn(n
+
1)(n
+
2)
4
n=1
∞
X
1
1
S =1+ +2
.
2
4
n (n + 1)(n + 2)
n=1
2
Sabiendo que S = π /6, comprueba que sumando 8 términos en esta última fórmula se consigue la
suma de la serie armónica con un error menor que 10−3 .
Suma de la serie armónica alternada: la constante de Euler
Consideremos la serie alternada
2 1
3 1
4 1
1
n+1
1 − ln + − ln + − ln + + · · · + − ln
+ ···.
1 2
2 3
3 4
n
n
Demuestra que esta serie es convergente utilizando el criterio de Leibniz; para ello toma logaritmos en
la desigualdad
1 n
1 n+1
1+
<e< 1+
.
n
n
La suma de esta serie es una constante conocida en Matemáticas como la constante de Euler, que se
representa con la letra γ y cuyo valor aproximado es γ = 0,5772156649 . . ..
Prueba que la suma parcial (2n − 1)-ésima de la serie es
U2n−1 = 1 +
1
1
+ · · · + − ln n.
2
n
Deduce de ello que
1. la constante γ se obtiene como
γ = lı́m
n→∞
1+
1
1
+ · · · + − ln n ,
2
n
1
1
+ · · · + ∼ ln n, cuando n → ∞.
2
n
1
1
Si denotamos Hn = 1 + + · · · + se tiene la siguiente relación:
2
n
2. 1 +
Hn = ln n + γ + n ,
donde n → 0 cuando n → ∞. Veamos cómo podemos utilizar esta fórmula para obtener la suma de
∞
X
1
(−1)n+1 . Sean An y Bn las sumas parciales n-ésimas de las series
la serie armónica alternada
n
n=1
1+
1 1
1
+ + ··· +
+ ···,
3 5
2n − 1
7
1 1 1
1
+ + + ··· +
+ ···,
2 4 6
2n
que verifican las relaciones An + Bn = H2n y Bn = Hn /2, de donde An = H2n − Hn /2. Ası́, toda serie
convergente que se construya a partir de estas dos se podrá sumar; por ejemplo,
2n
X
(−1)k+1
k=1
1
= A n − Bn .
k
Demuestra entonces que la suma de la serie armónica alternada es ln 2.
Sumabilidad Cèsaro
Como ya sabes, sumar infinitos términos es una operación que no tiene un significado intuitivo,
como lo tiene sumar una cantidad finita de números. Para dar algún sentido a la operación es necesario
hacer una definición ad hoc. La más inmediata es la que define la convergencia usual de series, es decir,
considerar la suma de la serie como el lı́mite de las sumas parciales (la extensión natural del concepto
de suma finita). Pero se pueden dar definiciones alternativas, que, aplicadas a series convergentes en
el sentido habitual, conduzcan al mismo resultado, pero que, aplicadas a series divergentes, conduzcan
a un resultado finito. Esta es una forma de asignar un valor a la “suma” de series que no convergen
en el sentido habitual.
La sumabilidad Cèsaro es una de estas alternativas. Su definición es la siguiente:
Definición 1 Sumabilidad Cèsaro Se dice que la serie
∞
X
an es sumable Cèsaro sii existe el lı́mite
n=1
lı́m σn = S, siendo
n→∞
S1 + S 2 + · · · + S n
,
n
la media aritmética de las n primeras sumas parciales, Sn , de la serie.
σn =
Denotaremos esta suma de la siguiente forma:
∞
X
an = S (Cèsaro).
n=1
Veamos los siguientes ejemplos:
P
n+1
1. La serie ∞
, divergente en sentido habitual, vale
n=1 (−1)
P∞
2. La serie n=1 (−1)n+1 n no es sumable Cèsaro.
1
2
(Cèsaro).
Demuestra las siguientes propiedades de la sumabilidad Cèsaro:
P
P
P
1. (Linealidad) Si n an = A (Cèsaro) y n bn = B (Cèsaro), y α, β ∈ R, entonces
n (αan +
βbn ) = αA + βB (Cèsaro).
P
P
2. (Compatibilidad) Si n an = A en sentido habitual, entonces n an = A (Cèsaro).
∞
X
1
Cómo sumar la serie armónica
n2
n=1
∞
X
1
. A continuación proponemos
n2
n=1
una manera de hacerlo, que no requiere unos conocimientos que no se posean en un primer curso de
Cálculo, siguiendo los siguientes pasos:
Existen varias formas de calcular la suma de la serie armónica
8
1. A partir de la fórmula de de Moivre, (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ, desarrollando por la
fórmula del binomio e igualando las partes imaginarias,obtén:
n
n
n
n
n−1
n−3
n−5
sin nθ = sin θ
cot
θ−
cot
θ+
cot
θ − ··· .
1
3
5
(Aunque la expresión anterior tiene un número finito de sumandos, basta con obtener los que
aparecen.)
2. Si 0 < θ < π2 , prueba que:
sin(2m + 1)θ
= Pm (cot2 θ),
2m+1
sin
θ
siendo Pm (x) el polinomio cuyos primeros términos vienen dados por
2m + 1
2m + 1
2m + 1
m
m−1
Pm (x) =
x −
x
+
xm−2 − · · ·
1
3
5
3. Deduce de la fórmula anterior que los ceros del polinomio P m (x) son
kπ
2
,
xk = cot
2m + 1
con k = 1, 2, ..., m.
4. Demuestra que la suma de los ceros de Pm (x) viene dada por la expresión:
m
X
xk =
m
X
k=1
k=1
cot
2
kπ
2m + 1
=
m(2m − 1)
.
3
(Para un polinomio de segundo grado, a2 x2 + a1 x + a0 , sabemos que la suma de las raı́ces es
igual a −a1 /a2 ; del mismo modo, para un polinomio de grado m, am xm + am−1 xm−1 + · · ·, la
suma de sus raı́ces es −am−1 /am .)
5. Si 0 < x < π2 , prueba que cot2 x <
1
x2
< 1 + cot2 x (recuerda que sin x < x < tan x).
6. Toma los valores xk anteriores para 1 ≤ k ≤ m, aplica la desigualdad anterior y sumálos desde
1 hasta m para obtener:
m
X
k=1
cot2
kπ
2m + 1
<
m
m
X
kπ
(2m + 1)2 X 1
2
cot
.
<
m
+
π2
k2
2m + 1
k=1
k=1
7. Obtén las desigualdades:
m
m(2m − 1)π 2 X 1
2m(m + 1)π 2
<
<
.
3(2m + 1)2
k2
3(2m + 1)2
k=1
8. Haciendo tender m → ∞ en las desigualdades anteriores, obtén finalmente:
∞
X
π2
1
=
n2
6
n=1
9